人教A版2019必修第一册 4.1 指数 精品学案（Word版含答案）

4.1 指数
目标导航
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简求值．
3.通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
知识解读
知识点一　n次方根，根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 ．
知识点二　根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝ .
(3)()n＝ (n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
知识点三　分数指数幂
1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
3．0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．
知识点四　有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
知识点五　无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
跟踪训练
一、单选题
1．化简 (a>0)等于（ ）
A．6a B．－a
C．－9a D．9a2
2．下列各式中成立的一项（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若 ，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
6．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设a，b为正实数，，，则（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
8．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C．) D．
11．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
三、填空题
13．已知,，则的值为______.
14．求值_______．
15．已知，则______．
16．化简___________.
四、解答题
17．求值.
18．已知，求的值．
19．已知正整数和非零实数，若，且，求的值．
20．（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值
4.1 指数
目标导航
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简求值．
3.通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
知识解读
知识点一　n次方根，根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 ．
【答案】n次方根 根指数 被开方数
知识点二　根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝ .
(3)()n＝ (n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
【答案】负数 0 a
知识点三　分数指数幂
1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
3．0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．
【答案】0 没有意义
知识点四　有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
知识点五　无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【答案】实数
跟踪训练
一、单选题
1．化简 (a>0)等于（ ）
A．6a B．－a
C．－9a D．9a2
【答案】C
【分析】根据指数运算法则进行运算.
【详解】
故选：C
2．下列各式中成立的一项（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
3．若，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两边同时平方，化简即可得出结果.
【详解】，
而，
故选：.
4．若 ，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】取，满足，而无意义，即不能推出；
若，则必有，即成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
【答案】C
【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．
【详解】，.
故选：C．
6．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答.
【详解】因，则有，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
7．设a，b为正实数，，，则（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】C
【分析】根据，，得到，求得a即可.
【详解】解：因为，
所以，
即，
∴，，
∴，
故选：C．
8．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.
【详解】 ，即 ， ，
.
故选：A .
二、多选题
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】CD
【分析】根据根式与分数指数幂的互化的知识确定正确选项.
【详解】对于A选项，，所以A选项错误.
对于B选项，，所以B选项错误.
对于C选项，，，所以C选项正确.
对于D选项，，，所以D选项正确.
故选：CD
10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C．) D．
【答案】BD
【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项.
【详解】A选项，由于，所以，A选项错误.
B选项，正确，B选项正确.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项正确.
故选：BD
11．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用指数幂的运算法则逐一考查所给的选项是否正确即可.
【详解】逐一考查所给的选项：
A．，故A正确；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
故选：ABD．
12．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
【答案】CD
【分析】利用指数幂的性质逐一判断即可.
【详解】对于选项A，因为（），而（），故A错误；
对于选项B，因为（），故B错误；
对于选项C，（），故C正确；
对于选项D，（），故D正确．
故选:CD
三、填空题
13．已知,，则的值为______.
【答案】47
【分析】由两边平方得，再两边平方可求出结果.
【详解】由，得，即，
所以，则.
故答案为：.
14．求值_______．
【答案】4
【分析】直接利用根式的运算性质化简
【详解】.
故答案为：4
15．已知，则______．
【答案】3
【分析】根据指数幂的运算即可求解.
【详解】由，可得，，
．
故答案为：3
16．化简___________.
【答案】
【分析】先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算化简可得.
【详解】
故答案为：
四、解答题
17．求值.
【答案】
【分析】根据指数幂的运算性质可求出结果.
【详解】原式
.
18．已知，求的值．
【答案】
【分析】利用平方差公式先化简目标式，再代值计算即可.
【详解】因为，
故.
19．已知正整数和非零实数，若，且，求的值．
【答案】．
【分析】由已知条件，结合分数指数幂的运算得到，结合，得到，再根据为正整数对其分解，即可求得.
【详解】由已知，得，同理，，
三式相乘，得，又，
所以，又因为为正整数，故，
又则．
20．（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）18；（2）.
【分析】（1）由题可得，结合条件及指数幂的运算法则即得；
（2）由题意化简所给的代数式，再结合条件即求.
【详解】（1）
．
（2）∵，，
∴原式