数学人教A版2019必修第一册5.7 三角函数的应用 课件（共15张ppt）

(共15张PPT)
5.7三角函数的应用
三角函数的应用
　　现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么我们就可以考虑借助三角函数来描述.
地球自转引起的昼夜交替变化、地球公转引起的四季交替变化、月亮圆缺、潮汐变化、物体做匀速圆周运动时的位置变化、物体做简谐运动时的位移变化、交变电流变化等，都可用三角函数刻画。
三角函数在物理中的应用——简谐运动
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
问题1.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
振子的振动具有循环往复的特点，其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用函数 y＝Asin(ωt＋φ) 来刻画．
根据已知数据作出散点图如右：
三角函数在物理中的应用——简谐运动
由数据表和散点图可知y＝Asin(ωt＋φ) 中，
振子振动时位移的最大值为 20 mm，∴A＝20；
振子振动的周期为 0.6 s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为-20，可得sinφ＝-1，∴φ＝－．∴振子的位移关于时间的函数解析式为
y＝20sin，t∈[0，＋∞)．
　　
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
三角函数在物理中的应用——简谐运动
简谐运动：物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动.
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)，x∈[0,＋∞) 表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的振幅、周期和频率等物理量都与这个解析式中的常数有关：
A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
T＝是简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
f＝＝是简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx＋φ称为相位；x＝0 时的相位φ称为初相．
巩固：三角函数在物理中的应用——简谐运动
P244-1．某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的函数解析式．
析：（1）振幅 A＝3(cm)．周期 T＝4(s)，频率 f＝(Hz)．
（2）由（1）可得 y＝3sin．
由点 (1.2，0) 在图象上可得φ＝＋2kπ (k∈Z)．
取 φ＝，则函数解析式为y＝3sin．
y/cm
x/s
O
3.2
1.2
B
C
－3
3
巩固：三角函数在物理中的应用——匀速圆周运动
动点A(x，y)在单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．
已知当时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y
关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)
A．[0，1]B．[1，7]
C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]
D
三角函数在物理中的应用——交变电流
问题2.图①是某次实验测得的交变电流i(单位：A)随时间t
(单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图②．
(1)求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
析：电流i随时间t的变化规律可用i＝Asin(ωt＋φ) 刻画。
由图②可知，电流最大值为5A，∴A＝5；
电流变化的周期为s，频率为50Hz，即＝50，解得ω＝100π；
由初始状态(t＝0)的电流约为4.33A，可得sinφ＝0.866，∴φ约为．
∴电流i随时间t变化的函数解析式是i＝5sin，t∈[0,+∞)．
三角函数在物理中的应用——交变电流
问题2.图①是某次实验测得的交变电流i(单位：A)随时间t
(单位：s)变化的图象．将测得的图象放大，得到图②．
(1)求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
i＝5sin，t∈[0,+∞)．
（2）当 t＝0，，，， 时，求电流i．
当t＝0时，i＝；当t＝时，i＝5；当t＝时，i＝0；
当 t＝时，i＝－5；当 t＝时，i＝0．
三角函数在物理中的应用——交变电流
一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压 U（单位：V）关于时间 t（单位：s）的函数解析式．
U
t
O
0.02
0.04
－311
311
析：周期为 0.02 s，频率为 50 Hz，电压的最大值为 311 V．电压和时间的函数解析式为 U＝311sin 100πt ，t∈[0，＋∞)．
三角函数在生活中的应用——气温变化
例1.如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b．
（1）求这一天 6～14 时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
x/h
8
6
10
12
14
y/℃
O
10
20
30
解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20℃．
(2)由图可知，6～14 时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b①
的半个周期的图象，∴A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20．
∵×＝14－6，∴ω＝．
将 A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10 代入①式，可得 φ＝．
综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]．
三角函数在生活中的应用——潮汐变化
例2.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报．
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）．
y
x
O
2
4
6
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
根据上表数据画散点图，从其形状可判断，港口的水深与时间的关系可用形如y＝Asin(ωt＋φ)＋h的函数来刻画，其中 x 是时间，y是水深．根据数据可得A=2.5，h=5，T=12.4=，得ω=，φ=0．∴可用y＝2.5sint＋5近似描述.
巩固：三角函数在生活中的应用——油价变化
例3 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋)＋60(美元)，其中A>0，ω>0．先采集到下列信息：最高油价80美元，当t =150天时达到最低油价，则ω的最小值为______________.
小结：三角函数的应用
1.三角函数y=Asin(wx+φ)+b可描述现实世界中周期变化的一种数学模型，可用于刻画周期性规律；
2.用函数模型解决实际问题的一般步骤：
收集数据—→作散点图—→选择函数模型—→求解函数模型
—→检验及预测
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数学好学
学好数学
hào
hǎo
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