沪教版数学六年级上册秋季讲义（PDF版，教师版+学生版，16份打包）

13 | 百分比的应用（二）及等可能事件
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比的增长率及下降率问题
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比的涨价及降价问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比的盈利率及亏损率相关的题型
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比相关的利率及税率
目标 5 ★★★★★☆ 迁移 掌握等可能事件的运用
知识清单
百分比的应用（二）
及 等可能事件
等 可能事件
【考情分析】
1．百分比的应用（二）及等可能事件属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
1
2．主要考察百分比的概念及应用，以解答题为主，占期末总分值的 10%；
3．对应教材：预初上册，第三章：比和比例，第二节：百分比，3.5 百分比的应用；3.6 等
可能事件
4．百分比的应用是六年级数学上学期第三章第 2 节的内容，在上一讲讲解了百分比的简单
应用和常见分百分率的基础上，本讲主要讲解关于增长率和下降率、涨价和降价、盈利率和
亏损率、利率和税率的相关问题，旨在学会利用百分比解决生活中的问题，尤其是经济问题．
等可能事件是六年级数学上学期第三章第 2 节的内容，重点是了解等可能事件的意义，体验
生活中的等可能事件，难点是能用数来描述等可能事件发生的可能性大小．
课堂引入
【课堂引入】
某地区去年橘子的产量为 120 万吨，比前年增长了 25%，今年又比去年增长了 20%，这三
年产量共计_______万吨.
【答案】120 (1+ 25%) +120 +120 (1+ 20%) = 360万吨.
知识点 1——
知识笔记
1．甲比乙多了百分之几
( )
甲比乙多了百分之几= 100% ．
( )
2．甲比乙少了百分之几
( )
甲比乙少了百分之几= 100% ．
( )
3． ：即 了百分之几
( )
增长率= 100% ．
( )
4． ：即 了百分之几
2
( )
下降率= 100% ．
( )
【填空答案】
甲-乙
1、
乙
乙-甲
2、
乙
3、 增长的量
基础的量
、 下降的量4
基础的量
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）甲数是 20，乙数是 50，甲数比乙数少______%；
（2）（★★☆☆☆）计划投资比实际少 5 万元，计划投资 15 万元，实际比计划多______%.
【配题说明】考察百分数的应用：甲比乙多(少)百分之几，注意公式的准确运用
【常规讲解】
50 20
（1） 100% = 60% ；
50
5
（2） 100% = 33.3% .
15
例 2
（★★☆☆☆）工人原来做 800 个零件要用 5 小时，现在做 900 个零件只要 4.5 小时，他的工
作效率提高了______%．
【配题说明】考察甲比乙多百分之几，此题要先求出原来和现在的工作效率．
【常规讲解】
原来工作效率为：800 5 =160 个/小时，现在工作效率为900 4.5 = 200 个/小时，工作效率
200 160
提高了 100% = 25% ．
160
3
例 3
（★★★☆☆）A、B 两个工程分别由甲、乙两个队来完成．在晴天，甲队完成 A 工程需要 12
天，乙队完成 B 工程需要 15 天；在雨天，甲队的效率要下降 40%，乙队的工作效率要下降
10%，现在两队同时开工，并同时完成这两个工程，那么在施工的日子里，晴天有几天？雨
天有几天？
【配题说明】考察工程问题
【常规讲解】
1 1
在雨天：甲队完成 A 工程的工作效率： (1 40%) = ，
12 20
1 3
乙队完成 B 工程的工作效率： (1 10%) = ，
15 50
1 1 1
则晴天时甲队工作效率比乙队工作效率高的部分为： = ，
12 15 60
3 1 1
雨天时乙队工作效率比甲队工作效率高的部分为： = ．
