第1课 平行四边形的性质（1）——边、角
新课学行四边形的定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形
图形 平行四边形的性质 几何语言
（1）平行四边形的对边 且 ；（2）平行四边形的对角 ，邻角 . ∵四边形ABCD是平行四边形∴（边） ；（角） .
1.（1）在中，，则 ， ，周长为 .
（2）在中，已知，那么 ， ， .
2.（1）一平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20 cm，则此平行四边形两邻边的长分别为
.
（2）在中，若，则 ， .
3.（例1）如图，在中，，垂足分别为.求证：.
4.如图，在平行四边形中，点在对角线上，且.求证：.
5.（例2）已知中，平分交于.
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长.
6.如图，在中，平分且交于点交于点，求的大小
总结：作平行四边形内角的平分线，将得到“三角等，三线等”.
过关检测
第1关
7.如图，在中，下列式子中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在中，点分别在边上，若.求证：.
第2关
9.如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点.求证：点是的中点.
10.如图，四边形是平行四边形，点在同一直线上，且.
（1）求证：；
（2）写出图中所有的全等三角形.
第3关
11.如图，在中，为边上一点，且.求证：.
12.如图，点是的边上的点，且分别平分.
（1）求证：;
（2）若，求的周长.
第1课 平行四边形的性质（1）——边、角
1.（1） （2）
2.（1） （2）
3.证明：四边形是平行四边形
又，
。
4.证明：四边形是平行四边形
，
。
在和中，
.
5.解：（1）四边形是平行四边形，
平分，
，
，
（2）
，
。
6.解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
。
7.
8.证明：四边形是平行四边形，
和中，
，
.
9.证明：是的中点，。
四边形是平行四边形，
，
。
在和中，
，
中，
。
又。
，即点是的中点。
10.（1）证明：四边形是平行四边形，
，
。
，
即。
在和中，
，
。
（2）解：，
.
11.证明：四边形是平行四边形，
又，
，
在和中，
，
，
。
12.（1）证明：四边形是平行四边形，
，
。
又平分，
，
，
，
同理。
又
（2）解：
又，
，
的周长为。第2课 平行四边形的性质（2）——对角线
知识储备
平行四边形的性质：
（1）对边 ；
（2）对角 ；
（3）对角线 ；即 ， .
1.如图，在中，对角线相交于点，则 ，
.
新课学习
2.（例1）如图，在平行四边形中，相交于点，点在上，且.
求证：.
3.如图，在中，相交于点，点分别是的中点.求证：.
4.（例2）已知：的对角线相交于点，过点与分别相交于点.求证：.
5.如图，已知的对角线交于点，过点作直线交的反向延长线于点.求证：.
6.（例3）已知中，，求的长以及的面积.
7.如图，已知的对角线相交于点，
（1）求的长；（2）求的面积.
过关检测
第1关
8.如图，的对角线相交于点，且，则的周长为 .
9.如图，延长的边至点至点，使与交于点.求证：.
第2关
10.如图，在中，是对角线上两点，且四边形也是平行四边形.求证：.
11.如图，在中，，（1）的周长是____；（2）与的周长哪个长？长多少？
第3关
12.如图，在中，对角线相交于点，点在的延长线上，且是等边三角形，若，求的长.
13.如图，在中，点分别在边上，，把平行四边形沿直线折叠，使得点分别落在处，线段与线段交于点，连接.
求证：（1）；（2）.
第2课 平行四边形的性质（2）——对角线
1.
2.证明：四边形是平行四边形，
。
在和中，
，
，
3.证明：四边形是平行四边形，
。
又点分别是的中点，
，
。
在和中，
，
。
4.证明：四边形是平行四边形，
,
.
在和中，
，
，
。
5.证明：四边形是平行四边形，
，
,
在和中，
，
，
。
6.解：,
,
,
7.解：（1）四边形是平行四边形，
，
，
。
在中，
。
（2）。
8.
9.证明：四边形是平行四边形，
,
,
又,
,
,
,
.
10.证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即。
11.解：（1）。
（2）四边形是平行四边形，
。
的周长为，
的周长为，
又。
的周长比的周长长，且。
12.解：四边形是平行四边形，
.
又是等边三角形，
。
又，
。
，
。
13.证明：（1）在中，，
。
由折叠得
。
（2）,
.
，
。
由折叠得，
，
。
又，
。第3课 平行四边形的判定（1）——边
新课学习
图形 平行四边形的判定方法 几何语言
判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形
判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形
判定3： 组对边 且 的四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形
1.（例1）根据图中所给条件，不能说明四边形是平行四边形的是（ ）
2.（判定1）如图，已知四边形中，.求证：四边形是平行四边形.
3.（判定2）如图，在四边形中，.求证：四边形是平行四边形.
4.（判定3）如图，在四边形中，.求证：四边形是平行四边形.
