数学人教A版2019必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 学案（Word版含答案）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
考纲要求
会从实际情景中抽象出一元二次不等式．
结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．
了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识解读
知识点①二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式＝b2－4ac >0 ＝0 <0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1知识点②分式不等式与绝对值不等式
1．>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；
2．≥0(≤0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)0．
3．|x|>a(a>0)的解集为，|x|0)的解集为．
知识点③求解一元二次不等式的三个步骤
1．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得到根；
2．结合二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
3．写出一元二次不等式的解集．
知识点④与一元二次不等式有关的恒成立问题
1．二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的条件是
2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R的条件是
知识点⑤解含参数的一元二次不等式的步骤
1．若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
2．判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系；
3．确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解．
题型讲解
题型一、解一元二次不等式
例1．解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；
(4)－x2＋3x－5>0．
例2．要使有意义，则x的取值范围为________．
题型二、解含参不等式
例3．已知ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
例4．解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
例5．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)
题型三、利用不等式的解求参数问题
例6．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.
例7．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
例8．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}
题型四、一元二次不等式恒成立问题
例9．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
例10．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
例11．(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
题型五、一元二次不等式实际应用
例12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
例13．用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？
达标训练
1．不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　)
A．{x|－13或x<－1}
C．{x|－31或x<－3}
2．关于x的不等式x2＋2mx－15m2＜0(m＜0)的解集区间为(a，b)，且b－a＝18，则m＝(　　)
A．－2 B． －1
C．－ D．－
3．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x2－2(m＋1)x＋m<0}，若AB，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1, 0)
C．[－1,0) D．(－∞，0)
4．(2022·南通模拟)不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为，则m的取值范围是(　　)
A．m<－1 B．m≥
C．m≤－ D．m≥或m≤－
5．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
6．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
7．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是__________.
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
9．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
10．新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路！国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针. 近年来，我国新能源汽车制造蓬勃发展，某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车，经过大数据分析获得：在某种路面上，该品牌汽车的刹车距离y(米)与其车速x(千米/小时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数). (行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离). 如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离y(米)与该车的车速x(千米/小时)的关系图. 该新能源汽车销售公司为满足市场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在乙地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．
(1)若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车，则能获得的最大利润L是多少？
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度．
课后提升
1．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|xd}，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b2．(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
3．对于实数x，当且仅当n≤x4．对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集为_________.
5．设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，求b－a的最大值．
6．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
考纲要求
会从实际情景中抽象出一元二次不等式．
结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．
了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识解读
知识点①二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式＝b2－4ac >0 ＝0 <0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1知识点②分式不等式与绝对值不等式
1．>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；
2．≥0(≤0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)0．
3．|x|>a(a>0)的解集为，|x|0)的解集为．
知识点③求解一元二次不等式的三个步骤
1．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得到根；
2．结合二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
3．写出一元二次不等式的解集．
知识点④与一元二次不等式有关的恒成立问题
1．二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的条件是
2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R的条件是
知识点⑤解含参数的一元二次不等式的步骤
1．若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
2．判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系；
3．确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解．
题型讲解
题型一、解一元二次不等式
例1．解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；
(4)－x2＋3x－5>0．
【答案】见解析
【解析】(1)因为＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为，
所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，
因为＝9－4×2×2＝－7<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
例2．要使有意义，则x的取值范围为________．
【答案】{x|－7【解析】由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7题型二、解含参不等式
例3．已知ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
【答案】见解析
【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以a(x－1)<0.
所以当a>1时，解集为；当a＝1时，解集为；当0综上，当01时，不等式的解集为.
例4．解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
【答案】见解析
【解析】由题意知，＝a2－4，
①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，
∴原不等式的解为≤x≤.
②若＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当＝a2－4<0，即－2原不等式的解集为.
综上，当a>2或a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2例5．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)
【答案】见解析
【解析】若a＝0，原不等式转化为－x＋1<0，即x>1.
若a<0，原不等式转化为(x－1)>0，
此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1，
所以原不等式的解集为.
若a>0，原不等式转化为(x－1)<0，
此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1.
当＝1，即a＝1时，原不等式的解集为；
当>1，即0当<1，即a>1时，原不等式的解集为.
综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当a<0时，原不等式的解集为；
当0当a＝1时，原不等式的解集为；
当a>1时，原不等式的解集为.
题型三、利用不等式的解求参数问题
例6．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.
【答案】－14
【解析】依题意知
解得
∴a＋b＝－14.
例7．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A　
【解析】法一：x2－2ax－8a2＜0可化为(x＋2a)(x－4a)＜0.
∵a＞0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，
∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝.
法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a＞0得a＝.
例8．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a>4或a<－4} B．{a|－4C．{a|a≥4或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}
【答案】A　
【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
题型四、一元二次不等式恒成立问题
例9．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－4,0)
【解析】依题意知即
∴－4例10．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
【答案】
【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6. 所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二　因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，
所以m的取值范围是.
例11．(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【答案】D
【解析】不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
∴x<－1或x>3.
