数学人教A版2019必修第一册 4.1 指数 学案（Word版含答案）

4.1 指数
考纲要求
通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识．
了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
知识解读
知识点①根式及相关概念
1．a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点②根式的性质(n>1，且n∈N*)
1．n为奇数时，＝a．
2．n为偶数时，＝|a|＝
3．＝0．
4．负数没有偶次方根．
知识点③分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 规定＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
知识点④有理数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
4．
题型讲解
题型一、n次方根与分数指数幂
例1．求下列各式的值
(1) (2)
(3) (4)
例2．求值
(1) (2)
例3．用分数指数幂的形式表示下列各数
(1) (2)
例4．化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3) .
例5．若，则＝________．
例6．已知，求的值
例7．，求的值（用m、n表示）
达标训练
1．已知：n∈N，n＞1，那么 等于(　　)
A．5　 B．－5
C．－5或5 D．不能确定
2．计算：(－27) ×9＝(　　)
A．－3 B．－
C．3 D．
3．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
4．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)得(　　)
A．－b2 B．b2
C．－b D．b
5. － ＋ 的值为________．
6．化简与计算：
(1)8－(0.5)－3＋×；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)a·a－＋(2)2(a>0)．
7．已知＋＝－a－b，求＋的值．
课后提升
1．已知xy≠0，且＝－2xy，则有(　　)
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
2．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A．4 B．2或－2
C．－2 D．2
3．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f＋f，f(3)＋f(－2)的值．
(2)探求f(x)＋f(1－x)的值．
(3)利用(2)的结论求f＋f＋f＋…＋f＋f的值
4.1 指数
考纲要求
通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识．
了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
知识解读
知识点①根式及相关概念
1．a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点②根式的性质(n>1，且n∈N*)
1．n为奇数时，＝a．
2．n为偶数时，＝|a|＝
3．＝0．
4．负数没有偶次方根．
知识点③分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 规定＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
知识点④有理数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
4．
题型讲解
题型一、n次方根与分数指数幂
例1．求下列各式的值
(1) (2)
(3) (4)
【答案】见解析
【解析】(1)；
；
例2．求值
(1) (2)
【答案】见解析
【解析】(1)
(2)
例3．用分数指数幂的形式表示下列各数
(1) (2)
【答案】见解析
【解析】(1)原式＝＝＝＝.
(2)
例4．化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3) .
【答案】见解析
【解析】(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3) ＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－.
(3)原式＝＝a－－－·b＋－＝.
例5．若，则＝________．
【答案】
【解析】由，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47．
∴x2＋x－2－2＝45．
(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18．
∴＝．
例6．已知，求的值
【答案】
【解析】
例7．，求的值
【答案】
【解析】
达标训练
1．已知：n∈N，n＞1，那么 等于(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．－5
C．－5或5 D．不能确定
【答案】A
【解析】＝＝5.
2．计算：(－27) ×9＝(　　)
A．－3 B．－
C．3 D．
【答案】D　
【解析】(－27) ×9＝[(－3)3] ×(32) ＝(－3)2×3－3＝9×＝.故选D.
3．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
【答案】C　
【解析】原式＝|2－a|＋|3－a|，∵24．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)得(　　)
A．－b2 B．b2
C．－b D．b
【答案】A　
【解析】原式＝＝－b2.
5. － ＋ 的值为________．
【答案】
【解析】原式＝ － ＋ ＝－＋＝.
6．化简与计算：
(1)8－(0.5)－3＋×；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)a·a－＋(2)2(a>0)．
【答案】见解析
【解析】(1)8－(0.5)－3＋×
＝(23) －(2－1)－3＋(3)－6×＝22－23＋33×＝4－8＋27×＝4.
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)＝(－4÷12)·a－2－1＋4·b－3＋1＋2c－1＝－.
(3)a·a－＋(2)2 ＝a－＋2×2 ＝a0＋24＝1＋16＝17.
7．已知＋＝－a－b，求＋的值．
【答案】0
【解析】因为＋＝－a－b.所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，
所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
课后提升
1．已知xy≠0，且＝－2xy，则有(　　)
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
【答案】A　
【解析】＝＝|2xy|.
∵＝－2xy，∴|2xy|＝－2xy.
又∵xy≠0，∴xy<0.
2．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A．4 B．2或－2
C．－2 D．2
【答案】D　
【解析】设ab－a－b＝t.
∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1.∴t＝ab－a－b>0.
则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4.
∴t＝2.
3．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
【答案】　2
【解析】由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f＋f，f(3)＋f(－2)的值．
(2)探求f(x)＋f(1－x)的值．
(3)利用(2)的结论求f＋f＋f＋…＋f＋f的值．
【答案】(1)1 1 (2)1 (3)
解：(1)f＋f＝
f(3)＋f(－2)＝＋＝＋
＝＋＝1.
(2)f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f＋f＋…＋f＋f＝