5．（例2）如图，在中，.求证：四边形是平行四边形.
6.如图，在中，分别是的中点.求证：四边形是平行四边形.
7.（例3）如图，已知是的一条对角线，于于.求证：四边形是平行四边形.
8.如图，，点在上，，连接.求证：（1）；（2）四边形是平行四边形.
过关检测
第1关
9.如图，在四边形中，已知，则下列条件不能说明四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在四边形中，为对角线上两点，且.
求证：四边形为平行四边形.
第2关
11.如图，在中，，分别交的延长线于点，交于点.求证：（1）四边形为平行四边形；（2）.
第3关
12.如图，分别以的三边为边长，在的同侧作等边，等边，等边，连接.求证：四边形是平行四边形.
第3课 平行四边形的判定（1）——边
1.
2.证明：，
。
又，
四边形是平行四边形。
3.证明：在和中，
，
,
四边形是平行四边形。
4.证明：，
。
又，
四边形是平行四边形。
5.证明：四边形是平行四边形。
。
又，
，
，
又。
四边形是平行四边形。
6.证明：四边形是平行四边形，
,
又点是中点，点是中点，
，
。
又即，
四边形是平行四边形。
7.证明：四边形是平行四边形，
，
.
，
。
在和中，
,
.
又，
四边形是平行四边形。
8.证明：（1）,
.
在和中，
，
，
。
（2）由（1）知,
,
又，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形。
9.
10.证明：，
。
，
，
，
在和中，
,
.
又，
四边形为平行四边形。
11.证明：（1）在中，，
即。
又，
四边形为平行四边形。
（2）由（1）知，
同理可证：四边形是平行四边形，
。
12.证明：,
.
在和中，
，
，
又，
。同理可证。
四边形是平行四边形。第4课 平行四边形的判定（2）——角、对角线
知识储备
图形 平行四边形的判定（有关“边”） 几何语言
方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
新课学习
图形 平行四边形的判定（有关角，对角线） 几何语言
方法4：两组对角分别 的四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形
方法5：对角线 的四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形
1.根据图中所给条件判断四边形是否为平行四边形.
2.如图，在四边形中，.判断四边形是否为平行四边形.
3.（例1）如图，在四边形中，已知求证：四边形是平行四边形.
4.下面给出了四边形中的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是
A.1:2:3:4 B.2:2:3:3
C.2:3:2:3 D.2:3:3:2
5.（例2）如图，在中，对角线与交于点，已知点分别为的中点.求证：四边形是平行四边形.
如图，的对角线交于点是上两点，并且.求证：四边形 是平行四边形.
过关检测
第1关
7.如图，在四边形中，相交于点，若，那么
cm， cm时，四边形为平行四边形.
8．如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，四边形的对角线相交于点，.求证：四边形是平行四边形.
10．如图，为平行四边形的对角线的中点，经过点，且与交于，与交于.求证：四边形是平行四边形.
第2关
11.如图，在中，已知分别是的平分线.求证：四边形是平行四边形.
第3关
12．如图，正方形的边长为6 cm，点是边上的一点，且.动点由点开始以3 cm/s速度沿折线移动，动点同时由点以1 cm/s的速度沿边移动，顺次连接点得到四边形.请问多长时间后，该四边形是平行四边形？
第4课 平行四边形的判定（2）——角、对角线
1.解：四边形是平行四边形，
，
，
.
四边形是平行四边形。
2.解：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形。
3.证明：，
。
，
，
四边形是平行四边形。
4.
5.证明：四边形是平行四边形，
。
点分别是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形。
6.证明：四边形是平行四边形，
.
又，
，
。
四边形是平行四边形。
7. 8.
9.证明：在和中，
，
。
。
又，
四边形是平行四边形。
10.证明：四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
在和中，
，
，
。
又，
四边形是平行四边形。
11.证明：在中，
，
平分，
，
。
，
，
，
。
又，
四边形是平行四边形。
12.解：当时，四边形是平行四边形，
设时间为，则，
，
，第5课 三角形的中位线
新课学习
图例 定义 性质
三角形的中线：三角形的顶点与对边中点的连线 ∵AD是△ABC的中线，∴BD = DC
三角形的中位线：三角形两边中点的连线 中位线DE与第三边BC有何关
三角形中位线的性质的证明：
如图，点分别是的边的中点，求证：，且.
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言：
∵是的中位线，
∴ ，
.
1.（例1）如图，若分别是的中点，，则 cm， °.
2.如图，在中，为对角线，分别是的中点，连接.若，则的长为 .
3.（例2）如图，在中，点分别是的中点.求证：四边形是平行四边形.
4.如图，在中，是对角线的交点，是边的中点，点在的延长线上，且.求证：四边形是平行四边形.
过关检测
第1关
5.如图，是的中位线，若，则 .
6.如图，在中，分别是的中点，若，则
.
