[课时练习]2022-2023学年高一年级北师大版(2019)数学必修一第一章 预备知识(Word版含解析)

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名称 [课时练习]2022-2023学年高一年级北师大版(2019)数学必修一第一章 预备知识(Word版含解析)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-08-26 12:20:17

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文档简介

第一章预备知识
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
下列命题正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
已知,,且,则xy最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知,则正确的结论是( )
A. B. C. D. a、b大小不定
“”是“”的条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
某公司每个月的利润单位:万元关于月份的关系式为,则该公司某一年的12个月中,利润大于100万元的月份共有( )
A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个
已知正实数a,b满足,则的最小值为( )
A. 10 B. 11 C. 13 D. 21
已知a,b,c,d是四个互不相等的正实数,满足,且,则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
若不等式的解集为R,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
设,,则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
若,则下列不等式中恒成立的有( )
A. B.
C. D.
解关于x的不等式:,下列说法正确的是
A. 当时,不等式的解集为
B. 当时,不等式的解集为
C. 当时,不等式的解集为
D. 当时,不等式的解集为
若不等式对一切实数x恒成立,则实数m的可能取值范围是( )
A. 0 B. 2 C. D. 4
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
已知关于x的不等式的解集是则__________.
若函数只有一个零点,则实数a的取值集合是__________.
两个正实数a,b满足,则满足恒成立的m取值范围为__________.
某汽车以的速度在高速公路上均速行驶考虑到高速公路行车安全,要求时,每小时的油耗所需要的汽油量为,其中k为常数.若汽车以的速度行驶,每小时油耗为,欲使每小时的油耗不超过9L,则速度x的取值范围为__________
四、解答题(本大题共6小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
本小题分
已知a,b,c为互不相等的正数,且,求证:
本小题分
已知
若的解集为,求关于x的不等式的解集;
解关于x的不等式
本小题分
已知正数a、满足,求ab的最小值;
已知,求函数的最大值.
本小题分
湖北省天门市高一期末]在①,②关于x的不等式的解集为,③一次函数的图象过,两点这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
问题:已知__________,求关于x的不等式的解集.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
本小题分
如图,一份矩形宣传单的排版面积矩形为P,它的两边都留有宽为acm的空白,顶部和底部都留有宽为2acm的空白.
若,,且该宣传单的面积不超过,求a的取值范围;
若,,则当AB长多少时,才能使纸的用量最少?
本小题分
已知二次函数
是否存在实数a,b,使不等式的解集是?若存在,求实数a,b的值,若不存在,请说明理由;
若a为整数,,且方程在上恰有一个实数根,求a的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的性质,属于基础题.
利用不等式的性质和取特值法一一判定即可.
【解答】
解:当,时,A,B选项中的不等式都不成立;故不正确;
对于C,若,则,则,故正确;
对于D,取 不等式不成立,故D不正确;
故选

2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用.考查了考生综合运用基础知识的能力,属于基础题.
根据基本不等式可知,,进而根据的值求得答案.
【解答】
解:,,且,
由基本不等式可得,,
当且仅当时,等号成立,
故xy最大值为
故选:

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的大小比较,利用分子有理化,将根式进行化简是解决本题的关键.
利用分子有理化,结合不等式的性质比较大小,即可得到结论.
【解答】
解:,


,,


即,
故选

4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查充分、必要条件,基本不等式,属基础题目.
结合题干,利用基本不等式及充分、必要条件的定义判断即可.
【解答】
解:由题意,
而,
“”是“”的充分不必要条件,
故选

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次不等式的实际应用及一元二次不等式解法,属于基础题.
结合题意得到关于n的不等式,解出即可.
【解答】
解:根据题意得:,
解得:或,
因为,,
故,2,7,8,9,10,11,12,共8个月.
故选

6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,属于基础题.
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【解答】
解:正实数a,b满足,
则,


当且仅当且即,时取等号,
故选:

7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系,属于中档题.
取特殊值排除即可得解.
【解答】
解:取,,,,
则此时 ,


因为,
所以,
可排除A,C;
取,,,,
则此时,
可排除B;
故选:

8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法,运用了分类讨论的数学思想方法,本题的易错点是容易忽略对的讨论.属于中档题.
对a进行分类讨论,当时,恒成立,当时,利用二次函数的性质,列出不等关系式,求解即可得答案,最后求两种情况的并集即可.
【解答】
解:不等式的解集为R,
①当,即时,不等式为恒成立,故符合题意;
②当,即时,不等式的解集为R,
即不等式的解集为R,
则,
解得,
故符合题意.
综合①②可得,实数a的取值范围是
故选

9.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质,属于基础题.
通过举反例说明选项A,B错误,通过不等式的性质判断出C、D正确.
【解答】
解:例如,,此时满足,有,故A错误;
B.例如,,此时满足,但,故B错误;
C.由,得,由,得,故C正确;
D.因为,,所以,则满足,故D正确.
故选

