八年级数学上册 2.4分式方程 同步达标测试题 （Word版，含解析）

2022-2023学年鲁教版八年级数学上册《2.4分式方程》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在①x2﹣x+，②﹣3＝a+4，③+5x＝6，④＝1中，其中关于x的分式方程的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．方程的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝0 C．x＝2 D．无解
3．关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．0 B．2或3 C．2 D．3
4．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣2且k≠﹣1 B．k＞﹣2 C．k＞0且k≠1 D．k＜﹣2
5．若关于x的不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣9 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣4
6．已知a满足方程，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　）
A．3≤b＜4 B．2＜b≤3 C．﹣1＜b≤3 D．8≤b＜9
7．为应对市扬对新冠疫苗越来越大需求，白云大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．铜陵江豚保护中心的李老师每天往返于市区、大通两地，去时先步行2公里再乘公交车10公里；回来时骑小蓝车，来去所用时间恰好一样，已知公交车每小时比步行多走16公里，公交车比骑小蓝车每小时多走8公里，若步行速度为x公里/小时，则可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
9．分式方程的解是 　 　．
10．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为　 　．
11．若不等式3x＜6的解都能使关于x的一次不等式（m﹣1）x＜m+5成立，且使关于x的分式方程＝3+有整数解，那么符合条件的所有整数m的值之和是　 　．
12．如果关于x的分式方程无解，则实数m＝　 　．
13．已知x＝5是分式方程的解，则k的值为　 　．
14．小明在做作业时发现方程 有一部分被墨水污染，通过翻看答案得知原方程无解，则被“■”盖住的数是　 　．
15．若分式方程有解，则k满足的条件为 　 　
16．若关于x的方程＝﹣有增根，则m的值为　 　．
17．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为　 　．
18．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植树 　 　棵．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
21．已知，关于x的分式方程＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
22．整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法．
如此题设“＝a，＝b”得方程解得∴
利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？
23．长沙市北雅中学拟举办“青春似火，激情无限”运动会．为展现学生的青春活力和蓬勃朝气，使学生之间、师生之间和谐融洽的情谊得到进一步发展，计划选购一批篮球与足球，每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，要使购买的篮球数量大于足球数量，则共有几种购买方案？
24．某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：①x2﹣x+是分式，不是分式方程；
②﹣3＝a+4是关于a的分式方程；
③+5x＝6是一元一次方程；
④＝1是关于x的分式方程．
故选：A．
2．解：去分母得：4（x+2）＝16﹣3（x﹣2），
去括号得：4x+8＝16﹣3x+6，
移项合并得：7x＝14，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
故选：D．
3．解：，
2x﹣1＝m+x﹣2，
解得：x＝m﹣1，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝m﹣1中可得：
m﹣1＝2，
∴m＝3，
故选：D．
4．解：∵，
去分母得：2k+2＝x﹣2，
解得x＝2k+4，
∵方程的解为正数，且x﹣2≠0，
∴，
解得k＞﹣2且k≠﹣1．
故选：A．
5．解：不等式组整理得：，
∵关于x的不等式组有解，
∴2a+2≤8，
即a≤3，
解分式方程得y＝，
∵关于y的分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠2，
解得，a≥﹣5且a≠﹣1，
∴﹣5≤a≤3，且a≠﹣1，
∵a为整数，
∴a＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，
∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+0+1+2+3＝﹣8．
故选：B．
6．解：﹣a＝．
∴3﹣a﹣a2+4a＝﹣1．
∴a2﹣3a﹣4＝0．
∴a＝4或a＝﹣1．
经检验：a＝4是增根，舍去．
∴a＝﹣1．
∵有4个整数解0，1，2，3，
∴3≤b＜4．
故选：A．
7．解：∵现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，且现在每天生产x万份疫苗，
∴更新技术前每天生产（x﹣10）万份疫苗．
依题意得：＝+5．
故选：B．
8．解：步行所用时间为：小时，乘汽车所用时间为：小时，骑自行车所用时间为：小时，
