数学人教A版2019必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试 （Word版含解析）

一元二次函数、方程和不等式章末测试
一、选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B D．A≥B
C．AB D．A>B
2．设为实数,且,则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
3．“a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
A．　　 B．
C． D．
5．已知集合M＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－12>0}，则MN＝(　　)
A．{x|－4≤x<－3或4B．{x|－4C．{x|x≤－3或x>4}
D．{x|x<－3或x≥4}
6．如果a，b，c满足cA．ab>ac D．c(b－a)>0
C．cb27．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．
C．5 D．
8．(多选题)(2020·山东莱州月考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法不正确的是(　　)
A．ab有最小值 B．＋有最小值
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
9．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　)
A．PC．P≥Q D．P≤Q
10．已知x>1，则的最小值是(　　)
A．2＋2 D．2－2
C．2 D．2
11．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是AB，那么a＋b等于(　　)
A．－3 D．1
C．－1 D．3
12．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大(　　)
A．3 D．4
C．5 D．6
13．不等式x(x－a＋1)＞a的解集是{x|x＜－1或x＞a}，则(　　)
A．a≥1　　　 　 　　　　 B．a＜－1
C．a＞－1 D．a∈R
14．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最大值是(　　)
A． D．－
C． D．－
15．（多选题）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．
二、填空题
16．如果a>b，ab<0，那么与的大小关系是________．
17．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
18．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|119．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集为________．
20．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
三、解答题
21．某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
22．解下列关于x的不等式．
(1) －6x2－5x＋1<0；
(2)6－2x≤x2－3x<18.
23．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
24．已知a>0，b>0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
25．已知“x∈{x|－1(1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．
26．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
（1）已知正数、满足，求的最小值.
甲给出的解法是：由，得，则，所以的最小值为
而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；
（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值
一元二次函数、方程和不等式章末测试
一、选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B D．A≥B
C．AB D．A>B
【答案】B　
【解析】∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，∴A≥B.
2．设为实数,且,则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于，令，故错误；
对于，当时，则，故错误；
对于，则，，则，故错误；
对于，且，故正确，故选D.
3．“a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A　
【解析】由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件．
4．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
A．　　 B．
C． D．
【答案】A　
【解析】因为6x2＋x－2≤0 (2x－1)(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
5．已知集合M＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－12>0}，则MN＝(　　)
A．{x|－4≤x<－3或4B．{x|－4C．{x|x≤－3或x>4}
D．{x|x<－3或x≥4}
【答案】A　
【解析】因为x2－x－12>0，即(x－4)(x＋3)>0，所以x>4或x<－3，所以N＝{x|x>4或x<－3}．由图可得M∩N＝{x|－4≤x<－3或46．如果a，b，c满足cA．ab>ac D．c(b－a)>0
C．cb2【答案】C　
【解析】由c0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，C不成立．
7．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．
C．5 D．
【答案】C
【解析】根据题意，若正实数，满足，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为5；
8．(多选题)(2020·山东莱州月考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法不正确的是(　　)
A．ab有最小值 B．＋有最小值
C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
【答案】ABD　
【解析】∵a>0，b>0，且a＋b＝1；∴1＝a＋b≥2；
∴ab≤；所以ab有最大值，选项A错误；
(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2＝2，∴＋≤，即＋有最小值，B项错误．
＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，C正确；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，∴a2＋b2的最小值是，不是，D错误．
9．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　)
A．PC．P≥Q D．P≤Q
【答案】C　
【解析】因为m>1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥2 ＋1＝5＝Q.当且仅当m－1＝，即m＝3时等号成立，故选C.
10．已知x>1，则的最小值是(　　)
A．2＋2 D．2－2
C．2 D．2
【答案】A　
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0.
∴＝
＝
＝
＝x－1＋＋2≥2＋2.
11．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是AB，那么a＋b等于(　　)
A．－3 D．1
C．－1 D．3
【答案】A　
【解析】由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3.
12．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大(　　)
A．3 D．4
C．5 D．6
【答案】C　
【解析】求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝＝12－≤12－2＝2，此时x＝，解得x＝5.
13．不等式x(x－a＋1)＞a的解集是{x|x＜－1或x＞a}，则(　　)
A．a≥1　　　 　 　　　　 B．a＜－1
C．a＞－1 D．a∈R
【答案】C　
【解析】x(x－a＋1)＞a (x＋1)(x－a)＞0，
∵解集为{x|x＜－1或x＞a}，∴a＞－1.
14．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最大值是(　　)
A． D．－
C． D．－
【答案】D　
【解析】不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为(x1，x2)，
根据根与系数的关系，可得：x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，
那么x1＋x2＋＝4a＋.
∵a<0，∴－≥2 ＝，即4a＋≤－.故x1＋x2＋的最大值为－.故选D.
15．（多选题）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．
【答案】BCD
【解析】因为，，且，
A．，当且仅当，即时，取等号，故错误；
B. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；
C. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；
D. ，
，
，故正确；
二、填空题
16．如果a>b，ab<0，那么与的大小关系是________．
【答案】>
【解析】因为a>b，ab<0，所以<，即<.
17．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
【答案】
【解析】由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤＝.∴9ab＋10≤，∴≥.
18．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1【答案】2
【解析】因为ax2－6x＋a2<0的解为1所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则即1＋m＝.
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
19．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集为________．
【答案】{x|x<5a或x>－a}
【解析】方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．
20．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
【答案】[－4,3]
【解析】原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1三、解答题
21．某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【答案】当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab＝800.
所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4＝648，
当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.
22．解下列关于x的不等式．
(1) －6x2－5x＋1<0；
(2)6－2x≤x2－3x<18.
【答案】(1) (2){x|－3【解析】(1) 原不等式转化为6x2＋5x－1>0，因为方程6x2＋5x－1＝0的解为x1＝，x2＝－1，所以根据二次函数y＝6x2＋5x－1的图象可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于即
因式分解，得所以
所以－3所以不等式的解集为{x|－323．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
【答案】(1)a＝－2，b＝8 (2)见解析
【解析】(1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0 x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为；
当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为；
当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．
24．已知a>0，b>0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
【答案】(1)8 (2)3＋2.
【解析】(1)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以＋≥2 ＝2，则2≤1，
即ab≥8，当且仅当即时取等号，所以ab的最小值是8.
(2)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当即时取等号，
所以a＋b的最小值是3＋2.
25．已知“x∈{x|－1(1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)见解析
【解析】(1)由题意，知m＝x2－x＝－.
由－1故M＝.
(2)由x∈N是x∈M的必要条件，知MN.
①当a>2－a，即a>1时，N＝{x|2－a则解得a>.
②当a<2－a，即a<1时，N＝{x|a则解得a<－.
③当a＝2－a，即a＝1时，N＝，不满足MN.
综上可得，实数a的取值范围为.
26．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
（1）已知正数、满足，求的最小值.
甲给出的解法是：由，得，则，所以的最小值为
而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；
（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为.
【详解】
（1）甲的解法错误，
原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立.
正确解法：
，
当且仅当时等号成立.
（2）令，，则，，
即可将“求函数最小值”转化为“已知，求”，
因为，当且仅当等号成立，
所以当时，函数取最小值，最小值为