15|图形运动综合
学习目标
目标1
★★★★★★综合
综合掌握线段旋转面积类图形运动问题
目标2
★★★★★★综合
综合掌握三角形面积类图形运动问题
目标3
大★★★★★综合
综合掌握翻折类图形运动问题
知识清单
图形的运动综合
三角形
【考情分析】
1.
图形运动综合的属于图形板块知识，在期中期末考试中，占15%左右的分值
2.图形的运动综合往往会在期中或期末考试中以压轴题的形式对学生进行考察
3.对应教材：
七年级上册第十一章：图形的运动
4.理解两个图形关于某一点中心对称的意义.能够区分中心对称与中心对称图形.掌握轴
对称、轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形区别，会利用有关性质画出已知图形关
于某一条直线对称的图形.重点理解相关概念，能够判断出图形特点.
01
课堂引入
通过我们之前的学习，相信同学们对于图形的平移、旋转、翻折都有了一定初步的理解。让
我们一起来看看真题吧
·2
出
知识点1—一
知识笔记
1.平移
(1)平移：将图形上的所有的点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移
运动.简称为平移.在平移的过程中，它不改变图形的形状和大小，只是位置发生了变化.
(2)图形的平移的两个要素：平移的方向与平移的距离，
2.
(1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做
图形的旋转，这个定点叫做旋转中心.
(2)图形旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
3.轴对称
(1)把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形.这条直线就是它的对称轴
(2)两个图形关于某一条直线对称，如果它们对应线段或诞长线相交，那么交点在对称轴
上.如果一个图形关于某一条直线对称，那么联结对称点的线段垂直平分线就是该图的对称
轴
4.中心对称
(1)旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度α后(0°<α<360°)，与初
始图形重合，这种图形0叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心.旋转的角度叫做旋转角.
(2)中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心
(3)中心对称图形是特殊旋转图形，它的旋转角只能是180°，而旋转对称图形的旋转角在
0度到360度之间均可.
03
经典例题
例1
(★★★☆☆)(2019秋闵行区期末)如图，已知△ABC是直角三角形，其中∠ACB=90°，
AB=13,BC=12,AC=5
(1)画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的△AB,C1;
(2)线段BC在旋转过程中所扫过分的周长是
(保留π)；
(3)求线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）.
B
【配题说明】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式以及旋转的性质：对应点到旋转中心
的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.解
决问题的关键是利用面积的和差计算不规则图形的面积.
【常规讲解】
解：(1)如图所示，△AB,C即为所求.
B
A
(2)△ABC绕A顺时针方向旋转90°后得到△AB,C1,
∴.B,C1=BC=12,∠BAB=∠CAC1=90°，
△ABC兰△AB,C1,
∴弧CC的长度=
90×π×55
180
2，
弧BB,的长度=
90×π×131
180
2,
线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长
=CB+弧BB的长+BC1+弧CC的长
5
=12
20+12+
2
0403 | 整式的乘法
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与单项式相乘法的法则及其运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与多项式相乘法的法则及其运算
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 掌握多项式与多项式相乘法的法则及其运算
知识清单
单 式乘单 式 单 式 单 式 乘的法
整式的乘法 单 式乘 式 单 式 式 乘法
式乘 式 式 式 乘的法
【考情分析】
1. 考纲要求：
整式乘法属于整式板块知识，在期中期末考试中，占 20%左右的分值
2. 主要考察单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式运算。这个部分知识主
要以计算解答题的形式对学生进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.10 整式的乘法
4. 整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公
式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运
算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验．探索与认识，有利于学生知识的迁移，
形成新的知识结构．
1
课堂引入
【课堂引入】
同学们先想一想(a+b)X=？
【答案】(a+b)X=aX+bX
想一想：当 X=m+n 时， (a+b)X=？
由上一题知 (a+b)X=aX+bX
于是，当 X=m+n 时
(a+b)X=(a+b)(m+n)
=a(m+n)+b(m+n)
=am+an+bm+bn
即 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
“整体换元”思想，“转化”思想：
先把(m+n)看作一个单项式（整体），就可以把多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式
相乘。
(m+n)(a+b+c)
=(m+n)a+ (m+n)b+ (m+n)c=ma+na+mb+nb+mc+nc
说明：在放投影片时，进行分组讨论，得出结论。
多项式的乘法
2
1 1 2 3 4
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
3
4
这个结果还可以从下面的图中反映出来
an bn n
am bm m
a b
多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项， 再把所得
的积相加。
2
知识点 1——单 式乘单 式
知识笔记
单 式 单 式 乘的法
单项式与单项式相乘，把它们的__________、____________________分别相乘的积作为积的
因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“______________________________”
的顺序进行．
【填空答案】
1、系数；同底数幂；先乘方、再乘法
3
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 秋 浦东新区期中）在下列运算中，计算正确的是 ( )
A． 3 3 6 B． 2 3 6 C． 2 3 D． (2x)3 = 6x3x + x = x x x = x 2x 3x = 6x
（2）（★★☆☆☆）（2020 秋 松江区期末）计算： 2a2b ( 3a3b2 ) =___________．
（3）（★★☆☆☆）（2020 秋 浦东新区校级月考）用科学记数法表示计算结果：
(3.5 103) ( 4 105) = ____________．
【配题说明】此题主要考查了单项式乘以单项式，以及同底数幂的乘法和合并同类项，关键
是掌握整式的运算的各种计算法则．
【常规讲解】
（1）解： A 、 x3 + x3 = 2x3 ，故原题计算错误；
B 、 x2 x3 = x5 ，故原题计算错误；
C 、 2x3 3x = 6x3 ，故原题计算正确；
D 、 (2x)3 = 8x3 ，故原题计算错误；
故选：C ．
（2）解：原式 = 2 ( 3)a2+3b1+2
= 6a5b3 ．
故答案为： 6a5b3 ．
（3）解： (3.5 103) ( 4 105)
= 14 108
= 1.4 109 ．
故答案为： 1.4 109 ．
例 2
3 1 3
（1）（★★☆☆☆）（2019 秋 闵行区校级月考）计算：10a ( ab) 4a
2 ( b) + 8ab ( a) ．
5 2 4
（2）（★★☆☆☆）（2019 秋 虹口区校级月考）计算： (2x3 x5 )2 + ( x)2 ( x2 )3 (x2 )4
【配题说明】考查了单项式乘单项式，运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相
同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
4
【常规讲解】
（1）解：原式 = 6a2b + 2a2b 6a2b = 10a2b ．
（2）解：原式 = 4x16 x2 x6 x8
= 4x16 x16
= 3x16 ．
例 3
（★★★☆☆）已知单项式5x2m y7 与 6xn+1y3n m 是同类项，求这两个单项式的积．
【配题说明】
此题主要考查了单项式乘以单项式，以及同类项，关键是掌握同类项定义，正确确定 m 、n
的值．
【常规讲解】
2m = n +1
解：由题意得： ，
3n m = 7
m = 2
解得： ，
n = 3
则这两个单项式的积为：5x4 y7 ( 6x4 y7 ) = 30x8 y14 ．
【拓展讲解】（★★★★☆）阅读下列一段话，并解决后面的问题
观察下面一列数：1，2，4，8， ，我们发现，这一列数从第 2 项起，每一项与它前一项的
比都等于 2．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，
这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）等比数列 5， 15 ，45， ，的第 4 项是__________．
（2）如果一列数 a1 ，a2 ，a3 ，a ， 4 是等比数列，且公比为 q ，那么根据上述的规定，有
a a a2 = q 3， = q
4
， = q ， ，所以 a2 = a1q ，a3 = a2q = a q
2 ，a = a q = a q3 ，a
a 1 4 3 1 n
= _____
a1 a2 3
（用 q 和 a1 的代数式表示）．
（3）一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第 1 项与第 4 项．
【配题说明】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题．分析数据获取信息是必须掌握的数学能力，如观察数据可得
an = a q
n 1
1 ．
5
【常规讲解】解：（1） 45 ( 3) = 135 ；
故答案为： 135 ；
（2） an = a1q
n 1 ；
故答案为： a qn 11 ；
（3） a2 =10 ， a3 = 20 ；
20
q = = 2 ；
10
又 a2 = a1q ， a4 = a3q ，
a1 = 5 ，
a4 = 20 2 = 40 ．
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）（2020 秋 浦东新区校级期中）下列运算正确的是 ( )
A．b5 b5 = 2b5 B． m2 m3 = m5 C． x2 + x2 = x4 D． a b2 = a2b
（2）（★★☆☆☆）（2020 秋 普陀区期中）计算： 2a2 a5 + a(a3)2 = ________．
（3）（★★☆☆☆）（2018 秋 金山区期中）把 (2 109 ) (8 103) 的结果用科学记数法表示为
________．
【配题说明】此题主要考查了单项式乘以单项式，以及同底数幂的乘法和合并同类项，关键
是掌握整式的运算的各种计算法则．
【常规讲解】
（1）解： A 、b5 b5 = b10 ，故原题计算错误；
B 、 m2 m3 = m5 ，故原题计算正确；
C 、 x2 + x2 = 2x2 ，故原题计算错误；
D 、 a b2 = ab2 ，故原题计算错误；
故选： B ．
（2）解：原式= 2a7 + a a6 = 2a7 + a7 = 3a7 ，
故答案为： 3a7 ．
（3）解： (2 109 ) (8 103) =1.6 1013 ，
6
故答案为：1.6 1013
练 1-2
1 2 3 2 4 2
（1）（★★☆☆☆）（2019 秋 长宁区校级月考）计算： x y 2x y + ( 3xy ) xy ．
6
2 3 1 2 4 2 5
（2）（★★☆☆☆）（2018 秋 杨浦区期中）计算： ( 3a b) ( a ) ( b ) ．
2
【配题说明】考查了单项式乘单项式，运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相
同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
【常规讲解】
1 4 7
（1）解：原式 = x y 3x
2 y3 ．
3
= 27a6
1 27
（2）解：原式 b
3 a8 ( b10 ) = a14b13
16 16
练 1-3
（★★★☆☆）如果单项式 3ma 2bn2a+b 与 m3n8b 是同类项，那么这两个单项式的积是 ( )
A． 3m6n16 B． 3m6n32 C． 3m3n8 D． 9m6n16
【配题说明】此题主要考查了单项式乘以单项式，以及同类项，关键是掌握同类项定义，正
确确定 m 、 n 的值．
【常规讲解】
解： 单项式 3ma 2bn2a+b 与 m3n8b 是同类项，
a 2b = 3 a = 7
，解得： ，
2a + b = 8b b = 2
故单项式 3ma 2bn2a+b 与 m3n8b 是单项式 3m3n16 与 m3n16 ，
则这两个单项式的积是： 3m3n16 m3n16 = 3m6n32 ．
故选： B ．
7
知识点 2——单 式乘 式
知识笔记
单 式 式 乘法
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
例如： m (a + b + c) =______________________．
【填空答案】
ma +mb +mc
经典例题
例 1
2 1 2 2
（1）（★★☆☆☆）（2020 秋 松江区期末）计算： 6a ( ab b ) 2a b(a b) ．
3
4
（2）（★★☆☆☆）（2020 秋 普陀区期中）计算： (x 2y)( xy
2 ) ．
3
2 2 1
（3）（★★☆☆☆）（2019 秋 长宁区校级月考） 2x( x + 3x 4) 3x ( x +1)
2
【配题说明】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式法则是解决本题的关键．
【常规讲解】
2 1 2 2 2 2
（1）解：原式 = 6a ab 6a b 2a b a + 2a b b
3
= 2a3b 6a2b2 2a3b + 2a2b2
= 4a2b2 ．
4 8
（2）解：原式 = x
2 y2 + xy3 ．
3 3
3 2 3 7
（3）解：原式 = 2x + 6x 8x x
3 3x2 = x3 + 3x2 8x ．
2 2
8
例 2
（★★★☆☆）（2019 秋 闵行区校级期中）已知： (m x)( x) (x +m)( n) = 5x + x2 6 对任
意的有理数 x 都成立，求 m(n 1) + n(m +1) 的值．
【配题说明】此题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【常规讲解】
解： (m x) ( x) (x +m) ( n)
= mx + x2 + nx +mn
= ( m + n)x + x2 +mn ，
(m x) ( x) (x +m) ( n) = 5x + x2 6 对任意的有理数 x 都成立，
m + n = 5 及 mn = 6 ，
m(n 1) + n(m +1) = 2mn + ( m + n) = 12+ 5 = 7 ．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）（2019 秋 浦东新区校级月考）计算： ( 2xy)2 (3xy2 ) 3x(4x2 y4 xy2 )
1 2 3 2 8
（2）（★★☆☆☆）（2018 秋 长宁区校级期中）计算： ( x y) (4x xy + 2y) ．
2 3
3
（3）（★★☆☆☆）（2017 秋 闵行区校级月考）计算： 4a
3 ( ab b2 ) 5a2b(2a2 3ab +1)
2
【配题说明】此题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【常规讲解】
（1）解： ( 2xy)2 (3xy2 ) 3x(4x2 y4 xy2 )
= (4x2 y2 ) (3xy2 ) 12x3 y4 + 3x2 y2
=12x3 y4 12x3 y4 + 3x2 y2
= 3x2 y2 ．
1 2 3 2 8 1 1 1
（2）解： ( x y) (4x xy + 2y) = x
8 y3 + x7 y4 x6 y4 ．
2 3 2 3 4
3 34a ( ab b2 ) 5a2 2（3）解： b(2a 3ab +1)
2
= 6a4b 4a3b2 10a4b +15a3b2 5a2b
= 4a4b +11a3b2 5a2b ．
9
练 2-2
（★★★☆☆）已知 a(x2 + x c) + b(2x2 x 2) = 7x2 + 4x + 3 ，求 a 、b 、c 的值．
【配题说明】此题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【常规讲解】
解： a(x2 + x c)+ b(2x2 x 2) = 7x2 + 4x + 3，
(a + 2b)x2 + (a b)x (ac + 2b) = 7x2 + 4x +3 ，
a + 2b = 7 ， a b = 4 ， (ac + 2b) = 3，
解得： a = 5 ，b =1， c = 1．
知识点 3—— 式乘 式
知识笔记
式 式 乘的法
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加．
用公式表示为： (m + n)(a + b) =_______________________________．
【填空答案】
ma + na +mb + nb
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 秋 浦东新区校级月考） (2x 3)(3x2 2x +1) ．
（2）（★★☆☆☆）（2020 秋 浦东新区校级期中）
解不等式： (x 4)(6x + 7) (3x 2)(2x + 5) + 2 ，并求满足条件的最大整数解．
10
【配题说明】
（1）本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
（2）本题主要考查多项式得乘法及解不等式，正确应用多项式乘法法则和解不等式方法计
算是解决本题得关键．
【常规讲解】
（1）解：原式 = 6x3 4x2 + 2x 9x2 + 6x 3
= 6x3 13x2 +8x 3．
（2）解： (x 4)(6x + 7) (3x 2)(2x + 5) + 2 ，
6x2 17x 28 6x2 +11x 8，
移项合并同类项得： 28x 20，
5
解得： x ，
7
所以满足条件得最大整数解为 x = 1．
例 2
（1）（2020 秋 普陀区期中）（★★★☆☆）如果关于 x 的多项式 2x + a 与 x2 bx 2 的乘积
展开式中没有二次项，且常数项为 10，求 a + 2b 的值．
（2）（2019 秋 闵行区校级月考）（★★★☆☆）在 (x2 + ax + b)(2x3 3x 1) 的积中， x3 的系
数为 5 ， x2 的系数为 6 ，求 a、b ．
【配题说明】
（1）本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
（2）本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，
先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【常规讲解】
（1）解： (2x + a)(x2 bx 2)
= 2x3 2bx2 4x + ax2 abx 2a
= 2x3 + (a 2b)x2 + ( 4 ab)x 2a ，
乘积展开式中没有二次项，且常数项为 10，
a 2b = 0 且 2a =10，
解得 a = 5 ， b = 2.5 ，
11
a + 2b = 5+ 2 ( 2.5) = 10 ．
（2）解： (x2 + ax + b)(2x3 3x 1)
= 2x5 3x3 x2 + 2ax4 3ax2 ax + 2bx3 3bx b
= 2x5 (1+ 3a)x2 + 2ax4 + (2b 3)x3 (a 3b)x b ，
由题意得， 2b 3 = 5 ，1+ 3a = 6 ，
5
解得， a = ，b = 1．
3
例 3
（★★★★☆）（2019 秋 浦东新区期中）欢欢与乐乐两人共同计算 (2x + a)(3x + b) ，欢欢抄
错为 (2x a)(3x + b) ，得到的结果为 6x2 13x + 6 ；乐乐抄错为 (2x + a)(x + b) ，得到的结果
为 2x2 x 6 ．
（1）式子中的 a 、b 的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
【配题说明】
本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键．
【常规讲解】
解：（1）根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的 a 的符号，得到的结果为
6x2 13x + 6，
那么 (2x a)(3x + b) = 6x2 + (2b 3a)x ab = 6x2 13x + 6 ，
可得 2b 3a = 13 ①
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的 x 的系数，得到的结果为 2x2 x 6 ，
可知 (2x + a)(x + b) = 2x2 x 6
即 2x2 + (2b + a)x + ab = 2x2 x 6 ，
可得 2b + a = 1②，
解关于①②的方程组，可得 a = 3 ，b = 2 ；
（2）正确的式子：
(2x + 3)(3x 2) = 6x2 + 5x 6
【拓展讲解 1】（★★★★☆）（2019 秋 浦东新区校级期中）已知 x2 x 3 = 0 ，求
(x2 + 3x 7)(x3 + 2x2 2x 5) 16x 的值．
12
【配题说明】本题考查了多项式乘以多项式法则和整体代入的思想．变形已知整体代入两
个多项式因式，是解决本题的关键．
【常规讲解】
解： x2 x 3 = 0 ， x2 = x + 3 ， x2 x = 3，
x2 + 3x 7 = x2 x + 4x 7
= 3+ 4x 7
= 4x 4 ，
x3 + 2x2 2x 5 = x3 x2 + 3x2 3x + x 5
= x(x2 x) + 3(x2 x) + x 5
= 3x + 9 + x 5
= 4x + 4
(x2 + 3x 7)(x3 + 2x2 2x 5) 16x
= (4x 4)(4x + 4) 16x
=16x2 16x 16
=16(x2 x) 16
x2 x = 3 ，
原式=16 3 16
= 32 ．
【拓展讲解 2】如果 a 、b 、m 均为整数，且 (x + a) (x + b) = x2 +mx +15，则所有的 m 的和
为_______．
【配题说明】本题考查多项式的乘法，可根据 a 、b 是整数求出其值，从而得到 m 的值再相
加，容易漏解．
【常规讲解】解： (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab ，
又 (x + a) (x + b) = x2 +mx +15 ，
m = a + b ， ab =15．
a 、 b 、 m 均为整数，
a =1 a = 1 a = 3 a = 3 a = 5 a = 5 a =15 a = 15
或 或 或 或 或 或 或 ，
b =15 b = 15 b = 5 b = 5 b = 3 b = 3 b =1 b = 1
m =1+15 =16 或 m = 1 15 = 16 或 m = 3+ 5 = 8 或 m = 3+ ( 5) = 8 ，
所有的 m 的和为16 + ( 16) + 8+ ( 8) = 0 ．
故答案为：0．
13
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）（2018 秋 浦东新区期中） (x y)(x2 + xy + y2 )
（2）（★★☆☆☆）（2019 虹口区校级月考）
解不等式： 2x(3x 5) (2x 3)(3x + 4) 3(x + 4) ．
【配题说明】
（1）本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外
一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【常规讲解】
（1）解：原式= x3 + x2 y + xy2 x2 y xy2 y3
= x3 y3 ．
（2）解： 2x(3x 5) (2x 3)(3x + 4) 3(x + 4)
6x2 10x (6x2 x 12) 3x +12
9x +12 3x +12
12x 0 ，
解得： x 0 ．
练 3-2
（1）（★★★☆☆）（2019 秋 静安区月考）若 (x2 + ax +8)(x2 3x + b) 的乘积中不含 x2 和 x3
项，求 a ，b 的值．
（2）（★★★☆☆）（2019 秋 长宁区校级月考）若两个多项式 (x2 ax + b) 与 (x2 3x) 的乘
积中不含二次项和三次项，求 a、b 的值．
【配题说明】
（1）此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
（2）此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【常规讲解】
（1）解： (x2 + ax +8)(x2 3x + b)
14
= x4 3x3 + bx2 + ax3 3ax2 + abx + 8x2 24x + 8b
= x4 + ( 3+ a)x3 + (b 3a +8)x2 + (ab 24)x +8b ，
(x2 + ax + 8)(x2 3x + b) 的乘积中不含 x2 和 x3 项，
3+ a = 0 ， b 3a + 8 = 0，
解得： a = 3 ，b =1．
（2）解： 两个多项式 (x2 ax + b) 与 (x2 3x) 的乘积中不含二次项和三次项，
原式= x4 3x3 ax3 + 3ax2 + bx2 3bx
= x4 (3+ a)x3 + (3a + b)x2 3bx
3+ a = 0 ， 3a + b = 0 ，
解得： a = 3 ，b = 9 ．
练 3-3
（★★★★☆）（2019 秋 嘉定区校级月考）小明在做多项式乘法的时候发现，两个多项式相
乘在合并同类项后的结果存在缺项的可能．比如 x + 2 和 x 2 相乘的结果为 x2 4 ， x 的一
次项没有了．
（1）请计算 x2 + 2x + 3与 x 2 相乘后的结果，并观察 x 的几次项没有了？
（2）请想一下， x2 + 2x + 3与 x + a 相乘后的结果可不可能让一次项消失，如果可能，那么
a 应该是多少呢？
【配题说明】本题考查了多项式乘以多项式法则和合并同类项，能正确根据多项式乘以多项
式法则展开是解此题的关键．
【常规讲解】
解：（1） (x2 + 2x + 3)(x 2)
= x3 2x2 + 2x2 4x + 3x 6
= x3 x 6 ，
x 是二次项没有了；
（2） (x2 + 2x + 3)(x + a)
= x3 + ax2 + 2x2 + 2ax + 3x + 3a
= x3 + (a + 2)x2 + (2a + 3)x + 3a ，
当 2a + 3 = 0 ，即 a = 1.5 时， x 的一次项消失了，此时 a = 1.5 ．
15
综合练习
【A组】
练 1
1 2 3 2 2
（1）（★★☆☆☆）（2020 秋 浦东新区期中）计算： ( x y) ( 3xy ) =_________．
2
（2）（★★☆☆☆）（2020 秋 浦东新区期中）计算： ( 2a)2 a3 = _________．
（3）（★★☆☆☆）（2016 秋 浦东新区月考）一个长方体的长为8 105 cm ，宽为5 106 cm ，
高为9 108 cm，求长方体的体积．
【配题说明】此题主要考查了单项式乘以单项式，以及同底数幂的乘法和合并同类项，关键
是掌握整式的运算的各种计算法则．
【常规讲解】
1
( x2 3（1）解： y) ( 3xy
2 )2
2
1
= ( x6 y3 ) (9x2 y4 )
8
9
= x8 y7 ．
8
9 8
故答案为： x y
7
．
8
（2）解：原式 = 4a2 a3 = 4a5 ，
故答案为： 4a5 ．
（3）解：由题意，得
(8 105 ) (5 106 ) (9 108) = 360 1019 = 3.6 1021cm3 ，
长方体的体积3.6 1021cm3 ．
练 2
5 3 2 3 1 2
（1）（★★☆☆☆）（2019 秋 闵行区校级月考）计算： ( x y) ( 3xy ) ( x) ．
9 2
1 3 2 3 1
（2）（★★☆☆☆）（2018 秋 徐汇区校级月考）计算： a b ( ab) ( a)
2 (ab)4
2 3 3
【配题说明】此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【常规讲解】
16
5
= x3 y ( 27x3 6
1
（1）解：原式 y ) x
2
9 4
15
= x8 y7 ．
4
1 3 2 3 1
（2）解： a b ( ab) ( a)
2 (ab)4 ，
2 3 3
1
= a3
8
b a3b3
1
a2 a4b4 ，
2 27 9
4
= a6b4
1
a6b4 ，
27 9
1
= a6b4 ．
27
练 3
（1）（★★☆☆☆）（2018 秋 浦东新区期中）计算： 2x2 x(2x 5y) + y(2x y) ．
5 1 5 1
（2）（★★☆☆☆）（2017 秋 闵行区校级月考）计算：2x( x
2 + 3x 4) (x ) (x )
2 2 2 2
【配题说明】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
【常规讲解】
（1）解：原式= 2x2 2x2 + 5xy + 2xy y2
= 7xy y2 ．
3 2 5 5 5 5
（2）解：原式 = 2x + 6x 8x x + x +
2 4 2 4
= 2x3 + 6x2
5
13x + ．
2
练 4
（★★★☆☆）（2019 秋 静安区月考）已知多项式 x2 mx + n 与 x 2 的乘积中不含有 x 的一
次项和二次项，求 mn 的值．
【配题说明】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式
相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【常规讲解】
解： (x2 mx + n)(x 2)
= x3 mx2 + nx 2x2 + 2mx 2n
17
= x3 (m + 2)x2 + (n + 2m)x 2n ，
m + 2 = 0
由题意得， ，
n + 2m = 0
m = 2
解得， ，
n = 4
则 mn = ( 2)4 =16 ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）已知：x + y + z = a、xy + yz + zx = b、xyz = c ，用含字母 a、b、c 的代数式表示
(x 1)(y 1)(z 1) ．
【配题说明】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则，
学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
【常规讲解】
解： (x 1)(y 1)(z 1) ．
= (xy y x +1)(z 1) ，
= xyz yz xz + z xy + y + x 1，
= c b + a 1，
= a b + c 1．
练 2
（★★★★☆）已知 x2 x = 5，求 (x 2)
2 (x + 5)(x 5) + (2x 1)(x + 2) (x 6) 的值．
【配题说明】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
【常规讲解】
解： (x 2)2 (x + 5)(x 5) + (2x 1)(x + 2) (x 6)
= x2 4x + 4 x2 + 25+ 2x2 + 3x 2 x + 6
= 2x2 2x + 33 ，
x2 x = 5 ，
原式= 2(x2 x) + 33 = 2 5+ 33 =10+ 33= 43 ．
18
练 3
（ ★★★★☆ ） 已 知 ： a 、 b 、 c 、 d 均 为 正 数 ， 比 较 x = (a + b + c)(b + c + d ) 与
y = (a + b + c + d )(b + c) 的大小．
【配题说明】考查了多项式乘多项式，有理数大小比较，难点是将 x = (a + b + c)(b + c + d ) 变
形为 (a + b + c)(b + c) + d(a + b + c) ，y = (a + b + c + d )(b + c) 变形为 (a + b + c)(b + c) + d (b + c) ．
【常规讲解】
解： x = (a + b + c)(b + c + d) = (a + b + c)(b + c) + d(a + b + c) ，
y = (a + b + c + d)(b + c) = (a + b + c)(b + c) + d(b + c) ，
a 、 b 、 c 、 d 均为正数，
d(a + b + c) d (b + c) ，
x = (a + b + c)(b + c + d) y = (a + b + c + d )(b + c) ．
课堂总结
1908 | 整式的除法
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握同底数幂的除法的运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握单项式除以单项式的运算
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握多项式除以单项式的运算
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握多项式除以多项式的运算
知识清单
幂的除法法
的
幂的除法
整 的
学记 法
整式的除法 单 式除 单 式法
整式的除法 单 式除 单 式的
单 式 合运算法
式除 式的一
式除 式
除式 除式 式 式
93
知识点 1—— 幂的除法
知识笔记
1． 幂的除法法
底数不变，指数相减，即：_________________.（ a 0，m,n 都是整数且 m＞n ）
2． 的
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即_________________.
3. 整 的
任何不等于零的数的－P （ P 是正整数）次幂，等于这个数的 P 次幂的倒数，即：
_________________.（ a 0, P 是正整数）
4． 学记 法
我们曾用科学记数法来表示一些绝对值较大的数，现在，我们同样可以用科学记数法
表示一些绝对值较小的数(绝对值小于 1 的)根据负整数指数的意义___________.
（ a 0, P 是正整数）
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）计算
（1） (x3 )2 ( x)2 ； （2） 11 7 ； （3） ( 2)9a a 2
7 ；
（4） m3 ( m)2 ； （5） ( a3)4 ( a4 )3 ； （6） ( 2)6 ( 2)3 .
94
例 2
（1）（★★☆☆☆）已知32m = 6 ， 3n = 8 ，则92m n = _________．
n 1
（2）（★★☆☆☆）已知 m 、 n 是整数， xm = 9 ， x = ，那么 xm n = _________.
3
1
（3）（★★☆☆☆）已知10a = 2 ，10b = 9 ，求： a b100 2 的值．
2016
m 4n 5 1
（4）（★★☆☆☆）已知3m = 5 ，3 = ，求 n
2015 的值．
81 n
例 3
（★★☆☆☆）一颗人造地球卫星的速度是 2.88 104 千米 / 时，一架喷气式飞机的速度为
1.8 103 千米 / 时，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
巩固练习
练 1-1
计算：
18 9 4
（1）（★★☆☆☆） ( a) ( a) ( a) = _____ ；
3 2
（2）（★★☆☆☆） x2 ( x) ( x) = ______ ；
4 3
（3）（★★☆☆☆） ( a5 ) ( a2 ) = ______ ；
3
3 3 2 2（4）（★★☆☆☆） (a3 ) (a
4 ) (a5 ) a2 = ______ ．
( )
95
练 1-2
m n 1
（1）（★★☆☆☆）如果 a = 8,a = ，那么 am n = ________．
2
1 5 1 2
（2）（★★☆☆☆）计算： ( ) ( ) = ________．
2 2
n 1
（3）（★★☆☆☆）若 am = 8 ， a = ，则 a2m 3n = ________．
2
（4）（★★☆☆☆）已知 am = 2 ， an = 3，则 a2m 3n = ________．
练 1-3
（★★☆☆☆）光的速度约为 3 108 m / s ，一颗人造地球卫星的速度是8 103 m / s ，则光的速
度是这颗人造地球卫星速度的多少倍？
知识点 2——整式的除法
知识笔记
1. 单 式除 单 式法
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
2. 单 式除 单 式的
把系数相除，所得的结果作为商的因式；
把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式；
只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式．
96
3. 单 式 合运算法
通常情况下，应先________，在________，最 后做________运算，如有括号，先算括号内
的运算．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）计算： 4a3 2a = _______．
（2）（★★☆☆☆）计算：8x2 y4 ( 2xy2 ) =_______．
（3）（★★★☆☆）三角形的面积为 x ，一底边长为 a ，则这条边上的高可以表示为_____．
例 2
（1）（★★★☆☆）计算： ( 4a2 +12a3b) ( 4a2 ) + 2ab ．
（2）（★★★☆☆）计算： (6x3 + 3x2 2x) ( 2x) (x 2)2 ．
（3）（★★★☆☆）计算： ( 6a2b2 + 3ab) ab + 5ab ．
（4）（★★★☆☆）先化简，再求值：[(2x + y)(2x y) (2x y)2 ] 2y ，其中 x = 1，y = 2 ．
97
例 3
（★★★☆☆） (x + 3)(x 2) = x2 + x 6 ， (x2 + x 6) (x 2) = x + 3 ；这说明 x2 + x 6 能
被 x 2 整除，同时也说明多项式 x2 + x 6 有一个因式为 x 2 ；另外，当 x = 2 时，多项式
x2 + x 6 的值为零．
回答下列问题：
（1）根据上面的材料猜想：多项式的值为 0、多项式有因式 (x 2) 、多项式能被 (x 2) 整除，
这之间存在着一种什么样的联系？
（2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母 x 的多项式 M ，当 x = k 时，M 的值为 0，那
么 M 与代数式 (x k) 之间有何种关系？
（3）应用：利用上面的结果求解，已知 x 2 能整除 x2 + kx 14 ，求 k ．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★★☆☆）计算：9a3b 3a2 = _______．
3
8ab2n a2 4a2bn 1（2）（★★★☆☆）计算： = ________．
2
（3）（★★★☆☆）一个矩形的面积为 m2 + 8m ，若一边长为 m ，则其邻边长为_________．
练 2-2
（1）（★★★☆☆）计算： (5a3b2 6a2 ) (3a) .
98
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值：(a2b + 2ab2 b3) b (a + b)(a b) ，其中 a =1，b = 2 ．
2 2 1 2
（3）（★★★☆☆）计算：[(x y) + 3(x y )] 2x ．
3
（4）（★★★☆☆）计算：[( 3a5 )2 ( a2 )3 2a5 ( 2a)3] ( 3a2 )2 .
1
（5）（★★★☆☆）先化简，再求值：3m(m 2n) [3m2 2n + 2(mn + n)]，其中 m = ，n = 3．
2
练 2-3
b
（★★★★☆）如果多项式 2x4 + ax3 12x2 + 7x + b 能被 x2 + x 2 整除，那么 的值为_______．
a
99
知识点 3—— 式除 式
知识笔记
1. 式除 式的一
（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．
（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项．
（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式（同类项对齐），从被除式中减去这
个积．
（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上 面的方法继续演算，直到余式为零或余式
的次数低于除式的次数时为止．
2. 除式 除式 式 式
如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整
除．
100
经典例题
例 1
（★★★★☆）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，井把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数
低于除式的次数时为止，被除式=除式 商式+ 余式，若余式为零，说明这个多项式能被
另一个多项式整除．
例如：计算 (6x4 7x3 x2 1) (2x +1) ，可用竖式除法如图：
3x3 5x2 + 2x 1
2x +1 6x4 7x3 x2 + 0x 1
6x4 + 3x3
10x3 x2
10x3 5x2
4x2 + 0x
4x2 + 2x
2x 1
2x 1
0
所以 6x4 7x3 x2 1除以 2x +1，商式为3x3 5x2 + 2x 1，余式为 0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1） (x3 4x2 + 7x 5) (x 2) 的商是_________________，余式是_________________；
（2） x3 x2 + ax + b 能被 x2 + 2x + 2 整除，求 a ，b 的值．
101
巩固练习
练 3-1
2 3
（★★★★☆）计算： (9x + 2x +5) ( 3+ x2 ) ．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）计算： 6a4b 2a2 = ________．
（2）（★★☆☆☆）计算： 6a4 2a2 = ________．
1
（3）（★★☆☆☆）计算： ( x
2 y)2 x2 y = ________．
3
（4）（★★☆☆☆）计算：16a2b3 ( 2ab2 ) = _______．
练 2
（1）（★★★☆☆）计算：[(2x + y)2 (x y)( x y)] 2x ．
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值：[(x + y)(3x y) (x + 2y)2 + 5y2 ] 2x ，其中 x =1，
y = 2 ．
102
（3）（★★★☆☆）先化简，再求值：[(x y)2 (x + y)2 + y(2x y)] y ，其中 2x + y = 4 ．
（4）（★★★☆☆）计算：[( 2a2 )3 + 5a4 a2 ] ( 3a2 ) ．
（5）（★★★☆☆）计算： ( 2x2 )3 + 4x2 x4 + 5x9 x3 ．
2 1
（6）（★★★☆☆）先化简；再求值：[(x 3y) 7(x + y)(y x) + (2x y)(2y + x)] ( x)
2
，其中10x 3y =10 ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）若 f (x) = 6x 1 5x2 +m2x4 3x3 能被 x +1整除，求 m 的值．
103
练 2
x+2
（★★★★☆）已知 (x 1) =1，求整数 x 的解．
练 3
（★★★★★）阅读：已知 (x +1)(2x 3) = 2x2 x 3 ，那么多项式 2x2 x 3 除以 x +1的商
是 2x 3．
解决问题：
（1）已知关于 x 的二次多项式除以 x 5 ，商是 2x + 6 ，余式是 2，求这个多项式；
（2）已知关于 x 的多项式3x2 +mnx + n 除以 x +1的商是3x 5 ，余式是 x ，求 m 、 n 的
值；
（3）已知关于 x 的三次多项式除以 x2 1时，余式是 2x 5；除以 x2 4 时，余式是
3x + 4 ，求这个三次多项式．
10410 | 分式的运算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练进行分式的乘除与加减法的运算
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练运用分式运算比较分式大小
知识清单
分 式的乘法法
分 式的除法法
分式的乘除
分 式的乘方法
分 式的运算 分 式的乘除 合运算
分 的分式 法法
分式的 分 的分式 法法
分式的综合运算
119
知识点 1——分式的乘除
知识笔记
1. 分式的乘法法
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示___________．
2. 分式的除法法
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．
用公式表示为_____________________．
3. 分式的乘方法
分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即___________．
4. 分式的乘除 合运算
分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．
经典例题
例 1
x 1 x 1
（★★☆☆☆）若 有意义，则 x 的取值范围是____________．
x + 2 x
例 2
x2 + 3xy 4y2 x2 + 3x 3y y2
（1）（★★★☆☆）计算：
x2 + 8xy +16y2 2
．
x 16y2
120
x3 3x2 x3 9x x2 8x +12
（2）（★★★☆☆）计算： .
x2 5x + 6 x2 + 2x 3 2x
xy2 x3 2 x y
（3）（★★★★☆）先化简，再求值： (x y) ，其中 x = 1.5， y = 2 ；
y x + y
巩固练习
练 1-1
x +1 x + 3
（★★☆☆☆）计算：若代数式 有意义，则 x 的取值范围是_______．
x + 2 x + 4
练 1-2
x y x2 y2
（1）（★★★☆☆）计算： 2 . x 2y x 4xy + 4y2
x2 1 x2 + 3x + 2
（2）（★★★☆☆）化简： (x +1) ．
x2 + 4x + 4 x 1
121
x2 y2 x + 5y
（3）（★★★☆☆）计算： 2 ． x + 6xy + 5y2 x2 2x y2 + 2y
a2 + ab2 + b3 b2 1 1
（4）（★★★★☆）先化简，再求值： 2 ，其中 a = ， b = ． a + ab(b 2) b3 + b2 2 3
知识点 2—— 分式的
知识笔记
1. 分 的分式 法法
同分母分式相加减，分母______，分子相______．
2. 分 的分式 法法
（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫
做通分，这几个相同的分母叫做__________ ___．
（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分
母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．
3. 分式的综合运算
与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
122
经典例题
例 1
2 1
（1）（★★★☆☆）计算： ．
x + y x y
x2 4x 2 2
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值： + ，其中 x = 3．
x2 8x +16 x2 16 x + 4
3 m + 2
（3）（★★★☆☆）化简： (m 1 ) ．
m +1 m2 + m
2x2 + 4x 2 1
（4）（★★★★☆）先化简： ( ) ．然后从 1 x 3 挑选一个合适的整数
x2 4x + 4 x 2 x
代入求值．
例 2
4x +1 A B
（★★★★☆）已知 = +( ，试确定 A ， B 的值
.
x 2)(x 5) x 5 x 2
123
例 3
1 1 a b
（★★★★☆）实数 a、b 满足 ab =1，记 M = + ， N = + ，判断 M ， N 的
1+ a 1+ b 1+ a 1+ b
大小关系，并说明理由.
巩固练习
练 2-1
2 2 x2 + 4
（1）（★★★☆☆）计算： + ．
x + 2 x 2 x2 4
4x 12 x2 1
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值： (x 1) ，其中 x = 4 ．
x2 4x 5 2x 6
x2
（3）（★★★☆☆）计算： x + y .
x + y
1 x2 4x + 4
（4）（★★★★☆）先化简 (1 ) ，然后从 2 x 2 的范围内适当选取一个整
x 1 x2 1
数作为 x 的值，再代入求值．
124
练 2-2
x2 y2 y + 2x 3y
（★★★★☆）已知两个分式 A = ， B = +
x2 y2 y2 x2
，判断 A，B 两分式的
x y x y
数量关系，并说明理由.
