2.3 一元二次方程根的判别式 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
2.3 一元二次方程根的判别式
湘教版 九年级上
教学目标
1. 掌握一元二次方程根的判别式.
2. 能用根的判别式判别一元二次方程的根的情况.
3. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数.
复习导入
解下列方程，想想一元二次方程的根有哪几种情况
(1)x +4x-21=0； (2)x -6x+9=0；
(3)x -3x+5=0.
一元二次方程的根有3种情况：方程有两个不相等的实数根，如方程(1)；方程有两个相等的实数根，如方程(2)；方程没有实数根，如方程(3)。
新知讲解
我们在运用公式法求解一元二次方程ax +bx+c=0
(a≠0)时，总是要求b -4ac≥0.这是为什么？
将方程ax +bx+c=0(a≠0)配方后得到
新知讲解
由于a≠0 ，所以4a ＞0，因此我们不难发现：
(1)当b -4ac＞0时，
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个不相等的实数根.
新知讲解
(2)当b -4ac=0时，
由于0的平方根是0，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根.
新知讲解
(3)当b -4ac＜0时，
由于负数在实数范围内没有平方根是0，所以原方程没有实数根.
新知讲解
因此，若方程要有实数根，则b -4ac必须为非负数.
说明：关于b -4ac＜0时方程根的情况，我们将在高中阶段学习.
新知讲解
我们把b -4ac叫作一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“ ”，即 =b -4ac.
综上可知，我们不难发现一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 =b -4ac来判断：
新知讲解
当 ＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当 ＞0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当 ＜0时，原方程没有实数根.
例题讲解
例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1)3x +4x-3=0； (2)4x =12x-9；
(3)7y=5(y +1).
解 (1)因为 =b -4ac=4 -4×3×(-3)
=16+36=52＞0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
新知讲解
(2)4x =12x-9.
将原方程化为一般形式，得
4x -12x+9=0.
因为 =b -4ac=(-12) -4×4×9
=144-144=0，
所以，原方程有两个相等的实数根.
要先将方程化成一般形式，才能确定a，b，c的值.
新知讲解
(3)7y=5(y +1).
将原方程化为一般形式，得
5y -7y+5=0.
因为 =b -4ac=(-7) -4×5×5=49-100=-51＜0，
所以，原方程没有实数根.
巩固练习
1. 下列方程中没有实数根的是（ ）
A. x +8x-1=0 B. 4x -3x+2=0
C. y -8y+16=0 D. 5x -7x-13=0
B
解析 四个方程的右边均为0，二次项系数均为正数，其中A，D中常数项为负数，则Δ＞0，它们有两个不相等的实数根；C的左边是完全平方式，则Δ=0，方程有两个相等的实数根；B中Δ＜0，因此没有实数根，故选B.
2. 若关于x的方程x +kx+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜-2 B. k＞2
C. -2＜k＜2 D. k＜-2，或k＞2
D
巩固练习
3. 若关于x的方程kx +4x+2=0有实数根，则k的取值不可以是（ ）
A. -8 B. 2
C. 0 D. 4
D
解析 因为方程kx +4x+2=0有实数根，所以，Δ=16-8k≥0,解得k≤2，D符合题意，故选D.
巩固练习
课堂总结
一元二次方程根的判别式是什么？如何判定一元二次方程的根？
判别式：Δ=b -4ac.
当Δ=b -4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=b -4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ=b -4ac＜0时，方程没有实数根.
上述结论，反过来也成立.
作业布置
1. 一元二次方程x -x+1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
D
提示：先计算判别式 =b -4ac的值，再判别根的情况.
作业指导
2. 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1)x +3x-1=0； (2)x -6x+9=0；
(3)2y -3y+4=0. (4)x +5=.
解 (1)因为 =b -4ac=3 -4×1×(-1)=9+4=13＞0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
(2)因为 =b -4ac=(-6) -4×1×9=36-36=0，
所以，原方程有两个相等的实数根.
作业指导
(3)2y -3y+4=0. (4)x +5=.
(3)因为 =b -4ac=(-3) -4×2×4=9-32=-23＜0，
所以，原方程没有实数根.
(4)原方程可化为x +5=0，
因为 =b -4ac=-4×1×5=20-20=0，
所以，原方程有两个相等的实数根
.
作业指导
3. (补充题)求证：当m为任意实数时，关于x的方程
(m+1)x -(m-2)x-2=0.
总有两个不相等的实数根.
证明 ∵ =b -4ac=(m-2) -4×(m+1)×(-2)
=m -4m+4+8m+8
=m +4m+4+8
=(m+2) +8＞0.
∴ 当m为任意实数时，原方程总有两个不相等的实数根.
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