人教A版2019必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 精品学案（Word版含答案）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
目标导航
1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.
2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.
5.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
知识解读
知识点一　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
知识点四　简单的分式不等式的解法
分式不等式的解法：
知识点五　一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点六　利用不等式解决实际问题的一般步骤
1．选取合适的字母表示题目中的未知数．
2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
跟踪训练
一、单选题
1．下列不等式的解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围( )
A． B．
C． D．
7．已知不等式的解集是，则的值为（ ）．
A．1 B． C．0 D．
8．不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
10．关于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的个数可能有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无数个
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或 D．
12．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．
三、填空题
13．若函数的定义域，值域为，则的取值范围是_____.
14．关于x的不等式的解集为，则b的值为___．
15．若且，则的值是_________.
16．若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．
四、解答题
17．解以下一元二次不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求方程的两个根．
19．设条件，条件
(1)在条件q中，当时，求实数x的取值范围.
(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围.
20．已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
目标导航
1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.
2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.
5.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
知识解读
知识点一　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
【答案】未知数 2
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
【答案】ax2＋bx＋c＝0
知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
【答案】{x|xx2} {x|x1知识点四　简单的分式不等式的解法
分式不等式的解法：
知识点五　一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点六　利用不等式解决实际问题的一般步骤
1．选取合适的字母表示题目中的未知数．
2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
跟踪训练
一、单选题
1．下列不等式的解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于A、D：利用配方法对配方后即可判断；对于B：取特殊值否定结论；对于C：取特殊值否定结论.
【详解】恒成立，
所以不等式的解集为R，故A不正确，D正确．
对于B：当时，.故B不正确；
对于C：当时，.故C不正确.
故选：D．
2．已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】A
【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状.
【详解】方程有两个相等的实数根，则，
又有，
或，又，故是等腰三角形.
故选：A
3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.
【详解】由题意得，即，
所以即，解得．
故选：B
4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.
【详解】解：当时，恒成立，符合题意；
当时，由题意有，解得，
综上，.
故选：B.
5．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数开口向上，且判别式小于0计算即可
【详解】由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则 ，即，解得
故选：B
6．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围.
【详解】的图象都在轴上方，
①时，k＝－5或k＝1，
k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；
k＝1时，y＝3满足条件；
故k＝1；
②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，
则，解得；
综上，.
故选：A.
7．已知不等式的解集是，则的值为（ ）．
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解集是，利用方程的根与系数的关系求解.
【详解】解：因为不等式的解集是，
所以，
解得，
所以，
故选：C．
8．不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.
【详解】由题意可知，关于的方程的两根分别为、，则，可得，
故所求不等式为，即，解得.
故选：A.
二、多选题
9．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．
【详解】不等式变形为，又，所以，
时，不等式解集为空集；
，，
时，，
因此解集可能为ABD．
故选：ABD．
10．关于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的个数可能有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无数个
【答案】AC
【分析】在限定条件下讨论的取值情况，从而判断解集中x的个数
【详解】由题(其中xZ，a)，当时，，解得，即解集中有3个元素；
当时，，故，解集中只有一个解，即解集中只有1个元素；
故选：AC
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或 D．
【答案】AD
【分析】由一元二次不等式的解集可确定，并知两根为和，利用韦达定理可用表示，由此将不等式中用替换后依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于A，由不等式的解集可知：且，，，A正确；
对于B，，又，，B错误；
对于C，，即，解得：，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD.
12．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】只需分别利用二次方程根与系数的关系，以及判别式判断出正确的结论．
【详解】解：对于A：由知，与同号．
若，则，这时，
所以，
此时与矛盾，
所以，．
同理可证，故A正确；
对于B：根据题意可知，
，，，解得．
同理，
，
即，故B不正确，D正确；
对于C：由A知，，，，是整数，所以，．
由韦达定理有，
所以，故C正确；
故选：ACD．
三、填空题
13．若函数的定义域，值域为，则的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据值域，结合图象分析可得m的范围.
【详解】根据题意，函数
函数的对称轴为，且有，　
又由函数的定义域，值域为，则有
即的取值范
故答案为：
14．关于x的不等式的解集为，则b的值为___．
【答案】
【分析】根据题意，可得方程的两个根为﹣2和3，由根与系数的关系可得关于a、b的方程，再求出a，b的值．
【详解】根据不等式的解集为，
可得方程的两个根为﹣2和3，且，
则，解得.
故答案为：．
15．若且，则的值是_________.
【答案】3
【分析】根据韦达定理可得，进而可求的值.
【详解】因为，由根的定义知为方程的二不等实根，
再由韦达定理，得，
,
故答案为：3.
16．若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．
【答案】
【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可．
【详解】解：令，则，故，
对任意，，则恒成立，
∴
∴，此时，
∴，当时取等号，
此时成立，
∴的最大值为．
故答案为：．
四、解答题
17．解以下一元二次不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)或；
(3)
(4)
【分析】（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，
（2）由，得，然后对不等式的左边分解因式求解，
【详解】(1)由，得，
解得，
所以不等式的解集为
(2)由，得，
则，解得或，
所以不等式的解集为或
(3)由，得，
解得，
所以不等式的解集为
(4)由，得，得，
所以不等式的解集为
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求方程的两个根．
【答案】(1)且；
(2)，.
【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，从而到关于的不等式，求出的范围即可；
（2）利用根与系数的关系可得，根据可得关于的方程，整理后即可解出的值，最后求出方程的根．
【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
即且，
解得：且．
(2)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴当时，方程为：，
解得：，．
19．设条件，条件
(1)在条件q中，当时，求实数x的取值范围.
(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，整理得，求解一元二次不等式即可；
（2）由题可知条件为，是的子集，列不等式组即可求解.
【详解】(1)解：当时，条件，即，
解得，故的取值范围为：.
(2)解：由题知，条件，条件，即，
∵是的充分不必要条件，故是的子集，
∴，解得，
故实数m的取值范围为.
20．已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.
（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.
【详解】(1)解：因为，所以，
因为不等式的解集为，所以，且，解得．
(2)由（1）得
则不等式等价为，
即，即．
因为，所以不等式的解为．
即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）