数学人教A版2019必修第一册 4.2 指数函数 学案（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版2019必修第一册 4.2 指数函数 学案（Word版含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 561.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-27 22:12:13 | ||
图片预览
文档简介
4.2 指数函数
考纲要求
1．了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识解读
知识点① 指数函数及其性质
1．概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
2．指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
知识点② 指数函数图象问题
1．画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.
2．y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．
3．当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
知识点③ 指数函数的图象与底数大小的比较
1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
2．规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
题型讲解
题型一、指数函数的概念
例1．下列函数中，指数函数的个数为( )
① y＝；② y＝ax(a>0，且a≠1)；③ y＝1x；④ y＝－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
例2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
例3．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______．
例4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
题型二、指数函数的图像及应用
例1．已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0例2．函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
例3．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
例4．函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
例5．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为___________.
题型三、指数函数的性质及应用
考点一、指数函数的基本性质
例1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,2) D．(2,2)
例2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
例3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
例4．(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A．或 B．或2
C． D．2
例5．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是_________.
考点二、比较指数式的大小
例1．下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
例2．(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
例3．已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．bC．b考点三、解简单的指数方程或不等式
例1．不等式的解集是___________．
例2．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
例3．(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
考点四、指数型函数性质的综合
例1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
例2．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
例3．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
例4．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
达标训练
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
3．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
4．函数y＝－1的值域是( )
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－1，0]
5．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
6．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
7．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞， ] D．[，＋∞)
8．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
9．不等式52>5x＋1的解集是________．
10．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
11．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点________．
12．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1.(2)y＝.
13．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值．
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
14．画出函数y＝的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
15．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．
16．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
17．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cm t(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
课后提升
1．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
3．已知0A．>(1－a)b
B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
4．(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
5．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数，则不等式f(x－3)A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－4，3) D．(－3，4)
6．直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为_________.
7．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
8．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________
4.2 指数函数
考纲要求
1．了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识解读
知识点①指数函数及其性质
1．概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
2．指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
知识点②指数函数图象问题
1．画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.
2．y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．
3．当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
知识点③指数函数的图象与底数大小的比较
1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
2．规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
题型讲解
题型一、指数函数的概念
例1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．
例2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
【答案】C
【解析】依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C.
例3．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______．
【答案】1
【解析】由指数函数的定义得解得a＝1.
例4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
【答案】19
【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，因为荷叶20天可以完全长满池塘水面，故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，×220－1＝2x－1，解得x＝19，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
题型二、指数函数的图像及应用
例1．已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0【答案】ABD
【解析】如图，观察易知，a例2．函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
【答案】D
【解析】函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．
例3．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
【答案】C
【解析】因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，y＝x＝2，在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝x的大致图象，
由图可得，两个函数图象的交点个数是1.
例4．函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
【答案】C
【解析】设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称，选C.
例5．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为___________.
【答案】(0,1)
【解析】作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．
由图象可得b的取值范围是(0,1)．
题型三、指数函数的性质及应用
考点一、指数函数的基本性质
例1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,2) D．(2,2)
【答案】B
【解析】由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．
例2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故选C.
例3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【答案】C
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，
当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．
∴x的取值范围为(0,1)．
例4．(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A．或 B．或2
C． D．2
【答案】B
【解析】当a>1时，函数单调递增，
f(x)max＝2f(x)min，
∴f(2)＝2f(1)，
∴a2＝2a，∴a＝2；
当0f(x)max＝2f(x)min，
∴f(1)＝2f(2)，∴a＝2a2，∴a＝，
综上所述，a＝2或a＝.
例5．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是_________.
【答案】(0,1)
【解析】因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)>f(－3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以>1，解得0考点二、比较指数式的大小
例1．下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】选项B中，∵y＝0.6x是减函数，
∴0.6－1>0.62.
