鲁教版（五四制）数学七年级下册 7.1 二元一次方程组 教案

二元一次方程组
【教学目标】
一、教学知识点。
（一）体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
（二）二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
二、能力训练要求。
（一）通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型。
（二）了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
三、情感与价值观要求。
（一）体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识。
（二）通过对学生熟悉的传统内容（如鸡兔同笼）的讨论，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】
一、重点。
（一）通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型。
（二）了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
二、难点。
（一）探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组。
（二）判断一组数是不是二元一次方程组的解。
【教学方法】
学生自主探索——教师引导的方法。
学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础。在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组。
【教学过程】
一、创设情境，引入新课。
［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”谁能用我们学过的知识来解答一下呢？
［生］解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，根据题意，可得：
2x+4(35－x)=94；
解得x=23。
∵35－x=35－23=12；
答：鸡有23只，兔有12只。
［生］不用方程也可以解答：
如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了。接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡。
［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学。我们用掌声鼓励他们。接下来，老师说一种新的思路。在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94。如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94。
这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组。
二、讲授新课。
出示：
有这么一段对话：老牛和小马驮着包裹走在路上。老牛：累死我了！小马：你还累？这么大的个儿，才比我多驮2个。老牛：哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！小马：真的？！请问：老牛和小马各驮了多少包裹呢？
［师生共析］设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。从老牛和小马的对话中，我们可以探索到其中的等量关系：①老牛驮的包裹－小马驮的包裹数=2，②老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数－1)×2。由此我们就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)。
出示：
星期天，俱乐部举行“希望工程”义演，每张成人票5元，每张儿童票3元。我们共去了8个人，买门票花了34元，请问我们共去了几个成人，几个儿童呢？如果设我们共去了x个成人，y个儿童，由此你能找到怎样的等量关系？得到怎样的方程呢？
［生］在上述问题中，我们可以找到的等量关系为：成人人数+儿童人数=8，成人票款+儿童票款=34。
由此我们可得方程x+y=8和5x+3y=34。
［师］在上面的两个问题中，我们得到了四个方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34。在这四个方程中，它们有何共同的特点。下面请同学们分组讨论。
（此时，老师可参与到学生的讨论中，引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？含有未知数的项的次数是几次？）
［生］上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数的项的次数都是一次。老师，我们能不能把它们叫二元一次方程。因为我国古代就把未知数叫做元，并且它们的未知数的次数是一次。
［师］很好。它们的确都是二元一次方程。但我有一个问题和大家共讨论。我这儿有一个方程6xy－3=2。它也含有两个未知数，且未知数的次数x，y都是一次，它和上面的四个方程一样吗？
［生］不一样。它虽然含有两个未知数，未知数x，y也都是一次的，但6xy这一项即含未知数的项却是二次的。
［师］你真棒。正像这位同学说的，6xy－3=2不是二元一次方程。x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34它们才是二元一次方程。能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗？
［生］含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
［师］接下来，我们讨论下面的问题：
在上面的方程x－y=2和x+1=2(y－1)中，x，y的含义相同吗？
［生］应该相同。在两个二元一次方程中，x都表示老牛驮的包裹数，y都表示小马驮的包裹数，因此x，y的含义是相同的。
［师］也就是说，x、y既满足第一个方程x－y=2，又满足第二个方程x+1=2(y－1)。于是我们把它们联立起来，得：
像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。如：和都是二元一次方程组。注意在一个方程组中x、y应代表同一个量。
出示：
做一做（一）x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他x、y值适合方程x+y=8吗？（二）x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？（三）你能找到一组x、y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？（四）从以上三个问题归纳总结什么是二元一次方程的解？它的解有何特点？（五）满足何条件的一组值才能是二元一次方程组的解？
（请同学们分组讨论完成，教师深入学生当中，随时发现同学们讨论问题时的闪光点。）
［师生共析］（一）把x=6，y=2代入方程x+y=8的左边得x+y=6+2=8，左边=右边，所以x=6，y=2是适合方程x+y=8。我们把适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解。因此x=6，y=2即为x+y=8的一组解。
我们会发现x=5，y=3也适合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一组解。
还有没有其他的x，y的值适合方程x+y=8呢？
［生］有。如x=1，y=7；x=4，y=4；x=8，y=0；……
［生］我发现，只要给出x的一个值，代入x+y=8中，便可得到y的一个值。例如我们设x=－1，则代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9。所以x=－1，y=9适合方程，是方程的一个解。也因此而得到x+y=8的解有无数多个。
［师生共析］（二）把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左边=5x+3y=5×5+3×3=34。所以x=5，y=3是方程5x+3y=34的一个解。同样x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一个解。我们把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一个解记作同样也是方程5x+3y=34的一个解。
（三）由（一）、（二）我们可以发现既是方程x+y=8的一个解，也是5x+3y=34的一个解。我们把这两个二元一次方程的公共解，叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解。例如就是二元一次方程组的解。
三、例题精析。
［例1］已知方程2xm+2+3y1－2n=17是一个二元一次方程，则m=________，n=________。
解：由二元一次方程的定义，得：
m+2=1，1－2n=1；
∴m=－1，n=0。
［例2］写出一个以为解的二元一次方程组。
解：答案不是惟一。只要写出的二元一次方程组的解是即可。例如。
评注：二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程。
四、课时小结。
这节课通过对实际问题的分析，使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模型。在此基础上，我们了解了二元一次方程。二元一次方程组及其解等概念，并学会了判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
五、活动与探究。
求二元一次方程2x+y=7的正整数解。
过程：我们知道求二元一次方程2x+y=7的正整数解，就是求适合2x+y=7的一组未知数的正整数的值。2x+y=7的解有无数多个，而正整数解只有九个。由等式的性质可由方程2x+y=7得到y=7－2x，由于x，y只能取正整数，所以x=1，2或3。
当x=1时，y=7－2×1=5；
当x=2时，y=7－2×2=3；
当x=3时，y=7－2×3=1。
结果：二元一次方程2x+y=7的正整数解为。
六、参考练习。
（一）填空题。
1．已知方程2x2n－1－3y3m－n+1=0是二元一次方程，则m=_________，n=_________。
2．方程①2x+5y=0；②2x－=8；③5x+2y=7；④4x－xy=3；⑤；⑥x－2y2=6；⑦+y=5中，二元一次方程有_________。（填序号）
3．若x－3y=2，则7－2x+6y=_________。
4．若x=1，y=－1适合方程3x－4my=1，则m=_________。
5．在x－5y=7中，用x表示y=_________；若用y表示x，则_________。
答案：
1．、；
2．①③⑤⑦；
3．7－2x+6y=7－2(x－3y)=7－2×2=3；
4．－；
5．、7+5y。
（二）选择题。
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
2．下列各对数中，是方程组的解是（ ）。
A．
B．
C．
D．均不对
3．已知是方程组的解，则a等于（ ）。
A．
B．2
C．1
D．－2
4．若是方程3x+y=0的一个解（a≠0）。则有（ ）。
A．A、B异号
B．A、B同号
C．A、B同号也可能异号
D．以上均不对
答案：1．C；2．B；3．A；4．A。
（三）已知方程，求当x=－3时，y的值。
答案：－3。
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