圆的标准方程
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文档简介
圆的标准方程
一、教学分析
圆是学生比较熟悉的曲线，在初中几何课中曾经学习过圆的有关知识，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的标准方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础，也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。
二、教学目标
（一）知识和能力
1．使学生学会圆的标准方程的推导方法，掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力。
3．理解掌握点与圆的位置关系。培养学生树立相互联系、相互转化的辨证唯物主义观点，感受数学美。
（二）过程和方法
1．通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。
2．通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。
3．通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。
（三）情感态度和价值观
1．通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。
2．培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。
三、教学重点难点
重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
四、教学对象分析
学生在初中几何课中已经学习过圆的性质，对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
五、教学内容分析
本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。
以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。
本节知识结构如图所示：
六、课前准备
教师：制作电脑课件
学生：课前预习，搜集资料
七、教学策略
1．这是一节介绍新知识的课，而且本节内容还非常有利于展现知识的形成过程，所以本节力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”。
2．在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采取探究式，引导学生探索，重视探索过程。
3．通过类比，进行条件的探求：通过点在圆上，点与圆心间的距离等于圆半径，类比可得点在圆外与在圆内的判定条件。
4．在探求圆的标准方程及其切线方程过程中，充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。
八、教学过程
教学过程、教学方法和手段引入
1．确定圆的几何要素是什么?
圆心与半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的形状画图启发。
2．圆的定义
(初中)平面上与定点距离等于定长的点的集合；
(高中)｛M｜AM｜=r｝(r为定长，A为定点)温故知新
3．圆的标准方程
由两点间的距离公式得到：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心(a,b),半径为r。
3．1 代数方法研究几何问题课堂练习【练习1】根据圆的方程，指出圆心和半径
(1) (x-2)2+(y-3)2=4
(2) (x-3)2+y2=(-2)2
(3) (x-3)2+(y+4)2=62
答案：
(1)圆心(2，3)半径为2
(2)圆心(3，0)半径为2
(3)圆心(3，-4)半径为6
结论：圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心(a,b)，半径为r。
3．2 对圆的标准方程的巩固，并由学生概括总结规律，探究圆心在坐标原点的圆的标准方程如何表示？
课堂练习【练习2】根据圆心和半径，指出圆的方程
(1)圆心为原点，半径为1；
(2)圆心为原点，半径为2；
(3)圆心为原点，半径为3；
答案：
(1)x2+y2=1
(2)x2+y2=4
(3)x2+y2=9
结论：圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2，由特殊到一般并由学生概括总结规律。
4?点与圆的位置关系
点(x0,y0)在圆上，则点的坐标满足圆的方程(x-a)2+(y-b)2＝r2，所以(x0-a)2+(y0-b)2＝r2，那么点在圆外与在圆内如何判别?
点P(x0,y0)与圆：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(由点与圆心C(a,b)的距离判定)
1)点P在圆内，则｜PC｜＜r?(x0-a)2+(y0-b)2＜r2
2)点P在圆上，则｜PC｜＝r?(x0-a)2+(y0-b)2＝r2
3)点P在圆外，则｜PC｜＞r?(x0-a)2+(y0-b)2＞r2类比获得结论
课堂练习【练习3】判别点M1（-1,2）、M2（0,3）、M3（1,2）与圆(x-2)2+(y-3)2=4
的位置关系，实践练习。
5?求圆的方程常用方法
圆的几何要素是圆心与半径，故要求圆的方程，关键是如何确定圆心与半径。
课堂练习【练习4】求出下列条件下圆的方程
(1)圆心为点P(-3，4)半径为2
(2)圆心为点P(-1，0)半径为2
(3)圆心为点P(2，-3)半径为5
答案：
(1)(x+3)2+(y-4)2=4
(2)(x+1)2+y2=4
(3)(x-2)2+(y+3)2=25
结论：已知圆心和半径，可直接代入得圆的方程，由特殊到一般并由学生概括总结规律。
例题讲解：
例2：已知A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)求三角形ABC外接圆的方程。
思路一：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，点A、B、C在圆上，满足圆的方程，故可列出三个方程，确定a、b、r。
思路二：三角形外接圆的圆心为三角形各边垂直平分线的交点，圆心与任一顶点的连线的长即为半径
例3：圆心C过直线L：x-y+1=0，点A(1，1)与B(2，-2)在圆上，求圆的方程。
思路一：(待定系数法)点A、B在圆上，满足圆的方程，故可列出两个方程，圆心在直线L上，圆心(a,b)满足直线的方程，故可列出第三个方程，解方程组可确定a、b、r。
思路二：(几何分析法)圆心在圆上弦AB的垂直平分线上，所以AB的垂直平分线与已知直线L的交点即为圆心。圆心与A或B的连线的长即为半径
求线段垂直平分线的另一方法：(应用线段垂直平分线的性质)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等｜AM｜=｜BM｜，可得AB的垂直平分线方程。
课堂小结：
1?圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心(a,b)，半径为r。
2?圆与点的位置关系
由点与圆心的距离确定。
3?求圆的方程常用方法(关键是如何确定圆心与半径)
(1)直接代入法
(2)待定系数法
(3)几何性质法
(4)定义法
九、教案说明
在教学过程中，教师遵循教学本身的发展规律，同时认识到学生的认识规律，力求使它们同步协调，具体做法如下：
在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线——圆。
从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法，同时，引导学生对照圆的几何图形，观察和欣赏圆的方程，体会教学中的美学——对称、简洁。
在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关。
一、教学分析
圆是学生比较熟悉的曲线，在初中几何课中曾经学习过圆的有关知识，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的标准方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础，也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。
二、教学目标
（一）知识和能力
1．使学生学会圆的标准方程的推导方法，掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力。
3．理解掌握点与圆的位置关系。培养学生树立相互联系、相互转化的辨证唯物主义观点，感受数学美。
（二）过程和方法
1．通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。
2．通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。
3．通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。
（三）情感态度和价值观
1．通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。
2．培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。
三、教学重点难点
重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
四、教学对象分析
学生在初中几何课中已经学习过圆的性质，对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
五、教学内容分析
本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。
以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。
本节知识结构如图所示：
六、课前准备
教师：制作电脑课件
学生：课前预习，搜集资料
七、教学策略
1．这是一节介绍新知识的课，而且本节内容还非常有利于展现知识的形成过程，所以本节力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”。
2．在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采取探究式，引导学生探索，重视探索过程。
3．通过类比，进行条件的探求：通过点在圆上，点与圆心间的距离等于圆半径，类比可得点在圆外与在圆内的判定条件。
4．在探求圆的标准方程及其切线方程过程中，充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。
八、教学过程
教学过程、教学方法和手段引入
1．确定圆的几何要素是什么?
