人教A版2019必修第一册1.2 集合间的基本关系 精品学案（Word版含答案）

1.2 集合间的基本关系
目标导航
1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.
2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识解读
知识点一　子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素 ，就称集合A是集合B的真子集 A B (或B A)
集合相等 如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A B
2．Venn图
用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的 ，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么 .
知识点二　空集
1．定义：不含 元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是 的子集．
跟踪训练
一、单选题
1．已知集合则的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．集合，，之间的关系是（ ）
A．真包含于真包含于 B．真包含于
C．真包含于 D．真包含于
3．已知则集合的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．设是两个集合，有下列四个结论：
①若，则对任意，有；
②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则；
④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．集合的非空真子集的个数（ ）
A．16个 B．15个 C．14个 D．13个
6．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则满足的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.
B．，由5个2组成的集合.则
C．，FE，则可能有4个.
D．， 用列举法表示集合E为.
10．以下满足的集合A有（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知集合，，下列说法正确的是（ ）
A．不存在实数使得 B．当时，
C．当时， D．存在实数使得
三、填空题
13．集合，，若，则由实数组成的集合为____
14．已知集合，则的子集个数为________
15．已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
16．若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________.
四、解答题
17．设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
18．已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
19．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
20．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证
1.2 集合间的基本关系
目标导航
1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.
2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识解读
知识点一　子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素 ，就称集合A是集合B的真子集 A B (或B A)
集合相等 如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A B
2．Venn图
用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的 ，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么 .
【答案】任意一个 x∈B，且x A 任何一个 任何一个 ＝ 封闭曲线 子集 A C
知识点二　空集
1．定义：不含 元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是 的子集．
【答案】任何 任何集合
跟踪训练
一、单选题
1．已知集合则的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，即可判断集合的关系.
【详解】解：因为，，
所以.
故选：C．
2．集合，，之间的关系是（ ）
A．真包含于真包含于 B．真包含于
C．真包含于 D．真包含于
【答案】C
【分析】利用列举法，根据子集和真子集的定义即可求解.
【详解】解：，，，
，，，
真包含于，
故选：C．
3．已知则集合的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，可得为的正约数，又，从而即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又，所以，
所以集合，所以集合的子集个数为个．
故选：B．
4．设是两个集合，有下列四个结论：
①若，则对任意，有；
②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则；
④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据子集、真子集的定义即可求解.
【详解】解：对于①，不一定，比如，故①错误；
②若，不一定，比如，故②错误；
③若，则，但不成立，故③错误；
④若，则一定存在，有，故④正确．
所以正确结论的个数为个，
故选：D.
5．集合的非空真子集的个数（ ）
A．16个 B．15个 C．14个 D．13个
【答案】C
【分析】利用元素与集合的关系，确定集合的子集个数，从而得到非空真子集的个数.
【详解】解：集合有个元素，则集合有个子集，
故集合的非空真子集的个数为.
故选：C．
6．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】由题意得元素个数，分类讨论求解
【详解】当时，，满足题意，
当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是
故选：D
7．下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】明确和的含义，可判断A,B;说明是数集，而是点集，判断C;
当在时不成立，判断D;
【详解】对于A, 是单元素集合，元素为0，而是空集，二者不相等，故A错误；
对于B，空集为任何一个集合的子集，故正确；
对于C， 的元素为0,1，而的元素为点，二者没有包含关系，故错误；
对于D, 当 表示不同的点，故 在时不相等，故错误，
故选：B
8．已知集合，，则满足的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.
【详解】解：由题知，,
所以满足的集合有，
故集合C的个数为7个.
故选：B
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.
B．，由5个2组成的集合.则
C．，FE，则可能有4个.
D．， 用列举法表示集合E为.
【答案】BC
【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由所有实数组成的集合是空集，
由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，都存在，故错误；
对：，由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，
故，故正确；
对：，因为FE，
故为含有且是的子集，
共有4个，故正确；
对：，故错误.
故选：.
10．以下满足的集合A有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.
【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，
则所有符合条件的集合A为,,.
选项BD均不符合要求，排除.
故选：AC
11．已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】因为集合，
对于A：满足，所以选项A符合题意；
对于B：满足，所以选项B符合题意；
对于C：满足，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
12．已知集合，，下列说法正确的是（ ）
A．不存在实数使得 B．当时，
C．当时， D．存在实数使得
【答案】AD
【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定.
【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.
选项B：当时，，不满足，故选项B错误.
若，则
①当时，有，；
②当时，有此方程组无实数解；
所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．集合，，若，则由实数组成的集合为____
【答案】.
【分析】由集合的包含关系可得或或，再求出对应的a值，即可得结果.
【详解】集合，，且，
或或，
．则实数组成的集合为.
故答案为：.
14．已知集合，则的子集个数为________
【答案】
【分析】根据已知条件列出集合中的元素，再利用子集个数公式即可求解.
【详解】由，得.
所以中含有个元素，集合的子集个数有．
故答案为：.
15．已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
16．若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________.
【答案】
【分析】在集合的子集中列举出满足“伙伴关系集合”的集合，从而可得结果.
【详解】因为，则，就称是伙伴关系集合，集合，
所以具有伙伴关系的集合有共7个.
故答案为：
四、解答题
17．设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
【答案】(1){或}
(2)
【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；
（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．
【详解】(1)当即时，，符合题意；
当时，有，解得．
综上实数的取值范围是或；
(2)当时，，所以集合的子集个数为个．
18．已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
【详解】(1)∵，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
(2)∵，，
∴，解得，
故实数的取值范围为.
19．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)；(2)
【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．
若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【详解】(1)若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
20．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
【详解】(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
(2)（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
(3)证明：，
，
，
，即
，
又，
所以，
所以