导学案
§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【学习目标】
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能从样本数据中求众数、中位数、平均数、标准差，并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
【重点】用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
【难点】标准差、方差的计算。
复习回顾：
中位数、众数、平均数的定义；样本中位数、样本众数、样本平均数的定义
【探究新知】
<一>样本数据的众数、中位数、平均数、方差、标准差
一组数据x1、x2、x3、…、xn
方差：____________________________________________
标准差：__________________________________________
在一次射击中,甲、乙、丙、丁四名运动员各射击10次，命中环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
丙：1，7，7，7，7，8，8，8，8，2
丁：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
分别指出其众数、中位数、平均数、方差、标准差
例1：据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
⑴求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
⑵假设副董事长的工资从5000元提升到50000元，董事长的工资从5500元提升到80000元，职员的工资从1500元降为500元。那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
⑶你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？
<二>、从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数
各矩形高度自左向右依次为0.08，0.16，0.30，0.44，0.50，0.28，0.12，0.08，0.04
【课堂练习】
1、两个样本甲和乙,=10,=10,=0.055,=0.015,则样本甲比样本乙波动( )
A. 大 B. 相等 C. 小 D.无法确定
2、能反映一组数据的离散程度的是 ( )
A.众数 B.平均数 C.标准差 D.极差
3、下列数字特征一定是数据组中数据的是 ( )
A.众数 B.中位数 C.标准差 D.平均数
4、从甲、乙、丙三个厂家生产的痛一种产品中抽取8件产品，对其中使用寿命跟踪调查，结果如下（单位：年）
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数？
甲 ；乙 ；丙 。
5、某班级共有60名学生．先用抽签法从中抽取部分学生调查他们的学习情况，若每名学生被抽到的概率为。
（I）求从中抽取的学生数，
（Ⅱ）若抽查结果如频率分布直方图，
估计该班学生每周学习时间的众数、平均数、中位数
6、错误！未找到引用源。从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如下表,则这100人成绩的标准差为（ ）
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A． B． C．3 D．
【课堂小结】
平均数、众数和中位数都是一组数据中常用的代表数据，他们之间有联系也有区别，
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。可分为算术平均数和加权平均数。用来表示数据的总体水平。
平均数特点：优点是在求平均数的过程中可以用到每一个数据，反映的范围比较广，日常生活中运用广泛；缺点是容易受极端数据影响，有时代表性不强。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。用来表示数据的中等水平。在求中位数时要是这些数的个数是奇数的话取最中间的一个数字，要是这些数的个数是偶数的话取最中间的两个数字的平均数
中位数特点：中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响．中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点，具有比较好的代表性。部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。用来表示数据的普遍情况
众数的特点：众数在一组数据中出现的次数最多；众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向．
极差方差或标准差是表示一组数据的波动性的大小的指标,标准差是方差的算术平方根,他们是来判断一组数据的离散程度的三个量。
极差：是指一组数据内的最大值和最小值之间的差。
极差特点：运算比较方便，但只能用到最大值和最小值，不能反映其他数据的情况，并且容易受极端值的影响。
方差：一组数据中各数据与平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差。
方差特点：与极差相比，方差的计算需要用到每一个数据，更有代表性，在日常生活中运用更广泛，但计算比较麻烦。
标准差：是方差的算术平均数。
标准差特点：与方差相比单位与日常生活是统一的。
【课后反思】
频率/组距
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
O
1
月均用水量/t
0.5
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5天天练
§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、与原数据单位不一样的是 ( )
A、众数 B、平均数 C、标准差 D、方差
2、在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的 ( )
A、平均状态 B、分布规律 C、波动大小 D、最大值和最小值
3、数据：1,1,3,3的众数和中位数分别是 ( )
A、1或3，2 B、3，2 C、1或3，1或3 D、3，3
4、如果、、、、、的平均数为3，那么、、、
、、的平均数为 ( )
A、0 B、3 C、6 D、1
5、如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）
A、12.5 12.5
B、12.5 13
C、13 12.5
D、13 13
6、2004奥运首金获得者杜丽在决赛中的成绩如下表：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
环数 9.4 10.6 10.7 10.4 10.4 10.1 10.2 10.8 10.8 10.6
下列说法正确的是（ ）
A、平均成绩是
B、众数是10.8环
C、极差是1.2环
D、中位数是10.5环，比平均成绩高0.1环
7、电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该电池的平均寿命估计是_____
8、已知样本数据,,…的方差为4，则数据2+3,2+3,…2+3的标准差是_____.
