北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定 同步测试
一.选择题
1. 在菱形ABCD中,下列结论错误的是( )
BO=DO B.∠DAC=∠BAC C.AC⊥BD D.AO=DO
2.如图,在 ABCD中,AB=BC,下列结论错误的是( )
A.四边形ABCD是菱形 B.AB=AD
C.AO=OC,BO=OD D.∠BAD=∠ABC
3.菱形的两条对角线长分别为6和8,则菱形的面积是( )
A.10 B.20 C.24 D.48
4.如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为AB、AC的中点,若EF=2,那么菱形ABCD的周长为( )
A.14 B.8 C.12 D.16
5.如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于( )
A.6米 B.6米 C.3米 D.3米
6.如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,BC的垂直平分线EF分别交BC,AC于点E、F,连接DF,若∠BCD=70°,则∠ADF的度数是( )
A.60° B.75° C.80° D.110°
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=10,则△AOD的面积为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起,AB=AF,AE=BC.若AB=2,BC=6,则图中重叠(阴影)部分的面积为( )
A. B.2 C. D.
9.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O.过O作OE⊥AB于点E.延长EO交CD于点F,若AC=8,BD=6,则EF的值为( )
A.5 B. C. D.
10.如图,在平面直角坐标系中,O是菱形ABCD对角线BD的中点,AD∥x轴且AD=4,∠A=60°,将菱形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则旋转后点C的对应点的坐标是( )
(0,2) B.(2,﹣4)
C.(2,0) D.(0,2)或(0,﹣2)
11.如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是( )
A. B.2 C.3 D.
12.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是( )
A.4 B.3 C.2 D.
二.填空题
13. 如图,在△ABC中,已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB,要使四边形AEDF是菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是________,就可以证明这个多边形是菱形
14.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OH⊥AB于H.若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则OH= .
15.如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则∠BAE= °.
15.在菱形ABCD中,AB=8,两条对角线AC与BD长度的和是22,则菱形ABCD的面积是 .
16.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为 .
17.已知菱形ABCD的周长为20cm,且相邻两内角之比是1∶2,则菱形的两条对角线的长和面积分别是 .
18.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点,点P在x轴上移动,小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标(-5,0)和(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.
三.解答题
19.如图,点E、F在菱形ABCD的对角线AC上,且AF=CE,
求证:DE=BF.
20.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CE是中线,△ACD与△ACE关于直线AC对称.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)求证:BC=ED.
21.如图,△ABC中,∠ACB=60°,分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF,过A作AM∥FC交BC于点M,连接EM.
求证:(1)四边形AMCF是菱形;
(2)△ACB≌△MCE.
22.如图,点E、F分别在 ABCD的边AB、CD的延长线上,且BE=DF,连接AC、EF、AF、CE,AC与EF交于点O.
(1)求证:AC、EF互相平分;
(2)若EF平分∠AEC,求证:四边形AECF是菱形.
23.菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=60°.求证:AE=AF.
24.如图,在菱形ABCD中,将对角线AC分别向两端延长到点E和F,使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.
求证:四边形BEDF是菱形.
北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定 答案提示
一.选择题
1. 在菱形ABCD中,下列结论错误的是( )
BO=DO B.∠DAC=∠BAC C.AC⊥BD D.AO=DO
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠DAC=∠BAC,BO=DO,
故A,B,C正确,D错误.故选D.
2.如图,在 ABCD中,AB=BC,下列结论错误的是( )
A.四边形ABCD是菱形 B.AB=AD
C.AO=OC,BO=OD D.∠BAD=∠ABC
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,
故选项A、B、C不符合题意,选项D符合题意,
故选:D.
3.菱形的两条对角线长分别为6和8,则菱形的面积是( )
A.10 B.20 C.24 D.48
解:∵菱形的两条对角线的长分别是6和8,
∴这个菱形的面积是: ×6×8=24.故选C.
4.如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为AB、AC的中点,若EF=2,那么菱形ABCD的周长为( )
A.14 B.8 C.12 D.16
解:∵点E、F分别为AB、AC的中点,∴BC=2EF=4,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD=CD=4,
∴菱形ABCD的周长=4×4=16,故选:D.
5.如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于( )
A.6米 B.6米 C.3米 D.3米
解: ∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米),
∵∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,
∴BD=AB=6(米),OD=OB=3(米),
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:OA= =3(米),
则AC=2OA=6米,故选A.
