第二十四章 圆的有关计算
【导航篇】
知识点一：点和圆、直线和圆的位置关系
点和圆的位置关系
点和圆的位置关系分三种（设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d）:
点和圆的位置关系 特点 性质及判定 图示
点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P在圆外d＞r
点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P在圆上d＝r
点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P在圆内d＜r
注意：符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
2. 确定一个圆的条件
已知圆心、半径，可以确定一个圆；
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
注意：“确定”是“有且只有”的意思，（2）中不能忽略“不在同一条直线上”这个前提条件，过在同一条直线上的三个点不能作圆.
3. 三角形的外接圆
三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
注意：一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
4. 反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法.
5. 直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
定义 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离
图示 直线l和⊙O相交 直线l与⊙O相切 直线l与⊙O相离
公共点个数 2 1 0
圆心到直线的距离d与半径r的关系 d＜r d＝r d＞r
公共点名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
总结 直线l与⊙O相交d＜r 直线l与⊙O相切d＝r 直线l与⊙O相离d＞r
【例1】如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心画圆，半径为r. 当点D在⊙A内且点C在⊙A外时，r的取值范围是____________.
【例1】【解析】连接AC，∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AC＝，AD＝2，以点A为圆心画圆，要使点D在⊙A内，则r＞AD，即r＞2，要使点C在⊙A外，则r＜AC，即r＜，则⊙A的半径r的取值范围是2＜r＜.
【答案】2＜r＜
【巩固】
圆的直径为10 cm，若点P到圆心O的距离是d，则（ ）
当d＝8 cm时，点P在⊙O内
当d＝10 cm时，点P在⊙O上
当d＝5 cm时，点P在⊙O上
当d＝6 cm时，点P在⊙O内
已知⊙O的直径为12 cm，圆心到直线l的距离5 cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
2 B. 1 C. 0 D. 不确定
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则它的外接圆的直径为_____________.
【巩固答案】
C
A
10
知识点二：切线的判定和性质
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注意：应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.
切线的判定方法
定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
【例2】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD. 求证：CD为⊙O的切线.
【例2】【解析】证明切线的方法：①当已知直线与圆有公共点时，连接圆心和这个公共点，即连半径，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线与圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”.
本题利用方法①证明即可，因为半径OC已连接，所以只要证明OC⊥CD，利用等腰三角形的性质、平行线的性质和判定即可得证.
【答案】证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∴∠OCD＋∠CDB＝180°，
∵BD⊥CD，
∴∠CDB＝90°，
∴∠OCD＝180°－∠CDB＝180°－90°＝90°.
即OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴CD为⊙O的切线.
【巩固】
下列说法中，不正确的是（ ）
A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
D. 垂直于半径的直线是圆的切线
2. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为（ ）
A. 76° B. 56° C. 54° D. 52°
【巩固答案】
D
A
知识点三：切线长定理和三角形的内切圆
切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.
【例3】如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
PA＝PB B. ∠BPD＝∠APD
C. AB⊥PD D. AB平分PD
【例3】【解析】因为PA、PB为⊙O的切线，由切线长定理可知PA＝PB ，∠BPD＝∠APD，所以A、B选项成立；在等腰三角形ABP中，根据等腰三角形的性质得到AB⊥PD，所以C选项成立，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D选项不一定成立. 故选D.
【答案】D
【巩固】
如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，如果∠P＝60°，PA＝2，那么AB的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 80°
【巩固答案】
B
D
知识点四：正多边形和圆
正多边形及有关概念
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.
与正多边形有关的概念
名称 定义 图示
中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径 正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
（4）正多边形的对称性
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
正多边形的有关计算
正n边形的每个内角都等于.
正n边形的每个中心角都等于.
正n边形的每个外角都等于.
设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则：
①半径、边长、边心距的关系为；
②周长l＝na；
③面积.
【例4】如图，边长为12 cm的圆内接正三角形的边心距是_________cm.
【例4】【解析】如图，作OH⊥BC于H，连接OB，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，∴BH＝CH＝6 cm，∵∠ABC＝60°，∴∠OBH＝30°. 设OH＝x cm，∴OB＝2x cm，在Rt△OBH中，由勾股定理得x2＋62＝(2x)2，解得x＝，即OH＝ cm.
【答案】
【巩固】
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，则∠COD的大小是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是__________.