50 20 100
1 1
所以甲队和乙队在晴天和雨天时的工作效率比为： : = 5:3．
60 100
1 1 1
按照 3 个晴天，5 个雨天可得甲完成的工作量是： 3+ 5 = ，
12 20 2
故要完成整个工程，晴天数为：3 2 = 6 天，雨天数为：5 2 =10 天．
答：晴天有 6 天，雨天有 10 天．
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）某市今年上半年的工业总产值是 1800 亿元，计划全年总产值是 4000 亿
元，下半年相对于上半年的总产值增长率是______（除不尽的百分号前保留 1 位小数）；
1
（2）（★★☆☆☆）某校六年级的男生比女生多 ，则女生比男生少______%．
3
【配题说明】考察百分数的应用：甲比乙多(少)百分之几，注意公式的准确运用．
【常规讲解】
4000 1800 1800
（1） 100% = 22.2% ；
1800
4
4 3
（2）设女生人数为 3 份，则男生人数为 4 份， 100% = 25%．
4
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）甲仓存货量比乙仓多 10%，乙仓存货量比丙仓少 10%，那么（ ）
A．甲仓比乙仓多 B．甲仓最多 C．丙仓最多 D．无法比较
1
（2）（★★☆☆☆）从甲堆煤中，取出 给乙堆，这时两堆煤重量就相等了，原来乙堆煤的
5
重量比甲堆煤的重量少百分之几？
【配题说明】考察一个数比另一个数多（少）百分之几
【常规讲解】
（1）因为乙仓存货量比丙仓少 10%，所以乙仓存货量为丙的 90%，设丙仓存货量为 y，则
y y 90%
乙仓存货量为 90%y， 100% =11.1% ，可得丙比乙仓多 11.1%， 而题中甲仓
y 90%
存货量比乙仓多 10%，所以丙仓最多．故选 C.
（2）设甲堆煤重量为 5 份，则乙堆煤重量为 3 份，
5 3
则乙堆煤的重量比甲堆煤的重量少： 100% = 40% ．
5
练 1-3
（★★★☆☆）王师傅加工一批零件，加工 720 个之后，他的工作效率提高了 20%，结果提前
4 天完成任务，如果王师傅从一开始就把效率提高了 12.5%，那么也可以提前 4 天完成任务，
这批零件共有多少个？
【配题说明】考察工程问题，本题需要先理解工作效率提高 20%和 12.5%的意义
【常规讲解】
当工作效率提高 20%时，工效比为 5：6，则时间比为 6：5；
当工作效率提高 12.5%时，工效比为 8：9，则时间比 9：8；
因为两者的时间差是一样的，且可以提前 4 天完成任务，则说明 1 份代表 4 天，
所以原来共有 4×9=36（天），而加工 720 个，剩下的按原工作效率进行，
还要 4×6=24 天，即 720 个用 36-24=12 天，所以原来 1 天做 720÷12=60（个）．
所以这批零件共有：60×36=2160（个）．
5
知识点 2——
知识笔记
1. “折数”
“打八折”指现价是原价的_______，“打对折”指现价是原价的_______，“打七五折”
指现价是原价的_______．
2. “成数”
成数是以 10 为分母的的分数．
1
如一成就是 ，即 10%；75%可以称为七成五．
10
3. 了百分之几
( )
涨价了百分之几 = 100% ．
( )
4. 了百分之几
( )
降价了百分之几 = 100% ．
( )
【填空答案】
1、80%，50%，75%
涨价后的价格-涨价前的价格
3、
涨价前的价格
降价前的价格-降价后的价格
4、
降价前的价格
6
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）一种篮球原价 180 元，现在按原价的七五折出售.这种篮球现价每只______
元，每只便宜了______元；
（2）（★★☆☆☆）李丹家去年收玉米 300 千克，前年收玉米 240 千克，去年比前年的玉米
增产了______（填百分数）．
【配题说明】考察折数和增产数的概念．
【常规讲解】
（1）180 0.75 =135 ，180-135=45；
300 240
（2） 100% = 25% .