6.如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,BC的垂直平分线EF分别交BC,AC于点E、F,连接DF,若∠BCD=70°,则∠ADF的度数是( )
A.60° B.75° C.80° D.110°
解:连接BF,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=35°,AC垂直平分BD,AD∥BC,∴BF=DF,
∵EF是BC的垂直平分线,∴BF=CF,∴DF=CF,∴∠CDF=∠DCF=35°,
∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴∠ADC=180°﹣70°=110°,∴∠ADF=110°﹣35°=75°,
故选:B.
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=10,则△AOD的面积为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD=BC=AB,AC⊥BD,AO=CO,DO=BO,
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=∠AOB=90°,
∴Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△BOC≌Rt△AOB(HL),即四个三角形的面积相等,
∵在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=10,
∴菱形ABCD的面积为:AC BD=40.
∴△AOD的面积为:40=10.故选:B.
8.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起,AB=AF,AE=BC.若AB=2,BC=6,则图中重叠(阴影)部分的面积为( )
A. B.2 C. D.
解:设BC交AE于G,AD交CF于H,如图所示:
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形,
∴AB=CE,∠B=∠E=90°,AD∥BC,AE∥CF,
∴四边形AGCH是平行四边形,
在△ABG和△CEG中,
,
∴△ABG≌△CEG(AAS),∴AG=CG,
∴四边形AGCH是菱形,
设AG=CG=x,则BG=BC﹣CG=6﹣x,
在Rt△ABG中,由勾股定理得:22+(6﹣x)2=x2,解得:x=,
∴CG=,∴菱形AGCH的面积=CG×AB=×2=,
即图中重叠(阴影)部分的面积为,故选:C.
9.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O.过O作OE⊥AB于点E.延长EO交CD于点F,若AC=8,BD=6,则EF的值为( )
A.5 B. C. D.
解:在菱形ABCD中,BD=6,AC=8,∴OB=BD=3,OA=AC=4,AC⊥BD,
∴AB===5,
∵S菱形ABCD=AC BD=AB EF,即×6×8=5EF,
∴EF=.故选:C.
10.如图,在平面直角坐标系中,O是菱形ABCD对角线BD的中点,AD∥x轴且AD=4,∠A=60°,将菱形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则旋转后点C的对应点的坐标是( )
A.(0,2) B.(2,﹣4)
C.(2,0) D.(0,2)或(0,﹣2)
解:根据菱形的对称性可得:当点D在x轴上时,
A、B、C均在坐标轴上,如图,
∵∠BAD=60°,AD=4,∴∠OAD=30°,∴OD=2,
∴AOOC,∴点C的坐标为(0,),
同理:当点C旋转到y轴正半轴时,点C的坐标为(0,),
∴点C的坐标为(0,)或(0,),故选:D.
11.如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是( )
A. B.2 C.3 D.
解:菱形的高分别是和,阴影部分面积=两个菱形面积-△ABD面积-△DEF面积-△BGF面积=.故选:A.
12.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是( )
A.4 B.3 C.2 D.
解:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∠B=∠D=60°,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴BC×AE=CD×AF,∠BAE=∠DAF=30°,∴AE=AF,
∵∠B=60°,∴∠BAD=120°,∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,
∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF,∠AEF=60°,
∵AB=4,∴AE=2∴EF=AE=2
过A作AM⊥EF,∴AM=AE sin60°=3,
∴△AEF的面积是:EF AM= ×2×3=3故选:B.
二.填空题
13. 如图,在△ABC中,已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB,要使四边形AEDF是菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形
答案: AB=AC,答案不唯一
解: 添加:AB=AC,
∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,
∵E、F、D分别是AB、AC、BC上的点,∴DE= AC,DF=AB,
∵AB=AC,∴ED=DF,
∴四边形AEDF是菱形.
故答案为:AB=AC.
14.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OH⊥AB于H.若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则OH= .
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,
∵菱形ABCD的周长为16,∴AB=AD=4=CD,
∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,
∴BD=4,∴BO=DO=2,
∴AO=,
∵△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∴∠OAB=30°,
∴OH=,故答案为:.
15.如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则∠BAE= 115 °.
解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BCD,AB∥CD,
∴∠BAE+∠AEC=180°,∠B+∠BCD=180°,
∴∠BCD=180°﹣∠B=180°﹣50°=130°,∴∠ACE∠BCD=65°,
∵AE=AC,∴∠AEC=∠ACE=65°,∴∠BAE=180°﹣∠AEC=115°;
故答案为:115.
15.在菱形ABCD中,AB=8,两条对角线AC与BD长度的和是22,则菱形ABCD的面积是 57 .