练 2-3
4x + 5 A B
（★★★★☆）已知不论 x 取什么值（1，-2 除外），等式 = + 都成立，
(x 1)(x + 2) x 1 x + 2
求 A 、 B 的值．
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列分式化简正确的是 ( )
2(a + b)2 2a + 3a2 2 + 3a
A． = 2a + b B． =
a + b 2a 2
9a2 1 3a 1 a2 + b2 a + b
C． = D． =
6ab 2b 2b a2 b2 a b
125
练 2
x x + 3 x2 1
（1）（★★★☆☆）计算：
x +1 x +1 x2 + 2x 3
2x 1 4x2 +1
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值： ( ) (1 ) ，其中 x = 3．
2x +1 4x2 + 2x 4x
1 x + 3 x2 + 4x + 3
（3）（★★★☆☆） ，其中 x = 3．
x +1 x2 1 x2 2x +1
练 3
4x 4 A B 2A + 3B
（★★★★☆）已知 = ，求 的值．
x2 + 2x 15 x + 5 x 3 A B
126
【B组】
练 1
（★★★★☆）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，
2 4x2
称这样的分式为真分式．例如，分式是 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分
x +1 x3 3x
x 1 x2
母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化
x +1 x 1
x 1 (x +1) 2 2
为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1 ．
x +1 x +1 x +1
2x 3
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
x +1
x2
（2）如果分式 的值为整数，求 x 的整数值．
x 1
练 2
（★★★★★）我们定义：如果两个分式 A 与 B 的差为常数，且这个常数为正数，则称 A 是
B 的“雅中式”，这个常数称为 A 关于 B 的“雅中值”．
2x 2 2x 2 2x + 2 2(x +1)
如分式 A = ， B = ， A B = ( ) = = = 2 ，则 A 是 B 的“雅
x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
中式”， A 关于 B 的“雅中值”为 2．
1 x2 + 5x + 6
（1）已知分式C = ， D = ，判断C 是否为 D 的“雅中式”，若不是，请说
x + 2 x2 + 4x + 4
明理由，若是，请证明并求出 C 关于 D 的“雅中值”；
E 2x
（2）已知分式 P = 2 ， Q = ， P 是 Q 的“雅中式”，且 P 关于Q 的“雅中值”是9 x 3 x
2， x 为整数，且“雅中式” P 的值也为整数，求 E 所代表的代数式及所有符合条件的 x 的
值之和；
(x b)(x c) (x a)(x 5)
（3）已知分式 M = ， N = (a ，b ，c 为整数），M 是 N 的“雅中
x x
式”，且 M 关于 N 的“雅中值”是 1，求 a b + c 的值．
127
练 3
1 1 1
（★★★★★）已知 a、b、c 三个数满足 abc =1，求式子 + + 的值．
a + ab +1 b + bc +1 c + ca +1
课堂总结
12805|因式分解（一）
学习目标
目标1
★★★☆☆☆操作
理解因式分解的定义
目标2
★★★★☆☆识别
掌握提公因式法进行因式分解
目标3
★★★★☆☆识别
掌握利用平方差、完全平方公式进行因式分解
知识清单
因式分解
因式、公因式
提公因式法因式分解
因式
提公因式法
因式分解（一）
公式法
式
公式法因式分解
式进行因式分解
式
式
式进行因式分解
式
【考情分析】
1.考纲要求：
2.5因式分解的意义
2.6因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的二次三
项式的十字相乘法)》
2.因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分解
的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
3.对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.13提公因式法9.14公式法
1
4.本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，
了解因式分解与整式乘法的区别.首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两
种方法一提取公因式法和公式法.重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提
取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式.难点是提取公因式法需要注意
公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用.能够熟练结合
两种方法进行分解因式.
课堂引入
【课堂引入】
思考：如何把a(m+n)+b(m+n)因式分解。
对于多项式a(m+n)+b(m+n),如果设c=m+n,那么这个式子就变为ac+bc,我们就可
以提取公式法因式分解了。这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公
因式法进行因式分解了。如果不写出辅助元，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提
出即可。
·2
知识点1一
提公因式法因式分解
知识笔记
1.因式分解
(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式，
(2)因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：
因式分解
多项式（和的形式）
整式的积（积的形式）
2.因式、公因式
(1)几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式，
(2)一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式，
3.
因式
(1)确定
多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）·
(2)确定
多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂，
(3)确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是
这个多项式的公因式，
4.
取公因式
(1)如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式
的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方
法叫做提取公因式法
(2)提取公因式的步骤：“
第一步要正确找出多项式中各项的公因式：
第二步将所找出的公因式提出来，
第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后
剩下的另一个因式
0311 | 可化为一元一次方程的分式方程
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握的可化为一元一次方程的分式方程的解法
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握整数指数幂与分式的化简与计算
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 综合解决分式方程的增根与无解问题
知识清单
可 化为一元一次方程的
分式方程的
分式方程
可化为一元一次方程的分式方程一
可化为一元一次方程的
的
分式方程 分式方程的
的
学 的 的方
【考情分析】
1．分式方程属于分式板块知识，在期中期末考试中，占 15%左右的分值
2．可化为一元一次方程的方程的分式方程与整数指数幂主要以填空、计算题的形式对学生
进行考察，而增根会以填空的形式对学生进行考察
3．对应教材：
七年级上册 10.5 可化为一元一次方程的分式方程
七年级上册 10.6 整数指数幂及其运算
4．理解分式方程及可化为一元一次方程的分式方程的意义．通过学习分式方程的解法，理
解分式方程的基本思想，重点知道解分式方程时可能产生增根的原因，掌握验根的方法．理
1
解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算法则，在用科学计算法表示绝对值较大的
数的基础上，学会用它表示绝对值小于1的数．
课堂引入
小明和小丽比赛打字的速度，小丽每分钟比小明少打 30 个字，在相同的时间里，小丽打了
2400 个字，小明打了 3000 个字。
请问：小丽和小明每分钟分别可打多少个字？
解：设小明每分钟可打 x 个字，则小丽每分钟可打（x-30）个字。
根据题意可列出以下等量关系：
2400 3000
= 。
x 30 x
这个方程的分母中含有未知数，与以前学过的方程不同，这就是我们要学习的分式方程。
分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程。
2
知识点 1——可化为一元一次方程的分式方程
知识笔
1. 分式方程的
__________里含有未知数的方程叫做分式方程.
2. 可化为一元一次方程的分式方程一 ：
（1）_________：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）_________：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为
零的根是原方程的增根，必须舍去．
【填空答案】
1、分母；
2、转化；检验
经典例
例 1
1 x 3x 2 1 4
（★★☆☆☆）（2019 秋 嘉定区期末）下列关于 x 的方程： + x =1， + = ， = ，
x 3 4 5 x 1 x
x2 1
= 2 中，分式方程的个数是 ( )
x +1
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【配题说明】考点一：分式方程的判断
【常规讲解】
x 3x 2
解： + = 不是分式方程，是整式方程，
3 4 5
故选：C ．
3
例 2
5x 1
（1）（★★★☆☆）（2019 秋 青浦区校级期中）解方程： + = 5
x 1 x + 2
6 x + 9
（2）（★★★☆☆）（2019 秋 浦东新区校级月考）解方程： =1
x 3 2x 6
【配题说明】考点二：可化为一元一次方程的分式方程解法（普通解法+无解情况）
【常规讲解】
（1）解：去分母得：5x2 +10x + x 1= 5x2 + 5x 10 ，
解得： x = 1.5，
经检验 x = 1.5是分式方程的解．
（2）解：去分母得：12 x 9 = 2x 6，
解得： x = 3，
经检验 x = 3是增根，舍去，
所以，原方程无解．
例 3
（★★★★☆）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于
a
x 的分式方程 =1的解为正数，求 a 的取值范围．
x 4
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于 x 的分式方程，得 x = a + 4 ．由题意可得 a + 4 0 ，所以 a 4 ，问题
解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证 x 4 ，即 a + 4 4 才行．
（1）请回答：__________的说法是正确的，并简述正确的理由是________________________；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
m x
若关于 x 的方程 = 2的解为非负数，求 m 的取值范围．
x 3 3 x
【配题说明】考点三：分式方程的解的正负性问题
【常规讲解】
解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为 0；
故答案为：小哲；分式的分母不为 0；
4
（2）去分母得： m + x = 2x 6 ，
解得： x = m + 6 ，
由分式方程的解为非负数，得到 m + 6 0 ，且 m + 6 3 ，
解得： m 6 且 m 3 ．
1 1 1 1
【拓展讲解 1】（★★★★★）解关于 m 的方程： = ．
m + 5 m + 6 m + 7 m + 8
【配题说明】复杂分式方程
【常规讲解】
1 1
原方程可化为 = ，
(m + 5)(m + 6) (m + 7)(m + 8)
方程两边同时乘以 (m + 5)(m + 6)(m + 7)(m + 8)可得： (m + 7)(m + 8)= (m + 5)(m + 6)
13
整理得： 4m = 26 ，解得： m = ，
2
13 13
经检验 m = 是原方程的解，所以原方程的解为 m = ．
2 2
x + 2 x + 8 x + 6 x + 4
【拓展讲解 2】（★★★★★）解方程： + = + ．
x +1 x + 7 x + 5 x + 3
【配题说明】复杂分式方程
【常规讲解】
1 1 1 1
方程可变为：1+ +1+ =1+ +1+ ，
x +1 x + 7 x + 5 x + 3
1 1 1 1
化简为： + = + ，
x +1 x + 7 x + 5 x + 3
2x + 8 2x + 8
通分可得： = ， (x +1)(x + 7) (x + 5)(x + 3)
则可得： 2x + 8 = 0 或 (x +1)(x + 7)= (x + 5)(x + 3)，
解得： x = 4 或无解，
所以原分式方程的解为 x = 4 ．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）（2006 秋 崇明县期末）下列关于 x 的方程中，不是分式方程的是 ( )
5
1 x 3x 2 1 4 x2 1
A． + x =1 B． + = C． = D． = 2
x 3 4 5 x 1 x x +1
【配题说明】考点一：分式方程的判断
【常规讲解】
解： A 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
B 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项正确；
C 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
D 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误．
故选： B ．
练 1-2
x 2
（1）（★★★☆☆）（2019 秋 闵行区期末）解方程：1 = ．
x 1 x +1
16 y 2
（2）（★★★☆☆）（2018 秋 浦东新区期末）解方程： = 12 ． y 4 y + 2
【配题说明】考点二：可化为一元一次方程的分式方程解法（普通解法+无解情况）
【常规讲解】
（1）解：去分母得： x2 1 x2 x = 2x 2，
1
解得： x = ，
3
1
经检验 x = 是分式方程的解．
3
（2）解：去分母得：16 = (y 2)(y 2) (y2 4) ，
去括号得：16 = y2 4y + 4 y2 + 4 ，
合并得：16 = 4y + 8 ，
解得： y = 2 ，
检验： y = 2 时， y2 4 = 0 ，
则原方程无解．
6
练 1-3
x 3 x 2 m
（★★★★☆）（2019 秋 徐汇区校级期中）已知分式方程 = 的解为正
x 2 x 3 x2 5x + 6
数，则 m 的取值范围为__________．
【配题说明】考点三：分式方程的解的正负性问题
【常规讲解】
x 3 x 2 (x 3)2 (x 2)2 2x + 5
解： = =
x 2 x 3 (x 2)(x 3) x2
，
5x + 6
m = 2x + 5 ，
m 5
x = ，
2
分式方程的解为正数，
m 5 0 ，
m 5 ，
又 x 2 ， x 3 ，
m 1， m 1，
m 的范围是 m 5 且 m 1，
故答案为 m 5 且 m 1．
知识点 2——分式方程的
知识笔
1. 的
（1）去分母
（2）将最简公分母等于 0 时，求出 x 的值（即求出增根的值）
（3）将 x 的值（增根）代入方程
（4）求出字母的值
【口诀：___________________________________________】
7
2. 的
（1）去分母
（2）将方程化为 ax = b 的形式
【分类讨论】
① 增根情况：
同上
② 整式方程本身无解情况：【字母出现在未知数的系数中时，进行讨论】
a = 0
a. 列式： （即未知数系数=0，常数≠0）
b 0
b. 求出字母的值
【填空答案】
2、去分母，求增根，代增根，解字母．
经典例
例 1
x + 4 x + 3 m
（1）（★★★☆☆）（2019 徐汇区校级期中）若关于 x 的方程 + = 有增
x 3 x 4 x2 7x +12
根，则 m = _______．
x a
（2）（★★★☆☆）（2019 青浦区校级期中）若关于 x 的方程 x = 有增根，则 a =
3 x x 3
_______．
1 k
（3）（★★★☆☆）（2019 闵行区期末）如果关于 x 的方程 = 3 有增根，那么 k =
x 3 3 x
_______．
【配题说明】考点一：增根存在性问题
【常规讲解】
x + 4 x + 3 (x 4)(x + 4) + (x + 3)(x 3) 2x2 25
（1）解： + = = ，
x 3 x 4 (x 3)(x 4) x2 7x +12
m = 2x2 25 ，
方程有增根，
8
x = 3 或 x = 4 ，
m = 7 或 m = 7 ，
故答案为 7 ．
（2）解：原方程去分母得：
x x(3 x) = a
x2 2x = a
因为分式方程的増根为 x = 3，
所以9 6 = a ，
得 a = 3 ．
故答案为 3．
1 k
（3）解： = 3 ，
x 3 3 x
去分母得：1= 3(x 3) + k ，
由分式方程有增根，得到 x 3 = 0 ，即 x = 3，
把 x = 3代入整式方程得1= 3(3 3) + k ，
解得 k =1．
故答案为：1
例 2
m 1 x
（1）（★★★★☆）（2019 浦东校级月考）如果关于 x 的方程 = 0 无解，则 m 的
2 x x 2
值是 ( )
A． 1 B．1 C．0 D．2
2 k
（2）（★★★★☆）（2018 黄浦区期末）如果关于 x 的方程 1= 无解，那么 k =
x 1 x 1
________．
【配题说明】考点二：只增根情况的无解问题
【常规讲解】
（1）解：方程的两边都乘以 (x 2) ，得
m (1 x) = 0
解得 x = m +1
当 x = 2 时，原分式方程无解，
9
所以 m +1= 2
解得 m =1．
故选： B ．
（2）解：去分母得： 2 x +1= k ，
由分式方程无解，得到 x 1= 0 ，即 x =1，
把 x =1代入整式方程得： k = 2 ，
故答案为：2
例 3
5a + 2
（1）（★★★★☆）（2017 杨浦区校级期末）当 a 取________值时，关于 x 的分式方程 = a
x +1
无解．
2 mx 2
（2）（★★★★★）已知关于 x 的分式方程 + =
x 2 x2
．
4 x + 2
① 若方程的增根为 x = 2 ，求 m 的值；
② 若方程有增根，求 m 的值；
③ 若方程无解，求 m 的值．
【配题说明】考点三：分式方程无解存在性问题
【常规讲解】
5a + 2
（1）解：将 = a 的两边同时乘以 x +1，得
x +1
5a + 2 = a(x +1) ，
ax = 4a + 2，
分式方程无解，
a = 0 或 x = 1时，
2
a = 0 或 a = ，
5
2
故答案为 0 或 ．
5
（2）解：① 去分母得： 2(x + 2) +mx = 2(x 2)
整理，得 mx = 8 ．
若增根为 x = 2 ，则 2m = 8．得 m = 4 ；
② 若原分式方程有增根，则 (x + 2)(x 2) = 0 ．所以 x = 2 或 x = 2 ．
10
当 x = 2 时， 2m = 8 ．得 m = 4 ．
当 x = 2 时， 2m = 8．得 m = 4 ．
所以若原分式方程有增根，则 m = 4 ．
③ 由（2）知，当 m = 4 时，原分式方程有增根，即无解；
去分母后的整式方程： mx = 8 ，
当 m = 0 时， x 无意义即无解．
综上知，若原分式方程无解，则 m = 4 或 m = 0 ．
a b x
【拓展讲解】已知，关于 x 的分式方程 =1．
2x + 3 x 5
（1）当 a =1， b = 0 时，求分式方程的解；
a b x
（2）当 a =1时，求b 为何值时分式方程 =1无解；
2x + 3 x 5
a b x
（3）若 a = 3b ，且 a 、b 为正整数，当分式方程 =1的解为整数时，求b 的值．
2x + 3 x 5
【配题说明】增根无解
【常规讲解】解：
a b x
（1）把 a =1， b = 0 代入分式方程 =1中，得
2x + 3 x 5
1 x
=1
2x + 3 x 5
方程两边同时乘以 (2x + 3)(x 5) ，
(x 5) + x(2x + 3) = (2x + 3)(x 5)
x 5+ 2x2 + 3x = 2x2 7x 15
10
x =
11
10 10
检验：把 x = 代入 (2x + 3)(x 5) 0，所以原分式方程的解是 x = ．
11 11
10
答：分式方程的解是 x = ．
11
a b x
（2）把 a =1代入分式方程 =1得
2x + 3 x 5
1 b x
=1
2x + 3 x 5
方程两边同时乘以 (2x + 3)(x 5) ，
(x 5) (b x)(2x + 3) = (2x + 3)(x 5)
x 5+ 2x2 + 3x 2bx 3b = 2x2 7x 15
(11 2b)x = 3b 10
11
11
①当11 2b = 0 时，即b = ，方程无解；
2
3b 10
②当11 2b 0 时， x =
11 2b
3 3b 10 3
x = 时，分式方程无解，即 = ， b 不存在；
2 11 2b 2
3b 10
x = 5 时，分式方程无解，即 = 5 ，b = 5 ．
11 2b
11 a b x
综上所述，b = 或b = 5 时，分式方程 =1无解．
2 2x + 3 x 5
a b x
（3）把 a = 3b 代入分式方程 =1，得：
2x + 3 x 5
3b x b
+ =1
2x + 3 x 5
方程两边同时乘以 (2x + 3)(x 5) ，
3b(x 5) + (x b)(2x + 3) = (2x + 3)(x 5)
整理得： (10 + b)x =18b 15
18b 15
x =
10 + b
18b 15 18(b +10) 195 195
= =18 ，且b 为正整数， x 为整数
10 + b 10 + b 10 + b
10 + b 必为 195 的因数，10 + b 11
195 = 3 5 13
195 的因数有 1、3、5、13、15、39、65、195
但 1、3、5 小于 11，不合题意，故10 + b 可以取 13、15、39、65、195 这五个数．
对应地，方程的解 x 为 3、5、13、15、17
由于 x = 5 为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b 只可以取 3、29、55、185
所以满足条件的b 可取 3、29、55、185 这四个数．
巩固练习
练 2-1
a 3
（1）（★★★☆☆）（2019 徐汇区校级月考）若分式方程 = 2 有增根，则 a 的值
x 3 3 x
是 ( )
12
A．3 B． 3 C．2 D．0
x m 1
（2）（★★★☆☆）（2020 浦东新区期末）若关于 x 分式方程 = 有增根，则 m =
x 2 x 2
_______．
m 3 1
（3）（★★★☆☆）（2019 浦东期末）若 y =1是方程 + = 的增根，则
y 1 y 2 (y 1)(y 2)
m = _______．
【配题说明】考点一：增根存在性问题
【常规讲解】
（1）解：方程两边都乘 (x 3) ，
得 a = 2(x 3) + 3 ．
原方程有增根，
最简公分母 (x 3) = 0 ，
解得 x = 3．
当 x = 3时， a = 3 ，
故选： A ．
（2）解：去分母得： x m =1 ，
由分式方程有增根，得到 x 2 = 0 ，即 x = 2 ，
代入整式方程得： 2 m =1 ，
解得： m =1，
故答案为：1
（3）解：去分母，可得
m(y 2) + 3(y 1) =1，
把 y =1代入，可得
m(1 2) + 3(1 1) =1，
解得 m = 1，
故答案为： 1．
练 2-2
x 2 m
（1）（★★★★☆）（2014 浦东校级月考）若关于 x 的方程 = + 2 无解，则 m 的值
x 3 x 3
为________．
13
m 2
（2）（★★★★☆）（2018 嘉定区期末）如果关于 x 的分式方程 =1无解，求字母 m
x +1
的值；
【配题说明】考点二：只增根情况的无解问题
【常规讲解】
x 2 m
（1）解： = + 2
x 3 x 3
去分母得： x 2 = m + 2(x 3) ，
整理得： x = 4 m ，
原方程无解，得到 x 3 = 0 ，即 x = 3，
4 m = 3，解得 m =1．
故答案为：1
（2）解： 两边乘以 x +1，得： m 2 = x +1，
由题意知 x = 1，代入得 m 2 = 0，
则 m = 2．
练 2-3
x 3a
（1）（★★★★★）若关于 x 的分式方程 + = 2a 无解，求 a 的值．
x 3 3 x
2m + x 2
（2）（★★★★★）若关于 x 的分式方程 1= 无解，求 m 的值．
x 3 x
【配题说明】考点三：分式方程无解存在性问题
【常规讲解】
（1）解：去分母得： x 3a = 2a(x 3) ，
整理得： (1 2a)x = 3a ，
1
当1 2a = 0 时，方程无解，故 a = ；
2
3a
当1 2a 0 时， x = = 3 时，分式方程无解，则 a =1，
1 2a
x 3a 1
故关于 x 的分式方程 + = 2a 无解，则 a 的值为：1 或 ．
x 3 3 x 2
（2）解：去分母得： 2mx + x2 x2 + 3x = 2x 6 ，即 (2m +1)x + 6 = 0 ，
当 2m +1= 0 ，即 m = 0.5 时，方程无解；
当 2m +1 0 ，即 m 0.5 时，由分式方程无解，得到 x = 0 或 x = 3，
14
把 x = 0 代入整式方程得： m 无解；把 x = 3代入整式方程得： 6m + 9 = 0 ，
解得： m = 1.5 ，
综上， m 的值为 1.5 或 0.5 ．
知识点 3——
知识笔
1、
a0 =1(a 0) ；
2、
1
a p = (其中 a 0，p 是自然数) ；
a p
3、 学 0 1的 的方
n
绝对值大于 0 而小于 1 的数等于 a 10 ( 其中1 a 10，n 为正整数)．
经典例
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2021 春 静安二模）下列运算正确的是 ( )
1 2 1 0 1 1 1 1
A． ( ) = 4 B． ( ) = C． ( )
0 =1 D． ( )
2 =
2 2 2 2 2 4
（2）（★★☆☆☆）（2020 秋 宝山区期末）将 2a2 (a b) 1写成只含有正整数指数幂的形式，
其结果为______．
1 2
（3）（★★★☆☆）（2020 秋 浦东新区期末）若 0a = 3 2 ， b = ( ) ， c = ( 0.3) ，则 a ，
3
b ， c 的大小关系是 ( )
A． a b c B．b c a C． c b a D． a c b
15
【配题说明】
（1）考点一：整式指数幂的运算判断
（2）考点二：整式指数幂与分式形式的互化
（3）考点三：整数指数幂的大小比较
【常规讲解】
1
( ) 2（1）解： A 、 = 4 ，故此选项错误；
2
1 0
B 、 ( ) =1，故原式计算错误；
2
1
C 、 ( )
0 =1，正确；
2
1 2
D 、 ( ) = 4 ，故此选项错误；
2
故选：C ．
2
（2）解： 2a2
1 2a
(a b) 1 = 2a2 = ，
a b a b
2a2
故答案为： ．
a b
2 1 1
（3）解： a = 3 = ，b = ( )
2 = 9 ， c = ( 0.3)0 =1，
9 3
a c b ．
故选： D ．
例 2
x 1 + y 1
（★★★☆☆）（2020 秋 奉贤区期末）计算：
x 1 1
．
y
【配题说明】考点四：整数指数幂的化简计算
【常规讲解】
1 1
+
x y
解：原式 =
1 1
x y
y x
+
xy xy y + x
= = ．
y x y x
xy xy
16
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）（2020 秋 静安区期末）如果 a 0 ，那么下列计算正确的是 ( )
A． ( a)0 = 0 B． ( a)0 = 1 C． a0 =1 D． a0 = 1
（2）（★★☆☆☆）（2020 秋 松江区期末）将5x 3 y2 写成只含有正整数指数幂的形式是：
__________．
3 2
（3）（★★★☆☆）（2019 秋 宝山区期末）将下列各式： 42 、0.2 2 和 ( ) ，按从小到大的
5
顺序排列结果是______________．
【配题说明】
（1）考点一：整式指数幂的运算判断
（2）考点二：整式指数幂与分式形式的互化
（3）考点三：整数指数幂的大小比较
【常规讲解】
（1）解： ( a)0 =1，
选项 A 不符合题意；
( a)0 =1，
选项 B 不符合题意；
a0 = 1，
选项C 不符合题意；
a0 = 1，
选项 D 符合题意．
故选： D ．
2
（ ）解： 5x 3 y2
5y
2 = ．
x3
5y2
故答案为： ．
x3
（3）解： 42 = 16 ，
0.2 2 = 25 ，
17
3 2 9( ) = ，
5 25
9
16 25 ，
25
42
3
( )2 0.2 2 ，
5
42
3
( )2故答案为： 0.2
2
．
5
练 3-2
（★★★☆☆）（2008 秋 徐汇区期末）计算： (x 1 + y 1) (x 1 y 1)
【配题说明】考点四：整数指数幂的化简计算
【常规讲解】
解： (x 1 + y 1) (x 1 y 1)
1 1 1 1
= ( + )( )
x y x y
y + x y x
=
xy xy
y + x y x
=
xy xy
y + x
= ．
y x
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列关于 x 的方程是分式方程的为 ( )
3+ x 2 + x 1 2 x 2 x 2x 1 x
A． x = B． =1 C． +1= D． =
2 5 2 + x x 3 7 2
【配题说明】分式方程的概念
【常规讲解】
解： A 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B 、方程分母中含未知数 x ，故是分式方程；
18
C 、方程分母中不含表示未知数的字母， 是常数；
D 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选： B ．
练 2
7 3 4
（1）（★★★☆☆）（2019 秋 嘉定区期末）解方程： + = ．
x2 + x x2 x x2 1
1 x 2
（2）（★★★☆☆）（2018 秋 静安区期末）解方程： +1=
x x2 + x
1 2 2
（3）（★★★☆☆）（2017 秋 嘉定区期末）解方程： + =
x x x2 x 1
【配题说明】分式方程解法
【常规讲解】
（1）解：方程两边同乘以 x(x +1)(x 1) 得： 7(x 1) + 3(x +1) = 4x ，
去括号得： 7x 7 + 3x + 3 = 4x ，
整理得： 6x = 4 ，
2
解得： x = ，
3
2
经检验 x = 是原方程的解．
3
（2）解：去分母得： (x +1)(1 x) + x2 + x = 2 ，
移项合并得：1+ x = 2 ，
解得： x =1，
经检验 x =是分式方程的解．
（3）解：去分母得： x 1 2 = 2x ，
解得： x = 3，
经检验 x = 3是分式方程的解．
练 3
x 2k
（1）（★★★☆☆）已知关于 x 的分式方程 3 = 的的解为正数，则 k 的取值范围为
x 1 x 1
_________．
19
x 1 m
（2）（★★★☆☆）若关于 x 的方程 = 3 的解为正数，则 m 的取值范围为
x 2 2 x
___________．
2 k 3x
（3）（★★★★☆）（2018 崇明区期末）如果方程 + = 会产生增根，那么 k =
x 2 2 x x 2
_______．
x +1 x kx + 2
（4）（★★★★☆）（2019 浦东新区校级月考）如果在解关于 x 的方程 =
x + 2 x 1 x2 + x 2
时产生了增根，那么 k 的值为________．
【配题说明】分式方程正负数解问题
【常规讲解】
（1）解：去分母，得 x 3(x 1) = 2k ，
3 2k
解得 x = ．
2
分式方程的解为正数，
3 2k 3 2k
0 且 1．
2 2
3 1
解得， k 且 k ．
2 2
3 1
故答案为： k 且 k ．
2 2
（2）解：去分母得： x 1= 3(x 2) +m ，
去括号得： x 1= 3x 6 +m ，
移项合并得： 2x = m 5，
m 5
解得： x = ，
2
m 5 m 5
由分式方程的解为正数，得到 0 且 2 ，
2 2
解得： m 5 且 m 1 ．
故答案为： m 5 且 m 1 ．
2 k 3x
（3）解：方程 + =
x 2 2 x x 2
方程两边同时乘以 (x 2) ，得
2 k = 3x
2 k
x =
3
20
分式方程有增根
2 k
x = 2 ，即 x = = 2
3
解得 k = 4
故答案是 4 ．
x +1 x kx + 2
（4）解：原方程变形为 = ，
x + 2 x 1 (x 1)(x + 2)
方程去分母后得： (x 1)(x +1) x(x + 2) = kx + 2 ，
整理得： (k + 2)x = 3 ，分以下两种情况：
令 x =1， k + 2 = 3 ， k = 5 ；
1
令 x = 2 ， 2(k + 2) = 3， k = ，
2
当 k = 2 时，整式方程 (k + 2)x = 3 无解， k = 2 舍去；
1
综上所述， k 的值为 5 或 ．
2
1
故答案为： 5 或 ．
2
练 4
xy2
（1）（★★☆☆☆）（2019 秋 浦东新区期末）将 5 写成不含分母的形式：3(x + y)
_______________．
（2）（★★☆☆☆）（2019 秋 闵行区期末）将代数式 2 1 x 3 y2 化为只含有正整数指数幂的形
式_______________．
x 1 + y 1
（3）（★★★☆☆）（2009 秋 静安区期末）计算：
1 x 1 y 1
（结果不含负整数指数幂）．
【配题说明】整数指数幂的化简计算
【常规讲解】
xy2 1 2
（1）解： = 3 xy (x + y)
5
5 ． 3(x + y)
故答案为：3 1 xy2 (x + y) 5 ．
y2
（2）解：原式 = ，
2x3
y2
故答案为：
2x3
21
(x 1 + y 1)xy
（3）解：原式 =
(1 x 1 y 1)xy
x + y
= ．
xy 1
【B组】
练 1
x2 x + 3 x2 + x + 2
（1）（★★★★☆）（2018 秋 杨浦区校级期末）解方程： =
x2 x 1 x2 + x 2
x + 7 x + 9 x +10 x + 6
（2）（★★★★☆）解方程： + = + ；
x + 6 x + 8 x + 9 x + 5
【配题说明】分式方程正负数解问题
【常规讲解】
4 4 4 4
（1）解：方程整理得：1 =1 2 ，即 = ， x x 1 x2 + x 2 x2 x 1 x2 + x 2
可得 x2 x 1= x2 + x 2 ，
1
解得： x = ，
2
1
经检验 x = 是分式方程的解．
2
x + 9 x +10 x + 6 x + 7
（2）原方程移项得： = ，
x + 8 x + 9 x + 5 x + 6
1 1
两边同时通分整理得： =
x2
．
+17x + 72 x2 +11x + 30
两个分式分子相同，分式值相同，则分式分母相同，
x2 +17x + 72 = x2 +11x + 30．
解得： x = 7 ．
经检验， x = 7 是原方程的解．
练 2
2 mx 1
（★★★★★） + = ，若方程无解，求 m 的值．
x 1 (x 1)(x + 2) x + 2
【配题说明】分式方程无解题型
【常规讲解】
22
2 mx 1
解： + = ，
x 1 (x 1)(x + 2) x + 2
方程两边同时乘以 (x + 2)(x 1) 得： 2(x + 2) +mx = x 1，
整理得： (m +1)x = 5 ，
当 m +1= 0 时，该方程无解，此时 m = 1；
当 m +1 0 时，若方程无解，则原方程有增根，
原分式方程有增根，
(x + 2)(x 1) = 0，
解得： x = 2 或 x =1，
3
当 x = 2 时， m = ；当 x =1时， m = 6 ，
2
3
m 的值为 1或 6 或 ．
2
练 3
x2016 + x 2016 + 2
（★★★★★）已知 x + x 1 = 2 ，求 的值．
x2015 + x 2015
【配题说明】分式运算与规律总结综合
【常规讲解】
x2 + x 2 = (x + x 1 )2 2 = 2 ；
x3 + x 3 = (x + x 1)3 3x x 1(x + x 1 )= 23 3 2 = 2 ；
x4 + x 4 = (x2 2+ x 2 ) 2 = 2 ，
x5 + x 5 = (x2 + x 2 )(x3 + x 3 ) (x + x 1 )= 2
x6 + x 6 = (x3 + x 3 )2 2x x 3 = 4 2 = 2 ，
找出规律可得： x2015 + x 2015 = 2 ， x2016 + x 2016 = 2 ，
x2016 + x 2016 + 2 2 + 2
所以 = = 2 ．
x2015 + x 2015 2
2303 | 整式的乘法
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与单项式相乘法的法则及其运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与多项式相乘法的法则及其运算
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 掌握多项式与多项式相乘法的法则及其运算
知识清单
单 式乘单 式 单 式与单 式 乘的法
整式的乘法 单 式乘 式 单 式与 式 乘法
式乘 式 式与 式 乘的法
28
知识点 1——单 式乘单 式
知识笔记
单 式与单 式 乘的法
单项式与单项式相乘，把它们的__________、____________________分别相乘的积作为积
的因式，其余字母连同它的指数不变，也作 为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“______________________________”
的顺序进行．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）在下列运算中，计算正确的是 ( )
A． x3 + x3 = x6 B． x2 x3 = x6 C． 2
3 3
2x 3x = 6x3 D． (2x) = 6x
（2）（★★☆☆☆）计算： 2a2b ( 3a3b2 ) =___________．
（3）（★★☆☆☆）用科学记数法表示计算结果： (3.5 103) ( 4 105) = ____________．
例 2
3 2 1 3
（1）（★★☆☆☆）计算：10a ( ab) 4a ( b) + 8ab ( a) ．
5 2 4
（2）（★★☆☆☆）计算： (2x3 x5 )2 + ( x)2 ( x2 )3 (x2 )4 .
29
例 3
（★★★☆☆）已知单项式5x2m y7 与 6xn+1y3n m 是同类项，求这两个单项式的积．
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）下列运算正确的是 ( )
A． b5 b5 = 2b5 B． m2 m3 = m5 C． x2 + x2 = x4 D． a b2 = a2b
（2）（★★☆☆☆）计算： 2a2 a5 + a(a3)2 = ________．
（3）（★★☆☆☆）把 (2 109 ) (8 103) 的结果用科学记数法表示为________．
练 1-2
1
x2 y3 2x2（1）（★★☆☆☆）计算： y
4 + ( 3xy2 ) xy ．
6
2 3 1 2 4 2 5
（2）（★★☆☆☆）计算： ( 3a b) ( a ) ( b ) ．
2
练 1-3
（★★★☆☆）如果单项式 3ma 2bn2a+b 与 m3n8b 是同类项，那么这两个单项式的积是 ( )
A． 3m6n16 B． 3m6n32 C． 3m3n8 D． 9m6n16
30
知识点 2——单 式乘 式
知识笔记
单 式与 式 乘法
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式 的每一项，再把所得的积相加．
例如： m (a + b + c) =______________________．
经典例题
例 1
6a2
1
( ab b2 ) 2a2（1）（★★☆☆☆）计算： b(a b) ．
3
4
（2）（★★☆☆☆）计算： (x 2y)( xy
2 ) ．
3
2 2 1
（3）（★★☆☆☆）计算： 2x( x + 3x 4) 3x ( x +1) .
2
31
例 2
（★★★☆☆）已知： (m x)( x) (x +m)( n) = 5x + x2 6 对任意的有理数 x 都成立，求
m(n 1) + n(m +1) 的值．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）计算： ( 2xy)2 (3xy2 ) 3x(4x2 y4 xy2 ) .
1 2 3 2 8
（2）（★★☆☆☆）计算： ( x y) (4x xy + 2y) ．
2 3
3 3 2 2 2
（3）（★★☆☆☆）计算： 4a ( ab b ) 5a b(2a 3ab +1) .
2
练 2-2
（★★★☆☆）已知 a(x2 + x c) + b(2x2 x 2) = 7x2 + 4x + 3 ，求 a 、 b 、 c 的值．
32
知识点 3—— 式乘 式
知识笔记
式与 式 乘的法
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加．
用公式表示为： (m + n)(a + b) =_______________________________．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）计算： (2x 3)(3x2 2x +1) ．
（2）（★★☆☆☆）解不等式： (x 4)(6x + 7) (3x 2)(2x + 5) + 2 ，并求满足条件的最大整
数解．
例 2
（1）（★★★☆☆）如果关于 x 的多项式 2x + a 与 x2 bx 2 的乘积展开式中没有二次项，且
常数项为 10，求 a + 2b 的值．
33
（2）（★★★☆☆）在 (x2 + ax + b)(2x3 3x 1) 的积中，x3 的系数为 5 ，x2 的系数为 6 ，求
a、b ．
例 3
（★★★★☆）欢欢与乐乐两人共同计算 (2x + a)(3x + b) ，欢欢抄错为 (2x a)(3x + b) ，得到
的结果为 6x2 13x + 6 ；乐乐抄错为 (2x + a)(x + b) ，得到的结果为 2x2 x 6 ．
（1）式子中的 a、b 的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）计算： (x y)(x2 + xy + y2 ) .
（2）（★★☆☆☆）解不等式： 2x(3x 5) (2x 3)(3x + 4) 3(x + 4) ．
34
练 3-2
（1）（★★★☆☆）若 (x2 + ax +8)(x2 3x + b) 的乘积中不含 x2 和 x3 项，求 a ，b 的值．
（2）（★★★☆☆）若两个多项式 (x2 ax + b) 与 (x2 3x) 的乘积中不含二次项和三次项，求
a、b 的值．
练 3-3
（★★★★☆）小明在做多项式乘法的时候发现，两个多项式相乘在合并同类项后的结果存在
缺项的可能．比如 x + 2 和 x 2 相乘的结果为 x2 4 ， x 的一次项没有了．
（1）请计算 x2 + 2x + 3与 x 2 相乘后的结果，并观察 x 的几次项没有了？
（2）请想一下， x2 + 2x + 3与 x + a 相乘后的结果可不可能让一次项消失，如果可能，那么
a 应该是多少呢？
35
综合练习
【A组】
练 1
1 2 3
（1）（★★☆☆☆）计算： ( x y) ( 3xy
2 )2 =_________．
2
（2）（★★☆☆☆）计算： ( 2a)2 a3 = _________．
（3）（★★☆☆☆）一个长方体的长为8 105 cm ，宽为5 106 cm ，高为9 108 cm ，求长方体
的体积．
练 2
5 1
（1）（★★☆☆☆）计算： ( x
3 y) ( 3xy2 )3 ( x)2 ．
9 2
1 3 2 1
（2）（★★☆☆☆）计算： a b ( ab)
3 ( a)2 (ab)4 .
2 3 3
练 3
（1）（★★☆☆☆）计算： 2x2 x(2x 5y) + y(2x y) ．
36
2 5 1 5 1
（2）（★★☆☆☆）计算： 2x( x + 3x 4) (x ) (x ) .