例2．(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【答案】B
【解析】∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3，∴0而函数y＝1.2x是R上的增函数，∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
例3．已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．bC．b【答案】A
【解析】因为a＝＝>＝b，c＝＝>＝a，所以b考点三、解简单的指数方程或不等式
例1．不等式的解集是___________．
【答案】(1，2)
【解析】∵2x2－3x＋1<＝2－1，∴x2－3x＋1<－1，即x2－3x＋2<0，解得1故不等式的解集为(1，2)．
例2．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
【答案】
【解析】当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为．
例3．(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【答案】D
【解析】∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
考点四、指数型函数性质的综合
例1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由f(1)＝，得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．
例2．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
【答案】[0,8)
【解析】∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，
∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，
∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．
例3．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
【答案】见解析
【解析】(1)由ax＋1＞1知，f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1－，
由ax＋1＞1得0＜＜2，
∴－1＜f(x)＜1，即函数f(x)的值域为(－1，1)．
(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
例4．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，
x＋x－m≥0恒成立，
即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
达标训练
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】C
【解析】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
【答案】B
【解析】该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．
3．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
【答案】D
【解析】∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5.
4．函数y＝－1的值域是( )
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－1，0]
【答案】D
【解析】将函数转化为分段函数，则y＝图象如图所示，
所以函数的值域为(－1，0]．
5．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
【答案】B
【解析】函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则由指数函数是单调函数，有a>1.由底数大于1的指数函数是增函数，且在x轴上方，可知B正确．故选B.
6．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
【答案】C
【解析】由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
7．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞， ] D．[，＋∞)
【答案】B
【解析】函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．
8．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
【答案】B
【解析】因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
故f(x)＝为增函数．
故选B.
9．不等式52>5x＋1的解集是________．
【答案】∪(1，＋∞)
【解析】由52>5x＋1得2x2>x＋1，
解得x<－或x>1.
10．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
【答案】2
【解析】由指数函数定义知，b＝1.
故a＋a2＝6.解得a＝2，或a＝－3，
又∵a>0，∴a＝2.
11．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点________．
【答案】(2，2)
【解析】∵a0＝1，∴当x＝2时，ax－2＋1＝2，∴函数y＝ax－2＋1必经过点(2，2)．
12．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1.(2)y＝.
【答案】见解析
【解析】(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y＝的值域为(0，9]．
13．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值．
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【答案】(1)a＝ (2)(0，2]
【解析】(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜≤＝2，所以函数的值域为(0，2]．
14．画出函数y＝的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
【答案】见解析
【解析】原函数变形为y＝
显然函数y＝是偶函数，
先画出y＝(x≥0)的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y＝的图象，再向右平移1个单位，如图所示．
由图象可知，函数y＝在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，其值域是(0，1]．
15．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．
【答案】2
【解析】因为y＝4·3x－2·9x＝4·3x－2·(3x)2
令t＝3x，则y＝4t－2t2＝－2(t－1)2＋2，
因为－1≤x≤1，
所以≤3x≤3，即t∈.
又因为对称轴t＝1∈，
所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.
16．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
【答案】(1)f(x)＝ (2)(－1，1)
【解析】(1)设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.故f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1，1)．
17．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cm t(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
【答案】(1)128， (2)32
【解析】(1)由题意可得解得
故c，m的值分别为128，.
(2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．
课后提升
1．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【答案】D
【解析】由2x＝3y＝5z，可设2x＝3y＝5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t＞1，因为＝＝，＝＝，所以＜；因为＝＝，＝，所以＞，所以＜＜.分别作出y＝x，y＝x，y＝x的图象，如图．
则3y＜2x＜5z.
2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
【答案】D因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝0.1<1，所以M>N.
3．已知0A．>(1－a)b
B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【答案】D
【解析】因为0所以y＝(1－a)x是减函数，又0所以>b，b>，
所以<(1－a)b，(1－a)b<，
所以A，B均错误；
又1<1＋a<1＋b，
所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，
所以C错误；
因为0<1－b<1－a<1，
所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以D正确．
4．(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
【答案】C
【解析】f(x)＝－＝－＝－＋，
∵ex>0，∴ex＋1>1，∴0<<2，∴－2<－<0，
∴f(x)∈，∴[f(x)]为－2或－1或0.
5．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数，则不等式f(x－3)A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－4，3) D．(－3，4)
【答案】C
【解析】因为f(x)＝是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＋＝0，解得a＝1，即f(x)＝＝1－，易知f(x)在R上为增函数．又f(x－3)6．直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为_________.
【答案】
【解析】y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是.