圆心与半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的形状画图启发。
2．圆的定义
(初中)平面上与定点距离等于定长的点的集合；
(高中)｛M｜AM｜=r｝(r为定长，A为定点)温故知新
3．圆的标准方程
由两点间的距离公式得到：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心(a,b),半径为r。
3．1 代数方法研究几何问题课堂练习【练习1】根据圆的方程，指出圆心和半径
(1) (x-2)2+(y-3)2=4
(2) (x-3)2+y2=(-2)2
(3) (x-3)2+(y+4)2=62
答案：
(1)圆心(2，3)半径为2
(2)圆心(3，0)半径为2
(3)圆心(3，-4)半径为6
结论：圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心(a,b)，半径为r。
3．2 对圆的标准方程的巩固，并由学生概括总结规律，探究圆心在坐标原点的圆的标准方程如何表示？
课堂练习【练习2】根据圆心和半径，指出圆的方程
(1)圆心为原点，半径为1；
(2)圆心为原点，半径为2；
(3)圆心为原点，半径为3；
答案：
(1)x2+y2=1
(2)x2+y2=4
(3)x2+y2=9
结论：圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2，由特殊到一般并由学生概括总结规律。
4?点与圆的位置关系
点(x0,y0)在圆上，则点的坐标满足圆的方程(x-a)2+(y-b)2＝r2，所以(x0-a)2+(y0-b)2＝r2，那么点在圆外与在圆内如何判别?
点P(x0,y0)与圆：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(由点与圆心C(a,b)的距离判定)
1)点P在圆内，则｜PC｜＜r?(x0-a)2+(y0-b)2＜r2
2)点P在圆上，则｜PC｜＝r?(x0-a)2+(y0-b)2＝r2
3)点P在圆外，则｜PC｜＞r?(x0-a)2+(y0-b)2＞r2类比获得结论
课堂练习【练习3】判别点M1（-1,2）、M2（0,3）、M3（1,2）与圆(x-2)2+(y-3)2=4
的位置关系，实践练习。
5?求圆的方程常用方法
圆的几何要素是圆心与半径，故要求圆的方程，关键是如何确定圆心与半径。
课堂练习【练习4】求出下列条件下圆的方程
(1)圆心为点P(-3，4)半径为2
(2)圆心为点P(-1，0)半径为2
(3)圆心为点P(2，-3)半径为5
答案：
(1)(x+3)2+(y-4)2=4
(2)(x+1)2+y2=4
(3)(x-2)2+(y+3)2=25
结论：已知圆心和半径，可直接代入得圆的方程，由特殊到一般并由学生概括总结规律。
例题讲解：
例2：已知A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)求三角形ABC外接圆的方程。
思路一：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，点A、B、C在圆上，满足圆的方程，故可列出三个方程，确定a、b、r。
思路二：三角形外接圆的圆心为三角形各边垂直平分线的交点，圆心与任一顶点的连线的长即为半径
例3：圆心C过直线L：x-y+1=0，点A(1，1)与B(2，-2)在圆上，求圆的方程。
思路一：(待定系数法)点A、B在圆上，满足圆的方程，故可列出两个方程，圆心在直线L上，圆心(a,b)满足直线的方程，故可列出第三个方程，解方程组可确定a、b、r。
思路二：(几何分析法)圆心在圆上弦AB的垂直平分线上，所以AB的垂直平分线与已知直线L的交点即为圆心。圆心与A或B的连线的长即为半径
求线段垂直平分线的另一方法：(应用线段垂直平分线的性质)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等｜AM｜=｜BM｜，可得AB的垂直平分线方程。
课堂小结：
1?圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心(a,b)，半径为r。
2?圆与点的位置关系
由点与圆心的距离确定。
3?求圆的方程常用方法(关键是如何确定圆心与半径)
(1)直接代入法
(2)待定系数法
(3)几何性质法
(4)定义法
九、教案说明
在教学过程中，教师遵循教学本身的发展规律，同时认识到学生的认识规律，力求使它们同步协调，具体做法如下：
在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线——圆。
从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法，同时，引导学生对照圆的几何图形，观察和欣赏圆的方程，体会教学中的美学——对称、简洁。
在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关。