人教A版2019必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷（Word版含解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷
时间：120分钟 满分：150分
姓名： 班级： 得分：
题 号 一 二 三 四 总分
得 分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的。
1．若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．，若，则
C．若，则 D．，，若，则
2．如果实数满足，那么（ ）．
A． B． C． D．
3．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
4．已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
6．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0 B．有最小值为0
C．有最大值为－4 D．有最小值为－4
7．已知实数满足，且，则的值最小时，实数（ ）
A． B．
C． D．1
8．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
10．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若恒成立，则正实数的取值范围是
12．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．已知实数，且，则的最大值为______．
14．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________．
15．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段______的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。
17.（10分）解下列不等式：
(1)；
(2).
18.（12分）设实数、，满足．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的最小值．
19.（12分）设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
20.（12分）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
21.（12分）已知均为正实数，且满足证明：
(1)；
(2)．
22.（12分）若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
（1）若比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的。
1．若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．，若，则
C．若，则 D．，，若，则
【答案】C
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，当时，，故D错误，
故选：C.
2．如果实数满足，那么（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A：
因为，所以，故A错误；
对于B：
因为，所以，
所以，即，故B正确；
对于C：
因为，当时，故C错误；
对于D：
因为，即，故D错误；
故选：B
3．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.
故选：B．
4．已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴，故A正确；
∵，∴，∴，即，故B正确；
由可得，，∴，故C正确；
因为，所以，，所以，即．故D错误.
故选：D．
5．若，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
6．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0 B．有最小值为0
C．有最大值为－4 D．有最小值为－4
【答案】B
【详解】由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
7．已知实数满足，且，则的值最小时，实数（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】A
【详解】设，解得 ，
所以 ，即，
设，
则，即，
当且仅当，即时取等号，
即，
则的值最小时，实数，
故选:．
8．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】选项A： ，
当 时， ，当且仅当时有最小值.
故A不正确.
选项B：
对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，
当且仅当 时取得最大值.
所以 ，当且仅当时取得最大值.
故B正确.
选项C：对于正数， ,所以
所以
当且仅当 ，即时取得最小值.
故C正确.
选项D：因
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故D正确.
故选：BCD.
10．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】，即的解集为，
可知，且，故A，D正确，
，故C错误，
由对称性可知，，故B正确，
故选：ABD
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若恒成立，则正实数的取值范围是
【答案】ABCD
【详解】对于A
因为，，且，
则，可得，
解得或（舍去）
则，当且仅当，取等号
故最小值为，
故A正确；
对于B
因为，，且，则，
则，
当且仅当，取等号
故最小值为，
故B正确；
对于C
，
当且仅当取等号，
所以不等式恒成立，转化为，解得，
故C正确；
对于D
因为，，，则，，
将不等式变形得到恒成立，
当时，取等号，故，
D正确．
故选：ABCD．
12．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．已知实数，且，则的最大值为______．
【答案】
【详解】由，所以，
又由，
当且仅当时，等号成立，所以.
故答案为：.
14．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】由有，则，当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
15．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】根据题意先求得最小值，
由，
得
，
所以若要不等式恒成立，
只要，即，
解得。
16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段______的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________.
【答案】
【详解】依题意，，，由直角三角形射影定理得，即，
而点C与点O不重合，在中，即，则，
在中，因，，由直角三角形射影定理得，
，又，则，即，
所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为.
故答案为：；
四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。
17.（10分）解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或；(2)
【解析】(1)因为，
所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集为或.
(2)因为，
所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝
所以原不等式的解集为.
18.（12分）设实数、，满足．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：因为，.
当且仅当，时，；当且仅当，时，.
因此，的取值范围是.
(2)解：因为，
当且仅当，时，等号成立，因此，的最小值为.
19.（12分）设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得.所以实数a的取值范围为.
（2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
20.（12分）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)设．
依题意有，即，得．
(2)设．
依题意有，解得．
(3)设．
方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．
21.（12分）已知均为正实数，且满足证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】(1)均为正实数，则当且仅当时取“”，
同理可得：，当且仅当，时等号成立，
故当且仅当时取“”，
又，
故.
(2)
当且仅当时取“”，
同理当且仅当时取“”，
当且仅当时取“”．
又由，
可知．
当且仅当时取“”．
所以，
故．
当且仅当时取“”．
22.（12分）若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
（1）若比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【详解】（1）因为比3接近1，故，
故，故，所以.
（2）取，
则，故比接近.
但，
故“比接近”推不出“”.
所以“比接近”是“”不充分条件.
若，则，故，
所以或，
若，则且，故，
所以，
故，所以，
也就是“比接近”.
若，则且，故，
所以，
故，所以，
故“比接近”是“”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，
即证：，
即证：，
即证：，
因为，因为，
故，故，
所以成立，
故比接近