22.3 实际问题与二次函数-----图形面积问题 同步练习（Word版，含答案）

22.3 实际问题与二次函数-----图形面积问题
一、单选题
1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40－x） B．y＝x（18－x） C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x）
2．已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知抛物线与轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当时，y随的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．不能确定
7．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
8．如图，在矩形中，，点E，F分别是，上的点，且满足．分别以，为边向矩形内部构造正方形和正方形，记阴影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．15
二、填空题
9．如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
10．已知直角三角型两条直角边的和等于8，两条直角边各为______时，三角形的面积最大．
11．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为的正方形，则阴影部分面积的最小值为________．
12．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝﹣x2+8（单位：米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，则脚手架高DE为___米．
13．用长度为16m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为______．
14．已知矩形的周长为18cm，绕它的一边旋转成一个圆柱，则旋转成的圆柱的最大侧面积为 m2．
15．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上．点从点出发，以的速度向左运动，运动到点时停止运动，则重叠部分（阴影）的面积与时间之间的函数关系式为___________________．
16．如图，中，，，等边三角形的顶点D，E，F分别在直角三角形的三边上，则长的最小值是____．
三、解答题
17．矩形的长和宽分别是4cm， 3cm ，如果将长和宽都增加x cm ，那么面积增加ycm2
（1）求y与x之间的关系式．
（2）求当边长增加多少时，面积增加8 cm2 ．
18．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
19．如图，空地上有一段旧墙的长为20米，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为100米．
（1）矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙的长；
（2）请你设计一个方案，使得所围成的矩形菜园的面积最大，并求面积的最大值．
20．某社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为28m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？
21．某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健
身活动区，设花坛的长为，健身活动区域的面积为．
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值
22．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求隔离区面积的最大值．
23．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
24．如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．C
6．C
7．A
8．A
9．32
10．4、4
11．7
12．6
13．
14．π
15．
16．
17．（1）由题意可得：（4+x）（3+x）-3×4=y， 化简得：y=x2+7x；
（2）把y=8代入解析式y=x2+7x中得：x2+7x-8=0，
解之得：x1=1，x2=-8（舍去）．
∴当边长增加1cm时，面积增加8cm2
18．(1)（36-3x）
(2)8
(3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米
19．(1)利用旧墙的长为10米
(2)当时，
20．某社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为28m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？
【解答】解：（1）∵AB＝xm，则BC＝（50﹣x）m，
∴x（50﹣x）＝600，
解得：x1＝20，x2＝30，
当x＝20时，50﹣20＝30＞20，
当x＝30时，50﹣30＝20＜30（舍去），
答：x的值为20；
（2）∵AB＝xm，BC＝（50﹣x）m，
∴S＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，
∵在O处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是28m和10m，
∵50﹣28＝22，
∴10≤x≤22，
∵a＝﹣1＜0，在对称轴左边，S随x的增大而增大，
∴当x＝22时，S取到最大值为616，
答：矩形面积S的最大值为616m2．
21．(1)；
(2)活动区域面积S的最大值为
22．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求隔离区面积的最大值．
【解答】解：（1）垂直于墙的一边为xm，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，
∴S＝x（24﹣3x），化简得S＝﹣3x2+24x，
根据题意，得不等式组，
解得：≤x＜8，
∴S关于x的函数解析式S＝﹣3x2+24x，x的取值范围：≤x＜8；
（2）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝4，
∴当≤x＜8时，S随x的增大而减小，
当x＝时，S的值最大，最大值＝﹣3×（）2+24×＝46，
答：隔离区面积最大值为46m2．
23．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
【解答】解：（1）设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米．
依题意，得x （8﹣x+1）＝10，
解得x1＝5，x2＝4．
当x＝5时，5＞4.5（舍去），
当x＝4时，（8﹣x+1）＝2.5（米）＜4.5米．
∴若面积为10平方米，隔离区的长为4米，宽为2.5米．
（2）隔离区有最大面积，理由如下：
由（1）知，隔离区的面积为x （8﹣x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米．
24．如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
【解答】解：（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，
则（40﹣2x）2＝900，
即40﹣2x＝±30，
解得x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5；
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（2）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4（40﹣2x）x，
即y＝﹣8x2+160x，
y＝﹣8（x﹣10）2+800，
∵﹣8＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝10时，y最大＝800；
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2．