2 2 2 2
练 4
（★★★☆☆）已知多项式 x2 mx + n 与 x 2 的乘积中不含有 x 的一次项和二次项，求 mn 的
值．
【B组】
练 1
（★★★★☆）已知：x + y + z = a、xy + yz + zx = b、xyz = c ，用含字母 a、b、c 的代数式表示
(x 1)(y 1)(z 1) ．
练 2
（★★★★☆）已知 x2 x = 5，求 (x 2)
2 (x + 5)(x 5) + (2x 1)(x + 2) (x 6) 的值．
37
练 3
（ ★★★★☆ ） 已 知 ： a、b、c、d 均 为 正 数 ， 比 较 x = (a + b + c)(b + c + d ) 与
y = (a + b + c + d )(b + c) 的大小．
课堂总结
3802 | 幂的运算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练通过幂的三个运算法则进行计算
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 综合运用幂的三个运算法则解决相关问题
知识清单
幂的
幂 的运算 幂 的 运算
幂的运算 的
幂的运算
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.9 整数指数幂的概念和运算
2. 主要考察同底数幂乘法和幂的乘方运算。这个部分知识主要以计算解答题的形式对学生
进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.7 同底数幂的乘法；9.8 幂的乘方 9.9 积的乘方
4. 本节课幂的运算主要分为三部分，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方．需要掌握三
种运算的法则，重点是能够熟练地进行同底数幂的乘法，乘方和积的乘方以及加减的混合运
算，难点是要灵活运用运算法则处理综合问题．
1
课堂引入
引入方向：
问题：一种电子计算机每秒可进行1012 次运算，它工作103 秒可进行多少次运算？
上面问题中
（1）这个积中的两个因式有何特点？
（2）式子1012 103 的意义是什么？
引出本课内容：这节课我们就来学习像1012 103 这样的同底数幂的乘法运算。为此我们先
来复习“乘方的意义”。
an 表示的意义是什么？其中 a， nn， a 分别叫做什么？
答案：a 叫做底数、n 叫做指数、 an 叫做幂
2
知识点 1——幂的运算
知识笔记
1. 幂的
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
即：________________________________．
2. 幂的 运算
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即：________________________________．
3. 的
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
即：（ n 是正整数）
【填空答案】
1、 am an = am+n （m、n 都是正整数）
2、 (am )n = amn （m、n 都是正整数）
n
3、 (ab) = anbn （n 是正整数）
3
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 浦东新区期中） (a b)2 (b a)3 (b a) （结果用幂的形式表示）
（2）（★★☆☆☆）（2020 浦东新区期中）计算： m2 m4 + ( 2m2 )3 ( m)6 ．
（3）（★★★☆☆）（2019 闵行区校级月考）计算： ( x)3 x5 + (2x4 )2 ．
【配题说明】（1）本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（2）此题主要考查了幂的乘方、积的乘方，关键是掌握整式的各运算法则．
（3）此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项运算，正确掌握相关运算法则是解题关
键．
【常规讲解】
（1）解： (a b)2 (b a)3 (b a)
= (b a)2 (b a)3 (b a)
= (b a)2+3+1
= (b a)6 ．
（2）解：原式 = m6 8m6 m6 = 8m6 ．
（3）解：原式 = x8 + 4x8
= 3x8 ．
例 2
（★★★☆☆）简便计算：
11 11 12
2006 2006 7 3 3
（1） (0.2) ( 5) ； （2） 1
9 8 2
【配题说明】考察幂的简便运算
【常规讲解】
2006 2006
（1）原式= 0.2 ( 5) = 1 =1
11 11 11 11
16 3 3 3 16 3 3 3 11 3 3
（2）原式= = = ( 1) =
9 8 2 2 9 8 2 2 2 2
4
例 3
（1）（★★★☆☆）（2019 闵行区校级月考）已知 22 22m 1 23 m =128 ，求 m 的值．
（2）（★★★☆☆）（2019 青浦区校级月考）已知 (xm 1yn+1)3 = x6 y9 ，求 nm 的值．
（3）（★★★★☆）已知33x+5 27x+1 = 648 ，求 x 的值．
【配题说明】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
（2）本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． (ab)n = anbn ．
（3）同底数幂的加法运算
【常规讲解】
（1）解： 22 22m 1 23 m =128 = 27 ，
2 + 2m 1+ 3 m = 7 ，
解得： m = 3 ．
（2）解： (xm 1yn+1)3 = x6 y9 ，
3(m 1) = 6 ， 3(n +1) = 9 ，
解得 m = 3 ， n = 2 ，
nm = 23 = 8 ．
（3） 33x+3 9 33x+3 = 648
33x+3 8 = 648
33x+3 = 81= 34
1
x =
3
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）（2019 闵行区校级月考）计算： (a b)3 (b a)3 + [2(a b)2 ]3 ．
（2）（★★☆☆☆）（2019 青浦区校级月考）计算： ( 2x2 )3 + ( 3x3)2 + ( x)6 ．
（3）（★★★☆☆）（2017 闵行区校级月考）计算： 2a + 3a + a2 a3 + ( a3)2 + ( 2a2 )3
【配题说明】（1）本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（2）本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． (ab)n = anbn ．
5
（3）此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、积的乘方运算，正确掌握相关
运算法则是解题关键．
【常规讲解】
（1）解：原式 = (a b)6 + 8(a b)6
= 7(a b)6
（2）解：原式 = 8x6 + 9x6 + x6
= 2x6 ．
（3）解： 2a + 3a + a2 a3 + ( a3)2 + ( 2a2 )3
= 2a + 3a + a5 + a6 8a6
= 5a + a5 7a6 ．
练 1-2
（★★★☆☆）用简便方法计算：
8 1
（1）[( 6) ( )
8 ]5 ；
6
（2） ( 8)2008 ( 0.125)2000 ．
1 1 1 1
（3） ( 1)
10 (1 2 3 9 10)10 ．
10 9 8 2
【配题说明】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【常规讲解】
1
解：（1）原式 = [( 6 )
8 ]5 = [( 1)8 ]5 =15 =1 ；
6
2008 1 2008 1 2 1 1 1 1 1
（2）原式 = 8 ( ) ( ) = (8 )
2008 =12008 =1 = ．
8 8 8 64 64 64 64
1 1 1 1
（3）解：原式 = ( 11 2 3 9 10)
10
10 9 8 2
1 1 1 1
= ( 10 9 8 2 1 1)10
10 9 8 2
=1．
6
练 1-3
（1）（★★★☆☆）（2017 浦东新区月考）已知 xa+b
b 3
x2b a = x9 ，求 ( 3) + ( 3) ．
（2）（★★★☆☆）（2017 闵行区校级月考）解方程： 3x 92x = 910
（3）（★★★★☆）（2019 浦东新区校级月考）已知 22x 1 22x 3 = 96 ，求 x 的值．
【配题说明】
（1）此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则．
（2）本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答
本题的关键．
（3）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
(am )n = amn (m ， n 是正整数）；② (ab)n = anbn (n 是正整数）．
【常规讲解】
（1）解： xa+b x2b a = x9 ，
a + b + 2b a = 9 ，
解得：b = 3 ，
( 3)b + ( 3)3 = ( 3)3 + ( 3)3 = 27 27 = 54 ．
（2）解： 3x 92x = 910 ，
3x 34x = 320 ，
x + 4x = 20 ，
解得 x = 4 ．
（3）解： 22x 1 22x 3 = 96 ，
22 22x 3 22x 3 = 96，
3 22x 3 = 96 ，
22x 3 = 32 = 25 ，
2x 3 = 5 ，
解得 x = 4 ．
7
知识点 2——幂的运算
经典例题
例 1
m 1a = x + 2y am+1
1
（★★★☆☆）（2019 普陀区月考）已知： ； = x
2 + 4y2 xy ，求 a2m+1 ．
2 4
【配题说明】此题主要考查了同底数幂的乘法和多项式乘以多项式，关键是掌握计算法则．
【常规讲解】
解： a2m+1 = am am+1 ，
1 1
= ( x + 2y) ( x2 + 4y2 xy) ，
2 4
1 3 1 1= x + 2xy2 x2 y + x2 y + 8y3 2xy2 ，
8 2 2
1
= x3 + 8y3 ．
8
例 2
（★★★☆☆）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较 322 和 411 的大小．
解： 411 = (22 )11 = 222 ，且3 2
322 222 ，即322 411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较 28 和82 的大小
解： 82 = (23 )2 = 26 ，且8 6
8 8 2 2 26 ，即 2 8
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较 344 、 433 、 522 的大小
（2）比较8131 、 2741 、 961 的大小
（3）已知 a2 = 2 ，b3 = 3，比较 a 、b 的大小
（4）比较 312 510 与310 512 的大小
8
【配题说明】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理
数大小的比较方法．
【常规讲解】
解；（1） 344 = (34 )11 = 8111 ，
433 = (43)11 = 6411 ，
522 = (52 )11 = 2511 ，
81 64 25 ，
8111 6411 2511 ，
即 344 433 522 ；
（2） 8131 = (34 )31 = 3124 ，
2741 = (33)41 = 3123 ，
961 = (32 )61 = 3122 ，
124 123 122 ，
3124 3123 3122 ，
即8131 2741 961 ；
（3） a2 = 2 ，b3 = 3，
a6 = 8， b6 = 9 ，
8 9 ，
a6 b6 ，
a b ；
（4） 312 510 = (3 5)10 32 ，
310 512 = (3 5)10 52 ，
又 32 52 ，
312 510 310 512 ．
9
例 3
（1）（★★★★☆）已知 2x = 4 ， 2 y =12 ， 2z = 24 ，那么 x 、 y 、 z 之间满足的等量关系是
______________．
（2）（★★★★☆）已知： x = 2n + 3， y = 4
n + 5 ，用含字母 x 的代数式表示 y ．
（3）（★★★★☆）试判断 20001999 +19992000 的末位数.
【配题说明】（1）本题考查了同底数幂的乘法，能正确根据同底数幂的乘法是解此题的关键，
注意： am an = am+n ．
（2）本题考查了幂的乘方与积的乘方，把已知化成要求的形式是解题关键．
【常规讲解】
（1）解： 2x = 4 ， 2 y =12 ， 2z = 24 ，
2x 2y = 4 12 = 48 ， 2 2z = 2 24 = 48 ，
2x+ y = 2z+1 ，
x + y = z +1 ．
故答案为： x + y = z +1．
（2）解： x = 2n + 3 ，
2n = x 3 ，
y = 4n + 5 = (2n )2 + 5 = (x 3)2 + 5 = x2 6x +14 ，
即 y = x2 6x +14 ．
1000
（3）20001999 的末位数字是 1， 200019992 =1999 1999的末位数字是 1，所以1999 = (1999 2 )
的末位数字是 1，所以 20001999 +19992000 的末位数字是 1.
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）（2019 静安区月考）已知： 2x = a ， 2y = b ，用 a ，b 分别表示：
（1） 2x+ y 的值；
（2） 23x+2 y 的值．
【配题说明】此题主要考查了同底数幂的乘法和多项式乘以多项式，关键是掌握计算法则．
10
【常规讲解】
解：（1） 2x = a ， 2y = b ，
2x+ y = 2x 2y = ab ；
（2） 2x = a ， 2y = b ，
23x+2 y = (2x )3 (2y )2 = a3b2 ．
练 2-2
（1）（★★★☆☆）（2017 春 闵行区校级期末）试比较 55 、3442 、433 的大小：______ ______
______．
（2）（★★★☆☆）已知 44A = 255 ，B = 3 ，C = 433 ，D = 522 ，试比较 A、B、C、D 的大小（用
“ ”连接）____________________．
【配题说明】（1）考查了幂的乘方与积的乘方，关键是将各个数变为同指数幂的形式．
（2）此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）解： 255 = 3211 ，
344 = 8111 ，
433 = 6411 ，
32 64 81，
255 433 344 ．
故答案为： 255 ， 44433 ， 3 ．
（ 2 ） 解 ： A = 255 = (25 )11 = 3211 ， B = 344 = (34 )11 = 8111 ， C = 433 = (43)11 = 6411 ，
D = 522 = (52 )11 = 2511 ，
B C A D ，
故答案为： B C A D
练 2-3
（1）（★★★★☆）已知 2a = 5 ，2b =10 ，2c =100 ，那么 a 、b 、c 之间满足的等量关系是
__________．
（2）（★★★★☆）已知 x = 3m + 2 ， y = 9
m + 3m ，试用含 x 的代数式表示 y ．
11
（3）（★★★★☆）试判断 22005 + 72005 的末位数.
【配题说明】（1）本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，
指数相乘；积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．
（2）本题考查了幂的乘方与积的乘方，把已知化成要求的形式是解题关键．
【常规讲解】
（1）解： 100 = 2 5 10，
2c = 2 2a 2b = 21+a+b ，
则 c =1+ a + b ，
故答案为： c =1+ a + b ．
（2）解： x = 3m + 2 ，
3m = x 2 ，
y = 9m + 3m = (3m )2 + 3m ，
y = (x 2)2 + (x 2) ，
即 y = x2 3x + 2 ．
501 501 501
（3）22005 = 2 22004 = 2 (24 ) ，(24 ) =16501 的末位数字是 6，所以 2 (24 ) 的末位数字是
2.
501 501 501
72005 =7 72004 =7 (74 ) ， (74 ) =2401501 的末位数字是 1，所以 7 (74 ) 的末位数字是 7，
所以 22005 + 72005 的末位数字是 9
12
练习
【A组】
练 1
（★★★☆☆）（2017 浦东新区校级月考）已知： x2a+b x3a b xa = x12 ，求 a100 + 2101 的值．
【配题说明】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【常规讲解】
解： x2a+b x3a b xa = x12 ，
2a + b + 3a b + a =12 ，
解得： a = 2 ，
当 a = 2 时，
a100 + 2101 = 2100 + 2101 = 1 2100 + 2100 2 = 2100 ( 1+ 2) = 2100 ．
练 2
（1）（★★★☆☆）（2017 杨浦区校级月考）已知3x+1 2x 3x 2x+1 = 63x+4 ，求 x ．
（2）（★★★☆☆）（2019 长宁区校级月考）若 am = 5 ， an = 2 ，求 a2m+3n 值．
【配题说明】（1）本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方法则：
底数不变，指数相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（2）此题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是掌握计算法则，并能熟练应用．
【常规讲解】
（1）解： 3x+1 2x 3x 2x+1 = 63x+4 ，
3 3x 2x 2 3x 2x = 63x+4 ，
3 6x 2 6x = 63x+4 ，
6x = 63x+4 ，
则 x = 3x + 4 ，
解得： x = 2 ．
（2）解： am = 5 ， an = 2 ，
a2m+3n = a2m a3n = (am )2 (an )3 = 52 23 = 200．
13
练 3
（★★★☆☆）化简：
2
（1） ( a)－b2 ( b2 ) ；
1
（2） 9x2－ 7(x2－y)- x2－y -1 ( ) ； 2
（3） (3xn＋2 +10xn 7x) (x 9xn＋2 10xn )；
ab 3a2（4） b (4ab2 + ab) 4a2b + 3a2b ．
【配题说明】本题主要考查了幂的基本运算法则
【常规讲解】（1）原式= a2 b2 b2 = a2 2b2 ；
2 2 1 2 1
（2）原式= 9x 6(x y) +1 = 3x + 6y + ；
2 2
（3）原式= 3xn+2 +10xn 7x x + 9xn+2 +10xn =12xn+2 + 20xn 8x ；
2 2 2 2 2
（4）原式= ab ( a b 4ab ab) + 3a b = 4ab + 2ab + 4a b ．
练 4
（1）（★★★★☆）若 x = 2m +1， y = 3+ 4
m ，用 x 的代数式表示 y ．
（2）（★★★★☆）若 x = 2m+1 ， y = 3+ 4
m ，用 x 的代数式表示 y ．
【配题说明】本题主要考查了幂的乘方以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【常规讲解】
解：（1） x = 2m +1，
2m = x 1
y = 3+ 4m = 3+ (2m )2 = 3+ (x 1)2 = 3+ x2 2x +1= x2 2x + 4 ；
（2） x = 2m+1，
x
2m = ，
2
x x2 12 + x2
y = 3+ 4m = 3+ (2m )2 = 3+ ( )2 = 3+ = ．
2 4 4
14
【B组】
练 1
（★★★★☆）请阅读材料：
①一般地， n 个相同的因数 a 相乘：记为 an ，如 23 = 8，此时，指数 3 叫做以 2 为底 8 的对
数，记为 log 82 log = 3 （即 log
8
2 = 3) ．
②一般地，若 an = b(a 0 且 a 1，b 0) ，则指数 n 叫做以 a 为底b 的对数，记为 log ba （即
log ba = n) ，如3
4 = 81，则指数 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log
81
3 （即 log
81 = 4) ． 3
（1）计算下列各对数的值：
log2 4 = _____； log2 16 = _____； log2 64 = _____．
（2）观察（1）题中的三数 4、16、64 之间存在的关系式是_____，那么 log2 4 、 log2 16 、
log2 64 存在的关系式是_____．
（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log M + log N = _____ (a 0 且 a 1， M 0 ， N 0)a a
（4）请你运用幂的运算法则 am an = am+n 以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结
论．
【配题说明】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，本题是开放性的题目，难度较大．借考
查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运
算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
【常规讲解】解：（1） 22 = 4 ， log2 4 = 2 ，
24 =16 ， log2 16 = 4 ，
26 = 64 ， log2 64 = 6 ；
（2） 4 16 = 64 ， log2 4 + log2 16 = log2 64 ；
（3） loga M + loga N = loga (MN ) ；
（4）证明：设 loga M = x ， loga N = y ，
则 ax = M ， a y = N ，
MN = ax a y = ax+ y ，
x + y = loga (MN ) 即 loga M + loga N = loga (MN ) ．
故答案为：2，4，6．
15
练 2
（★★★★★）规定两数 a ，b 之间的一种运算，记作 (a,b) ，如果 ac = b ，则 (a,b) = c ．我们
叫 (a,b) 为“雅对”．
例如：因为 23 = 8，所以 (2,8) = 3 ．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 (3 ，3) + (3，5) = (3 ，
15) 成立．证明如下：
设 (3,3) = m ， (3,5) = n ，则3m = 3 ， 3n = 5，
故 3m 3n = 3m+n = 3 5 =15，
则 (3,15) = m + n ，
即 (3 ， 3) + (3， 5) = (3 ，15) ．
（1）根据上述规定，填空： (2,4) = ______； (5,1) = ______； (3,27) = ______．
（2）计算 (5 ， 2) + (5 ， 7) = ______，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明： (2n ， 3n ) = (2 ， 3) ，对于任意自然数 n 都成立．
【配题说明】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
【常规讲解】解：（1） 22 = 4 ，
(2,4) = 2；
50 =1，
(5,1) = 0 ；
33 = 27 ，
(3,27) = 3 ；
故答案为：2，0，3；
（2）设 (5,2) = x ， (5,7) = y ，
则 5x = 2 ， 5y = 7 ，
5x+ y = 5x 5y =14 ，
(5,14) = x + y ，
(5 ， 2) + (5 ， 7) = (5 ，14) ，
故答案为： (5,14) ；
（3）设 (2n ， 3n ) = x ，则 (2n )x = 3n ，即 (2x )n = 3n
所以 2x = 3 ，即 (2,3) = x ，
所以 (2n ， 3n ) = (2 ， 3) ．
1601 | 整式的运算
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解与整式有关的基本概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练进行整式的加减运算
知识清单
用 式 的
式
式的
式的 式 的方法
分式的综合运算
整式的运算
单 式
式
整式的基本
式的 幂 幂
整 式
的
合 法
整式的
法
整 式的 运算
3
知识点 1——用 式
知识笔记
1．
字母可以表示运算律；字母可以表示公式；字母可以表示数量关系或方程里的求知量；
字母可以表示探究得出规律的数．
2． 的
（1）数字与字母及字母与字母间的乘号_______，且数字要写在字母_______；
（2）当数字是带分数时，要写成_____________；
（3）除法运算中的除号要用___________来表示．
3． 式
（1）用运算符号和括号把____或________连结而成的式子叫做代数式．(这里的运算符
号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方)
（2）单独一个数字或者一个字母也是代数式．
（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式．
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）下列选项中，符合代数式书写格式的是 ( )
1
A．1 y2
a
B． (a + b) 2 C． x5 D．
2 3
4
2x y2
（2）（★★☆☆☆）代数式 用语言表述为 ( )
3
A． x 与 2 的积减去 y 平方与 3 的商
B． x 与 2 的积减去 y 的平方差除以 3
1
C． x 的 2 倍减去 y 的差的平方的
3
1
D． x 的 2 倍减去 y 平方的
3
（3）（★★☆☆☆）在以下各式中属于代数式的是 ( )
1 1 a + b
① S = ah ② a + b = b + a ③ a ④ ⑤0 ⑥ a + b ⑦
2 a ab
A．①②③④⑤⑥⑦ B．②③④⑤⑥ C．③④⑤⑥⑦ D．①②
（4）（★★★☆☆）某影院第一排有 20 个座位，每退一排就多 1 个座位，则第 n 排有座位
( )
A． (20 + n) 个 B． (21+ n) 个 C． (19 + n) 个 D． (18 + n) 个
例 2
（1）（★★★☆☆）研究下列算式，你发现什么规律了？试用公式表示这些规律.
（Ⅰ）1 3+1= 4 = 22 ， 2 4 +1= 9 = 32 ，3 5+1=16 = 42 ， 4 6 +1= 25 = 52 ，……
（Ⅱ）1=12 ，1+ 3 = 4 = 22 ，1+ 3+ 5 = 9 = 32 ，1+ 3+ 5+ 7 =16 = 42 ，……
（2）（★★★☆☆）观察如图一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图
中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点， 按此规律第 4 个图中共有点的个数比第 3
个图中共有点的个数多_______个；第 20 个图中共有点的个数为_______个．
5
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列式子中，符合代数式书写形式的是 ( )
1 3a2b
A． 2 xyz B．ba2c 5 C． D． a b c
3 4
(a + b)2
（2）（★★☆☆☆）代数式 的意义是 ( )
c
A． a 与b 的平方和除 c 的商 B． a 与b 的平方和除以 c 的商
C． a 与b 的和的平方除 c 的商 D． a 与b 的和的平方除以 c 的商
（3）（★★☆☆☆）下列各式中，代数式的个数有 ( )
5
9 ， x + y ， ， s = a2
x
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（4）（★★★☆☆）如果受季节影响，某种商品的原价为 100 元，按降价 a% 出售，那么该
商品的售价可表示为 ( )
100 100
A． B．100(1 a%) C． D．100(1+ a%)
1 a% 1+ a%
练 1-2
（1）（★★★☆☆）研究下列算式，你发现什么规律了？试用公式表示这些规律.
（Ⅰ）1 3 = 3 = 22 1， 3 5 =15 = 42 1，5 7 = 35 = 62 1， 7 9 = 63 = 82 1，……
（Ⅱ） 32 12 = 8 = 8 1，52 32 =16 = 8 2 ， 72 52 = 24 = 8 3 ，92 72 = 32 = 8 4 ，……
（2）（★★★☆☆）观察图中每个图形中点的个数， 第 1 个图中有 4 个点， 第 2 个图中有
9 个点，第 3 个图中有 16 个点， 若按其规律继续画， 第 6 个图中有______个点，猜
想第 n 个图形中所有点的个数为______（用含 n 的代数式表示）
6
知识点 2—— 式的
知识笔记
1． 式的
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的
值．
2． 式的 的方法
直接代入法；整体代入法．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）当 x = 2 时， 代数式 x2 + 2x +1的值等于_______．
（2）（★★★☆☆）如果 x2 3x =1 ，那么 2x2 6x 5 的值为_______．
例 2
（★★★★☆）已知： (2x +1)3 = ax3 + bx2 + cx + d ，那么代数式 a + b c + d 的值是 ( )
A． 1 B．1 C．27 D． 27
巩固练习
练 2-1
1 3a(a +1)
（1）（★★☆☆☆）当 a = 时，代数式 的值等于________．
2 2
（2）（★★★☆☆）若 a 3b = 3，则8 2a + 6b = ________．
7
练 2-2
（★★★★☆）已知 (x +1)2 (x2 7)3 = a0 + a1(x + 2) + a
2
2 (x + 2) + + a8 (x + 2)
8 ，
则 a1 a2 + a3 a4 + a5 a6 + a7 的值为多少？
知识点 3——整式的基本
知识笔记
1．单 式
由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也
是_________．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做
这个单项式的______．
2． 式
由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．
在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的
次数就是这个多项式的次数．
3． 式的 幂 幂
（1）把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这
个字母____________．
（2）把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这
个字母____________．
4．整式
单项式，多项式统称为整式．
8
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）下列说法正确的是 ( )
xy2
A． a2 + 2a + 32 是三次三项式 B． 的系数是 4
4
x 3
C． 的常数项是 3 D．0 是单项式
2
例 2
（★★☆☆☆）把多项式 x3 xy2 + x2 y + x4 3 按 x 的降幂排列，正确的是 ( )
A． x4 + x3 + x2 y 3 xy2 B． xy2 + x2 y + x4 + x3 3
C． 3 xy2 + x2 y + x3 + x4 D． x4 + x3 + x2 y xy2 3
例 3
（★★★☆☆）如果单项式 4a2bcm 为 7 次单项式，那么 m 的值为________．
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）下列说法中，正确的是 ( )
A． x 不是单项式
2 ab 2
B．单项式 的系数是
7 7
4
C． 是单项式
a
D．多项式 a2b2 2b3 +1是四次三项式
9
练 3-2
（★★☆☆☆）将多项式 x2 + 4x3 y 2y3 + 3xy2 按字母 x 降幂排列是：_____________．
练 3-3
4 3 1 k 5
（★★★☆☆）若 a b ab + 3 是五次多项式，则 k = ________．
5 3
知识点 4——整式的
知识笔记
1． 的
所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做_________．
2．合 法
（1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，
这个多项式就叫做几项式．
（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的
指数不变．
3． 法
括号前面是“ + ”号，去（添）掉“ + ”号和括号，括号里的各项符号不变；
括号前面是“ ”号，去（添）掉“ ”号和括号，括号里的各项变成相反符号．
4．整式的 运算
（1）去括号；（2）合并同类项．
10
经典例题
例 1
1 1 1
（★★★☆☆）单项式5a9bx y
4 2 2 4
与 3ax+ yb3 的和仍是单项式，求代数式 x x y + y 的值．
18 81 9
例 2
4 3 3 2 2 3 4 2 1
（1）（★★★☆☆）先化简，再求值： x x + x + 5x x + 3 ，其中 x = ．
3 7 3 7 2
（2）（★★★★☆）马小虎同学做一道数学题：“已知两个多项式 A 、 B ，试求 A + B ，其
中 B = 3a2 + 2a 5 ”．这位同学把“ A + B ”看成了“ A B ”，他求出的答案是5a2 6a + 6 ，
那么 A + B 的正确答案是多少？
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）若单项式 3x2 y5 与 2x1 a y3b 1 是同类项，求下面代数式的值：
5ab2 [6a2b 3(ab2 + 2a2b)] ．
11
练 4-2
1 1
（1）（★★★☆☆）先化简，再求值： 0.2y
2 1.3y2 + 0.3y2 + 0.8y2 y2 + 3 ，其中 y = ．
5 2
（2）（★★★★☆）小马虎在解数学题时，由于粗心，把原题“两个多项式 A 和 B ，其中
B = 4x2 5x 6 ”，在求“ A B ”时把“ A B ”错误地看成“ A + B ”，结果求出的答案
是 7x2 10x + 2 ，请你帮他纠错，正确的算出 A B ．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）设两数为 a、b ，那么代数式 a2 2ab + b2 表示 ( )
A．两个数和的平方减去这两个数乘积的 2 倍
B．两个数的平方和减去这两个数乘积的 2 倍
C．两个数的差的平方减去这两个数乘积的 2 倍
D．两个数的平方差减去这两个数乘积的 2 倍
（2）（★★★☆☆）（2018 杨浦区校级期末）某工厂第一个月的销量为 a 亿元，第二个月增
加了15% ，第三个月减少了15% ，则第三个月的销量与第一个月销量相比 ( )
A．不变 B．增加了 2.25% C．减少了 2.75% D．减少了 2.25%
12
练 2
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是 ( )
2vt
A． 的系数是 2 B．32 ab3 的次数是 6 次
3
x + y
C． 是多项式 D． x2 + x 1的常数项为 1
5
1 2
（2）（★★☆☆☆）当 x = 3时，代数式 x + 2x 1的值为________．
3
（3）（★★★☆☆）若 x2 2x = 5 ，那么代数式3x2 6x +1的值等于________．
练 3
（1）（★★★☆☆）先化简，再求值：5a2 [3a (2a 3) + 4a2 ]，其中 a = 2 ．
1 1
( a2b ab2 ) (1 ab2（2）（★★★☆☆）先化简，再求值： a
2b) ，其中 a = 3 ，b = 2 ．
2 4
（3）（★★★★☆）有这样一道题：“求 (2x3 3x2 y 2xy2 ) (x3 2xy2 + y3) + ( x3 + 3x2 y y3)
1 1 1
的值，其中 x = ， y = 1 ”．小明同学把“ x = ”错抄成了“ x = ”，但他
2021 2021 2021
的计算结果竟然正确，请你说明原因，并计算出正确结果．
13
【B组】
练 1
（★★★★☆）已知当 x =1时，3ax2 + bx + 5 的值为 28，则当 x = 3时 ax + bx 的值为________．
练 2
（★★★★★）现有一个代数式 x(x 1)(x 2)(x 3) (x 19)(x 20) ． x =10.5 时该数式的值
为 a ， x = 9.5时该代数式的值为b ．则 a + b = ______．
课堂总结
1412 | 分式的综合应用
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 熟练通过分式方程来解决实际问题
目标 2 ★★★★★★ 综合 综合掌握分式的应用
知识清单
分式 的应用 分式 的应用
分式的综合应用
分 式的综合应用
【考情分析】
1．分式方程应用的属于分式板块知识，在期中期末考试中，占 1%左右的分值
2．分式方程的应用常常通过应用题以解答题的形式对学生进行考察，而分式的综合应用则
会在填空/解答的最后一题进行考察，属于拉分题。
3．对应教材：
七年级上册 10.5 可化为一元一次方程的分式方程
4．理解分式方程及可化为一元一次方程的分式方程的意义．通过学习分式方程的解法，理
解分式方程的基本思想，重点知道解分式方程时可能产生增根的原因，掌握验根的方法．理
解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算法则，在用科学计算法表示绝对值较大的数
的基础上，学会用它表示绝对值小于1的数．
1
课堂引入
面对下列这类题，你知道要怎么去解吗？
（2017 秋 宝山区期末）小丽、小明练习打字，已知小丽比小明每分钟多打 80 个字，小丽打
3500 个字的时间与小明打 2500 个字的时间相同．
（1）小丽、小明每分钟分别可打多少字？
（2）如果有一份总字数为 m 的稿件需要输入电脑，小丽工作了 a 个小时后余下的输入工作
由小明继续完成，则小明还需要工作多少小时？（所得结果用含有 m 、a 的代数式表示；m 、
a 均为大于零的正数）
【配题说明】分式方程应用-一般应用
【常规讲解】
解：（1）设小明每分钟打 x 个字，则小丽每分钟打 (x + 80) 个字，
3500 2500
根据题意得 = ，
x + 80 x
解得： x = 200 ，
经检验： x = 200 是原方程的解．
x + 80 = 280 ，
答：小丽每分钟打 280 个字，小明每分钟打 200 个字；
m 280 60a m 16800a
（2）小明还需要工作 60 = 小时．
200 12000
2
知识点 1——分式 的应用
知识笔记
分式 的应用 可归纳如下
（1）审清题意，分清已知量和未知量；
（2）设未知数；
（3）根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；
（4）解方程，并验根；
（5）写出答案．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）（2019 嘉定区期末） A 、 B 两地相距 80 千米，甲与乙开车都从 A 地前往 B
1
地，甲开车从 A 地出发 小时后，乙出从 A 地出发，已知乙开车速度是甲开车速度的 1.5 倍，
6
结果乙比甲提前 10 分钟到达 B 地，求甲开的速度．
【配题说明】分式方程应用-速度问题
【常规讲解】
解：设甲的速度为 x 千米 / 小时，则乙的速度为1.5x 千米 / 小时，
80 1 80 10
由题意得： = +
x 6 1.5x 60
80 80 1
整理得： = +
x 1.5x 3
方程两边同乘以3x ，得： 240 =160 + x ．
解得： x = 80 ．
经检验： x = 80 是原方程的解，且符合题意．
答：甲的速度为 80 千米 / 小时．
3
例 2
（★★★☆☆）（2019 徐汇区校级期中）在徐汇区开展“创建全国文明城区”期间，某工程
队承担了某小区 900 米长的污水管道改造任务，工程队在改造完 180 米管道后，引进了新设
备，每天的工作效率比原来提高了 20% ，结果共用 30 天完成了任务，问引进新设备后工程
队每天改造管道多少米？
【配题说明】分式方程应用-工作效率
【常规讲解】
解：设原来每天改造管道 x 米，由题意得：
180 900 180
+ = 30 ，
x (1+ 20%)x
解得： x = 26 ，
经检验： x = 26 是原分式方程的解，
1.2x = 31.2 （米 )
答：引进新设备前工程队每天改造管道 31.2 米．
例 3
（★★★★☆）（2017 静安区期末）某校为了准备“迎新活动”，用 700 元购买了甲、乙两
种小礼品 260 个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了 100 元．
（1）购买乙种礼品花了__________元；
（2）如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高 20% ，求乙种礼品的单价．（列分式方程解
应用题）
【配题说明】分式方程应用-售价问题
【常规讲解】
解：（1）设买甲种礼品花了 x 元，则买乙种礼品花了 (x +100) 元，
根据题意，得： x + x +100 = 700 ，
解得： x = 300 ，
所以买乙种礼品花了 400 元，
故答案为：400；
（2）设乙种礼品的单价为 a 元，则甲种礼品的单价为 (1+ 20%)a 元，
4
300 400
根据题意，得： + = 260 ，
(1+ 20%)a a
解得： a = 2.5 ，
经检验： a = 2.5 是原分式方程的解，
答：乙种礼品的单价为 2.5 元 / 个．
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）（2019 闵行区期末）小华周一早展起来，步行到离家 900 米的学校去上学，
到了学校他发现数学课本忘在家中了，于是他立即按照原路步行回家，拿到数学课本后立即
按照原路改骑自行车返回学校，已知小华骑自行车的速度是他步行速度的 3 倍，步行从学校
到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多 10 分钟．小华骑自行车的速度是多
少米每分？
【配题说明】分式方程应用-速度问题
【常规讲解】
解：设小华步行的速度是 x 米每分，则小华骑自行车的速度是3x 米每分，
900 900
依题意，得： =10 ，
x 3x
解得： x = 60 ，
经检验， x = 60 是原方程的解，且符合题意，
3x =180 ．
答：小华骑自行车的速度是 180 米每分．
5
练 1-2
（★★★☆☆）（2018 嘉定区期末）某工厂计划生产 480 个零件．当生产任务完成一半时，
停止生产进行反思和改进，用时 20 分钟．恢复生产后工作效率比原来可以提高 20% ，要求
比原计划提前 40 分钟完成任务，那么反思改进后每小时需要生产多少个零件？
【配题说明】分式方程应用-工作效率
【常规讲解】
x 5
解：设改进后每小时需要生产 x 个零件，则原来每小时生产 = x 个零件，
1+ 20% 6
240 240
1+ =
由题意得， x 5
x
6
解得， x = 48 ，
经检验： x = 48 是原方程的根，且符合题意．
答：改进后每小时需要生产 48 个零件．
练 1-3
（★★★★☆）（2018 金山区期末）旺鑫果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200
元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用 1452 元购买了一批水果，每千克的
进价比第一次提高了10% ，所购买的水果的数量比第一次多 20 千克，求第一次购买水果的
进价是每千克多少元？
【配题说明】分式方程应用-售价问题
【常规讲解】
解：设第一次购买水果的进价是每千克 x 元，则第二次购买水果的进价是每千克 (1+10%)x
元，
1452 1200
依题意，得： = 20 ，
(1+10%)x x
解得： x = 6 ，
经检验， x = 6 是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购买水果的进价是每千克 6 元．
6
知识点 2——分式的综合应用
经典例题
例 1
a + 2b 3b 2c c 2a 3a + b 2c
（★★★★☆）已知 = = ，求 的值．
7 5 3 2a 5b + 6c
【配题说明】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【常规讲解】
a + 2b 3b 2c c 2a
解：设 = = = k(k 0) ，则 a + 2b = 7k ，3b 2c = 5k ， c 2a = 3k ，
7 5 3
k 39 31
a = ， b = k ， c = k ，
11 11 11
k 39 31
3 ( ) + k 2 k
3a + b 2c 26
= 11 11 11 = ．
2a 5b + 6c k 39 31 11
2 ( ) 5 k + 6 k
11 11 11
例 2
1 1 1 1
（★★★★☆）计算： + + +
x2 3x + 2 x2 x x2 + x x2 + 3x + 2
1 1 1
【配题说明】考查学生对 = 这一规律的运用．
n (n +1) n n +1
【常规讲解】
1 1 1 1
解：原式 = + + +
(x 2)(x 1) x(x 1) x(x +1) (x +1)(x + 2)
1 1 1 1 1 1 1 1
= + + +
x 2 x 1 x 1 x x x +1 x +1 x + 2
1 1
=
x 2 x + 2
4
=
x2 4
7
例 3
1 1 1 1
（★★★★★）不等于 0 的三个数 a ，b ，c 满足 + + = ，求证：a ，b ，c 中至
a b c a + b + c
少有一组相反数．
1 1 1 1
【配题说明】此题考查了 + + = 的运用
a b c a + b + c
【常规讲解】
1 1 1 1
证明： + + = ，
a b c a + b + c
bc + ac + ab 1
= ，
abc a + b + c
bc(a + b + c) + ac(a + b + c) + ab(a + b + c) = abc ，
(b + c)a2 + (2bc + c2 + b2 )a + bc2 + b2c = 0 ，
即 (a2b + ab2 ) + (a2c + ac2 ) + (abc + b2c) = 0 ，
ab(a + b) + ac(a + c) + bc(a + c) + bc(a + b) = 0 ，
(a + b)(ab + bc) + (a + b)(ac + bc) = 0 ，
b(a + b)(a + c) + c(a + c)(a + b) = 0 ，
(b + c)(a + b)(a + c) = 0 ，
b = c 或 a = b 或 a = c ，
即 a 、b 、 c 中至少有一组相反数．
巩固练习
练 2-1
1 3 5 x 2y
（★★★★☆）（2020 上海校级月考）已知 = = ，求 的值.
x y + z z + x 2y + z
【配题说明】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【常规讲解】
1 3 5 1
解：设 = = = ，则 x = k ， y + z = 3k ， z + x = 5k ，
x y + z z + x k
z = 4k ， y = k ，
k + 2k 3 3
原式 = = ．故答案为 ．
2k + 4k 2 2
8
练 2-2
2 2 2 2
（★★★★☆）计算： + + + + ．
(x +1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) (x + 5)(x + 7) (x + 99)(x +101)
1 1 1
【配题说明】考查学生对 = 这一规律的运用．
n (n +1) n n +1
【常规讲解】
2 2 2 2
解： + + + +
(x +1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) (x + 5)(x + 7) (x + 99)(x +101)
1 1 1 1 1 1 1 1
= + + + +
(x +1) (x + 3) (x + 3) (x + 5) (x + 5) (x + 7) (x + 99) (x +101)
1 1
=
(x +1) (x +101)
100
=
(x +1)(x +101)
练 2-3
1 1 1
（★★★★★）已知 x + y + z = + + =1，求证： x 、 y 、 z 中至少有一个等于 1．
x y z
1 1 1 1
【配题说明】此题考查了 + + = 的运用
a b c a + b + c
【常规讲解】
1 1 1
解： + + =1， x + y + z =1，
x y z
1 1 1
(x + y + z)( + + ) =1 ，
x y z
(x + y + z)(yz + zx + xy) xyz = 0 ，
(x + y + z)[y(x + z) + zx(x + y + z)] xyz = 0，
(x + y + z)y(x + z) + zx(x + z) = 0 ，
(x + z)(xy + y2 + yz + xz) = 0 ，
(x + z)(x + y)(y + z) = 0 ，
(1 y)(1 z)(1 x) = 0 ，
x ， y ， z 中至少有一个等于 1．
9
综合练习
【A组】
练 1
（★★★☆☆）（2019 奉贤期末）小丽和爸爸进行 1200 米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的 1.5
倍，小丽走完全程比爸爸多用 5 分钟，小丽和爸爸每分钟各走多少米？
【配题说明】分式方程应用-速度问题
【常规讲解】
解：设小丽每分钟走 x 米，则爸爸每分钟走1.5x 米，
1200 1200
依题意得： = 5 ，
x 1.5x
7.5x = 600 ，
x = 80 ．
经检验， x = 80 是原方程的根，并符合题意1.5x =120米
答：小丽每分钟走 80 米，爸爸每分钟走 120 米．
练 2
（★★★☆☆）（2018 浦东新区期末）某林场计划植树 1200 棵，后来由于天气原因要提前完
3
成任务，于是将效率提高到原来的 倍，这样种完相同的棵数所用的时间比原计划少用了 10
2
天．求实际每天种植多少棵？
【配题说明】分式方程应用-工作效率
【常规讲解】
3
解：设计划每天种 x 棵树，则实际每天种 x 棵树，
2
1200 1200
10 =
根据题意得 x 3 ，
x
2
得 x = 40 ，
经检验 x = 40 是原方程的解符合题意，
3
实际： 40 = 60 （棵 ) ，答：实际每天种植 60 棵树．
2
10
练 3
（★★★☆☆）（2018 松江区期末）某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购
买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多 6 元，用 10000 元购买经
典著作与用 7000 元购买传说故事的本数相同，这两类书籍的单价各是多少元？
【配题说明】分式方程应用-售价问题
【常规讲解】
解：设传说故事的单价为 x 元 / 本，则经典著作的单价为 (x + 6) 元 / 本，
10000 7000
根据题意得： = ，
x + 6 x
解得： x =14 ，
经检验， x =14 是所列分式方程的解，且符合题意，
x + 6 = 20 ．
答：传说故事的单价为 14 元 / 本，经典著作的单价为 20 元 / 本．
练 4
（★★★★☆）（2020 上海校级月考）阅读下面的解题过程，然后解题：
x y z
题目：已知 = = (a 、b 、 c 互相不相等），求 x + y + z 的值．
a b b c c a
x y z
解 ： 设 = = = k ， 则 x = k(a b) ， y = k(b c) ， z = k(c a) 于 是 ，
a b b c c a
x + y + z = k(a b + b c + c a) = k 0 = 0 ，
y + z z + x x + y x y z
依照上述方法解答下列问题：已知： = = (x + y + z 0) ，求 的值．
x y z x + y + z
【配题说明】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【常规讲解】
y + z z + x x + y
解：设 = = = k ，
x y z
则 y + z = xk ， z + x = yk ， x + y = zk ，
2(x + y + z) = k(x + y + z) ，
解得， k = 2 ，
y + z = 2x ， z + x = 2y ， x + y = 2z ，
x y z 1
解得， x = y = z ，则 = ．
x + y + z 3
11
【B组】
练 1
x y z a b c x2 y2 z2
（★★★★☆）设 + + =1， + + = 0 ，求 + + 的值．
a b c x y z a2 b2 c2
【配题说明】
2
主要考查换元的思想，同时考查了公式 (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) 的灵活运
用．
【常规讲解】
x y z 1 1 1
设 = u， = v， = w，则u + v + w =1(1)， + + = 0(2)，
a b c u v w
vw + uw + uv
由（2）得： = 0 ， u 、 v 、 w 均不为 0 ， vw+ uw+ uv = 0 ，
uvw
u2 + v2 2把（1）两边平方得 + w + 2(uv + vw + uw) =1
x2 y2 z2
u2 + v2 + w2 =1 ，即 + + =1．
a2 b2 c2
练 2
1 1 1 1 1 1
（★★★★☆）已知 a + b + c = 0 且 abc 0 ，求 a( + ) + b( + ) + c( + ) + 2 的值．
b c a c a b
【配题说明】本题考查了分式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能
力，题目比较好，有一定的难度．
【常规讲解】
1 1 1 1 1 1
解： a( + ) + b( + ) + c( + ) + 2
b c a c a b
a a b b c c
= + + + + + + 2
b c a c a b
a + c a + b b + c
= + + + 2
b c a
a + b + c = 0 ，
a + c = b ， a + b = c ，b + c = a ，
b c a
原式 = + + + 2 = 1 1 1+ 2 = 1．
b c a
12
练 3
1 1 1
（★★★★★）如果 a + b + c = 0 ， + + = 0 ，求 (a +1)2 + (b + 2)2 + (c + 3)2 的值．
a +1 b + 2 c + 3
【配题说明】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
【常规讲解】
1 1 1
解：由 + + = 0 ，去分母，得
a +1 b + 2 c + 3
(b + 2)(c + 3) + (a +1)(c + 3) + (a +1)(b + 2) = 0 ，
而 (a +1)2 + (b + 2)2 + (c + 3)2
= [(a +1) + (b + 2) + (c + 3)]2 2[(b + 2)(c + 3) + (a +1)(c + 3) + (a +1)(b + 2)]
= (a + b + c + 6)2
= (0 + 6)2
= 36 ．
课堂总结
1307 | 因式分解（三）
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 掌握利用分组法进行因式分解
目标 2 ★★★★★★ 综合 掌握五项、六项式因式分解
知识清单
分 分解
式分 分解
分 分解
因 式分解（三） 式分 分解 分 分解
分 分解
式分 分解 分 分解
分 分解
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.5 因式分解的意义
2.6 因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为 1 的二次三
项式的十字相乘法）
2. 因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而分组分解因式法因式分解则是因式
分解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.16 分组分解法法
4. 分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因
式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，
1
把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特
点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组
成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．
【课堂引入】
1．把下列多项式因式分解。
（1）2x2+10x； （2）a(m+n)+b(m+n)；
（3）2a(x-5y)+4b(5y-x)； （4）(x+y)2-2(x+y)。
2．新课讲解。
二、引入
1．提问：如何将多项式 am+an+bm+bn 因式分解？
分析：很显然，多项式 am+an+bm+bn 中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由
于 am+an=a(m+n)，bm+bn=b(m+n)，而 a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。
这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
说明：
如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项
式就可以用分组分解法来分解因式。
2
知识点 1—— 式分 分解
知识笔记
1. “2+2”分 分解
步骤：
（1）根据每一项的特点(从字母、次数、系数入手)分别两两组合，用平方差公式或提
公因式进行因式分解.
