中考数学专题训练——二元一次方程组的应用（word版 含解析）

中考专题训练——二元一次方程组的应用
新新儿童服装店对“天使”牌服装进行调价，其中A型服装每件的价格上调了10%，B型服装每件的价格下调了5%，已知调价前买这两种服装各一件共花费140元，调价后买3件A型服装和2件B型服装共花费350元，则这两种服装在调价前每件各多少元？
我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？
为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展字“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
4．某景区每张成人票8元，每张儿童票5元，售出1000张票，得票款6920元，
（1）问成人票与儿童票各售出多少张？
（2）若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？
5．为预防新冠肺炎病毒，市面上KN95等防护型口罩出现热销．已知3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
6．某物流公司在运货时有A、B两种车型，如果用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运18吨货物．现需要运输货物32吨，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？
若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金．
7．随着天气回暖，运动休闲服装大量上市．某商场购进了一批A、B两款休闲运动装，已知每件A和每件B的进价之和为1280元，且购进2件A和3件B共需2820元．
（1）请分别求出每件A和每件B的进价；
（2）四月以前，商场将A款服装按进价提高50%出售，每天可销售A款服装3件，B款服装售价每件525元，每天可销售B款服装20件；进入四月后，需求量有所下降，该商场决定在之前售价的基础上，降价促销以增加销量，尽可能的减少库存，若A款服装每件每降价40元，每天销量在四月以前的基础上就多增加2件，同时B款服装打8折出售，每天销量在四月以前的基础上增加10件，若要使调价后每天利润达到8310元，则A款服装售价每件降价多少元出售？
8．2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，主题口号一起向未来倡导追求团结、和平、进步、包容的共同目标，是更快、更高、更强、更团结奥林匹克精神的中国宣扬，表达了世界需要携手走向美好未来的共同愿望．某商店购进了一批冬奥商品共100件（两种商品均有购进），每件A型商品的进价比每件B型商品的进价多30元；5件A型商品进价比6件B型商品进价总额多50元．
（1）求每件A型冬奥商品和B型冬奥商品的进价；
（2）若商店出售A型商品的售价为160元/件，B型商品的售价为120元/件，为了庆祝中国奥运健儿夺金，商店决定将A型商品的售价下调m（0＜m≤20）元，B型商品的售价不变，且购进A型商品的数量不少于B型商品数量的三分之一，请求出该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案．
9．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共100个，花去3300元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 35 50
雪容融 30 40
（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
（2）这100个吉祥物玩具很快售完，所得利润全部捐赠给了山区贫困学生．那么该玩具店捐赠了多少钱？
10．在刚结束的北京冬奥会上，中国取得了多项历史性突破．为此某班举行“北京冬奥知多少”班会．小陈第一次购买奖品情况的明细表如表：因污损导致部分数据无法识别，根据表，解决下列问题：
商品名 单价（元） 数量（个） 金额（元）
签字笔 3 2 6
圆规 5 ● ●
笔记本 4 ● ●
HB铅笔 2 4
合计 7 23
（1）小陈购买圆规，笔记本各多少？
（2）若小陈再次购买笔记本和HB铅笔两种学习用品，共花费14元，则有哪几种不同的购买方案？
11．如图，这是Excel工作表的一部分，字母A一E依次表示列，数1一5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n．
A B C D E
1 x
2 a
3 w
4 y
5
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值．
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
12．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人，用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
13．某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元．
（1）请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；
（2）已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有哪几种购买方案？
14．某物流公司运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
15．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成9个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成4个侧面．C方式：裁剪成12个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有4块金属板材按C方式裁剪．
（1）设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪．
①可以裁剪出圆形底面共 　 　个（用含x的代数式表示），侧面共 　 　个（用含x，y的代数式表示）；
②当n＝25时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
（2）现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值可以是 　 　．（其中50≤n≤70）
16．为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．
（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？
