2022--2023学年中考数学专题训练——相似三角形的判定和性质（Word版，含解析）

中考专题训练——相似三角形的判定和性质
1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．
（1）求证：∠CFG＝∠ABE．
（2）若BE＝4，，求FM的长．
2．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．
（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．
（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．
4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG CF，∠AED＝∠CFD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA AB＝AD MD．
5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．
（1）求证：EF＝DE﹣BF；
（2）连接BE，若BF2＝EF DE，求证：∠1＝∠2．
6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
（1）求证：DE∥CF；
（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM FC，求证：DF∥AC．
7．如图，△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．
（3）在（2）的条件下，cosC＝　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．
9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
（1）求证：△AEF∽△DAC；
（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD DC．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．
（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；
（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．
12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．
（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．
（2）求AM：MN：NF的值．
13．问题背景
如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．
变式迁移
如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．
拓展应用
如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n＞1，直接写出的值．
14．问题提出
（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为 　 　；
问题解决
（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．
15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．
16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．
（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．
①求证：△BDF∽△CBA；
②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为 　 　．
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；
（3）若，求的值．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．
（1）求证：∠BEF＝45°；
（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB BM；
（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝　 　（直接写答案）．
19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．
（1）求证：△ABH≌△EAF；
（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．
20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．
（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．
（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．
参考答案与试题解析
1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．
（1）求证：∠CFG＝∠ABE．
（2）若BE＝4，，求FM的长．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，从而可得∠CAB＝∠DCA，根据矩形的性质可得BE∥FG，从而可得∠BEM＝∠FME，然后利用三角形的外角可得∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，即可解答；
（2）根据矩形的性质可得EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，再利用（1）的结论在Rt△FGC中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出CG，CF的长，根据菱形的性质可得AD∥BC，AD＝DC，从而可得AD∥EF，∠DAC＝∠DCA，进而可得∠FEC＝∠DCA，然后利用等角对等边可得FE＝FC＝5，最后证明8字模型相似三角形△EFM∽△CGM，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵四边形BGFE是矩形，
∴BE∥FG，
∴∠BEM＝∠FME，
∵∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，
∴∠CFG＝∠ABE；
（2）解：∵四边形BGFE是矩形，
∴EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，
∴∠FGC＝180°﹣∠FGB＝90°，
∵，∠CFG＝∠ABE，
∴tan∠CFG＝，
∴CG＝FG tan∠CFG＝4×＝3，
∴FC＝＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝DC，
∴AD∥EF，
∴∠DAC＝∠FEC，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠FEC＝∠DCA，
∴FE＝FC＝5，
∵∠EFG＝∠FGC＝90°，∠EMF＝∠CMG，
∴△EFM∽△CGM，
∴＝，
∴＝，
∴FM＝，
∴FM的长为．
2．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴＝＝，
