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九年级数学上册《21.3一元二次方程的应用》导学案
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程。
重点：审清题意，找出等量关系，列出一元二次方程
难点：用含所设未知数的代数式表示出其他量；在利润问题中要学会表示出每件商品的利润和销售量
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数
（3）形积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．
③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程
6．答： 写出答句
题型一：比赛——送礼问题
公式：（单循环，握手问题）/
1、（2021 河西区二模）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为
A． B．
C． D．
2、（2021 香坊区二模）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生 名．
A．39 B．40 C．41 D．42
题型二：增长率问题
1、（2021 南岗区校级二模）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为，则下列方程中正确的是
A． B．
C． D．
2、（2021 越秀区校级模拟）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户，设全市用户数年平均增长率为，根据题意可列方程是
A． B．
C． D．
题型三：面积问题
1、（2021 莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为 ．
2、（2021 历下区二模）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为 平方米．
题型四：利润问题
公式：
1、（2021 上城区一模）某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
2、（2020秋 鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了元，则可列方程为 ．
1、（2021 南沙区一模）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是
A． B．
C． D．
2、（2021 河南模拟）某市为了落实脱贫攻坚战中“两不愁、三保障”的住房保障工作，2018年投入4.5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入6.2亿元资金用于保障性住房建设．设该市这两年投入资金的年平均增长率为，则可列方程为
A． B．
C． D．
3、（2021春 余杭区期中）某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为，可以列出方程为
A． B．
C． D．
4、（2020秋 萍乡期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有 人．
5、（2021春 长兴县月考）2021年元旦，某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．设全班有名同学，则可列方程为 ．
6、（2020秋 开江县期末）如图，有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程： ．
7、（2020秋 秦淮区期末）某商店将进价为30元件的文化衫以50元件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为元件，可列方程为 （方程不需化简）
8、（2021春 东城区校级期末）为了响应政府的“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某地某商城自行车的销量自2019年起逐月增加，据统计，2019年该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售自行车100辆．
（1）求1月到3月自行车销量的月平均增长率；
（2）若每辆自行车可盈利50元，问该商城在2019年的第一季度的利润为多少元？
9、（2021春 栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边为多长时，花圃的面积为．
10、（2020秋 咸阳期末）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件。已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？
本节课所学知识点
错题及错误原因
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九年级数学上册《21.3一元二次方程的应用》导学案
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程。
重点：审清题意，找出等量关系，列出一元二次方程
难点：用含所设未知数的代数式表示出其他量；在利润问题中要学会表示出每件商品的利润和销售量
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数
（3）形积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．
③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程
6．答： 写出答句
题型一：比赛——送礼问题
公式：（单循环，握手问题）/
1、（2021 河西区二模）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设应邀请个球队参加比赛，
根据题意得：．故选：．
2、（2021 香坊区二模）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生 名．
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】C
【解答】解：设全班共有学生名，则每名学生需写份毕业留言，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
题型二：增长率问题
1、（2021 南岗区校级二模）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为，则下列方程中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设平均每次提价的百分率为，
第一次提价后的价格为，
连续两次提价后售价在第一次提价后的价格的基础上提高，为，
则列出的方程是．
故选：．
2、（2021 越秀区校级模拟）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户，设全市用户数年平均增长率为，根据题意可列方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设全市用户数年平均增长率为，则2020年底有用户万户，2021年底有用户万户，依题意得：．故选：．
题型三：面积问题
1、（2021 莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为 ．
【答案】2
【解答】解：如图
设修建的小路宽应为米，
则新的草坪面积等于矩形的面积，
即得到方程：，
整理得：，解得或．
但不合题意，舍去，所以修建的小路宽应为2米．故答案为：2．
2、（2021 历下区二模）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为 平方米．
【答案】120
【解答】解：设矩形铁皮的宽为米，则长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
（平方米）．
故答案为：120．
题型四：利润问题
公式：
1、（2021 上城区一模）某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价
A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元
【答案】D
【解答】解：设每条连衣裙降价元，则每天售出条，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答：每条连衣裙应降价10元或20元．
故选：．
2、（2020秋 鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了元，则可列方程为 ．
【答案】
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
1、（2021 南沙区一模）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：依题意得：
故选：．
2、（2021 河南模拟）某市为了落实脱贫攻坚战中“两不愁、三保障”的住房保障工作，2018年投入4.5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入6.2亿元资金用于保障性住房建设．设该市这两年投入资金的年平均增长率为，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设年平均增长率为，
依题意得：．
故选：．
3、（2021春 余杭区期中）某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为，可以列出方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为，
同理可得三月份生产的零件个数为，
那么．
即：，
故选：．
4、（2020秋 萍乡期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有 人．
【答案】10
【解答】解：设这个微信群共有人，则每人需发个红包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
5、（2021春 长兴县月考）2021年元旦，某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．设全班有名同学，则可列方程为 ．
【答案】
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
6、（2020秋 开江县期末）如图，有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程： ．
【答案】
【解答】解：设人行通道的宽度为，则两块绿地可合成长，宽的矩形，
依题意得：．
故答案为：．
7、（2020秋 秦淮区期末）某商店将进价为30元件的文化衫以50元件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为元件，可列方程为 （方程不需化简）
【答案】
【解答】解：设销售单价定为元件，由题意可得：
，
故答案为：．
8、（2021春 东城区校级期末）为了响应政府的“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某地某商城自行车的销量自2019年起逐月增加，据统计，2019年该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售自行车100辆．
（1）求1月到3月自行车销量的月平均增长率；
（2）若每辆自行车可盈利50元，问该商城在2019年的第一季度的利润为多少元？
【答案】（1）25%；（2）12200元
【解答】解：（1）设1月到3月自行车销量的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为．
（2）（辆，
（元．
答：该商城在2019年的第一季度的利润为12200元。
9、（2021春 栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化．利用长度为的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉．则花圃的一边为多长时，花圃的面积为．
【答案】4m或12m
【解答】解：设，则平行于墙的一边长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：花圃的一边长为或时，花圃的面积为．
10、（2020秋 咸阳期末）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件。已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？
【答案】250
【解答】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，月销售量为件，依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去）．
答：售价应定为250元。
本节课所学知识点
错题及错误原因
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