17．学校计划向某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉．
（1）求1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？
（2）学校计划定制6500盆花卉，该货运公司将同时派出甲型货车m辆、乙型货车n辆来运输这批花卉，一次性运输完毕，并且每辆货车都满载，请问有哪几个运输方案？
18．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
19．某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
20．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板　 　张，长方形纸板　 　张．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜310．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
参考答案：
1．新新儿童服装店对“天使”牌服装进行调价，其中A型服装每件的价格上调了10%，B型服装每件的价格下调了5%，已知调价前买这两种服装各一件共花费140元，调价后买3件A型服装和2件B型服装共花费350元，则这两种服装在调价前每件各多少元？
【分析】设调价前A型服装每件x元，B型服装每件y元，根据“调价前买这两种服装各一件共花费140元，调价后买3件A型服装和2件B型服装共花费350元”结合调价规则，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设调价前A型服装每件x元，B型服装每件y元，
根据题意得：，
解得：．
答：调价前A型服装每件60元，B型服装每件80元．
2．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？
【分析】设共有x人，共有y两银子，根据“若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两”列二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设共有x人，共有y两银子，
根据题意，得，
解得，
∴银子共有46两．
3．为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展字“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
【分析】设有x个学生，有y个垃圾袋，根据题意“每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个”列二元一次方程组，即可求出．
【解答】解：设有x个学生，有y个垃圾袋，
根据题意，得，
解方程组，得，
∴有9个学生，准备了23个垃圾袋．
4．某景区每张成人票8元，每张儿童票5元，售出1000张票，得票款6920元，
（1）问成人票与儿童票各售出多少张？
（2）若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？
【分析】（1）设售出成人票x张，儿童票y张，利用总价＝单价×数量，结合共售出1000张票，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）所得的票款不可能是7290元，设售出成人票m张，儿童票n张，利用总价＝单价×数量，结合共售出1000张票，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，结合m，n均为自然数，即可得出所得的票款不可能是7290元．
【解答】解：（1）设售出成人票x张，儿童票y张，
依题意得：，
解得：．
答：售出成人票640张，儿童票360张．
（2）所得的票款不可能是7290元，理由如下：
设售出成人票m张，儿童票n张，
依题意得：，
解得：，
又∵m，n均为自然数，
∴不符合题意，舍去，
∴所得的票款不可能是7290元．
5．为预防新冠肺炎病毒，市面上KN95等防护型口罩出现热销．已知3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，可得7m+8n＝160，将二元一次方程中m和n分别取正整数值，即可得出购买方案．
【解答】解：（1）设一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是x元和y元，
根据题意，得，
解得，
∴一个A型口罩5元，一个B型口罩8元．
（2）设购买A型口罩m个，B型口罩n个，
根据题意，得5（1+40%）m+8n＝160，
即7m+8n＝160，
∴满足条件的m，n有：m＝8，n＝13或m＝16，n＝6，
∴小红有2种购买方案：
第一种方案：A型口罩购买8个，B型口罩购买13个；
第二种方案：A型口罩购买16个，B型口罩购买6个；
6．某物流公司在运货时有A、B两种车型，如果用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运18吨货物．现需要运输货物32吨，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？
（2）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金．
【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物y吨，根据“用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运18吨货物”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需租用A型车m辆，B型车n辆，根据这些车一次可运输32吨货物且每辆车都载满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运输货物x吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满货物一次可运输货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运输货物4吨．
（2）设需租用A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：3m+4n＝32，
∴n＝8﹣m．
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，5辆B型车，所需租车费用为200×4+240×5＝2000（元）；
方案2：租用8辆A型车，2辆B型车，所需租车费用为200×8+240×2＝2080（元）．
∵2000＜2080，
