2022—2023学年北师大版数学九年级上册 1.2矩形的性质与判定 同步测试 （Word版，含解析）

北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定 同步测试
一．选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．2．5km B．3km C．4．5km D．5km
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．2．5 C．3 D．4
4．如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD＝2，DE＝1，CF＝2，且AG＝CH，则EG+FH＝（　　）
A．+1 B． C．3 D．
如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
6．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（　　）
A．80° B．60° C．45° D．40°
7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E．已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．4
8．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（　　）
A．16 B．22或16 C．26 D．22或26
9．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（　　）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为(　　)
A．4 B．2 C．8 D．8
11．如图所示，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝2 cm，AD＝4 cm，则四边形EFGH的面积为(　　)　
A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
12．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）
14．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 　　．
15．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在AD与BC之间的点F处，如果∠CBF＝20°，那么∠BEF＝　　度．
16．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当BC＝2AB时，四边形PEMF为________形．　
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为　　．
18．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．
三．解答题
19．如图在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形
21．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：AE平分∠BAD．
22．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1 cm/s向点C，A运动．
(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？请说明理由．
(2)若AC＝16 cm，BD＝12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．
24．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD．
(1)如图①，求证：四边形DBEF是矩形；
(2)如图②，当∠DFB＝30°时，连接AE交BF于点G，连接DG，若AB＝2，求DG的长．
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定 答案提示
一．选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：C．
2．如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．2．5km B．3km C．4．5km D．5km
解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AB＝5km，
∴CM＝2．5（km），
即M，C两点间的距离为2．5km，
故选：A．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．2．5 C．3 D．4
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故选：C．
4．如图，矩形ABCD中，E，F是CD上的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD＝2，DE＝1，CF＝2，且AG＝CH，则EG+FH＝（　　）
A．+1 B． C．3 D．
解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF＝∠AGQ＝90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH＝∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ＝CF＝2，FH＝QG，
∵∠D＝∠DAM＝∠AME＝90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM＝DE＝1，EM＝AD＝2，
∴MQ＝2﹣1＝1，
∴Rt△EMQ中，EQ＝＝＝，
即EG+QG＝EG+FH＝．
故选：B．
如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，
故选D．
6．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（　　）
A．80° B．60° C．45° D．40°
解：图形中∠1=40°，
∵矩形的性质对角线相等且互相平分，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．
故选A．
7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E．已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　)4．A．
A．2 B．3 C．4 D．4
8．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（　　）
A．16 B．22或16 C．26 D．22或26
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，
即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；
②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，
即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；
即矩形的周长是22或26
9．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（　　）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
解：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
∴AD=BC，AB=DC，
∴四边形变成平行四边形，
故A正确；
BD的长度增加，
故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，
∴面积变小了，故C错误；
∵四边形的每条边的长度没变，
∴周长没变，
故D正确，
故选C．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为(　　)10．A　
A．4 B．2 C．8 D．8
11．如图所示，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝2 cm，AD＝4 cm，则四边形EFGH的面积为(　　)11．B　
A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
12．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
．∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
二．填空题
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）
解：可以添加条件∠DAB=90°，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠DAB=90°
14．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 　3　．
解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝BE＝3，
故答案为3．
15．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在AD与BC之间的点F处，如果∠CBF＝20°，那么∠BEF＝　55　度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝90°﹣20°＝70°，
∵△FBE是△ABE沿直线BE翻折得到的，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠ABF＝×70°＝35°，
∴∠CBE＝∠CBF+∠FBC＝20°+35°＝55°，
∴∠FEB＝∠AEB＝∠CBE＝55°，
故答案为：55．
16．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当BC＝2AB时，四边形PEMF为________形．6．矩　
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为　6　．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝24，OA＝OB＝OD＝OB＝12，
∵E、F分别为AO，AD的中点，
∴EF＝OD＝6，
故答案为：6．
18．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．
18．(2，4)或(3，4)或(8，4)
三．解答题
19．如图在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
解：（1）在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△MAD和△ABN中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠F．
∵∠F=45°，
∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB=∠DAE=45°．
∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
21．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：AE平分∠BAD．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°．
∵EF⊥ED，
∴∠BEF＋∠CED＝90°．
∴∠BFE＝∠CED．
又∵EF＝ED，
∴△EBF≌△DCE．
∴BE＝CD．
∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°．
∴∠EAD＝45°．
∴∠BAE＝∠EAD．
∴AE平分∠BAD．
22．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1 cm/s向点C，A运动．
(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？请说明理由．
(2)若AC＝16 cm，BD＝12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
解：(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F两动点分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，∴AE＝CF，∴OE＝OF，
∴BD，EF互相平分，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．
∵BD＝12 cm，∴EF＝12 cm，
∴OE＝OF＝6 cm．
∵AC＝16 cm，∴OA＝OC＝8 cm，
∴AE＝2 cm或AE＝14 cm．
∵动点的速度都是1 cm/s，
∴t＝2 s或t＝14 s．
故当运动时间t＝2 s或14 s时，四边形DEBF为矩形．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．
解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠CAF，
∵∠EAD＝∠DCB，
∴∠CAD＝2∠DCB，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝BE，CE＝AE，
∴BC＝3CE．
24．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD．
(1)如图①，求证：四边形DBEF是矩形；
(2)如图②，当∠DFB＝30°时，连接AE交BF于点G，连接DG，若AB＝2，求DG的长．
解：(1)证明：∵CE＝CD，CF＝CB，
∴四边形DBEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∴DE＝BF，
∴ DBEF是矩形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CE，
∴∠ABG＝∠ECG，∠GAB＝∠GEC．
又∵CD＝CB＝CE＝AB＝2，
∴△ABG≌△ECG，
∴BG＝CG＝BC＝1．
∵四边形DBEF是矩形，∴∠BDF＝90°．
∵∠DFB＝30°，∴∠DBF＝60°．
∵CD＝CB，∴△BCD是等边三角形，
∴DG⊥BC，
∴DG＝＝．
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
（1）证明：连接DE，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，
∴DE＝AB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF＝＝＝3，
∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7．5．