数学人教A版2019必修第一册 1.2集合间的基本关系 学案（Word版含答案）

1.2 集合间的基本关系
考纲要求
1．理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集、空集的概念．
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．能用符号和韦恩(Venn)图表达集合的关系．
4．掌握列举有限集合所有子集的方法．
知识解读
知识点①集合之间的基本关系
　　 表示 关系 　　 文字语言 符号语言 写法
基本 关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A x∈B AB或BA
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A AB，且 x0∈B， x0A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 AB，且BA A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 x，x ， A， B(B≠ )
【知识理解】
是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{ }含有一个元素 ，且 ∈{ }和 { }都正确．
知识点②集合的子集、真子集的个数
1．含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
知识点③集合关系中常见的结论
1．集合A是其本身的子集，即AA；
2．子集关系的传递性，即AB，BC AC
题型讲解
题型一、集合间基本关系的判断
例1．下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．下列各式：①1∈{0,1,2}；② {0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
例3．已知集合，N为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．N
题型二、子集、真子集的个数问题
例4．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足ACB的集合C的个数为（ ）
A．1　　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
例5．已知集合，则M的非空子集的个数是（ ）
A．15 B．16
C．7 D．8
题型三、根据集合间的关系求参数
例6．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}．若BA，则实数a的所有可能取值的集合为（ ）
A. {－1}　 B. {1}
C. {－1,1}　 D. {－1,0,1}
例7．若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，则由m的可取值组成的集合为________．
方法技巧
1．判断两集合关系的方法
(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
2．由两个集合间关系求参数范围的思路
(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
达标训练
1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为（ ）
A．32 B．31
C．30 D．29
2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m＜x＜m}，若BA，则m的取值范围为________．
3．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若BA，则a＝（ ）
A．－或1 B．2或－1
C．－2或1或0 D．－或1或0
4．已知集合，下列是集合A的子集的是（ ）
A．{1，2} B．{1，1}
C．{(1，2)} D．{(2，1)}
课后提升
1．已知集合，集合，且B是A的真子集，求实数x的值.
2．已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0}，Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}．
（1）若b=4，存在集合M使得PMQ；
（2）若PQ，求b的取值范围．
1.2 集合间的基本关系
考纲要求
1．理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集、空集的概念．
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．能用符号和韦恩(Venn)图表达集合的关系．
4．掌握列举有限集合所有子集的方法．
知识解读
知识点①集合之间的基本关系
　　 表示 关系 　　 文字语言 符号语言 写法
基本 关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A x∈B AB或BA
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A AB，且 x0∈B， x0A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 AB，且BA A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 x，x ， A， B(B≠ )
【知识理解】
是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{ }含有一个元素 ，且 ∈{ }和 { }都正确．
知识点②集合的子集、真子集的个数
1．含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
知识点③集合关系中常见的结论
1．集合A是其本身的子集，即AA；
2．子集关系的传递性，即AB，BC AC
题型讲解
题型一、集合间基本关系的判断
例1．下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】空集是任何集合的子集，所以正确，本题正确选项：A
例2．下列各式：①1∈{0,1,2}；② {0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确。故错误的结论为③。选A。
例3．已知集合，N为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．N
【答案】D
【解析】集合，N为自然数集，
在A中，，正确；
在B中，，正确；
在C中，，正确；
在D中，M不是N的子集，故D错误．
故选：D．
题型二、子集、真子集的个数问题
例4．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足ACB的集合C的个数为（ ）
A．1　　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题可知，集合B={1，2，3，4}，满足ACB的集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，所以集合C的个数为4．
例5．已知集合，则M的非空子集的个数是（ ）
A．15 B．16
C．7 D．8
【答案】C
【解析】M={1，2，3}，所以M的非空子集为共7个，故选C.
题型三、根据集合间的关系求参数
例6．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}．若BA，则实数a的所有可能取值的集合为（ ）
A. {－1}　 B. {1}
C. {－1,1}　 D. {－1,0,1}
【答案】 D
【解析】 当B＝ 时，a＝0，此时BA.
当B≠ 时，则a≠0，所以B＝.
又BA，所以－∈A，所以a＝±1.
综上可知，实数a的所有可能取值的集合为{－1,0,1}．
例7．若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，则由m的可取值组成的集合为________．
【答案】{m|m≤3}
【解析】当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝ ，满足BA；若B≠ ，且满足BA，如图所示，则即∴2≤m≤3.故m＜2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．
方法技巧
1．判断两集合关系的方法
(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
2．由两个集合间关系求参数范围的思路
(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
达标训练
1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为（ ）
A．32 B．31
C．30 D．29
【答案】B
【解析】因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．
2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m＜x＜m}，若BA，则m的取值范围为________．
【答案】(－∞，1]
【解析】当m≤0时，B＝ ，显然BA.
当m＞0时，
∵A＝{x|－1＜x＜3}．
当BA时，在数轴上标出两集合，如图，
∴∴0＜m≤1.
综上所述m的取值范围为(－∞，1]．
3．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若BA，则a＝（ ）
A．－或1 B．2或－1
C．－2或1或0 D．－或1或0
【答案】D
【解析】集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}．当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－；当x＝1时，a＝1；又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选D.
4．已知集合，下列是集合A的子集的是（ ）
A．{1，2} B．{1，1}
C．{(1，2)} D．{(2，1)}
【答案】C
【解析】集合A表示直线y=2x，只有C选项表示直线y=2x上的点，故{(1，2)}是集合A的子集．
课后提升
1．已知集合，集合，且B是A的真子集，求实数x的值.
【答案】2
【解析】
因为B是A的真子集，所以，
当x=2时，，符合；
当时，，B不是A的真子集；
综上，x=2.
2．已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0}，Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}．
（1）若b=4，存在集合M使得PMQ；
（2）若PQ，求b的取值范围．
【答案】（1）详见解析（2）（，+∞）
【解析】
（1）∵集合Q={x|（x+1）（x2+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，
当b=4时，集合P= ，再由P MQ可得，M是Q的非空子集．
共有23-1=7 个，分别为{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．
（2）∵PQ，对于方程x2-3x+b=0，
当P= ，△=9-4b＜0时，有b＞，
△=9-4b≥0时，P≠ ，方程x2-3x+b=0有实数根，且实数根是-1，1，-4中的数．
若-1是方程x2-3x+b=0的实数根，则有b=-4，此时P={-1，4}，不满足PQ，故舍去．
若1是方程x2-3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={1，2}，不满足PQ，故舍去．
若-4是方程x2-3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={-1，4}，不满足PQ，故舍去．
综上可得，实数b的取值范围为（，+∞）．