∴当租用4辆A型车，5辆B型车时，租金最少，最少租金为2000元．
7．随着天气回暖，运动休闲服装大量上市．某商场购进了一批A、B两款休闲运动装，已知每件A和每件B的进价之和为1280元，且购进2件A和3件B共需2820元．
（1）请分别求出每件A和每件B的进价；
（2）四月以前，商场将A款服装按进价提高50%出售，每天可销售A款服装3件，B款服装售价每件525元，每天可销售B款服装20件；进入四月后，需求量有所下降，该商场决定在之前售价的基础上，降价促销以增加销量，尽可能的减少库存，若A款服装每件每降价40元，每天销量在四月以前的基础上就多增加2件，同时B款服装打8折出售，每天销量在四月以前的基础上增加10件，若要使调价后每天利润达到8310元，则A款服装售价每件降价多少元出售？
【分析】（1）设每件A的进价为x元，每件B的进价为y元，根据“每件A和每件B的进价之和为1280元，且购进2件A和3件B共需2820元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A款服装售价每件降价m元出售，则每天可售出A款服装（3+×2）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，结合总利润要达到8310元，即可得出关于m的一元二次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合要尽可能的减少库存及（3+×2）为整数，即可得出A款服装售价每件降价320元出售．
【解答】解：（1）设每件A的进价为x元，每件B的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A的进价为1020元，每件B的进价为260元．
（2）设A款服装售价每件降价m元出售，则每天可售出A款服装（3+×2）件，
依题意得：（1020×50%﹣m）（3+×2）+（525×0.8﹣260）×（20+10）≥8310，
整理得：m2﹣450m+39600≤0，
解得：120≤m≤330．
又∵要尽可能的减少库存，且（3+×2）为整数，
∴m＝320．
答：A款服装售价每件降价320元出售．
8．2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，主题口号一起向未来倡导追求团结、和平、进步、包容的共同目标，是更快、更高、更强、更团结奥林匹克精神的中国宣扬，表达了世界需要携手走向美好未来的共同愿望．某商店购进了一批冬奥商品共100件（两种商品均有购进），每件A型商品的进价比每件B型商品的进价多30元；5件A型商品进价比6件B型商品进价总额多50元．
（1）求每件A型冬奥商品和B型冬奥商品的进价；
（2）若商店出售A型商品的售价为160元/件，B型商品的售价为120元/件，为了庆祝中国奥运健儿夺金，商店决定将A型商品的售价下调m（0＜m≤20）元，B型商品的售价不变，且购进A型商品的数量不少于B型商品数量的三分之一，请求出该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案．
【分析】（1）设每件A型冬奥商品的进价为x元，每件B型冬奥商品的进价为y元，根据“每件A型商品的进价比每件B型商品的进价多30元；5件A型商品进价比6件B型商品进价总额多50元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型商品a件，则购进B型商品（100﹣a）件，根据“购进A型商品的数量不少于B型商品数量的三分之一，且两种商品均有购进”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，设该商店将100件冬奥商品全部售出后获得的利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件A型冬奥商品的进价为x元，每件B型冬奥商品的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A型冬奥商品的进价为130元，每件B型冬奥商品的进价为100元．
（2）设购进A型商品a件，则购进B型商品（100﹣a）件，
依题意得：，
解得：25≤a≤99．
设该商店将100件冬奥商品全部售出后获得的利润为w元，则w＝（160﹣m﹣130）a+（120﹣100）（100﹣a）＝（10﹣m）a+2000．
当10﹣m＞0，即0＜m＜10时，w随a的增大而增大，
∴此时该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进99件A型商品，1件B型商品；
当10﹣m＝0，即m＝10时，w的值与a的值无关，
∴该商店购进这批商品获得的利润不变；
当10﹣m＜0，即10＜m≤20时，w随a的增大而减小，
∴此时该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进25件A型商品，75件B型商品．
答：当0＜m＜10时，该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进99件A型商品，1件B型商品；当m＝10时，该商店购进这批商品获得的利润不变；当10＜m≤20时，该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进25件A型商品，75件B型商品．
9．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共100个，花去3300元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 35 50
雪容融 30 40
（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
（2）这100个吉祥物玩具很快售完，所得利润全部捐赠给了山区贫困学生．那么该玩具店捐赠了多少钱？
【分析】（1）设购进冰墩墩x个，雪容融y个，利用总价＝单价×数量，结合该玩具店用3300元购进冰墩墩、雪容融共100个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用捐赠的钱数＝总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进冰墩墩x个，雪容融y个，
依题意得：，
解得：．
答：购进冰墩墩60个，雪容融40个．
（2）（50﹣35）×60+（40﹣30）×40
＝15×60+10×40
＝900+400
＝1300（元）．
答：玩具店捐赠了1300元．
10．在刚结束的北京冬奥会上，中国取得了多项历史性突破．为此某班举行“北京冬奥知多少”班会．小陈第一次购买奖品情况的明细表如表：因污损导致部分数据无法识别，根据表，解决下列问题：
商品名 单价（元） 数量（个） 金额（元）
签字笔 3 2 6
圆规 5 ● ●
笔记本 4 ● ●
HB铅笔 2 4
合计 7 23
（1）小陈购买圆规，笔记本各多少？
