人教A版2019必修第一册5.1 任意角和弧度制 精品学案（Word版含答案）

5.1 任意角和弧度制
目标导航
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念.
3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．
4.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
5.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
知识解读
知识点一　任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ．
2．角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .
3．角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
知识点二　角的加法与减法
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的 旋转角β.
(2)α－β：α－β＝ ．
知识点三　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点五　度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 以 作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角
知识点六　弧度数的计算
（1）弧度数
正角的弧度数是一个 数.
负角的弧度数是一个 数.
（2）零角的弧度数是
（3）弧度数的计算
公式：
知识点七　角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝ rad 2π rad＝
180°＝ rad π rad＝
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
知识点八　弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
跟踪训练
1．与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．的角化为弧度制的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
4．如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（ ）
A． B． C． D．
5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（ ）（参考数据：，）
A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.53
6．把表示成，的形式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．角所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
10．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则（ ）
A．若，确定，则，唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定
C．若，确定，则，唯一确定 D．若，确定，则，唯一确定
11．下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是；
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；
C．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；
D．，，则
12．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．写出两个与终边相同的角______．
14．半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为______cm．
15．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．
16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
四、解答题
17．已知．
(1)把表示成的形式，其中，；
(2)求，使与的终边相同，且．
18．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
19．已知，，，．
(1)将，用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将，用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角
5.1 任意角和弧度制
目标导航
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念.
3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．
4.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
5.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
知识解读
知识点一　任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ．
2．角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .
3．角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 做任何旋转形成的角
【答案】射线 旋转 图形 OA OB O 逆时针 顺时针 没有
知识点二　角的加法与减法
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的 旋转角β.
(2)α－β：α－β＝ ．
【答案】－α 终边 α＋(－β)
知识点三　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限．
【答案】原点 终边 象限角 坐标轴上
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点五　度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 以 作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角
【答案】弧度 半径长
知识点六　弧度数的计算
（1）弧度数
正角的弧度数是一个 数.
负角的弧度数是一个 数.
（2）零角的弧度数是
（3）弧度数的计算
公式：
【答案】正 负 0
知识点七　角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝ rad 2π rad＝
180°＝ rad π rad＝
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
【答案】2π 360° π 180°
知识点八　弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
跟踪训练
1．与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】与终边相同的角可表示为.
【详解】∵，
∴与终边相同的角是.
故选：D
2．的角化为弧度制的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角度和弧度的换算公式即可得到答案.
【详解】．
故选：C.
3．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【分析】根据角的定义判断．
【详解】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．
故选：B.
4．如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图可知为周角的，计算可得结果．
【详解】解：由图可知，．
故选：B．
5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（ ）（参考数据：，）
A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.53
【答案】D
【分析】根据题意求出与的值，代入弧长公式和求出和即可.
【详解】因为，所以，
因为是的中点，在上，，
所以延长可得在上，，
所以，
，
所以.
故选：D
6．把表示成，的形式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由结合弧度制求解即可.
【详解】∵，∴
故选：B
7．角所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据角的终边位置可直接得到结果.
【详解】，角位于第三象限.
故选：C.
8．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
所以，
扇形面积，
当时，有最大值，此时圆心角，
故选：D
二、多选题
9．若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由与关于轴对称，即可判断AD；由已知可得，，再根据不等式的性质可判断B；由是第一象限角判断C．
【详解】解：因为与关于轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，
所以是第一象限角，故A正确，D错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，
故是第一或第三象限角，故 B正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误．
故选：AB．
10．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则（ ）
A．若，确定，则，唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定
C．若，确定，则，唯一确定 D．若，确定，则，唯一确定
【答案】ABD
【分析】由弧长公式和面积公式判断．
【详解】由弧长公式得，，周长，
若，确定，则唯一确定，则，唯一确定，故A正确，
若，确定，则唯一确定，则，唯一确定，故B正确，
若，确定，则，，即，当，有两正实根，不唯一确定，所以，不一定唯一确定，故C错误，
若，确定，则唯一确定，则唯一确定，故D正确，
故选：ABD.
11．下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是；
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；
C．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；
D．，，则
【答案】ABD
【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.
【详解】A.终边经过点的角的终边在第一象限平分线上，故角的集合是，所以A正确；
B. 将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角度为，对应弧度数是，所以B正确；
C.因为是第三象限角，即，所以，当为奇数时，是第四象限角，当为偶数时，是第二象限角；，所以的终边位置在第一或第二象限或轴非负半轴，所以C错误；
D. ，
，易知，所以D正确；
故选：ABD.
12．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.
对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.
三、填空题
13．写出两个与终边相同的角______．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】利用终边相同的角的定义求解.
【详解】设是与终边相同的角，
则，
令，得，
令，得，
故答案为：，(其他正确答案也可)14．半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为______cm．
【答案】
【分析】先将圆心角角度化成弧度制，然后直接利用弧长公式进行求解即可．
【详解】解：圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为
弧长为．
故答案为：．
15．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．
【答案】3
【分析】根据弧长公式求出，，再由根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】设,
因为弧，弧，，
所以，，
所以，，
又扇形的面积为，扇形的面积为，
所以扇环ABCD的面积．
故答案为：3
16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
【答案】
【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
四、解答题
17．已知．
(1)把表示成的形式，其中，；
(2)求，使与的终边相同，且．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将直接表示为的形式，其中，；
（2）设，由可求得的值，即可得解.
【解析】(1)解：.
(2)解：，设，
由可得，解得，
，则，故.
18．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】(1)
(2)取得最大值25，此时
【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解；
（2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解.
【解析】(1)由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
(2)由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
19．已知，，，．
(1)将，用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将，用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角．
【答案】(1)，第二象限；，第一象限
(2)，和；，
【分析】（1）直接将角度转化成弧度表示即可；通过周期公式化简，可求出终边对应象限；
（2）将弧度转化成角度即可；通过任意角概念给赋值，求出在内对应角即可.
(1)由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得
，
．
又由，所以与角的终边相同，所以终边位于第二象限；
，所以与角的终边相同，所以终边位于第一象限；
(2)根据角度制与弧度制的互化公式，可得，．
根据终边相同角的表示，可得与终边相同的角为，，当时，；当时，．
与终边相同的角为，，
当时，．
因此，在内，与终边相同的角是和，与终边相同的角是