2022-2023学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系　同步知识点分类练习题（word版 含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．根的判别式
1．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
2．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
3．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
4．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
5．关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≥0且a≠1 C．a＞0 D．a＞0且a≠1
8．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是　 　．
9．在等腰△ABC中，三条边分别是a，b，c，其中b＝5．若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x﹣＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
10．若k为整数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5＝0有实数根，则整数k的最大值为　 　．
二．根与系数的关系
11．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
13．方程（x+1）（x﹣2）+1＝0的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
14．已知1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的根为（　　）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．0和3
15．关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（　　）
A．p是正数，q是负数 B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8
C．q是正数，p是负数 D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8
16．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．2
17．已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（　　）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x＝1
18．已知的小数部分是方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根，则该方程另一根的整数部分是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
20．设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　）
A．2022 B．﹣2022 C．2020 D．﹣2020
21．已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x12﹣+1的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
22．已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：
①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根
②0可能是方程x2+qx+p＝0的根
③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根
④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根
其中正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
23．已知实数m，n满足m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0．若m≠n，且m+n≥4，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　）
A．6 B．﹣3 C．3 D．0
24．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
25．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　 　．
26．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 　 　．
27．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
28．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
29．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．
（1）试确定m的取值范围；
（2）当+＝﹣1时，求m的值．
30．若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝　 　，t＝　 　；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
31．边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．
参考答案
一．根的判别式
1．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
2．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
3．解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，
解得：n＝6，
当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝6不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0
解得：n＝7．
故选：D．
4．解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
5．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0，
解得：m≥﹣4，
故选：D．
6．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
7．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，
解得a≥0，
又∵a﹣1≠0，
∴a≥0且a≠1，
故选：B．
8．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个实数根，
∴，解得m≥且m≠2．
故答案为：m≥且m≠2．
9．解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（a+2）2﹣4×1×（﹣a+7）＝0，
∴a1＝﹣8，a2＝3，
∵a是正数，
∴a＝3．
在等腰△ABC中，
①b＝5为底时，则a＝c＝3，
∴△ABC的周长＝11；
②b＝5为腰时，c＝b＝5．
∴△ABC的周长＝5+5+3＝13
综上可知△ABC的周长为11或13．
10．解：∵方程有实数根，
∴Δ＝4（k+1）2﹣4（k﹣1）（k+5）≥0，且k﹣1≠0，
解得：k≤3且k≠1，
故整数k的最大值为3．
故本题答案为：3
二．根与系数的关系（共21小题）
11．解：设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
12．解：∵x1是方程x2﹣4x﹣2022＝0的实数根，
∴x12﹣4x1﹣2022＝0，
∴x12＝4x1+2022，
∴x12﹣2x1+2x2＝4x1+2022﹣2x1+2x2＝2022+2（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，
∴x12﹣2x1+2x2＝2022+2×4＝2030．
故选：C．
13．解：方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为a，b，
∵a+b＝1，ab＝﹣1，