（2）最后再次因式分解直至分解彻底.
2. “3+1”分 分解
步骤：
（1）找出能组成完全平方公式的三项进行因式分解;
（2）最后用平方差公式进行因式分解.
【填空答案】
2、拆常数项，凑一次项，交叉相乘再相加，横向书写.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）分解因式 4 x2 + 2x3 x4，分组合理的是（ ）.
A. (4 x2 ) + (2x3 x4 ) B. (4 x2 x4 ) + 2x3
C. (4 x4 ) + ( x2 + 2x3 ) D. (4 x2 + 2x3 ) x4
（2）（★★☆☆☆）填空：分解因式13m4 13m +m2 1.
分组方法一：原式=（_______）+（_______）；
分组方法二：原式=（_______）+（_______）.
【配题说明】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组
有两个目的：一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
3
【常规讲解】
（1）解： 4 x2 + 2x3 x4
= (4 x2 ) + (2x3 x4 )
= (2 + x)(2 x) + x3(2 x)
= (2 x)(2 + x + x3)
= (x 2)(x3 + x + 2)．
故选： A．
（2）13m4 +m2 ； 13m 1；13m4 13m；m2 1
例 2
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） xy x y +1； （2） ax + ay bx by ；
（3） x2 y2 x2 + y2 1； （4） a3 b2a + a b .
【配题说明】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组
有两个目的：一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【常规讲解】
（1）原式= (xy x) ( y 1) = x( y 1) ( y 1) = (x 1)( y 1)
（2）原式= (ax + ay) (bx + by) = a (x + y) b(x + y) = (a b)(x + y)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
（3）原式= (x y x ) + ( y 1) = x ( y 1) + ( y 1) = (x +1)( y 1) = (x +1)( y +1)( y 1)
3 2 2 2
（4）原式= (a b a) + (a b) = a (a b ) + (a b) = a (a + b)(a b) + (a b)
= (a b) a (a + b) +1 = (a b)(a
2 + ab +1)
例 3
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） x2 2xy + y2 z2 ； （2） a2 + 6ab + 9b2 16x2 y2 ；
（3）1 a2 b2 2ab； （4） a2 + 4b2 c2 4ab .
【配题说明】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组
有两个目的：一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【常规讲解】
2 2 2 2 2
（1）原式= (x 2xy + y ) z = (x y) z = (x y + z )(x y z )
4
(a2 + 6ab + 9b2 ) 16x2 2
2
（2）原式= y = (a + 3b) 16x2 y2 = (a + 3b 4xy)(a + 3b + 4xy)
2 2 2
（3）原式=1 (a + b + 2ab) =1 (a + b) = (1+ a + b)(1 a b)
2 2
（4）原式= (a 4ab + 4b2 ) c2 = (a 2b) c2 = (a 2b c)(a 2b + c)
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）用分组分解将 x2 xy + 3y 3x 分解因式，下列分组方式不恰当的是（ ）.
(x2A. 3x) + (3y xy) 2B. (x xy) + (3y 3x)
(x2C. + 3x) (3y + xy) (x2D. xy 3x) + 3y
（2）（★★☆☆☆）填空：分解因式 x3 + x2 + 4x + 4 .
分组方法一：原式=（_______）+（_______）；
分组方法二：原式=（_______）+（_______）.
【配题说明】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组
有两个目的：一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【常规讲解】
（1）D
（2） x3 + x2 , 4x + 4 ； x3 + 4x , x2 + 4
练 1-2
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） ab c + b ac； （2）m3 m2 m +1 .
【配题说明】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组
有两个目的：一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【常规讲解】
（1）原式= (ab + b) (c + ac) = b(a +1) c(a +1) = (b c)(a +1)
3
（2）原式= m m
2 m +1= (m3 m2 ) (m 1) = m2 (m 1) (m 1)
2
= (m2 1)(m 1) = (m +1)(m 1)
5
练 1-3
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） x2 12xy + 36y2 9 ； （2） x2 6x + 9 4y2 ；
（3） 2 2 4 2 24m +16n 25a2b2 16mn ； （4）81a + y 18a y 121.
【配题说明】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组
有两个目的：一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【常规讲解】
2
（1）原式= (x2 12xy + 36y2 ) 9 = (x 6y) 9 = (x 6y + 3)(x 6y 3)
(x2
2
（2）原式= 6x + 9) 4y2 = (x 3) 4y2 = (x 3+ 2y)(x 3 2y)
2
（3）原式= (4m2 16mn +16n2 ) 25a2b2 = (2m 4n) 25a2b2
= (2m 4n + 5ab)(2m 4n 5ab)
2
（4）原式= (81a4 + y2 18a2 y) 121= (9a2 y) 121= (9a2 y +11)(9a2 y 11)
知识点 2—— 式分 分解
知识笔记
“3+2”分 分解
步骤：
(1) 先 3 项组合后可用完全平方公式因式分解或十字相乘;
(2) 再 2 项组合后用提公因式法因式分解;
(3) 最后通过提公因式法化成公因式乘另一个因式的形式.
【填空答案】
拆首尾，凑中间，交叉相乘再相加，横向书写.
6
经典例题
例 1
（★★★☆☆）因式分解：
（1） a2 2ab ac + bc + b2 ； （2）ma +mb a2 b2 2ab；
（3） 2ax bx a2 + 2ab b2 ； （4） 4x 4x 12xy + 6y + 9y
2 .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
2 2 2
（1）原式= (a 2ab + b ) (ac bc) = (a b) c (a b) = (a b c)(a b)
2 2 2
（2）原式= (ma + mb) (a + b + 2ab) = m(a + b) (a + b) = (m a b)(a + b)
2 2 2
（3）原式= (ax bx) (a 2ab + b ) = x (a b) (a b) = (a b)(x a + b)
(4x2
2
（4）原式= 12xy + 9y
2 ) (4x 6y) = (2x 3y) 2(2x 3y) = (2x 3y 2)(2x 3y)
例 2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） 2 2x2 + 2x 15 ax 5a ； （2） x + 5xy + xz + 3yz + 6y ；
（3）3x2 + 9y2 +12xy x y ； （4） 2m2 mn + 2m + n n2 .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
2
（1）原式= (x + 2x 15) (ax + 5a) = (x + 5)(x 3) a (x + 5) = (x + 5)(x 3 a)
（2）原式= (x2 + 5xy + 6y2 ) + (xz + 3yz ) = (x + 2y)(x + 3y) + z (x + 3y) = (x + 2y + z )(x + 3y )
2 2
（3）原式= (3x +12xy + 9y ) (x + y) = 3(x2 + 4xy + 3y2 ) (x + y) = 3(x + 3y)(x + y) (x + y)
= (x + y) 3(x + 3y) 1 = (x + y)(3x + 9y 1)
2 2
（4）原式= (2m mn n ) + (2m + n) = (m n)(2m + n) + (2m + n) = (2m + n)(m n +1)
7
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）因式分解：
（1） x2 4xy 2y + x + 4y2 ； （2） x2 + 2xy + y2 + xz + yz ；
（3） a2 + 4ab + 4b2 + 2ac + 4bc ； （4） 4a2 12ab + 9b2 + 4a 6b .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
2
（1）原式= (x2 4xy + 4y2 ) (2y x) = (x 2y) + (x 2y ) = (x 2y )(x 2y +1)
2 2 2
（2）原式= (x + 2xy + y ) + (xz + yz ) = (x + y) + z (x + y) = (x + y)(x + y + z)
= (x + y + z)(x + y)
2 2 2
（3）原式= (a + 4ab + 4b ) + (2ac + 4bc) = (a + 2b) + 2c (a + 2b) = (a + 2b)(a + 2b + 2c)
2 2 2
（4）原式= (4a 12ab + 9b ) + (4a 6b) = (2a 3b) + 2(2a 3b) = (2a 3b)(2a 3b + 2)
练 2-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） 2a2 4ab + 3b2 + ac bc ； （2） x 2x 2y
2 + 4y xy ；
（3） x2 21xy + 98y2 + x 7y ； （4）6x2 5xy 6y2 6x 4y .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
（1）原式= (a2 4ab + 3b2 ) + (ac bc) = (a b)(a 3b) + c (a b) = (a b)(a 3b + c)
2 2
（2）原式= (x xy 2y ) (2x 4y) = (x + y)(x 2y) 2(x 2y) = (x 2y)(x + y 2)
(x2 2（3）原式= 21xy + 98y ) + (x 7y) = (x 7y)(x 14y) + (x 7y) = (x 7y )(x 14y +1)
（4）原式= (6x2 5xy 6y2 ) (6x + 4y) = (2x 3y)(3x + 2y) 2(3x + 2y)
= (2x 3y 2)(3x + 2y)
8
知识点 3—— 式分 分解
知识笔记
1．“3+3”分 分解
步骤：
(1) 先每 3 项组合后因式分解;
(2) 最后两个式子因式分解.
2. “3+2+1”分 分解
步骤：
(1) 先 3 项组成用完全平方公式或者十字相乘因式分解;
(2) 2 项提取公因式化为前面完全平方公式的底数(提取公因式);
(3) 最后与剩下一项构成十字相乘化成积的形式.
3. “2+2+2”分 分解
步骤：
(1) 先每 2 项都有一个公因式或组合成平方差公式，再各自提取公因式后又出现新的
公因式;
(2) 最后通过提公因式法化成公因式乘另一个因式的形式.
经典例题
例 1
（★★★★☆）因式分解：
（1） a2 2ab + b2 c2 + 2c 1； （2） 4x
2 10xy + 25y2 z2 + 2z 1 .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
(a2 2ab + b2 ) (c2
2 2
（1）原式= 2c +1) = (a b) (c 1) = (a b + c 1)(a b c +1)
9
2 2 2
（2）原式= (4x 10xy + 25y2 ) ( z2 2z +1) = (2x 5y) ( z 1)
= (2x 5y + z 1)(2x 5y z +1)
例 2
（★★★★☆）因式分解：
（1） x2 4xy + 4y2 6x +12y + 9； （2） 4x2 + 4xy + y2 4x 2y 3 .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
2 2 2 2
（1）原式= (x 4xy + 4y ) (6x 12y) + 9 = (x 2y) 6(x 2y) + 9 = (x 2y 3)
2
（2）原式= (4x2 + 4xy + y2 ) (4x + 2y) 3 = (2x + y) 2(2x + y) 3 = (2x + y 3)(2x + y +1)
例 3
（★★★★☆）因式分解：
（1） x2 + ax2 + x + ax 1 a ； （2） a2 a2b + ab2 a + b b2 .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
2 2 2 2
（1）原式= (x + ax ) + (x + ax) (1+ a) = x (1+ a) + x (1+ a) (1+ a) = (x + x 1)(1+ a)
2
（2）原式= (a a2b) + (ab2 a) + (b b2 ) = a2 (1 b) + a (b2 1) + b (1 b)
= a2 (1 b) + a (b 1)(b +1) + b (1 b) = a2 (1 b) a (1 b)(b +1) + b (1 b) = (1 b) a2 a (b +1) + b
= (1 b) 2 a ab a + b = (1 b) (a
2 ab) a + b = (1 b) a a b a b = 1 b a 1 a b ( ) ( ) ( )( )( )
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）因式分解：
2 2 2 2
（1）m2 + 2mn + n2 1 m2n2 2mn； （2） a b + x y 2(ax by) .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
10
【常规讲解】
2 2 2 2
（1）原式= (m + 2mn + n ) (1+ m2n2 2mn) = (m + n) (1 mn)
= (m + n +1 mn)(m + n 1+mn)
2 2 2 2
（2）原式= a b + x
2 y2 2ax + 2by = (a2 2ax + x2 ) (b2 2by + y2 ) = (a x) (b y )
= (a x + b y)(a x b + y)
练 3-2
（★★★★☆）因式分解：
（1） 2 2 2m + 2mn + n2 3m 3n 4 （2） x + 2xy + y x y 6 .
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
2 2 2
（1）原式= (m + 2mn + n ) (3m + 3n) 4 = (m + n) 3(m + n) 4 = (m + n 4)(m + n +1)
2
（2）原式= (x2 + 2xy + y2 ) (x + y) 6 = (x + y) (x + y) 6 = (x + y 3)(x + y + 2)
练 3-3
（★★★★☆）因式分解：
（1） ax2 4a + bx2 4b + cx2 4c （2） ax2 a + bx2 b + cx2 c
【配题说明】本题考查了系数不为 1 的十字相乘法
【常规讲解】
2 2
（1）原式= (ax 4a) + (bx 4b) + (cx2 4c) = a (x2 4) + b (x2 4)+c(x2 4)
= (a + b + c)(x2 4) = (a + b + c)(x + 2)(x 2)
2
（2）原式= (ax a) + (bx2 b) + (cx2 c) = a (x2 1) + b (x2 1) + c (x2 1) = (a + b + c)(x2 1)
= (a + b + c)(x +1)(x 1)
11
综合练习
【A 】
练 1
（1）（★★☆☆☆）因式分解：1 4x2 4y2 + 8xy ，正确的分组是 ( )
A． (1 4x2 ) + (8xy 4y2 ) B． (1 4x2 4y2 ) +8xy
C． (1+ 8xy) (4x2 + 4y2 ) D．1 (4x2 + 4y2 8xy)
（2）（★★☆☆☆）分解因式： x2 2xy + y2 + x y 的结果是 ( )
A． (x y)(x y +1) B． (x y)(x y 1) C． (x + y)(x y +1) D． (x + y)(x y 1)
（3）（★★☆☆☆）下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有 ( )
① (m3 +m2 m) 1； ② 4b2 + (9a2 6ac + c2 ) ；
③ (5x2 + 6y) + (15x + 2xy) ； ④ (x2 y2 ) + (mx +my)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【配题说明】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组
有两个目的：一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【常规讲解】
（1）答案： D ．
（2）答案： A．
（3）① (m3 +m2 m) 1不能继续分解因式；
② 4b2 + (9a2 6ac + c2 ) 可用完全平方公式和平方差公式分解；
③ (5x2 + 6y) + (15x + 2xy) 不能继续分解因式；
④ (x2 y2 ) + (mx +my) 用平方差公式和提公因式法继续分解因式．
故选： B ．
12
练 2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） x2 y2 2x +1； （2） x3 y3 + x2 y xy2 ；
（3） 3 2 ； （4） a2 (x y) + b281m 54m + 9m (y x) ；
3 2 2
（5） a2 b2 2b 1； （6） a 3ab + 3b ；
4
（7） 2x2 y +16xy 32y ； （8）m2 + 6mn + 9n2 16m2n2 .
【配题说明】此题考查了因式分解 双十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因
式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．
【常规讲解】
（1）原式 = (x2 2x +1) y2 = (x 1)2 y2 = (x 1+ y)(x 1 y)；
（2）原式 = x2 (x + y) y2 (x + y) = (x + y)(x2 y2 ) = (x + y)2 (x y) ．
（3）原式 = 9m(9m2 6m +1) = 9m(3m 1)2；
（4）原式= (x y)(a2 b2 ) = (x y)(a + b)(a b) ；
（5）原式= a2 (b2 + 2b +1) = a2 (b +1)2 = (a + b +1)(a b 1) ．
3 3
（6）原式 = (a
2 4ab + 4b2 ) = (a 2b)2 ；
4 4
（7）原式 = 2y(x2 8xy +16) = 2y(x 4)2 ；
（8）原式= (m + 3n)2 16m2n2 = (m + 3n + 4mn)(m + 3n 4mn) ；
13
【B 】
练 1
（1）（★★★★☆）求m 为何值时，多项式 x2 y2 +mx + 5y 6 能因式分解，并分解此多项
式．
（2）（★★★★☆）k 为何值时，多项式 x2 2xy + ky2 + 3x 5y + 2 能分解成两个一次因式的
积？
【配题说明】此题考查了因式分解 十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）解： x2 y2 +mx + 5y 6 = x2 +mx (y2 5y + 6) = x2 +mx (y 3)(y 2)，
由十字相乘法，得m = (y 3) + (y + 2) =1 或m = (y 3) + [ (y 2)] = 1，
m = 1时，多项式 x2 y2 +mx + 5y 6 能因式分解，
当m =1时， x2 y2 +mx + 5y 6 = [x (y 3)][x + (y 2)] = (x y + 3)(x + y 2) ；
当 2m = 1时， x y2 +mx + 5y 6 = [x + (y 3)][x (y 2)] = (x + y 3)(x y + 2) ．
（2）解： x2 + 3x + 2 = (x +1)(x + 2) ，
故可令 x2 2xy + ky2 + 3x 5y + 2 = (x +my +1)(x + ny + 2) ，
即 x2 + (m + n)xy +mny2 + 3x + (2m + n)y + 2 = x2 2xy + ky2 + 3x 5y + 2 ，
m + n = 2 ①
mn = k ② ，
2m + n = 5 ③
m = 3
由①③可得： ，
n =1
k = mn = 3 ．
当 k = 3时，多项式 x2 2xy + ky2 + 3x 5y + 2 能分解成两个一次因式的积．
练 2
（★★★★☆）阅读下列材料：
1637 年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程
求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于 x的多项式，“ x = a是该多项式值为 0 时的一个解”与
“这个多项式一定可以分解为 (x a) 与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
14
例如：分解因式 x3 + 2x2 3．
x =1是 x3 + 2x2 3 = 0 的一个解，
x3 + 2x2 3可以分解为 (x 1) 与另一个整式的乘积．
设 x3 + 2x2 3 = (x 1)(ax2 + bx + c) ，
a =1
a =1
b a = 2
而 (x 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b a)x2
+ (c b)x c ，则有 ，得 b = 3 ，从而
c b = 0
c = 3 c = 3
x3 + 2x2 3 = (x 1)(x2 + 3x + 3)．
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式 x3 + 2x2 + 3时，猜想出 x3 + 2x2 + 3 = 0 的一个解为________
（只填写一个即可），则 x3 + 2x2 + 3可以分解为________与另一个整式的乘积；
②分解因式 x3 + 2x2 + 3；
（2）若 x 1与 x + 2都是多项式 x3 +mx2 +mx + p 的因式，求m n的值．
【配题说明】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计
算法则求解是解题的关键．
【常规讲解】
解：（1）① x2 2x 3，
观察知， x = 1时，原式 = 0，
则 x2 2x + 3 = 0 的一个解为 x = 1，
原式可分解为 (x +1) 与另一个整式的积，
故答案为： x = 1， (x +1) ；
②设另一个因式为 (x2 + ax + b)，
则 (x +1)(x2 + ax + b) = x3 + ax2 + bx + x2 + ax + b
= x3 + (a +1)x2 + (a + b)x + b，
a +1= 0 ， a = 1，b = 3，
多项式的另一因式为 x2 x + 3，
x3 + 2x + 3 = (x +1)(x2 x + 3) ，
（2）设 x3 +mx2 +mx + p = (x 1)(x + 2) M （其中M 为二次整式），
由材料可知， x =1， x = 2 是方程 x2 +mx2 + nx + p = 0的解，
1+ m + n + p = 0①
，得m n = 3，
8 + 4m 2n + p = 0②
15
m n的值为 3．
练 3
x4
3
x2
3
（★★★★★）用因式定理分解因式： + x ．
2 16
【配题说明】本题考查了用因式定理分解因式，知道如果多项式 f （a） = 0，那么多项式
f (x) 必定含有因式 x a ．所以寻找 f （a）= 0时，对应的 x值是关键．
【常规讲解】
1 3 3 1 3 1 3
解：当 x =
4
时， x x
2 + x = + = 0 ，
2 2 16 16 8 2 16
1 3
x x4 x2
3
是 + x 是一个因式，
2 2 16
4 3 3 1
设 x x
2 + x = (x )(x3 + ax2 + bx + c) ，
2 16 2
4 3 2 3 4 3 2 1 1 1 1x x + x = x + ax + bx + xc x3 ax2 bx c ，
2 16 2 2 2 2
1
a = 02 1
a =
1 3
2
b a =
2 2 5
则 ，解得： b = ，
1 4c b =1
2 3
c =1 3 8
c =
2 16
3
x4 x2
3 1 1 5 3
+ x = (x )(x3 + x2 x + )，
2 16 2 2 4 8
1 3 1 2 5 3 1 1 1 5 1 3
当 x = 时， x + x x + = + + = 0 ，
2 2 4 8 8 2 4 4 2 8
1 3 1 2 5 3 x 是 x + x x + 的一个因式，
2 2 4 8
3 1 2 5 3 1 2 3 1 1 3x + x x + = (x )(x + x ) = (x )(x )(x + ) ，
2 4 8 2 4 2 2 2
4 3 2 3 1 3 3
综上， x x + x = (x ) (x + )．
2 16 2 2
1606 | 因式分解（二）
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握系数为 1 的十字相乘法
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握系数不为 1 的十字相乘法
目标 3 ★★★★★★ 综合 熟练掌握双十字相乘法
知识清单
二次 为 的 乘法
二次 为 的 乘法
因 式分解（二） 二 次 为 的 乘法
二 次 为 的 乘法
乘法
乘法
乘法的
66
知识点 1——二次 为 1的 乘法
知识笔记
1. ：
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
2. 二次 为 1的 乘法：
2
一般地， x + px + q = x
2 + (m + n) x + mn = (x + m)(x + n) 可以用十字交叉线来表示.
口诀：______________________________________________________.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因为看错了一次项系数而将
其分解为 2(x 1)(x 9) ，乙同学因为看错了常数项而将其分解为 2(x 2)(x 4) ，请写出正确
的因式分解的结果______________．
（2）（★★★☆☆）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是 x2 + 2mx +16 能在有
理数的范围内因式分解，则整数 m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数 m
的值有几个？ ( )
A．4 B．5 C．6 D．8
（3）（★★★☆☆）现有若干张边长为 a 的正方形 A 型纸片，边长为b 的正方形 B 型纸片，
长宽为 a 、b 的长方形 C 型纸片，小明同学选取了 2 张 A 型纸片，3 张 B 型纸片，7 张C 型
纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为__________．（用 a 、 b 代数式表示）
67
例 2
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） x2 6x 7 ； （2） x2 + 8x + 7 ；
（3） x2 + 5x 6 ； （4） x2 5x + 6 ；
（5） x2 12x 189 ； （6） (x +1)(x + 3) 15 ；
（7） 4 4 2 2 4x 13x2 + 36 ； （8） x 10x y + 9y .
例 3
（1）（★★★☆☆）因式分解： (x2 + 4x)2 2(x2 + 4x) 15．
（2）（★★★☆☆）因式分解： (x2 + 2x)2 7(x2 + 2x) 8 ．
68
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）甲乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了b ，分解结果为 (x + 2)(x + 4)
乙看错了 a ，分解结果为 (x +1)(x + 9) ，则 2a + b = _______．
（2）（★★★☆☆）要使多项式 x2 ax 20 在整数范围内可因式分解，给出整数 a = ________．
（3）(★★★☆☆）现有若干张边长为 a 的正方形 A 型纸片，边长为b 的正方形 B 型纸片，长
宽为 a、b 的长方形 C 型纸片，小明同学选取了 4 张 A 型纸片，9 张 B 型纸片，12 张C 型纸
片拼成了一个四边形，则此四边形的周长为_________．（用 a、b 代数式表示）
练 1-2
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） x2 + 6x 7 ； （2） x2 8x + 7 ；
（3） x2 5x 6 ； （4） x2 + 5x + 6 ；
（5） x2 70x +864 ； （6） (x + 2)(x 4) 7 ；
（7） x4 17x2 +16 ； （8） x
4 + 5x2 y2 36y4 .
69
练 1-3
（1）（★★★☆☆）因式分解： (m2 + 2m)2 2(m2 + 2m) 3
（2）（★★★☆☆）分解因式： (x2 x)2 + (x2 x) 6 ．
知识点 2——二次 为 1的 乘法
知识笔记
1.
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
2. 二次 为 1的 乘法
一般地，ax
2 + bx + c = mnx2 + (mq + np) x + pq = (mx + p)(nx + q)可以用十字交叉线来表
示
口诀：______________________________________________________.
70
经典例题
例 1
（★★★☆☆）若多项式5x2 +17x 12 可因式分解成 (x + a)(bx + c) ，其中 a 、b 、c 均为整数，
则 a + c 之值为何？ ( )
A．1 B．7 C．11 D．13
例 2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） 4ax2 12ax +16a ； （2） 4ax2 48ax +128a ；
（3） 2x2 5x + 3 ； （4）15x2 x 6 ；
2
（5） 20 9y 20y2 ； （6） 7(x 1) + 4(x 1) 20 ；
（7） 6a4 5a3 4a2 ； （8） 4x4 13x2 + 9 .
71
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）多项式 77x2 13x 30 可因式分解成 (7x + a)(bx + c) ，其中 a 、b 、c 均为整数，
求 a + b + c 之值为何？ ( )
A．0 B．10 C．12 D．22
练 2-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） 5x2 13xy + 6y2 ； （2） 6x2 7xy + 2y2 ；
（3）12x2 43xy 20y2 ； （4） 2(x y)2 + x2 y2 6(x + y)2 ；
（5）8a4 +10a2 3； （6） 4m2 + 8mn + 3n2 ；
（7） 3x2 + 8xy 3y2 ； （8）12(x + y)2 +11(x + y)(x y) + 2(x y)2 .
72
知识点 3—— 乘法
知识笔记
1． 乘法
适用范围：双十字相乘法适用于对形如 Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F 的二次多项式
进行因式分解.
2. 乘法的
（1）用十字相乘法分解 Ax2 + Bxy +Cy2 ，得到一个十字相乘图(有两列)；
（2）把常数项 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之
积的和等于原式中的 ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式的 Dx .
经典例题
例 1
（★★★★☆）用双十字相乘法分解因式：
例： 20x2 + 9xy 18y2 18x + 33y 14 ．
4 6 + 5 ( 3) = 9 ， 4 ( 7) + 5 2 = 18 ， 3 ( 7) + 2 6 = 33，
20x2 + 9xy 18y2 18x + 33y 14 = (4x 3y + 2)(5x + 6y 7) ．
双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，
很可能需要经过多次试验才能得到正确答案．
分解因式： 6x2 5xy 6y2 + 2xz + 23yz 20z2
73
例 2
（★★★★☆）用双十字相乘法分解因式：
（1） x2 8xy +15y2 + 2x 4y 3 ；
（2） 3x2 11xy + 6y2 xz 4yz 2z2 .
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）用双十字相乘法分解因式：
（1） a2 3b2 3c2 +10bc 2ca 2ab ；
（2） x2 6xy + 9y2 5xz +15yz + 6z2 .
74
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）因式分解 a2 a 6 = _________．
（2）（★★☆☆☆）如果 x2 +mx + 6 = (x 2)(x n) ，那么 m + n 的值为________．
练 2
（1）（★★★☆☆）分解因式： x4 10x2 + 9 ．
（2）（★★★☆☆）分解因式： x4 5x2 + 4 ．
（3）（★★★☆☆）分解因式： (a2 a)2 + (a2 a) 6 ．
（4）（★★★☆☆）分解因式： (x2 + x 5)(x2 + x 3) 3
（5）（★★★☆☆）因式分解： (x 4)(x + 7) +18．
（6）（★★★☆☆）分解因式： x2 2xy 8y2 ．
75
【B组】
练 1
（★★★★☆）用双十字相乘法分解因式：
（1） x2 2y2 3z2 + xy + 7yz + 2xz ；
（2） x2 y2 + 5x + 3y + 4 ．
练 2
（★★★★★）你会对多项式 (x2 + 5x + 2)(x2 + 5x + 3) 12 分解因式吗？对结构较复杂的多项
式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、
明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．
对于 (x2 + 5x + 2)(x2 + 5x + 3) 12 ．
解法一：设 x2 + 5x = y ，则原式
= (y + 2)(y + 3) 12
= y2 + 5y 6
= (y + 6)(y 1)
= (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x 1)
= (x + 2)(x + 3)(x2 + 5x 1) ；
解法二：设 x2 + 5x = y ，
则原式= y(y +1) 12
= y2 + y 12
= (y + 4)(y 3)
= (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x 1)
= (x + 2)(x + 3)(x2 + 5x 1)
76
解法三：设 x2 + 2 = m ，5x = n ；
则原式= (m + n)(m + n +1) 12
= (m + n)2 + (m + n) 12
= (m + n + 4)(m + n 3)
= (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x 1)
= (x + 2)(x + 3)(x2 + 5x 1) ．
请按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：
（1） (x2 + x 4)(x2 + x + 3) +10 ；
（2） (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2 .
课堂总结
7711 | 可化为一元一次方程的分式方程
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握的可化为一元一次方程的分式方程的解法
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握整数指数幂与分式的化简与计算
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 综合解决分式方程的增根与无解问题
知识清单
可 化为一元一次方程的
分式方程的
分式方程解法
可化为一元一次方程的分式方程一 解法
可 化为一元一次方程的
题的解题
分 式方程 分式方程的 题
解 题的解题
整 幂 整 幂
用 学记 法 对 的 的方法
130
知识点 1——可化为一元一次方程的分式方程解法
知识笔记
1. 分式方程的
__________里含有未知数的方程叫做分式方程.
2. 可化为一元一次方程的分式方程一 解法：
（1）_________：在方程的两边都乘最简公分 母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）_________：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为
零的根是原方程的增根，必须舍去．
经典例题
例 1
1 x 3x 2 1 4 x2 1
（★★☆☆☆）下列关于 x 的方程： + x =1， + = ， = ， = 2 中，分式方
x 3 4 5 x 1 x x +1
程的个数是 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 2
5x 1
（1）（★★★☆☆）解方程： + = 5 ；
x 1 x + 2
6 x + 9
（2）（★★★☆☆）解方程： =1.
x 3 2x 6
131
例 3
（★★★★☆）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于
a
x 的分式方程 =1的解为正数，求 a 的取值范围．
x 4
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于 x 的分式方程，得 x = a + 4 ．由题意可得 a + 4 0 ，所以 a 4 ，问题
解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证 x 4 ，即 a + 4 4 才行．
（1）请回答：__________的说法是正确的，并简述正确的理由是________________________；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
m x
若关于 x 的方程 = 2的解为非负数，求 m 的取值范围．
x 3 3 x
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列关于 x 的方程中，不是分式方程的是 ( )
1 x 3x 2 1 4 x2 1
A． + x =1 B． + = C． = D． = 2
x 3 4 5 x 1 x x +1
练 1-2
x 2
（1）（★★★☆☆）解方程：1 = ；
x 1 x +1
132
16 y 2
（2）（★★★☆☆）解方程： = 1 ．
y2 4 y + 2
练 1-3
x 3 x 2 m
（★★★★☆）已知分式方程 = 2 的解为正数，则 m 的取值范围为x 2 x 3 x 5x + 6
__________．
知识点 2——分式方程的 题
知识笔记
1. 题的解题
（1）去分母
（2）将最简公分母等于 0 时，求出 x 的值（即求出增根的值）
（3）将 x 的值（增根）代入方程
（4）求出字母的值
【口诀：___________________________________________】
2. 解 题的解题
（1）去分母
（2）将方程化为 ax = b 的形式
【分类讨论】
① 增根情况：
同上
② 整式方程本身无解情况：【字母出现在未知数的系数中时，进行讨论】
a = 0
a. 列式： （即未知数系数=0，常数≠0）
b 0
b. 求出字母的值
133
经典例题
例 1
x + 4 x + 3 m
（1）（★★★☆☆）若关于 x 的方程 + = 有增根，则 m = _______．
x 3 x 4 x2 7x +12
x a
（2）（★★★☆☆）若关于 x 的方程 x = 有增根，则 a = _______．
3 x x 3
1 k
（3）（★★★☆☆）如果关于 x 的方程 = 3 有增根，那么 k = _______．
x 3 3 x
例 2
m 1 x
（1）（★★★★☆）如果关于 x 的方程 = 0 无解，则 m 的值是 ( )
2 x x 2
A． 1 B．1 C．0 D．2
2 k
（2）（★★★★☆）如果关于 x 的方程 1= 无解，那么 k = ________．
x 1 x 1
例 3
5a + 2
（1）（★★★★☆）当 a 取________值时，关于 x 的分式方程 = a 无解．
x +1
134
2 mx 2
（2）（★★★★★）已知关于 x 的分式方程 + = ．
x 2 x2 4 x + 2
① 若方程的增根为 x = 2 ，求 m 的值；
② 若方程有增根，求 m 的值；
③ 若方程无解，求 m 的值．
巩固练习
练 2-1
a 3
（1）（★★★☆☆）若分式方程 = 2 有增根，则 a 的值是 ( )
x 3 3 x
A．3 B． 3 C．2 D．0
x m 1
（2）（★★★☆☆）若关于 x 分式方程 = 有增根，则 m = _______．
x 2 x 2
m 3 1
（3）（★★★☆☆）若 y =1是方程 + = 的增根，则 m = _______．
y 1 y 2 (y 1)(y 2)
练 2-2
x 2 m
（1）（★★★★☆）若关于 x 的方程 = + 2 无解，则 m 的值为________．
x 3 x 3
m 2
（2）（★★★★☆）如果关于 x 的分式方程 =1无解，求字母 m 的值；
x +1
135
练 2-3
x 3a
（1）（★★★★★）若关于 x 的分式方程 + = 2a 无解，求 a 的值．
x 3 3 x
2m + x 2
（2）（★★★★★）若关于 x 的分式方程 1= 无解，求 m 的值．
x 3 x
知识点 3——整 幂
知识笔记
1
a0 =1(a 0) ；
2 整 幂
a p
1
= (其中 a 0，p 是自然数) ；
a p
3 用 学记 法 对 0 1的 的方法
n
绝对值大于 0 而小于 1 的数等于 a 10 ( 其中1 a 10，n 为正整数)．
136
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列运算正确的是 ( )
1
( ) 2
1 1 1 1 1
A． = 4
0 0 2
B． ( ) = C． ( ) =1 D． ( ) =
2 2 2 2 2 4
（2）（★★☆☆☆）将 2a2 (a b) 1写成只含有正整数指数幂的形式，其结果为______．
1 2
（3）（★★★☆☆）若 0a = 3 2 ，b = ( ) ，c = ( 0.3) ，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )
3
A． a b c B．b c a C． c b a D． a c b
例 2
x 1 + y 1
（★★★☆☆）计算：
x 1 y 1
．
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）如果 a 0 ，那么下列计算正确的是 ( )
A． ( a)0 = 0 B． ( a)0 = 1 C． a0 =1 D． a0 = 1
（2）（★★☆☆☆）将5x 3 y2 写成只含有正整数指数幂的形式是：__________．
3 2
（3）（★★★☆☆）将下列各式： 42 、 0.2 2 和 ( ) ，按从小到大的顺序排列结果是
5
_____________________________．
137
练 3-2
（★★★☆☆）计算： (x 1 + y 1) (x 1 y 1) .
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列关于 x 的方程是分式方程的为 ( )
3+ x 2 + x 1 2 x 2 x 2x 1 x
A． x = B． =1 C． +1= D． =
2 5 2 + x x 3 7 2
练 2
7 3 4
（1）（★★★☆☆）解方程： + = ．
x2 + x x2 x x2 1
1 x 2
（2）（★★★☆☆）解方程： +1= .
x x2 + x
1 2 2
（3）（★★★☆☆）解方程： + = .
x x x2 x 1
138
练 3
x 2k
（1）（★★★☆☆）已知关于 x 的分式方程 3 = 的的解为正数，则 k 的取值范围为
x 1 x 1
_________．
x 1 m
（2）（★★★☆☆）若关于 x 的方程 = 3 的解为正数，则 m 的取值范围为
x 2 2 x
___________．
2 k 3x
（3）（★★★★☆）如果方程 + = 会产生增根，那么 k = _______．
x 2 2 x x 2
x +1 x kx + 2
（4）（★★★★☆）如果在解关于 x 的方程 = 时产生了增根，那么 k 的
x + 2 x 1 x2 + x 2
值为________．
练 4
xy2
（1）（★★☆☆☆）将 5 写成不含分母的形式：_______________． 3(x + y)
（2）（★★☆☆☆）将代数式 2 1 x 3 y2 化为只含有正整数指数幂的形式_______________．
x 1 + y 1
（3）（★★★☆☆）计算：
1 x 1 1
（结果不含负整数指数幂）．
y
【B组】
练 1
x2 x + 3 x2 + x + 2
（1）（★★★★☆）解方程： = .
x2 x 1 x2 + x 2
139
x + 7 x + 9 x +10 x + 6
（2）（★★★★☆）解方程： + = + .
x + 6 x + 8 x + 9 x + 5
练 2
2 mx 1
（★★★★★） + = ，若方程无解，求 m 的值．
x 1 (x 1)(x + 2) x + 2
练 3
x2016 + x 2016 + 2
（★★★★★）已知 x + x 1 = 2 ，求 的值．
x2015 + x 2015
14013|图形的平移与旋转
学习目标
目标1
★★★☆☆☆操作
掌握平移的概念和性质，
目标2
★★★女☆女操作
掌握旋转的概念和性质，
目标3
★★★☆☆☆操作
掌握平移和旋转的作图步骤
知识清单
平移
图形的平移
图形平移的实质
图形平移的
图形的平移与旋转
图形平移
的
旋转
图形的旋转
旋转作图的步骤
【考情分析】
1.图形的平移与旋转的属于图形板块知识，在期中期末考试中，占20%左右的分值
2.图形的平移与旋转常常会以填空题和选择题的形式对学生进行考察。同时这个部分的知
识也会结合上学期“线段与角”章节的知识考察图形运动与角度之间的关系。
3.对应教材：
七年级上册11.1平移11.2旋转
4.本讲内容需要理解平移与旋转的基本概念.理解对应点、对应角、对应线段、旋转中心、
旋转角的意义.掌握图形平移后图形的形状、大小保持不变，图形在旋转运动过程中的不变
性.重点是能够画出平移、旋转后得图形.难点是掌握旋转对称图形与中心对称图形的区别
与联系.
01
课堂引入
引入新课
1.观看奥运会领奖时的升旗仪式，研究国旗的运动情况。
2.想一想：
(1)五星红旗在整个过程中作了怎样的运动？
(2)如果红旗上的一颗星上升了5米，那么红旗上其他部分将作怎样的运动？
·2
2
知识点1—
图形的平移
知识笔记
1.平移
将图形上的所有的点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动.简称为
平移.在平移的过程中，它不改变图形的形状和大小，只是位置发生了变化.
2.图形平移的
图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离
3.图形平移的
平移的方向与平移的距离
平移的方向是指图形上的各个点平移的方向.图形上各点平移的距离就是这个图形平移的距
离.如图，平移到的方向可以说是点运动到点的方向，也可以说是点运动到点（点运动到点）
的方向.平移到的距离可以说是线段的长度，也可以说是线段或线段)的长度，
4.图形平移
图形的平移中有关对应点、对应线段、对应角是按图形平移的位置来判断与确定的，如图所
示，根据平移到的位置可以发现，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，
B
03
经典例题
例1
(★★☆☆☆)(2018，浦东校级期末)观察下面图案在A、B、C、D四幅图案中，能通过
图案平移得到的是()
A
C
00
【配题说明】本题需抓住平移前后对应点的连线平行且相等这个知识点进行解答.
