2021-2022学年下学期高二年级期末考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。考试时间90分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．“是“函数与轴只有一个交点”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
8．若、、均大于0，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知正数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若集合，，且，则实数的值为( )
A、 B、 C、 D、
12．设、为实数，若，则关于的说法正确的是( )
A、无最小值 B、最小值为 C、无最大值 D、最大值为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在涂中横线上).
13．若，，则的取值范围_________．
14．已知，，若是的必要条件，则范围是 ．
15．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
16.已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．
三、解答题(共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) .
17．（10分）设，，若，求实数的取值范围．
18．（12分）已知二次函数，非空集合．
（1）当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围；
（2）当 时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值．
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）已知命题，，命题，恒成立．
若至少有一个为假命题，求实数的取值范围．
20．（12分）已知非空集合，集合，命题．命题．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）当实数为何值时，是的充要条件．
21．（12分）在一个月内分批购入每张价值为元的书桌共台，每批都购入台（是正整数），且每批均需付运费元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则该月需用去运费和保管费共元，现在全月只有元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，且，求的最小值．2021-2022学年下学期高二年级期末考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。考试时间90分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】中有个元素，则真子集个数为．
2．（2020·山西临汾市·临汾第一中学校高一期中）“是“函数与轴只有一个交点”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若函数与轴只有一个交点，
则或，所以或，
因此“是“函数与轴只有一个交点”的充分不必要条件.
故选：B.
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，或，
∴或，则．
4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可知，既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比，
故选C．
5．函数的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】
因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
故选：C.
6．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】因为不等式的解集为，
所以和是方程的两根，且，
所以，，即，，
代入不等式整理得，
因为，所以，所以，故选D．
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
因为，，，
则，
当且仅当且即，时取等号．
故选：C．
8．若、、均大于0，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：、、均大于0,
当且仅当时取“=”,
的最大值为.
故选:C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2020·常德市淮阳中学高二期中）下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】
A. 由，得，故错误；
B.由得：或，故正确；
C. 由得：，故错误；
D. 由，故正确；
故选：AC
10．已知正数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】，当且仅当时，等号成立，A正确；
，当且仅当时，等号成立，B正确；
∵，∴，当且仅当时，等号成立，C正确；
∵，∴，，当且仅当时，等号成立，D不正确．
11．若集合，，且，则实数的值为( )
A、 B、 C、 D、
【答案】ABC
【解析】，，
当时，，，可取，
当时，，令，，可取，令，，可取，
综上、或，故选ABC。
12．设、为实数，若，则关于的说法正确的是( )
A、无最小值 B、最小值为 C、无最大值 D、最大值为
【答案】BD
【解析】，∴，∴，
∴即，即，
当且仅当时取等号，∴最小值为，最大值为，故BD。
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在涂中横线上).
13．若，，则的取值范围_________．
【答案】
【解析】由题设，，
则，解得，
所以，
，，，
所以，故．
14．已知，，若是的必要条件，则范围是 ．
【答案】
【解析】由，，
又∵是的必要条件，∴，
∴，解得，即的取值范围是．
15．（2019·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
【答案】20吨
【解析】由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨。
16.（2019·河北高一期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，
由韦达定理知，，所以当且仅当取等号。
三、解答题(共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) .
17.（本小题满分10分）设，，若，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】∵，解得，∴，
由题意得，
当时，，
，；
当时，满足条件；
当时，，
，，
综上，实数a的取值范围是．
18．（12分）已知二次函数，非空集合．
（1）当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围；
（2）当 时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值．
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）作出二次函数的图象如图所示，
当，二次函数的最小值为，则的取值范围为．
（2）选择方案①，
由图像可知，当时，，此时，
，此时．
选择方案②，
当时，，此时或，
，此时．
选择方案③，
当时，，此时，
，此时．
19．（12分）已知命题，，命题，恒成立．
若至少有一个为假命题，求实数的取值范围．
【答案】或．
【解析】当命题为真时，，解得；
当命题为真时，，解得，
当命题与命题均为真时，则有，
命题与命题至少有一个为假命题，所以此时或．
20．（12分）已知非空集合，集合，命题．命题．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）当实数为何值时，是的充要条件．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）解不等式，即，解得，则.
由于是的充分不必要条件，则，，
①当时，即当或时，，不合题意；
②当时，即当或时，，
，则，解得，
又当，，不合乎题意.所以；
③当时，即当时，，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）由于是的充要条件，则，
所以，和是方程的两根，
由韦达定理得，解得.
21．（12分）在一个月内分批购入每张价值为元的书桌共台，每批都购入台（是正整数），且每批均需付运费元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则该月需用去运费和保管费共元，现在全月只有元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）（，）；（2）只需每批购入张书桌，可以使资金够用．
【解析】（1）设题中比例系数为，若每批购入台，则共需分批，每批价值为元，
由题意，
由时，，得，
所以（，）．
（2）由（1）知，（，），
所以（元），当且仅当，即时，上式等号成立，
故只需每批购入张书桌，可以使资金够用．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，且，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
由，得，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（2）因为，由已知，
可得，
∵，，∴，，
∴，
∵，，∴，，
，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为．