∴方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．
故选：C．
14．解：设x+1＝t，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0化为at2+bt+1＝0，
由题意可知：t1＝1，t2＝2，
∴x+1＝1和x+1＝2，
∴x＝0和x＝1，
∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为x＝0和x＝1，
故选：A．
15．解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴x1 x2＝q＞0，y1 y2＝p＞0，
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
16．解：根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝3，
则＝＝＝4，
故选：A．
17．解：A、∵方程M有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵方程N的Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程N也有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、∵方程M的两根符号相反，
∴＜0，且b2﹣4ac＞0，
∴＞0，且b2﹣4ac＞0，
∴方程N也有一个正根和一个负根，故不符合题意；
C、∵把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，
∴c+b+a＝0，
∴是方程N的一个根，故不符合题意；
D、∵方程M和方程N有一个相同的根，
∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，
∴（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a≠c，
∴x2＝1，
∴x＝±1，
即这个根可能是x＝±1；故符合题意．
故选：D．
18．解：∵的小数部分是方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根，
∴方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根是﹣2，
∴该方程另一根是3﹣（﹣2）＝5﹣，
∵2＜＜3，
∴该方程另一根的整数部分是5﹣3＝2．
故选：B．
19．解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（x12﹣2022）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
20．解：根据题意，得a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴a+b﹣ab＝1+2021＝2022，
故选：A．
21．解：∵x＝x1为方程x2﹣2022x+1＝0的根，
∴x12﹣2022x1+1＝0，
∴x12+1＝2022x1，
∴x12﹣+1＝2022x1﹣＝2022×，
∵方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1x2＝1，
∴x12﹣+1＝2022×＝0．
故选：B．
22．解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，
∴q＝±（p+1），
当q＝p+1时，q﹣p﹣1＝0，
此时x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，
当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，
此时x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，
∵p+1≠0，
∴p+1≠﹣（p+1），
∴x＝1和x＝﹣1不能同时是方程x2+qx+p＝0的根，
故①④不符合题意，③选项符合题意；
当x＝0时，p＝0，
∴q＝±1，
∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，
故②符合题意，
故选：C．
23．解：∵实数m，n满足m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，
∴m+n＝2a，mn＝2，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2
＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1
＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2
＝4a2﹣4﹣4a+2
＝（2a﹣1）2﹣3，
∵m≠n，且m+n≥4，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（4﹣1）2﹣3＝9﹣3＝6．
故选：A．
24．解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得﹣＜a＜，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．
故选D．
方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜﹣（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
故选：D．
25．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
26．解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣m+1，
∵|α|+|β|＝6，
∴α，β为异号，
即αβ＜0，
由α+β＝2得α2+β2＝4﹣2αβ，
由|α|+|β|＝6得α2+β2＝36﹣2|αβ|，
∴4﹣2αβ＝36﹣2|αβ|＝36+2αβ，
∴αβ＝﹣8，
∴﹣m+1＝﹣8，
∴m＝9，
故答案为：9．
27．解：
（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，
∴；
（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，
∵，
∴，
∴x1＞0，
又∵x1 x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，
∴x2＞0，
当时，有，
即﹣＝＝，
∴4k﹣11＝3，
∴，
∴存在实数，使得．
28．解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）存在．
根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
29．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0，
解得m＞﹣；
（2）∵α，β是方程的两个实数根，
∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2．
∵+＝﹣1，
∴﹣（2m+3）＝﹣m2，
解得m1＝3，m2＝﹣1．
∵m＞﹣，
∴m＝3．
30．解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，
∴β＝1﹣α＝1﹣＝，
∴t＝αβ＝×＝﹣1，
故答案为：，﹣1；
（2）∵α＝为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴α2﹣α﹣1＝0．
∴α2＝1+α．
∴α6＝（α2）3
＝（1+α）3
＝1+3α+3α2+α3
＝1+3α+3（1+α）+α（1+α）
＝1+3α+3+3α+α+α2
＝1+3α+3+3α+α+1+α
＝8α+5．
∴α6+8β
＝8α+5+8β
＝8（α+β）+5
＝8×1+5
＝13．
（3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3，
α2 β2＝（αβ）2＝1，
∴两根分别为α2，β2，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y2﹣3y+1＝0．
31．解：设直角边为a，b（a＜b），则a+b＝k+2，ab＝4k，
因方程的根为整数，故其判别式为平方数，
设Δ＝（k+2）2﹣16k＝n2 （k﹣6+n）（k﹣6﹣n）＝1×32＝2×16＝4×8，
∵k﹣6+n＞k﹣6﹣n，
∴或或，
解得k1＝（不是整数，舍去），k2＝15，k3＝12，
当k2＝15时，a+b＝17，ab＝60 a＝5，b＝12，c＝13，
当k3＝12时，a+b＝14，ab＝48 a＝6，b＝8，c＝10．
∴当k＝15时，三角形三边的长为：5，12，13．
当k＝12时，三角形三边的长为：6，8，10．