∴EC＝2AE＝8，
解法一：∴＝＝＝4．
解法二：∴＝（）2＝（）2＝4．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．
（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．
（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．
【分析】（1）证明∠EDF＝∠DHC，再结合90°角可以证明△DEF∽△HCD；
（2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于a和b的等式即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，
∴∠HCD＝90°，∠CEF＝∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠HCD＝90°，
∴∠HDC+∠DHC＝90°，
又∵DH⊥DF，
∴∠HDF＝90°，
∴∠HDC+∠EDF＝90°，
∴∠EDF＝∠DHC，
∴△DEF∽△HCD．
（2）解：∵点H为BC的中点，
∴HC＝，
∵CD＝a，CE＝EF＝b，∴DE＝a﹣b，
由（1）可知△DEF∽△HCD，
∴，
∴，
∴，
即a与b满足的关系式为a＝．
4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG CF，∠AED＝∠CFD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA AB＝AD MD．
【分析】（1）根据已知可得＝，从而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性质可得∠CDG＝∠CFD，从而可得∠CDG＝∠AED，进而可得AB∥CD，最后证明四边形ABCD是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠CFD＝∠M，从而可得∠AED＝∠M，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠CDM，从而可证△AED∽△DMC，进而利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵CD2＝CG CF，
∴＝，
∵∠DCG＝∠DCF，
∴△CDG∽△CFD，
∴∠CDG＝∠CFD，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠CDG＝∠AED，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD；
（2）如图：
∵CF＝CM，
∴∠CFD＝∠M，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠AED＝∠M，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∴△AED∽△DMC，
∴＝，
∴AE DC＝AD DM，
∵AB＝DC，
∴EA AB＝AD MD．
5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．
（1）求证：EF＝DE﹣BF；
（2）连接BE，若BF2＝EF DE，求证：∠1＝∠2．
【分析】（1）利用正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，从而可得∠BAF+∠DAE＝90°，根据垂直定义可得∠AED＝∠F＝90°，从而可得∠BAF+∠ABF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠DAE＝∠ABF，从而可证△ABF≌△DAE，D进而可得DE＝AF，AE＝BF，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，从而可得＝，进而可得△FBE∽△FAB，然后利用相似三角形的性质可得∠1＝∠BAF，即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AF，BF⊥AF，
∴∠AED＝∠F＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴DE＝AF，AE＝BF，
∵EF＝AF﹣AE，
∴EF＝DE﹣BF；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，
∵BF2＝EF DE，
∴＝，
∴＝，
∵∠F＝∠F，
∴△FBE∽△FAB，
∴∠1＝∠BAF，
∴∠1＝∠2．
6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
（1）求证：DE∥CF；
（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM FC，求证：DF∥AC．
【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DE∥CF；
（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可证明DF∥AC．
【解答】证明：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝60°，
∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DE∥CF；
（2）如图2，
∵DF2＝FM FC，
∴，
∵∠DFM＝∠CFD，
∴△DFM∽△CFD，
∴∠FDM＝∠FCD，
∵∠CAD＝∠BCF，
∴∠FDM＝∠CAD，
∴DF∥AC．
7．如图，△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．
（3）在（2）的条件下，cosC＝　　．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）求出证明∠A＝36°，再利用相似三角形的性质证明即可；
（3）过点B作BH⊥CD于点H．求出CH，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；
（2）如图，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝2∠A，
∴∠C＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝36°，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴CB2＝CD CA，
∴22＝CD （CD+2），
∴CD＝﹣1（负值已经舍去），
∴AC＝CD+AD＝+1；
（3）过点B作BH⊥CD于点H．
∵BC＝BD，BH⊥CD，
∴CH＝DH＝，
∴cocC＝＝．
故答案为：．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．
【分析】（1）利用“一线三直角”模型，即可证明Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）由矩形的性质结合已知条件得出CD＝AB＝4，利用含30度角的直角三角形的性质得出PC＝8，利用勾股定理求出PD的长度，进而求出AP的长度，再利用相似三角形的性质即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∴∠PCD+∠DPC＝90°，
∵∠CPE＝90°，
∴∠EPA+∠DPC＝90°，
∴∠PCD＝∠EPA，
∴Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴CD＝AB＝4，