240
例 2
（1）（★★★☆☆）一种手机先提价 20%，再降价 20%，结果与原价相比（ ）
A．不变 B．提高了 C．降低了 D．无法比较
（2）（★★★☆☆）商品甲的定价打九折后和商品乙的定价相等，下面说法中不正确的是
（ ）
A．乙的定价是甲的 90% B．甲比乙的定价多 10%
10
C．乙的定价比甲少 10% D．甲的定价是乙的 倍
9
【配题说明】考察涨价和降价的问题
【常规讲解】
（1）设原价为 a，先提价 20%，再降价 20%后的价格为 a(1+10%)(1 20%) = 0.96a ，故选 C.
100 90
（2）甲比乙的定价多 100% =11.1% ．
90
A、乙的定价是甲的 90%，说法正确；
10 10 1
B、把乙的定价看作单位“1”，则甲的定价是乙的 (1 90%) = ，即甲比乙多 1= ，所
9 9 9
以 B 说法错误；
C、把甲的定价看作是单位“1”，乙的定价比甲的定价少 1-90%=10%，说法正确；
7
10
D、甲的定价是乙的 (1 90%) = ，说法正确.
9
故选 B.
例 3
（★★★★☆）王先生向商店订购某种商品 80 件，每件定价 100 元，王先生对商店经理
说：“如果你肯减价，每件减 1 元，我就多订购 4 件．”商店经理算了一下，如果减价 5%，
那么由于王先生肯多订购，仍可获得与原来一样多的利润，这家商店的商品的成本是多少
元？
【配题说明】考察利润问题，列方程的依据是减价前后利润相同．
【常规讲解】
若减价 5%，则实际减少的价钱为100 5%=5 元，此时可多订5 4 = 20 件．
设这家商店的商品的成本为 x 元，由利润相等，
得：80(100 x) = (80 + 20)(100 5 x) ，
解得： x = 75
即这家商店的商品的成本是 75 元．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）明明在商店里买了一个计算器，打八五折，花了 68 元，这个计算器原价
______元．
（2）（★★☆☆☆）小华家前年收了 4000 千克稻谷，去年因为虫害，比前年减产三成五，去
年小华家收稻谷______千克．
【配题说明】考察“折数”“成数”的相关计算．
【常规讲解】
（1） 68 0.85 = 80元．
（2） 4000(1 35%) = 2600 千克．
8
练 2-2
（1）（★★★☆☆）某服装店的老板以每件 75 元的进价进了一批服装，提价 10%出售．某日
卖出一件衣服后不小心收进了一张 100 元的假币，这个老板在这件衣服上实际亏损了（ ）
A．75 元 B．100 元 C．82.5 元 D．92.5 元
（2）（★★★☆☆）原价每袋 2 元的某种牛奶正在搞促销活动，甲商店每袋降价 15%，乙商
店“买四送一”，丙商店每袋打八八折出售，小智要买五袋牛奶，从______商店买最便宜．
【配题说明】考察销售中的涨价问题，本题注意是在进价的基础上亏损．
（1）售价为： 75(1+10%) = 82.5 元；找零：100 82.5 =17.5 元；
故共亏损：17.5+ 75 = 92.5 元．
（2）从甲商店购买共需： 2 (1 15%) 5 = 8.5 元；从乙商店购买共需： 2 4 = 8 元；
从丙商店购买共需： 2 0.88 5 = 8.8 元，故从乙商店购买最便宜．
练 2-3
（★★★★☆）甲向商店订购某种商品 50 件，每件定价是 200 元，甲向商店经理说：“如果
你肯减价，每减 1 元，我就多订购 2 件。”商店经理算了一下，如果减价 10%，由于甲多订
购，商店仍可获得与原来相同的利润，问：这种商品每件的成本是多少元？
【配题说明】考察利润问题
【常规讲解】
若减价 10%，则实际减少的价钱为 200 10%=20 元，此时可多订 20 2 = 40 件．
设这家商店的商品的成本为 x 元，由利润相等，
得：50(200 x) = (50 + 40)(200 20 x) ，
解得： x =155
即这家商店的商品的成本是 155 元．
9
知识点 3——
知识笔记
1. 和
盈利=___________–___________；
亏损=___________–___________．
2. 和
( )
盈利率= 100% ；
成本
( )
亏损率= 100% ．
成本
【填空答案】
1、实际售价，成本；成本，实际售价
2、盈利， 亏损
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）一件服装进价为 100 元，售价为 120 元，则它的盈利率为______；
（2）（★★☆☆☆）一台冰箱批发价为 2000 元，若要盈利 60%，则每台的售价为______元．
【配题说明】主要考察对盈利率的理解以及相关计算．
【常规讲解】
120 100
（1） 100% = 20% ；
100
（2） 2000(1+ 60%) = 3200 （元）．
10
例 2
（★★★☆☆）玩具商店同时出售两种玩具售价都是 120 元，一件可赚 25%，另一件赔 25%.
