人教A版2019必修第一册 1.4 充分条件与必要条件 精品学案（Word版含答案）

1.4 充分条件与必要条件
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1.理解充分条件、必要条件的概念.
2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
4.理解充要条件的意义.
5.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．
知识解读
知识点一　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
知识点二　充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件．
跟踪训练
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．“”的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
6．已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．已知，，，，，均为不为零的常数，命题甲：不等式，的解集相同，命题乙：，则甲是乙的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出四个结论：①；②；③；④“整数与属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．下列选项中p是q的必要不充分条件的有（　　）
A．p：a≤1，q：a＜1
B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝B
C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等
D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0
10．下列命题正确的是（ ）
A．"”是“”的充分不必要条件
B．若方程的两根都是负数，则
C．设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设a，，则“”是“”的必要而不充分条件
11．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“且”是“”的充分不必要条件
C．当时，“”是“方程有解”的充要条件
D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
12．下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ）
A．p：中，，q：中，；
B．p：， q：；
C．p：，q：；
D．p：，q：关于x的方程有两个实数解．
三、填空题
13．写出的一个必要不充分条件_____．
14．给出下列命题：
①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是__________．
15．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
16．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是___________.
四、解答题
17．设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
18．已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．设全集，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
20．已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3，求；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围
1.4 充分条件与必要条件
目标导航
1.理解充分条件、必要条件的概念.
2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
4.理解充要条件的意义.
5.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．
知识解读
知识点一　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
【答案】 充分 必要 充分 必要
知识点二　充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件．
【答案】p q q p p q 充要 充要
跟踪训练
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，利用充分条件与必要条件的概念即可求得结果.
【详解】由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
2．“”的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立.
【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误；
对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误；
对于C，当时，，可得到，C正确；
对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误.
故选：C.
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：由，
显然由推不出，比如推不出，
又推不出，比如推不出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可.
【详解】，
因为命题“，”为真命题，
所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出，
由不一定能推出，由一定能推出，
故选：D
5．“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.
【详解】若，取时，不等式，此时不等式解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，且时，不等式，
所以，若关于的不等式的解集为R，则.
综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.
故选：B
6．已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.
【详解】若使得，则有成立；
若，则有使得成立.
则“使得”是“”的充要条件
故选：C
7．已知，，，，，均为不为零的常数，命题甲：不等式，的解集相同，命题乙：，则甲是乙的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】可通过求解命题甲，得到，，，，，之间的关系，并于命题乙对比即可判断.
【详解】已知，，，，，均为不为零的常数，由不等式，的解集相同，不一定能够推导出各项系数对应成比例，例如两个不等式的解集都为空集，故解集相同跟对应项系数没有直接的关系，而命题乙为：，由此可知，命题甲不一定能推出命题乙，而命题乙在与不同号时，无法推出命题甲，因此甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D.
8．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出四个结论：①；②；③；④“整数与属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】对于①②③：利用“类”的概念即可求解；对于④：结合“类”的概念，利用充分性和必要性的定义即可判断.
【详解】对于①：因为，从而，故①正确；
对于②：不妨令，则，即，故②错误；
对于③：因为任何整数被5整除，余数，
所以，故③正确；
对于④：(i)若整数与属于同一“类”，
则一定存在，，使得，，
故，即；
(ii)若，则一定存在整数，使得，
若整数与不属于同一“类”，则必存在整数，和，且，
使得，，此时，
因为，从而与矛盾，故整数与属于同一“类”，
从而“整数与属于同一“类””的充要条件是“”，故④正确.
故选:C.
二、多选题
9．下列选项中p是q的必要不充分条件的有（　　）
A．p：a≤1，q：a＜1
B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝B
C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等
D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0
【答案】AD
【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．
【详解】解：A：∵a＜1 a≤1，而当a≤1时，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，
B：∵p：A∩B＝A，∴A B，∵q：A∪B＝B，∴A B，∴p是q的充要条件，∴B错误，
C：∵两个三角形全等 两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，
D：当x＝1，y＝0时，则x2+y2＝1，反之，当x2+y2＝1时，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，故选：AD．
10．下列命题正确的是（ ）
A．"”是“”的充分不必要条件
B．若方程的两根都是负数，则
C．设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设a，，则“”是“”的必要而不充分条件
【答案】AD
【分析】根据充分性、必要性的定义进行逐一判断即可.
【详解】A正确．“”可推出“”，但是当“”时，a有可能是负数，所以“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件：
B错误．∵∴；
C错误．当时，，但是“且”不成立，所以“”推不出“且”，所以“”不是“”的必要条件
D正确”推不出但“”可推出”，所以”是的必要而不充分条件，
故选：AD
11．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“且”是“”的充分不必要条件
C．当时，“”是“方程有解”的充要条件
D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.
【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；
对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；
对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.
对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.
故选：ABD.
12．下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ）
A．p：中，，q：中，；
B．p：， q：；
C．p：，q：；
D．p：，q：关于x的方程有两个实数解．
【答案】AD
【分析】利用充分条件和必要条件的定义依次判断各个选项.
【详解】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件；
对于B，由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，由可知，当时，；当时，；而当时，若，则，若，则，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件；
故选：AD
三、填空题
13．写出的一个必要不充分条件_____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】 ，所以“”是不等式“”成立的一个必要不充分条件.
故答案为：.
14．给出下列命题：
①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是__________．
【答案】③④
【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误.
【详解】①，故真子集个数为个，错误；
②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误；
③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；
④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.
故答案为：③④
15．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．
【详解】∵“”是”的必要条件，∴，
当时，，则；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，
由图可知或，解得或，
综上可得，实数a的取值范围为．
16．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是___________.
【答案】①③④
【分析】根据题中给定的定义，理解“类”的含义，对结论①②③逐一分析即可判断；对结论④从正反两个方面分析推理判断作答.
【详解】对于①，因，则，①正确；
对于②，因，则，②不正确；
对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，③正确；
对于④，若整数，属于同一“类”，则整数，被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有，
若，不妨令，则，
显然，，于是得，，即有整数，属于同一“类”，
所以“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，④正确，
所以正确的结论是①③④.
故答案为：①③④
四、解答题
17．设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】
【分析】由是的充分条件，可得出AB，即可求出的取值范围.
【详解】因为是的充分条件，
所以AB，又，
所以．
故的取值范围为：.
18．已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】(1)解：当时，，或，
∴．
(2)解：∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为．
19．设全集，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.
（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.
【详解】(1)是的充分条件， ，
又，
，，，
实数的取值范围为.
(2)命题“，则”是真命题，①当时，，，；
②当时，，且是的子集.
，
，;
综上所述：实数的取值范围.
20．已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3，求；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将a=3代入求出集合P，Q，再由补集及交集的意义即可计算得解.
（2）由给定条件可得，再根据集合包含关系列式计算作答.
【详解】(1)因a=3，则P={x|4≤x≤7}，则有或，又Q={x|-2≤x≤5}，
所以.
(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，于是得，
当a+1>2a+1，即a<0时，，又，即，满足，则a<0，
当时，则有或，解得或，即，
综上得：，
所以实数a的取值范围是