在Rt△PCD中，∠CPD＝30°，CD＝4，
∴PC＝8，
∴，
∴，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴，即，
∴．
9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
（1）求证：△AEF∽△DAC；
（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根据垂直定义可得∠FAE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠FAG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵∠D＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠D＝∠FAE＝90°，
∴△AEF∽△DAC；
（2）如图：
∵FE平分∠AFB，
∴∠AFE＝∠CFE，
∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，
∴△AFE≌△CFE（AAS），
∴AF＝CF，AE＝EC，
∵FG＝FG，
∴△AFG≌△CFG（SAS），
∴∠FAG＝∠FCG，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠FCG，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠AED，
∴AE∥CG，
∵AB∥CD，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AGCE为菱形．
10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD DC．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠CFD，
∴△ADE∽△FCD，
∴＝，
∴CF DE＝AD CD，
∵AE＝CF＝DE，
∴AE2＝AD DC．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．
（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；
（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．
【分析】（1）可证得∠F′BE＝∠CBG′，＝，从而证明了结论；
（2）先求得BG的长，进而求得BG′，然后解直角三角形ABG′求得结果．
【解答】（1）证明：∵FG∥CE，
∴△BFG∽△BEC，
∴＝，
∴＝，
∵∠F′BG′＝∠EBC，
∴∠FBG′+∠EBG′＝∠EBC+∠EBG′，
即∠F′BE＝∠CBG，
∴△BEF′∽△BCG′；
（2）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝45°，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝3，
∴BE＝3，
由（1）知：＝，
∴＝，
∴BG＝，
∴BG′＝BG＝，
在Rt△ABG′中，由勾股定理得，
AG′＝＝＝，
∴EG′＝AE﹣AG′＝3﹣＝，
EG″＝，
综上所述：EG′＝．
12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．
（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．
（2）求AM：MN：NF的值．
【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BAF，即可得AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，故∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，AF⊥DE；
（2）设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，由勾股定理和面积法可得AM＝＝x，证明△NAD∽△NFB，可得NF＝AF＝x，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F为边AB、BC的中点，
∴BF＝AE，
在△ADE与△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥DE；
（2）解：设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，
在Rt△ADE中，DE＝＝x，
由（1）知DE＝AF，
∴AF＝x，
∵2S△ADE＝AE AD＝DE AM，
∴AM＝＝x，
∵AD∥BC，
∴∠ADN＝∠NBF，∠NAD＝∠NFB，
∴△NAD∽△NFB，
∴＝＝2，
∴AN＝2FN，
∴NF＝AF＝x，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM：MN：NF＝x：x：x＝6：4：5．
13．问题背景
如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．
变式迁移
如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．
拓展应用
如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n＞1，直接写出的值．
【分析】问题背景：由2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，得出∠ADE＝∠EDB，由∠DEB＝90°，得出∠DEA＝∠DEB＝90°，即可得出△DEA≌△DEB，进而证明AE＝BE；
变式迁移：延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，由DF∥BE，得出△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，进而得出，即可证明DG＝FG；
拓展应用：在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，进而得出△DBE≌△DBP，得出∠EDB＝∠PDB，由∠EDB＝∠DCB，得出∠PDB＝∠DCB，继而证明△DPB∽△CPD，得出＝＝＝，设BP＝1，则PD＝n，得出PC＝n2，求出BC＝n2﹣1，继而得出＝n2﹣1．
【解答】问题背景：证明：如图1，
∵2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠ADB＝2∠EDB，
∴∠ADE+∠EDB＝2∠EDB，
∴∠ADE＝∠EDB，
∵∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
在△DEA和△DEB中，
，
∴△DEA≌△DEB（ASA），
∴AE＝BE；
变式迁移：证明：如图2，延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，
∵DF∥BE，
∴∠CDG＝∠M，∠CGD＝∠CEM，∠CGF＝∠CEB，∠CFG＝∠CBE，
∴△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，
∴，，
∴，
∵ME＝BE，
∴DG＝FG；
拓展应用：解：如图3，在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，
