2022-2023学年人教B版2019必修四11.1空间几何体 同步课时训练（Word版含解析）

11.1 空间几何体 同步课时训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)下列说法正确的是( )
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.正方形的直观图是正方形
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
2、(4分)若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为( ).
A.10 B.8 C.9 D.
3、(4分)利用斜二测画法可以得到:
①三角形的直观图是三角形;
②平行四边形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是正方形;
④菱形的直观图是菱形.
以上结论正确的有( )
A. ①② B.① C. ③④ D. ①②③④
4、(4分)已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5、(4分)如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面ABC,，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为( )
A. B. C. D.
6、(4分)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )
A. B.2 C. D.4
7、(4分)已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8、(4分)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的体积为1，则阳马的外接球的表面积等于（　　）
A. B. C. D.
9、(4分)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为( )
A. B.3 C.4 D.
10、(4分)若点A在直线b上，b在平面内，则点A，直线b， 平面之间的关系可以记作( )
A. B.
C. D.
二、填空题(共25分)
11、(5分)已知矩形中，，，是边的中点．现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为__________．
12、(5分)三棱锥的顶点均在球O的球面上，且，，，则三棱锥体积的最大值为__________.
13、(5分)已知与是两个不重合的平面，则下列推理正确个数是__________.
①；
②；
③；
④.
14、(5分)过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为，则球的表面积为_________________.
15、(5分)四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____.
三、解答题(共35分)
16、(8分)如图所示，长方体.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为 什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分 形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符 号表示；如果不是，请说明理由.
17、(9分)如图,已知正三棱锥的侧面是直角三角形,,顶点P在平面内的正投影为点在平面内的正投影为点E,连接并延长交交于点G.
(1)证明：G是的中点;
(2)在图中作出点E在平面内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体的体积.
18、(9分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.若，，求仓库的容积.
19、(9分)如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6.
(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中的度数；
(2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度.
参考答案
1、答案：D
解析：等腰三角形的两底角相等，但在直观图不相等，故A错误．
正方形的两邻边相等, 但在直观图中不相等，故B,C错误. 故选D
2、答案：C
解析：设圆台的上、下底面半径分别为、，圆台中截面的半径为，则，，解得，，所以，所以.
3、答案：A
解析：根据斜二测画法可知,只有平行于x轴的线段长度和方向都不变,平行于y轴的线段倾斜或者,并且长度减半,所以①三角形的直观图和原三角形相比只是面积变小了,它还是三角形;②平行四边形的直观图还是平行四边形;③正方形的直观图是平行四边形;④菱形的直观图是平行四边形.所以①②正确.故选A.
4、答案：A
解析：设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线为，
因为其表面积为 ，
所以 ，
即
又因为它的侧面展开图是一个半圆，
所以 ，
即
所以 ，
所以此圆锥的体积为.
故选: A
5、答案：D
解析：根据题意，可以将三棱锥补全为长方体，其中长方体的底面是边长为1的正方形，高为.设三棱锥外接球的半径为R，所以三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，即，所以.由于三棱锥的体积，三棱锥外接球的体积，所以在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率.
6、答案：A
解析：
7、答案：C
解析：
8、答案：A
解析：∵平面,∴，解得，
而阳马的外接球的直径是以AD，AB，AP为宽，长，高的长方体的体对角线，
∴,即，
球的表面积为.
故选：A.
9、答案：A
解析：如图，将绕AB旋转到的位置，并且点P在CB的延长线上，连接PG，交AB于点F，此时最小.
由已知可知轴截面ABCD是边长为2的正方形，所以.
在中，由余弦定理得，.故选A.
10、答案：B
解析：
11、答案：
解析：在矩形ABCD中，，，E是CD边中点，，中，，，是正三角形.面积为定值.只有平面平面ABCE时三棱锥的高最大.此时体积最大.取AE的中点F.连接FB.在正中，面ABE和面ADE交于AE.平面ADE，即是.正的中心为O在中O点到三棱锥四个顶点的距离是，O是外接球球心，是半径，三棱锥外接球体积.
12、答案：2
解析：
13、答案：3
解析：由基本事实2知，①正确；
由基本事实3知，②正确；
若，显然有，但是，③错误；④正确.
14、答案：
解析：易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.
由截面面积为，可得.
设，则，所以，解得.
故球的表面积.
15、答案：
解析：如图所示，四棱锥中，可得:；平面平面平面ABCD，过S作于O，则平面ABCD，故，在中，，设，则有，，又，则，四棱锥的体积取值范围为.
16、答案：(1)是棱柱，并且是四棱柱.
(2)见解析.
解析：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.
17、答案：(1)见解析(2)
解析：(1)因为P在平面内的正投影为D，所以.
因为D在平面内的正投影为E，所以.
所以平面，故.
又由已知，可得，所以G是的中点.
(2)在平面内，过点E作的平行线交于点即为E在平面内的正投影.
理由如下：由已知可得,又，所以，，
因此平面，即点F为E在平面内的正投影.
连接，因此P在平面内的正投影为D，所以D是正三角形的中心.
由(1)知，G是的中点，所以D在上，故.
由题设可得平面平面,所以,因此.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得.
在等腰直角三角形中，可得.
所以四面体的体积.
18、答案：仓库的容积为312
解析：由，得，则
，
，，
故仓库的容积为312（）.
19、答案：(1)
(2)这根绳子的最短长度是.
解析：(1)圆锥的高为，
底面圆的周长等于，
解得.
(2)连接AC，过B作于D，
则.
由，可求得，
，
，
即这根绳子的最短长度是.