《解直角三角形》 同步练习
2022-2023学年冀教版数学九年级上册
一、选择题
1. ［2022·较易］在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
2. ［2022·较易］从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C海岛，则C海岛到观测点A的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里
3. ［2022·较易］如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A＝α，则树高BC为（ ）
A．5sinα米 B．5cosα米 C．5tanα米 D．米
4. ［2022·较易］已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5. ［2022·中］如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A． B．2 C． D．
6. ［2022·较易］某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆AB的高度，他们在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA＝30°，向前走了30米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA＝60°，则旗杆AB的高为多少米？（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
7. ［2022·较易］定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
8. ［2022·中］如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是 （结果可保留根号）
9. ［2022·较易］北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
10. ［2022·较易］如图，从A点测得M村在北偏东30°方向，小明从A点沿北偏东60°方向步行800米达到C处，测得M村位于点C的北偏西75°方向，若在AC上找点N，使得MN最短，AN的长是 米．
11. ［2022·较易］在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AB的长为 ．
12. ［2022·中］如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45m，小区楼房BC的高度为15m．在楼房顶端点C看无人机D和操控者A的两条视线的夹角∠ACD的大小是 ．
三、解答题
13. ［2022·较难］“和平使命”系列军演是具有战略影响的国际联合军事演习．在一次行动中，我军主力部队在A处驻扎，发现敌军在我军的东北方向的B处，遂立即通知位于我军北偏东75°，距离，在C处执行任务的侦查小队，侦查小队测得敌军在北偏西60°，迅速沿着路线CA向主力部队靠近，并在途中选取距离敌军最近的地方对敌军进行监测活动．
（1）求点B到路线CA的最短距离．（精确到0.1km，参考数据：，）
（2）上午6：00时，我军发现敌军开始沿BD向正西方向以6km/h的速度行进，敌军现有探测设备的有效侦测半径为15km，请问在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地是否在敌军的侦测范围内？如果在，我军需要从什么时间开始进行战略隐蔽，什么时间即可结束战略隐蔽？
14. ［2022·较易］如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
15. ［2022·中］如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在82分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）
16. ［2022·中］激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．
（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
17. ［2022·中］如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．
（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；
（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）
18. ［2022·较易］如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为300米，AD的坡角为60°，坡长为150米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）《解直角三角形》 同步练习
2022-2023学年冀教版数学九年级上册
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一、选择题
1. ［2022·较易］在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
［思路分析］先利用勾股定理求出BC，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
［答案详解］解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴tanB＝＝，
故选：D．
［经验总结］本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2. ［2022·较易］从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C海岛，则C海岛到观测点A的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里
［思路分析］利用方向角的定义得出∠DAB＝60°，∠DAC＝80°，∠CBF＝40°，根据平行线性质得出∠ABF＝∠DAB＝60°，进而得出∠BAC＝∠ABC＝20°，得出AC＝BC＝80海里．
［答案详解］解：如图，由题意可得，∠DAB＝60°，∠DAC＝80°，∠CBF＝40°，BC＝40×2＝80（海里），
∴∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝20°．
∵AD∥EF，
∴∠ABF＝∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝60°﹣40°＝20°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝80海里．