【常规讲解】
解：A、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
B、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
c、
可通过平移得到，符合题意；
D、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
故选：C,
例2
(1)(★★☆女☆)①画出△ABC沿射线AD的方向，平移2厘米后的图形；
②在线段AB上任取一点P，画出点P经上述平移后的对应点位置
A
B
(2)(★★☆☆☆)(2020春 浦东新区期末)已知在直角坐标平面内，有点4(-3,2)、点
B(2,4),把点A向下平移4个单位得到点C.
①在直角坐标平面内画出点A、点B;
②写出点C的坐标；
③求△ABC的面积
0401 | 整式的运算
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解与整式有关的基本概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练进行整式的加减运算
知识清单
式 的
式
式的
式的 式 的
式的 运算
整式的运算
单 式
式
整 式的
式的
整式
的
整 式的
整 式的 运算
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.1 代数式的有关概念
1
2.2 列代数式和求代数式的值
2. 主要考察代数式、整式、单项式、多项式的基本概念，以填空选择为主。同时还会考察代
数式的计算，通常以解答题的形式进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.1 用字母表示数 9.2 代数式 9.3 代数式的值 9.4 整式
4. 本讲知识属于数与式基本概念，也是七年级下册实数章节知识的前置储备知识。同时在
代数式的值中存在一定的计算，与六下有理数中绝对值，混合运算相联系，老师课上可以酌
情进行复习
课堂引入
【课堂引入】
引入方向：
播放儿歌：青蛙不吃水
http://www./play_detail/40870317 from=baidu
一只青蛙一张嘴，二只眼睛四条腿，一声扑通跳下水；
二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿，二声扑通跳下水；
n 只青蛙 n 张嘴，2n 只眼睛 4n 条腿，n 声扑通跳下水。
在游戏过程中，引导学生带着兴趣，走进用字母表示“数”的世界。
2
知识点 1—— 式
知识笔记
1．
字母可以表示运算律；字母可以表示公式；字母可以表示数量关系或方程里的求知量；
字母可以表示探究得出规律的数．
2． 的
（1）数字与字母及字母与字母间的乘号_______，且数字要写在字母_______；
（2）当数字是带分数时，要写成_____________；
（3）除法运算中的除号要用___________来表示．
3． 式
（1）用运算符号和括号把____或________连结而成的式子叫做代数式．(这里的运算符
号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方)
（2）单独一个数字或者一个字母也是代数式．
（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式．
【填空答案】
2、省略；之前；假分数；分数线
3、数；字母
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）（2019 静安区月考）下列选项中，符合代数式书写格式的是 ( )
1
A．1 y2
a
B． (a + b) 2 C． x5 D．
2 3
3
2x y2
（2）（★★☆☆☆）（2019 浦东新区校级月考）代数式 用语言表述为 ( )
3
A． x 与 2 的积减去 y 平方与 3 的商
B． x 与 2 的积减去 y 的平方差除以 3
1
C． x 的 2 倍减去 y 的差的平方的
3
1
D． x 的 2 倍减去 y 平方的
3
（3）（★★☆☆☆）（2019 杨浦区校级月考）在以下各式中属于代数式的是 ( )
1 1 a + b
① S = ah ② a + b = b + a ③ a ④ ⑤0 ⑥ a + b ⑦
2 a ab
A．①②③④⑤⑥⑦ B．②③④⑤⑥ C．③④⑤⑥⑦ D．①②
（4）（★★★☆☆）（2020 浦东新区校级期中）某影院第一排有 20 个座位，每退一排就多
1 个座位，则第 n 排有座位 ( )
A． (20 + n) 个 B． (21+ n) 个 C． (19 + n) 个 D． (18 + n) 个
【配题说明】
（1）考察学生代数式书写格式
（2）考察代数式的表达
（3）代数式的判别
（4）代数式在简单实际问题中的表达
【常规讲解】解法一：
3 2
（1）解： A 选项应该写为： y ， A 选项不符合题意；
2
1
B 选项应该写为： (a + b) ， B 选项不符合题意；
2
C 选项应该写为：5x ，C 选项不符合题意；
D 选项符合题意．
故选： D ．
2x y2
（2）解：代数式 用语言表述为 x 与 2 的积减去 y 的平方差除以 3．
3
故选： B ．
1 a + b
（3）解：③ a ，④ ，⑤0，⑥ a + b ，⑦ 是代数式，
a ab
4
故选：C ．
（4）解： 第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 1 个座位，
第二排是19 +1+1= 21，
第三排是19 +1+1+1= 22 ；
以此类推，第 n 排有座位数为： (19 + n) 个；
故选：C ．
例 2
（1）（★★★☆☆）研究下列算式，你发现什么规律了？试用公式表示这些规律.
（Ⅰ）1 3+1= 4 = 22 ， 2 4 +1= 9 = 32 ，3 5+1=16 = 42 ， 4 6 +1= 25 = 52 ，……
（Ⅱ）1=12 ，1+ 3 = 4 = 22 ，1+ 3+ 5 = 9 = 32 ，1+ 3+ 5+ 7 =16 = 42 ，……
（2）（★★★☆☆）观察如图一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图
中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点， 按此规律第 4 个图中共有点的个数比第 3 个
图中共有点的个数多_______个；第 20 个图中共有点的个数为_______个．
【配题说明】
（1）用字母来表示规律（代数）
（2）用字母来表示规律（几何）
【常规讲解】
（1）（Ⅰ） n (n + 2) +1= (n +1) 2 （ n 为正整数）
（Ⅱ）1+ 3+ 5 + 7 + ......+ (2n 1) = n2 （ n 为正整数）
（2）解：第 2 个图形比第 1 个图形多 2 3 个点，第 3 个图形比第 2 个图形多3 3 个点，
，即每个图形比前一个图形多序号 3 个点．
第 4 个图中共有点的个数比第 3 个图中共有点的个数多 4 3 =12个点．
第 20 个图形共有 4 + 2 3+ 3 3+ +19 3+ 20 3
5
= 4 + 3 (2 + 3+ +19 + 20)
= 4 + 3 209
= 4 + 627
= 631（个 ) ．
故答案为：12；631．
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）（2018 浦东新区月考）下列式子中，符合代数式书写形式的是 ( )
1 3a2b
A． 2 xyz B．ba2c 5 C． D． a b c
3 4
(a + b)2
（2）（★★☆☆☆）（2019 杨浦区校级月考）代数式 的意义是 ( )
c
A． a 与b 的平方和除 c 的商 B． a 与b 的平方和除以 c 的商
C． a 与b 的和的平方除 c 的商 D． a 与b 的和的平方除以 c 的商
（3）（★★☆☆☆）（2019 浦东新区校级月考）下列各式中，代数式的个数有 ( )
5
9 ， x + y ， ， s = a2
x
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（4）（★★★☆☆）（2019 春 嘉定区期末）如果受季节影响，某种商品的原价为 100 元，按
降价 a% 出售，那么该商品的售价可表示为 ( )
100 100
A． B．100(1 a%) C． D．100(1+ a%)
1 a% 1+ a%
【配题说明】
（1）考察学生代数式书写格式
（2）考察代数式的表达
（3）代数式的判别
（4）代数式在实际问题中的表达
【常规讲解】解法一：
（1）解： A 、不符合代数式书写形式，故此选项错误；
6
B 、不符合代数式书写形式，故此选项错误；
C 、符合代数式书写形式，故此选项正确；
D 、不符合代数式书写形式，故此选项错误；
故选：C ．
(a + b)2
（2）解：代数式 的意义是 a 与 b 的和的平方除以 c 的商，
c
故选： D ．
5
（3）解：代数式有： 9 ， x + y ， ．
x
所以代数式的个数有 3 个．
故选：C ．
（4）解：根据题意可得：100(1 a%)
答：该商品的售价可表示为100(1 a%) 元．
故选： B ．
练 1-2
（1）（★★★☆☆）研究下列算式，你发现什么规律了？试用公式表示这些规律.
（Ⅰ）1 3 = 3 = 22 1， 3 5 =15 = 42 1，5 7 = 35 = 62 1， 7 9 = 63 = 82 1，……
（Ⅱ） 32 12 = 8 = 8 1，52 32 =16 = 8 2 ， 72 52 = 24 = 8 3 ，92 72 = 32 = 8 4 ，……
（2）（★★★☆☆）观察图中每个图形中点的个数， 第 1 个图中有 4 个点， 第 2 个图中
有 9 个点，第 3 个图中有 16 个点， 若按其规律继续画， 第 6 个图中有______个点，
猜想第 n 个图形中所有点的个数为______（用含 n 的代数式表示）
【配题说明】
（1）用字母来表示规律（代数）
（2）用字母来表示规律（几何）
7
【常规讲解】
2
（1）（Ⅰ） (2n 1)(2n +1) = (2n) 1（ n 为正整数）
2 2
（Ⅱ） (2n +1) (2n +1) = 8n （ n 为正整数）
（2）解： 第 1 个图形中点的个数为：1+ 3 = 4 ，
第 2 个图形中点的个数为：1+ 3+ 5 = 9 ，
第 3 个图形中点的个数为：1+ 3+ 5+ 7 =16 ，
第 6 个图中有1+ 3+ 5+ 7 + 9 +11+13 = 49 ，
第 n 个图形中点的个数为：1+ 3+ 5+ + (2n +1) = (n +1)2 ．
故答案为： 49 ， (n +1)2 ．
知识点 2—— 式的
知识笔记
1． 式的
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的
值．
2． 式的 的
直接代入法；整体代入法．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 闵行校级月考）当 x = 2 时， 代数式 x2 + 2x +1的值等于_______．
（2）（★★★☆☆）（2020 嘉定区期末）如果 x2 3x =1 ，那么 2x2 6x 5 的值为_______．
【配题说明】此题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握整体代入的方法是解决本题的关键．
【常规讲解】
（1）解： 原式= 4 4+1=1．
故答案为 1 ．
8
（2）解： x2 3x =1，
2x2 6x 5 = 2(x2 3x) 5 = 2 5 = 3 ．
故答案为： 3．
例 2
（★★★★☆）（2019 浦东新区期末）已知： (2x +1)3 = ax3 + bx2 + cx + d ，那么代数式
a + b c + d 的值是 ( )
A． 1 B．1 C．27 D． 27
【配题说明】此题主要考查了考察特殊值带入法求值问题
【常规讲解】
解：当 x = 1时，
a + b c + d
= ( 2 +1)3
= 1
故选： A ．
巩固练习
练 2-1
1 3a(a +1)
（1）（★★☆☆☆）（2019 闵行区校级月考）当 a = 时，代数式 的值等于________．
2 2
（2）（★★★☆☆）（2019 宝山区期末）若 a 3b = 3，则8 2a + 6b = ________．
【配题说明】此题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握整体代入的方法是解决本题的关键．
【常规讲解】
1
（1）解： a = ，
2
3a(a +1)
2
1 1 9
3 ( +1) 9
= 2 2
=
= 4 8
2 2
9
故答案为： ．
8
（2）解： a 3b = 3 ，
9
8 2a + 6b
= 8 2(a 3b)
= 8 2 3
= 8 6
= 2 ．
故答案为：2．
练 2-2
（★★★★☆）（2017 复旦兰生月考）
已知 (x +1)2 (x2 7)3 = a0 + a1(x + 2) + a2 (x + 2)
2 + + a 88 (x + 2) ，
则 a1 a2 + a3 a4 + a5 a6 + a7 的值为多少？
【配题说明】此题主要考查了考察特殊值带入法求值问题
【常规讲解】
解：令 x = 2 则 x + 2 = 0 所以右边只剩下 a0 ，
所以 a = ( 1)2 ( 3)30 = 27
左边 8 次方的系数是 1，
右边 8 次方的系数是 a8 ，所以 a8 =1，
令 x = 3 则 x + 2 = 1，
所以 x + 2奇次方是 1，偶次方是 1，
所以右边 = a0 a1 + a2 a3 + a7 + a8 左边= ( 2)
2 23 = 32 ，
所以 27 (a1 a2 + a3 a4 + a5 a6 + a7 ) +1= 32 ，
a1 a2 + a3 a4 + a5 a6 + a7 = 58 ．
故答案为： 58 ．
10
知识点 3——整式的
知识笔记
1．单 式
由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也
是_________．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做
这个单项式的______．
2． 式
由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．
在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的
次数就是这个多项式的次数．
3． 式的
（1）把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这
个字母____________．
（2）把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这
个字母____________．
4．整式
单项式，多项式统称为整式．
【填空答案】
1、单项式；次数；
3、降幂排列；升幂排列
11
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）（2020 奉贤区期末）下列说法正确的是 ( )
xy2
A． a2 + 2a + 32 是三次三项式 B． 的系数是 4
4
x 3
C． 的常数项是 3 D．0 是单项式
2
【配题说明】此题主要考查了多项式和单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
【常规讲解】
解： A 、 a2 + 2a + 32 是二次三项式，故此选项错误；
xy2 1
B 、 的系数是 ，故此选项错误；
4 4
x 3 3
C 、 的常数项是 ，故此选项错误；
2 2
D 、0 是单项式，故此选项正确．
故选： D ．
例 2
（★★☆☆☆）（2019 闵行校级月考）把多项式 x3 xy2 + x2 y + x4 3 按 x 的降幂排列，正确
的是 ( )
A． x4 + x3 + x2 y 3 xy2 B． xy2 + x2 y + x4 + x3 3
C． 3 xy2 + x2 y + x3 + x4 D． x4 + x3 + x2 y xy2 3
【配题说明】本题考查了多项式的知识，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符
号．
【常规讲解】
解：把多项式 x3 xy2 + x2 y + x4 3 按 x 的降幂排列： x4 + x3 + x2 y xy2 3 ．
故选： D ．
12
例 3
（★★★☆☆）（2020 上海期末）如果单项式 4a2bcm 为 7 次单项式，那么 m 的值为________．
【配题说明】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式次数定义：一个单项式中所有字母
的指数的和叫做单项式的次数．
【常规讲解】
解：由题意得： 2 +1+m = 7 ，
解得： m = 4，
故答案为：4．
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）（2020 浦东新区期中）下列说法中，正确的是 ( )
A． x 不是单项式
2 ab 2
B．单项式 的系数是
7 7
4
C． 是单项式
a
D．多项式 a2b2 2b3 +1是四次三项式
【配题说明】此题主要考查了多项式以及单项式，正确掌握相关定义是解题的关键．
【常规讲解】
解： A 、 x 是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
2 ab 2
B 、单项式 的系数是 ，原说法错误，故此选项不符合题意；
7 7
4
C 、 不是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
a
D 、多项式 a2b2 2b3 +1是四次三项式，原说法正确，故此选项符合题意．
故选： D ．
13
练 3-2
（★★☆☆☆）（2020 松江区期末）将多项式 x2 + 4x3 y 2y3 + 3xy2 按字母 x 降幂排列是：
_____________．
【配题说明】本题考查了多项式的知识，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符
号．
【常规讲解】
解：按字母 x 降幂排列： 4x3 y + x2 + 3xy2 2y3 ，
故答案为： 4x3 y + x2 + 3xy2 2y3 ．
练 3-3
4 3 1 k 5
（★★★☆☆）（2020 浦东新区校级月考）若 a b ab + 3 是五次多项式，则 k = ________．
5 3
【配题说明】本题考查了多项式的项和次数的定义，能熟记多项式次数的定义是解此题的关
键．
【常规讲解】
4 3 1
解： a b ab
k + 35 是五次多项式，
5 3
k +1= 5，
解得： k = 4 ，
故答案为：4．
14
知识点 4——整式的
知识笔记
1． 的
所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做_________．
2．
（1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，
这个多项式就叫做几项式．
（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的
指数不变．
3．
括号前面是“+”号，去（添）掉“+”号和括号，括号里的各项符号不变；
括号前面是“-”号，去（添）掉“-”号和括号，括号里的各项变成相反符号．
4．整式的 运算
（1）去括号；（2）合并同类项．
【填空答案】
1、同类项
15
经典例题
例 1
（★★★☆☆）（2019 静安区月考）单项式 5a9bx y 与 3ax+ yb3 的和仍是单项式，求代数式
1 4 1 2 2 1x x y + y4 的值．
18 81 9
【配题说明】考查同类项，二元一次方程组的解法等知识，求出 x 、 y 的值时解答的关键．
【常规讲解】
解： 单项式5a9bx y 与 3ax+ yb3 的和仍是单项式，
单项式5a9bx y 与 3ax+ yb3 的是同类项，
x + y = 9
因此有： ，解得 x = 6 ， y = 3；
x y = 3
当 x = 6 ， y = 3时；
1 1
= 64 62 2
1 4
原式 3 + 3
18 81 9
= 72 4 + 9
= 77 ．
例 2
4 3 3 2 2 3 4 2
（1）（★★★☆☆）（2019 杨浦区校级月考）先化简，再求值： x x + x + 5x x + 3 ，
3 7 3 7
1
其中 x = ．
2
（2）（★★★★☆）（2019 浦东期中改编）马小虎同学做一道数学题：“已知两个多项式 A 、
B ，试求 A + B ，其中 B = 3a2 + 2a 5 ”．这位同学把“ A + B ”看成了“ A B ”，他求
出的答案是5a2 6a + 6 ，那么 A + B 的正确答案是多少？
【配题说明】（1）此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2）本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
【常规讲解】
（1）解：原式 = 2x3 x2 + 5x + 3 ，
1 1 1 5 11
当 x = 时，原式 = + + 3 = ．
2 4 4 2 2
16
（2）解： A B = 5a2 6a + 6 ， B = 3a2 + 2a 5 ，
A= A B + B
= (5a2 6a + 6) + ( 3a2 + 2a 5)
= 5a2 6a + 6 3a2 + 2a 5
= 2a2 4a +1，
A+ B = (2a2 4a +1) + ( 3a2 + 2a 5)
= 2a2 4a +1 3a2 + 2a 5
= a2 2a 4 ．
A + B 的正确答案是 a2 2a 4 ．
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）若单项式 3x2 y5 与 2x1 a y3b 1 是同类项，求下面代数式的值：
5ab2 [6a2b 3(ab2 + 2a2b)] ．
【配题说明】本题主要考查整式的加减 化简求值，解题的关键是掌握去括号和合并同类项
法则及同类项的定义．
【常规讲解】
解： 3x2 y5 与 2x1 a y3b 1 是同类项，
1 a = 2 且 3b 1= 5，
解得： a = 1、b = 2 ，
原式= 5ab2 (6a2b 3ab2 6a2b)
= 5ab2 6a2b + 3ab2 + 6a2b
= 8ab2 ．
当 a = 1、b = 2 时，
原式= 8 ( 1) 22
= 8 4
= 32 ．
17
练 4-2
（1）（★★★☆☆）（2019 杨浦区校级月考）先化简，再求值：
1 1
0.2y2 1.3y2 + 0.3y2 + 0.8y2 y2 + 3 ，其中 y = ．
5 2
（2）（★★★★☆）（小马虎在解数学题时，由于粗心，把原题“两个多项式 A 和 B ，其中
B = 4x2 5x 6 ”，在求“ A B ”时把“ A B ”错误地看成“ A + B ”，结果求出的答案
是 7x2 10x + 2 ，请你帮他纠错，正确的算出 A B ．
【配题说明】此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【常规讲解】
1 2
（1）解：原式 = y + 3 ，
5
1 1 59
当 y = 时，原式 = + 3 = ．
2 20 20
（2）解： B = 4x2 5x 6 ， A+ B = 7x2 10x + 2 ，
A = (7x2 10x + 2) (4x2 5x 6)
= 3x2 5x + 8 ，
A B = (3x2 5x + 8) (4x2 5x 6)
= x2 +14．
练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）（2008 闸北区校级期中）设两数为 a ，b ，那么代数式 a2 2ab + b2 表示
( )
A．两个数和的平方减去这两个数乘积的 2 倍
B．两个数的平方和减去这两个数乘积的 2 倍
C．两个数的差的平方减去这两个数乘积的 2 倍
D．两个数的平方差减去这两个数乘积的 2 倍
18
（2）（★★★☆☆）（2018 杨浦区校级期末）某工厂第一个月的销量为 a 亿元，第二个月增
加了15% ，第三个月减少了15% ，则第三个月的销量与第一个月销量相比 ( )
A．不变 B．增加了 2.25% C．减少了 2.75% D．减少了 2.25%
【配题说明】
（1）考察代数式的表达
（2）代数式在实际问题中的表达
【常规讲解】
（1）解：代数式 a2 2ab + b2 表示两个数的平方和减去这两个数乘积的 2 倍；
故选： B ．
（2）解：由题意，得 a(1+15%)(1 15%) a = 2.25%a ，即减少了 2.25%a ．
故选： D ．
练 2
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是 ( )
2vt
A． 的系数是 2 B．32 ab3 的次数是 6 次
3
x + y
C． 是多项式 D． x2 + x 1的常数项为 1
5
1 2
（2）（★★☆☆☆）（2018 松江区期末）当 x = 3 时，代数式 x + 2x 1的值为________．
3
（3）（★★★☆☆）（2019 嘉定区期中）若 x2 2x = 5 ，那么代数式 3x2 6x +1的值等于
________．
【配题说明】
（1）确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准
单项式的系数和次数的关键．
（2）代数式在实际问题中的表达
【常规讲解】
2vt 2
（1）解： A 、 的系数是 ；故 A 错误．
3 3
B 、 32 ab3 的次数是1+ 3 = 4 ；故 B 错误．
x + y
C 、根据多项式的定义知， 是多项式；故C 正确．
5
D 、 x2 + x 1的常数项为 1，而不是 1；故 D 错误．
19
故选：C ．
（2）解：当 x = 3时，
1 1
x2 + 2x 1= 32 + 2 3 1
3 3
= 3+ 6 1
= 8 ，
故答案为：8．
（3）解：当 x2 2x = 5 时，
3x2 6x +1
= 3(x2 2x) +1
= 3 5+1
=15 =1
=16
故答案为：16．
练 3
（1）（★★★☆☆）先化简，再求值：5a2 [3a (2a 3) + 4a2 ]，其中 a = 2 ．
1 2 2 1 2
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值： ( a b ab ) (1 ab a
2b) ，其中 a = 3 ，b = 2 ．
2 4
（3）（★★★★☆）有这样一道题：“求 (2x3 3x2 y 2xy2 ) (x3 2xy2 + y3) + ( x3 + 3x2 y y3)
1 1 1
的值，其中 x = ， y = 1 ”．小明同学把“ x = ”错抄成了“ x = ”，但他
2021 2021 2021
的计算结果竟然正确，请你说明原因，并计算出正确结果．
【配题说明】
（1）此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2）本题考查了整式的加减和有理数的混合运算，掌握去括号法则、合并同类项法则和有
理数的混合运算是解决本题的关键．
（3）此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）解：原式= 5a2 3a + 2a 3 4a2 = a2 a 3 ，
当 a = 2 时，原式= 4 + 2 3 = 3．
1 2 2 1
（2）原式 = a b ab 1+ ab
2 + a2b
2 4
20
3 2 3= a b ab2 1．
2 4
当 a = 3 ，b = 2 时，
3 3
原式 = ( 3)
2 2 ( 3) 22 1
2 4
3 3
= 9 2 ( 3) 4 1
2 4
= 27 + 9 1
= 35 ．
（3）解：原式= 2x3 3x2 y 2xy2 x3 + 2xy2 y3 x3 + 3x2 y y3
= 2y3 ，
此题的结果与 x 的取值无关．
y = 1 时，
原式= 2 ( 1)3 = 2 ．
【B组】
练 1
2 2
（★★★★☆）已知当 x =1时，3ax + bx + 5 的值为 8，则当 x = 3时 ax + bx 的值为________．
【配题说明】考查了代数式求值，做此类题的时候，应先得到只含字母的代数式的值为多少，
把要求的式子整理成包含那个代数式的形式．
【常规讲解】
解： 当 x =1时，3ax2 + bx + 5 的值为 8，
3a + b + 5 = 8 ，
3a + b = 3
当 x = 3时， ax2 + bx = 9a + 3b = 3(3a + b) = 9 ．
故答案为：9．
练 2
（★★★★★）现有一个代数式 x(x 1)(x 2)(x 3) (x 19)(x 20) ． x =10.5 时该数式的值
为 a ， x = 9.5时该代数式的值为b ．则 a + b = ______．
【配题说明】本题考查的是代数式求值，根据题意得出 a 、 b 的值是解答此题的关键．
21
【常规讲解】
解： a =10.5 9.5 8.5 0.5 ( 0.5) ( 8.5) ( 9.5)
= ( 1)10 0.52 1.52 9.52 10.5 ．
b = 9.5 8.5 7.5 0.5 ( 0.5) ( 9.5) ( 10.5)
= ( 1)11 0.52 1.52 9.52 10.5 ．
a + b = [( 1)10 + ( 1)11] 0.52 1.52 9.52 10.5 = 0 ．
故答案为：0．
课堂总结
2208」整式的除法
学习目标
目标1
★★★☆☆☆操作
熟练掌握同底数幂的除法的运算
目标2
★★★女☆女操作
熟练掌握单项式除以单项式的运算
目标3
★★☆☆☆操作
熟练掌握多项式除以单项式的运算
目标4
★★大★★☆迁移
熟练掌握多项式除以多项式的运算
知识清单
的除法法则
的除法
的意义
负整
的意义
科学记数法
整式的除法
单项式除以单项式法则
整式的除法
单项式除以单项式的步骤
单项式
法则
多项式除以多项式的
多项式除
式
被除式=除式×商式+余式
【考情分析】
1.考纲要求：
2.3整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则
2.因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分解
的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
1
3.对应教材：初一上册，第九章：整式
9.17同底数幂的除法
9.18单项式除以单项式
9.19多项式除以单项式
4.整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、方
程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具.因
此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用.学习整式乘除是学习整式
加减的继续和发展.
【课堂引入】
复习同底数幂的乘法法则。我找个同学来回答一下同底数幂的乘法法测：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即（板书内容）ama=am+n(m、n为正整数)
下面我们共同学习一下这几道题：
用你熟悉的方法计算：
(1)23×
=25:
(2)103×
=107:
(3)a3×
=a7(a≠0)。
由上面的计算，我们发现：
25÷23=22=25-3:
107÷103=104=107-3:
a7÷a3=a4=a7-3.
同底数幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
用字母表示：am÷a”=am-n(a≠0，m、n是正整数且m>n)
当m=n时am÷a”=am-n=a°=1(a≠0)；零指数的意义：a°=1(a≠0)
02
知识点1
的除法
知识笔记
1.
的除法法
底数不变，指数相减，即：
(a≠0，m,n都是整数且m>n)
2.零指数的意义
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即
3.负整数指数的意义
任何不等于零的数的一P(P是正整数)次幂，等于这个数的P次幂的倒数，即：
(a≠0，P是正整数)
4.科学记数法
我们曾用科学记数法来表示一些绝对值较大的数，现在，我们同样可以用科学记数法
表示一些绝对值较小的数（绝对值小于1的）根据负整数指数的意义
(a≠0，P是正整数)
【填空答案】
1、am÷a”=am-n
2、a°=1(a≠0)
3、ap=
1
a叫
4、ap=
a
0309 | 分式的基本性质
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解分式的基本的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练运用分式的基本性质进行约分
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握“有意义”“无意义”和“值为零”题型
知识清单
分 式的基本 分 式的
分 式 的
分式的运算 与 为
分式 为
分式的基本性质
分 式的基本性质 分
分式
107
知识点 1——分式的基本
知识笔记
分式的
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．
A
一般地，如果 A ， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式．
B
整式与分式统称为有理式．
在理解分式的概念时，注意以下三点：
① 分式的______中必然含有______；
② 分式的______的值不为___；
③ 分式必然是写成两式相除的形式，中间以_________隔开．
经典例题
例 1
1 1 2 1 2 a + b 2
（★★☆☆☆）在下列式子： 5x ， ， a b ， ， 中，分式有 ( )
a + b 2 2 10m
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 2
3
（★★★☆☆）如果分式 的值为负数，则 y 的取值范围是______．
2y 3
例 3
（★★★☆☆）现有单价为 x 元的果冻 a 千克，单价为 y 元的果冻b 千克，单价为 z 元的果冻 c
千克，若将这三种果冻混合在一次，则混合后的果冻售价为_________元/千克．
108
巩固练习
练 1-1
2 1+ x 2x 1 3
（★★☆☆☆）在代数式 ， ， ， 中，分式有 ( )
5 x2 x 3
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
练 1-2
a
（★★★☆☆）若分式 的值总是正数， a 的取值范围是 ( )
2a 1
1 1
A． a 是正数 B． a 是负数 C． a D． a 0 或 a
2 2
练 1-3
（★★★☆☆）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1 千米，下坡时的速度为每小
时V2 千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是__________．
知识点 2——“ / ”与“ 为 ”
知识笔记
1. 分式 的
两个整式相除，除数不能为零，故分式有意义的条件是_______________；
当____________，分式无意义．
2. 分式的 为
分式的值为零时，必须满足分式的____________，且分式的______________，注意是
“同时”．
109
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）回答下列问题：
x + 2
（1）当 x 是什么数时，分式 有意义？
2x 5
x 1
（2）当 x 是什么数时，分式
x2
无意义？
1
x 3
（3）已知分式 的值为 0 ，求 x 的值．
x 3
例 2
1
（★★★☆☆）（1） x 为何值时，分式 2 有意义？ x 3x + 2
x2 1
（★★★☆☆）（2）当 x=__________时，分式 的值为 0.