（2）若小陈再次购买笔记本和HB铅笔两种学习用品，共花费14元，则有哪几种不同的购买方案？
【分析】（1）设小陈购买圆规x个，笔记本y本，利用总价＝单价×数量，结合表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小陈再次购买笔记本m本，HB铅笔n支，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设小陈购买圆规x个，笔记本y本，
依题意得：，
解得：．
答：小陈购买圆规1个，笔记本2本．
（2）设小陈再次购买笔记本m本，HB铅笔n支，
依题意得：4m+n＝14，
∴n＝7﹣2m．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买1本笔记本，5支HB铅笔；
方案2：购买2本笔记本，3支HB铅笔；
方案3：购买3本笔记本，1支HB铅笔．
11．如图，这是Excel工作表的一部分，字母A一E依次表示列，数1一5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n．
A B C D E
1 x
2 a
3 w
4 y
5
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值．
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
【分析】（1）根据“该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n”，结合a，x，y的值，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n”，结合w＝0，即可得出关于a，x的二元一次方程组（此时m，n可以当成定值），解之即可得出x＝2a．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：m的值为3，n的值为2．
（2）依题意得：，
解得：x＝2a．
答：x与a的数量关系为x＝2a．
12．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人，用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人，用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种客车正好可以坐400名学生，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出m＝20﹣n，再结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人．
（2）依题意得：20m+45n＝400，
∴m＝20﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用小客车11辆，大客车4辆；
方案2：租用小客车2辆，大客车8辆．
13．某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元．
（1）请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；
（2）已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有哪几种购买方案？
【分析】（1）设甲种自动铅笔的进价为x元/支，乙种自动铅笔的进价为y元/支，利用总价＝单价×数量，结合“进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设甲种自动铅笔的进价为x元/支，乙种自动铅笔的进价为y元/支，
依题意得：，
解得：．
答：甲种自动铅笔的进价为3元/支，乙种自动铅笔的进价为5元/支．
（2）依题意得：（3+1）m+5×（1+20%）n＝24，
∴n＝4﹣m．
∵m，n均为非负整数，
∴或或，
∴小静共有3种购买方案，
方案1：购买4支乙种自动铅笔；
方案2：购买3支甲种自动铅笔，2支乙种自动铅笔；
方案3：购买6支甲种自动铅笔．
14．某物流公司运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用一次性装运货物的总重量＝1辆A型车装满货物一次可运货重量×租用A型车的数量+1辆B型车装满货物一次可运货重量×租用B型车的数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案，利用租车费＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可分别求出各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：3a+4b＝31，
∴a＝．
∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车，所需租金为100×9+120×1＝1020（元）；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车，所需租金为100×5+120×4＝980（元）；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车，所需租金为100×1+120×7＝940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴租用1辆A型车，7辆B型车最省钱，此时最少租车费为940元．
15．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成9个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成4个侧面．C方式：裁剪成12个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有4块金属板材按C方式裁剪．
（1）设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪．
①可以裁剪出圆形底面共 　（9x+48）　个（用含x的代数式表示），侧面共 　（x+4y）　个（用含x，y的代数式表示）；
②当n＝25时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
（2）现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值可以是 　55或70　．（其中50≤n≤70）
【分析】（1）①利用裁剪出圆形底面的数量＝9×按A方式裁剪的金属板材数+12×按C方式裁剪的金属板材数，即可用含x的代数式表示出裁剪出圆形底面的数量；利用裁剪出侧面的数量＝1×按A方式裁剪的金属板材数+4×按B方式裁剪的金属板材数，即可用含x，y的代数式表示出裁剪出侧面的数量；
