2022—2023学年北师大版数学九年级上册 1.3正方形的性质与判定 同步测试（word版 含答案）

北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定 同步测试
一．选择题
1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(　　)
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
4．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．若正方形的周长为40，则其对角线长为（　　）
A．100 B．20 C．10 D．10
6．如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是(　　)
A．45° B．22．5° C．67．5° D．75°
下列说法不正确的是(　　)
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
8．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为(　　)
A．4 －4 B．4 ＋4 C．8－4 D．＋1
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE的度数为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
12．如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
二．填空题
13．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是________．
14．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果AB=cm，那么EF＋EG的长为______．
15．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________（只填写序号）
16．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
17．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，
对角线________________的平行四边形是正方形，
对角线 的四边形是正方形．
18．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G．求证：AF＝BE．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
21．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．
求证：．
22．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
23．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
24．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC．
(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；
(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE．
（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形
26．如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；
(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定 答案提示
一．选择题
1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
解：A．不正确，菱形的对角线不相等；
B．不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C．正确，三者均具有此性质；
D．不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
故选：D．
已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(　　) 选：B．
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
4．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，
∵BE：EC=2：1，
∴CE=BC=3cm
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，
解得：x=4，即CH=4cm．故选：C．
5．若正方形的周长为40，则其对角线长为（　　）
A．100 B．20 C．10 D．10
解: ∵正方形的周长为40，∴正方形的边长为10，∴对角线长为10
故选C．
6．如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是(　　)选：B．
A．45° B．22．5° C．67．5° D．75°
下列说法不正确的是(　　)选：D．
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
8．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
解: ∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为(　　)选：A．
A．4 －4 B．4 ＋4 C．8－4 D．＋1
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)选：D．
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE的度数为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
解: ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAS=90°，
∵△AED是等边三角形，
∴∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，
∴∠BAE=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-150°）=15°，
∴∠DFE=∠AFB=90°-15°=75°，
故选D．
12．如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
解：连接AC，BD，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∴和都是等边三角形．
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．
∵是等边三角形，是 BC的中点，
∴．
∴．
∴是直角三角形．
（2）当点P与点C重合时，记作．
此时，是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．
∵和都是等边三角形，
∴．
∴是直角三角形．
（4）当点P与点D重合时，记作．
∵，
∴是等腰三角形．
综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．
故选：C
二．填空题
13．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是________．①③④
14．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果AB=cm，那么EF＋EG的长为______．5cm；
15．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________（只填写序号） ②③或①④
解: 有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：②③或①④．
16．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ,
∴
故答案为： ．
17．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，
对角线________________的平行四边形是正方形，
对角线 的四边形是正方形．
相等 互相垂直 互相垂直且相等 互相垂直平分且相等
18．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　．
解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．
故答案为128．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G．求证：AF＝BE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°．
∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°．
∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF．
在△BCE和△ABF中，
∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，
∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
理由：∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
∴BD=CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，
由（1）知CE=AB，∴AC=CE
又四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形；
解：（3）四边形ACEF不可能是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形
21．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．
求证：．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
22．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
23．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°．又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH．∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．
24．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC．
(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；
(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
解：(1)相等　互相平行
(2)成立．
证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H．
∵EG⊥DE，
∴∠GEH＋∠DEC＝90°．
∵∠GEH＋∠HGE＝90°，
∴∠DEC＝∠HGE．
在△HGE与△CED中，
∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，
∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD．
∵CE＝BF，∴GH＝BF．
又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，
∴四边形GHBF是矩形，
∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE．
∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，
∴HE＝BC，
∴HE＋EB＝BC＋EB，
∴BH＝CE，∴FG＝CE．
(3)成立．FG＝CE，FG∥CE．
25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE．
（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形
解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
CB＝CA
∠BCD＝∠ACE
CD＝CE
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠CAE，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；
解: （2）证明：∵点D为AB中点，
∴∠ADC=90°，
∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形
26．如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；
(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD．
∵E是BC的中点，
∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，
∴∠AEB＝∠DEC＝45°，
∴∠AED＝90°．
在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，
∴四边形PHEF是矩形．
(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：
由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，
∴∠FAP＝∠HDP＝45°．
又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP，
∴PF＝PH，
∴矩形PHEF是正方形．