2022-2023学年北师大版九年级数学上册 三角形相似的判定同步练习 （word版 含答案）

三角形相似的判定
1．如图，E为 ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有　 　个．
2．如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠　 　时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足　 　时，△ACP与△ABC相似．
　
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
5．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°．
求证：△ADC∽△DEB．
6．已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件　 　，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．
7．如图，在△ABC和△ADE中，AB/AD=BC/DE=AC/AE，点B．D．E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
10．如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE，求证：△DEF∽△BDE．
12．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3．
求证：△BCD∽△CDE．
13．如图，在△ABC中，BA=BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE上的一点，且∠BAD=∠CAE．求证：△ABD∽△ACE．
　
参考答案与试题解析
　
1．如图，E为 ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有　2　个．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABF∽△CEF，△CEF∽△AED，
∴△ABF∽△AED．
∴图中与△ABF相似的三角形是：△CEF，△AED．
故答案为：2
　
2．如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠　B　时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足　　时，△ACP与△ABC相似．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ACP与△ABC；
故答案为：B；．
　
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠EDB=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
【解答】证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∵∠BAC=40°，
∴∠ABD=40°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=40°，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
　
5．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°．
求证：△ADC∽△DEB．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB．
6．已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件　∠CDE=∠A　，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．
【解答】解：添加条件为：∠CDE=∠A，
理由：∵∠C=∠C，
∠CDE=∠A，
∴△CDE∽△CAB．
故答案为：∠CDE=∠A．
　
7．如图，在△ABC和△ADE中，AB/AD=BC/DE=AC/AE，点B．D．E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
【解答】证明：∵在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
　
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴∠AFE=∠BAE，∵∠AEF=∠BEA，
∴△AFE∽△BAE，
得 =，
又∵AE=ED，
∴=，而∠BED=∠BED，
∴△FED∽△DEB．
　
9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【解答】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
　
10．如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
【解答】证明：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD．
　
11．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE，求证：△DEF∽△BDE．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．
∴∠BDE=∠CED．
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE．
　
12．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3．
求证：△BCD∽△CDE．
【解答】证明：∵∠DEC=∠1+∠A，∠BDC=∠3+∠A，
∵∠1=∠3，
∴∠BDC=∠DEC，
∵∠2=∠3，
∴△BCD∽△CDE．
　
13．如图，在△ABC中，BA=BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE上的一点，且∠BAD=∠CAE．求证：△ABD∽△ACE．
【解答】解：∵BA=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），
∴∠CBE+∠ACB=90°，
又∵CE⊥BC，
∴∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠CBE=∠ACE，
∴∠ABE=∠ACE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．