数学人教A版2019必修第一册 3.4 函数应用（一） 学案（Word版含答案）

3.4 函数应用（一）
考纲要求
1．能够应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题．
2．能够运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
知识解读
知识点①常见的数学模型
1．一次函数模型：(k，b为常数，k≠0)；
2．反比例函数模型：(k，b为常数，k≠0)；
3．二次函数模型：(a，b，c为常数，a≠0)；
4．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
知识点②解答函数实际应用问题时的一般步骤
第一步：分析、联想、转化、抽象；
第二步：建立函数模型，把实际应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学问题，求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．
而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把函数模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．
题型讲解
题型一 、一次函数与二次函数模型的应用
解题技巧：（一、二次函数模型应用）
1．一次函数模型的应用
利用一次函数求最值，常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0)．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2．二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围.
例1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　)
A．820元　　　　　　　 B．840元
C．860元 D．880元
例2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)
A．10.5万元 D．11万元
C．43万元 D．43.025万元
例3．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱．价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
③当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润 最大利润是多少
题型二、分段函数模型的应用
解题技巧：（分段函数注意事项）
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
例1．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为(　　)
A．13立方米 D．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
例2．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大
达标训练
1．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
A． cm2 D．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　)
A．15 D．40
C．25 D．130
3．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．
4．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
6．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
7．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较(　　)
A．2个茶杯贵 D．3包茶叶贵
C．两者相同 D．无法确定
8．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为(　　)
A．5 m D．3.5 m
C．5.5 m D．7.5 m
9．学校团委接受了一项任务，完成这项任务的时间t与参加此项任务的同学人数x之间满足关系式：t＝ax＋.当x＝10时，t＝100，当x＝20时，t＝100.若想所用时间最短，则参加人数为(　　)
A．13 D．14
C．15 D．16
10．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
季度 1 2 3 4
每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
11．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为________万元．
12．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
13．有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验方程式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
课后提升
1．一种药在病人血液中的含量不低于2 g时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m≤4)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(g)随着时间x(h)变化的函数关系式近似为y＝mf(x)，其中f(x)＝
(1)若病人一次服用3个单位的药剂，求有效治疗的时间长．
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6 h后再服用n个单位的药剂，要使接下来的2 h中能够持续有效治疗，求n的最小值
3.4 函数应用一
考纲要求
1．能够应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题．
2．能够运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．
知识解读
知识点①常见的数学模型
1．一次函数模型：(k，b为常数，k≠0)；
2．反比例函数模型：(k，b为常数，k≠0)；
3．二次函数模型：(a，b，c为常数，a≠0)；
4．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
知识点②解答函数实际应用问题时的一般步骤
第一步：分析、联想、转化、抽象；
第二步：建立函数模型，把实际应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学问题，求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．
而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把函数模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．
题型讲解
题型一 、一次函数与二次函数模型的应用
解题技巧：（一、二次函数模型应用）
1．一次函数模型的应用
利用一次函数求最值，常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0)．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2．二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围.
例1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　)
A．820元　　　　　　　 B．840元
C．860元 D．880元
【答案】C　
【解析】设y＝kx＋b(k≠0)，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000．解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．
例2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)
A．10.5万元 D．11万元
C．43万元 D．43.025万元
【答案】C　
【解析】设该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.12＋0.1×＋32.因为x∈ [0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，利润最大，最大利润为43万元．
例3．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱．价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
③当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润 最大利润是多少
【答案】见解析
【解析】①根据题意，得y=90-3(x-50)， 化简，得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N).
②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55，x∈N).
③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元.
题型二、分段函数模型的应用
解题技巧：（分段函数注意事项）
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
例1．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为(　　)
A．13立方米 D．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
【答案】A　
【解析】由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝
由y＝16m，得x>10，所以2mx－10m＝16m，
解得x＝13.故选A.
例2．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大
【答案】见解析
【解析】解：(1)当05时，产品只能售出500件.
所以，
即
(2)当时，
所以当x=4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max=10.781 25(万元).