如果同时出售这两件玩具，算下来是赔还是赚，如赔，赔多少元，如赚，赚多少元？
【配题说明】考察盈利和亏损问题，本题中注意两个玩具的成本是不一样的．
【常规讲解】
成本：120 (1+ 25%) = 96 元；120 (1 25%) =160 元；
则两件玩具的总成本为：96+160=256 元；售价为：120+120=240 元；
所以赔了 256-240=16 元．
例 3
（★★★☆☆）元旦期间，某商店以每张 0.5 元的价格购进 500 张贺卡，再以每张 1.5 元的价
格卖出了 370 张，剩下的每张打八折出售，全部售完，求这家商店出售这批贺卡的盈利率．
【配题说明】考察盈利率问题，注意盈利率可以大于 1．
【常规讲解】
成本： 0.5 500 = 250 元；
售价：1.5 370 +1.5 0.8 (500 370) =711 元．
711 250
盈利率： 100% =184.4% ．
250
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）一商品如果以 95 元的价格进货，盈利 5%，则它的售价为______元；
（2）（★★☆☆☆）一商品如果以 210 元的价格出售，盈利 5%，则它的成本为______元．
【配题说明】主要考察对盈利率的理解以及相关计算．
【常规讲解】
（1） 95(1+ 5%) = 99.75 元；
（2） 210 (1+ 5%) = 200 元．
11
练 3-2
（★★★☆☆）一件商品每件原售价为 80 元，打八折出售后，仍可赚 25%，求这件商品的成
本是______．
【配题说明】主要考察对盈利率的理解以及相关计算．
【常规讲解】
80 0.8 (1+ 25%) = 51.2 元．
练 3-3
（★★★☆☆）某水果店批发进来 200 千克橘子，用去运费 30 元，出售时按批发价提高 50%
卖出，卖了 90%后剩下的橘子烂了，最后结算可得 2 成利润，问橘子的批发价是每千克多少
元？
【配题说明】考察盈利率问题，注意本题利润中要减去运费．
【常规讲解】
设橘子的批发价是每千克 x 元，则由题意，可得：
(1+ 50%)x 200 90% 30 200x = 20% 200x
解得：x=1
即橘子的批发价是每千克 1 元．
知识点 4——
知识笔记
1.
将钱存入银行，银行根据不同的存期制定了相应的利率，存款人取出存款时，银行在返
还存款时还向存款人支付利息．向银行借款时（或称贷款），也需要向银行支付利息．
存款额或借款额称为__________．
利率又称利息率，表示一定时期内利息与本金的百分比，按年计算则称为____________；
按月计算则称为____________；按日计算则称为____________．
12
2.
