2.3 一元二次方程根的判别式 教案

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2.3一元二次方程根的判别式教案
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课 题 一元二次方程根的判别式 章节 2.3 学科 数学 年级 九
教材分析 这节课运用平方根的性质，将一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）配方后得到进行分析，从而得出利用b -4ac的值可对方程ax +bx+c=0（a≠0）的根的情况进行判断的结论，并由此得到根的判别式的概念及具体方法.在此基础上，学会利用根的判别式判别一元二次方程的根的情况，或根据一元二次方程的根的情况利用判别式确定方程中字母系数的取值（或取值范围）。
核心素养分析 本节课核心素养包括：①理解根据b -4ac的值可以判定方程ax +bx+c=0（a≠0）的根的情况；②了解一元二次方程的判别式的概念，记住判别式；③学会用判别式判别一元二次方程的三种根的情况；④能根据一元二次方程的根的情况利用判别式确定方程中字母系数的取值（或取值范围）。
教学目标 1. 掌握一元二次方程根的判别式. 2. 能用根的判别式判别一元二次方程的根的情况. 3. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数.
教学重点 1. 理解一元二次方程的判别式及一元二次方程的三种根的情况； 2. 能用判别式判别一元二次方程的根的情况.
教学难点 1. 判别一元二次方程的根的情况； 2. 根据一元二次方程的根的情况确定方程中字母系数的取值(范围).
教 学 活 动
一、复习铺垫 1、 解下列方程，想想一元二次方程的根有哪几种情况 (1)x +4x-21=0； (2)x -6x+9=0； (3)x -3x+5=0. 2、 学生解方程后归纳：一元二次方程的根有3种情况：方程有两个不相等的实数根，如方程(1)；方程有两个相等的实数根，如方程(2)；方程没有实数根，如方程(3)。. 二、教学新知 （一）探究 我们在运用公式法求解一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0)时，总是要求b -4ac≥0.这是为什么？ 学生讨论，教师讲解： 将方程ax +bx+c=0(a≠0)配方后得到 由于a≠0 ，所以4a ＞0，因此我们不难发现： （1）当b -4ac＞0时，＞0. 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 ，. 此时，原方程有两个不相等的实数根. (2)当b -4ac=0时，=0, 由于0的平方根是0，所以原方程的根为 . 此时，原方程有两个相等的实数根. (3)当b -4ac＜0时，＜0. 由于负数在实数范围内没有平方根是0，所以原方程没有实数根. 强调：因此，若方程要有实数根，则b -4ac必须为非负数. 说明：关于b -4ac＜0时方程根的情况，我们将在高中阶段学习. 2、 抽象概念，归纳结论 概念：我们把b -4ac叫作一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“ ”，即 =b -4ac. 结论： 综上可知，我们不难发现一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 =b -4ac来判断： 当 ＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 ，. 当 ＞0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当 ＜0时，原方程没有实数根. 三、讲解例题 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x +4x-3=0； (2)4x =12x-9； (3)7y=5(y +1). 分析 先计算判别式Δ的值，再判断根的情况. 解 (1)因为 =b -4ac=4 -4×3×(-3) =16+36=52＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (2)将原方程化为一般形式，得 4x -12x+9=0. （强调：要先将方程化成一般形式，才能确定a，b，c的值.） 因为 =b -4ac=(-12) -4×4×9=144-144=0， 所以，原方程有两个相等的实数根. (3)将原方程化为一般形式，得 5y -7y+5=0. 因为 =b -4ac=(-7) -4×5×5=49-100=-51＜0， 所以，原方程没有实数根. 四、巩固练习 1、 下列方程中没有实数根的是（ ） A. x +8x-1=0 B. 4x -3x+2=0 C. y -8y+16=0 D. 5y -7x-13=0 【答案】B 【解析】四个方程的右边均为0，二次项系数均为正数，其中A，D中常数项为负数，则Δ＞0，它们有两个不相等的实数根；C的左边是完全平方式，则Δ=0，方程有两个相等的实数根；B中Δ＜0，因此没有实数根，故选B. 2、 若关于x的方程x +kx+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜-2 B. k＞2 C. -2＜k＜2 D. k＜-2或k＞2 【答案】D 【解析】原方程左边是一个完全平方式，最适合用直接开平方法求解. 故选A. 3、 若关于x的方程kx +4x+2=0有实数根，则k的取值不可以是（ ） A. -8 B. 2 C. 0 D. 4 【答案】D 【解析】因为方程kx +4x+2=0有实数根，所以，Δ=16-8k≥0,解得k≤2，D符合题意，故选D. 五、课堂总结 提问：一元二次方程根的判别式是什么？如何判定一元二次方程的根？ PPT 判别式：Δ=b -4ac. 当Δ=b -4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=b -4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ=b -4ac＜0时，方程没有实数根. 上述结论，反过来也成立. 六、作业布置及指导 第45页课后练习题： 1、 一元二次方程x -x+1=0的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【提示】先计算判别式 =b -4ac的值，再判别根的情况. 2、 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)x +3x-1=0； (2)x -6x+9=0； (3)2y -3y+4=0. (4)x +5=2x. 解 (1)因为 =b -4ac=3 -4×1×(-1)=9+4=13＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (2) 因为 =b -4ac=(-6) -4×1×9=36-36=0， 所以，原方程有两个相等的实数根. (3)因为 =b -4ac=(-3) -4×2×4=9-32=-23＜0， 所以，原方程没有实数根. (4) 原方程可化为x 2x+5=0， 因为 =b -4ac=(2) -4×1×5=20-20=0， 所以，原方程有两个相等的实数根.
板书设计 2.3 一元二次方程根的判别式 1、 根的判别式：Δ=b -4ac. 2、 根的判定： ①当Δ=b -4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根： ，. ②当Δ=b -4ac=0时，方程有两个相等的实数根： ③当Δ=b -4ac＜0时，方程没有实数根. 3、 上述结论，反过来也成立.
课后反思
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