北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定 同步测试 (word版含答案)

北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定 同步测试
一．选择题
1． 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（　　）
BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO
2．如图，在 ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
3．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（　　）
A．10 B．20 C．24 D．48
4．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AC的中点，若EF＝2，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．14 B．8 C．12 D．16
5．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米
6．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．110°
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（　　）
A．5 B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）
（0，2） B．（2，﹣4）
C．（2，0） D．（0，2）或（0，﹣2）
11．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C．3 D．
12．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
二．填空题
13． 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________，就可以证明这个多边形是菱形
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OH⊥AB于H．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则OH＝　　．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．
15．在菱形ABCD中，AB＝8，两条对角线AC与BD长度的和是22，则菱形ABCD的面积是　　．
16．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为 ．
17．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是 ．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________．
三．解答题
19．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，
求证：DE＝BF．
20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）求证：BC=ED．
21．如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．
求证：（1）四边形AMCF是菱形；
（2）△ACB≌△MCE．
22．如图，点E、F分别在 ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，求证：四边形AECF是菱形．
23．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF．
24．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定 答案提示
一．选择题
1． 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（　　）
BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，
故A，B，C正确，D错误．故选D．
2．如图，在 ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
3．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（　　）
A．10 B．20 C．24 D．48
解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，
∴这个菱形的面积是： ×6×8=24．故选C．
4．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AC的中点，若EF＝2，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．14 B．8 C．12 D．16
解：∵点E、F分别为AB、AC的中点，∴BC＝2EF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16，故选：D．
5．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米
解： ∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），
∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA= =3（米），
则AC=2OA=6米，故选A．
6．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．110°
解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，∴BF＝DF，
∵EF是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，∴DF＝CF，∴∠CDF＝∠DCF＝35°，
∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，∴∠ADF＝110°﹣35°＝75°，
故选：B．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△BOC≌Rt△AOB（HL），即四个三角形的面积相等，
∵在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，
∴菱形ABCD的面积为：AC BD＝40．
∴△AOD的面积为：40＝10．故选：B．
8．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，
∴CG＝，∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，故选：C．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（　　）
A．5 B． C． D．
解：在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC BD＝AB EF，即×6×8＝5EF，
∴EF＝．故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣4）
C．（2，0） D．（0，2）或（0，﹣2）
解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，
∴AOOC，∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．
11．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C．3 D．
解：菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝．故选：A．
12．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，
∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，∴AE=2∴EF=AE=2
过A作AM⊥EF，∴AM=AE sin60°=3，
∴△AEF的面积是：EF AM= ×2×3=3故选：B．
二．填空题
13． 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形
答案： AB=AC，答案不唯一
解： 添加：AB=AC，
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，∴DE= AC，DF=AB，
∵AB=AC，∴ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为：AB=AC．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OH⊥AB于H．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则OH＝　　．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为16，∴AB＝AD＝4＝CD，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝4，∴BO＝DO＝2，
∴AO＝，
∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠OAB＝30°，
∴OH＝，故答案为：．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　115　°．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACE∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
15．在菱形ABCD中，AB＝8，两条对角线AC与BD长度的和是22，则菱形ABCD的面积是　57　．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OA2+OB2＝AB2，
∴（AC+BD）2﹣AC BD＝AB2，即×222﹣AC BD＝82，
则AC BD＝57，∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝57，
故答案为：57．
16．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为 ．
答案为：． ；
解：∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，
由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，
AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=．
17．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是 ．
解：5；；；
菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________．
解：；
由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．
三．解答题
19．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，
求证：DE＝BF．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，
在△DCE和△BAF中，
，
∴△DCE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF．
20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）求证：BC=ED．
（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC，
∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，
∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；
（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，
∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB
∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．
21．如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．
求证：（1）四边形AMCF是菱形；
（2）△ACB≌△MCE．
证明：（1）∵△ACF是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF，
∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC，∴AF∥BC，
∵AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，
∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，
又∵∠ACB=60°，∴△AMC是等边三角形，∴AM=MC，
∴四边形AMCF是菱形；
（2）∵△BCE是等边三角形，∴BC=EC，
在△ABC和△MEC中
，
∴△ABC≌△MEC（SAS）．
22．如图，点E、F分别在 ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，求证：四边形AECF是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，
又∵BE＝DF，∴AB+BE＝DC+DF，即AE＝CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分；
（2）∵AB∥DC，∴∠AEO＝∠CFO，
∵EF平分∠AEC，∴∠AEO＝∠CEO，
∴∠CEO＝∠CFO∴CE＝CF，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
23．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF．
证明：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∴∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，∴∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠3+∠4＝60°，∴∠1＝∠3，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE＝AF．
24．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），
∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．