2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步测试（word版 含答案）

北师大版九年级数学上册第二章
2．5一元二次方程的根与系数的关系 同步测试
一．选择题
1．若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（　　）．　
A．﹣4 B．3 C． D．
2． 已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1 x2=（　　）．
A．4 B．3 C．-4 D．-3
3．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）．
A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1
4．设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则 =（　　）．
A．6 B．8 C．10 D．12
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（　　）．
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
6．若关于x的方程x2＝﹣x﹣2a没有实数根，则a的取值范围是（　　）．
A．a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．a＞﹣
7．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）．　
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
8． 若关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）．
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
9．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1 x2=1，则ba的值是（　　）．
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
10．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是(　　)．
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0
11．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是(　　)．
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m<1 D．m<1且m≠0
12．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）．
A．1 B． C． D．2
二．填空题
13．已知：一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一根为 ．
14．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=　 　．
15．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=　 　．
16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）=　　．
18．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是　　．
三．解答题
19．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－，求方程的另一个根及m的值．
20．关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．
22． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，求a的值．
23．已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2+x1 x2＝4，求k的值．
24．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
25．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
北师大版九年级数学上册第二章
2．5一元二次方程的根与系数的关系 答案提示
一．选择题
1．若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（　　）选D．　
A．﹣4 B．3 C． D．
2． 已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1 x2=（　　）选B．
A．4 B．3 C．-4 D．-3
3．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）选A．
A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1
4．设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则 =（　　）选C．
A．6 B．8 C．10 D．12
5．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）选B．
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（　　）选D．
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+===﹣2=﹣2=﹣5．
6．若关于x的方程x2＝﹣x﹣2a没有实数根，则a的取值范围是（　　）选B．
A．a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．a＞﹣
7．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）选B．　
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
8． 若关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）选A．
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
9．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1 x2=1，则ba的值是（　　）选A．
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
10．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是(　　)选D．
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0
11．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是(　　)选B．
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m<1 D．m<1且m≠0
解：∵关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0有实数根，
∴b2－4ac＝4(m－1)2－4m2＝4－8m≥0，∴m≤．
∵x1＋x2＝－2(m－1)>0，∴m<1．∵x1x2＝m2>0，∴m≠0，∴m≤且m≠0．
12．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）选D．
A．1 B． C． D．2
解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴a+b （﹣）+c＝0，
∴﹣+c＝0，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
二．填空题
13．已知：一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一根为 4 ．
14．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=　 　．
15．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=　5　．
解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 m＜2且m≠1 　．
解：根据题意，得m﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4（m﹣1）×16＞0，
解得m＜2且m≠1．
设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）=　3　．
18．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是　m＞　．
解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
三．解答题
19．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－，求方程的另一个根及m的值．
解：设方程的另一个根为t，根据题意，得
(3－)t＝7，∴t＝＝3＋．
所以－m＝3－＋3＋＝6，即m＝－6．
即方程的另一个根为3＋，m的值为－6．
20．关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围
解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．
解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，
∵x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，
∴4=8（m﹣1），解得m=1．5．
22． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，求a的值．
解： 由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1·x2＝a，
由x12－x22＝10得(x1＋x2)(x1－x2)＝10．
∵x1＋x2＝5，∴x1－x2＝2，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2
∴25－4a＝4，∴a＝．
23．已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2+x1 x2＝4，求k的值．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即12﹣4k×（﹣3）＞0且k≠0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣，
由题意可得（﹣）2﹣＝4，即4k2+3k﹣1＝0，
解得k＝或k＝﹣1，
经检验可知：k1＝，k2＝﹣1都是原分式方程的解，
由（1）可知k＞﹣且k≠0，
∴k＝．
24．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2
=4k2﹣8k+8
=4（k﹣1）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，
若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，
将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2．
25．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
解：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
解：（1）原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±1时，方程有整数解