答：C海岛到观测点A的距离是80海里．
故选：D．
［经验总结］此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，证明∠BAC＝∠ABC＝20°是解题关键．
3. ［2022·较易］如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A＝α，则树高BC为（ ）
A．5sinα米 B．5cosα米 C．5tanα米 D．米
［思路分析］由直角三角形的边角关系可得答案．
［答案详解］解：在Rt△ABC中，
∵tanα＝，
∴BC＝AC tanα＝5tanα（米），
故选：C．
［经验总结］本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
4. ［2022·较易］已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
［思路分析］直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
［答案详解］解：∵sinA＝，
∴∠A＝60°．
故选：D．
［经验总结］此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
5. ［2022·中］如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A． B．2 C． D．
［思路分析］连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求∠AED的正切值转化为求∠ABC的正切值．
［答案详解］解：连接OD，
∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴OD＝AB＝1，
∴OD＝OA＝OE＝OD，
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC＝∠AED，
∴tan∠AED＝tan∠ABD＝，
故选：A．
［经验总结］本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点．
6. ［2022·较易］某中学九年级数学兴趣小组的同学准备测量校内旗杆AB的高度，他们在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA＝30°，向前走了30米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA＝60°，则旗杆AB的高为多少米？（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．米
［思路分析］根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定方法，可得出AD＝DC，再在Rt△ABD中，由边角关系可得答案．
［答案详解］解：∵∠BCA＝30°，∠BDA＝60°，
∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BCA，
∴DC＝DA＝30米，
在Rt△ABD中，AD＝30米，∠BDA＝60°，
∴AB＝AD＝15（米），
故选：B．
［经验总结］本题考查解直角三角形的应用，理解仰角的定义，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的判断是解决问题的前提．
二、填空题
7. ［2022·较易］定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
［思路分析］把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
［答案详解］解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝×﹣×
＝﹣
＝．
故答案为：．
［经验总结］本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
8. ［2022·中］如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是 （结果可保留根号）
［思路分析］设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
［答案详解］解：延长PQ交直线AB于点E，
设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则x﹣x＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
［经验总结］本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．
9. ［2022·较易］北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
［思路分析］根据正弦的定义计算，得到答案．
［答案详解］解：在Rt△ABH中，∠ABH＝37°，AB＝30m，
∵sin∠ABH＝，
∴AH＝AB sin∠ABH≈30×0.60＝18（m），
故答案为：18．
［经验总结］本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10. ［2022·较易］如图，从A点测得M村在北偏东30°方向，小明从A点沿北偏东60°方向步行800米达到C处，测得M村位于点C的北偏西75°方向，若在AC上找点N，使得MN最短，AN的长是 米．
［思路分析］过点M作MN⊥AC于点N，依据题意可得∠MAN＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，AC＝800，进而可得∠MCN＝45°，则MN＝CN，设MN＝x，在Rt△AMN中，可得tan30°＝＝，即可求出x的值，进而可得出答案．
［答案详解］解：如图，过点M作MN⊥AC于点N，
依据题意，可得∠MAN＝60°﹣30°＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，AC＝800米，
∴∠MCN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
则MN＝CN，
设MN＝x，则AN＝800﹣x，
在Rt△AMN中，
tan30°＝＝，
解得x＝400（），
∴AN＝800﹣400（）＝400（）米．
故答案为：400（）．
［经验总结］本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握解直角三角形的知识是解答本题的关键．注意数形结合思想与方程思想的应用
11. ［2022·较易］在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AB的长为 ．
［思路分析］在直角三角形中，利用∠A的正弦、BC与AB间关系，计算得结论．
