第1课 二次根式的概念
知识储备
9的平方根是 ，9的算术平方根是 .
16的平方根是 ，16的算术平方根是 .
0的平方根是 ，0的算术平方根是 .
（ 0） 的平方根是 ，的算术平方根是 .
总结： 数有算术平方根， 数没有算术平方根，即若有意义，则a__0
新课学习
知识点1二次根式的概念
形如（ 0）的式子叫二次根式.如.
1.（例1）下列各式是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
知识点2有意义 0
4.（例2）要使下列式子有意义，求的取值范围.
（1）；
（2）
（3）.
5.要使下列式子有意义，求的取值范围.
（1）；
（2）；
（3）.
6.（例3）要使下列式子有意义，求的取值范围.
（1）；
（2）；
（3）.
7.要使下列式子有意义，求的取值范围.
（1）；
（2）；
（3）.
过关检测
第1关
8.下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
9.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
10.要使有意义，则必须满足（ ）
A. B. C. D.
11.要使下列式子有意义，请在横线上写上的取值范围.
（1） ；
（2） .
第2关
12.要使有意义，则必须满足（ ）
A. B. C. D.
13.要使有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. C.且 D.且
14.若式子有意义，则的取值范围为 .
15.若为实数，则下列式子恒有意义的是（ ）
A. B. C. . D.
第3关
16.要使下列式子有意义，求的取值范围.
（1）；
（2）；
（3）
17.已知是整数，则自然数的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.8 D.11
18.已知是实数，且，求的平方根.
第1课 二次根式的概念
1.B 2.A 3.C
4.解：（1）由x+1>0.得x≥-1
（2）由3-2x≥0，得x≤
（3）由2x≥0，得1≥0
5解：（1）由5-x≥0.得x≤5
（2）由5x≥0，得x≥0
（3）由2+4≥0.得x≥-2
6解：（1）由，得-1≤x≤3
（2）由.得x≥-1且x≠3
（3）由x-3>0，得x>3
7.解（1）得x≥0且x≠1
（2）由x-1>0.得x＞1
（3）由得x>1
8.C 9.B 10.A 11.(1)x≥-2 (2)x≤2
12.C 13.C 14.x≥1 15.B
16.解：（1）由，得-1≤x<2
（2）由x-3>0，得x>3
（3）由x≥0.且，得x≥0且x≠1
17.B
18.解：由题知，要使式子有意义，必须
∴x=3，这时y=4.
∴yx=43=64.
∴yx的平方根是土8.第2课 二次根式的性质
新课学习
探究 ， ， ， ，
结论 二次根式的性质1： 即一个非负数先开平方再平方，结果为 二次根式的性质2： 即一个非负数先平方再开平方，结果为
方法提示：平方运算与开平方运算是 运算.
1.（例1）计算：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；
（6） ；
（7） .
2.计算：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ；
（7） .
3.（例2）计算：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；
（6） .
4.计算：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） .
二次根式的性质3：双重非负性
有意义的 0；
表示的 根 0.
5.（例3）若，求的值.
6.若，求的值.
7.（例4）（1）化简 ；
（2）若，则的取值范围是 .
8.（1）化简 ；
（2）若，则的取值范围是 ；.
过关检测
第1关
9.计算的结果是（ ）
A.25 B.±25 C.5 D.-5
10.计算的结果是
A.-5 B.5 C.±5 D.25
11.计算：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） .
12.计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
第2关
13.若，求的值.
14.（1）化简： ；
（2）若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
15．已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，如果大圆的半径为cm，两个小圆的半径分别为2 cm和 3 cm，求的值.
16.已知，求的值.
第3关
17.已知实数在数轴上的位置如图：
化简：.
18．已知是的三边长，若，求的值.
第2课 二次根式的性质
1.(1)2 (2)5 (3)0.3 (4) (5)7 (6)18 (7)2
2.(1)3 (2))10 (3) (4)1.5 (5)12 (6)50 (7)-1
3.(1)3 (2)3 (3)0.5 (4)0.5 (5)x (6)﹣x
4.(1)2 (2)2 (3) (4) (5) (6)x2
5.解：∵
∴m-1=0，n+2=0，
∴m=1，n=-2.
∴m+n=-1.
