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九年级数学上册《第二十一章 一元二次方程》单元检测卷
一、选择题
1.(2020八下·鄞州期末)把一元二次方程(x+3)2=x(3x﹣1)化成一般形式,正确的是( )
A.2x2﹣7x﹣9=0 B.2x2﹣5x﹣9=0
C.4x2+7x+9=0 D.2x2﹣6x﹣10=0
【答案】A
【解析】解:由原方程,得
x2+6x+9=3x2﹣x,
即2x2﹣7x﹣9=0,
2.(2021九上·覃塘期中)若x=﹣1是一元二次方程x2+(a﹣1)x+2b=0的根,则代数式3a﹣6b的值是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.6
【答案】D
【解析】解:将 代入方程得: ,
即: ,
∴ ;
3.(2021九上·镇原期中)利用配方法解方程 ,经过配方,得到( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:∵x2+4x-5=0,
∴x2+4x=5,
∴x2+4x +4=9,
∴ .
4.(2020九上·孝感月考)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程 ﹣6x+k+2=0的两个根,则k的值等于( )
A.7 B.7或6 C.6或﹣7 D.6
【答案】B
【解析】解:当m=4或n=4时,即x=4,
∴方程为42﹣6×4+k+2=0,
解得:k=6;
当m=n时, ﹣6x+k+2=0
∵ , , ,
∴ ,
解得: ,
综上所述,k的值等于6或7,
5.(2020九上·三水期末)用配方法解方程x2+10x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+10)2=9 B.(x+10)2=16
C.(x+5)2=9 D.(x+5)2=16
【答案】D
【解析】解:∵x2+10x+9=0,
∴x2+10x=-9,
∴x2+10x+25=16,
∴(x+5)2=16.
6.(2020·鹿城模拟)若关于x的方程 有实数根,则a满足( )
A. B. 且
C. 且 D.
【答案】A
【解析】解:∵ 关于x的方程 有实数根
∴b2-4ac≥0即16-4(a-5)×(-1)≥0
解之:a≥1.
当a-5=0时即a=5时,此方程有一个实数根,
∴a的取值范围是a≥1.
7.(2021·武汉)已知 , 是方程 的两根,则代数式 的值是( )
A.-25 B.-24 C.35 D.36
【答案】D
【解析】解:∵已知 , 是方程 的两根
∴ , ,a+b=3
∴ =0+5+30+1=36.
8.(2021九上·德阳月考)若关于 的一元二次方程 有一根为0,则 的值为( )
A.2 B.-1 C.2或-1 D.1或-1
【答案】A
【解析】解:由题意可得, ,解得
将 代入得:
解得 或 (舍去)
9.(2022·雅安模拟)已知方程 的两根分别为 、 ,则 的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解:∵6x2 7x 3=0的两根分别为x1、x2,
∴ , ,
∴ ,
10.(2022八下·杭州月考)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=1035 B.x(x-1)=1035
C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035
【答案】B
【解析】解:设全班有x名同学,
∴每名同学要送出(x-1)张,
∵送照片是同学之间互送,共送1035张,
则x(x- 1)= 1035.
11.一元二次方程 ,其中 ,给出以下四个结论:(1)若方程 有两个不相等的实数根,则方程 也有两个不相等的实数根;(2)若方程 的两根符号相同,则方程N的两根符号也相同;(3)若m是方程M的一个根,则 是方程N的一个根;(4)若方程 和方程 有一个相同的根,则这个根必是 .其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解: (1)∵方程 有两个不相等的实数根,∴△=b2-4ac>0,∴方程的△=b2-4ac>0,∴
方程 有两个不相等的实数根,正确;
(2)∵方程 的两根符号相同,∴x1x2=>0,∴方程的中两根之积ac>0,则两根同号,正确;
(3)若 是方程 的一个根,则am2 +bm+c=0,而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0,则am2+bm+c=0,正确;
(4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a,则(a-c)x2=(a-c),解得x=±1,不正确.
综上,正确的有3个.