所列方程为：．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
9．解：两边同时乘以3x（x+1），得：3x＝2（x+1），
解得x＝2，
∵3x（x+1）＝3×2×3＝18≠0，
∴x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
10．解：分式方程去分母得：2x﹣m＝x﹣1，
解得：x＝m﹣1，
由分式方程的解为正数，得到m﹣1＞0，且m﹣1≠1，
解得：m＞1且m≠2，
故答案为：m＞1且m≠2．
11．解：∵3x＜6
∴x＜2
∵不等式3x＜6的解都能使关于x的一次不等式（m﹣1）x＜m+5成立
∴关于x的一次不等式（m﹣1）x＜m+5的解集是x＜
∴≥2
∵m是整数
∴m＝2，3，4，5，6，7
∵＝3+
∴mx＝3x﹣18+4x
∴x＝
∵＝3+有整数解
∴m＝2，x＝，舍去；
m＝3，x＝，舍去；
m＝4，x＝6，是增根，舍去；
m＝5，x＝9；
m＝6，x＝18；
m＝7，x无解，舍去；
∴5+6＝11
故答案为：11．
12．解：，
mx+3x﹣12＝7，
（m+3）x＝19，
∵方程无解，
∴m+3＝0或x＝＝4，
∴m＝﹣3或，
故答案为：﹣3或．
13．解：∵x＝5是分式方程的解，
∴，
解得k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．解：∵方程 无解，
∴原方程有增根x＝2．
设被“■”盖住的数是a，将原方程去分母得：
a＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2）．
将x＝2代入上式得：
a＝﹣（1﹣2）﹣0＝1．
故答案为：1．
15．解：，
6x＝x+k﹣3（x﹣1），
6x＝x+k﹣3x+3，
6x+3x﹣x＝k+3，
8x＝k+3，
x＝，
∵方程有解，
∴x≠0或x≠1，
∴k≠﹣3或k≠5，
故答案为：k≠﹣3或k≠5．
16．解：方程两边都乘x（1﹣x），
得m2＝（x﹣1）（1﹣x）+x2
∵原方程有增根，
∴最简公分母x（1﹣x）＝0，
解得x＝0或x＝1，
当x＝0时，m2＝﹣1不成立，
当x＝1时，m2＝1，
解得m＝±1，
故答案为：±1．
17．解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，可得：．
故答案是：．
18．解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，
依题意得：﹣＝4，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴（1+25%）x＝125，
即实际每天植树125棵，
故答案为：125．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．解：（1），
原分式方程可化为：+2＝，
﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，
﹣3+2x﹣8＝1﹣x，
2x+x＝1+8+3，
3x＝12，
x＝4，
检验：把x＝4代入（x﹣4）＝0，
∴原分式方程无解；
（2），
原分式方程可化为：﹣1＝，
1+4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
1+4x﹣x+2＝﹣3，
4x﹣x＝﹣3﹣1﹣2，
3x＝﹣6，
x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入（x﹣2）≠0，
∴原分式方程解为x＝﹣2．
20．解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
21．解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x +3x﹣13＝2x ﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x＝，
检验：把x＝ 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．
答：分式方程的解是x＝．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，，
时，分式方程无解，即，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．
综上所述，或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴，
∵，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
22．解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得：
设＝a，＝b，原方程化为：
②×3﹣①×2得：
27b﹣12b＝1
∴b＝③
将③代入②得：
4a+9×＝1
∴a＝
∴
经检验，x＝10，y＝15是原方程的解．
∴甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周．
23．解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（20+x）元，由题意得
＝，
解得：x＝40，
则x+20＝60，
经检验得出：x＝40是原方程的根，
答：足球的单价40元，篮球的单价为60元；
（2）设购进篮球a个，则购进足球（40﹣a）个，根据题意得
，
解得：20＜a≤25，
所以a＝21、22、23、24、25，则40﹣a＝19、18、17、16、15，
∴共有5种方案．
24．解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（+）×10+＝1．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝18（天），
则该工程施工费用是：18×（5000+3000）＝144000（元），
答：该工程的费用为144000元．