税金 = 应缴税额×___________．
在特定的时期，国家规定，到银行存款时获取利息的同时，还需按一定的税率，向国家
缴纳利息税．
3. 息
利息 = 本金×利率×期数×（1－利息税率）．
本利和 = 本金＋__________．
【填空答案】
1、本金，年利率，月利率，日利率
2、税率
3、利息
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）某人买了 20000 元的国家建设债券，定期 5 年，如果年利率为 3%，到期
得利息____元；
（2）（★★☆☆☆）小智买了 1000 元国库券，三年后得到本息和 1084 元，这种国库券的年
利率是______．
【配题说明】考察对于本金及其利率的理解及相关计算．
【常规讲解】
（1） 20000 5 3% = 3000 元；
（2） (1084 1000) 1000 3 100% = 2.8% ．
例 2
（★★★☆☆）联华超市每年从国外进口总价为 50 万元的 A、B 两种水果.由于我国加入了
WTO，2009 年的进口关税比 2008 年的有所下调，具体税率如下表.这样 A 种水果 2009 年的
进口关税比 2008 年少了 1 万元，那么 B 种水果 2009 年的进口关税比 2008 年少了多少元？
13
水果类型 2008 年 2009 年
A 20% 15%
B 24% 18%
【配题说明】考察对税率的理解及相关计算，题中两个计税金额是不一样的．
【常规讲解】
A 种水果 2008 年进口关税是：1÷（20%-15%）=1÷5%=20 万元
所以 B 种水果 2008 年进口关税是：50-20=30 万元
30×（24%-18%）=30×6%=1.8 万元=18000 元
答：B 种水果 2009 年的进口关税比 2008 年少了 18000 元.
巩固练习
练 4-1
（★★☆☆☆）若银行定期储蓄一年的年利率是 2.25%，则月利率应该是_________.
【配题说明】考察对于利率的理解及相关计算．
【常规讲解】
2.25%÷12=0.1875%
练 4-2
（★★★☆☆）某公司每年需要从国外进口总价为 100 万元的 A、B 两种仪器，若 A 仪器的
进口税率为 12%，A 仪器需支付关税 7.2 万元，B 仪器需支付关税 4 万元，求 B 仪器的进口
税率是多少
【配题说明】考察税率问题
【常规讲解】
7.2÷12%=60 万元
100-60=40 万元
4÷40=10%
答：B 仪器的进口税率是 10%.
14
知识点 5——等可能事件
知识笔记
1. 事件
学校组织六年级八个班进行“元旦联欢会”活动，每个班都准备了一个节目，活动的时
候用抽签的方式确定各个班级的出场顺序．那么哪个年级可能第一个出场？
此时，每个班级都有第一个出场的可能，但无法确定具体哪个班级第一个出场．
像上述的问题，我们把它称为__________．
类似的事件有许多，如抛掷一枚硬币，落地后是正面朝上还是背面朝上？掷骰子停止后，
哪一点朝上？等等．
2. 等可能事件
上述事件具有共同的特点，就是事先知道出现的结果会有几种可能性，但是又无法确定
到底会出现哪一种结果．
我们将这类事件叫做___________________．
3. 等可能事件中发生某种结果可能性的大小
用字母“P”表示可能性的大小．
( )
P = ．
( )
可能性的大小一般用分数表示，也可以用百分数表示．
【填空答案】
1、事件
2、等可能事件
发生的结果数
3、
所有等可能的结果数
15
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）投掷一枚骰子，骰子有六个面，每个面的点数为 1、2、3、4、5、6，求
点数为 2 的一面朝上的可能性是________.
（2）（★★☆☆☆）一个口袋中装有 4 个白球，2 个红球，6 个黄球，摇匀后随机从中摸出一
个球是白球的可能性大小是________.
【配题说明】考察随机事件概率的求法
【常规讲解】
1
（1）
6
（2）一个口袋中装有 4 个白球，2 个红球，6 个黄球，共 12 个球，摇匀后随机从中摸出一
4 1
个球是白球的概率是 = .
12 3
例 2
（★★☆☆☆）如右图，将一个圆盘 6 等分，写出指针落在下列区域的可能性大小：
（1）指针落在 1 的可能性大小是________；
（2）指针落在偶数区域的可能性大小是________；
（3）指针落在 3 的倍数的区域的可能性大小是________.
【配题说明】考察随机事件概率的求法
【常规讲解】
1
（1）因为圆被等分成 6 份，其中数字 1 占 1 份，所以指针落在 1 的可能性大小是 ；
6
3 1
（2）因为偶数区域包括 2，4，6 这三个区域，所以指针落在偶数区域的可能性大小是 = ；
6 2
2 1
（3）因为 3 的倍数包括 3，6 这两个区域，所以指针落在 3 的倍数区域内的可能性是 = .