7．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－1,2)
【解析】原不等式变形为m2－m因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
所以x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m8．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．
【答案】(－∞，－18]
【解析】设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3．因为x∈[－2，2]，所以t∈．又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，故有－≥9，解得m≤－18．所以m的取值范围为(－∞，－18]
考纲要求
1．了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识解读
知识点① 指数函数及其性质
1．概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
2．指数函数的图象与性质
a>1 0
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，0
知识点② 指数函数图象问题
1．画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.
2．y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．
3．当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
知识点③ 指数函数的图象与底数大小的比较
1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
2．规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
题型讲解
题型一、指数函数的概念
例1．下列函数中，指数函数的个数为( )
① y＝；② y＝ax(a>0，且a≠1)；③ y＝1x；④ y＝－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
例2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
例3．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______．
例4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
题型二、指数函数的图像及应用
例1．已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a
例3．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
例4．函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
例5．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为___________.
题型三、指数函数的性质及应用
考点一、指数函数的基本性质
例1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,2) D．(2,2)
例2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
例3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
例4．(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A．或 B．或2
C． D．2
例5．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是_________.
考点二、比较指数式的大小
例1．下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
例2．(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
例3．已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．b
例1．不等式的解集是___________．
例2．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
例3．(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
考点四、指数型函数性质的综合
例1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
例2．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
例3．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
例4．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
达标训练
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
3．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
4．函数y＝－1的值域是( )
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－1，0]
5．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
6．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
7．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞， ] D．[，＋∞)
8．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
9．不等式52>5x＋1的解集是________．
10．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
11．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点________．
12．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1.(2)y＝.
13．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值．
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
14．画出函数y＝的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
15．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．
16．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
17．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cm t(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
课后提升
1．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．M
3．已知0
B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
4．(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
5．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数，则不等式f(x－3)
C．(－4，3) D．(－3，4)
6．直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为_________.
7．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
8．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________
4.2 指数函数
考纲要求
1．了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识解读
知识点①指数函数及其性质
1．概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
2．指数函数的图象与性质
a>1 0
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，0
知识点②指数函数图象问题
1．画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.
2．y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．
3．当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
知识点③指数函数的图象与底数大小的比较
1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
2．规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
题型讲解
题型一、指数函数的概念
例1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．
例2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
【答案】C
【解析】依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C.
例3．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______．
【答案】1
【解析】由指数函数的定义得解得a＝1.
例4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
【答案】19
【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，因为荷叶20天可以完全长满池塘水面，故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，×220－1＝2x－1，解得x＝19，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
题型二、指数函数的图像及应用
例1．已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a
【解析】如图，观察易知，a
【答案】D
【解析】函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．
例3．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
【答案】C
【解析】因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，y＝x＝2，在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝x的大致图象，
由图可得，两个函数图象的交点个数是1.
例4．函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
【答案】C
【解析】设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称，选C.
例5．若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为___________.
【答案】(0,1)
【解析】作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．
由图象可得b的取值范围是(0,1)．
题型三、指数函数的性质及应用
考点一、指数函数的基本性质
例1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,2) D．(2,2)
【答案】B
【解析】由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．
例2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故选C.
例3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【答案】C
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，
当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0
∴x的取值范围为(0,1)．
例4．(2022·福建三明一中检测)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是( )
A．或 B．或2
C． D．2
【答案】B
【解析】当a>1时，函数单调递增，
f(x)max＝2f(x)min，
∴f(2)＝2f(1)，
∴a2＝2a，∴a＝2；
当0
∴f(1)＝2f(2)，∴a＝2a2，∴a＝，
综上所述，a＝2或a＝.
例5．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是_________.
【答案】(0,1)
【解析】因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)>f(－3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以>1，解得0
例1．下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】选项B中，∵y＝0.6x是减函数，
∴0.6－1>0.62.