第2关
7.如图，为了测量一口池塘的长度，在池塘外取两点，使点在的延长线上，从可直接到达，再取和的中点，量得，求的长.
8.如图，在四边形中，分别是的中点.求证：是等腰三角形.
第3关
9.如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和.（1）求证：；（2）求的长.
10.如图，在四边形中，分别是两条对角线的中点.求证：
第5课 三角形的中位线
1. 2.
3.证明：是的中点，
，
四边形是平行四边形。
4.证明：四边形是平行四边形，
是的中点，
又是的中点，
是的中位线，
。
又，
且，
四边形是平行四边形。
5. 6.
7.解：分别是的中点，
，
，
。
8.证明：分别是的中点，
是的中位线，是的中位线，
。
又。
是等腰三角形。
9.（1）证明：是的中位线，
。
又，
。
（2）解：是等边的中线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
。
10.证明：如图，取的中点，连接。
分别是和的中位线，
，
。
又，
，
又，
是在同一直线上，第6课 平行四边形的性质和判定习题课
知识储备
平行四边形
性质 边：∵，∴ 角：∵，∴ 对角线：∵，∴
判定 角：④∵ ，∴四边形是平行四边形.对角线：⑤∵ ，∴四边形是平行四边形.
基础练习
1.如图，在中，下列选项不正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，是的中位线，若，则（ ）
A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
3.如图，，四边形是平行四边形，和的周长分别为5和10，则的周长是 .
4．如图，的对角线相交于点，，则直线与直线之间的距离是 .
5.如图，在中，点分别在上，且.求证：≌.
6．如图，在中，是的中点，交于，延长到，使，连接.求证：（1）四边形是平行四边形；（2）.
提升练习
7.如图，在中，已知，依次连接三边中点，得，再依次连接的三边中点得，…，则的周长为 .
8．如图，在中，与的交点在对角线上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A.0对 B.1对 C. 2对 D.3对
9.如图，在中，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点.求证：是的中位线.
10.如图，在四边形中，，求的长和四边形的面积.
11．如图，分别为的中线，交于点，点分别是的中点.
求证：（1）；（2）.
12．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的面积.
第6课 平行四边形的性质和判定习题课
1. 2. 3. 4.
5.证明：四边形是平行四边形，
，
。
，
，
，
，
在和中，
，
，
6.证明：（1）是的中点，
，
又。
四边形是平行四边形。
（2）在中，，
，
四边形是平行四边形，
，。
7. 8.
9.证明：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，。
在和中，，
，
，
，
是的中位线。
10.解：在中，
。
又，
，
，
点是的中点，
又，
四边形是平行四边形。
，
。
11.证明：（1）连接.
均是中点，
是的中位线，
是的中位线，
，
，
。
四边形是平行四边形，
。
（2）由（1）知四边形是平行四边形，
。
又，
。
12.（1）证明：四边形是平行四边形，
，
。
又平分，
,
，
，
。
（2）解：,
,
,
,
.
,
,
又第7课 矩形的性质
新课学习
矩形的定义：有一个角是 的 是矩形.
图形 矩形的性质 几何语言
（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形不同于一般平行四边形的性质：①矩形的四个角都是 ；②矩形的对角线 . ∵矩形∴（边）： （角）： （对角线）：
1.（例1）如图，矩形的对角线相交于点，若，则 ， ，矩形的周长为 ，面积为 .
2.如图，在矩形中，，则 ， ，矩形的周长为 ，面积为 .
3.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分 B.邻角互补
C.对角线相等 D.对角相等
4.如图，在矩形中，对角线相交于点，且，则 .
5.（例2）如图，在矩形中，两条对角线相交于点，.求的长及矩形的面积.
6.如图，矩形的一条对角线长8 cm，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长和面积.
7.（例3）如图，在矩形中，与交于点，于，于.求证：.
8．如图，在矩形中，.求证：.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：在中，
∵ ，
∴ .
9.如图，在中，是边上的中线，则的长是 .
10.如图，在中，°，点是的中点，，则 .
11.（易错）如图，在中，，则 .
过关检测
第1关
12.如图，在矩形中，是上一点，于.若，求证：.
13.如图，四边形是矩形，对角线相交于点交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积.
第2关
14.已知，如图矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕为
（1）求的面积.
（2）求证：.
第3关
15.如图，矩形中，是边上的动点，于点于点，则的值为 .
第7课 矩形的性质
1. 2. 3. 4.
5.解：在矩形中，，
，
，
是等边三角形，
。
，
。
。
6.解：，四边形为矩形，
且，
是等边三角形。
，
，
，
矩形的周长为
，
7.证明：,
.
四边形是矩形，
。
在和中，
，
，
。
8.证明：，
，
。
四边形是矩形，
，
在和中，
9. 10. 11.