由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，
在△DBE和△DBP中，
，
∴△DBE≌△DBP（SAS），
∴∠EDB＝∠PDB，
∵∠EDB＝∠DCB，
∴∠PDB＝∠DCB，
∵∠P＝∠P，
∴△DPB∽△CPD，
∴＝＝，
∵，
∴＝＝＝，
设BP＝1，则PD＝n，
∴，
∴PC＝n2，
∴BC＝PC﹣BP＝n2﹣1，
∴＝＝＝n2﹣1．
14．问题提出
（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为 　2　；
问题解决
（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据三角函数求出AH，由中位线定理得出DE的长度，再根据三角形面积公式求出面积即可；
（2）延长AB交DC延长线于点G，要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，作MF⊥DC于点F，设QH＝m，用m的代数式表示出△MNP的面积，利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，D、E是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝2，
∵AH＝tan∠ABC AB＝4，
∴△PDE的高为AH＝2，
∴△PDE的面积为×2×2＝2，
故答案为：2；
（2））延长AB交DC延长线于点G，
要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，
作MF⊥DC于点F，
∵∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠GBC＝∠BCG＝60°，
∴△GBC为等边三角形，
即GC＝BC＝40m，GD＝GC+CD＝80m，
作MF⊥CD于F，设GF＝x，
则MF＝GF tan60°＝x，
∵MN∥CD，MF⊥CD，ND⊥CD，
∴四边形MNDF是矩形，
∴MN＝FD＝GD﹣GF＝80﹣m，
∴S△MNP＝（80﹣m）×m＝﹣（m﹣40）2+800，
∵﹣＜0，
∴当m＝40时，△MNP的面积最大为800，
作AQ⊥MN于Q，则MQ＝MN﹣NQ＝MN﹣AE＝80﹣40﹣10＝30，
∴AQ＝MQ tan60°＝30，
此时花卉种植面积为S梯形AEDG﹣S△BCG﹣S△MNP＝（10+80）×（30+40）﹣×40×20﹣800＝1950，
∴总费用为800×100+1950×200＝470000（元），
即要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积最大，费用的最小值为470000元．
15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．
【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）①证明：∵EA＝EF，点G为CD的中点，
∴DG＝CG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴AG＝FG，
∵AE＝EF，
∴EG⊥AF；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴＝，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝＝＝．
16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．
（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．
①求证：△BDF∽△CBA；
②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为 　　．
【分析】（1）以A点为圆心AB长为半径画弧交BC于点D，作BC的垂直平分线交AC于E即可；
（2）①根据等腰三角形的性质得出两组对应角相等即可证明三角形相似；
②过点A作AH⊥BD于点H，根据勾股定理求出BC的长度，刘勇三角函数求出BH，根据等腰三角形的性质得出BD，再根据相似三角形对应边成比例求出DF即可．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）①如下图：
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵EB＝EC，
∴∠EBD＝∠C，
∴△BDF∽△CBA；
②过点A作AH⊥BD于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵cos∠ABH＝，
∴＝，
∴BH＝，
∵AB＝AD，
∴BD＝2BH＝，
由①知△BDF∽△CBA，
∴，
即，
解得DF＝，
故答案为：．
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；
（3）若，求的值．
【分析】（1）根据已知可得∠B＝∠C＝45°，再根据∠DEF＝45°，然后利用一线三等角模型证明，即可解答；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据已知可得DE＝DF，然后证明一线三等角模型全等△ADF≌△HED，从而可得AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，进而可求出BH，BE，AB，BC的长，进行计算即可解答；
（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，可得AB∥CM，根据已知在Rt△DHE中，设EH＝m，则DH＝2m，利用（2）的结论可得EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，从而求出BE，BC，CF的长，进而可得AF＝CF，然后证明△ADF≌△CMF，利用全等三角形的性质可得AD＝CM＝m，最后证明△BDG∽△CMG，利用相似三角形的性质进行计算可求出CG的长，从而求出EG的长，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠BED+∠FEG＝180°﹣∠DEF＝135°，
∴∠BDE＝∠FEG，
∴△BDE∽△CEF；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∵∠DEF＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠ADF+∠EDB＝90°，∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠EDB，
∵∠A＝∠EHD＝90°，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，
∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，
∴BH＝HE＝1，
∴BE＝BH＝，AB＝AD+DH+BH＝4，
∵BC＝AB＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝3；
（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，
∴∠A＝∠MCA＝90°，
∴CM∥AB，
在Rt△DHE中，，
∴＝，
设EH＝m，则DH＝2m，
由（2）得：EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，
∴AC＝AB＝AD+DH+BH＝4m，
∴BC＝AB＝4m，CF＝AC﹣AF＝4m﹣2m＝2m，
∴AF＝CF，
∵∠A＝∠MCF＝90°，∠AFD＝∠MFC，
∴△ADF≌△CMF（ASA），