6解：∵(a+3)2≥0，，
∴a+3=0，b-2=0，
∴a=-3，b=2.
∴(a+b)2022=(-1)2022=1.
7.(1)(2)x≤1
8(1)(2)x≥3 9.C 10.B
11.(1)8 (2)-4 (3) (4)27 (5)1
12.(1) (2)6 (3)8
13.解：由题意得：x+y-2=0，x-3=0，
解得：x=3，y=-1.所以.
14.(1) (2)C
15.解：由题意可得：
解得：（不合题意舍去），即r的值为.
16.解；由
∴(x+1)2=2022.
∴x2+2n+3=(x+1)2+2=2022+2=2024.
17.解：由图知1
∴原式=a-1+2-a=1.
18.解：由题意a+c>b.a+b>c.
∴=(a+c-b)+(a+b-c)=2a=6.
∴a=3.第3课 二次根式的乘法
新课学习
探究 ； ；
结论
1.（例1）计算：
（1）； （2）.
2计算：
（1）； （2）.
3.（例2）计算：
（1）； （2）.
4.计算：
（1）； （2）.
5.（例3）计算：
（1）； （2）.
6.计算：
（1）； （2）.
7.（例4）计算：.
8.计算：.
过关检测
第1关
9.计算的结果为（ ）
A. B.4 C. D.2
10.计算：（1） ；
（2）= ；
（3） .
11.下列计算正确的是（ ）
A. B.
c. D.
12.计算： .
13.计算的结果为 .
第2关
14.计算：
（1）； （2）.
15.一个长方体的长，宽，高分别为，求这个长方体的体积.
16.已知三角形的一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积为 .
17.计算的结果为 .
18.化简： .
第3关
19.计算：
20．按规律排列的二次根式：.
（1）根据你发现的规律猜想第个式子是多少；
（2）当时，求它与前面共5个二次根式的积.
第3课 二次根式的乘法
1.解：（1）原式= （2）原式=
2.解：（1）原式= （2）原式=
3.解：（1）原式= （2）原式=
4.解（1）原式= （2）原式=
5.解：（1）原式=
（2）原式=
6.解：（1）原式=.
（2）原式=
7.解：
8.
9.B 10.(1) (2) (3)-4.11.C 12.2 13.4a
14.解：（1）原式=
（2）原式=
15.解：由题意.得V=
16.|y| 17.1 18.
19.解：原式=
20.解：(1)
(2)第4课 积的算术平方根
知识储备
1.填空： ， ， ， ， ， ， ， ， .
， ， ， ， ， ， ， ， .
2.填空：（1） ， ；
（2） ， .
新课学习
3.（例1）化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
4.化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
5.（例2）化简：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = ；
（4） = ；
（5） = .
6.化简：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = ；
（4） = ；
（5） = .
7.（例3）化简：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = ；
（4） = ；
8.化简：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = ；
（4） = ；
9.（例4）计算：
（1）； （2）；
； （4）.
10.计算：
（1）； （2）；
（2）； （4）.
过关检测
地1关
11.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
12.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
13.化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；(8) ；
第2关
14.化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） .
15.正方形的面积为50，则它的边长为 .
16.直角三角形的两条直角边分别为，则它的面积为 .
17.若是整数，则正整数的最小值为 .
18.计算：
（1）； （2）.
19.已知实数满足.
（1）若，求；
（2）若，求.
第3关
20.小强在计算机上设计了一幅cm、宽cm的长方形图片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径.
21.把二次根式与分别化简后，被开方数相同.
（1）如果是正整数，那么符合条件的的值有哪些？
（2）如果是整数，那么符合条件的的值有多少个？最大值是什么？有没有最小值？
第4课 积的算术平方根
1.1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.(1) 3 (2)
3.(1) (2) (3)12 (4)12
4.(1) (2) (3) (4)10
5.(1) (2) (3)
(5)
6.(1) (2) (3)
(4) (5)
7.(1) (2) 3a
(3) (4)
8.(1) (2)
(3) (4)
9.解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
10.解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
11.C 12.A
13.（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）20 （8）
14.（1） （2） （3） （4）
（5）18 （6）
15. 16. 17.5
18解：（1）原式=
原式=
19.解：（1）
（2）
20.解：设圆的半径为r，则有
21.解：(1)5， 15，21
（2）有无数个，最大值是21，没有最小值.第5课 二次根式的除法（1）
新课学习
二次根式的乘法 二次根式的乘法
举例 或
公式 或
知识点1二次根式的除法
1.（例1）计算：
（1） ； （2） .