x2 + x 2
例 3
1
（★★★★☆） x 为何值时，分式 1 有意义？
2 + x
2 + x
110
巩固练习
练 2-1
x + 2
（1）（★★☆☆☆）如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是____．
3x 1
x2 9
（2）（★★☆☆☆）当 x =_________时，分式 无意义．
x + 3
x 1
（3）（★★☆☆☆）如果分式 的值为零，那么 x =_________．
2x 6
练 2-2
1
（★★★☆☆）（1） x 为何值时，分式 2 无意义？ x 3x + 2
(m 1)(m 3)
（★★★☆☆）（2）当 m=__________时，分式 2 的值为 0. m 3m + 2
练 1-3
1
（★★★★☆）若分式 1 有意义，则（ ）．
1+
x +1
A． x 1 B． x 2 C． x 2 且 x 1 D． x 0 且 x 1
111
知识点 3——分式的基本性质
知识笔记
1. 分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值______．
a am a a m
上述性质用公式可表示为： = ， = (m 0) ．
b bm b b m
注意：
（1）在运用分式的基本性质时，基于的前提是 m 0；
（2）强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；
（3）分式的基本性质是约分和通分的理论依据．
2. 分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中_______________约去的过程，叫做
约分．
3. 分式
一个分式的分子、分母没有_______________ (1 除外）时，这个分式叫做最简分式．约
分可以把一个分式化为最简分式．
4. 分的方法
（1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的
_____________，分子、分母的系数约去它们的________________．
（2）当分式的分子、分母中有多项式，则要先因式分解，再约分．
（3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式．
112
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．
3 2
x y
1.03x + 0.02y 4 3
（1） ； （2） ．
3.2x 0.5y 1 5
x + y
3 2
例 2
（★★★☆☆）将下列分式化为最简分式：
2x + 3x2 x + y
（1） ； （2） 2 ；
2x x y
2
a2 3 m2 2mn + n2
（3） ； （4） ．
2a3 6a m2 n2
例 3
（★★★☆☆）把下列分式中的字母 x 和 y 都扩大为原来的 5 倍，分式的值有什么变化？
x + 2y 9x
（1） ； （2） 2 2 . x + y 2x + 3y
113
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）不改变分式的值，使下列分式中的分子与分母的各项的系数都是整数，且分子
的首项系数是正数，并把结果填在横线上．
0.5m +1 0.3a 1
（1） = ________ ； （2） = __________ ．
m2 + 5 0.02a + 0.05
练 3-2
（★★★☆☆）将下列分式化为最简分式：
2
4x2 y 2(x y) 2 3a 4a + 4 x 2x2 y
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
8xy2 36( 2y x) a 4 x
2 y 2xy2
练 3-3
（★★★☆☆）若 x、y 的值扩大为原来的 3倍，下列分式的值如何变化？
x2 + y2 2x3 x2 y2
（1） 2 2 ； （2） 3 ； （3） . x y 3y 3xy
114
综合练习
【A组】
练 1
a 2 1
（★★☆☆☆）在代数式 2 + a ， ， ， ， 2a 中，分式有 ( )
2 a 2 + a
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
练 2
（★★★☆☆）若把 x ，y 的值同时扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是 ( )
xy (x + y)2 y + 2 2x
A． B． C． D．
x + y x2 x + 2 y
2 x2
练 3
（★★★☆☆）将下列分式化为最简分式．
a2 + ab m2 3m
（1） ； （2） ；
a2 b2 9 m2
3ab + 3b2 x2 3x
（3） ； （4） ．
a2b + 2ab2 + b3 x4 6x3 + 9x2
【B组】
练 1
a b 1 3a2 5ab + 2b2
（★★★★☆）若 = ，求 的值．
b 2 2a2 + 3ab 5b2
115
练 2
x 1 x2
（★★★★☆）阅读材料：已知 = ，求 的值
x2 +1 3 x4 +1
x 1 x2 +1 1
解：由 =2 得， = 3 ，则有 x + = 3， x +1 3 x x
x4 +1 1 1
由此可得， = x2 + = (x + )2 2 = 32 2 = 7 ；
x2 x2 x
x2 1
所以， = ．
x4 +1 7
x x2
请理解上述材料后求：已知 = a ，用 a2 的代数式表示 的值． x + x +1 x4 + x2 +1
练 3
y + z z + x x + y
（★★★★★）已知 x、y、z 满足 = = = k ，求 k 的值．
x y z
练 4
(x a)( y a) + ( y a)( z a) + ( z a)(x a)
（★★★★★）已知 x + y + z = 3a ，求 2 2 2 的值．
(x a) + ( y a) + ( z a)
11614 | 中心对称与轴对称图形
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握中心对称与轴对称的作图
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 识别中心对称与轴对称图形的概念
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握中心对称与轴对称图形的性质
知识清单
对称
中 心对称
对称与中心对称
中心对称图形
中心对称与轴对称图形 中 心对称与 对称
与轴对称图形
轴对称图形
对 称轴
【考情分析】
1．中心对称与轴对称图形的属于图形板块知识，在期中期末考试中，占 20%左右的分值
2．中心对称与轴对称图形常常会以填空题和选择题的形式对学生进行考察。同时这个部分
的知识也会结合上学期“线段与角”章节的知识考察图形运动与角度之间的关系。
3．对应教材：
七年级上册 11.4 中心对称 11.5 翻折与轴对称图形 11.6 轴对称
4．理解两个图形关于某一点中心对称的意义．能够区分中心对称与中心对称图形．掌握轴
对称、轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形区别，会利用有关性质画出已知图形关
于某一条直线对称的图形．重点理解相关概念，能够判断出图形特点．
1
课堂引入
1．创设情境：
展示生活中一些图片：人物，剪纸艺术及生活中的物品的中心对称图片。
2．魔术表演：
如图所示，教师把四张扑克牌放在桌上，蒙住眼睛，请一位同学上台把某一张牌旋转 180°，
解除面具后，看到四张扑克牌如图所示，教师很快就确定那一张牌被旋转过。
2
知识点 1—— 对称与中心对称
知识笔记
1. 对称
把一个图形绕着一个顶点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做___________．这
个定点叫做___________，旋转的角度叫做___________．
对旋转对称图形可从以下几个方面理解：
旋转中心在旋转的图形上；
旋转的角度小于 360°．
2. 中心对称
把一个图形绕着一个定点旋转 180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点
对称，也叫做这两个图形成___________，这个点叫做___________，这两个图形中的对应点
叫做关于中心的___________．
3. 中心对称图形
中心对称是旋转对称的___________，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称
的两个图形，对称点的连线都经过___________并且被___________平分，关于对称中心的两
个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连接成
的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称，这给我们
提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．
4. 中心对称与中心对称图形 区别与联系
（1）中心对称是两个图形而言的，指___________的关系；而中心对称图形是对___________
而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．
（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在___________上，中心对称图形的对称点在
___________上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中
心对称的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形．
3
【填空答案】
1、转对称旋图形；旋转对称中心；旋转角（旋转角0 360 ）
2、中心对称；对称中心；对称点
3、特例；对称中心；对称中心；
4、两个图形间；一个图形；两个图形；一个图形
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 上海期末）下列图形中，不是旋转对称图形的是 ( )
A．正三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形
（2）（★★☆☆☆）（2020 浦东新区期末）下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A． 正三角形 B． 等腰梯形
C． 正五边形 D． 正六边形
（3）（★★★☆☆）如图，如果等边三角形 ABC 旋转后能与等边三角形DCB重合，那么在图
形所在的平面上可以作为旋转中心的点有几个？分别说明其旋转的方向．
【配题说明】
（1）此题主要考查了旋转对称图形，正确掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
（2）本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两
部分重合．
（3）本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
4
【常规讲解】
（1）解： A、正三角形旋转120 ，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；
B 、等腰梯形，不是旋转对称图形，符合题意；
C 、正五边形旋转72 ，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；
D 、正六边形旋转60 ，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；
故选： B ．
（2）解： A、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
B 、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项错误；
C 、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、正六边形是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D ．
（3）解：以点 B 为旋转中心， ABC 顺时针旋转60 可得 DCB，
以 BC 的中点为旋转中心， ABC 顺时针旋转180 可得 DCB，
以点C 为旋转中心， ABC 逆时针旋转60 可得 DCB，
作为旋转中心的点有 3 个．
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，A(1,1)， ABC 的顶点均在格点上．若 ABC
和△ A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△ A1B1C1．
（2）（★★★☆☆）如图， ABC 和 DEF 关于某点对称，在图中画出对称中心O；
5
（3）（★★★☆☆）用直尺和圆规作图：已知 ABC 与△ A B C 成中心对称（点 A与 A 对
应），请在图中画出对称中心O，并画出完整的△ A B C ．（保留作图痕迹）
【配题说明】
本题主要考查作图 中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称的定义和性质．
【常规讲解】
（1）如图，△ A1B1C1为所作；
（2）对称中心O如图所示；
（3）解：如图所示：点O和△ A B C 即为所求．
6
例 3
（1）（★★★☆☆）如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为_________．
y
x
1
-1
（2）（★★★★☆）如图，正方形 ABCD边长为 2 厘米，以各边中点为圆心，1 厘米为半径
1
依次作 圆，将正方形分成四个部分．
4
① 这个图形是不是一个旋转对称图形？若是，则旋转中心是哪点？最小旋转角度是多少？
② 求曲边三角形OBC 的面积和周长（计算结果保留 )．
（3）（★★★★☆）正方形 ABCD中的 ABP 绕点 B 顺时针旋转能与 CBP '重合，若 BP = 4，
求点 P 所走过的路径长．
A D
P
B C
P'
【配题说明】
（1）考察学生观察力及圆的面积公式．
（2）本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是仔细观察所给图形的特点．
（3）在图形旋转的过程中，图形上任意一点经过的路程都是一段弧长．
【常规讲解】
1 1 2 1
（1）通过旋转可将阴影部分拼成 圆， S = r = ．
4 4 4
7
（2）解：① 这个图形是旋转对称图形，旋转中心是点O，最小旋转角为90 ．
1
②图形OBC 的周长 = BC + 圆的周长= 2 + ；
2
1 1
= S = 4 =1cm2面积 正方形ABCD ．
4 4
1
（3）点 P 所走过的路径是以 B 为圆心， BP = 4为半径的 圆的弧，
4
n r 90 4
根据弧长公式 l = = = 2
180 180
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）（2018 松江区期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种
图形中，是旋转对称图形的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（2）（★★☆☆☆）（2019 闵行区期末）下列汽车标识中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
（3）（★★★☆☆）（2018 杨浦区校级期末）如图，如果四边形CDEF 旋转后能与正方形 ABCD
重合，那么此图所在的平面上可以作为旋转中心的点共有______个．
【配题说明】
8
（1）此题主要考查了旋转对称图形，正确掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
（2）本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两
部分重合．
（3）本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹
角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
【常规讲解】
（1）解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边
形是旋转对称图形，共 3 个．
故选：C ．
（2）解： A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D ．是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D ．
（3）解：以C 为旋转中心，把正方形CDEF 逆时针旋转90 ，可得到正方形 ABCD；
以 D 为旋转中心，把正方形CDEF 顺时针旋转90 ，可得到正方形 ABCD；
以CD的中点为旋转中心，把正方形CDEF 旋转180 ，可得到正方形 ABCD．
故此图所在的平面上可以作为旋转中心的顶点共有 3 个．
故答案为：3．
练 1-2
（1）（★★★☆☆）如图， ABC 的顶点及点O都在正方形网格格点上．
① 画出 ABC 关于点O中心对称的图形△ A1B1C1；
② 画出 ABC 绕点O顺时针旋转90 的图形△ A2B2C2 ．
（2）如图，已知线段 AB 与线段CD关于某一点成中心对称，请在图中画出此对称中心，并
判断线段 AB 与CD是否平行？并用所学过的知识说明理由．
9
【配题说明】
本题主要考查作图 中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称的定义和性质．
【常规讲解】
（1）解：①如图，△ A1B1C1即为所求．
② 如图，△ A2B2C2 即为所求．
（2）解：如图所示，点O即为对称中心．
练 1-3
（1）（★★★☆☆）矩形的对角线相交于点O，过点O的直线交 AD ，BC 于点 E ，F ，AB = 2 ，
BC = 3，则图中阴影部分的面积为_________．
A E D
O
B F C
（2）（★★★★☆）如图，王虎使一长为 4cm，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动
的翻滚(顺时针方向)木板上点 A位置变化为 A→ A1 → A2 ，其中第二次翻滚被桌面上一小木
块挡住，使木板与桌面成30 角，求点 A翻滚到 A2位置时共走过的路径长．
10
A
A1
A2
B C
【配题说明】
（1）本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（2）考察图形的运动，主要发现点的运动路程就所经过的弧长．
【常规讲解】
1 1
（1） S BOF = S DOE ， S 阴 = S 矩形= 2 3 = 3
2 2
（2）两次运动是分别以 B 、C 为圆心，5cm、3cm 为半径，
圆心角为 90°、60°的两段弧长，
90 60 5 7
故走过的路径长为： l = 5+ 3 = + = ．
180 180 2 2
知识点 2——轴对称图形
知识笔记
1、 与轴对称图形
（1）把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
_____________，这条直线叫做__________，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的
__________．
（2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线________．
2、轴对称
（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这
两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成___________．
11
（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长
度和对应角的大小_______，它们的形状相同，大小_______；在成轴对称的两个图形中，分
别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．
【填空答案】
1、轴对称图形；对称轴；对称点；对称
2、轴对称；相等；不变
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）仔细观察如图所列的 26 个英文字母，将相应的字母填入表中适当的空格
内．
轴对称
对称形式 旋转对称 中心对称
只有一条对称轴 有两条对称轴
英文字母
【配题说明】
本题考查中心对称，轴对称等知识，解题的关键是理解轴对称图形，中心对称图形的定
义，属于中考常考题型．
【常规讲解】
解：对称轴只有一条的轴对称图形有： A， B ，C ， D ， E ，M ，T ，U ，V ，W ，
Y ．
对称轴有 2 条的轴对称图形有：H ， I ，O， X ．
旋转对称有：H ， I ， N ，O， S ， X ， Z ．
中心对称有：H ， I ， N ，O， S ， X ， Z ．
12
故答案为 A， B ，C ， D ， E ，M ，T ，U ，V ，W ，Y ；H ， I ，O， X ；H ，
I ， N ，O， S ， X ， Z ；H ， I ， N ，O， S ， X ， Z ．
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A， B ，C 均在小正
方形的顶点上．
① 在图中画出与 ABC 关于直线 l 成轴对称的△ A B C ；
② 求 ABC 的面积．
（2）（★★★☆☆）如图，下列三个图形都是关于某条直线对称，请仅使用无刻度的直尺
画出它们的对称轴．
【配题说明】
本题主要考查作图 轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称的定义和性质．
【常规讲解】
解：（1）①如图，△ A B C 即为所求．
1 1 1 7
② ABC 的面积 = 2 4 1 2 1 3 1 4 =
2 2 2 2
13
（2）解：如图所示：
例 3
（1）（★★★☆☆）如图，在 4 4正方形网格中，阴影部分是由 2 个小正方形组成一个图
形，请你分别在下图方格内添涂 2 个小正方形，使这 4 个小正方形组成的图形满足：图 1
有且只有一条对称轴；图 2 有且只有两条对称轴；图 3 有且只有四条对称轴．
（2）（★★★★☆）如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，将正方形 ABCD沿直线EF 折叠，
则图中折成的 4 个阴影三角形的周长之和为________．
（3）（★★★★☆）① 如图①， 1+ 2与 B + C 有什么关系？为什么？
② 把图①中的 ABC 沿DE 折叠，得到图②，
填空： 1+ 2____ B + C （填“ ”“ “或“=” )，当 A = 40 时，
B + C + 1+ 2的度数为____．
③ 如图③，是由图①的 ABC 沿DE 折叠得到的，如果 A = 30 ，那么
3+ 4 = 360 ( B + C + 1+ 2) = 360 ________= ________，猜想 3+ 4与 A的
关系为____________．
14
【配题说明】
（1）本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
（2）根据图形特征寻找到面积相等的部分，考察学生的观察力．
（3）本题考查了三角形的内角和和四边形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关
键．
【常规讲解】
（1）解：如图所示：
（2）解：由翻折变换的性质可知 AD = A D ， A H = AH ，D G = DG ，
阴影部分的周长
= A D + (A H + BH )+ BC + (CG + D G) = AD + AB + BC +CD = 2 4 = 8．
故答案为：8．
（3）解：① 结论： 1+ 2 = B + C ；
理由：根据三角形内角是180 ，
可知： 1+ 2 =180 A， B + C =180 A，
1+ 2 = B + C ；
15
② 1+ 2 + BDE + CED = B + C + BDE + CED = 360 ，
1+ 2 = B + C ；
当 A = 40 时， B + C + 1+ 2 =140 2 = 280 ；
故答案为： =， 280 ．
③ 3+ 4 = 360 ( B + C + 1+ 2) = 360 150 2 = 60 ，
如图③，延长 BD交CE 的延长线于 A ．
3 = DA A+ DAA ， 4 = EA A+ EAA ， DA E = DAE ，
3+ 4 = 2 A，
3+ 4与 A的关系为： 3+ 4 = 2 A．
故答案为150 2 ， 60 ， 3+ 4 = 2 A．
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）下列 10 个汉字：林上下目王田天王显吕，其中不是轴对称图形的是__________；
有一条对称轴的是__________；有两条对称轴的是__________；有四条对称轴的是
__________．
【配题说明】
本题主要考查了轴对称图形的定义，确定轴对称图形的关键的正确确定图形的对称轴．
【常规讲解】
解：“林上下”不是轴对称图形，“天王显吕”这四个字都有 1 条对称轴，“目”有 2 条
对称轴，“田”有 4 条对称轴．
练 2-2
16
（1）（★★★☆☆）如图，已知四边形 ABCD和直线 l ，求作四边形 ABCD以直线 l 为对称
轴的对称图形 A1B1C1D1 ．
（2）（★★★☆☆）如图， ABC 与△ A B C 关于直线 l 成轴对称图形．请作出对称轴 l ．（只
保留作图痕迹，不用写作图步骤）
【配题说明】
本题主要考查作图 轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称的定义和性质．
【常规讲解】
（1）解：如图所示，四边形 A1B1C1D1 即为所求．
（2）解：连接 AA ，作 AA 的垂直平分线MN ，
则直线MN 即为所求．
17
练 2-3
（1）（★★★☆☆）如图，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方
法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们组成轴对称图形．（试用两种方法）
（2）（★★★★☆）如图，等边 ABC 的边长为 a cm ，D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点，
将 ADE 沿直线DE 折叠，点 A落在点 A 处，且点 A 在 ABC 外部，则阴影部分图形的周
长为_____ cm ．
A
E
D
B C
A'
（3）（★★★★☆）如图，在 ABC 中， A = 80 ， B = 60 ，将 ABC 沿 EF 对折，点C
落在C 处．如果 1= 50 ，那么 2 = _______．
18
【配题说明】
（1）本题考查了简单图形的折叠问题．
（2）本题考查了利用轴对称设计图案．
（3）本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记性质与定理并准确识图是解
题的关键．
【常规讲解】
（1） 等边 ABC 的边长为 acm， AB = BC = AC = acm，
ADE沿直线DE 折叠，点 A落在点 A 处，
AD = A D, AE = A E ，
阴影部分的周长为 A D + A E + BD +CE + BC = AB + AC + BC
= a + a + a = 3a(cm)．
（2）
（3）解： A+ B + C =180 ，
CEF + CFE +C =180 ，
CEF + CFE = A+ B = 80 + 60 =140 ，
由翻折的性质得， 2( CEF + CFE) + 1+ 2 =180 2 ，
2 140 + 50 + 2 = 360 ，
解得 2 = 30 ．
故答案为：30 ．
19
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）（2017 普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方
形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有______个旋转对称图形．
（2）（★★☆☆☆）（2021 浦东新区二模）在下列图形中，中心对称图形是 ( )
A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．正五边形
（3）（★★☆☆☆）（2018 浦东新区模拟）正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，
最小的旋转角度数是 ( )
A．36 B．54 C．72 D．108
【配题说明】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180 度后两部分重合．
【常规讲解】
（1）解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等
边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为 4；
（2）解： A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；
B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；
C 、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误．
故选： B．
360
（3）解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是 = 72度．
5
故选：C ．
练 2
（★★☆☆☆）想一想，填一填．（填序号）
①等腰三角形②等边三角形③正方形④长方形⑤平行四边形⑥等腰梯形⑦直角梯形⑧圆
（1）只有一条对称轴的图形有_________．
20
（2）只有两条对称轴的图形有_________．
（3）只有三条对称轴的图形有_________．
（4）只有四条对称轴的图形有_________．
（5）有无数条对称轴的图形有_________．
（6）没有对称轴的图形有_________．
【配题说明】此题考查了轴对称图形的对称轴特点，熟记圆和圆环有无数条对称轴．
【常规讲解】
解：（1）只有一条对称轴的图形有 ①⑥．
（2）只有两条对称轴的图形有 ④．
（3）只有三条对称轴的图形有 ②．
（4）只有四条对称轴的图形有 ③．
（5）有无数条对称轴的图形有 ⑧．
（6）没有对称轴的图形有 ⑤⑦．
故答案为：①⑥，④，②，③，⑧，⑤⑦．
练 3
（★★★☆☆）（2019 浦东新区期末）如图是由边长为 1 的小正方形组成的8 4 网格，每
个小正方形的顶点叫做格点，点 A， B ，C ，D 均在格点上，在网格中将点D 按下列步骤
移动：
第一步：点D 绕点 A顺时针旋转180 得到点D1；
第二步：点D1绕点 B 顺时针旋转90 得到点D2 ；
第三步：点D2 绕点C 顺时针旋转90 回到点D ．
（1）请用圆规画出点D → D1 → D2 → D经过的路径；
（2）所画图形是__________对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留 )．
21
【配题说明】本题考查作图 旋转变换，弧长公式、轴对称图形等知识，解题的关键是
理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型．
【常规讲解】
解：（1）点D → D1 → D2 → D经过的路径如图所示：
（2）观察图象可知图象是轴对称图形，
故答案为轴对称．
90 4
（3）周长 = 4 = 8 ．
180
练 4
（★★★★☆）取一张正方形纸片，如图①所示，折叠一个角，设顶点 A落在 A 的位置，折
痕为CD，再折叠另一个角，如图②所示，使 BD沿DA 方向落下，折痕为DE ，试判断
DE 、DC的位置关系，并说明理由．
【配题说明】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．
【常规讲解】
解： ED ⊥CD ．
理由： 由翻折的性质可知： ADC = A DC ， BDE = B DE，
1 1
EDA = BDB ， A DC = A DA．
2 2
1 1
EDC = ( BDB + B DA) = 180 = 90 ．
2 2
ED ⊥ DC ．
22
【B组】
练 1
（★★★★☆）用直尺和圆规作图：已知 ABC 与△ A B C 成中心对称（点 A与 A 对应），请
在图中画出对称中心O，并画出完整的△ A B C ．（保留作图痕迹）
【配题说明】本题主要考查作图 中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称的定义和性
质．
【常规讲解】
解：如图所示：点O和△ A B C 即为所求．
练 2
（★★★★☆）如图：已知矩形 ABCD 的两边 AB = 4 厘米，BC =12 厘米
（1）在图 1 中画出矩形 ABCD 的对称中心．(不写结论)
（2）动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 厘米的速度沿 AD 边向点 D 移动，动点 Q 同时从点 B
出发，以每秒 1 厘米的速度沿 BC 边向点 C 移动，联结 PQ 得图 2．
问：①当 P、Q 出发几秒后，梯形 ABQP 的面积是梯形 PQCD 面积的两倍；
当 P、Q 出发几秒后，图 2 是一个中心对称图形．
【配题说明】本题考查了中心对称图形的应用．
23
【常规讲解】
（1）如图 1；
（2）解：设运行的时间为 x秒钟，则 AP = 2x， BQ = x．
1 1
① S梯形ABQP = 2S梯形PQCD ， AB(BQ + AP)= 2 CD(PD +CQ)
2 2
1 16
4(x + 2x)= 4(12 2x +12 x)，化简得：18x = 96，解得： x = ．
2 3
16
当 P、Q出发 秒钟后，梯形 ABQP的面积是梯形 PQCD 面积的两倍．
3
② 由题意得 BQ = PD ， x =12 2x，即 x = 4．
当 P、Q出发 4秒后，图 2 是一个中心对称图形．
练 3
（★★★★★）打台球问题，在一个长方形球台 ABCD 上，点 P、点 Q 各放着一个球，现在
要求点 P 的球先碰 AB 边，反弹 BC 边，最后反弹碰到 Q 的球．问点 P 的球应该撞击 AB 的
哪一点，才能够达到上述要求？
D C
Q Q1
P
A B
F
P1
【配题说明】本题考查了图形的对称问题，综合性较强，注意认真分析．
【常规讲解】
【解析】在 AB边的另一侧作出 P 点的对称点 P1 ，
在 BC 的另一侧作出Q的对称点Q1，
连接 P1、Q1，所得直线与 AB的交点 F，即为点 P 的球应该撞击 AB 的位置．
课堂总结
2407 | 因式分解（三）
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 掌握利用分组法进行因式分解
目标 2 ★★★★★★ 综合 掌握五项、六项式因式分解
知识清单
分组分解法
四 式分组分解
分组分解法
因式分解（三） 五 式分组分解 分组分解法
分组分解法
六 式分组分解 分组分解法
分组分解法
79
知识点 1——四 式分组分解
知识笔记
1. “2+2”分组分解法
步骤：
（1）根据每一项的特点(从字母、次数、系数入手)分别两两组合，用平方差公式或提
公因式进行因式分解.
（2）最后再次因式分解直至分解彻底.
2. “3+1”分组分解法
步骤：
（1）找出能组成完全平方公式的三项进行因式分解.
（2）最后用平方差公式进行因式分解.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）分解因式 4 x2 + 2x3 x4 ，分组合理的是（ ）.
A. (4 x2 ) + (2x3 x4 ) 2 4 3 B. (4 x x ) + 2x
C. (4 x4 ) + ( x2 + 2x3 ) 2 3 4 D. (4 x + 2x ) x
（2）（★★☆☆☆）填空：分解因式13m4 13m +m2 1.
分组方法一：原式=（_______）+（_______）；
分组方法二：原式=（_______）+（_______）.
例 2
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） xy x y +1； （2） ax + ay bx by ；
80
（3） x2 y2 x2 + y2 1； （4） a3 b2a + a b .
例 3
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） x2 2xy + y2 z2 ； （2） a2 + 6ab + 9b2 16x2 y2 ；
（3）1 a2 b2 2ab； （4） a2 + 4b2 c2 4ab .
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）用分组分解将 x2 xy + 3y 3x 分解因式，下列分组方式不恰当的是（ ）.
A. (x2 3x) + (3y xy) 2 B. (x xy) + (3y 3x)
2 2
C. (x + 3x) (3y + xy) D. (x xy 3x) + 3y
（2）（★★☆☆☆）填空：分解因式 x3 + x2 + 4x + 4 .
分组方法一：原式=（_______）+（_______）；
分组方法二：原式=（_______）+（_______）.
81
练 1-2
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） ab c + b ac ； （2） m3 m2 m +1 .
练 1-3
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） x2 12xy + 36y2 9 ； （2） x2 6x + 9 4y2 ；
（3） 4m2 +16n2 25a2b2 16mn ； （4）81a
4 + y2 18a2 y 121.
知识点 2——五 式分组分解
知识笔记
“3+2”分组分解法
步骤：
(1) 先 3 项组合后可用完全平方公式因式分 解或十字相乘;
(2) 再 2 项组合后用提公因式法因式分解;
(3) 最后通过提公因式法化成公因式乘另一个因式的形式.
82
经典例题
例 1
（★★★☆☆）因式分解：
（1） a2 2ab ac + bc + b2 ； （2） ma +mb a2 b2 2ab ；
（3） 2 2ax bx a2 + 2ab b2 ； （4） 4x 4x 12xy + 6y + 9y .
例 2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） 2 2 2x + 2x 15 ax 5a ； （2） x + 5xy + xz + 3yz + 6y ；
（3） 3x2 + 9y2 +12xy x y ； （4） 2m2 mn + 2m + n n2 .
83
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）因式分解：
（1） x2 4xy 2y + x + 4y2 ； （2） x2 + 2xy + y2 + xz + yz ；
（3） a2 + 4ab + 4b2 + 2ac + 4bc ； （4） 4a2 12ab + 9b2 + 4a 6b .
练 2-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） a2 4ab + 3b2 + ac bc ； （2） x
2 2x 2y2 + 4y xy ；
（3） x2 21xy + 98y2 + x 7y ； （4） 6x2 5xy 6y2 6x 4y .
84
知识点 3——六 式分组分解
知识笔记
1．“3+3”分组分解法
步骤：
(1) 先每 3 项组合后因式分解;
(2) 最后两个式子因式分解.
2. “3+2+1”分组分解法
步骤：
(1) 先 3 项组成用完全平方公式或者十字相乘因式分解;
(2) 2 项提取公因式化为前面完全平方公式的底数(提取公因式);
(3) 最后与剩下一项构成十字相乘化成积的形式.
3. “2+2+2”分组分解法
步骤：
(1) 先每 2 项都有一个公因式或组合成平方差公式，再各自提取公因式后又出现新的公
因式;
(2) 最后通过提公因式法化成公因式乘另一个因式的形式.
经典例题
例 1
（★★★★☆）因式分解：
（1） a2 2ab + b2 c2 + 2c 1； （
2
2） 4x 10xy + 25y2 z2 + 2z 1 .
85
例 2
（★★★★☆）因式分解：
（1） x2 4xy + 4y2 6x +12y + 9 ； （2） 4x2 + 4xy + y2 4x 2y 3 .
例 3
（★★★★☆）因式分解：
（1） x2 + ax2 + x + ax 1 a ； （2） a2 a2b + ab2 a + b b2 .
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）因式分解：
2 2 2 2
（1） m2 + 2mn + n2 1 m2n2 2mn ； （2） a b + x y 2(ax by) .
86
练 3-2
（★★★★☆）因式分解：
（1） m2 + 2mn + n2 3m 3n 4 ； （2） x
2 + 2xy + y2 x y 6 .
练 3-3
（★★★★☆）因式分解：
（1） ax2 4a + bx2 4b + cx2 4c ； （2） ax2 a + bx2 b + cx2 c .
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）因式分解：1 4x2 4y2 + 8xy ，正确的分组是 ( )
A． (1 4x2 ) + (8xy 4y2 ) B． (1 4x2 4y2 ) +8xy
C． (1+ 8xy) (4x2 + 4y2 ) D．1 (4x2 + 4y2 8xy)
（2）（★★☆☆☆）分解因式： x2 2xy + y2 + x y 的结果是 ( )
A． (x y)(x y +1) B． (x y)(x y 1) C． (x + y)(x y +1) D． (x + y)(x y 1)
（3）（★★☆☆☆）下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有 ( )
① (m3 +m2 m) 1； ② 4b2 + (9a2 6ac + c2 ) ；
③ (5x2 + 6y) + (15x + 2xy) ； ④ (x2 y2 ) + (mx +my)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
87
练 2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） x2 y2 2x +1； （2） x3 y3 + x2 y xy2 ；
（3）81m3 54m2 + 9m ； （4） a
2 (x y) + b2 (y x) ；
3 2 2
（5） a2 b2 2b 1； （6） a 3ab + 3b ；
4
（7） 2x2 y +16xy 32y ； （8） m2 + 6mn + 9n2 16m2n2 .
88
【B组】
练 1
（1）（★★★★☆）求 m 为何值时，多项式 x2 y2 +mx + 5y 6 能因式分解，并分解此多项
式．
（2）（★★★★☆）k 为何值时，多项式 x2 2xy + ky2 + 3x 5y + 2 能分解成两个一次因式的
积？
练 2
（★★★★☆）阅读下列材料：
1637 年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程
求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于 x 的多项式，“ x = a 是该多项式值为 0 时的一个解”与
“这个多项式一定可以分解为 (x a) 与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式 x3 + 2x2 3．
x =1是 x3 + 2x2 3 = 0 的一个解，
x3 + 2x2 3 可以分解为 (x 1) 与另一个整式的乘积．
设 x3 + 2x2 3 = (x 1)(ax2 + bx + c) ，
a =1
a =1
b a = 2
而 (x 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b a)x2 + (c b)x c ， 则 有 ， 得 b = 3 ， 从 而
c b = 0
c = 3
c = 3
x3 + 2x2 3 = (x 1)(x2 + 3x + 3) ．
运用材料提供的方法，解答以下问题：
89
（1）①运用上述方法分解因式 x3 + 2x2 + 3时，猜想出 x3 + 2x2 + 3 = 0 的一个解为________
（只填写一个即可），则 x3 + 2x2 + 3可以分解为________与另一个整式的乘积；
②分解因式 x3 + 2x2 + 3；
（2）若 x 1与 x + 2 都是多项式 x3 +mx2 +mx + p 的因式，求 m n 的值．
练 3
4 3 2 3
（★★★★★）用因式定理分解因式： x x + x ．
2 16
9013 | 图形的平移与旋转
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握平移的概念和性质
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握旋转的概念和性质
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 掌握平移和旋转的作图步骤
知识清单
平 移
图形平移的 质
图 形的平移
图 形平移的
图 形的平移与旋转 图 形平移中 的对应点 对应 对应
旋 转
图形的旋转
旋转 图的
153
知识点 1——图形的平移
知识笔记
1. 平移
将图形上的所有的点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动．简
称为平移．在平移的过程中，它不改变图形的形状和大小，只是位置发生了变化．
2. 图形平移的 质
图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离．
3. 图形平移的
平移的方向与平移的距离．
平移的方向是指图形上的各个点平移的方向．图形上各点平移的距离就是这个图形平
移的距离．如图，平移到的方向可以说是点运动到点的方向，也可以说是点运动到点
（点运动到点）的方向．平移到的距离可以说是线段的长度，也可以说是线段或线段）
的长度．
4. 图形平移中 对应点 对应 对应
图形的平移中有关对应点、对应线段、对应角是按图形平移的位置来判断与确定的．如
图所示，根据平移到的位置可以发现，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点
是点．
A A'
B C B' C'
154
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）观察下面图案在 A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过图案平移得到的是 ( )
A． B． C． D．
例 2
（1）（★★☆☆☆）① 画出 ABC 沿射线 AD 的方向，平移 2 厘米后的图形；
② 在线段 AB 上任取一点 P ，画出点 P 经上述平移后的对应点位置．
（2）（★★☆☆☆）已知在直角坐标平面内，有点 A( 3,2) 、点 B(2, 4) ，把点 A 向下平移 4
个单位得到点 C ．
① 在直角坐标平面内画出点 A 、点 B ；
② 写出点 C 的坐标；
③ 求 ABC 的面积．
155
例 3
（1）（★★★☆☆）如图， A B C 是由 ABC 沿射线 AC 方向平移 20cm 得到，若 AC = 30cm ，
则 A C = _______ cm ．
（2）（★★★☆☆）如图，将 ABC 沿CB 方向平移3cm 到 A B C 的位置，若 BC = 5cm ，则
B C = _______ cm ．
（3）（★★★☆☆）如图所示，把直角梯形 ABCD 沿 AD 方向平移到梯形 EFGH ，HG = 24cm ，
WG = 8cm ，WC = 6cm ，求阴影部分的面积为________ cm2 ．
（4）（★★★☆☆）如图，三角形 ABC 的底边 BC 长 3 厘米， BC 边上的高是 2 厘米，将该
三角形以每秒 3 厘米的速度沿高的方向向上平形移动 2 秒，求这时该三角形扫过的面积(阴
影部分)．
A'
B' C'
A
B C
156
（5）（★★★☆☆）在一块长 12 米，宽 8 米的长方形地块上，建造公共绿地（图中阴影部
分），其余部分是小路，小路宽 2 米，修建方案如图所示，利用你所学的有关图形运动知识，
求绿地面积．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下面的每组图形中，左面的图形平移后可以得到右面图形的是 ( )
A． B．
C． D．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）线段 AB 的端点 A 移动到了点 D ，你能作出线段 AB 平移后的图形吗？
157
（2）（★★☆☆☆）如图，经过平移，小船上的点 A 移到了点 B ．
① 请画出平移后的小船．
② 该小船向下平移了________格，向________平移了________格．
练 1-3
（1）（★★★☆☆）如图，将 ABC 沿射线 BA 方向平移得到 DEF ， AB = 4 ， AE = 3，那
么 DA 的长度是________．
（2）（★★★☆☆）如图，将边长为 2 个单位的等边 ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到
DEF ，则四边形 ABFD 的周长为________个单位．
158
（3）（★★★☆☆）如图，在 ABC 中， ACB = 90 ，把 ABC 沿 AC 方向平移得到 DEF ，
DE 与 BC 交于点 G ．已知 BG = 2 ，EF = 6 ，CF = 3，则四边形 ABGD 的面积是_________．
（4）（★★★☆☆）如图所示，长方形 ABCD 中， AB =12cm ， BC = 8cm ，试问将长方形沿
着 AB 方向平移多少才能使平移后的长方形与原来的长方形 ABCD 重叠部分的面积为
24cm2 ．
（5）（★★★☆☆）现有一条白色的正方形手帕，它的边长是 18 厘米，手帕上横竖各有两道
红条，如图阴影所示部分，红条宽都是 2 厘米．问这条手帕白色部分的面积是多少？
159
知识点 2——图形的旋转
知识笔记
1. 旋转
（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动
叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心．
（2）图形旋转的特征：图形的形状与大小都没有发生变化，图形中每一个点都绕着旋
转中心旋转了同样大小的角度（旋转角相同）对应点到旋转中心的距离相等，对应线
段相等．
（3）旋转作图的依据：图形上每一对都绕旋转中心方向转动了相同的角度，对应点到
旋转中心的距离相等．这既是旋转的基本规律也是我们旋转作图的依据．
（4）确定一个图形旋转后位置所需的条件是 ：图形原来的位置、旋转方向和旋转角的
大小．
2. 旋转 图的
（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；
（2）找出表示图形的关键点；
（3）将图形的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转
角，得到此关键点的对应点；
（4）按原图形顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是 ( )
A．国旗上升的过程 B．球场上滚动的足球
C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西
160
（2）（★★☆☆☆）如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转
的度数可以是 ( )
A． 90 B． 60 C． 45 D．30
（3）（★★☆☆☆）如图，小明正在玩俄罗斯方块，他想将正在下降的“ L ”型插入图中①
的位置，他需要怎样操作？ ( )
A．先绕点O 逆时针旋转 90 ，再向右平移 3 个单位，向下平移 6 个单位
B．先绕点O 顺时针旋转 90 ，再向右平移 4 个单位，向下平移 6 个单位
C．先绕点O 逆时针旋转 90 ，再向右平移 4 个单位，向下平移 5 个单位
D．先绕点O 顺时针旋转 90 ，再向右平移 3 个单位，向下平移 6 个单位
例 2
（★★★☆☆）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形， ABO 的
三个顶点都在格点上．画出 ABO 绕点 O 顺时针旋转90 后的 OA1B1 ．
161
例 3
（1）（★★★☆☆）如图，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 70 度后得到 ADE ，点 B 与点 D 是对
应点，点 C 与点 E 是对应点．如果 EAB = 30 度，那么 DAC 等于________度．
（2）（★★★★☆）钟面上显示的时间是 12 点整，时针与分针在同一直线上，在几分钟之后
钟面上会再次出现时针与分针在同一直线上的现象？此时它们各旋转了多少度？
（3）（★★★★☆）如图，在正方形 ABCD 中， E 在 BC 上， F 在 AB 上，且 FDE = 45 ，
DEC 按顺时针方向转动一个角度后成为 DGA．
① 图中哪一个点是旋转中心？
② 旋转了多少度？
③ 指出图中的对应点、对应线段和对应角；
④ 求 GDF 的度数．
162
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；
④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡千运动．属于旋转的有 ( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
（2）（★★☆☆☆）如图，五角星绕着它的旋转中心旋转，使得 ABC 与 DEF 重合，那么
旋转角的度数至少为 ( )
A． 60 B．120 C． 72 D．144
（3）（★★☆☆☆）在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格
会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块
正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形 进行以下的
操作 ( )
A．先逆时针旋转90 ，再向左平移
B．先顺时针旋转90 ，再向左平移
C．先逆时针旋转90 ，再向右平移
D．先顺时针旋转90 ，再向右平移
163
练 2-2
（★★★☆☆）如图所示，每一个小方格都是边长为 1 个单位正方形， ABC 的三个顶点都在
格点上，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系．
（1）画出将 ABC 先向左平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位的 A1B1C1
（2）画出将 ABC 绕原点 O 逆时针方向旋转180 得到的 A2B2C2
练 2-3
（1）（★★★☆☆）如图，已知 EAD = 30 ， ADE 绕着点 A 旋转 50 后能与 ABC 重合，
则 BAE = _______度．
（2）（★★★★☆）从8 : 55 到9 :15 ，钟表的分针转动的角度是_______，时针转动的角度是
________．
164
（3）（★★★★☆）如图，在四边形 ABCD 中， BAD = C = 90 ， AB = AD ， AE ⊥ BC 于
点 E ， BEA旋转后能与 DFA重合．
① 哪一点是旋转中心？
② 旋转了多少度？
③ 若 AE = 5cm ，求四边形 AECF 的面积．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有平移性，
下列汉字是由平移构成的是 ( )
A． B． C． D．
（2）（★★☆☆☆）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是
( )
A． B．
C． D．
165
练 2
（★★☆☆☆）如图，把方格纸中的 ABC 平移，使点 D 平移到点 D 的位置，画出平移后的
三角形，写出平移后点 A ， B ， C 的坐标，并计算 ABC 的面积．
练 3
（1）（★★★☆☆）已知线段 AB 的长为 6 厘米，将它向左平移 3 厘米，点 A 平移到点 A1 ，
点 B 平移到点 B1 ，得到线段 A1B1 ，那么线段 BB1 = _______厘米．
（2）（★★★☆☆）如图，将周长为8cm 的 ABC 沿 BC 方向平移1cm 得到 DEF ，则四边形
ABFD 的周长为_______ cm ．
（3）（★★★☆☆）如图，将三角形 ABC 沿射线 AC 向右平移后得到三角形 CDE ，如果
BAC = 40 ， BCA = 60 ，那么 BCD 的度数是_______．
166
（4）（★★★☆☆）如图，将 ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到 DEF ，若 ABC 的周长为16cm ，
则四边形 ABFD 的周长为_______．
练 4
（★★★★☆）如图， ABC 中， B =10 ， ACB = 20 ，AB = 4cm ，三角形 ABC 按逆时针
方向旋转一定角度后与三角形 ADE 重合，且点C 恰好成为 AD 的中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出 BAE 的度数和 AE 的长．
167
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，网格中每个小正方形边长为 1， ABC 的顶点都在格点上．将 ABC 向
左平移 2 格，再向上平移 3 格，得到 A B C ．
① 请在图中画出平移后的 A B C ；
② 若连接 BB ， CC ，则这两条线段的关系是______________________.
③ ABC 在整个平移过程中线段 AB 扫过的面积为_________.
④ 若 ABC 与 ABE 面积相等，则图中满足条件且异于点C 的格点 E 共有_________个
（注 :格点指网格线的交点）
练 2
（★★★★☆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形， ABC 的三个
顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出 ABC 绕点 C 顺时针旋转90 后的 A1B1C ；
（2）求边 AC 旋转时所扫过区域的面积．
168
练 3
（★★★★☆）阅读下列材料，完成相应学习任务
旋转对称
360
把正 n 边形绕着它的中心旋转 的整数倍后所得的正 n 边形重合．我们说，正 n 边形关于
n
360
其中心有 的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点 O 旋转角 (0 360 ) 后所
n
得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O 有角 的旋转对称．图 1 就是具有旋转对
称性质的一些图形．
任务：
（1）如图 2，正六边形关于其中心 O 有 60 的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心
有________的旋转对称；
（2）图 3 是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转
与原图形重合；
（3）请以图 4 为基本图案，在图 5 中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出
的图案是中心对称图形．
16915 | 图形运动综合
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 综合掌握线段旋转面积类图形运动问题
目标 2 ★★★★★★ 综合 综合掌握三角形面积类图形运动问题
目标 3 ★★★★★★ 综合 综合掌握翻折类图形运动问题
知识清单
旋转 题
图形的运动综合 三 形 题
题
188
知识点 1——图形运动综合
知识笔记
1. 平移
（1）平移：将图形上的所有的点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的
平移运动．简称为平移．在平移的过程中，它不改变图形的形状和大小，只是位置发生
了变化．
（2）图形的平移的两个要素：平移的方向与平移的距离．
2. 旋转
（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动
叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心．
（2）图形旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
3. 轴对称
（1）把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．
（2）两个图形关于某一条直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对
称轴上．如果一个图形关于某一条直线对称，那么联结对称点的线段垂直平分线就是
该图的对称轴．
4. 中心对称
（1）旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度 后（ 0o 360o ），与
初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心．旋转的角度叫
做旋转角．
（2）中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180o 后，与初始图形重合，那
么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
（3）中心对称图形是特殊旋转图形，它的旋转角只能是180o ，而旋转对称图形的旋转
角在 0 度到 360 度之间均可．
189
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图，已知 ABC 是直角三角形，其中 ACB = 90 ，AB =13，BC =12 ，AC = 5 ．
（1）画出 ABC 绕点 A 顺时针方向旋转90 后的 AB1C1 ；
（2）线段 BC 在旋转过程中所扫过部分的周长是____________（保留 ) ；
（3）求线段 BC 在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留 ) ．
例 2
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， C = 90 ， BC = a ， AC = b ， (b a 0) ，将 ABC 绕
点 B 顺时针旋转 90 得 A1BC1 ．
（1）画出 A1BC1 ．
（2）将 ABC 沿射线 CB 方向平移，平移后得 A2B2C2 ．
①当平移距离等于 a （点C 和点 B 重合）时，求四边形 A A C B 的面积．（用 a2 1 2 2 2 ，b 的代
数式表示）
②若 a =1， b = 2 ，当 A1 A2C2 的面积和 A1C2B2 的面积相等时，平移距离多少？（直接写
出答案）
190
例 3
（★★★★☆）在长方形纸片 ABCD 中， AB =10cm ， AD AB ．
（1）当 AD = 6.5cm 时，如图①，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边上，记作点
D ，折痕为 AE ，如图②，此时，图②中线段 D B 长是________ cm ．
（2）若 AD = xcm ，先将长方形纸片 ABCD 按问题（1）的方法折叠，再将 AED 沿 D E 向
右翻折，使点 A 落在射线 D B 上，记作点 A ．若翻折后的图形中，线段 BD = 2BA ，请根据
题意画出图形（草图），并求出 x 的值．
191
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）如图，在三角形 ABC 中， AC = 7 ， BC = 3， ACB = 60 ．将三角形 ABC 绕
着点 C 旋转，使得点 B 落在直线 AC 上的点 B ，点 A 落在点 A ．
（1）画出旋转后的三角形 A B C ．
（2）求线段 AB 在旋转的过程中所扫过的面积（保留 ) ．
（3）如果在三角形 ABC 中， AC = b ， BC = a ， C = n （其中，b a ，0 n 90) ．其他
条件不变，请你用含有 a ，b ，n 的代数式，直接写出线段 AB 旋转的过程中所扫过的面积．（保
留 )
练 1-2
（★★★★☆）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一点（与 A ， B 两点不重
合），将 BCE 绕着点 C 旋转，使 CB 与 CD 重合，这时点 E 落在点 F 处，联结 EF ．
（1）按照题目要求画出图形；
（2）若正方形边长为 3， BE =1，求 AEF 的面积；
（3）若正方形边长为 m ， BE = n ，比较 AEF 与 CEF 的面积大小，并说明理由．
192
练 1-3
（★★★★☆）已知：如图①长方形纸片 ABCD 中， AB AD ．将长方形纸片 ABCD 沿直线
AE 翻折，使点 B 落在 AD 边上，记作点 F ，如图②．
（1）当 AD =10 ， AB = 6 时，求线段 FD 的长度；
（2）设 AD =10 ， AB = x ，如果再将 AEF 沿直线 EF 向右起折，使点 A 落在射线 FD 上，
3
记作点 G ，若线段 FD = DG ，请根据题意画出图形，并求出 x 的值；
2
（3）设 AD = a ， AB = b ， AEF 沿直线 EF 向右翻折后交 CD 边于点 H ，联结 FH ，当
S HFE 1 a= 时，求 的值．
S四边形 8ABCD b
193
综合练习
【A组】
练 1
（★★★☆☆）如图，在 Rt ABC 中， ACB = 90 ， AC = 3 ， BC = 4 ， AB = 5 ，且 AC 在直
线 l 上，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置①，可得到点 P1 ，将位置①的三角形绕点 P1 顺时
针旋转到位置②，可得到点 P2 ，将位置②的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置③，可得到点
P3 ，
，按此规律继续旋转，得到点 P2018 为止，则 AP2018 = _____．
练 2
（★★★☆☆）（2019 秋 奉贤区期末）如图，在长方形 ABCD 中， AB = 8cm ， BC =10cm ，
现将长方形 ABCD 向右平移 x cm ，再向下平移 (x +1)cm 后到长方形 A B C D 的位置，
（1）当 x = 4 时，长方形 ABCD 与长方形 A B C D 的重叠部分面积等于________ cm2 ．
（2）如图，用 x 的代数式表示长方形 ABCD 与长方形 A B C D 的重叠部分的面积．
（3）如图，用 x 的代数式表示六边形 ABB C D D 的面积．
194
练 3
（★★★★☆）如图，长方形纸片 ABCD(AD AB) ，点O 位于边 BC 上，点 E 位于边 AB 上，
点 F 位于边 AD 上，将纸片沿OE 、OF 折叠，点 B 、C 、D 的对应点分别为 B 、C 、D ．
（1）将长方形纸片 ABCD 按图①所示的方式折叠，若点 B 在 OC 上，则 EOF 的度数为
__________；（直接填写答案）
（2）将长方形纸片 ABCD 按图②所示的方式折叠，若 B OC = 20 ，求 EOF 的度数；（写
出必要解题步骤）
（3）将长方形纸片 ABCD 按图③所示的方式折叠，若 EOF = x ，则 B OC 的度数为
__________．（直接填写答案，答案用含 x 的代数式表示．
195
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图①，点 O 为直线 MN 上一点，过点 O 作直线 OC ，使 NOC = 60 ．将
一把直角三角尺的直角顶点放在点 O 处，一边 OA 在射线OM 上，另一边OB 在直线 MN
的下方，其中 OBA = 30
（1）将图②中的三角尺沿直线OC 翻折至 A B O ，求 A ON 的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点 O 按每秒10 的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为
(0 360 ) ，在旋转的过程中，在第几秒时，直线 OA 恰好平分锐角 NOC ；
（3）将图①中的三角尺绕点 O 顺时针旋转，当点 A 点 B 均在直线 MN 上方时（如图③所
示），请探究 MOB 与 AOC 之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
196
练 2
（★★★★★）如图 1，长方形纸片 ABCD 的两条边 AB 、 BC 的长度分别为 a 、
b(0 a b) ，小明它沿对角线 AC 剪开，得到两张三角形纸片（如图 2) ，再将这两张三角
纸片摆成如图 3 的形状，点 A 、 B 、 D 、 E 在同一条直线上，且点 B 与点 D 重合，点
B 、 F 、 C 也在同一条直线上．
（1）将图 3 中的 ABC 沿射线 AE 方向平移，使点 B 与点 E 重合，点 A 、C 分别对应点
M 、 N ，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含 a 或 b 的代数式表示）
（2）将图 3 中的 DEF 绕点 B 逆时针方向旋转 60 ，点 E 、 F 分别对应点 P 、 Q ，按要
求画出图形，并直接写出 ABQ 的度数；
（3）将图 3 中的 ABC 沿 BC 所在直线翻折，点 A 落在点 G 处，按要求画出图形，并直接
写出 GE 的长度．（用含 a 、b 的代数式表示）
19710 | 分式的运算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练进行分式的乘除与加减法的运算
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练运用分式运算比较分式大小
知识清单
分 式的
分式的
分式的
分 式的
分式的运算 分 式的 运算
分 的分式
分 式的 分 的分式
分式的 运算
【考情分析】
1．分式的运算质属于分式章节知识，属于数与式板块，占期末考试分值 30%
2．主要考察分式的运算，在期末考中常常会以解答题的形式对计算进行考察。
3．对应教材：初一上册：分式
10.3 分式的乘除
10.4 分式的加减
4．通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习，掌
握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，难点
1
在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分式的
加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键．
课堂引入
【课堂引入】
一、回顾旧知，引出新知
设计说明：利用“数、式通性”“类比转化”的思想方法引发学生猜测，归纳分式乘除法运
算法则，从而获得新知。
2 3
师：我们一起来看一道计算题，你会做吗？ （黑板出示）。
7 5
2 3
生：= （教师黑板书写答案）。
7 5
师：你能用文字来叙述出你做这道题的思路吗？
生：分子乘以分子得到分子，分母乘以分母得到分母。
师：对，这就是分数的乘法，这位同学说的很好。我们大家一起来看看分数的乘法法则。
多媒体出示分数乘法法则：两个分数相乘，分母与分母相乘的积作积的分母，分子与分子相
乘的积作分子。
二、建立模型，引入新课
b d
师：刚才我们做的是分数之间的乘法运算，那换成我们刚学过的分式， （黑板出示），
a c
大家来猜想一下应该等于多少呢？
bd
生：等于 。
ac
师：同学们还有没有不同的答案？（让学生讨论）。
师：对，分式的乘法与分数乘法类似，那你能说出分式乘法的法则吗？
生：两个分式相乘，分母与分母相乘的积作积的分母，分子与分子相乘的积作积的分子。
师：说的太棒了，他已经帮我们归纳出了分式的乘法法则，（我们大家掌声鼓励一下）。大
家把他说的和幻灯片上分数乘法法则相对比一下，看一看有什么不同。
生：法则完全一样，一个是分数的乘法，一个是分式的乘法。
师：对，这个法则即适用与小学的分数乘法运算，同样也适用于分式之间的乘法运算。我们
看看分式的乘法法则。
教师采用多媒体用“分式”两字覆盖“分数”两字。
2
知识点 1——分式的
知识笔记
1. 分式的
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示___________．
2. 分式的
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．
用公式表示为_____________________．
3. 分式的
分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即___________．
4. 分式的 运算
分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．
【拓展讲解】
（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是 1 的分式，然后按
照分式的乘除法的法则计算；
（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如
果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．
1 a 1 a
例如： a b = = 2 ． b b b b
【填空答案】
A C AC
1、 = ；
B D BD
A C A D AD
2、 = =
B D B C BC
n
A A
n
3、 =
B Bn
3
经典例题
例 1
x 1 x 1
（★★☆☆☆）（2018 浦东新区校级月考）若 有意义，则 x 的取值范围是
x + 2 x
____________．
【配题说明】考察分式有意义的条件
【常规讲解】
x 1 x 1
解：若 有意义，
x + 2 x
那么 x + 2 0 ， x 1 0 ， x 0 ，
即 x 0 ，1， 2 ．
故答案为 x 0 且 x 1且 x 2 ．
例 2
x2 + 3xy 4y2 x2 + 3x 3y y2
（1）（★★★☆☆）（2020 浦东新区期末）计算：
x2
．
+ 8xy +16y2 x2 16y2
x3 3x2 x3 9x x2 8x +12
（2）（★★★☆☆）（2017 黄浦区期末）计算：
x2 5x + 6 x2 + 2x 3 2x
xy2 x3 2 x y
（3）（★★★★☆）先化简，再求值： (x y) ，其中 x = 1.5， y = 2 ；
y x + y
【配题说明】考察分式有意义的条件
【常规讲解】
(x y)(x + 4y) (x y)(x + y + 3)
（1）解：原式 =
(x + 4y)2 (x 4y)(x + 4y)
(x y)(x + 4y) (x 4y)(x + 4y)
=
(x + 4y)2 (x y)(x + y + 3)
x 4y
= ．
x + y + 3
x2 (x 3) (x + 3)(x 1) (x 2)(x 6)
（2）解：原式 =
(x 2)(x 3) x(x + 3)(x 3) 2x
(x 1)(x 6)
=
2(x 3)
4
x2 7x + 6
= ．
2x 6
xy2 x3 2 x y x ( y + x)( y x) 1 x y x
（3） (x y) = = 2 ，
y x + y y (x y) x + y y
1.5 3
当 x = 1.5， y = 2 时，原式= = ；
2 4
巩固练习
练 1-1
x +1 x + 3
（★★☆☆☆）计算：若代数式 有意义，则 x 的取值范围是_______．
x + 2 x + 4
【配题说明】考察分式有意义的条件
【常规讲解】
故答案为： x 2 且 x 3 且 x 4 ．
练 1-2
x y x2 y2
（1）（★★★☆☆）（2018 金山区期末）计算：
x 2y x2 4xy + 4y2
.
