2022—2023学年北师大版数学九年级上册2．4用因式分解法求解一元二次方程 同步测试（word版 含答案）

北师大版九年级数学上册第二章
2．4用因式分解法求解一元二次方程 同步测试
一．选择题
1．方程x（x﹣3）=0的解为（　　）．
A．x=0 B．x1=0，x2=3 C．x=3 D．x1=1，x2=3
2．若代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，则x的值为（　　）．
A．1或3 B．﹣1或﹣3 C．1或﹣1 D．3或﹣3
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）．
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
4．解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③3x2－5x＋1＝0；④2(3x－1)2＝3x－1．较简便的方法是(　　)．　
A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法
C．①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
5．方程的根为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）．
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
7．如果（x﹣y﹣2）（x﹣y+1）＝0，那么x﹣y＝（　　）．
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1
8．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2＋b2＋ab，则方程（x＋2）△x＝4的实数根是（ ）．
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝－1 D．x1＝0，x2＝－2
9．使分式的值等于0的x的值是( )．
A．-1 B．1或5 C．5 D．1或-5
10．矩形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（　　）．
A．12 B．20 C．2 D．12或2
11．关于的方程的一个根是，则的值是（ ）．
A． B． C． D．或
12．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（ ）．
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
二．填空题
13．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
（1）4x2+16x=5，应选用　 　法；
（2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用　 　法；
（3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用　 　法．
14．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是　 　．
15．小明在解关于x的方程2＝4时，在方程两边都除以，得到方程的根为x＝2．其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的另一个根，你认为遗漏的根是________．
16．已知三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两个根，则该三角形第三边m的取值范围是　 　．
17．方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是　 　．
18．等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______．3或4．
三．解答题
19．用因式分解法解方程．
（1）x2﹣4＝3（x﹣2）； （2）3x（2x+1）＝4x+2；
（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0； （4）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0；
（5）（x﹣1）（x+2）＝4．
20．用适当的方法解下列方程：
(1)2(x－4)2＝32; 　　　　　 　(2)x2－4x＋1＝0；
(3)2x2－7x－3＝0; 　　　　　　(4)x2－6x＋9＝7x－21．
21．先阅读，再解题
解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5
请利用上述这种方法解方程：（2x﹣5）2﹣4（5﹣2x）+3=0．　
22．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为2和3，求方程ax2－bx－c＝0的根．
23．已知实数x满足（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，求x2－x的值
24．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
25．（1）阅读下面的例题：
解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：分两种情况讨论：
①当x≥0时，原方程为：x2﹣x﹣2＝0．
解之得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程为：x2+x﹣2＝0．
解之得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴综上所述，原方程的根是：x＝±2．
（2）请参照例题解方程：
①x2﹣|x|﹣6＝0　　　②x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
北师大版九年级数学上册第二章
2．4用因式分解法求解一元二次方程 答案提示
一．选择题
1．方程x（x﹣3）=0的解为（　　）选B．
A．x=0 B．x1=0，x2=3 C．x=3 D．x1=1，x2=3
2．若代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，则x的值为（　　）选A．
A．1或3 B．﹣1或﹣3 C．1或﹣1 D．3或﹣3
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）选B．
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
4．解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③3x2－5x＋1＝0；④2(3x－1)2＝3x－1．较简便的方法是(　　)选C．　
A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法
C．①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
5．方程的根为（ ）选D．
A． B． C． D．
6．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）选B．
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
7．如果（x﹣y﹣2）（x﹣y+1）＝0，那么x﹣y＝（　　）选C．
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1
8．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2＋b2＋ab，则方程（x＋2）△x＝4的实数根是（ ）选D．
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝－1 D．x1＝0，x2＝－2
9．使分式的值等于0的x的值是( )选C．
A．-1 B．1或5 C．5 D．1或-5
10．矩形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（　　）选D．
A．12 B．20 C．2 D．12或2
解：∵边AB的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，解得x1＝2，x2＝4，
当AB＝2时，利用勾股定理可求得相邻的边为＝，此时矩形ABCD的面积为2×＝2；
当AB＝4时，利用勾股定理可求得相邻的边为＝3，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12；
故选：D．
11．关于的方程的一个根是，则的值是（ ）选D．
A． B． C． D．或
12．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（ ）选C．
