11.2.1 三角形的内角和课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
11.2.1　三角形的内角和
人教版八年级上册
知识回顾
三角形的分类
按角分类
按边分类
不等边三角形
等腰三角形
只有两边相等的等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
教学目标
1.学习和掌握三角形的内角和定理.
2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.
3.在解决实际问题时能熟练运用三角形的内角和定理.
新知导入
通过前面的学习，我们认识到三角形在生活中的广泛运用，并且学习了三角形边、高、中线、角平分线，这节课我们就来继续研究三角形的重要元素“内角”。
除了直角三角形和等边三角形具有固定度数的内角外，其他类型的三角形的内角度数都是可变化的，所以对于单独的一个内角度数，没有特别的规律，那么三角形的三个内角的和会不会有什么特别的规律呢？
新知探究
知识点 1
三角形的内角和
问题1：小学中我们学习过如何证明和计算一个三角形的内角和？
答：通过测量或者剪拼
问题2：测量是如何进行验证的？剪拼呢？还有其他方法吗？
测量法演示
剪拼法演示
折叠法演示
新知探究
测量法演示
480
720
600
60°＋48°＋72°＝180°
锐角三角形
新知探究
剪拼法演示
A
B
C
2
1
新知探究
折叠法演示
新知探究
问3：上述方法都可以验证三角形的内角和等于 ，无论用那种方法验证，最后都会出现一个平角，所以剪拼法还有一些不同的做法，例如：
180°
问4：如图，∠B，∠C分别拼凑在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l. 想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出几何证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
答：从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线l与边BC是平行关系.
新知探究
已知：如图，△ABC，
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作直线l，使得l//BC.
∵l//BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°.
则∠BAC+∠B+∠C=180°.
三角形内角和定理的证明
你能想出来其他的证明方法吗？
2
3
1
新知探究
方法二 证明：过点C作直线l，使得l//AB，延长BC.∵l//AB，
∴∠2=∠A， ∠3=∠B.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
则∠ACB+∠A+∠B=180°.
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
A
C
1
3
2
l
B
新知探究
C
B
A
E
D
F
证法3：过BC上一点D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
新知小结
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
新知典例
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=20°.
∵在△ADB中，∠B=75°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=85°.
A
D
C
B
课堂练习
1. 如图，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°
新知典例
例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度
A
B
C
D
北
北
E
解：∵∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°，∵AD//BE得，∴∠BAD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=180°–∠BAD=180°–80°=100°，
∴∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB=
180°–60°–30°=90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90度.
课堂练习
2. 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
C
解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴∠ACD=60°.
∵∠CBD=45°，∠ADC=90°，
∴∠BCD=45°.
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=15°.
课堂小测
1．如图，∠B＝30°，∠CAD＝65°且AD平分∠CAE，则∠ACD等于（　　）
A．95° B．65° C．50° D．80°
解：∵∠CAD＝65°，AD平分∠CAE，
∴∠CAE＝2∠CAD＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，
∵∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+50°＝80°
D
课堂小测
2．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，∠A＝60°，∠BDC＝80°，则∠EDC的度数为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
解：∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠BCD＝∠ACD．
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴80°＝60°+∠ACD．
∴∠ACD＝∠BCD＝20°．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝20°．
B
课堂小测
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，且AD与CE交于点H，若∠B＝50°，则∠AHC的度数为 　 　°．
130
解：∵∠B＝50°，∠CEB＝∠ADB﹣90°，
∴∠EHD＝180°﹣50°＝130°，
又∵∠EHD＝∠AHC，
∴∠AHC＝130°
课堂小测
4．如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数等于 　 　．
25°
解：如图，由于直尺的两条边是平行线，
∴∠1＝∠3，
∵∠ACB＝90°＝∠2+∠3，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣65°＝25°，
课堂小测
5.已知如图，AD是△ABC的角平分线，点D、E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠BEF+∠ADC＝180°．∠AFG与∠G相等吗？为什么？
解：∠AFG＝∠G，证明如下：
∵∠BEF+∠ADC＝180°（已知），
∠BEF+∠GED＝180°（平角的定义），
∴∠GED＝∠ADC（同角的补角相等）．
∴AD∥GE（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFG＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∠G＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∵AD是∠BAC的平分线（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），
∴∠AFG＝∠G（等量代换）．
课堂总结
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
作业布置
谢谢
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