x2 1 x2 + 3x + 2
（2）（★★★☆☆）（2018 浦东新区校级月考）化简： (x +1) ．
x2 + 4x + 4 x 1
x2 y2 x + 5y
（3）（★★★☆☆）（2016 闵行区期末）计算：
x2
．
+ 6xy + 5y2 x2 2x y2 + 2y
a2 + ab2 + b3 b2 1 1
（4）（★★★★☆）先化简，再求值： a =2 ，其中 ，b = ． a + ab(b 2) b3 + b2 2 3
【配题说明】考察分式有意义的条件
【常规讲解】
x y (x 2y)2
（1）解：原式 =
x 2y (x + y)(x y)
x 2y
=
x + y
(x +1)(x 1) 1 (x +1)(x + 2)
（2）解：原式 =
(x + 2)2 x +1 x 1
5
x +1
= ．
x + 2
(x y)(x + y) x + 5y
（3）解：原式 =
(x + y)(x + 5y) (x y)(x + y) 2(x y)
(x y)(x + y) x + 5y
=
(x + y)(x + 5y) (x y)(x + y 2)
1
=
x + y 2
a2 + ab2 + b3 b2 2
2 2 2 3
(a b2 ) + (ab2 + b3 ) (a b ) + (ab + b )
（4） =
a2 + ab(b 2) b3
=
+ b2 a2 + ab2 2ab b3 + b2 (a2 2ab + b2 ) + (ab2 b3 )
(a + b)(a b) + b2 (a + b) (a + b)(a b + b2 ) a + b
=
2 = = ，
(a b) + b2 (a b) (a b)(a b + b2 ) a b
1 1 5
+
1 1
当 a = b =
2 3 6
， ，原式= = = 5 ．
2 3 1 1 1
2 3 6
6
知识点 2—— 分式的
知识笔记
1. 分 的分式
同分母分式相加减，分母______，分子相______．
2. 分 的分式
（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫
做通分，这几个相同的分母叫做_____________．
（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分
母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．
3. 分式的 运算
与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
【填空答案】
1、不变；加减
2、公分母；
经典例题
例 1
2 1
（1）（★★★☆☆）（2020 松江区期末）计算： ．
x + y x y
x2 4x 2 2
（2）（★★★☆☆）（2020 浦东新区期末）先化简，再求值： + ，
x2 8x +16 x2 16 x + 4
其中 x = 3．
3 m + 2
（3）（★★★☆☆）（2020 浦东新区月考）化简： (m 1 ) ．
m +1 m2 + m
7
2x2 + 4x 2 1
（4）（★★★★☆）（2020 上海期末）先化简： ( ) ．然后从 1 x 3
x2 4x + 4 x 2 x
挑选一个合适的整数代入求值．
【配题说明】分式的加减
【常规讲解】
2(x y) x + y
（1）解：原式 =
(x + y)(x y) (x + y)(x y)
2x 2y x y
=
(x + y)(x y)
x 3y
= ．
(x + y)(x y)
x2 4x 2 2
（2）解： +
x2 8x +16 x2 16 x + 4
x(x 4) 2 x + 4
= +
(x 4)2 (x + 4)(x 4) 2
x 1
= +
x 4 x 4
x +1
= ，
x 4
3+1
当 x = 3时，原式= = 4 ．
3 4
3 m + 2
（3）解： (m 1 )
m +1 m2 + m
(m 1)(m +1) 3 m(m +1)
=
m +1 m + 2
m2 4 m
=
1 m + 2
(m + 2)(m 2) m
=
1 m + 2
= m(m 2)
= m2 2m ．
2x2 + 4x 2 1
（4）解： ( )
x2 4x + 4 x 2 x
2x(x + 2) 2x (x 2)
=
(x 2)2 x(x 2)
2x(x + 2) x(x 2)
=
(x 2)2 x + 2
2x2
= ，
x 2
1 x 3， x 0 ， x 2 0 ， x 为整数，
8
x =1 ，
2 12
当 x =1时，原式 = = 2 ．
1 2
例 2
4x +1 A B
（★★★★☆）已知 = + ，试确定 A ， B 的值. (x 2)(x 5) x 5 x 2
【配题说明】待定系数法求字母的值
【常规讲解】
A B A(x 2) + B (x 5) Ax 2A + Bx 5B (A + B) x (2A + 5B)
解： 右边 = + = = =
x 5 x 2 (x 5)(x 2) (x 5)(x 2) (x 5)(x 2)
4x +1 (A + B) x (2A + 5B)
=
(x 5)(x 2) (x 5)(x 2)
4 = A + B
1= (2A + 5B)
A = 7
解得：
B = 3
例 3
1 1 a b
（★★★★☆）实数 a、b 满足 ab =1，记 M = + ，N = + ，判断 M ， N 的
1+ a 1+ b 1+ a 1+ b
大小关系，并说明理由.
【配题说明】此题考查了分式的加减运算，运用了整体代入的数学思想．
【常规讲解】
1 1 2 + b + a 2 + a + b
解： M = + = = ，又 ab =1，
1+ a 1+ b (1+ a)(1+ b) 1+ a + b + ab
M =1；
a b 2ab + b + a 2 + a + b
同理可得 N = + = = =1．
1+ a 1+ b (1+ a)(1+ b) 1+ a + b +1
故 M = N ．
9
巩固练习
练 2-1
2 2 x2 + 4
（1）（★★★☆☆）（2019 嘉定区期末）计算： + ．
x + 2 x 2 x2 4
4x 12 x2 1
（2）（★★★☆☆）（2019 嘉定区期末）先化简，再求值： (x 1) ，其中
x2 4x 5 2x 6
x = 4 ．
x2
（3）（★★★☆☆）（2019 青浦区校级期中）计算： x + y
x + y
1 x2 4x + 4
（4）（★★★★☆）（2019 宝山区期末）先化简 (1 ) ，然后从 2 x 2 的
x 1 x2 1
范围内适当选取一个整数作为 x 的值，再代入求值．
【配题说明】分式的加减
【常规讲解】
2(x 2) 2(x + 2) x2 + 4
（1）解：原式 = + ，
(x + 2)(x 2) (x 2)(x + 2) (x + 2)(x 2)
2x 4 + 2x + 4 x2 4
= ，
(x + 2)(x 2)
4x 4 x2
= ，
(x + 2)(x 2)
(x 2)2
= ，
(x 2)(x + 2)
x 2
= ．
x + 2
4(x 3) (x +1)(x 1) 1
（2）解：原式 = ，
(x 5)(x +1) 2(x 3) x 1
2
= ，
x 5
2
当 x = 4 时，原式 = = 2 ．
4 5
x2 (x y)(x + y)
（3）解：原式 =
x + y x + y
y2
=
x + y
x 2 (x 2)2
（4）解：原式 =
x 1 (x +1)(x 1)
10
x 2 (x +1)(x 1)
=
x 1 (x 2)2
x +1
= ，
x 2
x 1 且 x 2 ，
x = 2 ，
2 +1 1
则原式 = = ．
2 2 4
练 2-2
x2 y2 y + 2x 3y
（★★★★☆）已知两个分式 A = ， B = +2 2 2 2 ，判断 A，B 两分式的
x y x y x y y x
数量关系，并说明理由.
【配题说明】此题考查了分式的加减运算，运用了整体代入的数学思想．
【常规讲解】
x2 y2 x2 y2 (x y)(x + y)
解： A = = = = x + y
x y x y x y x y
y + 2x 3y y + 2x 3y 2(x y) 2
同理可得 B = + = = =2 ． x y2 y2 x2 x2 y2 (x + y)(x y ) x + y
故 AB = 2 ．
练 2-3
（★★★★☆）（2018 崇明区期末）
4x + 5 A B
已知不论 x 取什么值（1，-2 除外），等式 = + 都成立，求 A 、 B 的
(x 1)(x + 2) x 1 x + 2
值．
【配题说明】待定系数法求字母的值
【常规讲解】
A(x + 2) + B (x 1) Ax + 2A + Bx B (A + B) x + (2A B)
解： 右边 = = =
(x 1)(x + 2) (x 1)(x + 2) (x 1)(x + 2)
4x + 5 (A + B) x + (2A B)
=
(x 1)(x + 2) (x 1)(x + 2)
4 = A + B
5 = 2A B
11
A = 3
解得： .
B =1
练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）（2019 浦东新区期末）下列分式化简正确的是 ( )
2(a + b)2 2a + 3a2 2 + 3a
A． = 2a + b B． =
a + b 2a 2
9a2 1 3a 1 a2 + b2 a + b
C． = D． =
6ab 2b 2b a2 b2 a b
【配题说明】此题主要考查了分式的混合运算，关键是正确把分子分母分解因式．
【常规讲解】
2(a + b)2
解： A 、 = 2(a + b) = 2a + 2b ，故原题计算错误；
a + b
2a + 3a2 a( 2 + 3a) 2 + 3a
B 、 = = ，故原题计算正确；
2a 2a 2
9a2 1 (3a +1)(3a 1) 3a +1
C 、 = = ，故原题计算错误；
6ab 2b 2b(3a 1) 2b
a2 + b2
D 、 不能约分，故原题计算错误；
a2 b2
故选： B ．
练 2
x x + 3 x2 1
（1）（★★★☆☆）（2020 嘉定区期末）计算：
x +1 x +1 x2 + 2x 3
2x 1 4x2 +1
（2）（★★★☆☆）（2019 浦东新区期末）先化简，再求值：( ) (1 ) ，
2x +1 4x2 + 2x 4x
其中 x = 3．
1 x + 3 x2 + 4x + 3
（3）（★★★☆☆）（2019 奉贤区期末） ，其中 x = 3．
x +1 x2 1 x2 2x +1
【配题说明】分式的加减
【常规讲解】
12
x x + 3 (x +1)(x 1)
（1）解：原式 = ，
x +1 x +1 (x + 3)(x 1)
x
= 1，
x +1
x x +1
= ，
x +1 x +1
1
= ，
x +1
1
= ．
x +1
4x2 1 4x 4x2 1 (2x +1)(2x 1) 4x 2
（2）解：原式 = = = ，
2x(2x +1) 4x 2x(2x +1) (2x 1)2 2x 1
2
当 x = 3时，原式 = ．
5
1 x + 3 (x 1)2
（3）解：原式 =
x +1 (x +1)(x 1) (x +1)(x + 3)
1 x 1
=
x +1 (x +1)2
2
=
2 ， (x +1)
2 1
当 x = 3时，原式 = =2 ． ( 3+1) 2
练 3
4x 4 A B 2A + 3B
（★★★★☆）（2019 浦东新区期末）已知 = 2 ，求 的值． x + 2x 15 x + 5 x 3 A B
【配题说明】待定系数法求字母的值
【常规讲解】
A B A(x 3) B(x + 5) (A B)x + ( 3A 5B) 4x 4
解： = = = ，
x + 5 x 3 x2 + 2x 15 x2 + 2x 15 x2 + 2x 15
A B = 4
，
3A 5B = 4
解得： A = 3 ， B = 1 ，
2A+ 3B 2 3 3 3
= = ．
A B 4 4
13
【B组】
练 1
（★★★★☆）（2018 松江区期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的
2 4x2
次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是 ， 是真分式．如
x +1 x3 3x
x 1 x2
果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分
x +1 x 1
x 1 (x +1) 2 2
式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1 ．
x +1 x +1 x +1
2x 3
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
x +1
x2
（2）如果分式 的值为整数，求 x 的整数值．
x 1
【配题说明】待定系数法求字母的值
【常规讲解】
2x 3 2(x +1) 5 5
解：（1）由题可得， = = 2 ；
x +1 x +1 x +1
x2 x2 1+1 1
（2） = = x +1+ ，
x 1 x 1 x 1
分式的值为整数，且 x 为整数，
x 1= 1 ，
x = 2 或 0．
练 2
（★★★★★）我们定义：如果两个分式 A 与 B 的差为常数，且这个常数为正数，则称 A 是
B 的“雅中式”，这个常数称为 A 关于 B 的“雅中值”．
2x 2 2x 2 2x + 2 2(x +1)
如分式 A = ， B = ， A B = ( ) = = = 2 ，则 A 是 B 的“雅
x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
中式”， A 关于 B 的“雅中值”为 2．
1 x2 + 5x + 6
（1）已知分式C = ， D = ，判断C 是否为 D 的“雅中式”，若不是，请说
x + 2 x2 + 4x + 4
明理由，若是，请证明并求出C 关于 D 的“雅中值”；
E 2x
（2）已知分式 P = ，Q = ， P 是Q 的“雅中式”，且 P 关于Q2 的“雅中值”是9 x 3 x
2， x 为整数，且“雅中式” P 的值也为整数，求 E 所代表的代数式及所有符合条件的 x 的
值之和；
14
(x b)(x c) (x a)(x 5)
（3）已知分式 M = ， N = (a ，b ，c 为整数），M 是 N 的“雅
x x
中式”，且 M 关于 N 的“雅中值”是 1，求 a b + c 的值．
【配题说明】本题考查了分式的化简，根据题意写出等式是关键，然后利用分式的性质进
行演算和分析．本题难度比较大．
【常规讲解】
（1）C 是 D 的“雅中式”，理由如下，
1 x2 + 5x + 6
C D =
x + 2 x2 + 4x + 4
x + 2 (x2 + 5x + 6)
=
x2 + 4x + 4
x2 + 4x + 4
= = 1 ．
x2 + 4x + 4
即：C 不是 D 的“雅中式”．
E 2x E 2x(3+ x) E 2x2 6x
（2） P Q = = = ．
9 x2 3 x 9 x2 9 x2
P 是 Q 的雅中式．
又 P 关于Q 的雅中值为 2．
E 2x2 6x = 2(9 x2 ) ．
E = 6x +18 ．
E 6x +18 6
P = = = ．
9 x2 9 x2 3 x
P 的值也为整数，且分式有意义．
故 3 x = 1，或 3 x = 2 ，或者3 x = 3 ，或3 x = 6 ，
x 的值为： 3，0，1，2，4，5，6，9．
x 3 ．
x 的值为： 3，0，1，2，4，5，6，9．
符合条件的 x 的值之和为： 0 +1+ 2 + 4 + 5+ 9 = 27 ．
（3） M 是 N 的“雅中式”，且 M 关于 N 的“雅中值”是 1．
(x b)(x c) (x a)(x 5)
M N = =1．
x
整理得： ( b c + a + 4)x + bc 5a = 0 ．
( b c + a + 4) = 0
由上式子恒成立，则： ．
bc 5a = 0
消去 a 得：bc 5b 5c + 20 = 0．
15
b(c 5) 5(c 5) = 5 ．
(b 5)(c 5) = 5 ．
a 、 a 、 c 的整数．
b 5 、 c 5 也是整数．
当 b 5 =1、 c 5 = 5 时，b = 5 ， c =10 ，此时 a =12 ．
a b + c =16 ．
当 b 5 = 5 、 c 5 =1时，b =10 ， c = 6 ，此时 a =12 ．
a b + c = 8 ．
当 b 5 = 1、 c 5 = 5 时，b = 4 ， c = 0 ，此时 a = 0 ．
a b + c = 4 ．
当 b 5 = 5 、 c 5 = 1时，b = 0 ， c = 4 ，此时 a = 0 ．
a b + c = 4 ．
综上： a b + c 的值为：16 或 8 或 4 或 4．
练 3
1 1 1
（★★★★★）已知 a、b、c 三个数满足 abc =1，求式子 + + 的值．
a + ab +1 b + bc +1 c + ca +1
【配题说明】本题综合性较强，主要考查整体代入思想的运用，以及通过恰当的变形，将
异分母分式转化为同分母分式
【常规讲解】
1
已知 a、b、c 三个数满足 abc =1，则 ac = ，
b
1 1 1
+ +
a + ab +1 b + bc +1 c + ca +1
abc 1 1
= + +
a + ab + abc b + bc +1 1
c + +1
b
bc 1 b
= + +
1+ b + bc b + bc +1 b + bc +1
bc +1+ b
=
b + bc +1
=1．
1612 | 分式的综合应用
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 熟练通过分式方程来解决实际问题
目标 2 ★★★★★★ 综合 综合掌握分式的应用
知识清单
分式方程的应用 分式方程的应用 方法
分 式的综合应用
分 式的综合应用
143
知识点 1——分式方程的应用
知识笔记
分式方程的应用 方法 可归纳如下
（1）审清题意，分清已知量和未知量；
（2）设未知数；
（3）根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；
（4）解方程，并验根；
（5）写出答案．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）A 、B 两地相距 80 千米，甲与乙开车都从 A 地前往 B 地，甲开车从 A 地出发
1
小时后，乙出从 A 地出发，已知乙开车速度是甲开车速度的 1.5 倍，结果乙比甲提前 10
6
分钟到达 B 地，求甲开的速度．
144
例 2
（★★★☆☆）在徐汇区开展“创建全国文明城区”期间，某工程队承担了某小区 900 米长的
污水管道改造任务，工程队在改造完 180 米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来
提高了 20% ，结果共用 30 天完成了任务，问引进新设备后工程队每天改造管道多少米？
例 3
（★★★★☆）某校为了准备“迎新活动”，用 700 元购买了甲、乙两种小礼品 260 个，其中
购买甲种礼品比乙种礼品少用了 100 元．
（1）购买乙种礼品花了__________元；
（2）如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高 20% ，求乙种礼品的单价．（列分式方程解
应用题）
145
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）小华周一早展起来，步行到离家 900 米的学校去上学，到了学校他发现数学课
本忘在家中了，于是他立即按照原路步行回家，拿到数学课本后立即按照原路改骑自行车返
回学校，已知小华骑自行车的速度是他步行速度的 3 倍，步行从学校到家所用的时间比他骑
自行车从家到学校所用的时间多 10 分钟．小华骑自行车的速度是多少米/分？
练 1-2
（★★★☆☆）某工厂计划生产 480 个零件．当生产任务完成一半时，停止生产进行反思和改
进，用时 20 分钟．恢复生产后工作效率比原来可以提高 20% ，要求比原计划提前 40 分钟
完成任务，那么反思改进后每小时需要生产多少个零件？
146
练 1-3
（★★★★☆）旺鑫果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，
由于水果畅销，很快售完，第二次用 1452 元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高
了10% ，所购买的水果的数量比第一次多 20 千克，求第一次购买水果的进价是每千克多少
元？
知识点 2——分式的综合应用
经典例题
例 1
a + 2b 3b 2c c 2a 3a + b 2c
（★★★★☆）已知 = = ，求 的值．
7 5 3 2a 5b + 6c
例 2
1 1 1 1
（★★★★☆）计算： + + + .
x2 3x + 2 x2 x x2 + x x2 + 3x + 2
147
例 3
1 1 1 1
（★★★★★）不等于 0 的三个数 a ，b ，c 满足 + + = ，求证：a ，b ，c 中至
a b c a + b + c
少有一组相反数．
巩固练习
练 2-1
1 3 5 x 2y
（★★★★☆）已知 = = ，求 的值.
x y + z z + x 2y + z
练 2-2
2 2 2 2
（★★★★☆）计算： + + + + ． (x +1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) (x + 5)(x + 7) (x + 99)(x +101)
148
练 2-3
1 1 1
（★★★★★）已知 x + y + z = + + =1，求证： x 、 y 、 z 中至少有一个等于 1．
x y z
综合练习
【A组】
练 1
（★★★☆☆）小丽和爸爸进行 1200 米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的 1.5 倍，小丽走完全
程比爸爸多用 5 分钟，小丽和爸爸每分钟各走多少米？
练 2
（★★★☆☆）某林场计划植树 1200 棵，后来由于天气原因要提前完成任务，于是将效率提
3
高到原来的 倍，这样种完相同的棵数所用的时间比原计划少用了 10 天．求实际每天种植
2
多少棵？
149
练 3
（★★★☆☆）某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据
了解，经典著作的单价比传说故事的单价多 6 元，用 10000 元购买经典著作与用 7000 元购
买传说故事的本数相同，这两类书籍的单价各是多少元？
练 4
（★★★★☆）阅读下面的解题过程，然后解题：
x y z
题目：已知 = = (a 、b 、 c 互相不相等），求 x + y + z 的值．
a b b c c a
x y z
解 ： 设 = = = k ， 则 x = k(a b) ， y = k(b c) ， z = k(c a) 于 是 ，
a b b c c a
x + y + z = k(a b + b c + c a) = k 0 = 0 ，
y + z z + x x + y x y z
依照上述方法解答下列问题：已知： = = (x + y + z 0) ，求 的值．
x y z x + y + z
【B组】
练 1
x y z a b c x2 y2 z2
（★★★★☆）设 + + =1， + + = 0 ，求 + + 的值．
a b c x y z a2 b2 c2
150
练 2
1 1 1 1 1 1
（★★★★☆）已知 a + b + c = 0 且 abc 0 ，求 a( + ) + b( + ) + c( + ) + 2 的值．
b c a c a b
练 3
1 1 1
（★★★★★）如果 a + b + c = 0 ， + + = 0 ，求 (a +1)2 + (b + 2)2 + (c + 3)2 的值．
a +1 b + 2 c + 3
课堂总结
15104 | 乘法公式
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练运用乘法公式进行运算
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 综合掌握乘法公式的相关应用
知识清单
平方 公式
平 方 公式
公 式 化
乘 法公式 平方公式
平方公式
平方 形应用
乘 法公式综合应用
40
知识点 1——平方 公式
知识笔记
1．平方 公式
两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：_______________．
2．公式 化
（1）位置变化： (a + b)( b + a) = _______________．
（2）符号变化： ( a b)(a b) = _______________．
（3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式．
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）填空： (a2 b) _________= a4 + b2 ．
例 2
（1）（★★☆☆☆）计算： (x 2y)(x2 + 4y2 )(x + 2y) ．
（2）（★★☆☆☆）计算： (a 2b + c)(a + 2b c) ．
41
（3）（★★☆☆☆）简便计算：1001 999 9992 .
（4）（★★★☆☆）用幂的形式表示： (32 +1)(34 +1)(38 +1) (364 +1) ．
例 3
（★★★★☆）在正整数中，
1 1 1
(1 ) = (1 )(1+ )
22 2 2
1 1 1
(1 ) = (1 )(1+ )
32 3 3
1 1 1
(1 ) = (1 )(1+ )
42 4 4
1
观察上面的算式，可以归纳得出： (1 ) = _________2 ． n
1 1 1
利用上述规律，计算下列各式： (1 ) (1 ) (1 ) = _________2 2 2 ． 2 3 4
1 1 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) = _________
2 2 2 2 ．（请将结题步骤写在下方空白处） 2 3 4 2015
42
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）填空： ( _______ )( 4x 3y) = 9y2 16x2 ．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）计算： (a +1)(a2 1)(a 1) ．
（2）（★★☆☆☆）计算： (2x y 1)(2x + y 1) .
5 2
（3）（★★☆☆☆）简便计算：99 ( 100 ) ．
7 7
（4）（★★★☆☆）用幂的形式表示： (2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1) ．
43
练 1-3
（★★★★☆）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘
数”．如： 4 = 22 02 ， 212 = 42 22 ， 20 = 6 42 ，因此 4，12，20 都是“神秘数”
（1）28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为 2k + 2 和 2k （其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘
数是 4 的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差 (k 取正数）是神秘数吗？为什么？
知识点 2—— 平方公式
知识笔记
1． 平方公式
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，
即：____________________________ ,____________________________
与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以
是一个多项式．
2． 平方 形应用
2
（1） (x + y) =_______________________________.
2
（2） (x y) =_______________________________.
（3） xy =_______________________________.
（ 2 24） x + y =_______________________________.
44
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）计算： (2x + y)2 = __________．
（2）（★★☆☆☆）计算： 2(a b)2 (a + 6b)(a 2b) ．
例 2
1 2 1
（1）（★★★☆☆）已知 x = 6 ，求 x + 的值为______．
x x2
（2）（★★★☆☆）已知 (x + y)2 = 21， (x y)2 =15 ；求① x2 + y2 的值；② xy 的值．
例 3
（★★★★☆）阅读材料：把形如 ax2 + bx + c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的
方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即 a2 2ab + b2 = (a b)2 ．
1 2 3 2
例如： (x 1)2 + 3 、 (x 2)2 + 2x 、 ( x 2) + x 是 x2 2x + 4 的三种不同形式的配方
2 4
（即“余项“分别是常数项、一次项、二次项）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出 x2 4x + 9 三种不同形式的配方；
（2）已知 x2 + y2 + 4x 6y +13 = 0 ，求 ( y)x 的值.
（3）当 x ， y 为何值时，代数式 5x2 4xy + y2 + 6x + 25 取得最小值，最小值为多少？
45
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）计算： (2a 3b)2 = ____________．
（2）（★★☆☆☆）计算： (x 2y)(x + 3y) + (x y)2 ．
练 2-2
（1）（★★★☆☆）已知 xy =1， x y = 5，求 x2 + y2 .
1 2 1
（2）（★★★☆☆）已知 a = 4,求a + .
a a2
练 2-3
（★★★★☆）已知 x2 + y2 4x + 6y +13 = 0 ，求 x2 6xy + 9y2 的值．
46
知识点 3——乘法公式综合应用
经典例题
例 1
（★★★☆☆）教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项
的完全平方公式 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 作说明，那么其中用来表示b2 的是
( )
A．区域①的面积 B．区域⑤的面积 C．区域⑥的面积 D．区域⑧的面积
例 2
（★★★★☆）阅读下文，回答问题：
已知 (1 x)(1+ x) =1 x2 ．
(1 x)(1+ x + x2 ) = __________；
(1 x)(1+ x + x2 + x3) = __________；
（1）计算上式并填空；
（2）猜想： (1 x)(1+ x + x2 + + xn ) = __________.
47
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）直接写出答案： (x + y z)2 = ____________________．
练 3-2
（★★★★☆）在我国南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》（1261 年）一
书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾
宪 (1050 年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨
辉三角两腰上的数都是 1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形
给出了 (a + b)n (n =1，2，3，4，5， 6 ) 的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序）的系数规
律．例如，此三角形中第三行的 3 个数 1，2，1，恰好对应着 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 展开式
中的各项系数，第四行的 4 个数 1，3，3，1，恰好对应着 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 展开
式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出 (a + b)4 的展开式．
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
（3）观察各式及其展开式，试着猜想 (a + b)10 展开式中所有项的系数和．
48
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★☆☆☆☆）下面的计算正确的是 ( )
A． (a + b)2 = a2 + b2 B． (a3 )2 = a6 C． a2
2 2
+ a3 = 2a5 D． (3a) = 6a
（2）（★☆☆☆☆）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． (x + y)( x y) B． (2x + 3y)(2x 3z)
C． ( a b)(a b) D． (m n)(n m)
练 2
（1）（★★☆☆☆）计算： (2x y)(2x + y) 3(x2 y) .
（2）（★★☆☆☆）利用公式计算：101 99 972 .
（3）（★★☆☆☆）计算： (x y +1)2 ．
49
练 3
（★★★☆☆）已知 (x + y)2 =16 ， (x y)2 = 4 ，求 x2 + y2 和 3xy 的值．
练 4
（★★★☆☆）如果有理数 x ， y 满足等式 2x + x2 + x2 y2 + 2 = 2xy ，求 x + y 的值.
【B组】
练 1
2 5
（★★★★☆）已知 a b = ，b c = ， a2 + b2 + c2 =1，求 ab + bc + ca 的值．
13 13
练 2
（★★★★★）已知自然数 a ， b ， c ，满足 a2 + b2 + c2 + 42 4a + 4b +12c 和 a2 a 2 0 ，
1 1 1
则代数式 + + 的值是_________．
a b c
50
练 3
（★★★★★）已知 x 、 y 、 z 互不相等，且满足 x + y + z = 3a ．
(x a)(y a) + (y a)(z a) + (z a)(x a)
求 2 2 2 的值． (x a) + (y a) + (z a)
课堂总结
5114 | 中心对称与轴对称图形
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握中心对称与轴对称的作图
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 识别中心对称与轴对称图形的概念
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握中心对称与轴对称图形的性质
知识清单
旋转对称
中 心对称的
旋转对称与中心对称
中心对称图形的
中 心对称与轴对称图形 中心对称与旋转对称
与轴对称图形
轴对称图形
对 称轴
172
知识点 1——旋转对称与中心对称
知识笔记
1. 旋转对称
把一个图形绕着一个顶点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做
___________．这个定点叫做___________，旋转的角度叫做___________．
对旋转对称图形可从以下几个方面理解：
旋转中心在旋转的图形上；
旋转的角度小于 360°．
2. 中心对称的
把一个图形绕着一个定点旋转 180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于
这点对称，也叫做这两个图形成___________，这个点叫做___________，这两个图形中
的对应点叫做关于中心的___________．
3. 中心对称图形的
中心对称是旋转对称的___________，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心
对称的两个图形，对称点的连线都经过___________并且被___________平分，关于对
称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形
的对应点连接成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点
成中心对称，这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．
4. 中心对称与中心对称图形的区别与联
（1）中心对称是两个图形而言的，指___________的关系；而中心对称图形是对
___________而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．
（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在___________上，中心对称图形的对称点
在___________上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称，
若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形．
173
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列图形中，不是旋转对称图形的是 ( )
A．正三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形
（2）（★★☆☆☆）下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A． 正三角形 B． 等腰梯形
C． 正五边形 D． 正六边形
（3）（★★★☆☆）如图，如果等边三角形 ABC 旋转后能与等边三角形 DCB 重合，那么在图
形所在的平面上可以作为旋转中心的点有几个？分别说明其旋转的方向．
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，A(1,1) ， ABC 的顶点均在格点上．若 ABC
和 A1B1C1 关于原点 O 成中心对称图形，画出 A1B1C1 ．
174
（2）（★★★☆☆）如图， ABC 和 DEF 关于某点对称，在图中画出对称中心O ；
（3）（★★★☆☆）用直尺和圆规作图：已知 ABC 与 A B C 成中心对称（点 A 与 A 对应），
请在图中画出对称中心 O ，并画出完整的 A B C ．（保留作图痕迹）
例 3
（1）（★★★☆☆）如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为_________．
y
x
1
-1
（2）（★★★★☆）如图，正方形 ABCD 边长为 2 厘米，以各边中点为圆心，1 厘米为半径
1
依次作 圆，将正方形分成四个部分．
4
① 这个图形是不是一个旋转对称图形？若是，则旋转中心是哪点？最小旋转角度是多少？
② 求曲边三角形OBC 的面积和周长（计算结果保留 ) ．
175
（3）（★★★★☆）正方形 ABCD 中的 ABP 绕点 B 顺时针旋转能与 CBP ' 重合，若 BP = 4 ，
求点 P 所走过的路径长．
A D
P
B C
P'
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称
图形的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（2）（★★☆☆☆）下列汽车标识中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
（3）（★★★☆☆）如图，如果四边形CDEF 旋转后能与正方形 ABCD 重合，那么此图所在
的平面上可以作为旋转中心的点共有______个．
176
练 1-2
（1）（★★★☆☆）如图， ABC 的顶点及点O 都在正方形网格格点上．
① 画出 ABC 关于点 O 中心对称的图形 A1B1C1 ；
② 画出 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90 的图形 A2B2C2 ．
（2）如图，已知线段 AB 与线段 CD 关于某一点成中心对称，请在图中画出此对称中心，并
判断线段 AB 与 CD 是否平行？并用所学过的知识说明理由．
练 1-3
（1）（★★★☆☆）矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交 AD ，BC 于点 E ，F ，AB = 2 ，
BC = 3，则图中阴影部分的面积为_________．
A E D
O
B F C
（2）（★★★★☆）如图，王虎使一长为 4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动
的翻滚(顺时针方向)木板上点 A 位置变化为 A→ A1 → A2 ，其中第二次翻滚被桌面上一小木
块挡住，使木板与桌面成30 角，求点 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路径长．
A
A1
A 2
B C
177
知识点 2——轴对称图形
知识笔记
1 与轴对称图形
（1）把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
_____________，这条直线叫做__________，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的
__________．
（2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线
________．
2 轴对称
（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么
称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成___________．
（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的
长度和对应角的大小_______，它们的形状相同，大小_______；在成轴对称的两个图形
中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）仔细观察如图所列的 26 个英文字母，将相应的字母填入表中适当的空格
内．
轴对称
对称形式 旋转对称 中心对称
只有一条对称轴 有两条对称轴
英文字母
178
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A ， B ， C 均在小正
方形的顶点上．
① 在图中画出与 ABC 关于直线 l 成轴对称的△ A B C ；
② 求 ABC 的面积．
（2）（★★★☆☆）如图，下列三个图形都是关于某条直线对称，请仅使用无刻度的直尺
画出它们的对称轴．
例 3
（1）（★★★☆☆）如图，在 4 4 正方形网格中，阴影部分是由 2 个小正方形组成一个图
形，请你分别在下图方格内添涂 2 个小正方形，使这 4 个小正方形组成的图形满足：图 1
有且只有一条对称轴；图 2 有且只有两条对称轴；图 3 有且只有四条对称轴．
179
（2）（★★★★☆）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，
则图中折成的 4 个阴影三角形的周长之和为________．
（3）（★★★★☆）① 如图①， 1+ 2与 B + C 有什么关系？为什么？
② 把图①中的 ABC 沿 DE 折叠，得到图②，
填空： 1+ 2____ B + C （填“ ”“ “或“=” ) ，当 A = 40 时，
B + C + 1+ 2 的度数为____．
③ 如图③，是由图①的 ABC 沿 DE 折叠得到的，如果 A = 30 ，那么
3+ 4 = 360 ( B + C + 1+ 2) = 360 ________= ________，猜想 3+ 4 与 A 的
关系为____________．
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）下列 10 个汉字：林上下目王田天王显吕，其中不是轴对称图形的是__________；
有一条对称轴的是 __________；有两条对称轴的是 __________；有四条对称轴的是
__________．
180
练 2-2
（1）（★★★☆☆）如图，已知四边形 ABCD 和直线 l ，求作四边形 ABCD 以直线 l 为对称轴
的对称图形 A1B1C1D1 ．
（2）（★★★☆☆）如图， ABC 与 A B C 关于直线 l 成轴对称图形．请作出对称轴 l ．（只
保留作图痕迹，不用写作图步骤）
练 2-3
（1）（★★★☆☆）如图，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方
法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们组成轴对称图形．（试用两种方法）
181
（2）（★★★★☆）如图，等边 ABC 的边长为 a cm ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点，
将 ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A 处，且点 A 在 ABC 外部，则阴影部分图形的周
长为_____ cm ．
A
E
D
B C
A'
（3）（★★★★☆）如图，在 ABC 中， A = 80 ， B = 60 ，将 ABC 沿 EF 对折，点C
落在 C 处．如果 1= 50 ，那么 2 = _______．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行
四边形，等腰梯形，其中有______个旋转对称图形．
（2）（★★☆☆☆）在下列图形中，中心对称图形是 ( )
A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．正五边形
（3）（★★☆☆☆）正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是 ( )
A． 36 B．54 C． 72 D．108
182
练 2
（★★☆☆☆）想一想，填一填．（填序号）
①等腰三角形②等边三角形③正方形④长方形⑤平行四边形⑥等腰梯形⑦直角梯形⑧圆
（1）只有一条对称轴的图形有_________．
（2）只有两条对称轴的图形有_________．
（3）只有三条对称轴的图形有_________．
（4）只有四条对称轴的图形有_________．
（5）有无数条对称轴的图形有_________．
（6）没有对称轴的图形有_________．
练 3
（★★★☆☆）如图是由边长为 1 的小正方形组成的8 4 网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，点 A ， B ， C ， D 均在格点上，在网格中将点 D 按下列步骤移动：
第一步：点 D 绕点 A 顺时针旋转180 得到点 D1 ；
第二步：点 D1 绕点 B 顺时针旋转 90 得到点 D2 ；
第三步：点 D2 绕点 C 顺时针旋转 90 回到点 D ．
（1）请用圆规画出点 D → D1 → D2 → D 经过的路径；
（2）所画图形是__________对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留 ) ．
183
练 4
（★★★★☆）取一张正方形纸片，如图①所示，折叠一个角，设顶点 A 落在 A 的位置，折
痕为 CD ，再折叠另一个角，如图②所示，使 BD 沿 DA 方向落下，折痕为 DE ，试判断
DE 、 DC 的位置关系，并说明理由．
【B组】
练 1
（★★★★☆）用直尺和圆规作图：已知 ABC 与 A B C 成中心对称（点 A 与 A 对应），请
在图中画出对称中心O ，并画出完整的 A B C ．（保留作图痕迹）
184
练 2
（★★★★☆）如图：已知矩形 ABCD 的两边 AB =4 厘米，BC =12 厘米
（1）在图 1 中画出矩形 ABCD 的对称中心．(不写结论)
（2）动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 厘米的速度沿 AD 边向点 D 移动，动点 Q 同时从点 B 出
发，以每秒 1 厘米的速度沿 BC 边向点 C 移动，联结 PQ 得图 2．
问：①当 P、Q 出发几秒后，梯形 ABQP 的面积是梯形 PQCD 面积的两倍；
当 P、Q 出发几秒后，图 2 是一个中心对称图形．
练 3
（★★★★★）打台球问题，在一个长方形球台 ABCD 上，点 P、点 Q 各放着一个球，现在
要求点 P 的球先碰 AB 边，反弹 BC 边，最后反弹碰到 Q 的球．问点 P 的球应该撞击 AB 的
哪一点，才能够达到上述要求？
D C
Q Q1
P
A B
F
P1
18505 | 因式分解（一）
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解因式分解的定义
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 掌握提公因式法进行因式分解
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握利用平方差、完全平方公式进行因式分解
知识清单
因 式分解的
因 式 公因式的
公因式法因式分解
公因式的方法
公因式法
因 式分解（一）
公 式法
平 方 公式
公式法因式分解 运用平方 公式 因式分解的 式的
平方公式
运用 平方公式 因式分解的 式的
53
知识点 1—— 公因式法因式分解
知识笔记
1. 因式分解的
（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式．
（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：
因式分解
多项式（和的形式） 整式的积（积的形式）
2. 因式 公因式的
（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．
（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．
3. 公因式的方法
（1）确定_______________——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．
（2）确定_______________——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．
（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是
这个多项式的公因式．
4. 取公因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式
的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方
法叫做提取公因式法．
（2）提取公因式的步骤：“_________、_________、_________”
_________：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；
_________：第二步将所找出的公因式提出来；
_________：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后
剩下的另一个因式．
54
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A． 2x(x 1) = 2x2 2x B． x2 2x + 3 = x(x 2) + 3
C． (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 D． x2 + 2x = x(x 2)
（2）（★☆☆☆☆）多项式3x 9 ， x2 9 与 x2 6x + 9 的公因式为 ( )
A． x + 3 B． (x + 3)2 C． x 3 D． x2 + 9
例 2
（1）（★★☆☆☆）分解因式： 6xy2 8x2 y3 = ________________．
（2）（★★☆☆☆）分解因式： (2x y)(x + 3y) (x + y)(y 2x) ．
（3）（★★★☆☆）计算： ( 2)101 + ( 2)100 ( 2100 ) .