12.(2022八下·杭州月考)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.②③④
【答案】A
【解析】解:①∵当x=1时,a+b+c=0,
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,
∴b2﹣4ac≥0成立,
∴①正确,符合题意;
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根,
∴﹣4ac>0,
∴b2﹣4ac>0,
∴ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实根,
∴②正确,符合题意;
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根,
∴ac2+bc+c=0,
∴当c≠0时,ac+b+1=0,
当c=0时,ac+b+1不一定等于0,
∴③不一定正确,不符合题意;
④∵(2ax0+b)2=4a2x02+4abx0+b2,
∴b2﹣4ac=4a2x02+4abx0+b2,
∵a≠0,
∴ax02+bx0+c=0,
∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,
∴ax02+bx0+c=0成立,
∴④正确,符合题意,
综上所述,说法正确的有①②④.
二、填空题
13.(2021·梧州)关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
【答案】m< 且m≠0
【解析】解: 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,
∴m≠0且Δ=(-2) -4m>0
由Δ=(-2) -4m>0
可得 4m<4
∴m<1
综上:m<1且m≠0
14.(2020九上·马山月考)若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根,则k的取值范围是________
【答案】
【解析】解:∵ 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根,
∴
解之:k≤1且k≠0.
15.(2022八下·萧山期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法正确的有 .
①若b=2 ,则此方程一定有两个相等的实数根;
②若此方程有两个不等的实数根,则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根;
③若a﹣b+c=0,则此方程一定有两个不等的实数根;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2﹣4ac=(2ax0+b)2;
【答案】①②④
【解析】解:①∵△=b2-4ac=(2)2-4ac=0,
∴方程一定有两个相等的实数根,故①正确;
②∵一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,
∴△=b2-4ac>0,
∴△=(-b)2-4ac=b2-4ac>0,
∴方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根,故②正确;
③若a-b+c=0,则此方程一定有一个实数根为x=-1,故③错误;
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,
∴ax02+bx0+c=0,
∴ax02=-(bx0+c),
∴(2ax0+b)2=4a2x02+4abx0+b2=4a(ax02)+4abx0+b2,
=-4a(bx0+c)+4abx0+b2=b2-4ac, 故④正确;
故正确的有①②④,
16.(2021九上·大石桥期末)已知,那么的值是 .
【答案】-5
【解析】解:∵,
∴
17.(2021·大庆模拟)若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ,则此方程的根的情况:①必有两个不相等的实数根;②当 时,有两个相等的实数根;③当a,c同号时,方程有两个正的实数根;④当a,b同号时,方程有两个异号实数根.其中结论正确的个数是 个.
【答案】3
【解析】解:因为a+b+c=0,所以b=﹣a﹣c,
△=b2﹣4ac=(﹣a﹣c)2-4ac=(a﹣c)2≥0,方程一定有实数根,
当a=c时,△=0,有两个相等的实数根,故①不符合题意,②符合题意;
当a、c同号时,根据一元二次方程根与系数的关系,两根的积是 >0,则方程有两个同号的实数根,又∵b=﹣a﹣c,显然a、b异号,两根之和为﹣ >0.则两根一定都是正数,故③符合题意.
当a,b同号时,∵b=﹣a﹣c,显然a与a+c异号,故a、c异号,两根的积是 <0,方程有两个异号实数根.故④符合题意.
三、解答题
18.若关于x的一元二次方程 有实数根,求k的取值范围.
【答案】解:根据题意得
k≠0且△=( 6)2 4k×9≥0,
解得:k≤1且k≠0.
∴k的取值范围为k≤1且k≠0
19.(2021九上·孝南月考)参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛,共要比赛21场,共有多少个队参加足球联赛?
【答案】解:设共有x个队参加比赛,则每队要参加(x﹣1)场比赛,
根据题意得: =21,
整理得:x2﹣x﹣42=0,
解得:x1=7,x2=﹣6(不合题意,舍去).
答:共有7个队参加足球联赛.
20.(2021九上·新津月考)当k为何值时,一元二次方程(k-1)x2-6x+9=0总有实数根.
【答案】解:根据判别式的意义得到=(-6)2﹣4×(k-1)×9≥0,且k-1≠0,
解得k≤2且k≠1.
∴当k≤2且k≠1时,一元二次方程总有实数根
21.(2021九上·宜州期末)已知 是关于x的一元二次方程 的一个根,求直线 经过哪些象限.
【答案】解:把 代入方程 ,
得: ,
∴ ,
由题意知: ,
∴ ,
∴ .
