数学人教A版2019必修第一册 1.4充分条件与必要条件 学案（Word版含答案）

1.4充分条件与必要条件
考纲要求
1．理解充分条件、必要条件的意义；能正确判断是否是充分条件或必要条件．
2．理解充分条件和必要条件与集合间的联系．
知识解读
知识点①充分条件和必要条件的概念
对命题“若p则q”，当它是真命题时，记做pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
对命题“若p则q”，当它是假命题时，记做pq，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的．
知识点②充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
1．若p是q的充分条件（q是p的必要条件），即pq，则AB．
2．若q是p的充分条件（p是q的必要条件），即qp，则BA．
知识点③判断充分必要条件的常用方法
1．定义判断法：通过判断pq与qp是否成立确定p是q的什么条件．
2．集合判断法：若p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若AB，则p是q的充分条件；
若BA，则p是q的必要条件．
3．特例证伪法：举一个反例使若p则q为假命题，证明其不是，此方法只能用于不是充分或必要条件的题．
题型讲解
题型一、充分、必要条件的判定
例1．判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件以及p是不是q的必要条件？
①；
②；
③
④是无理数，是无理数．
例2．“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
例3．若集合A＝{2, 4}，B＝{1, m2}，则“AB＝{4}”是“m＝2”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件　　　 B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
例4．已知条件，条件，则p是q的（　　）
A．既是充分条件也是必要条件 B．充分条件但不是必要条件
C．必要条件但不是充分条件 D．既非充分又非必要条件
例5．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型一、结合充要条件确定参数的取值范围
例6．已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为_________.
例7．已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要条件但不是充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
例8．若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1达标训练
1．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设x∈R，则“|x－|<”是“x3<1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知条件p：|x＋1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是(　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥－1 D．a≤－3
课后提升
1．(全国卷)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3＞b3
2．“a=b”是“”的_________条件.
3．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_________.
4．已知a＋b≠0，则a2＋b2－a－b＋2ab＝0 成立的充分且必要条件是______
1.4充分条件与必要条件
考纲要求
1．理解充分条件、必要条件的意义；能正确判断是否是充分条件或必要条件．
2．理解充分条件和必要条件与集合间的联系．
知识解读
知识点①充分条件和必要条件的概念
对命题“若p则q”，当它是真命题时，记做pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
对命题“若p则q”，当它是假命题时，记做pq，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的．
知识点②充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
1．若p是q的充分条件（q是p的必要条件），即pq，则AB．
2．若q是p的充分条件（p是q的必要条件），即qp，则BA．
知识点③判断充分必要条件的常用方法
1．定义判断法：通过判断pq与qp是否成立确定p是q的什么条件．
2．集合判断法：若p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若AB，则p是q的充分条件；
若BA，则p是q的必要条件．
3．特例证伪法：举一个反例使若p则q为假命题，证明其不是，此方法只能用于不是充分或必要条件的题．
题型讲解
题型一、充分、必要条件的判定
例1．判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件以及p是不是q的必要条件？
①；
②；
③
④是无理数，是无理数．
【答案】①p是q的充分条件，p不是q的必要条件；
②p是q的必要条件，p不是q的充分条件；
③p不是q的必要条件，p不是q的充分条件；
④p不是q的必要条件，p不是q的充分条件．
【解析】①，故p是q的充分条件，，不一定是，故p不是q的必要条件；
②当时，，故p不是q的充分条件，，p是q的必要条件；
③特例：当时，满足p，但不满足q，故p不是q的充分条件，，满足q，但不满足p，故p不是q的必要条件．
④特例：当，是有理数，故p不是q的充分条件，当，是无理数，但x，y不都是无理数．
例2．“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，
所以a>bac2>bc2，
当ac2>bc2时，c20，则a>b，
所以ac2>bc2a>b，
即“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件但不是充分条件．
例3．若集合A＝{2, 4}，B＝{1, m2}，则“AB＝{4}”是“m＝2”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件　　　 B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B　
【解析】当m＝2时，有AB＝{4}；若AB＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.
例4．已知条件，条件，则p是q的（　　）
A．既是充分条件也是必要条件 B．充分条件但不是必要条件
C．必要条件但不是充分条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
由于条件，条件
因为集合是集合的真子集
所以p是q的充分非必要条件
本题正确选项：B
例5．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“x2－5x<0”可得“0题型一、结合充要条件确定参数的取值范围
例6．已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为_________.
【答案】0≤m≤3
【解析】由P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P是x∈S的必要条件，
则SP，∴解得0≤m≤3，
故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
例7．已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要条件但不是充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
【答案】A
【解析】因为q：|x＋2a|<3，
所以q：－2a－3记A＝{x|－2a－3p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}．
因为p是q的必要条件但不是充分条件，所以A是B的真子集，
所以a≤－2a－3，解得a≤－1.
例8．若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1【答案】[1,2]
【解析】由(x－a)2<1得a－1因为1所以满足且等号不能同时取得，
即解得1≤a≤2.
达标训练
1．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，
则∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，
所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，
综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．
2．“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.
当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，
所以a＋b>4，ab>4 a>2，b>2，
故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．
3．设x∈R，则“|x－|<”是“x3<1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】由“|x－|<”得04．已知条件p：|x＋1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是(　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥－1 D．a≤－3
【答案】A　
【解析】由|x＋1|≤2得－3≤x≤1，即p：－3≤x≤1.若p是q 的充分而不必要条件，则a≥1.
课后提升
1．(全国卷)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3＞b3
【答案】A　
【解析】选项A中a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．
2．“a=b”是“”的_________条件.
【答案】必要不充分
【解析】
当a=b时，不一定成立，如a=b=-1时无意义；
反之，当时，a=b一定成立．
所以“a=b”是“”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
3．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_________.
【答案】－1，－2，－3(答案不唯一)　
【解析】答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a＞b＞c，但不满足a＋b＞c.
4．已知a＋b≠0，则a2＋b2－a－b＋2ab＝0 成立的充分且必要条件是_________.
【答案】a＋b＝1　
【解析】若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，即(a＋b)2－(a＋b)＝0，(a＋b－1)(a＋b)＝0，因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，由于上述推理可逆，所以，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1