人教A版2019必修第一册 2.2 基本不等式 精品学案（Word版含答案）

2.2 基本不等式
目标导航
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
3.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
4.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
知识解读
知识点一　基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点二　用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是 ．
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 .
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
跟踪训练
一、单选题
1．已知为实数，且，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
3．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
5．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
8．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列不等式中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列选项中正确的是（ ）
A．，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最小值是2
11．已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为16
12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为
C．若，，，则的最小值为
D．若，，，则的最小值为2
三、填空题
13．已知，，则的最小值为___________.
14．已知，，，则的最小值为__．
15．已知，，且，则的最小值为_________
16．已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
四、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
18．已知关于x的不等式x2-3x+m<0的解集是{x|1(1)求实数m，n的值；
(2)若正数a，b满足ma+2nb=3，求a·b的最大值.
19．证明：
(1)已知a>b>0，c(2)已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：.
20．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：
2.2 基本不等式
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1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
3.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
4.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
知识解读
知识点一　基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
【答案】≤ a＝b
知识点二　用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意：
(1)x，y是 ．
(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 .
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
【答案】正数 2 S2
跟踪训练
一、单选题
1．已知为实数，且，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断
【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确，
故选：C
2．小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设矩形的长、宽分别为x，y，篱笆的长为l，则，且，然后利用基本不等式可求得答案
【详解】设矩形的长、宽分别为x m(x≤18 )，y m，篱笆的长为l m，则，且，
则，当且仅当(m)，符合题意，
即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为，
故选：C．
3．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；
【详解】解：对于A：若、时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：若、时，，故C错误；对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：D
4．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.
故选：A
5．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，再展开化简，根据基本不等式求最小值即可
【详解】由题，，当且仅当，即，即时取等号；故选：C
6．已知，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：由题意得，
所以
（当且仅当，即，时，等号成立），
所以.
由推得出，由推不出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】D
【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，
，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
8．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解．
【详解】，，若不等式恒成立，
恒成立
，
当且仅当时取等号．
，即的最大值为．
故选：B．
二、多选题
9．下列不等式中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用基本不等式可判断B选项；利用不等式的性质可判断C选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，，则，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，B对；
对于C选项，因为，则，C对；
对于D选项，取，，，则，D错.
故选：BC.
10．下列选项中正确的是（ ）
A．，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最小值是2
【答案】BCD
【分析】对于A，当时，由得；对于B，由已知得，由不等式的同向可加性可判断；对于C，由已知得，由不等式的同向可加性可判断；对于D，若，由基本不等式可判断.
【详解】解：对于A，当时，由得，故A不正确；
对于B，若，则，所以有，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，若，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2，故D正确，故选：BCD.
11．已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为16
【答案】BCD
【分析】A选项，对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值；B选项，将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值；C选项，对不等式变形为，利用求解的最小值；D选项，不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值.
【详解】由得：，
因为，所以，所以，
由基本不等式可得：
当且仅当时，等号成立，此时，
解得：或，
因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；
由得：，
因为，所以，所以，
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
即，解得：或，
因为，所以舍去，
故的最小值为4，B正确；
由变形为，则，
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，
此时，令，则由，
解得：或（舍去）
所以的最小值为，C正确；
由可得：，
从而
当且仅当时，即，等号成立，
故最小值为16.
故选：BCD，
12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为
C．若，，，则的最小值为
D．若，，，则的最小值为2
【答案】AD
【分析】A.根据，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断； C.由，得到，利用基本不等式求解判断.D. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断.
【详解】A.因为，，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
B. 因为，，，令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
C. 因为，，，所以，
则，当且仅当，即时，等号成立，故错误；
D. 令，则，，则，
而，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
故选：AD
三、填空题
13．已知，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.
【详解】，，
当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.
故答案为：.
14．已知，，，则的最小值为__．
【答案】
【分析】利用代入变形后根据基本不等式可求出结果.
【详解】
，当且仅当析，时，等号成立.
故答案为：
15．已知，，且，则的最小值为_________
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
16．已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
【答案】
【分析】由已知进行分离，然后进行换元，结合基本不等式进行求解即可．
【详解】解：因为正实数，，满足，
则，
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，，
则原式
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，
故答案为：.
四、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
18．已知关于x的不等式x2-3x+m<0的解集是{x|1(1)求实数m，n的值；
(2)若正数a，b满足ma+2nb=3，求a·b的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意得1，n是的两根，由韦达定理即可得结果；
（2）直接根据韦达定理即可得结果.
【详解】(1)由题意可知1，n是x2-3x+m=0的两根，
由根与系数的关系得
解得
(2)把m=2，n=2代入ma+2nb=3得a+2b=
因为a+2b≥2，所以≥2，.
故a·b≤，当且仅当a=2b=，即a=，b=时等号成立，所以a·b的最大值为.
19．证明：
(1)已知a>b>0，c(2)已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）根据不等式的性质证得结论成立.
（2）利用基本不等式证得结论成立.
【详解】(1)，
，
由于，所以.
(2)依题意，，
当且仅当时等号成立.
20．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
【答案】（1）8 ；（2）证明见解析 ．
【分析】(1) 可化为，再由基本不等式求其最值；(2) 由条件可得，结合基本不等式完成证明.
【详解】解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．
（2）因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以