9、已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127， 126，122，124，125，126，128。
⑴根据数据求出该组数据的众数、中位数和平均数；
⑵填写下列频率分布表：
分组 频数累计 频数 频率
[120.5，122.5)
[122.5，124.5)
[124.5，126.5)
[126.5，128.5)
[128.5，130.5)
合计
⑶根据频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数，并和⑴中求出的数据比较。
10、青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对高二600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
（1）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；
（2）试估计该年段成绩在[70,90)段的有多少人？
（3）请你估算该年段的平均分。
分组 频数 频率
[50,60) 2 0.04
[60,70) 8 0.16
[70,80) 10
[80,90)
[90,100] 14 0.28
合计 1.00
11、某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50名老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：
序号（i） 分组(睡眠时间) 组中值（Gi） 频数(人数) 频率（Fi）
1 [4，5） 4.5 6 0.12
2 [5，6） 5.5 10 0.20
3 [6，7） 6.5 20 0.40
4 [7，8） 7.5 10 0.20
5 [8，9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是_________
8、某部队为了了解战士课外阅读情况,随机调查了50名战士,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据.结果用右面的条形图表示,根据条形图可得这50名战士这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）
A. 0.6h B. 0.9h C. 1.0h D. 1.5h
17．（本题满分12分）
某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共50名同学)，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：
（1）写出a、b的值；
（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；
（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．
分组 频数 频率
[45，60） 2 0．04
[60，75） 4 0．08
[75，90） 8 0．16
[90，105） 11 0．22
[105，120） 15 0．30
[120，135） a b
[135，150] 4 0．08
合计 50 1
18．（本小题满分12分）
某市为响应国家节能减排，建设资源节约型社会的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：
（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放。……
（二）人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气。……
活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机对10~60岁的人群抽样了n人，统计结果如下图表：
（I）分别写出n，a，c，d的值；
（II）若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得20元，广告二的内容得30元。组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁）回答两广告内容，求该家庭获得奖金的期望（各人之间，两广告之间，对能否正确回答，均无影响。）
20．（本小题满分12分）
某中学为了解高三年级甲、乙两班学生的数学学习情况，从两个中各随机抽出10名学生的数学测试成绩（单位：分）
甲班：114，135，126，129，122，130，129，123，128，125；
乙班：123，126，128，134，119，120，137，134，119，111。
试估计甲班、乙班学生数学学习情况的期望值和方差（将结果精确到个位），并由此说明哪个班学生的数学成绩更整齐。
20．解：……62分
…………4分
…………7分
……10分
甲、乙班学生数学学习情况的期望值分别为126和125；方差分别为29和61
由于，表明甲班的10名学生的数学平均成绩比乙班的10名学生的平均成绩稍优，而被动小得多，从而估计甲班学生总体数学成绩优于乙班，也更整齐。…………12分
3、某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为70分，方差为94，后来发现2名同学的成绩有误，甲实得分50却记为80分，乙实得分90却记为60分，更正后平均成绩和方差分别为
（A）65、98 （B）70、98 （C）65、106 （D）70、106
7．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地：总体均值为3，中位数为4 .
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .
C．丙地：中位数为2，众数为3 .
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3 .
数
O
50
60
70
80
90
100
成绩（分）
频率
组距
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
小结与反思：
开始
S0
输入Gi，Fi
i1
S S＋Gi·Fi
i≥5
i i＋1
N
Y
输出S
结束
