北师大版（2019）必修一5.2 实际问题中的函数模型 同步课时训练（Word版含解析）

5.2 实际问题中的函数模型 同步课时训练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)某商品自上市后前两年价格每年递增10%，第三年价格下降了20%，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是( )
A.不增不减 B.下降了2.8％ C.增加了2.8% D.下降了3.2％
2、(4分)苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为( )
（可能用到数值）
A.3.23 B.2.881 C.1.881 D.1.23
3、(4分)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（a，c为常数）.已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，则c和a的值分别是( )
A.75，25 B.75，16 C.60，144 D.60，16
4、(4分)从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满并摇匀，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第次时共倒出纯酒精，则的解析式是( )
A. B. C. D.
5、(4分)2021年诺贝尔物理学奖揭晓，获奖科学家真锅淑郎(Syukuro Manabe)、克劳斯·哈塞尔曼(Klaus Hasselmann)的杰出贡献之一是建立了地球气候物理模型，该模型能够可靠地预测全球变暖情况.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约(参考数据：)( )
A.1℃ B.2℃ C.3℃ D.4℃
6、(4分)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度(单位：)与竣工后保持良好通风的时间(单位：周)近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )
A.5周 B.6周 C.7周 D.8周
7、(4分)衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为.新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
8、(4分)2021年6月17日长征号运载箭划破苍弯成功将载有3位航天员的神舟十二号载人飞船送入预定轨道在考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位:)和燃料的质量 (单位:)、火箭(除燃料外)的质量 (单位:)满足的函数关系是、若火箭的最大速度为.则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为________ (参考数据: )( )
A.0.018 B.0.064 C.0.036 D.1.018
9、(4分)某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的时，至少需要经过该装置的次数为（ ）（参考数据：）
A.13 B.14 C.15 D.16
10、(4分)某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.35万台，由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好，为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测后几个月的产量，通过模拟多个函数模型，发现模拟函数比较接近客观实际，用该函数模型估计第5个月的产量是（单位：万台）（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(共25分)
11、(5分)土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.
12、(5分)某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种干细胞由1个培养成1024个需经过________小时.
13、(5分)某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，若日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的关系式为，则该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为_____________元.
14、(5分)北京时间2012年10月11日19点,瑞典文学院诺贝尔评审委员会宣布,中国作家莫言获得2012年诺贝尔文学奖,全国反响强烈,在全国掀起了出书热潮。国家对出书所得的稿费纳税作如下规定：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元，则这个人的稿费为________.
15、(5分)某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的关系式为，若每台产品的售价为8万元，且当产量为6台时，生产者可获得的利润为16万元，则____________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
17、(9分)春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
18、(9分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x（万件）与年促销费用m（万元）（）满足（k为常数），若不搞促销活动，则该产品的年销售量为1万件.已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投人和再投入两部分资金）.
（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
（2）该厂家的年促销费用为多少万元时，利润最大？
19、(9分)某森林出现火灾，火势正以100 的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防队员前去，在火灾发生5 min后到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 森林的损失费为60元，则应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
参考答案
1、答案：D
解析：本题考查函数模型与生活中的应用.设商品原价格为a元，则，下降了.
2、答案：B
解析：
所以
的近似值为
3、答案：C
解析：显然，则由题意可得解得故选C.
4、答案：A
解析：因为倒第k次时共倒出纯酒精x L，所以第k次后容器中含纯酒精，
第次倒出的纯酒精是，
所以.
5、答案：C
解析：设目前大气中二氧化碳的含量为a.由题意，知当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升0.5℃，当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃……
当大气中二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃.
令，即，方程两边同时取常用对数，则，所以到2050年，地球平均4温度将上升约(℃).
故选C.
6、答案：B
解析：由题意可知，，，，解得.
设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安企开放标准，则，整理得，设，因为，所以，即，则，即.故至少需要放置的时间为6周.
7、答案：A
解析：由题意，得，解得.令，即，则，即需经过的天数为75.
8、答案：A
解析：由
可得：，
，
故选:A.
9、答案：B
解析：设至少需要经过该装置的次数为，
则，即，
∴，又，
∴.
故选：B.
10、答案：B
解析：对于函数模型，将前三个月产量的坐标代入，有，
解得，，，则，
当时，，与实际产量相符，
即由前4个月产量可得函数，
所以当时，，
故选：B
11、答案：3
解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.
12、答案：5
解析：本题考查指数函数的应用.干细胞分裂一次时有2个细胞，分裂2次时变为个细胞，分裂n次时变为个细胞，，所以分裂10次，每小时分裂2次，所以需要5小时.
13、答案：10
解析：设该桶装水经营部的利润为元，则，所以当时，取得最大值330，即该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为10元.
14、答案：3800元
解析：设稿费为x元时，纳税y元，
则由题意得，
即.
由，解得；
由，解得 (舍去).
15、答案：3
解析：当产量为 6 台时，总成本 万元，
则生产者可获得的利润为 ，
解得 ，
故答案为 : 3
16、答案：(1)
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
解析：(1)当时，；
当时，，
所以
(2)若，
当时，万元.
若，，
当且仅当时，即时，万元.
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
17、答案：（1）当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人
（2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少
解析：（1）当时，设，，则，
.
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2），
①当时，，
仅当时等号成立.
②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
18、答案：（1）
（2）该厂家的年促销费用为3万元时，利润最大
解析：（1）由题意知，当时，，
，解得，，
又每件产品的销售价格为（万元），
年利润
.
（2）时，，
当且仅当，即时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，此时y取得最大值.
故该厂家的年促销费用为3万元时，利润最大.
19、答案：应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少
解析：设派名消防队员前去救火，用t min将火扑灭，总损失为y元，则，
，
当且仅当，即（负值舍去）时，y有最小值，最小值为36450.
所以应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.