例 3
1
（1）（★★★☆☆）已知 x + y =1， xy = ，利用因式分解方法求 x(x + y)(x y) x(x + y)2
2
的值．
55
（2）（★★★★☆）已知 (10x 31)(13x 17) (13x 17)(3x 23) 可因式分解成 (ax + b)(7x + c) ，
其中 a 、 b 、 c 均为整数，求 a + b + c 的值．
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是 ( )
A． (x +1)(x 1) = x2 1 B． x2 4y2 = (x + 4y)(x 4y)
C． x2 6x + 9 = (x 3)2 D． x2 2x +1= x(x 2) +1
（2）（★☆☆☆☆）多项式 4a(x y) 6a2 (x y) 中各项的公因式是_______．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）因式分解： x2 5x = ________．
（2）（★★☆☆☆）因式分解： (2a b)(3a 2) + b(2 3a) .
20223 2 20222 2020
（3）（★★★☆☆）利用因式分解进行计算： ．
20223 + 20222 2023
56
练 1-3
（ 1 ） （ ★★★☆☆ ） 若 a = 5 ， a + b + c = 5.2 ， 利 用 因 式 分 解 方 法 求 代 数 式
a2 ( b c) 3.2(c + b) 的值．
（2）（★★★★☆）已知 (19x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23) 可因式分解成 (ax + b)(8x + c) ，
其中 a 、 b 、 c 均为整数，求 a + b + c 的值．
知识点 2——公式法因式分解
知识笔记
1. 公式法
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
2. 平方 公式
_____________________________________.
3. 运用平方 公式 因式分解的 式的
（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反;
（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式;
（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积;
（4）公式中字母" a "和" b "既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项
式.
57
4. 平方公式
_____________________________________.
5. 运用 平方公式 因式分解的 式的
（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式;
（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式;而另一项
的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的 2 倍;
（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第
二项的符号相同;
（4）公式中字母" a "和" b "既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项
式.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是 ( )
A． x2
2
+16 B． x2 + 9 C． x2 4 D． x 2y
4
（2）（★★★☆☆）请添加一个单项式，使多项式 x +1能用完全平方公式进行因式分解，则
单项式为__________．
例 2
（★★★☆☆）把下列各式分解因式：
（1） 4 ； （2） (x2 2y)2x 81 (1 2y)
2 ；
（3） x4 2x2 +1； （4） x
4 8x2 y2 +16y4 ；
58
（5） 4 +12(x y) + 9(x y)2 ； （6） (x + 2y)2 6x(x + 2y) + 9x2 ．
例 3
（1）（★★★★☆）小明是个善于思考的同学．在做到多项式 (x2 4x + 2)(x2 4x + 6) + 4 的
因式分解时，观察发现两个括号中都含有 x2 4x ．于是他想到设 x
2 4x = y ．请你按照小明
同学的思路尝试对多项式 (x2 4x + 2)(x2 4x + 6) + 4 进行因式分解．
（2）（★★★★☆）阅读下面解题过程：
分解因式： x4 + 64 ．
解： x4 + 64 = x4 +16x2 + 64 16x2
= (x2 + 8)2 16x2
= (x2 + 8+ 4x)(x2 +8 4x) ．
然后按照上述解题思路，完成下列因式分解： x4 + x2 y2 + y4 ．
巩固练习
练 2-1
（1）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A． x2 + x +1 B． x2 + 2x 1 C． x2 6x + 9 D． x2 1
59
（2）（★★★☆☆）如果多项式 x2 +1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式
分解，那么在下列单项式中，可以加上的是 ( )
1 4 1 4
A． x B． x C． 4x D． x
2 4
练 2-2
（★★★☆☆）把下列各式分解因式：
1 1
（1） m
2 n2 ； （2） (7a 2b)2 16a2 ；
4 100
（3） x4 + y4 ； （4） (a + b + c + d)2 (a b + c d)2 ；
（5） xn+1 4xn + 4xn 1 ； （6） 4x
2 y2 (x2 + y2 )2 .
练 2-3
（1）（★★★★☆）请阅读下面一题因式分解的解题过程：
因式分解： x4 + (2y + 4)x2 + y2 + 4y + 4
分析：
题中 y2 + 4y + 4 是 (y + 2)2 ，把 x2 ， y + 2 分别看作u ， v ，用公式法分解因式，即可得：
解：设 x2 = u ，y + 2 = v ，则原式= u
2 + 2uv + v2 = (u + v)2 = (x2 + y + 2)2 像这样因式分解的方
法叫做换元法．
请你参照上述方法因式分解：1 2xy + x2 y2 + y(y 2xy) + 2y ．
60
（2）（★★★★☆）因式分解： x2 + 4x + 3．
解：原式= x2 + 4x + 4 4 + 3
= (x2 + 4x + 4) 1
= (x + 2)2 1
= (x + 2 +1)(x + 2 1)
= (x + 3)(x +1)
上述因式分解的方法称为配方法．
请仿照上述配方法的解题步骤将下列各式因式分解：
① x2 6x + 5 .
② 4x2 + 4x 15 .
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★☆☆☆☆）下列各式从左到右的变形，是因式分解且分解结果正确的为 ( )
A． (a + 2)2
2 1 1 1
(a 1)2 = 6a + 3 B． x + x + = (x + )
2
4 4 2
C． x2 x 6 = (x 3)(x + 2) D． x4 16 = (x2 + 4)(x2 4)
（2）（★★☆☆☆）（2020 松江区期末）分解因式：3a(m n) + 2b(m n) = ____________．
练 2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） x(a b) + y(b a) 3(b a) ；
61
4 1
（2） 2a ；
8
（3） a2 (b + c) + c2 (a + b) + b2 (a + c) + 3abc ；
（4） 3(m2 + 3m)2 18(m2 + 3m) 120 ；
（5） 2x9n 1 + 4x5n 1 y4 2xn 1 y8 ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）观察等式，回答问题：
1+ x + x(x +1) + x(x +1)2 = (1+ x)[1+ x + x(x +1)]
= (1+ x)2 (1+ x)
= (1+ x)3
（1）上述分解因式的方法是___________，共应用了_________次；
（2）若分解因式1+ x + x(x +1) + x(x +1)2 + + x(x +1)2015 ，则需应用上述方法________次，
结果是__________；
（3）分解因式：1+ x + x(x +1) + x(x +1)2 + + x(x +1)n ．
62
练 2
（★★★★★）阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式 x3 5x2 + x +10 ，我们把 x = 2 代入多项式，发现 x = 2 能使多项式的值为 0，由
此可以断定多项式 x3 5x2 + x +10 中有因式 (x 2) ，（注：把 x = a 代入多项式，能使多项式
值为 0，则多项式一定含有因式 (x a)) ，于是我们可以把多项式写成：
x3 5x2 + x +10 = (x 2)(x2 +mx + n) ， 分 别 求 出 m 、 n 后 代 入 ， 就 可 以 把 多 项 式
x3 5x2 + x +10 因式分解．
【解决问题】
（1）求式子中 m 、 n 的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式 x3 + 5x2 + 8x + 4 ．
练 3
（★★★★★）因式分解：
（1） x4 7x2 +1 .；
（2） x4 + x3 3x2 4x 4 ；
（3） x4 + x2 + 2ax +1 a2 ；
63
（4） x4 + 2x 3+3x2 + 2x +1.
课堂总结
6409|分式的基本性质
学习目标
目标1
大★☆☆☆☆理解
理解分式的基本的概念
目标2
★★★女☆女操作
熟练运用分式的基本性质进行约分
目标3
★★★★★☆迁移
掌握“有意义”“无意义”和”值为零”题型
知识清单
分式的基本概念
分式的概念
分式有意义的条件
分式的运算
分式
分式的基本性质
分式的基本性质
约分
最简分式
【考情分析】
1.分式的基本性质属于分式章节知识，属于数与式板块，占期末考试分值30%
2.主要考察分式的基本概念和基本性质，在期末考中常常会以填空的形式进行考察。
3.对应教材：初一上册：分式
10.1分式的意义
10.2分式的基本性质
4,本讲内容学习分式的基本意义和性质，经历分式的形成过程，理解分式的概念，会求使
分式有意义、无意义、分式值为零时的字母取值.通过与分数的基本性质的类比，掌握分式
01
的基本性质，类比分数的约分，理解分式约分的意义，掌握分式约分的基本方法.重点是
分式的基本性质，难点是分式约分的灵活应用.
课堂引入
【课堂引入】
、
导入
观察。
名运动员在上海金茂大厦跳伞，从350米的高度跳下，
(1)若到落地时用了15秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？
(2)
若到落地时用了20秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？
(3)到落地时用了×秒，那么他的平均降落速度是每秒多少米？
(说明)问题设置与教材略有不同，增加了由具体的数过度到字母的过程，使学生易于理解
问题，并且再次体会字母代表数的意义，也从中渗透了函数思想
2.思考。
师：问题()与(2)的答案分别是，织，它们是分数，而3)中的答案”是一个代数
式，那么它是整式吗？如果不是，它与整式有什么区别呢？
3.讨论。
师：像350
2驰，a+2b*3这些代数式有什么共同点？
x
板书课题：分式的意义。
·2
知识点1
分式的基本概念
包
知识笔记
分式的概念
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式，
一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子台合叫做分式。
整式与分式统称为有理式，
在理解分式的概念时，注意以下三点：
①分式的
中必然含有；
②分式的
的值不为；
③分式必然是写成两式相除的形式，中间以
隔开
【填空答案】
分母：字母：分母：0；分数线
经典例题
例1
(★★☆☆☆)(2020浦东新区期末)在下列式子：-5x,
1,1a-1b,a+b,2中，
a+b'2
2
'10m'π
分式有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【配题说明】分式的判断
【常规讲解】
1
解
a+b
a+b'
的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式
10m
故选：B.
·302 | 幂的运算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练通过幂的三个运算法则进行计算
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 综合运用幂的三个运算法则解决相关问题
知识清单
幂的乘法法
幂的运算法 幂 的乘方运算法
幂的运算 的乘法法
幂的运算综合
16
知识点 1——幂的运算法
知识笔记
1. 幂的乘法法
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
即：________________________________．
2. 幂的乘方运算法
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即：________________________________．
3. 的乘法法
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
即：_____________________________.（n 是正整数）
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）计算： (a b)2 (b a)3 (b a) （结果用幂的形式表示）.
（2）（★★☆☆☆）计算： m2 m4 + ( 2m2 )3 ( m)6 ．
（3）（★★★☆☆）计算： ( x)3 x5 + (2x4 )2 ．
17
例 2
（★★★☆☆）简便计算：
11 11 12
2006 2006 7 3 3
（1） (0.2) ( 5) ； （2） 1 .
9 8 2
例 3
（1）（★★★☆☆）已知 22 22m 1 23 m =128 ，求 m 的值．
（2）（★★★☆☆）已知 (xm 1yn+1)3 = x6 y9 ，求 nm 的值．
（3）（★★★★☆）已知33x+5 27x+1 = 648 ，求 x 的值．
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）计算： (a b)3 (b a)3 + [2(a b)2 ]3 ．
18
（2）（★★☆☆☆）计算： ( 2x2 )3 + ( 3x3)2 + ( x)6 ；
（3）（★★★☆☆）计算： 2a + 3a + a2 a3 + ( a3)2 + ( 2a2 )3 .
练 1-2
（★★★☆☆）用简便方法计算：
8 1
（1）[( 6) ( )
8 ]5 ；
6
（2） ( 8)2008 ( 0.125)2000 ；
1 1 1 1 10 10
（3） ( 1) (1 2 3 9 10) ．
10 9 8 2
19
练 1-3
（1）（★★★☆☆）已知 b 3xa+b x2b a = x9 ，求 ( 3) + ( 3) ．
（2）（★★★☆☆）解方程： 3x 92x = 910 .
（3）（★★★★☆）已知 22x 1 22x 3 = 96 ，求 x 的值．
知识点 2——幂的运算综合
经典例题
例 1
1 1
am = x + 2y am+1 = x2（★★★☆☆）已知： ； + 4y
2 xy ，求 a2m+1 ．
2 4
20
例 2
（★★★☆☆）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较 322 和 411 的大小．
解： 411 = (22 )11 = 222 ，且3 2
322 222 ，即322 411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较 8 和822 的大小
解： 82 = (23 )2 = 26 ，且8 6
28 26 ，即 28 82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
【方法运用】
（1）比较 344 、 433 、 522 的大小.
（2）比较8131 、 2741 、 961 的大小.
（3）已知 a2 = 2 ，b3 = 3，比较 a 、b 的大小.
（4）比较 312 510 与310 512 的大小.
21
例 3
（1）（★★★★☆）已知 2x = 4 ， 2 y =12 ， 2z = 24 ，那么 x 、 y 、 z 之间满足的等量关系是
______________．
（2）（★★★★☆）已知： nx = 2n + 3， y = 4 + 5 ，用含字母 x 的代数式表示 y ．
（3）（★★★★☆）试判断 20001999 +19992000 的末位数.
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）已知： 2x = a ， 2y = b ，用 a ，b 分别表示：
（1） 2x+ y 的值；
（2） 23x+2 y 的值．
练 2-2
（1）（★★★☆☆）试比较 255 、 344 、 433 的大小：______ ______ ______．
（2）（★★★☆☆）已知 55 ，B = 344 ，C = 433 ，D = 522A = 2 ，试比较 A、B、C、D 的大小（用
“ ”连接）____________________．
22
练 2-3
（1）（★★★★☆）已知 2a = 5 ， 2b =10 ， 2c =100 ，那么 a 、b 、c 之间满足的等量关系是
__________．
（2）（★★★★☆）已知 x = 3m + 2 ， y = 9
m + 3m ，试用含 x 的代数式表示 y .
（3）（★★★★☆）试判断 22005 + 72005 的末位数.
综合练习
【A组】
练 1
（★★★☆☆）已知： x2a+b x3a b xa = x12 ，求 a100 + 2101 的值．
练 2
（1）（★★★☆☆）已知3x+1 2x 3x 2x+1 = 63x+4 ，求 x ．
23
（2）（★★★☆☆）若 am = 5 ， an = 2 ，求 a2m+3n 值．
练 3
（★★★☆☆）化简：
2 2
（1） ( a)－b ( b2 ) ；
1
（2） 9x
2 7 x2 y x2 y 1
( ) ( ) ； 2
n＋2 n n＋2 n
（3） (3x +10x 7x) (x 9x 10x )；
（4） ab 3a2b (4ab2 + ab) 4a2b + 3a2b ．
练 4
（1）（★★★★☆）若 mx = 2m +1， y = 3+ 4 ，用 x 的代数式表示 y ．
24
（2）（★★★★☆）若 x = 2m+1 ， y = 3+ 4
m ，用 x 的代数式表示 y ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）请阅读材料：
①一般地， n 个相同的因数 a 相乘：记为 an ，如 23 = 8，此时，指数 3 叫做以 2 为底 8 的对
数，记为 log 82 log = 3 （即 log
8
2 = 3) ．
②一般地，若 an = b(a 0 且 a 1，b 0) ，则指数 n 叫做以 a 为底b 的对数，记为 log ba （即
log ba = n) ，如 3
4 = 81，则指数 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log
81 （即 log 813 3 = 4) ．
（1）计算下列各对数的值：
log2 4 = _____； log2 16 = _____； log2 64 = _____．
（2）观察（1）题中的三数 4、16、64 之间存在的关系式是_____，那么 log2 4 、 log2 16 、
log2 64 存在的关系式是_____．
（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
loga M + loga N = _____ (a 0 且 a 1， M 0 ， N 0)
（4）请你运用幂的运算法则 am an = am+n 以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结
论．
25
练 2
（★★★★★）规定两数 a ，b 之间的一种运算，记作 (a,b) ，如果 ac = b ，则 (a,b) = c ．我们
叫 (a,b) 为“雅对”．
例如：因为 23 = 8，所以 (2,8) = 3 ．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 (3 ，3) + (3，5) = (3 ，
15) 成立．证明如下：
设 (3,3) = m ， (3,5) = n ，则3m = 3 ， 3n = 5，
故 3m 3n = 3m+n = 3 5 =15 ，
则 (3,15) = m + n ，
即 (3 ，3) + (3， 5) = (3 ，15) ．
（1）根据上述规定，填空： (2,4) = ______； (5,1) = ______； (3,27) = ______．
（2）计算 (5 ， 2) + (5 ， 7) = ______，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明： (2n ， 3n ) = (2 ，3) ，对于任意自然数 n 都成立．
课堂总结
2606因式分解
(二)
学习目标
目标1
★★★☆☆☆操作
熟练掌握系数为1的十字相乘法
目标2
★★★★★女迁移
熟练掌握系数不为1的十字相乘法
目标3
大★★★★★综合
熟练掌握双十字相乘法
知识清单
二次项系数为1
二次项系数为1
因式分解
(二)
二次项系数不为1
二次项系数不为1
【考情分析】
1.考纲要求：
2.5因式分解的意义
26因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系
数为1的二次三项式的十字相乘法)
2.因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解侧是因式分解
的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
3.对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.15十字相乘法
4.十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因
式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方
01
公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到
般的认知规律的典型范例.首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，
是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些
形如x2+px+q这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二
次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容萸定了基础，十
字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位.
【课堂引入】
复习导入
1.
口答计算结果。
(1)(X+3)X+4):
(2)(X+3)X-4):
(3)(x-3)(x+4):
(4)(X-3)(X-4)。
2.
问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
(在多项式的乘法中，有(X+a)x+b)=x2+(a+b)x+ab。
探索新知
1.
观察与发现
等式的左边是两个一次二项式相乘，右边是二次三项式，这个过程将积的形式转化成
和差形式，进行的是乘法计算。
反过来可得x2+(a+b)x+ab=(x+a)仪+b)。
等式的左边是二次三项式，氵
右边是两个一次二项式相乘，这个过程将和差的形式转化
成积的形式，进行的是因式分解。
2.
体会与尝试
(1)
试一试
因式分解：x2+4x+3;x2-2x-3。
将二次三项式x2+4x+3因式分解，就需要将二次项×2分解为×X,常数项3分解为3
而且3+1=4，恰好等于一次项系数，所以用十字交叉线表示：
x2+4x+3=(x+3)(X+1)。
+3
(2)定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相
乘法。
·216|期末复习
砂学习目标
目标1
★★★★★大综合
综合掌握整式章节知识
目标2
★★★★★★综合
综合掌握分式章节知识
目标3
大★★★★★综合
综合掌握图形的运动章节知识
知识清单
期末复习
01
【考情分析】
1.本次课主要考察整式、分式及图形运动七年级上册三个章节知识
2.试卷主要以填空、选择和解答三种题型进行考察
3.对应教材：
七年级上册整册
课堂引入
通过我们本学期的的学习，同学们还记得我们一共学习了哪些知识吗？
答：整式、分式和图形的运动
02
出
知识点1一一整式
知识笔记
1.
2
3.
4.
5
【填空答案】
l、am.a0=am+n;
2、(am)”=am
3、(ab)”=a"b
4、(a+b)(a-b)=a2-b2
5、(a±b)2=a2±2ab+b2
经典例题
例1
(1)
(★★女☆☆)下列各式，代数式的个数是()
@x+6②a2+b=b+a'目4x+1>7④b⑤0⑥号-×⑦4a+3≠0⑧2-6⑨8m-2n<0.
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
(②)(*★☆☆)如果-ab与助是同类项，且m、n互为负倒数.求：n-m-m
的值，
03
(3③)(**☆☆)已知代数式3x2+2Dx-y+4-号ax2+7x+5y的值与字母×的取值无关，
求a、b的值.
【配题说明】本题主要考察整式的概念及加减
【常规讲解】
(1)解：根据代数式的定义，可知①、④、⑤、⑥、⑧都是代数式，一共5个，
故选：B.
(2②)解：-a”b与ab“是同类项，
.m-3=1,4n=1
解得：m=4或2，n=
4
又m、n互为负倒数，
1
∴.m=4，n=-
4
'.n-mn-m=-
(-10-4=-13
4
4
(3)解：3x2+2bx-y+4-ax2+7x+5y
=(3-2a)x2+(20+70x+4y+4,
,代数式3x2+2bx-y+4-
ax2+7x+5y的值与字母×的取值无关，
2
.3-
2a=0,
2b+7=0
7
解得：a=6,b=
2·
例2
(1)（★★☆☆☆)下列计算正确的是()
A.aa2=a3B.a+a2=a3 C.aa3=a
D.a3+a3=a5
(2)(★★★☆☆)规定a*b=2×2,求：
①求2*3；
②若2*(X+1)=16,求×的值
【配题说明】本题主要考察幂的运算
04
【常规讲解】
(1)解：A,aa2=a3,此选项正确；
B.a与a不是同类项，不能合并，此选项错误；
C.a3a3=a,此选项错误；
D.a3+a3=2a3,此选项错误；
故选：A.
①求2*3；
②若2*(×+1)=16，求×的值.
(2)解：①a*b=2×2”,
,2*3=22×23=4×8=32;
②2*(x+1)=16
22×21=24,
则2+X+1=4,
解得：X=1.
例3
(1)(★★☆☆☆)使(x2+px+8)(x2-3x+q)乘积中不含x2与x3项的P、q的值是()
A.p=0,q=0
B.p=3,q=1
C.p=-3,q=-9
D.p=-3,q=1
(2)(★★★☆☆)计算：(4a+1)(a+2)-(2a+1)(2a-1).
(3)
(★★★☆☆)已知×满足32+3.(2+1)2-(3+1)2.22x+3=36,求×的值.
【配题说明】本题主要考察整式的乘法
【常规讲解】
(1)解：(x2+px+8(x2-3x+q),
=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+8x2-24x+8q,
=x+(p-3)x3+(q-3p+8)x2+(pq-24)x+8q.
:乘积中不含x2与x3项，
∴.p-3=0,q-3p+8=0,
.p=3,q=1.
故选：B
0504|乘法公式
学习目标
目标1
★★★☆☆☆操作
熟练运用乘法公式进行运算
目标2
★★★★★☆迁移
综合掌握乘法公式的相关应用
知识清单
公式
公式
公式变化
乘法公式
公式
公式
乘法公式
【考情分析】
1.考纲要求：
2.4乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用
2.主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计算
的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、×+1
凑完全平方等题型
3.对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.11平方差公式9.12完全平方公式
4.平方差公式、完全平方公式是特殊的法公式，它既是前面知识“"多项式乘多项式”的应
用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在
01
初中阶段占有很重要的地位.两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进
而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想.它在本章中起着举
足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依
据，起着承前起后的作用，
孙
课堂引入
【课堂引入】
复习引入
(1)(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
3)(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
那么我们今天要学方差公式又是怎样的特殊的多乘多呢？
二学习新知
.计算：
①0y+1)y-2)
②(m+1)(m-1)
③(3+a)(3-a)
④(X+2y)x-2y）
观察结果与各因式关系，猜想(+b)(a-b)的结果。实际上结果只有两项，非常简洁，为了
方便计算，将其作为公式。
学生计算结果
①0y+1)y-2)=y2-y-2
②(m+1)(m-1)=m2-1
③(3+a)(3-a)=9-a2
④(X+2y)x-2y)=x2-4y2
教师引导学生观察，关注学生是否能关注到后三个等式就有共同特征，关注进而引导学生
先观察等式左边，再观察等式右边，关注学生能否主动将不是平方项的化为平方项。
要求学生用自己的语言将观察到的规律叙述出来，进而用符号语言表示出来。
要求学生证明公式。
2.平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
02
知识点1
公式
知识笔记
1.
公式
两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：
2.公式变化
(1)位置变化：(a+b)(-b+a)=
(2)符号变化：(-a-b)(a-b)=
(3)公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式.
【填空答案】
1、(a+b)(a-b)=a2-b
2、(a+b)(a-b)=a2-b2;-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)=b2-a2
经典例题
例1
(★★☆☆☆)(2019浦东新区校级月考)(a2-b)】
=-a4+b2
【配题说明】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键.
【常规讲解】
解：(a2-b(-a2-b)=-a°+b2.
故答案为：(-a2-b)
例2
(1)(★★☆☆☆)(2020·普陀区期中)计算：(x-2y)(x2+4y2)(x+2y).
(2)(★★☆☆☆)(2019·浦东新区期中)计算：(a-2b+ca+2b-c).
(3)(★★☆☆☆)(2019浦东新区校级月考)简便计算：1001×999-9992.
·316 | 期末复习
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 综合掌握整式章节知识
目标 2 ★★★★★★ 综合 综合掌握分式章节知识
目标 3 ★★★★★★ 综合 综合掌握图形的运动章节知识
知识清单
期末复习
1
知识点 1——
知识笔记
1. ：_________________.
2. ：_______________________.
3. ：_____________________ __.
4. ：_____________________.
5. ：___________________.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列各式，代数式的个数是 ( )
2
① x + 6② a2 +b = b + a2 ③ 4x +1 7 ④ b ⑤0 ⑥ x ⑦ 4a + 3 0⑧ 23 6⑨8m 2n 0．
3
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个．
1 |4n|
（2）（★★☆☆☆）如果 a|m 3|b与 ab 是同类项，且m 、n互为负倒数．求：n mn m
3
的值．
2 1
（3）（★★★☆☆）已知代数式 3x + 2bx y + 4 ax
2 + 7x + 5y 的值与字母 x 的取值无关，
2
求 a、b的值．
2
例 2
（1）（★★☆☆☆）下列计算正确的是 ( )
A． a a2 = a3 B． a + a2 = a3 C． a3 a3 = a9 D． a3 + a3 = a6
（2）（★★★☆☆）规定 a*b = 2a 2b ，求：
① 求 2*3；
② 若 2*(x +1) =16，求 x的值．
例 3
（1）（★★☆☆☆）使 (x2 + px + 8)(x2 3x + q) 乘积中不含 x2 与 x3项的 p 、 q的值是 ( )
A． p = 0， q = 0 B． p = 3， q =1
C． p = 3， q = 9 D． p = 3， q =1
（2）（★★★☆☆）计算： (4a +1)(a + 2) (2a +1)(2a 1)．
（3）（★★★☆☆）已知 x满足32x+3 (2x+1)2 (3x+1)2 22x+3 = 36，求 x的值 ．
3
例 4
（1）（★★☆☆☆）如图，有三种规格的卡片共 9 张，其中边长为 a的正方形卡片 4 张，边
长为b的正方形卡片 1 张，长，宽分别为 a， b 的长方形卡片 4 张．现使用这 9 张卡片拼成
一个大的正方形，则这个大正方形的边长为 ( )
A． 2a + b B． 4a + b C． a + 2b D． a + 3b
（2）（★★★☆☆）已知 x = 3y + 5，且 x2 7xy + 9y2 = 24，则 x2 y 3xy2的值为 ( )
A．0 B．1 C．5 D．12
巩固练习
练 1-1
x 5
2 2
1
（1）（★★☆☆☆）在代数式 x + 5， ，x2 3x 2，0，1 ，x + 中，整式有 ( )
2 x +1
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
（2）（★★☆☆☆）关于 x、 y 的代数式 ( 3kxy +3y) + (9xy 8x +1) 中不含有二次项，则 k =
（ ）
1 1
A．3 B． C．4 D．
3 4
（3）若多项式 2x2 + 3x + 7 的值为 10，则多项式6x2 + 9x 7的值为___________．
练 1-2
（★★☆☆☆）计算： (x4 )2 + (x2 )4 x(x2 )2 x3 ( x)3 ( x2 )2 ( x)
4
练 1-3
（1）（★★★☆☆）计算： (x + y 2)(x y)．
（2）（★★★☆☆）若 m ， y = 3+ 4mx = 2 + 2 ．
① 请用含 x的代数式表示 y ；
② 如果 x = 3，求此时 y 的值．
练 1-4
（★★★☆☆）若多项式9x2 2(m +1)xy + 4y2 是一个完全平方式，则m = ________．
知识点 2——
知识笔记
1. 取 .
2. ：_________________，_________________．
3. ：_________________
4. （一三、二二型 、五项、六项、七项）.
5
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 ( )
A． (a + 3)(a 3) = a2 9 B． x2 + x 5 = x(x +1) 5
x2
1
C． +1= x(x + ) D． x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
x
（2）（★★☆☆☆）若 a2 + a +1= 0，那么 a2001 + a2000 + a1999 = ________．
例 2
（1）（★★☆☆☆）分解因式： y5 2y3 + y = ___________．
（2）（★★☆☆☆）分解因式： (c2 b2 + d 2 a2 )2 4(ab cd )2 .
例 3
（1）（★★★☆☆）分解因式： (x + y)2 2(x + y) 63 .
（2）（★★★☆☆）分解因式： x3 + 5x2 y 24xy2 .
例 4
（1）（★★★☆☆）分解因式： a(1 b)2 1+ 2b b2 .
6
（2）（★★★☆☆）分解因式： ax2 bx2 +bx ax + a b .
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）把多项式m2 (a 2) +m(2 a) 分解因式等于 ( )
A． (a 2)(m2 +m) B． (a 2)(m2 m)
C．m(a 2)(m 1) D．m(a 2)(m+1)
练 2-2
（1）（★★☆☆☆）因式分解：16 8(x y) + (x y)2 = ___________．
（2）（★★☆☆☆）分解因式：
① 2 x 8xy +16y2 ； 2 2 ② (x + y +1) (x y +1) ．
练 2-3
（ 2 21）（★★★☆☆）分解因式： x 6xy 72y .
（2）（★★★☆☆）分解因式： (x +1)(x + 2)(x + 7)(x +8) +8 .
7
练 2-4
（1）（★★★☆☆）分解因式： x5 + y5 (x4 y + xy4 ) .
（2）（★★★☆☆）分解因式： x3 2x2 x + 2+ x5 2x4 .
知识点 3——
知识笔记
1.
分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变．
用式子表示：_______________________.
2.
_______________________.
3.
_______________________.
4.
_______________________.
5.
（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。即_______________________.
（2） 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。即___________________.
8
6.
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
7.
___________________________________.
经典例题
例 1
3x2
（1）（★★☆☆☆）如果把 中的 x与 y 都扩大 3 倍，那么这个代数式的值（ ）
x + y
A．扩大 9 倍 B．扩大 3 倍
1
C．不变 D．缩小到原来的
3
1 1 2x 3xy + 2y
（2）（★★☆☆☆）已知 + = 5，则 = ____________．
x y x + 2xy + y
x + 3
（3）（★★★☆☆）当 x取什么数时，分式 有意义？
(x + 3)(x 5)
例 2
x2 + x x2
（1）（★★★☆☆）分式 的值可能等于 ( )
x2 1 x2 2x +1
A．2 B．1 C．0 D． 1
（2）（★★★☆☆）化简下列各式
1 2 2 3a 3b
2
① a b ( ) ( )2；
8 4b2 2a
9
2
2 x 2xy + y
2 x y
② (xy x ) 2 . xy x
例 3
1 1 x
（1）（★★☆☆☆）把分式方程 =1的两边同时乘以 (x 2)，约去分母，得 ( )
x 2 2 x
A．1 (1 x) =1 B．1+ (1 x) =1 C．1 (1 x) = x 2 D．1+ (1 x) = x 2
x 2 m
（2）（★★★☆☆）若关于 x的方程 = 2 + 无解，则m 的值为__________．
x 3 x 3
1 a 2
（3）（★★★★☆）关于 x的分式方程 = 2 总无解，求 a的值． x 2 3 x x 5x + 6
巩固练习
练 3-1
0.2x 1
（1）（★★☆☆☆）不改变分式 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则
0.4x + 3
所得结果为（ ）
2x 1 x 5 2x 1 2x 10
A． B． C． D．
4x + 3 2x +15 4x + 30 x + 3
a4 + ma2 +1
（2）（★★☆☆☆）已知： a2 + 4a +1= 0，且 = 3，则m 的值为_________．
2a3 + ma2 + 2a
10
练 3-2
（1）（★★☆☆☆）下列计算正确的是 ( )
( 2x2 3
5 6 1
A． y) ( y) =10x y
4
B． (a + b) =1
4 a + b
a2 1 10a2b
C． = a +1 D． 2a = b
a2 a 5a
a b c
（2）① （★★★☆☆）化简： + + .
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
a2 b2 2 1 1 2 2
② （★★★☆☆）化简： + ( + ) 2 .
a + 2ab + b
2 ab a b a2 b
2 + 2ab
练 3-3
x2 +1 2x x2 +1
（1）（★★★☆☆）已知分式方程 + = 3，如果 t = ，那么原方程可化为关于
x x2 +1 x
t 的整式方程是___________．
6
（2）（★★★☆☆）已知： 2x
2 4x = 1，求 x2 2x的值__________
x2
．
2x
11
知识点 4——
知识笔记
1.
（1）平移：将图形上的所有的点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的
平移运动．简称为平移．在平移的过程中，它不改变图形的形状和大小，只是位置发生
了变化．
（2）图形的平移的两个要素：_____________与_____________．
2.
（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动
叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心．
（2）图形旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
3.
（1）把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．
（2）两个图形关于某一条直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对
称轴上．如果一个图形关于某一条直线对称，那么联结对称点的线段垂直平分线就是
该图的对称轴．
4.
（1）旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度 后（0o 360o），与
初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心．旋转的角度叫
做旋转角．
（2）中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180o 后，与初始图形重合，那
么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
（3）中心对称图形是特殊旋转图形，它的旋转角只能是180o ，而旋转对称图形的旋转
角在 0 度到 360 度之间均可．
12
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
（2）（★★☆☆☆）在正方形、等腰三角形、矩形、菱形中，既是中心对称图形又是轴对称
图形的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（3）（★★★☆☆）如图，在 4 4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角
阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂
上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有 ( )
A．2 种 B．3 种 C 4 种 D．5 种
（4）（★★★☆☆）① 图形 B是图形 A绕O点_____方向旋转_____后，又向_____平移_____
个方格得到的．
② 图形D是图形C 绕 P点_____方向旋转_____后，又向_____平移_____个方格，再向_____
平移_____个方格得到的．
13
例 2
（1）（★★★★☆）如图，在平面内将Rt ABC绕着直角顶点C 逆时针旋转90 得到Rt EFC，
若 AC = 2， BC =1，则阴影部分的面积为__________（结果保留 )．
（2）（★★★★☆）如图， A = 90 ，E为 BC 上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C
点关于DE 对称， ABC =_________和 C =_________．
巩固练习
练 4-1
（1）（★★☆☆☆）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
（2）（★★★☆☆）在镜子中看到时钟显 示的时间是_______，则实际时间
是____________．
（3）（★★★☆☆）如图，若正六边形 ABCDEF 绕着中心点O旋转 度后得到的图形与原来
图形重合，则 的最小值为_______ ．
14
（4）（★★★☆☆）如图：
（1）点 A到对称轴的距离是______小格，点 B到对称轴的距离是_____小格；
（2）点 E和点_____到对称轴距离是相等的；
（3）点_____和点_____对称，点_____和点_____对称．
练 4-2
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， ACB = 90 ， BC = m ， AB = 3m， AC = n．
（1）将 ABC 绕点 B逆时针旋转，使点C 落在 AB 边上的点C1 处，点 A落在点 A1处，在如
图中画出△ A1BC1 ；
（2）求四边形 ACBA1的面积；（用m 、 n的代数式表示）
（3）将△ A1BC1沿着 AB 翻折得△ A2BC1， A2C1 交 AC 于点D，写出四边形 BCDC1与三角形
ABC 的面积的比值．
15
综合练习
【A 】
练 1
（1）（★★☆☆☆）单项式 3 xy2z3的系数和次数分别是 ( )
A． ，5 B． 1，6 C． 3 ，6 D． 3，7
4 1
（2）（★★☆☆☆）把多项式 32x
3 y y2 + xy 12x2按照字母 x降幂排列：___________．
5 3
（3）（★★★☆☆）已知 A = y2 + ay 1，B = 2y2 + 3ay 2y 1，且多项式 2A+ B的值与字
母 y 的取值无关，求 a的值．
练 2
（1）（★★☆☆☆）分解因式：3x2 12x + 9；
（2）（★★☆☆☆）分解因式： x4 2x2 8；
（3）（★★☆☆☆）分解因式： a2 2a 15；
（4）（★★★☆☆）分解因式： ax3 + x + a +1；
16
（5）（★★★☆☆）分解因式： a4 a3b ab3 + b4；
（6）（★★★☆☆）分解因式： ax by bx + ay .
练 3
x2 y2
（1）（★★☆☆☆）化简 2 的结果为 ( ) x + xy
y x + y x y
A． B． y C． D．
x x x
（2）（★★☆☆☆）若 x，y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是 ( )
y x + y x +1 x
A． B． C． D．
x +1 x +1 x y x + y
2x 3 2y 2y
（3）（★★☆☆☆）计算 ( ) ( )
2 ( )
2 的结果是 ( ) y x x
3 3 16x2 16x28x 8x
A． B． C． D． 5 5
y6 y6 y y
（4）（★★☆☆☆）下列关于 x的方程中，属于分式方程的个数是 ( )
1 2
x3
x 1 x x
① + 3x = 0； ② + b =1； ③ 1= 2； ④ + = 6．
2 b2 x2 x 4
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个．
2 x 3
（5）（★★★☆☆）方程 + = 的解是 ( )
x 2 x +1 x2 x 2
A．1 B． 1 C． 1 D．方程无解
（6）（★★★☆☆）化简：
① 3a3 2 2 b a + b(a2b 3ab)；
17
x + 2 1 x 3
② 2 ． x 6x + 9 3 x x + 2
练 4
（1）（★★☆☆☆）下列安全标志图中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
（2）（★★☆☆☆）下列对称图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（3）（★★☆☆☆）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A．正三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
（4）（★★☆☆☆）下列英文字母既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
（5）（★★★☆☆）如图①是3 3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个
图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中
的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有 ( )
A．4 种 B．5 种 C．6 种 D．7 种
18
【B 】
练 1
（★★★★☆）如果 A = 2x2 + 3xy 2x 1，B = x2 + xy 1，且3A+ 6B的值与 x的取值无关，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
求 + + + + + + + 的值．
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 y
练 2
（★★★★☆）如图所示，在 ABC 中．
（1）如图一，如果将 ABC 绕点C 向顺时针方向旋转90 得到 A 'B 'C ，请画出图形．
（2）如图二，如果沿着过点C 的直线折叠这个三角形，使顶点 A落在 BC 边上的点E处，
折痕为CD，并联结DE ．如果 BC = 9cm，且满足 y ，试求边 AC 的长度．
A A
D
B B C E C （图二）
19
练 3
（★★★★☆）（2020 秋 上海期末）如图，在正方形 ABCD中，点 E是 AB 边上的一点（与
A， B两点不重合），将 BCE 绕着点C 旋转，使CB与CD重合，这时点 E 落在点 F 处，
联结 EF ．
（1）按照题目要求画出图形；
（2）若正方形边长为 3， BE =1，求 AEF的面积；
（3）若正方形边长为m ， BE = n ，比较 AEF与 CEF 的面积大小，并说明理由．
20