2.计算：
（1） ； （2） .
3.知识点2最简二次根式
（1）； （2）； （3） （4）.
最简二次根式满足的条件：
（1）被开方数中不含开得尽方的数或因式；
（2）分母不含二次根式；
（3）被开方数不含分母.
方法提示：利用公式和进行化简.
4.将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3） （4）.
5.将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3） （4）.
6.（例3）化简：
（1）； （2）.
7.化简：
（1）； （2）.
8.化简：
（1）； （2）.
9.化简：
（1）； （2）.
过关检测
第1关
10.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
11.下列是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
12.下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
第2关
13.计算：
（1）； B..
14.把下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）.
第3关
15.化简求值：
，其中
16.观察下列各式：
（1）根据上面的规律，试写出第4个等式 ；
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式，并证明.
第5课 二次根式的除法（1）
1.（1） （2） 2.（1）3 （2）
3.解：（1）原式= （2）原式=
（3）原式= （4）原式=
4.解：（1）原式= （2）原式=
（3）原式= （4）原式=
5.解：（1）原式= （2）原式=
（3）原式= （4）原式=
6.解：（1）原式=
（2）原式=
7.解：（1）原式=
（2）原式=
8解：（1）原式=
（2）原式=
9.解：（1）原式=
（2）原式=
10.A 11.B 12.D
13解：（1）原式=
（2）原式=
14.解：（1）原式=
（2）原式=
15解：原式=.
将代入，得原式=.
16.解：（1）
（2）.
证明如下：第6课 二次根式的除法（2）
知识储备
1.计算：
（1） ；（2） .
2.化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
新课学习
3.（例1）化简：
（1）；
（2）；
（3）.
4.化简：
（1）； （2）.
5.化简：
（1）； （2）.
6.（例2）化简：
（1）； （2）.
7.化简：
（1）； （2）.
8.（例3）计算：
（1）； （2）.
9.计算：
（1）； （2）.
10.（例4）计算：.
11.计算：.
过关检测
第1关
12.化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
13.计算：
（1）； （2）.
第2关
14.计算：
（1）； （2）.
15.已知长方形的面积为，相邻两边中一边长为，求另一边长.
16.计算：.
17.计算：.
第3关
18.若实数，满足.
（1）求；
（2）若满足上式的为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长.
19.一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，现将玻璃容器中的一部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁通中，当铁通装满水时，玻璃容器中的水面下降了，那么铁通的底面边长是多少？
第6课 二次根式的除法（2）
1.（1） （2）2 2.（1） （2） （3） （4）
3.解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
4.解：（1）原式=
（2）原式=
5.解：（1）原式=
（2）原式=
6.解：（1）原式=
（2）原式=
7.解：（1）原式=
（2）原式=
8.解：（1）原式=
（2）原式=
9.解：（1）原式=
（2）原式=
10.解：原式=
11.解：原式=
12.（1） （2） （3） （4）
13.解：（1）原式= （2）原式=
14.解：（1）原式= （2）原式=
15.解：，所以另一边长为
16.解：原式=
17.解：原式=
18.解：（1）由题意得c-3≥0，3-c≥0，
∴c=3，
∴a=，b=2
（2）当a是腰长，b是底边时，等腰三角形的周长=
当b是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长=
19.解：设铁桶的底面边长为xcm，
则
解得，即铁桶的底面边长为cm.第7课 二次根式的加减法
新课学习
， ， ， ， ， ， ，
合并同类项 VS 二次根式的加减
举例
法则 字母及指数不变，系数相加 根式不变，系数相加
1.（例1）计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
2.计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
探究：同类二次根式： 后，被开方数相同的二次根式.如和.
3.（例2）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
5.最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 .
6.（例3）计算：
（1）； （2）.
二次根式加减方法总结：先化成 ，在合并 .
7.计算：
（1）； （2）
8.（例4）计算：.
9.计算：.