∴AD＝CM＝m，
∵CM∥AB，
∴∠B＝∠MCG，∠BDG＝∠CMG，
∴△BDG∽△CMG，
∴＝，
∴＝，
∴CG＝2m，
∴EG＝BC+CG﹣BE＝5m，
∴＝＝5，
∴的值为5．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．
（1）求证：∠BEF＝45°；
（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB BM；
（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝　21：29：20　（直接写答案）．
【分析】（1）先证明△ABD≌△BCF，进而便可得∠BEF的度数；
（2）证明BD＝AB，再证明△EBD∽△MBF，得BE BF＝BD MB，进而便可得出结论；
（3）设正方形ABCD的边长为a，用a表示AE、CF、DE，证明△FMC∽△MED，用a表示CM，进而用a表示BM，再证明△EDN∽△MBN，便可求得EN：MN，进而便可求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠EBC+CBF＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°；
（2）证明：由（1）知，∠BFE＝∠BEF＝45°，BE＝BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB＝∠ABD＝45°，∠ABC＝90°，
∴BD＝AB，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠EBD，
∴∠CBF＝90°﹣∠EBC＝∠ABE＝∠EBD，
∵∠EDB＝∠NFB＝45°，
∴△EBD∽△MBF，
∴，
∴BE BF＝BD MB，
∵BE＝BF，BD＝AB，
∴；
（3）解：设正方形ABCD的边长为a，
∵DE：EA＝3：2，
∴AE＝AD＝，DE＝a，
∴CF＝AE＝＝，
∵CD＝AD＝a，
∴CF：DF＝2：7，
∵CM∥DE，
∴△FMC∽△FED，
∴＝，
∴CM＝DE＝，
∴BM＝BC﹣CM＝a﹣＝a，
∵DE∥BM，
∴△EDN∽△MBN，
∴，
设EN＝21k，则MN＝29k，
∵，
∴MF＝，
∴MF＝20k，
∴EN：NM：MF＝21k：29k：20k＝21：29：20．
故答案为：21：29：20．
19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．
（1）求证：△ABH≌△EAF；
（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．
【分析】（1）由∠ABC＝∠BCD和AE∥DC可得AB＝AE，由EF∥AB可得∠BAH＝∠AEF，由AE∥DC，CH∥AF可得四边形AHCF为平行四边形，从而可得AH＝CF，再由EF∥AB可得∠ABC＝∠CEF，从而可得EF＝CF，即可得出EF＝AH，即可证明；
（2）延长BM，EF交于点G，由EF∥AB可得∠ABE＝∠FEC，由AE∥CF可得∠AEB＝∠FCE，从而可得△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，由点M为AF中点可得AM＝FM，由EF∥AB可得∠ABM＝∠FGM，可证△ABM≌△FGM（AAS），则FG＝AB＝ax，则EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，可得AH＝CF＝a，则EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，由AB∥EG可得△ABH∽△EGH，从而可得＝，即＝，解得x＝1±，由x＞0可得x＝1+，即＝x＝1+．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，
∵∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴AB＝AE，
∵EF∥AB，
∴∠BAH＝∠AEF，
∵AE∥DC，CH∥AF，
∴四边形AHCF为平行四边形，
∴AH＝CF，
∵EF∥AB，
∴∠ABC＝∠CEF，
∵AE∥CF，
∴∠ECF＝∠AEB＝∠ABC，
∴∠ECF＝∠CEF，
∴EF＝CF，
∴EF＝AH，
∴△ABH≌△EAF（SAS）；
（2）如图，延长BM，EF交于点G，
∵EF∥AB，
∴∠ABE＝∠FEC，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠FCE，
∴△ABE∽△FEC，
设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，
∵点M为AF中点
∴AM＝FM，
∵EF∥AB
∴∠ABM＝∠FGM，
∴△ABM≌△FGM（AAS），
FG＝AB＝ax，
∴EG＝EF+FG＝a+ax，
由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，
∴AH＝CF＝a，
∴EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，
∵AB∥EG
∴△ABH∽△EGH，
∴＝，
即＝，
解得x＝1±，
∵x＞0，
∴x＝1+，
即＝x＝1+．
20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．
（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．
（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．
【分析】（1）根据垂线的画法画图即可；设AG＝x，则BG＝5﹣x，在Rt△AFG中，tan∠BAE＝＝2，可得FG＝2x，在Rt△BFG中，tan∠ABF＝，求得x＝2，由勾股定理可得AF＝，即可得出答案．
（2）过点C作CM⊥AH于点M，在Rt△ABH中，tan∠BAE＝＝2，可得BH＝10，CH＝BH﹣BC＝2，根据AB∥CD，可得∠CEH＝∠BAE，则tan∠CEH＝＝2，可得CE＝1，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，设EM＝a，则CM＝2a，由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，即可求得a＝，则CM＝，在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，由勾股定理可得FM＝＝，进而可得EF＝FM﹣EM＝，则根据EF CM可得出答案．
【解答】解：（1）如图，FG即为所求．
设AG＝x，则BG＝5﹣x，
在Rt△AFG中，
tan∠BAE＝＝2，
∴FG＝2x，
在Rt△BFG中，
tan∠ABF＝，
解得x＝2，
∴AG＝2，FG＝4，
AF＝＝2．
（2）过点C作CM⊥AH于点M，
在Rt△ABH中，
tan∠BAE＝＝2，
∴BH＝10，
则CH＝BH﹣BC＝2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CEH＝∠BAE，
则tan∠CEH＝＝2，
∴CE＝1，
在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，
设EM＝a，则CM＝2a，
由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，
即a2+（2a）2＝12，
解得a＝，
∴CM＝，
在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，
由勾股定理可得FM＝＝，
∴EF＝FM﹣EM＝．
∴EF CM＝．