6 3
16
例 3
（★★★☆☆）小王读一本 50 页厚的书本，他随手翻到一页，问：
（1）页码是偶数的可能性的大小？
（2）页码末位是 0 的可能性大小？
（3）页码能被 3 整除的可能性的大小？
【配题说明】考察随机事件概率的求法
【常规讲解】
25 1
（1）偶数页有 25 页，所以页码是偶数的可能性有： = .
50 2
5 1
（2）末位是 0 的有：10，20，30，40，50 共 5 页，所以是 = .
50 10
（3）被 3 整除的数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48
16 8
共 16 页，所以是 = .
50 25
巩固练习
练 5-1
（1）（★★☆☆☆）投掷一枚骰子，骰子有六个面，每个面的点数为 1、2、3、4、5、6，
求点数为 5 的一面朝上的可能性是________.
（2）（★★☆☆☆）一个袋内装有 2 个红球、3 个白球、5 个黄球（这些球除颜色外没有其
他区别），从中任意取出一球，则取得红球的可能性大小是________.
【配题说明】考察随机事件概率的求法
【常规讲解】
1
（1）
6
2 1
（2） = .
10 5
17
练 5-2
（★★☆☆☆）如右图，将一个圆盘 6 等分，写出指针落在下列区域的可能性大小：
（1）指针落在 4 的可能性大小是________；
（2）指针落在奇数区域的可能性大小是________；
（3）指针落在 2 的倍数的区域的可能性大小是________.
【配题说明】考察随机事件概率的求法
【常规讲解】
1
（1）因为圆被等分成 6 份，其中数字 4 占 1 份，所以指针落在 4 的可能性大小是 ；
6
3 1
（2）因为偶数区域包括 1，3，5 这三个区域，所以指针落在奇数区域的可能性大小是 = ；
6 2
（3）因为 2 的倍数包括 2，4，6 这两个区域，所以指针落在 2 的倍数区域内的可能性是
3 1
= .
6 2
练 5-3
（★★★☆☆）某公司组织年会，对参与年会的 1500 个员工进行抽奖，共设置一等奖 2 名，
二等奖 5 名，三等奖 15 名，抽出的号码不再放回抽奖箱，若抽奖顺序按照三等奖、二等奖
和一等奖的顺序进行，问：
（1）抽到三等奖的可能性大小？
（2）抽到二等奖的可能性大小？
（3）抽到一等奖的可能性大小？
【配题说明】考察随机事件概率的求法
【常规讲解】
15 1
（1）抽到三等奖的可能性大小 =
1500 100
5 1
（2）抽到二等奖的可能性大小 =
1500 15 297
18
（3）抽到一等奖的可能性大小 2 1=
1500 15 5 740
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）电视机厂五月份计划生产电视机 5000 台，实际生产了 6000 台，超额完成了
______%．
【配题说明】考察超额完成率的计算．
【常规讲解】
6000 5000
100% = 20% ．
5000
练 2
（★★☆☆☆）明明在商店里买了一个计算器，打八五折，花了 68 元，这个计算器原价______
元．
【配题说明】考察“折数”的相关计算
【常规讲解】
68 0.85 = 80元．
练 3
（★★★☆☆）掷一枚骰子，点数是素数的可能性是______．
【配题说明】考察等可能事件发生某种结果的可能性大小．
【常规讲解】
1
素数有 2、3、5 三种可能，故可能性是 .
2
19
练 4
（★★★☆☆）小方将 2000 元存入银行，定期 2 年，月利率为 0.15%，到期需按 20%的税率
支付利息税，小方到期时实际得到利息多少元？
【配题说明】考察利息的计算方法，注意本题中的条件是月利率．
【常规讲解】
2000 2 0.15% 12 (1 20%) = 57.6 元．
练 5
（★★★★☆）某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书 100 本以上，按书价九折收款．一
3
学校到该书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的 ，只有甲种书得到九
5
折优惠．其中，买甲种书所付的钱数是买乙种书所付钱数的 2 倍．已知乙种书每本 1.5 元，
那么优惠前甲种书每本多少元？
【配题说明】考察折扣的相关计算，本题中注意册数与价钱的关系．
【常规讲解】
设购买甲种书的册数为 5x，则乙种书的册数为 3x，依题意有：
(3x 1.5 2) 5x = 20 0.9
解得：x=2
答：优惠前甲种书每本 2 元.