12.证明：四边形是矩形，
，
，
又，
。
在和中，
又
13.（1）证明：在矩形中，，
即，
又，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，，
。
（2）解：在矩形中，,
,
,
,
,
,
在中，
，
四边形的面积为
14.解：（1）由折叠性质知，设为，
则，
在中，，
即
解得，
，
（2）证明：由折叠知，
四边形是矩形，
15.第8课 矩形的判定
新课学习
图形 判定（1） 判定（2） 判定（3）
有一个角是 的 形是矩形 对角线 的 形是矩形 有 是 的 形是矩形
∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形
1.（判定1）（例1）如图，在中，.求证：四边形是矩形.
2.如图，在中，为中点，.求证：四边形是矩形.
3.（判定2）（例2）如图，四边形是平行四边形，相交于点，且.
求证：四边形是矩形.
4.如图，在中，对角线相交于点，且是等边三角形.求证：四边形是矩形.
5.（判定3）（例3）如图，是直线上一点，分别是和的角平分线，于点，于点.求证：四边形是矩形.
6.如图，在中，分别是与的外角的平分线，.求证：四边形为矩形.
过关检测
第1关
7.下列说法正确的是（ ）
A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形
8.如图，平行四边形的对角线相交于点，请你添加一个条件 （只添一个即可），使平行四边形是矩形.
第2关
9.如图，在中，，点分别是三边上的中点.求证：四边形是矩形.
10.如图，在中，对角线相交于点，且，求的度数.
第3关
11.如图，在中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接.
（1）求证：为的中点；
（2）若，求证：四边形为矩形.
12.如图，将的边延长至点，使，连接交于点.
（1）求证：≌；
（2）若，求证：四边形是矩形.
第8课 矩形的判定
1.证明：,
四边形是平行四边形。
又，
是矩形。
2.证明：四边形是平行四边形，
。
为的中点，
。
在和中，
，
，
，
又，
，
，
是矩形。
3.证明：,
.
又四边形是平行四边形，
。
是矩形。
4.证明：是等边三角形，
。
又在中，
，
，
是矩形。
5.证明：平分和，
。
又，
，
，
又，
，
四边形是矩形。
7. 8.（答案不唯一）
9.证明：分别是三边上的中点，
是的中位线，
四边形是平行四边形。
又，
四边形是矩形。
10.解：四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形。
，
又，
。
11.证明：（1），
。
是的中点，
。
在和中，
，
，
。
又，
为的中点。
（2），即，
又，
四边形是平行四边形。
，为的中点，
，
是矩形。
12.证明：（1）在中，，
，
在和中，
，
（2）,
四边形是平行四边形。
，
且，
，
是矩形。第9课 菱形的性质
新课学习
菱形的定义：有一组邻边 的 的叫做菱形.
图形 菱形的性质 几何语言
（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形不同于一般平行四边形的性质；①四条边都 ；②两条对角线 ，并且每条对角 线 ∵菱形∴边： 角： 对角线：
菱形的周长：·边长；菱形的面积：或
1.（例1）在菱形中，对角线相交于点.
（1）若，则周长为 ；
（2）若，则 °， °.
2.如图，已知菱形.
（1）若，则是_三角形；
（2）若，则 ，菱形的周长为 ，面积为 .
3.（例2）如图，菱形的周长为20 cm，对角线相交于点，.
（1）求对角线BD的长；（2）求菱形的面积.
4.如图，四边形是菱形，边长为4 cm，对角线交于，.
（1）求对角线的长；（2）求菱形的面积.
5.（例3）如图，点是菱形的对角线上一点，求证：.
6.如图，菱形的对角线相交于点，点分别是边的中点.求证：.
过关检测
第1关
7.如图，在菱形中，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点.若，则 cm，菱形的周长= .
第2关
9.如图，四边形是菱形，对角线，于，求的长.
10.如图，在菱形中，分别是上的点，且.求证：是等边三角形.
第3关
11.在菱形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接.
（1）若是的中点，如图①所求，求证：；
（2）若是线段上的任意一点，其他条件不变，如图②所示，线段与有怎样的数量关系？请证明.
第9课 菱形的性质
1.（1） （2）
2.（1）等边 （2）
3.解：（1）四边形是菱形，
，
，
，
，
（2）。
4.解：（1）四边形是菱形，
，
。
，
为等边三角形，
，
，
，
，
（2）
5.证明：四边形是菱形，
,
在和中，
，
。
6.证明：四边形是菱形，
，
分别为的中点，
，（直角三角形斜边上中线等于斜边一半）
又。
7. 8.
9.解：四边形是菱形，
,
,
,
.