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
二．填空题
13．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
（1）4x2+16x=5，应选用　 　法；
（2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用　 　法；
（3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用　 　法．
配方，因式分解，公式．
14．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是　 　．4．
15．小明在解关于x的方程2＝4时，在方程两边都除以，得到方程的根为x＝2．其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的另一个根，你认为遗漏的根是________．x＝－2
16．已知三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两个根，则该三角形第三边m的取值范围是　 　．1＜m＜11．
解：∵x2﹣11x+30＝0，
∴（x﹣5）（x﹣6）＝0，
则x﹣5＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝5，x2＝6，
则该三角形第三边m的取值范围是6﹣5＜m＜6+5，即1＜m＜11，
17．方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是　 　．x1＝2，x2＝0．
解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3＝0的解，
由于另一个方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同
∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣3
解得x1＝2，x2＝0．
18．等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______．3或4．
解：当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3，
∵另两边长是关于x的方程的两个根，
∴x=3是方程的根，∴，∴k=3,
∴，∴x=3或x=1，
∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在，
当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根，
∵另两边长是关于x的方程的两个根，
∴，∴k=4,∴，∴，
∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在，
综上所述，k=3或k=4，
三．解答题
19．用因式分解法解方程．
（1）x2﹣4＝3（x﹣2）； （2）3x（2x+1）＝4x+2；
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0； （4）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0；
（5）（x﹣1）（x+2）＝4．
解：（1）x2﹣4＝3（x﹣2）
（x﹣2）（x+2）﹣3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+2﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
（2）整理得：3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（2x+1）＝0，
可得3x﹣2＝0或2x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣．
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0；
（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣3+4x＝0，
∴x1＝3，x2＝；
（4）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0．
[2（x﹣3）+5（x﹣2）][2（x﹣3）﹣5（x﹣2）]＝0，
（7x﹣16）（﹣3x+4）＝0
∴7x﹣16＝0，﹣3x+4＝0
∴x1＝，x2＝．
（5）方程（x﹣1）（x+2）＝4，
整理得：x2+2x﹣x﹣2﹣4＝0，即x2+x﹣6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得：x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
20．用适当的方法解下列方程：
(1)2(x－4)2＝32; 　　　　　 　(2)x2－4x＋1＝0；
(3)2x2－7x－3＝0; 　　　　　　(4)x2－6x＋9＝7x－21．
解：(1)原方程可化为(x－4)2＝16，
直接开平方，得x－4＝±4，即x1＝8，x2＝0．
(2)x2－4x＋1＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，
∴x＝＝＝2±，
即x1＝2＋，x2＝2－．
(3)2x2－7x－3＝0，∵a＝2，b＝－7，c＝－3，
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×(－3)＝73，
∴x＝，即x1＝，x2＝．
(4)原方程可变形为(x－3)2＝7(x－3)，
(x－3)(x－3－7)＝0，x－3＝0或x－10＝0，
解得x1＝3，x2＝10．
21．先阅读，再解题
解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5
请利用上述这种方法解方程：（2x﹣5）2﹣4（5﹣2x）+3=0．　
解：设2x﹣5=y，
则原方程可化y2+4y+3=0，
解得y1=﹣1，y2=﹣3，
当y=﹣1时，即2x﹣5=﹣1，
解得x=2，
当y=﹣3时，即2x﹣5=﹣3，
解得x=1，
所以原方程的解为x1=1，x2=2．
22．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为2和3，求方程ax2－bx－c＝0的根．
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为2和3，
∴a(x－2)(x－3)＝0，
整理，得ax2－5ax＋6a＝0，
∴b＝－5a，c＝6a．
把b，c代入方程ax2－bx－c＝0，
得ax2＋5ax－6a＝0，
a(x＋6)(x－1)＝0，
∴x1＝－6，x2＝1．
23．已知实数x满足（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，求x2－x的值
解：（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，，
所以，
因为的△＜0，所以方程无解，
所以，所以，
24．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解：（1）[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，
（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝，x2＝1；
（2）x＝＝1+，
由于m为整数，
所以当m﹣1＝1或2时，x＝为正整数，此时m＝2或m＝3，
所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
25．（1）阅读下面的例题：
解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：分两种情况讨论：
①当x≥0时，原方程为：x2﹣x﹣2＝0．
解之得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程为：x2+x﹣2＝0．
解之得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴综上所述，原方程的根是：x＝±2．
（2）请参照例题解方程：
①x2﹣|x|﹣6＝0　　　②x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2（不合题意，舍去）；
∴原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3．
②当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）．
当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．