题型五、一元二次不等式实际应用
例12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
【答案】{x|10≤x≤30}
【解析】设矩形的另一边长为y m，
则由相似三角形的性质知，＝，
∴y＝40－x，
∵xy≥300，
∴x(40－x)≥300，
∴x2－40x＋300≤0，
∴10≤x≤30.
例13．用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？
【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.
【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m，则另一边长为，总面积
，，当时，．
答：当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.
达标训练
1．不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　)
A．{x|－13或x<－1}
C．{x|－31或x<－3}
【答案】A　
【解析】原不等式变形为x2－2x－3<0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－12．关于x的不等式x2＋2mx－15m2＜0(m＜0)的解集区间为(a，b)，且b－a＝18，则m＝(　　)
A．－2 B． －1
C．－ D．－
【答案】D　
【解析】不等式可化为(x＋5m)(x－3m)＜0，因为m＜0，所以不等式的解集为(3m，－5m)，所以a＝3m，b＝－5m，即b－a＝－8m＝18，解得m＝－.
3．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x2－2(m＋1)x＋m<0}，若AB，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1, 0)
C．[－1,0) D．(－∞，0)
【答案】B　
【解析】若满足AB，
则需满足
解得－1＜m＜0.
4．(2022·南通模拟)不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为，则m的取值范围是(　　)
A．m<－1 B．m≥
C．m≤－ D．m≥或m≤－
【答案】B
【解析】∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为，
∴不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立．
①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，
解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；
②当m＋1≠0，即m≠－1时，对任意x∈R，
要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，
只需m＋1>0且＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，
解得m≥.
综上，实数m的取值范围是m≥.
5．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
【答案】A
【解析】因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，
即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，
只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，
所以＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，
即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，
解得－1≤a≤4，
所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．
6．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
【答案】C
【解析】令f(x)＝x2＋mx＋4，
∴当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴
即
解得m≤－5.
7．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是__________.
【答案】(－1,3)　
【解析】关于x的不等式ax－b＜0即ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1) 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6,2]．
(2) 由题意，可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，所以－7≤a<－4.
综上，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
(3) 令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立，
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋，
所以实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
9．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
【答案】(1)100平方米 (2)15米
【解析】(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，
依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得
3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy，
＝120＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米．
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
10．新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路！国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针. 近年来，我国新能源汽车制造蓬勃发展，某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车，经过大数据分析获得：在某种路面上，该品牌汽车的刹车距离y(米)与其车速x(千米/小时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数). (行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离). 如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离y(米)与该车的车速x(千米/小时)的关系图. 该新能源汽车销售公司为满足市场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在乙地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．
(1)若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车，则能获得的最大利润L是多少？
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度．
【答案】(1)51万元 (2)70千米/小时
【解析】(1)设公司在甲地销售该新能源品牌的汽车x辆，则在乙地销售该品牌的汽车20－x辆，且x∈[0,20]，x∈N*.依题意，可得利润．
L＝4.1x－0.1x2＋2(20－x)＝－0.1x2＋2.1x＋40.
因为x∈[0,20]，且x∈N*，所以，当x＝10或x＝11时，Lmax＝51.
即当甲地销售该新能源品牌的汽车10辆或11辆时，公司获得的总利润最大值为51万元．
(2)由题设条件，得解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
令＋≤25.2，即x2＋2x－5 040≤0，解得－72≤x≤70.
因为x≥0，所以0≤x≤70.
故该新能源汽车行驶的最大速度是70千米/小时．
课后提升
1．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|xd}，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b【答案】ABD
【解析】由题意，知＝a2－4b＝0，
所以a2＝4b，所以A正确；
对于B，a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当a2＝，即a＝时等号成立，
所以B正确；
对于C，由根与系数的关系，
知x1x2＝－b＝－<0，所以C错误；
对于D，由根与系数的关系，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝－c，
则|x1－x2|＝＝＝2＝4，
解得c＝4，所以D正确．
2．(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.
当2a>1，即a>时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1则3<2a≤4，解得当2a＝1，即a＝时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0无解，
所以a＝不符合题意；
当2a<1，即a<时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|2a则－2≤2a<－1，解得－1≤a<－.
综上，a的取值范围是.
3．对于实数x，当且仅当n≤x【答案】{x|2≤x<8}
【解析】由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x4．对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集为_________.
【答案】[2,8)　
【解析】由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，又当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．
5．设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，求b－a的最大值．
【答案】
【解析】当a所以(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，可转化为 x∈(a，b)，a≤－4x2，
所以a≤－4a2，所以－≤a<0，所以0当a<0当x＝0时，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合题意；
当a<0＝b时，由题意知x∈(a,0)，(4x2＋a)2x≥0恒成立，
所以4x2＋a≤0，所以－≤a<0，所以b－a≤.
综上所述，b－a的最大值为.
6．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)[－2，－1) (2)
【解析】(1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得解得
所以f(x)＝2x2－10x.
不等式组即解得
因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，
可得6<5－k≤7，解得－2≤k<－1，所以k的取值范围是[－2，－1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，即tx2－5tx－1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有，即
解得－≤t≤，所以0当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，
所以只要其最大值满足条件即可，
所以t－5t－1≤0，解得t≥－，即－≤t<0，
综上，t的取值范围是.