∴直线 经过的象限是第二、三、四象限.
22.(2021八下·雨花期末)如果m,n是一元二次方程 的两个不相等的实数根,求代数式 的值.
【答案】解:∵m, n是一元二次方程 两个不相等的实数根
∴
∴
∴2n -mn+2m的值为11
23.(2020七上·景德镇期末)在实数范围内只有一个实数是关于x的方程 的根,求实数k的所有可能值.
【答案】解:
两边同乘以 得:
整理得:
由题意分以下2种情况分析:(1)当 时,原方程可变为:
解得:
经检验, 是原分式方程的唯一实数根,符合题意;(2)当 时,则关于x的方程 只有一个实数根
则方程的根的判别式
解得:
将 代入方程得:
解得:
经检验, 是原分式方程的唯一实数根,符合题意
综上,实数k的所有可能取值为1和 .
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九年级数学上册《第二十一章 一元二次方程》单元检测卷
一、选择题
1.(2020八下·鄞州期末)把一元二次方程(x+3)2=x(3x﹣1)化成一般形式,正确的是( )
A.2x2﹣7x﹣9=0 B.2x2﹣5x﹣9=0
C.4x2+7x+9=0 D.2x2﹣6x﹣10=0
2.(2021九上·覃塘期中)若x=﹣1是一元二次方程x2+(a﹣1)x+2b=0的根,则代数式3a﹣6b的值是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.6
3.(2021九上·镇原期中)利用配方法解方程 ,经过配方,得到( )
A. B. C. D.
4.(2020九上·孝感月考)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程 ﹣6x+k+2=0的两个根,则k的值等于( )
A.7 B.7或6 C.6或﹣7 D.6
5.(2020九上·三水期末)用配方法解方程x2+10x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+10)2=9 B.(x+10)2=16
C.(x+5)2=9 D.(x+5)2=16
6.(2020·鹿城模拟)若关于x的方程 有实数根,则a满足( )
A. B. 且
C. 且 D.
7.(2021·武汉)已知 , 是方程 的两根,则代数式 的值是( )
A.-25 B.-24 C.35 D.36
8.(2021九上·德阳月考)若关于 的一元二次方程 有一根为0,则 的值为( )
A.2 B.-1 C.2或-1 D.1或-1
9.(2022·雅安模拟)已知方程 的两根分别为 、 ,则 的值为( ).
A. B. C. D.
10.(2022八下·杭州月考)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=1035 B.x(x-1)=1035
C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035
11.一元二次方程 ,其中 ,给出以下四个结论:(1)若方程 有两个不相等的实数根,则方程 也有两个不相等的实数根;(2)若方程 的两根符号相同,则方程N的两根符号也相同;(3)若m是方程M的一个根,则 是方程N的一个根;(4)若方程 和方程 有一个相同的根,则这个根必是 .其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2022八下·杭州月考)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.②③④
二、填空题
13.(2021·梧州)关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
14.(2020九上·马山月考)若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根,则k的取值范围是________
15.(2022八下·萧山期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法正确的有 .
①若b=2 ,则此方程一定有两个相等的实数根;
②若此方程有两个不等的实数根,则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根;
③若a﹣b+c=0,则此方程一定有两个不等的实数根;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2﹣4ac=(2ax0+b)2;
16.(2021九上·大石桥期末)已知,那么的值是 .
17.(2021·大庆模拟)若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ,则此方程的根的情况:①必有两个不相等的实数根;②当 时,有两个相等的实数根;③当a,c同号时,方程有两个正的实数根;④当a,b同号时,方程有两个异号实数根.其中结论正确的个数是 个.
三、解答题
18.若关于x的一元二次方程 有实数根,求k的取值范围.
19.(2021九上·孝南月考)参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛,共要比赛21场,共有多少个队参加足球联赛?
20.(2021九上·新津月考)当k为何值时,一元二次方程(k-1)x2-6x+9=0总有实数根.
21.(2021九上·宜州期末)已知 是关于x的一元二次方程 的一个根,求直线 经过哪些象限.
22.(2021八下·雨花期末)如果m,n是一元二次方程 的两个不相等的实数根,求代数式 的值.
23.(2020七上·景德镇期末)在实数范围内只有一个实数是关于x的方程 的根,求实数k的所有可能值.
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