10.证明：连接，
在菱形中，
，
，
与是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
即，
是等边三角形。
11.（1）证明：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形。
是的中点，
。
，
，
。
（2）解：，
证明如下：过点作交于点。
,
,
,
为等边三角形。
，且，
，
。
，第10课 菱形的判定
新课学习
图形 判定（1） 判定（2） 判定（3）
有一邻边 的 形是菱形 对角线互相 的 形是菱形 四边 的 形是菱形
∵ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是菱形
1.（例1）如图，是矩形的对角线的交点，和相交于.求证：四边形是菱形.
2.如图，是的角平分线，.
求证：四边形是菱形.
3.（例2）如图，在中，对角线交于点，且.
求证:：是菱形.
4.如图，已知矩形，点是的中点，.
求证：（1）≌；
（2）四边形是菱形.
5.（例3）如图，为等腰三角形，把它沿底边翻折后，得到.请你判断四边形的形状，并说出你的理由.
6.如图，两个等边三角形拼在一起
求证：四边形是菱形.
过关检测
第1关
7.已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形，在下列所给的条件中，不能添加的条件是（ ）
A. B..
C. D.
8.将沿方向平移得到，连接，下列条件能够判定四边形为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
第2关
9.如图，在中，是边的中点，分别在及其延长线上，连接，.
（1）求证：≌；
（2）若，求证：四边形是菱形.
10.如图，用两张等宽且对边平行的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形是一个菱形吗？为什么？
第3关
11.如图，在四边形中，，对角线交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求长.
12.如图，已知是等边三角形，点是延长线上的一个动点，以为边作等边，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接.
（1）求证：≌；
（2）如果，判断四边形的形状，并说明理由.
第10课 菱形的判定
1.证明：,
四边形是平行四边形。
又，
是菱形。
2.证明：,
四边形是平行四边形。
又平分，
。
又，
，
是菱形。
3.证明：四边形是平行四边形，
，
即：，
是菱形。
4.证明：（1）,
,
在和中，
，
（2）在矩形中，，
。
由（1）知，
，又，
四边形是菱形。
5.解：四边形是菱形，理由如下：
为等腰三角形。
，
由翻折得到，
，
四边形是菱形。
6.证明：和是等边三角形，
四边形为菱形。
7. 8.
9.证明：（1），
.
在和中，
，
（2）由（1）知，
，
四边形是平行四边形。
，点是的中点，
，即，
是菱形。
10.解：四边形是菱形，理由如下：
过点作于点，过点作于点，
，
四边形是平行四边形。
，
在和中，
，
，
，
是菱形。
11.（1）证明：由题知,
平分，
，
，
四边形平行四边形，
又，
平行四边形是菱形。
（2）解：四边形是菱形。
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
为的中点，
。
12.（1）证明：是等边三角形，是等边三角形，
，
，
在和中，
，
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
由（1）知，
，
，
，
，
，
又，
，
又，
四边形是平行四边形。
又，
，
又，
，
是菱形。第11课 正方形的性质
新课学习
图形 正方形的性质 几何语言
（1）正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四边都 ，四角都 ，对角线 ，且对角线平分每一组 . ∵正方形ABCD∴（边）： （角）： （对角线）：
1.（例1）已知正方形，
（1）若边长为2，则对角线为 ，周长为 ，面积为 ；
（2）图中有 个90°角，有 个45°角.
2.已知正方形的对角线相交于点.
（1）若周长为4，则对角线长为 ，面积为 ；
（2）图中共有______个等腰直角三角形，正方形有 条对称轴.
小结：正方形的边长，对角线，周长、面积中已知任一项，可求出另外三项
3.（例2）如图，是正方形对角线上的一点.求证：.
4.如图，点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且.求证：
5.（例3）四边形是正方形，点是上的任意一点，于点于点.求证：.
6.如图，在正方形中，分别是上的点，且求证：（1）；（2）.
过关检测
第1关
7.下列命题的逆命题成立的是（ ）
A.矩形的对角线相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.菱形的对角线互相垂直
D.正方形的对角线互相垂直且相等
8.如图，延长正方形的边至点，使，连接交于点，则的度数是（ ）
A.30° B.45° C.55° D.22.5°
第2关
9.如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，正方形绕点转动.
（1）求证：≌；
（2）说明四边形的面积为正方形面积的.
10.如图，在正方形中，点在对角线上，点在边上，连接交对角线于点，且.求证：（1）；（2）.
第3关
11.如图，在正方形中，点分别在上，.
（1）求证：；
（2）连接交EF于点，延长至点，使，连接，判断四边形的形状，并说明理由.
12.如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且.
（1）求证：；
（2）若在上，且，求证：.
第11课 正方形的性质
1.（1） （2）
2.（1） （2）
3.证明：四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
。
4.证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
5.证明：四边形是正方形，
,
,
,
,
，
在和中，
，
，
又
6.证明：（1）四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
（2）
7. 8.
