2.4 一元二次方程根与系数的关系 教案

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2.4一元二次方程根与系数的关系教案
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课 题 一元二次方程根与系数的关系 章节 2.4 学科 数学 年级 九
教材分析 这节课通过探索当Δ≥0一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）根与系数a，b，c的关系,得出两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，即，.从而利用这个关系（称为韦达定理）解决有关问题.
核心素养分析 本节课核心素养包括：①掌握一元二次方程根与系数的关系：，；②利用上述根与系数的关系求与一元二次方程的根有关的代数式的值；③已知一根，利用根与系数的关系求另一根及方程中的字母系数的值.
教学目标 1. 通过探究、推导掌握一元二次方程根与系数的关系. 2. 能运用根与系数的关系求两根之和或积的相关问题. 3. 能运用根与系数的关系求一元二次方程的系数. 4. 通过练习，提高学生的知识应用能力和计算能力.
教学重点 1. 理解掌握一元二次方程根与系数的关系； 2. 运用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题.
教学难点 1. 推导一元二次方程根与系数的关系； 2. 运用根与系数的关系解决相关问题，特别是求系数问题.
教 学 活 动
一、复习铺垫 （一）师生互动 1、 当b -4ac＞0时，一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根是什么？ PPT: . 2、 当b -4ac＝0时，一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根是什么？ PPT: 3、 若x ，x 是一元二次方程ax +bx+c=0的两个根，那么多项式ax +bx+c可以因式分解为ax +bx+c= a(x-x )(x-x ) . 4、 在b -4ac≥0的条件下，你发现一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根与系数有什么关系？ 生：一元二次方程ax +bx+c=0的根由它的系数a，b，c决定. （二）导入新课： 一元二次方程ax +bx+c=0的根与系数还有什么关系呢？ 二、教学新知 （一）探究：二次项系数为1的一元二次方程ax +bx+c=0的根与系数的关系 (1)先解方程，再填表： 方 程x x x +x x x x 2x=002x +3x 4=0x -5x-6=0
由上表猜测：若方程x +bx+c=0的两个根为x ，x ，则 x +x = ， x ·x = . (2)方程x -5x+6=0的两个根为x = ， x = . 根据“温故知新”的第3题或2.2节例8下面的一段话，得 x -5x+6=(x- )(x- ). 1、 学生计算方程x 2x=0的x +x ，x x 的值，并填在表格里. 2、 学生用公式法或因式分解法分别求出x +3x 4=0、x -5x-6=0的两个根，并计算x +x ，x x 的值，填在表格里，如下： 方 程x x x +x x x x 2x=00220x +3x 4=01-4-3-4x -5x-6=0-165-6
3、 学生观察，猜测x +bx+c=0的两个根x ，x 与方程系数的关系，完成填空. x +x = -b ， x ·x = c . 4、 学生合作完成第(2)题，教师适时指导. 方程x -5x+6=0的两个根为x = 2 ， x = 3 . x -5x+6=(x- 2 )(x- 3 ). （二）探究：一般形式的一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0)的根与系数的关系 动脑筋：对于方程ax +bx+c=0 (a≠0)，当 ≥0时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？ 1、 师生互动，推导结论 当 ≥0时，设ax +bx+c=0 (a≠0)的两个根为x ，x ，则 ax +bx+c=a(x-x )(x-x ) =a[(x -(x +x )x+x x ]. 又 ax +bx+c=a 所以 a= =a[(x -(x +x )x+x x ]. 根据多项式相等的规定：两个多项式分别经过合并同类项后，如果它们的对应项系数相等，那么称这两个多项式相等.可得： ， 指出：这个关系通常被称为韦达定理. 2、 归纳结论 (1)PPT：， (2)讲解： 这表明，当 ≥0时一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：· 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次 项系数的比. 三、讲解例题 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x ，x 的和与积: (1)2x -3x+1=0； (2)x -3x+2=10； (3)7x -5=x+8. 解 (1)， (2)将原方程化为一般形式，得 x -3x-8=0. 所以，， （强调：要先将方程化成一般形式，才能准确地求出两根之和与两根之积.） (3)将原方程化为一般形式，得 7x -x-13=0. 所以，， 例2 已知关于x的方程x +3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值. 分析 由“两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数”，可知方程x +3x+q=0 两根之和是-3，又已知x +3x+q=0的一个根为-3，则可求出另一根；根据“两根之积等于常数项与二次项系数的比”，即可求出q的值. 解 设x +3x+q=0的一个根为x ，则 (-3)+ x =-3. 解得 x =0. 由根与系数的关系得 q=(-3)×0=0. 因此，另一个方程的根是0，q的值为0. 讨论：还可用其他方法求出q的值吗？ 生：我们还可以把方程的一个根-3代入方程x +3x+q=0，也能求出q的值. 四、巩固练习 1、 已知m，n是方程 x +8x-3=0的两个实数根，则下列选项中错误的一项是（ ） A. m+n=8 B. mn=-3 C. m +8m-3=0 D. n +8n-3=0 【答案】A 【解析】因为m，n是方程 x +8x-3=0的两个实数根，所以C，D正确；B符合一元二次方程根与系数的关系，而A不符合，因此A错误，故选A. 2、 设x ，x 是方程x +4x+2=0的两个根，则下列式子中不成立的是（ ） A. x +x =12 B. (x -x ) =8 C. D. (x -2)(x -2)=-2 【答案】D 【解析】利用乘法公式，分式的加法、多项式的乘法法则等将上述各式变形为只含x +x ，x x 的未知项，再将x +x ，x x 的值代入变形后的式子中计算，即可找到不成立的选项. 3、 若关于x的方程kx +3x+2=0的一个根是2，则另一个根和k的值分别是（ ） A. -1和1 B. 1和-1 C. 1和1 D. 1和-2 【答案】C 【解析】根据根与系数的关系，列出相关式子，即可求得另一个根和k的值. 五、课堂总结 1、 当 ≥0时，一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0)的两个根x ，x 与这个方程的系数a，b，c有什么关系？ PPT：， 2、 当a=1且 ≥0时，一元二次方程x +bx+c=0 的两个根x ，x 与这个方程的系数b，c有什么关系？ PPT：x +x =-b，x x =c. 六、作业布置及指导 第48页课后练习第1、2题： 1、 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积: (1) x -6x+1=0； (2) 2x -x=6. 【答案】(1) x +x =6，x x =1. (2) 整理，得2x -x-6=0，则 x +x =，x x =-3. 2、 已知方程3x -19x+m=0的一个根为1，求它的另一个根及m的值. 解 (设3x -19x+m=0的一个根为x ，则 1+x =. 解得 x =. 由根与系数的关系得 m=1×=. 习题1.4第4题： 4、 已知关于x的方程 x -6x+k+1=0的两个实数根为x ，x ， 且x +x =24，求k的值. 解 ∵ x +x =6， x x =k+1， ∴ x +x =x +x +2x x -2x x =(x +x ) -2x x =6 -2(k+1) =-2k+34. 又∵ x +x =24， ∴-2k+34=24. ∴k=5.
板书设计 2.4 一元二次方程根与系数的关系 1、 当 ≥0时，对于一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0)的两个根x ，x ，有 ， 2、 当 ≥0时，对于一元二次方程x +bx+c=0的两个根x ，x ，有 x +x =-b，x x =c. 3、 根据一元二次方程根与系数的关系，可以直接求两根之和与积，也可以求与两根之和或积有关的代数式的值，还可以求一元二次方程的系数.
课后反思
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