【巩固答案】
C
2
知识点五：弧长和扇形面积
弧长公式： 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
扇形面积公式
已知半径R和n°的圆心角，则.
已知弧长l和半径R，则.
与圆锥有关的概念
圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.
圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
圆锥的侧面积和全面积
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
因此，.
【例5】如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC是菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）
B. C. D.
【例5】【解析】由题意可知，阴影部分的面积是由两个面积相等的弓形面积组成，弓形面积可以看成是扇形OBC的面积和三角形OBC的面积的差，因为四边形OABC是菱形，所以OC＝BC，又OB＝OC，所以△OBC是等边三角形，所以
. 故选C.
【答案】C
【巩固】
如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为（ ）
A. B. C. D.
如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【巩固答案】
1. D
2. B拔高专题 圆中的最值问题
一、基本模型构建
常见模型 图(1) 图（2）
思考 图（1）两点之间线段 最短 ； 图（2）垂线段 最短 。 .在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
二、拔高精讲精练
探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题
例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，
∴A′B=3．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3．
【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值
解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，
∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ==2．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．
解：（1）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
∴AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4．
【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。解题技巧专题：圆中辅助线的作法
——形成思维定式，快速解题
类型一 遇弦加弦心距或半径
1．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为________cm.
4．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm.
类型二 遇直径添加直径所对的圆周角
5．(玉林中考)如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
第5题图 第6题图
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（ ）
A．16 B．4 C. D.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠B＝70°，求的度数；
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
类型三 遇切线连接圆心和切点
8．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C. D.
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠BAO＝60°，弦BC∥OA，则的长为_________(结果保留π)．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_______．
参考答案解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积
——全面掌握核心方法，以不变应万变
类型一 直接利用规则图形的和差求面积
1．(安顺中考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是________(结果保留π)．
第1题图 第2题图
2．如图，长方形ABCD的长BC为3cm，宽AB为2cm，点E，F是边AD的三等分点，点G，H是边BC的三等分点．现分别以B，G两点为圆心，以2cm长为半径画弧AH和弧EC，则阴影部分的面积为_______cm2.
3．（烟台中考）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为_______cm2.【方法18】
第3题图 第4题图
类型二 割补法
4．(深圳中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π－4 B．4π－8
C．2π－8 D．4π－4
5．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A．4π－2 B．2π－2
C．4π－4 D．2π－4
第5题图 第6题图
类型三 等积法
一、轴对称、旋转
6．(重庆中考)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是______．【方法18】
7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点．若⊙O过A，C两点，则图中阴影部分的面积之和为________.
第7题图 第8题图
8．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.＋ B．π－
C.＋ D.－
二、同底等高的三角形等积替换
9．(襄阳中考)如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
第9题图 第10题图
10．如图，P是半径为2的⊙O外一点，PB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，且BC＝2，则图中阴影部分的面积为________．【方法18】
类型四 折叠问题中求面积
11．(德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
参考答案
8.D类比归纳专题：切线证明的常用方法
——弄清不同条件下的证明方式，体会异同
类型一 有切点，连半径，证垂直
一、利用角度转换证垂直
1．(大连中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.求证：DE与⊙O相切．
2．(广安中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.若AB＝BF，求证：AB是⊙O的切线．
二、利用勾股定理的逆定理证垂直
3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝.求证：BC是⊙O的切线．
4．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．
类型二 无切点，作垂直，证半径
5．(南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．【方法16②】
参考答案类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度
——全面突破，形成解题思维模式
类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
1．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
3．(毕节中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B的度数为（ ）
A．100° B．72° C．64° D．36°
4．)如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝________.
类型二 构造圆内接四边形转化角
5．如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．55° B．70° C．110° D．140°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88°
C．90° D．112°
如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝______.
类型三 利用直径构造直角三角形转化角
8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于【方法15】（ ）
A．33° B．57° C．67° D．66°
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是_______.
10．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为圆O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.【方法15】
类型四 利用特殊数量关系构造特殊角转化角
11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
第11题图 第12题图
12．(莒县模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝5，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
答案：第二十四章 圆的有关性质
知识点思维导图
能力培养：符号意识、几何直观、推理能力、运算能力
【实战篇】
知识点一：圆的有关概念
圆的定义
描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.
圆具有的特性
圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
注意：（1）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心（三点不共线）构成的三角形都是等腰三角形.