过关检测
10.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.合并：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
12.下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
13.计算：（1） ；
（2） .
14.（1）三角形的三边长分别为和，则它的周长为 .
（2）最简二次根式和最简二次根式是同类二次根式，则 .
15.计算：
（1）； （2）.
第3关
16.计算：.
计算：.
18.已知，求的值.
19.一个三角形的三边长分别为，，
（2）请给出一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长.
第7课 二次根式的加减法
1.（1） （2） （3） （4）
2.（1） （2） （3） （4）
3.D 4.B 5.4
6.解：（1）原式=
（2）原式=
7.解：（1）原式=
（2）原式=
8.解：原式=
9.解：原式=
10.D 11.（1） （2） （3） （4） 12.C
13.（1） （2）
14.（1） （2）3
15.解：（1）原式=
（2）原式=
16.解：原式=
17.解：原式=
18.解：原式=
19.解：（1）原式=
所以这个三角形的周长为.
要使该周长为整数，必须使为2的整数倍.
令=2，得x=。 此时，周长=5（答案不唯一.）第8课 二次根式的混合运算
知识储备
1.化简:
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
2.计算:
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ；
新课学习
3.（例1）计算：
（1）； （2）.
4.计算：
（1）； （2）.
5.计算：.
6. 计算:
（1）； （2）.
7.（例2）已知，求下列各式的值.
（1）； （2）.
8.已知，求下列各式的值.
（1）； （2）.
过关检测
第1关
9.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D..
10.已知，则 ， ， .
11.化简的结果是（ ）
A. B. C.2 D.
12.若长方形的长为，宽为，则长方形的周长为 ，面积为 ，
第2关
13.计算：
（1）；
（2）.
计算：.
15.如图，在中，于. ，求的长.
16.如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积.
第3关
17已知，求的值.
18. 细心观察图形，解答问题：
（1） ； ； ； ；
（2）的周长= ；
（3）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
第8课 二次根式的混合运算
1.（1） （2） （3） （4）3a （5）
（6） （7） （8）
2.（1） （2） （3）
（4）2
3.解：（1）原式=
（2）原式=
4解：（1）原式=
（2）原式=
5.解：原式=
6.解：（1）原式=
（2）原式=
7.解：（1）原式=
（2）原式=
8.解：（1）原式=
9.D 10. 2 2 11.A 12.12cm 2cm2
13.解：（1）原式=
（2）原式=
14.解：原式=
15.解：由
16.解：阴影部分的面积等于：
17.解：
18.解:(1) 2 n (2)
(3)设它是第n个三角形，
则它的面积为2
解得n=32
∴它是第32个三角形.第9课 二次根式单元复习
基础练习
1.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.使式子有意义的的取值范围是（ ）
A. B.且
C. D.且
3.计算：的值是（ ）
A.2 B.3 C. D..
4.化简二次根式得（ ）
A. B. C. D. 6
5.下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
6.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
7.若，则的值是（ ）
A.-1 B. 1 C. 2 D. 3
8.下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.计算： .
10.计算： .
11.计算：
（1）；
（2）.
12.计算：
（1）；
（2）.
提升练习
13.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14.如果，那么（ ）
A. B. C. D.
15.计算： .
16.若是正整数，最小的整数是（ ）
A. 6 B. 3 C. 48 D. 2
17.当时，化简的结果是（ ）
A.-1 B. 1 C. D.
18.已知，则（1） ；（2） .
19.计算：
（1）；
（2）.
20.观察下列各式：
；
请你猜想:
（1） ， ；
（2）计算（请写出推导过程）：.
（3）请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来： .
21.先阅读，后解答：
像上述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.
（1）的有理化因式是 ；的有理化因式是 .
（2）将下列式子进行分母有理化：
① ； ② .③已知，比较与的大小关系.
化简：
第9课 二次根式单元复习
1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.B 7.B 8.B 9.-3 10.
11.解：（1）原式=
（2）原式=
12.解：（1）原式=
（2）原式=
13.C 14.B 15. 16.B 17.A 18.(1) (2)4
19.解：（1）原式=
（2）原式=
20.解：（1）
（2）
（3）
21解：（1） （2）① ②
③∵
∴a=b
（3）原式=