②由共购买了25块相同的金属板材，且裁剪出圆形底面的数量为裁剪出侧面数量的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+4y）中即可求出加工成圆柱形茶叶盒的数量；
（2）利用裁剪出圆形底面的数量为裁剪出侧面数量的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出y＝6+x，结合x，y均为正整数可得出x为8的倍数，由n＝x+y+4及50≤n≤70，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，进而可得出x的值，再将其代入n＝x+10中即可得出结论．
【解答】解：（1）①根据题意可知：可以裁剪出圆形底面共9x+12×4＝（9x+48）个，侧面共（x+4y）个．
故答案为：（9x+48）；（x+4y）．
②依题意得：，
解得：，
∴x+4y＝8+4×13＝60．
答：最多能加工60个圆柱形茶叶盒．
（2）依题意得：9x+48＝2（x+4y），
∴y＝6+x．
∵x，y均为正整数，
∴x为8的倍数．
又∵n＝x+y+4＝x+6+x+4＝x+10，且50≤n≤70，
∴，
解得：≤x≤32，
∴x＝24或32．
当x＝24时，n＝x+10＝×24+10＝55；
当x＝32时，n＝x+10＝×32+10＝70．
故答案为：55或70．
16．为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．
（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？
【分析】（1）设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，根据“购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A、B两种品牌的篮球的单价；
（2）利用节省的总钱数＝每个A品牌的篮球节省的钱数×购买数量+每个B品牌的篮球节省的钱数×购买数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A品牌的篮球的单价为40元，B品牌的篮球的单价为100元．
（2）40×（1﹣0.8）×20+100×（1﹣0.9）×3
＝40×0.2×20+100×0.1×3
＝160+30
＝190（元）．
答：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元钱．
17．学校计划向某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉．
（1）求1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？
（2）学校计划定制6500盆花卉，该货运公司将同时派出甲型货车m辆、乙型货车n辆来运输这批花卉，一次性运输完毕，并且每辆货车都满载，请问有哪几个运输方案？
【分析】（1）设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉，根据“1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次性运完6500盆花卉且每辆货车都满载，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．
【解答】解：（1）设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉，
依题意得：，
解得：．
答：1辆甲型货车满载一次可运输500盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输400盆花卉．
（2）依题意得：500m+400n＝6500，
∴m＝13﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：该货运公司派出甲型货车9辆，乙型货车5辆；
方案2：该货运公司派出甲型货车5辆，乙型货车10辆；
方案3：该货运公司派出甲型货车1辆，乙型货车15辆．
18．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
【分析】（1）根据购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.8＝1584（元），
方案二的花费为：15×100+8×（60﹣100÷10×5）＝1580（元），
1584﹣1580＝4（元），1584＞1580，
答：学校选用方案二更节约钱，节约4元．
19．某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，
依题意得：，
解得：，
∴甲组单独完成装修所需时间为1÷＝12（天），
乙组单独完成装修所需时间为1÷＝24（天）．
施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+200）×12＝6000（元）；
施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（140+200）×24＝8160（元）；
施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营．
20．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板　5　张，长方形纸板　10　张．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
（3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且290＜a＜310．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板及一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数＝4×竖式无盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，可得出a关于m的函数关系式，结合a，m为正整数及290＜a＜310，可找出a的所有可能值．
【解答】解：（1）1+2×2＝5（张），4+3×2＝10（张）．
故答案为：5；10．
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，
依题意，得：，
解得：．
答：竖式纸盒加工38个、横式纸盒加工62个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，
依题意，得：4m+3×＝a，
∴a＝m+243．
∵290＜a＜310，且a，m均为正整数，
∴m可能为20，22，24，26，
∴a可能为293，298，303，308．