当x>5时，f(x)<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时，当年所得利润最大.
达标训练
1．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
A． cm2 D．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
【答案】D　
【解析】设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知02．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　)
A．15 D．40
C．25 D．130
【答案】C　
【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25.
3．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．
【答案】f(x)＝
【解析】当0所以f(x)＝
4．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．
【答案】360
【解析】由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40，1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元)．
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
【答案】42
【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
6．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
【答案】D　
【解析】设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7，故选D.
7．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较(　　)
A．2个茶杯贵 D．3包茶叶贵
C．两者相同 D．无法确定
【答案】A　
【解析】设茶杯单价为x元，茶叶每包为y元，则4x＋5y<22且6x＋3y>24，则原问题可转化为比较t＝2x－3y与0的大小．
设4x＋5y＝m，6x＋3y＝n，
则2x＝，3y＝，
故t＝2x－3y＝>＝0，
所以2个茶杯贵．
8．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为(　　)
A．5 m D．3.5 m
C．5.5 m D．7.5 m
【答案】D　
【解析】根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x≤0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是，所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0) 或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m．故选D.
9．学校团委接受了一项任务，完成这项任务的时间t与参加此项任务的同学人数x之间满足关系式：t＝ax＋.当x＝10时，t＝100，当x＝20时，t＝100.若想所用时间最短，则参加人数为(　　)
A．13 D．14
C．15 D．16
【答案】B　
【解析】由已知得100＝10a＋＝20a＋，
解得a＝，b＝，
则t＝x＋.由x＝得x2＝200.
又x∈N*，则x＝14或x＝15.
当x＝14时，t1＝×14＋＝94；
x＝15时，t2＝×15＋＝＝94.
因为t2>t1，故选B.
10．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
季度 1 2 3 4
每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
【答案】20
【解析】设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，
则当m＝＝20时，y取最小值．
11．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为________万元．
【答案】1 300
【解析】设年增长率为x(x>0)，则×(1＋x)2＝1 690，所以1＋x＝，因此2018年预计经营总收入为×＝1 300(万元)．
12．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
【答案】见解析
【解析】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；
当x>96时，y113．有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验方程式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
【答案】见解析
【解析】设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，据题意有：
y＝x＋(0≤x≤3)．
令＝t，则x＝3－t2，0≤t≤.
所以y＝(3－t2)＋t
＝－＋，t∈ [0， ]．
当t＝时，ymax＝1.05，
此时x＝0.75，3－x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利润为1.05万元．
课后提升
1．一种药在病人血液中的含量不低于2 g时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m≤4)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(g)随着时间x(h)变化的函数关系式近似为y＝mf(x)，其中f(x)＝
(1)若病人一次服用3个单位的药剂，求有效治疗的时间长．
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6 h后再服用n个单位的药剂，要使接下来的2 h中能够持续有效治疗，求n的最小值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为m＝3，所以y＝
当0≤x<6时，由≥2，解得x≤11，所以0≤x<6；
当6≤x≤8时，由12－≥2，解得x≤，所以6≤x≤.
综上，0≤x≤.
故若病人一次服用3个单位的药剂，有效治疗的时间为 h.
(2)法一：当6≤x≤8时，设该病人两次服用药剂后，药剂在血液中的含量为t g，则t＝2×＋n＝8－x＋.
因为8－x＋≥2对6≤x≤8恒成立，
即n≥对6≤x≤8恒成立，
等价于n≥(6≤x≤8)．
令g(x)＝，
则函数g(x)＝在[6，8]上是单调递增函数，
当x＝8时，函数g(x)取得最大值，为，所以n≥，所以n的最小值为.
法二：由法一知t＝8－x＋，分析知t＝8－x＋在x∈ [6，8]上单调递减，故8－8＋≥2，解得n≥，所以n的最小值为.
2．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)分别满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
【答案】见解析
【解析】(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得 20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝∈[2，6]，则f(x)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282，
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，为282万元