［答案详解］解：Rt△ABC中，
∵sinA＝＝，BC＝2，
∴AB＝2×4＝8．
故答案为：8．
［经验总结］本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
12. ［2022·中］如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45m，小区楼房BC的高度为15m．在楼房顶端点C看无人机D和操控者A的两条视线的夹角∠ACD的大小是 ．
［思路分析］延长BC交DF于点E，则∠DEC＝90°，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出∠ACB的度数，再在Rt△DEC中，求出∠DCE的度数，最后利用平角定义进行计算即可解答．
［答案详解］解：延长BC交DF于点E，
则∠DEC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝45m，BC＝15m，
∴tan∠ACB＝＝＝，
∴∠ACB＝60°，
∵∠DEC＝90°，∠EDC＝45°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝45°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝75°，
故答案为：75°．
［经验总结］本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题
13. ［2022·较难］“和平使命”系列军演是具有战略影响的国际联合军事演习．在一次行动中，我军主力部队在A处驻扎，发现敌军在我军的东北方向的B处，遂立即通知位于我军北偏东75°，距离，在C处执行任务的侦查小队，侦查小队测得敌军在北偏西60°，迅速沿着路线CA向主力部队靠近，并在途中选取距离敌军最近的地方对敌军进行监测活动．
（1）求点B到路线CA的最短距离．（精确到0.1km，参考数据：，）
（2）上午6：00时，我军发现敌军开始沿BD向正西方向以6km/h的速度行进，敌军现有探测设备的有效侦测半径为15km，请问在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地是否在敌军的侦测范围内？如果在，我军需要从什么时间开始进行战略隐蔽，什么时间即可结束战略隐蔽？
［思路分析］（1）过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可得∠BAC＝75°﹣45°＝30°，∠BCA＝30°+15°＝45°，设BE＝CE＝xkm，则AE＝x（km），根据AE+EC＝AC＝，列式x+x＝6+6，求解即可解决问题；
（2）根据点B到路线CA的最短距离为BE的长度等于6km，AB＝2BE＝12km＞15km，可得在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地不在敌军的侦测范围内．过点A作AF⊥BD于点F，根据∠FBA＝45°，可得AF＝12km，此时我军主力部队所在A地在敌军的侦测范围是在F点两侧的GH之间距离范围内，然后根据勾股定理可得FH＝9km，最后根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题．
［答案详解］解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
根据题意可知：∠BAC＝75°﹣45°＝30°，∠BCA＝30°+15°＝45°，
∴BE＝CE，AB＝2BE，
设BE＝CE＝xkm，则AE＝x（km），
∵AE+EC＝AC＝，
∴x+x＝6+6，
∴x＝6≈8.5（km），
∴BE≈8.5km，
∴点B到路线CA的最短距离约为8.5km；
（2）∵点B到路线CA的最短距离为BE的长度等于6km，AB＝2BE＝12km＞15km，
∴在敌军行进过程中，我军主力部队所在A地不在敌军的侦测范围内．
如图，过点A作AF⊥BD于点F，
∵∠FBA＝45°，
∴AF＝AB＝×12＝12（km），
∴此时我军主力部队所在A地在敌军的侦测范围：是在F点两侧的GH之间距离范围内，
根据题意可知：AH＝15km，
∴FH＝＝＝9（km），
∴GF＝9km，
∴BH＝BF﹣FH＝AF﹣FH＝12﹣9＝3（km），
∴BG＝2FH+BH＝18+3＝21（km），
∴t1＝＝0.5（h），t2＝＝＝3.5（h），
∴我军需要从6点30分开始进行战略隐蔽，9点30分即可结束战略隐蔽．
［经验总结］本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
14. ［2022·较易］如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
［思路分析］（1）设DE＝3x，DE⊥BC，所以CD＝5x，CE＝4x，由CD＝5可求出x＝1，从而可求出答案．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝6，再求出CF＝1即可求出∠ACB的正切值．
［答案详解］解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，
∵sin∠BCD＝，
∴，
∴CD＝5x，CE＝4x，
∵CD＝5，
∴x＝1，
∴CE＝4，
∵∠B＝45°，
∴DE＝BE＝3x，
∴BC＝BE+CE＝7x＝7．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE∥AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF＝2DE，BF＝2BE，
由（1）可知：DE＝BE＝3，
∴AF＝6，BF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∴tan∠ACB＝6．
［经验总结］本题考查解直角三角形，解题的关键是求出DE、CE的长度，本题属于中等题型．
15. ［2022·中］如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在82分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）
［思路分析］（1）过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP＝∠ADP＝90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意得：∠ABC＝105°，∠PAD＝30°，从而求出∠C＝45°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
［答案详解］解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，
∴∠BDP＝∠ADP＝90°，
在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，
∴PD＝BP sin45°＝20×＝10（海里），