9.证明：（1）四边形为正方形，
，
即，
又四边形为正方形，
，
即，
，
在和中，
，
（2）
10.证明：（1）四边形为正方形，
,
在和中，
，
，
（2）易证，
，
又，
11.（1）证明：四边形为正方形，
,
在和中，
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，
，
又，
，
，
又，
，
四边形是菱形。
12.证明：（1）四边形是正方形。
，
在和中，
，
（2），
，
又
在和中，
，
，
又第12课 正方形的判定
新课学习
图形 判定(1) 判定(2)
有一组邻边 的 形是正方形 有一个角是 的 形是正方形
∵ ∴四边形ABCD是正方形 ∵ ∴四边形ABCD是正方形
1.（例1）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知四边形中，.如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
3.（例2）如图，在中，平分于于，求证：四边形是正方形.
4.如图，在中，为边的中点，过点作，垂足分别为.
（1）求证：≌；
（2）当时，求证：四边形是正方形.
5.（例3）如图，点分别是正方形的四条边上的点，并且.
求证：（1）；
（2）四边形是正方形.
6.如图，点分别是正方形各边的中点
求证：（1）；
（2）四边形是正方形.
正方形的判定方法：
过关检测
第1关
7.如图，在中，分别是边上的中点，求证：四边形是正方形.
8.如图，将一张矩形纸片折叠，使落在边上，然后打开，折痕为，顶点的落点为.你认为四边形是什么特殊的四边形？请说出你的理由.
第2关
9.如图，在中，，垂足为是外角的平分线，
，垂足为.
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明.
第3关
10.如图，在中，已知于点，分别以为对称轴，画出的轴对称图形，点的对称点分别为，延长相交于点.求证：四边形是正方形.
第12课 正方形的判定
1. 2.
3.证明：，
四边形是矩形。
又平分
，
矩形是正方形。
4.证明：（1），
。
是的中点，
在和中，
，
。
（2）,
四边形是矩形。
，
，
矩形是矩形。
5.证明：（1）四边形是正方形，
,
,
.
在和中，，
同理。
（2）
四边形是菱形，
，
,
，菱形是正方形。
6.证明：（1）设正方形的边长为，
四边形是菱形，
。
点、、、分别是各边的中点，
则，
（2）由（1）知四边形是菱形。
又，
，
，
，菱形是正方形。
7.证明：分别是的中点，
。
，
四边形是矩形。
分别是的中点，
，
，
矩形是正方形。
8.解：四边形是正方形，理由如下：
四边形是矩形，
。
由于与折叠后重合，
，
四边形折叠后重合，
折叠后重合，
，
四边形是正方形。
9.（1）证明：在中，，
，
是的外角的平分线，
，
，
又，
，
四边形是矩形。
（2）解：当满足时，四边形是一个正方形，证明如下：
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
四边形是正方形。
10.证明：由对称可知，
，
,
∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴∠E=∠F=∠EAF=90°.
∴四边形AEGF为矩形.
又∵AE=AF，
∴矩形AEGF是正方形第13课 中点四边形
新课学习
中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形.
1.（例1）如图，顺次连接四边形的各边中点.求证：所得的中点四边形是平行四边形.
2.如图，点分别是各边中点，四边形是什么特殊的四边形？请证明.
3.（例2）如图，分别是矩形各边中点.求证：四边形是菱形.
4.如图，在四边形中，，点分别是各边的中点.四边形是什么特殊的四边形？请证明.
5.（例3）如图，点分别是菱形各边中点.求证：四边形是矩形.
6.如图，在四边形中，对角线相交于点，且，点分别是的中点.求证：四边形是矩形.
7.（例4）如图，点分别是正方形各边的中点，则四边形是
形.
8.如图，在四边形中，分别是的中点，则四边形是 形.
课堂总结：
— 普通四边形 平行四边形 对角线相等的四边形（如矩形） 对角线垂直的四边形（如菱形） 对角线相等且垂直的四边形（如正方形）
中点四边形的形状
过关检测
第1关
9.如图，在中，分别是边上的中点.
求证：四边形是菱形.
10.如图，分别是的边上的点，且.
（1）求证：≌；
（2）若分别是的中点，连接，试判断四边形的形状，并证明的结论.
第2关
11.如图，在四边形中，，点分别是的中点.求证：与互相垂直平分.
第3关
12.如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，垂足分别为点.
（1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明；
（2）在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？
第13课 中点四边形
证明：连接BD.
∵E，H是中点，
∴EHBD.同理FGBD，
∴EHFG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
2.解四边形EFGH是平行四边形.证明如下：连接BD.
∵E，H是中点，∴EHBD.
同理FGBD，∴EHFG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
3.证明：连接BD，AC.
∵E，H是中点，
∴EHBD.
同理FGBD，∴EHAC，
∴EHFG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∴EH=EF.
∴ EFGH是菱形.
解:四边形EFGH是菱形.证明如下：
∵E，H是中点，
∴EHBD.
同理FGBD，∴EHFG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵E，F是中点，
∴EF=AC.
又∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴ EFGH是菱形.
证明：连接BD，AC交于点0.
∵H，G是中点，
∴HGAC.
同理EFAC，∴HGEF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵H，E是中点，∴HEBD
又∵HG∥AC，HE∥DB，且∠NOM=90°，
∴四边形HNOM是矩形，
∴∠EHG=90°，∴ HEFG是矩形.
证明：∵H，G是中点，
∴HGAC.
同理EFAC.∴HGEF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵G，F是中点，∴GF∥DB.
∵GF∥DB，HG∥AC，∠COD=90°，
∴四边形MONG是矩形，∴∠HGF=90°
∴四边形EFGH是矩形.
7.正面8.正方
9.证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DEAC.
又∵点F是中点，
∴AF=AC，
∴DEAF，
∴四边形ADEF是平行四边形.
同理EHAB，
∵AB=AC，
∴DE=EF，
∴ ADEF是菱形.
10.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD.
在△ABE和CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
解：四边形MFNE是平行四边形.证明如下：
∵M，N是中点，
∴ME=BE，NF=DF.
由（1）知BE=DF，∴ME=NF.
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD.
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠MBF，
∴∠MBF=∠CFD，
∴ME∥DF，∴MENF，
∴四边形MFNE是平行四边形.
11.证明：连接MP，PN，MQ，NQ.
∵M，P是中点，
∴MPAB.
同理NQAB，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵P、N分别是中点，
∴PN=DC，
∵AB=CD，∴PN=MP，
∴ MPNQ是菱形，
∴MN与PQ互相垂直平分。
12.解：（1）BC=2AB.证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°
∵BC=2AB，点E是BC中点
∴AB=BE=CE=CD
∴∠AEB=45°，∠DEC=45°，
∴∠AED=180°－45°－45°=90°
∴四边形PHEF是矩形.
（2）点P运动到AD的中点时，
易证△ABE≌△DCE，∴AE=DE，
∵点P是AD的中点，
∴∠AEP=∠AED=45°
∴∠FPE=45°，∴∠FPE=∠AEP，
∴PE=EF
∴矩形PHEF是正方形.第14课 特殊的平行四边形习题课
复习
不同于一般平行四边形的性质 图形 判定
矩形 （1）四个角都是 ；（2）对角线 . （1）平行四边形+ 矩形（2）平行四边形+ 矩形（3）四边形+ 矩形
菱形 （1）四条边都 ；（2）对角线 . （1）平行四边形+ 菱形（2）平行四边形+ 菱形（3）四边形+ 菱形
正方形 （1）四条边都 ；（2）四角都 ；（3）对角线 . （1）矩形+ 正方形（2）菱形+ 正方形
基础练习
1.如图，已知矩形的对角线与相交于点，若，则 ，
， .
2.如图，四边形是菱形，点是两条对角线的交点，，则 ， ， ，周长= ，面积= .
3.如图，在正方形中，，交对角线于点，那么等于（ ）
A.45° B.60° C.70° D.75°
4.如图，在中，为中线，，则 ， .
5.如图，在中，和的平分线相交于点.求证：四边形是矩形.
6.如图，平分，且交于点平分，且交于点，连接.求证：四边形是菱形.
提升练习
7.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得①②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，顶点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，平分.四边形是平行四边形，交于点，连接.求证：四边形是矩形.
10.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的周长和对角线的长.
11.如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与
分别交于点、点，连接.
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是菱形.
12.如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以为边作一个正方形，线段和相交于点.
（1）求证：≌；
（2）求证：；
（3）若 .
第14课 特殊的平行四边形习题课
1. 2 1
1. 60° 8 32
3. C 4. 5 4
5.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵BE，CE平分∠ABC，∠BCD，
∴∠EBC=∠ABC，
∠ECB=∠BCD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
又∵∠ABC+∠BCD=180°
∴∠EBC+∠ECB=90°
∴∠E=90°
∴∠E=90°
∴ BFCE是矩形。
6.证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
又∵∠AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD.
∴∠BAC=∠BCA.
∴AB=BC.同理可证AB=AD.
∴AD=BC，又∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.
7. D 8. B
9.证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD AC，AD=CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵BD AC，
∴∠BDC=90°，
∴ BECD是矩形.
10. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠DMO=∠BNO.
∵MN是BD的垂直平分线
∴OB=OD，∠MOD=90°
在△BMO和△BNO中，
∴△DMO=≌△BNO（ASA），
∴OM=ON.
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵∠MOD=90°，∴ BMDN是菱形.
（2）解：设MD=MB=x，则AM=8-x.
在Rt△AMB，x =（8-x） +4 ，解得x=5，
由勾股定理：BD==，
∴BO=，
在Rt△BOM中，由勾股定理：
MO==
∴MN=，菱形BNDM的周长为20.