4. 圆的有关概念
概念 注意
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径.
直径 经过圆心的弦叫做直径.
弧、 半圆、 劣弧、 优弧 ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. ③小于半圆的弧叫做劣弧，如图. ④大于半圆的弧叫做优弧，如图. 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆叫做等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等. 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关.
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等.
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为______________.
【例1】【解析】同一个圆中的所有半径都相等，所以在圆中“连半径”是常用的辅助线，本题先连接CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝5，所以半径BC＝CD＝5，又由已知AB＝10，利用勾股定理得出AC.
【答案】
【巩固】
1. 如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（ ）
25° B. 35° C. 15° D. 20°
2. 如图，在⊙O中，下列说法不正确的是（ ）
AB是⊙O的直径 B. 有5条弦
C. 和都是劣弧，是优弧 D. CO是圆O的半径
【巩固答案】
A
2.B
知识点二：垂直于弦的直径
圆的轴对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵如图，CD是直径，CD⊥AB于点M，
∴AM＝BM，＝，＝.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵如图，CD是直径，AM＝BM（AB不是直径），
∴CD⊥AB，＝，＝.
【例2】如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（ ）
A. 8 B. 10 C. D.
【例2】【解析】连接OB，根据垂径定理求出BD＝BC＝4，已知半径OB＝5，在Rt△OBD中，由勾股定理求出OD＝＝3，所以AD＝8，在Rt△ABD中，再由勾股定理求出AB＝.
【答案】D
【巩固】
1. 下列说法不正确的是（ ）
A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B. 圆有无数条对称轴
C. 圆的每一条直径都是它的对称轴
D. 圆的对称中心是它的圆心
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为（ ）
A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm
【巩固答案】
1. C
2. A
知识点三：弧、弦、圆心角
圆的旋转对称性
圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
圆心角的定义
顶点在圆心的角叫做圆心角.
如图：∠AOB是所对的圆心角，是∠AOB所对的弧.
注意：一条弧所对的圆心角只有一个.
弧、弦、圆心角之间的关系
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. ∵∠AOB＝∠COD， ∴＝， AB＝CD.
重要结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. ∵＝， ∴∠AOB＝∠COD， AB＝CD.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD， ＝， ＝.
【例3】如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AB＝CD. 求证：AC＝BD.
【例3】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB＝CD得到＝，进而＋＝＋，即＝，所以AC＝BD.
【答案】证明：∵AB＝CD
∴＝，
∴＋＝＋，
即＝，
∴AC＝BD.
【巩固】
如图，在⊙O中，∠AOB＝∠COD，那么和的大小关系是（ ）
A. ＞ B. ＜ C. ＝ D. 无法确定
如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则与的关系是（ ）
A. ＝ B. ＞ C. ＜ D. 不能确定
【巩固答案】
1. C
2. A
知识点四：圆周角
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
注意：（1）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.
（2）同一条弧所对的圆周角有无数个.
圆周角和圆心角的区别和联系
圆周角 圆心角
区别 角的顶点在圆上 角的顶点是圆心
一条弧所对的圆周角有无数个 一条弧所对的圆心角有且只有一个
联系 角的两边都与圆相交
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图，∠ACB＝∠AOB.
圆周角定理的推论
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径.
“五量关系”定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
【例4】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 20°
【例4】【解析】本题考查的是圆周角定理的两个推论，根据题意先连接AD，根据圆周角定理的推论可知，∠A＝∠BCD＝40°，又由AB为⊙O的直径知∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°－∠A＝50°. 故选B.
【答案】B
【巩固】
1. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C的度数为（ ）
A. 54° B. 46° C. 36° D. 27°
2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝___________.
【巩固答案】
C
70°
知识点五：圆内接多边形
圆内接多边形的定义
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.
【例5】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 65° D. 75°
【例5】【解析】根据圆周角定理求出∠A＝∠BOD＝65°，再根据圆内接四边形的性质得出∠BCD＝180°－∠A＝115°，则∠DCE＝180°－∠BCD＝65°. 故选C.
【答案】C
【巩固】
如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，P为劣弧上的一点，则∠APB的度数是_____________.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D. 问AB与CD有怎样的位置关系，请说明理由.
【巩固答案】
120°
解：AB∥CD
理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
∵∠C＝∠D，
∴∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD.
