红岭中学2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数学学科试题
答题注意事项：
1.本试卷满分100分；考试用时90分钟；
2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（ ）
A．B． C． D．
2、下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣2x2＝1 B．2m （﹣2m）2＝8m3 C．x10÷x10＝0 D．（2a2b）3＝8a5b3
3、我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
4、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（ ）
A．128° B．130° C．132° D．136°
5、家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表：根据表中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是50人 B．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C．本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D．若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人
6、下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7、我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30 C．+＝5 D．+＝5
8、如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
9、已知抛物线y＝x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：
①b2＜2c；②若c＞1，则b＞；③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y＝x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝，④FG+GH＝GO，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空（每题3分，共15分）
11、因式分解：a3﹣6a2+9a＝
12、为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是
13、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为 度
14、如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝
15、如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．
三、计算题（共55分）
16、（5分）计算：（1﹣π）0﹣2cos30°﹣|1﹣|﹣（）﹣1．
17、（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
18、（8分）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
请根据图表信息，回答下列问题．
（1）参加此次调查的总人数是 人，频数统计表中a＝ ；（2分）
（2）在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是 °；（1分）
（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．（5分）
（8分）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；（4分）
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．（4分）
20、（9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，
经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；（3分）（2）连接DE，求证：△BDE∽△BAD；（3分）
（3）若BE，sinB，求AD的长，直接写出答案（3分）
21、（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 0 ﹣5 ﹣12 …
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2分）
（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，求实数k的取值范围；（3分）
（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求出∠ACB的度数．（4分）
22、（10分）问题提出：如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；（3分）
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．（4分）
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，点DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）（3分）．红岭中学2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数学学科答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1-5 D B C A B
6-10 D A D B C
二、填空题 （每题3分，共15分）
11、 a（a﹣3）2 ； 12、 （ ） ； 13、 ；
14、 18 ； 15、 （或． ）
9、解：∵a＝＞0，
∴抛物线开口向上，
当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，
∴抛物线 与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣2c＞0，∴b2＞2c故①错误；
∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，
∴﹣b+c＜0；
∴b＞+c，
当c＞1时，则b＞，故②正确；
抛物线的对称轴为直线x＝b，且开口向上，
当x＜b时，y的值随x的增大而减小，
∴当m1＜m2＜b时，n1＞n2，故③正确；
∵方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2b，
由②可知，当c＞1时，则b＞，
∵c不一定大于1 ∴x1+x2不一定大于3，故④错误；
综上，正确的有②③，共2个，
故选：B．
10、解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，∠ABO＝∠ACB＝45°，
∴∠AOF＝∠BOH＝90°，
∵BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG，
∴∠OAF＝∠OBH，
在△AOF和△BOH中，，
∴△AOF≌△BOH（ASA），
∴OF＝OH，①正确；
∵∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，
∴△AOF∽△BGF，②正确；
∵点E是BC的中点，
∴AB＝BC＝2BE，
∵∠AOB＝∠AGB＝90°，
∴A、B、G、O四点共圆，
∴∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，
∵∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠GOH＝∠AEB，
∴tan∠GOH＝tan∠AEB＝＝2，③错误；
过点O作OM⊥OG，交GH延长线于点M，如图所示：
∵∠BOC＝∠GOM＝90°，
∴∠FOG＝∠HOM，
∵∠OMG+∠OGM＝90°，∠OGF+∠OGM＝90°，
∴∠OMH＝∠OGF，
由①正确得：OF＝OH，
在△OMH和△OGF中，，
∴△OMH≌△OGF（AAS），
∴OG＝OM，FG＝HM，
∴△GOM是等腰直角三角形，
∴GM＝OG，
∵GM＝GH+HM＝GH+FG，
∴FG+GH＝GO，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
14、解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE，
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），
∵BD∥y轴，
∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），
∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，
∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），
∵m≠0，
∴m＝3﹣a，
∴B（3，6﹣a），
∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，
∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，
∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；
15、解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠APB＝120°，
在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，
∴∠C＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠BFE＝120°，
即∠APB＝∠BFE，
∴△APB∽△BFE，
∴＝＝2，
设BP＝x，则AP＝2x，
作BH⊥AD延长线于H，
∵∠BPD＝∠APE＝60°，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝，BH＝，
∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，
在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，
即（x）2+（x）2＝62，
解得x＝或﹣（舍去），
∴AP＝，BP＝，
∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，
故答案为：．
三、计算（共55分）
16、（5分）计算：（1﹣π）0﹣2cos30°﹣|1﹣|﹣（）﹣1．
（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
18、（8分）
（1） 150 人， 60 ；................(2分，1空1分)
（2） 36 °；................(1分)
（3）画树状图如下：
.................(2分)
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，.................(2分，写出关键种数各得1分)
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为＝．.................(1分)
19、（8分）
解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．
由题意，得，......................................................(2分)
解得，..............................(2分)
答：甲两种水果的进价为每千克12元，乙两种水果的进价为每千克20元．
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．
由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，
解得x≥80．......................................................(1分)
设获得的利润为w元，
由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，..................(1分)
∵﹣5＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，.................(1分)
由题意，得﹣35m+1600≥800，
解得m≤，
∴m的最大整数值为22．.................(1分)
20、（9分)【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴BC⊥OD，
又∵OD是圆O的半径，
∴BC是圆O的切线；...............................................................（3分，过程酌情给分）
（2）证明：连接DE，如图2所示：∵BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠ADO＝90°﹣∠EDO，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠OAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD；.........................................................................（3分，过程酌情给分）
（3）解：在Rt△BOD中，sinB＝＝，
设圆O的半径为r，则＝，
解得：r＝，
∴AE＝2r＝，AB＝AE+BE＝10，
在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，sin∠AEF＝sinB＝＝，
∴AF＝，
∵∠B＝∠ADF，∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△ADF，
∴＝，
∴AD2＝AF AB，
∴AD＝＝＝3．...................................................（3分,直接写出答案）
21、解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，.
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；...................................................（2分，没写过程，只给1分）
（2）如图：（共3分）
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图像向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，
∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，.................................................（1分）
∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，...........（1分）
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，...................................................（1分）
（3）当B在C左侧时，过B作BH⊥AC于H，如图：
∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，
∴yA＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，
∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，﹣m2﹣m），
∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，AC∥x轴，
∴xC＝﹣2﹣m，
∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
过B作BH⊥AC于H，
∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m﹣3|，
∴BH＝CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°，
当B在C右侧时，如图：
同理可得△BHC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCH＝135°，
综上所述，∠ACB的度数是45°或135°．.......................(共4分，过程2分，过程酌情给分，答对一个答案1分）
22、（10分）【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴；.........................................................(3分，直接写出答案)
（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；.........................................................(4分，过程酌情给分，只写答案不给分）
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵＝，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．.....................................................(3分，直接写出答案）