11.证明:(1)由题知A∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形
∴AE=BD
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵AD=DC，
∴平行四边形ADCE是菱形.
12.（1）证明：∵四边形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，
∴∠EAB=∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
∴△EAB≌△GAD（SAS）.
（2）证明：由（1）得△EAB≌△GAD，
∴∠AEB=∠AGD，
∵∠EMH=∠AMG，
∴∠EHG=∠EAG=90°，
∴EB GD.
（3）解：∵△EAB≌△GAD，
∴EB=GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB=，
∴BD AC，AC=BD=AB=6，
∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=3，
∵AG=3，∴OG=OA+AG=6，
∴GD==，
∴EB=.第15课 平行四边形单元复习
基础练习
1.如图，在中，平分，则的度数为（ ）
A.18° B.36° C.72° D.108°
2.如图，菱形的对角线相交于点为的中点.若，则菱形的周长为 .
3.如图，在中，分别是的中点，，则 .
4.如图，矩形的对角线与相交于，过的直线分别交于若矩形的面积是8 cm2，则阴影部分的面积是 cm2.
5.如图，在中，点分别是边的中点，连接，点在的延长线上，且，连接.判断四边形的形状，并加以证明.
6.如图，是矩形对角线的交点，分别是上的点，且，试说明四边形是矩形.
7.如图，在中，分别是的中点，，求的长.
8.如图，把两张完全相同的矩形纸片（如图中矩形和矩形）叠放在一起，
相交于点相交于点.求证：四边形是菱形.
提升练习
9.如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，当四边形为菱形时，连接，求的长.
10.如图，在矩形中，是上一动点，分别是的中点.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当运动到何处时，四边形是菱形，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当与满足什么数量关系时，四边形为正方形.（请直接写出结果）
11.如图，在四边形中，，点从出发，以1 cm/s的速度向运动，点从同时出发，以3 cm/s的速度向运动.规定其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使（1），（2），分别需经过多少时间？为什么？
12.如图①，在正方形中，是的中点，是延长线上一点，，且交的平分线于点.
（1）求证：（提示：取中点，连接）；
（2）若将上述条件的“是的中点”改为“是上任意一点”，其余条件不变，如图②，则结论“”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
第15课 平行四边形单元复习
1.B 2.24 3.3 4.2
5.解：四边形ADEF是平行四边形，证明如下：
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE//BF，DE=AB.
∵AF=AB，∴DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形.
6.证明：四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，且AC=BD.
∵AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=0G=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
又EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.
7.解：∵D，F是中点，
∴DFBC.
∵DF=5，
∴BC=10.
又∵AB=6，AC=8，
∴AB +AC =BC ，
∠BAC=90°.
∵E是中点，
∴AE=BC=5.
8.证明：∵四边形ABCD、BFDE是矩形，
∴MB//DN，BN//MD，
∴四边形BMDN是平行四边形.
在△ABM和△EDM中，
∴△ABM≌△EDM，
∴BM=DM，
∴四边形BNDM是菱形.
9.(1)证明：∵AB=DC，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB.
在△AEC和△DFB，中，
∴△AEC≌△DFB(SAS)，
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，
∴EC//BF，
∴四边形BFCE是平行四边形.
（2)解：连接EF交BC于点G，
∵AD=10，DC=3，
∴AB=3，BC=4.
AG=AB+BG=AB+BC=5.
EG===.
EF=2EG=
10.(1)证明：M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME//PC，EN//PD.
∴四边形PMEN是平行四边形.
（2)解：当点P运动到AB的中点时，四边形PMEN是菱形.
理由如下：
∵P是AB中点，
∴PA=PB.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC.
∴△PAD≌△PBC(SAS).
∴PD=PC.
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE=PM=PD，ME=PN=PC.
∴PM=ME=EN=PN.
∴四边形PMEN是菱形.
（3）解：AB=2AD.
11.解：（1）当PQ//CD时，四边形PQCD为平行四边形，设经过：ts时PQ//CD.
∴24-t=3t，
∴t=6.
（2）若PQ=CD，分两种情况：
①PD=CQ，则四边形PQCD是平行四边形，
∴24-t=3t，
∴t=6.
②PD≠CQ，则四边形PQCD是等腰梯形，如图：
作DE BC，PF BC，
则QF=CE=2，EF=PD=24t
∵QF+EF+CE=CQ，
∴2+(24-t)+2=3t.
∴t=7
答：需要经过6s或7s.
12.(1)证明：取AD的中点H，连接HM.
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°.
而BN是∠CBE的平分线，
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN.
又：DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°.
∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM.
在△DHM和△MBN中，
△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN.
（2）解：成立.证明如下：
在AD上取一点H，DH=MB.
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，
DM MN，
∴∠MBN=135°.
∴AH=AM，∠AHM=45°.
∴∠DHM=135°
又∵∠BMN+∠AMD=∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN.