例2．(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【答案】B
【解析】∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3，∴0
例3．已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．b
【解析】因为a＝＝>＝b，c＝＝>＝a，所以b
例1．不等式的解集是___________．
【答案】(1，2)
【解析】∵2x2－3x＋1<＝2－1，∴x2－3x＋1<－1，即x2－3x＋2<0，解得1
例2．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
【答案】
【解析】当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为．
例3．(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【答案】D
【解析】∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
考点四、指数型函数性质的综合
例1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由f(1)＝，得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．
例2．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
【答案】[0,8)
【解析】∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，
∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，
∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．
例3．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
【答案】见解析
【解析】(1)由ax＋1＞1知，f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1－，
由ax＋1＞1得0＜＜2，
∴－1＜f(x)＜1，即函数f(x)的值域为(－1，1)．
(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
例4．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，
x＋x－m≥0恒成立，
即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
达标训练
1．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】C
【解析】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
【答案】B
【解析】该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．
3．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
【答案】D
【解析】∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5.
4．函数y＝－1的值域是( )
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－1，0]
【答案】D
【解析】将函数转化为分段函数，则y＝图象如图所示，
所以函数的值域为(－1，0]．
5．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
【答案】B
【解析】函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则由指数函数是单调函数，有a>1.由底数大于1的指数函数是增函数，且在x轴上方，可知B正确．故选B.
6．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
【答案】C
【解析】由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
7．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞， ] D．[，＋∞)
【答案】B
【解析】函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．
8．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
【答案】B
【解析】因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
故f(x)＝为增函数．
故选B.
9．不等式52>5x＋1的解集是________．
【答案】∪(1，＋∞)
【解析】由52>5x＋1得2x2>x＋1，
解得x<－或x>1.
10．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
【答案】2
【解析】由指数函数定义知，b＝1.
故a＋a2＝6.解得a＝2，或a＝－3，
又∵a>0，∴a＝2.
11．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点________．
【答案】(2，2)
【解析】∵a0＝1，∴当x＝2时，ax－2＋1＝2，∴函数y＝ax－2＋1必经过点(2，2)．
12．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1.(2)y＝.
【答案】见解析
【解析】(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y＝的值域为(0，9]．
13．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值．
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【答案】(1)a＝ (2)(0，2]
【解析】(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜≤＝2，所以函数的值域为(0，2]．
14．画出函数y＝的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
【答案】见解析
【解析】原函数变形为y＝
显然函数y＝是偶函数，
先画出y＝(x≥0)的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y＝的图象，再向右平移1个单位，如图所示．
由图象可知，函数y＝在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，其值域是(0，1]．
15．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．
【答案】2
【解析】因为y＝4·3x－2·9x＝4·3x－2·(3x)2
令t＝3x，则y＝4t－2t2＝－2(t－1)2＋2，
因为－1≤x≤1，
所以≤3x≤3，即t∈.
又因为对称轴t＝1∈，
所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.
16．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
【答案】(1)f(x)＝ (2)(－1，1)
【解析】(1)设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.故f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1
17．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cm t(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
【答案】(1)128， (2)32
【解析】(1)由题意可得解得
故c，m的值分别为128，.
(2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．
课后提升
1．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【答案】D
【解析】由2x＝3y＝5z，可设2x＝3y＝5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t＞1，因为＝＝，＝＝，所以＜；因为＝＝，＝，所以＞，所以＜＜.分别作出y＝x，y＝x，y＝x的图象，如图．
则3y＜2x＜5z.
2．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．M
【答案】D因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝0.1<1，所以M>N.
3．已知0
B．(1－a)b>
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【答案】D
【解析】因为0
所以<(1－a)b，(1－a)b<，
所以A，B均错误；
又1<1＋a<1＋b，
所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，
所以C错误；
因为0<1－b<1－a<1，
所以(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b，所以D正确．
4．(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1}
【答案】C
【解析】f(x)＝－＝－＝－＋，
∵ex>0，∴ex＋1>1，∴0<<2，∴－2<－<0，
∴f(x)∈，∴[f(x)]为－2或－1或0.
5．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数，则不等式f(x－3)
C．(－4，3) D．(－3，4)
【答案】C
【解析】因为f(x)＝是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＋＝0，解得a＝1，即f(x)＝＝1－，易知f(x)在R上为增函数．又f(x－3)
【答案】
【解析】y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是.
7．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－1,2)
【解析】原不等式变形为m2－m
所以x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m
【答案】(－∞，－18]
【解析】设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3．因为x∈[－2，2]，所以t∈．又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，故有－≥9，解得m≤－18．所以m的取值范围为(－∞，－18]
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用