人教A版2019必修第一册 3.4 函数的应用（一） 精品学案（Word版含答案）

3.4 函数的应用（一）
目标导航
初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识解读
知识点　常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 (a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 (a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)
跟踪训练
一、单选题
1．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x（km） 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
邮资y（元） 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是（ ）A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
2．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
3．某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则与之间的函数图像大致是
A． B．
C． D．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为
A．15 B．25 C．40 D．130
5．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C． D．
8．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
二、多选题
9．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（ ）
A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元
10．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是（ ）
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
11．已知（常数），则（ ）
A．当时，在R上是减函数
B．当时，没有最小值
C．当时，的值域为
D．当时，，，有
12．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．有最小值4 D．无最小值
三、填空题
13．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．
14．已知，若f(a)=10，则a=________.
15．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)16．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格与时间满足关系，销售量与时间满足关系则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.
四、解答题
17．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
19．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
20．“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少
3.4 函数的应用（一）
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初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识解读
知识点　常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 (a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 (a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)
【答案】f(x)＝ax＋b f(x)＝ax2＋bx＋c
跟踪训练
一、单选题
1．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x（km） 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
邮资y（元） 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是（ ）A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
【答案】C
【分析】直接由邮资标准表找到x＝1 200所对应的邮费即可.
【详解】通过邮资标准表可得到，当x＝1 200时，y＝7.00元.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了学生处理信息的能力，属于基础题.
2．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
【答案】A
【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.
【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；
对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；
对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；
故选：A.
3．某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则与之间的函数图像大致是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析函数图像的特征，可得函数过原点，在上，不断增大，在上，先是一个定值，然后增大，在上，是个定值，分析选项可得答案．
【详解】由题图看出，时，，排除B；在上，不断增大，在上，先是一个定值，然后增大，在上，不断增大，在上，是个定值，在上，不断增大，
故选D.
【点睛】本题考查函数图像与图像的变化，属于基础题．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为
A．15 B．25 C．40 D．130
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式，令，结合分段条件，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，
令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故该公司拟录用25人．
故选B
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中合理利用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
【答案】D
【分析】设在元的基础上提高元，得到，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】设在50元的基础上提高元，每月的月利润为，
则与的函数关系式为，
其图象的对称轴为直线，故每件商品的定价为70元时，月利润最高．
故选D
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案．
【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；
由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，
∴A、C不满足条件，而B满足条件.
故选：B．
7．如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断.
【详解】当点在上时：
当点在上时：
当点在上时：
由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数
故选：A
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】C
【详解】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，
所以，得．
又由知，，所以当时，，
故选：C．
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，求出和的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
二、多选题
9．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（ ）
A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元
【答案】BCD
【分析】根据题意设出商品A的单价为元，用含有的式子表示商品A销售总收入，列出不等式求解即可.
【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，
根据题意有，解得，故BCD符合题意.
故选:BCD
10．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是（ ）
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
【答案】BD
【分析】根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正误；分别算出卖1大包的盈利和卖3小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，
卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.
故选：BD
11．已知（常数），则（ ）
A．当时，在R上是减函数
B．当时，没有最小值
C．当时，的值域为
D．当时，，，有
【答案】BD
【分析】对A，比较时两段的值可判断；对B，分别判断和时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出和时范围即可得出.
【详解】对于A，当时，，，所以在R上不是减函数，A错误．
对于B，当时，在上是减函数，无最小值，又在上是减函数，也无最小值，因此无最小值；当时，在上是增函数，，但，所以无最小值．
综上，当时，无最小值，B正确．
对于C，当时，，当时，由，得是增函数，所以，所以的值域是，C错误．
对于D，当时，由，得，所以．而当时，，，因此，，使得，即，D正确．
故选：BD．
12．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．有最小值4 D．无最小值
【答案】BCD
【分析】对A，B，根据题意设，利用待定系数法分别求出关于的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D，根据在上的单调性即可判断.
【详解】解：对A，设，
由题意知：函数过点，
即，
，故A错误；
对B，，
由题意得：函数过点，
即，
解得：，
，故B正确；
对C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，在上单调递减，
故无最小值，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．
【答案】.
【详解】解：设每件售价元时，售出件，设，
因为，所以①，
因为，所以②，
解由①②组成的方程组得，，所以.
由.
故答案为：.
14．已知，若f(a)=10，则a=________.
【答案】-3或5
【详解】时，，解得；
当时，，解得（舍去）或；
故答案为：或5．
【点睛】该题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值，属于基础题目．
15．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)【答案】②③
【分析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.
故答案为：②③
16．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格与时间满足关系，销售量与时间满足关系则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值为______.
【答案】176
【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额的最大值，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，设日销售额为，
①当，时，，故当或11时，最大值为；
②当，时，，
故当时，最大值为，
综合①②知，当或11时，日销售额最大，最大值为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中结合分段函数的解析式和二次函数图象与性质，分别求得函数的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
四、解答题
17．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
【答案】(1)；
(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
【分析】（1）根据题意，时，v(x)为常数函数；时，设，根据题意函数过(200，0)和(20，60)两点，据此求出a、b即可；
（2）分段求出函数的最大值，比较最大值的大小即可判断f(x)的最大值．
【详解】(1)当时，；
当时，设，
由已知得解得，
故函数的表达式为；
(2)依题意并由(1)可得，
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；
当时，，
∴当时，在区间(20，200]上取得最大值，
∵3333＞1200，
∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【答案】(1)，
(2)投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元
【分析】（1）设函数解析式，，代入即可求出的值，即可得函数解析式；
（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，则，代入解析式，换元求最值即可.
【详解】(1)依题意：可设，，
∵，，
∴，.
(2)设投资债券类产品万元，
则股票类投资为万元，年收益为万元，
依题意得：，
即，令，
则，，
则，，
所以当，即万元时，
收益最大，万元.
19．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
【答案】(1)
(2)，最小面积为48平方米
【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.
（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.
【详解】(1)解：设的长为米（）
是矩形
由，得
，解得或
即的取值范围为
(2)令，（），则
当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米
20．“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
【答案】(1)一次支付好，理由见解析
(2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；
（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.
【详解】(1)分两次支付：支付额为
元;
一次支付：支付额为元,
因为，所以一次支付好；
(2)设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，
当时，不能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，，
当时，，；
当时，，．
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．
当时，能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，
当，时，;
当时，，
y随着n的增大而增大，所以当，时，．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件