10.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的运用.
利用基本不等式逐项判断即可.
【解答】
解:对于A,,当且仅当时取等号,所以A正确;
对于B,虽然,只能说明a,b同号,若a,b都小于0时,B不成立;
,,,
当且仅当且时,即或时等号成立,C正确,
,,,当且仅当时等号成立,D正确.
故选

11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.
对a的取值进行分类讨论,利用选项A,B,C,D分别进行判断,然后即可得.
【解答】
解:对A:当时,,
即,故A正确;
对B:当时,

即,
所以或,故B正确;
对C:当时,

即,
因为,
所以 ,故C正确;
对D:当时,

即,
因为,
所以,故D错误.
故选

12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式恒成立问题,属于中档题;
当,符合题意时,由题意得即可求解;
【解答】
解:①,即时,,符合题意;
②时,由题意得:

解得:
综上所述:,
故选BC

13.【答案】2
【解析】
【分析】
此题考查了分式不等式的解法,考查了转化的数学思想,是一道基础题.
把代入不等式中得到解集不是原题的解集,故a不为0,所以把不等式转化为大于0,根据已知解集的特点即可求出a的值.
【解答】
解:由不等式判断可得,
所以原不等式等价于,
由解集特点可得且,

故答案为:2

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数零点和一次和二次函数,属于基础题.
利用函数零点的概念,结合二次函数和一元二次方程的关系得结论.
【解答】
解:当时, 函数有且仅有一个零点,所以为所求,
当时,函数有且仅有一个零点,即方程有两个相等的根,
则,所以
因此实数a的取值为0、
故答案为

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的运用,以及不等式恒成立问题解法,考查运算能力,属于中档题.
由基本不等式和“1”的代换,可得的最小值,再由不等式恒成立思想可得小于等于最小值,解不等式可得所求范围.
【解答】
解:由,,,
可得,
当且仅当,上式取得等号,
由题意可得恒成立,
即有,解得
故答案为

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式在实际问题中的应用,考查运算求解能力,属于较难题.
将代入每小时的油耗,解方程可得,由题意可得,解不等式可得x的范围.
【解答】
解:设每小时的油耗所需要的汽油量为y,
由题意可得,
当时,,

解得,

每小时的油耗不超过9L,

即,
解得,
又,
可得,
欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围为,
故答案为

17.【答案】证:,b,c为互不相等的正数,且,
故原不等式成立.

【解析】本题考查不等式的证明,属于基础题.
根据基本不等式以及题干已知可得,,,即可得证.
18.【答案】解:由题意得:,是方程的根,
代入方程,解得,
故原不等式等价于,
解得:或,
所以不等式的解集为;
当时,原不等式可化为,解集为
当时,原不等式可化为,
解集为,
当时,原不等式可化为,
当,即时,解集为;
当,即时,解集为;
当,即时,解集为
【解析】本题考查了解不等式问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于基础题.
根据不等式和方程发关系求出a的值,代入不等式,求出不等式的解集即可;
通过讨论a的范围,求出不等式的解集即可.
19.【答案】解:,

又,

则,
,则,
当且仅当,时等号成立,
的最小值为
由题意,

,,
,当且仅当时等号成立,


的最大值为
【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值,属于基础题.
由题意,又,则,则,可得结果.
本题主要考查了利用基本不等式求最值,属于较易题.
由题意,,则,则,即可求解.
20.【答案】解:选①若,解得,不符合题意;
若,解得,则符合题意.将代入不等式整理得,解得或,故原不等式的解集为或
选②因为不等式的解集为,所以,解得,将代入不等式整理得,解得或,故原不等式的解集为或
选③由题得解得将代入不等式整理得,解得或,故原不等式的解集为或
【解析】选①,分两种情况:,或,求得a的值,把a值代入一元二次不等式,即可求得答案.
选②,由,求得a的值,把a值代入一元二次不等式,即可求得答案.
选③,由,求得a的值,把a值代入一元二次不等式,即可求得答案.
本题考查了集合的关系与不等式的解法和应用问题,是中档题.
21.【答案】解:该宣传单的面积为,
由题意可得,
解得,
又,
故;
设,则,
则该宣传单的面积为

当且仅当,即时等号成立,
故当AB长20cm,才能使纸的用量最少.
【解析】本题考查一元二次不等式的解法,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.
由题意得到,求解即可;
设,则,则该宣传单的面积为,利用基本不等式求解即可.
22.【答案】解:不等式的解集为,
方程的两根是1,
则,解得,,
又当时,不等式的解集不可能为,
不存在实数a,b使不等式的解集是

对于方程,

方程有两个不相等的实数根.
又方程在上恰有一个实数根,

解得,又,
【解析】本题考查二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系.
由一元二次不等式的解法可知的两根是1,利用根与系数之间的关系求出a,b的值进行检验即可求解;
将代入原方程得:,由该方程的可知有两个不等的实数根,再由零点存在性定理列不等式,结合即可求解.
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