北师大版数学九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程同步测试（word版含答案）

北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法求解一元二次方程 同步测试
一．选择题
1． 用公式法解方程5x2=6x﹣8时，a、b、c的值分别是（　　）．
A．5、6、﹣8 B．5、﹣6、﹣8 C．5、﹣6、8 D．6、5、﹣8
2．已知4个数据： ，2，a，b，其中a、b是方程﹣2x﹣1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（　　）．
A．1 B． C．2 D．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）．
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
4．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（　　）．
A．2x2﹣6x+1=0 B．3x2﹣x﹣5=0 C．x2+x=0 D．x2﹣4x+4=0
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）．
A．k≥﹣1 B．k＞﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
6．关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）．
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
7．方程（x﹣5）（x+2）=1的解为（　　）．
A．5 B．﹣2 C．5和﹣2 D．以上结论都不对
8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ 　）．
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
9．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
10．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）．
A．k≥ B．k＞ C．k＜ D．k≤
11．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
12．有一块长30 m、宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上画出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示(单位：m)，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为 (　　)．　
A．(30﹣x)(20﹣x)=×20×30 B．(30﹣x)(20﹣x)=×20×30
C．30x+2×20x=×20×30 D．(30﹣2x)(20﹣x)=×20×30
二．填空题
13． 写出方程x2+x﹣1=0的一个正根_______
14．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_____．
15．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
16．关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值
为　 　．
17．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=　 　，b=　 　．
18．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为___m．
三．解答题
19．用公式法解下列方程：
（1）； （2）； （3）； （4）；
20．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
　
21．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．
22．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
23．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2
(2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？
24．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动;同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t s，是否存在某一时刻，使S△DPQ=28 cm2 若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由．
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法求解一元二次方程 答案提示
一．选择题
1． 用公式法解方程5x2=6x﹣8时，a、b、c的值分别是（　　）选C．
A．5、6、﹣8 B．5、﹣6、﹣8 C．5、﹣6、8 D．6、5、﹣8
2．已知4个数据： ，2，a，b，其中a、b是方程﹣2x﹣1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（　　）选A．
A．1 B． C．2 D．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）选A．
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
4．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（　　）选D．
A．2x2﹣6x+1=0 B．3x2﹣x﹣5=0 C．x2+x=0 D．x2﹣4x+4=0
5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）选C．
A．k≥﹣1 B．k＞﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
6．关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）选D．
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
7．方程（x﹣5）（x+2）=1的解为（　　）选D．
A．5 B．﹣2 C．5和﹣2 D．以上结论都不对
8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　）选D．
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
9．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）选D．
A． B． C．且 D．且
10．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）选D．
A．k≥ B．k＞ C．k＜ D．k≤
11．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）选A．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
12．有一块长30 m、宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上画出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示(单位：m)，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为 (　　)选D．　
A．(30﹣x)(20﹣x)=×20×30 B．(30﹣x)(20﹣x)=×20×30
C．30x+2×20x=×20×30 D．(30﹣2x)(20﹣x)=×20×30
二．填空题
13． 写出方程x2+x﹣1=0的一个正根_______
14．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是___1__．
15．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞﹣且a≠0　．
16．关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值
为　1　．
17．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=　4　，b=　2　．
18．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_2__m．
三．解答题
19．用公式法解下列方程：
（1）；（2）；（3）；（4）；
解：（1）；（2）；
（3）原方程没有实数根；（4）；
20．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a=0中，
△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．　
21．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．
解：设道路的宽为x米，则可列方程x(12﹣4x)+x(20﹣4x)+16x2=×20×12，
即x2+4x﹣5=0．解得x1=1，x2=﹣5(不合题意，舍去)．
答：道路的宽为1米．
22．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
原方程可化为(b＋c)x2－2ax＋cm－bm＝0，
Δ＝4ma2－4m(c－b)(c＋b)＝4m(a2＋b2－c2)．
∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，
∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
23．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2
(2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？
解：(1)当所围矩形的长为30 m，宽为25 m时，能使矩形的面积为750 m2　(2)不能，理由略．
24．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
(1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2．
∵不论m为何值，(m－2)2≥0，
即Δ≥0．
∴不论m为何值，方程总有实数根．
(2)解：解关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，得
x＝＝．
∴x1＝，x2＝1．
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，∴m＝1或m＝2．
又∵方程的两个根不相等，
∴m≠2，∴m＝1．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动;同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t s，是否存在某一时刻，使S△DPQ=28 cm2 若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由．
解：存在．依题意知
S△DPQ=S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ
=12×6﹣·12t﹣(6﹣t)·2t﹣×6·(12﹣2t)=28．
解得t1=2，t2=4．
故存在某一时刻，使S△DPQ=28 cm2，此时t的值为2或4．