BD＝BP cos45°＝20×＝10（海里），
在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝＝＝10（海里），
∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，
∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；
（2）补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∴∠AFB＝∠CFB＝90°
由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，
在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝（5+5）海里，
在Rt△BCF中，∠C＝45°，
∴BC＝＝＝（10+10）海里，
∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜82分钟，
∴补给船能在82分钟之内到达C处．
［经验总结］本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16. ［2022·中］激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．
（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
［思路分析］（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．
［答案详解］解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，
在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），
∴BC＝2BD＝2.10（m），
当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，
在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），
∴BC＝2BD＝2.52m，
答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；
（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．
由题意可得：＝，
解得：x＝16000，
经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
［经验总结］本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．
17. ［2022·中］如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．
（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；
（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）
［思路分析］（1）过点D作DE⊥MN，垂足为E，先利用平角定义求出∠DAE＝30°，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥MN，垂足为F，过点C作CG⊥MN，垂足为G，过点B作BH⊥CG，垂足为H，过点A作AK⊥BF，垂足为K，交CG于点J，则BK＝HJ，JG＝0.3米，∠BHC＝∠ABC＝90°，BH∥AK，先在Rt△ABK中，利用锐角三角函数的定义求出BK的长，再利用平行线的性质求出∠HBA＝80°，从而求出∠CBH的度数，进而求出∠BCH的度数，然后在Rt△BCH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而求出CG的长，最后进行计算即可解答．
［答案详解］解：（1）过点D作DE⊥MN，垂足为E，
由题意得：
∠∠BAM＝60°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝180°﹣∠BAM﹣∠BAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝0.5米，
∴DE＝AD＝0.25（米），
∴此时点D与地面的高度为0.25米；
（2）过点B作BF⊥MN，垂足为F，过点C作CG⊥MN，垂足为G，过点B作BH⊥CG，垂足为H，过点A作AK⊥BF，垂足为K，交CG于点J，
则BK＝HJ，JG＝0.3米，∠BHC＝∠ABC＝90°，BH∥AK，
在Rt△ABK中，∠BAK＝80°，AB＝1.7米，
∴BK＝AB sin80°≈1.7×0.98＝1.666（米），
∴HJ＝BK＝1.666米，
∵BH∥AK，
∴∠HBA＝∠BAK＝80°，
∴∠CBH＝∠ABC﹣∠HBA＝10°，
∵∠BHC＝90°，
∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝80°，
在Rt△BCH中，BC＝0.5米，
∴CH＝BC cos80°≈0.5×0.16＝0.08（米），
∴CH+HJ+JG＝0.08+1.777+0.3≈2.05（米），
∴最高点C与地面的距离约为2.05米，
∴2.05﹣2＝0.05（米），
∴他要下蹲5厘米才刚好进门．
［经验总结］本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18. ［2022·较易］如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为300米，AD的坡角为60°，坡长为150米，CD的坡比i＝1：2．
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）
［思路分析］（1）过点A作AE⊥BC于E，根据正弦的定义求出AE，得到答案；
（2）过点D作DF⊥BC于F，DG⊥AE于G，根据正弦的定义求出AG，进而求出DF，根据坡度的概念计算即可．
［答案详解］解：（1）过点A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B＝42°，AB＝300米，
则AE＝AB sinB≈300×0.70＝210（米），
答：坡顶A到水平面BC的距离约为210米；
（2）过点D作DF⊥BC于F，DG⊥AE于G，
则四边形EFDG为矩形，
∴GE＝DF，
在Rt△AGD中，∠ADG＝60°，AD＝150米，
则AG＝AD sin∠ADG＝150×≈130（米），
∴DF＝GE＝AE﹣AG＝80（米），
∵CD的坡比i＝1：2 ，
∴DF：FC＝1：2 ，
∴DF：CD＝1：3，
∴CD＝3DF＝240（米），
答：斜坡CD的长度约为240米．
［经验总结］本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
