北师大版（2019）必修一4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 同步课时训练（Word版含解析）

4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 同步课时训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)下表表示的是某实验数据，现准备用某个函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
t 2.01 4.98 9.99 15.1 20 100
0.3 0.7 1.01 1.17 1.3 2.02
A. B. C. D.
2、(4分)四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A. B. C. D.
3、(4分)一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A. B. C. D.
4、(4分)今有一组实验数据如下表所示：
t 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )
A. B. C. D.
5、(4分)某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2000 mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为( )
A. B.
C. D.
6、(4分)有一组试验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 4 13 28 49 76
下列所给函数模型适合的是( )
A. B.
C. D.
7、(4分)某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元（）时，奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：，，）( )
A. B. C. D.
8、(4分)已知函数，，，在区间上一定存在，当时( )
A. B. C. D.
9、(4分)四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A. B. C. D.
10、(4分)已知,,,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共25分)
11、(5分)某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)
12、(5分)函数与函数，当x从1增加到m时，函数的增量分别是与，则___________(填“>”“=”或“<”).
13、(5分)某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量 (单位:万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x 1 2 3 4
4.00 5.62 7.00 8.86
则近似符合以下三种函数模型之一:①；②；③.则你认为最适合的函数模型的序号是 .
14、(5分)函数与函数在区间上增长较快的一个是 .
15、(5分)某品牌手机销售商今年月份的销售量分别是万部, 万部, 万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量 (单位:万部)与月份x之间的关系,现从二次函数 或函数 中选用一个效果好的函数行模拟,如果月份的销售量为万件,则月份的销售量为__________万件.
三、解答题(共35分)
16、(8分)某公司为了实现年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%现有三个奖励模型:，，，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.
(参考数据:，，)
17、(9分)某工厂今年月、月、月生产某种产品的数量分别是万件、万件、万件,为了预测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中为常数),已知月份该产品的产量为万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好 并说明理由.
18、(9分)函数的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以为分界点).
19、(9分)某汽车公司曾在2014年初公告:2014年销量目标为39.3万辆;且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标.已知2011年,某汽车年销量8万辆;2012年,某汽车年销量18万辆;2013年,某汽车年销量30万辆.如果我们分别将2011,2012,2013,2014年定义为第一、第二、第三、第四年,现在有两个函数模型:二次函数型,指数函数型,哪个模型能更好地反映该公司年销量与第年的关系
参考答案
1、答案：A
解析：本题考查函数模型的选择.作出散点图，如下图，可知该函数单调递增，符合对数函数图象性质，经数值验证，符合A选项的函数关系.
2、答案：D
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
3、答案：D
解析：设每月的平均增长率为x，1月份产量为a，则，所以，即.
4、答案：A
解析：把的值分别代入中，基本成立，故A能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故B不能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故C不能最佳体现这些数据关系；
把的值分别代入中，不成立，故D不能最佳体现这些数据关系。
故选A.
5、答案：B
解析：由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了2000 mg该药物，x个小时后病人血液中这种药物的含量为，故选B.
6、答案：C
解析：通过题中所给数据可知，随着x的增大，y的增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.
7、答案：B
解析：A选项中，当时，，超过2万元，不符；
B选项中，在上是增函数，时，，结合图象知，在上恒成立，故B符合；
C选项中，当时，，超过2万元，不符；
D选项中，当时，，
设，
则.
因此，超过2万元，不符.
故选B.
8、答案：A
解析：由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小，
即在区间上一定存在，当时，，故选A.
9、答案：D
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
10、答案：B
解析：由函数性质可知，在内，指数函数增长速度最快，对数函数增长速度最慢，所以.故选B.
11、答案：5%
解析：设商品的原价为x元，成本为y元，则，.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为，利润率为.
12、答案：<
解析：由这两个函数的图象可知，指数函数增长得快些，所以.
13、答案：①
解析：
14、答案：
解析：当x变大时，x比增长要快，所以要比增长的要快.
答案：.
15、答案：1.375
解析：由题意可得,当选用函数 时, ,解得, ,当选用函数时,解得, , ∵更接近于,选用函数拟合效果较好, , 月份的销售量为,故答案为.
16、答案：由题意，符合公司要求的模型需同时满足:当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③.
(1)对于，易知满足①，但当时，，不满足公司的要求.
(2)对于，易知满足①，但当时，，不满足公司的要求.
(3)对于，易知满足①.当时，.
下面证明.
因为，满足②
再证明，即.
设，则，，
所以在上为减函数，
，满足③.
综上，奖励模型能完全符合公司的要求.
解析：
17、答案：
根据题意,该产品的月产量是月份的函数,可供选用的函数有两种,其中哪一种函数确定的月份该产品的产量越接近于万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故应先确定这两个函数的具体解析式.
设 (为常数,且),,根据已知有
和
解得和
所以.
所以.
显然更接近于,故选用作为模拟函数较好.
解析：
18、答案：
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线对应的函数是,曲线对应的函数是,曲线对应的函数是
由题图知,当时,
当时,
当时,
当时,
当时, ;
当时,
当时
解析：
19、答案：
建立年销量 (万辆)与第年的函数,可知函数图象必过点
(1)构造二次函数型,
将点的坐标代入,可得解得
则,故,与计划误差为.
(2)构造指数函数型,将点的坐标代入,
可得解得
则,
故,与计划误差为.
由上可得, 模型能更好地反映该公司年销量 (万辆)与第年的关系.
解析：