【B组】
练 1
（★★★★☆）某超市大卖场在 9 月份准备将四种数量相同的商品降价销售，以便能尽快在国
庆前清仓，引入新的商品，现将这四种商品的基本信息列表如下：
货物 商品进价 原售价
高跟鞋 50 元 90 元
进口化妆品 100 元 130 元
羊毛衫 60 元 90 元
羽绒服 250 元 550 元
20
（1）这四种商品如果按原售价进行销售，哪一种商品的盈利率最低？是多少？
（2）现在为了加快销售速度，要对这四种商品进行降价，要求是：①高跟鞋、进口化妆品
只要能保本即可；②羊毛衫可以亏损 5%；③全部商品售完后，盈利率要达到 5%。
【配题说明】考察百分数的应用，根据题意列方程即可．
【常规讲解】
（1）高跟鞋：（90-50）÷50=80%
进口化妆品：（130-100）÷100=30%
羊毛衫：（90-60）÷60=50%
羽绒服：（550-250）÷250=120%
答：所以进口化妆品盈利率最低，为 30%.
（2）羊毛衫：60-60×5%=57（元）
设羽绒服为 x 元.
50+100+ 57 + x (50+100+ 60+ 250)
= 5%
50+100+ 60+ 250
x 253
= 5%
460
x = 276
答：高跟鞋定价为 50 元，进口化妆品为 100 元，羊毛衫为 57 元，羽绒服位 276 元.
练 2
（★★★★☆）职员工资按下列标准缴纳所得税：
每月工资收入在 1600 元以内的 不 缴 税
每月工资收入在 3000 元以内的 超过 1600 元的部分按税率 5%纳税
超过 1600 元不超过 3000 元的部分按税率 5%纳税，
每月工资收入在 5000 元以内的
超过 3000 元不超过 5000 元的部分按 10%纳税
超过 1600 元不超过 3000 元的部分按税率 5%纳税，
每月工资收入在 5000 元以上的 超过 3000 元不超过 5000 元的部分按 10%纳税，超
过 5000 元的部分按 15%纳税
（1）若小王每月收入 1780 元，小李每月收入 3375 元，小张每月收入 6000 元，问：他们三
人各应缴纳所得税多少元？
（2）若小华每月需缴税 220 元，那么小华的月工资收入是多少？
21
【配题说明】本题主要考察税率问题.
【常规讲解】
（1）小王：1780-1600=180，180×5%=9 元
小李：3000-1600=1400，1400×5%=70 元
3375-3000=375，375×10%=37.5 元
70+37.5=107.5 元
小张：3000-1600=1400，1400×5%=70 元；
5000-3000=2000，2000×10%=200 元；
6000-5000=1000，1000×15%=150 元；
150+70+200=420（元）
答：他们三人各应缴纳所得税 9 元，107.5 元，420 元.
（2）3000-1600=1400，1400×5%=70；
150
220-70=150， =1500 ；
10%
1500+3000=4500（元）
答：小华的月工资收入是 4500 元.
课堂总结
2215 | 圆的组合图形
学习目标
目标 1 ★★★★☆☆ 识别 掌握组合图形的周长
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握圆有关组合图形的面积
知识清单
圆 的
组合图形的
圆 的组合图形 形的
等 形的
形的
组 合图形的 形的
形的
圆的
扇 形的
201
知识点 1——组合图形的
知识笔记
1. 圆的
C=__________．
2.
l=__________．
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）如图，正方形的边长是 6 厘米，则阴影部分的周长是______厘米.（
取 3.14）
（2）（★★★☆☆）如图，正方形的边长为 8cm，求阴影部分的周长.（ 取 3.14）
例 2
（★★★☆☆）如图，把半径为 6cm 和 4cm 的两个半圆重叠放置，求阴影部分的周长.（ 取
3.14）
202
例 3
（ ★★☆）为方便运输，现在将四根半径为 5 厘米的圆柱形物件，用绳子捆绑在一
起，横截面如图所示.如果要求物件的两端各用一根绳子绕三圈，并留出 20 厘米长打结，
那么需要准备两根多长的绳子？（ 取 3.14）
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）长方形的长为 5 厘米，宽为 4 厘米，则阴影部分的周长为______厘米.