解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=AC,OB=BD,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,根据勾股定理,得:OA2+OB2=AB2,
∴(AC+BD)2﹣AC BD=AB2,即×222﹣AC BD=82,
则AC BD=57,∴菱形ABCD的面积=AC BD=57,
故答案为:57.
16.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为 .
答案为:. ;
解:∵AECF为菱形,∴∠FCO=∠ECO,
由折叠的性质可知,∠ECO=∠BCE,又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°,
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°,
在Rt△EBC中,EC=2EB,又EC=AE,
AB=AE+EB=3,∴EB=1,EC=2,∴BC=.
17.已知菱形ABCD的周长为20cm,且相邻两内角之比是1∶2,则菱形的两条对角线的长和面积分别是 .
解:5;;;
菱形一个内角为60°,边长为5,所以两条对角线长为5和,面积为.
18.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点,点P在x轴上移动,小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标(-5,0)和(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.
解:;
由在菱形ABCD中,AC=12,BD=16,E为AD中点,根据菱形的性质与直角三角形的性质,易求得OE的长,然后分别从①当OP=OE时,②当OE=PE时,③当OP=EP时去分析求解即可求得答案.
三.解答题
19.如图,点E、F在菱形ABCD的对角线AC上,且AF=CE,
求证:DE=BF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CD=AB,CD∥AB,∴∠DCA=∠BAC,
在△DCE和△BAF中,
,
∴△DCE≌△BAF(SAS),∴DE=BF.
20.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CE是中线,△ACD与△ACE关于直线AC对称.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)求证:BC=ED.
(1)证明:∵∠C=90°,点E为AB的中点,∴EA=EC,
∵△ACD与△ACE关于直线AC对称.∴△ACD≌△ACE,
∴EA=EC=DA=DC,∴四边形ADCE是菱形;
(2)证明:∵四边形ADCE是菱形,∴CD∥AE且CD=AE,
∵AE=EB,∴CD∥EB且CD=EB
∴四边形BCDE为平行四边形,∴DE=BC.
21.如图,△ABC中,∠ACB=60°,分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF,过A作AM∥FC交BC于点M,连接EM.
求证:(1)四边形AMCF是菱形;
(2)△ACB≌△MCE.
证明:(1)∵△ACF是等边三角形,∴∠FAC=∠ACF=60°,AC=CF=AF,
∵∠ACB=60°,∴∠ACB=∠FAC,∴AF∥BC,
∵AM∥FC,∴四边形AMCF是平行四边形,
∵AM∥FC,∠ACB=∠ACF=60°,∴∠AMC=60°,
又∵∠ACB=60°,∴△AMC是等边三角形,∴AM=MC,
∴四边形AMCF是菱形;
(2)∵△BCE是等边三角形,∴BC=EC,
在△ABC和△MEC中
,
∴△ABC≌△MEC(SAS).
22.如图,点E、F分别在 ABCD的边AB、CD的延长线上,且BE=DF,连接AC、EF、AF、CE,AC与EF交于点O.
(1)求证:AC、EF互相平分;
(2)若EF平分∠AEC,求证:四边形AECF是菱形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC,
又∵BE=DF,∴AB+BE=DC+DF,即AE=CF,
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∴AC、EF互相平分;
(2)∵AB∥DC,∴∠AEO=∠CFO,
∵EF平分∠AEC,∴∠AEO=∠CEO,
∴∠CEO=∠CFO∴CE=CF,
由(1)可知,四边形AECF是平行四边形,
∴平行四边形AECF是菱形.
23.菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=60°.求证:AE=AF.
证明:连接AC,如图,
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,
∵∠B=60°,∴△ABC为等边三角形,
∴∠2=60°,∠1+∠4=60°,AC=AB,∴∠ACF=60°,
∵∠EAF=60°,即∠3+∠4=60°,∴∠1=∠3,
在△AEB和△AFC中,
,
∴△AEB≌△AFC,
∴AE=AF.
24.如图,在菱形ABCD中,将对角线AC分别向两端延长到点E和F,使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.
求证:四边形BEDF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∠DCA=∠BCA,∴∠DCF=∠BCF,
∵CF=CF,∴△CDF≌△CBF(SAS),∴DF=BF,
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,
∵AE=CF,DA=AB,∴△DAE≌△BFC(SAS),∴DE=BF,
同理可证:△DCF≌△BEA(SAS),
∴DF=BE,∴四边形BEDF是平行四边形,
∵DF=BF,∴平行四边形BEDF是菱形.