练 1-2
（★★★☆☆）如图，在长方形 ABCD 中，AB=3 厘米，BC=1 厘米，把长方形 ABCD 绕顶点
B 顺时针转动，使点 A 落在边 BC 所在的直线上（图中的点 A ' 处），求点 A 和点 C 分别走
过的路程.
203
练 1-3
（★★★★☆）如图所示，在长方形 ABCD 中，有一个最大的圆 O，已知 AB=3 厘米，BC=4
厘米，两只蚂蚁同时从点 M 出发，第一只蚂蚁沿圆周以每秒 3 毫米的速度爬行，第二只蚂
蚁沿长方形的边以每秒 5 毫米的速度爬行，请问：哪只蚂蚁先回到出发点 M？早到几秒钟？
（ 取 3.14）
知识点 2——组合图形的
知识笔记
1. 形的
三角形的面积=____________．
2. 等 形的
等腰直角三角形的面积=_______________．
3. 形的
长方形的面积=___________．
204
4. 形的
正方形的面积=_____________．
5. 形的
梯形的面积=______________．
6. 圆的
圆的面积=_____________．
7. 扇形的
扇形的面积=______________．
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）如图，以半圆的半径 8 厘米为直径在半圆内作一个圆，求图中阴影部分
的面积．（ 取 3.14）
（2）（★★★☆☆）如图，正方形的边长为 6 分米，求阴影部分的面积．（ 取 3.14）
205
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，长方形的宽是 8 厘米，求阴影部分的面积．（ 取 3.14）
（2）（★★★☆☆）如图，圆 O 的直径为 8 厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（
取 3.14）
1
（3）（★★★☆☆）如图，扇形 AFB 恰为一个圆的 ，BCDE 是正方形，边长为 3，AFBG 也
4
是正方形，边长为 4，求图中阴影部分的面积．（ 取 3.14）
A F
E D
M
G B C
（4）（★★★☆☆）如图， ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直
径．已知：AB=BC=10，求阴影部分的面积．（ 取 3.14）
B
A
D
C
206
例 3
（1）（★★★★☆）如图，直角梯形的面积是 54 平方厘米，求阴影部分的面积．（ 取 3.14）
135°
（2）（★★★★☆）如图， AOB = 90 ，C 为弧 AB 的中点，已知阴影甲的面积为 16 平方厘
米，求阴影乙的面积．（ 取 3.14）
A
C
乙
甲 S 空
O B
巩固练习
练 2-1
（1）（★★★☆☆）如图，正方形的边长是 6 厘米，则阴影部分的面积是______平方厘米．（
取 3.14）
207
（2）（★★★☆☆）如图，求阴影部分的面积．（ 取 3.14）
2
2 1 2
练 2-2
（1）（★★★☆☆）图中，三个同心圆的半径分别为 2、6、10，则图中阴影部分占大圆面积
的______%．
（2）（★★★☆☆）如图，其中四个圆的直径均为 4 厘米，那么阴影部分的面积为______平
方厘米．（ 取 3.14）
（3）（★★★☆☆）如图， ABC 是等腰直角三角形，腰 AB 长为 4 厘米，求阴影部分的面
积．（ 取 3.14）
C
D
A B
208
练 2-3
（1）（★★★★☆）如图，直径 AB 为 3 厘米的半圆以点 A 为圆心逆时针旋转 60°，使 AB 到
达 AC 的位置，求图中阴影部分的面积．（ 取 3.14）
C
A B
（2）（★★★★☆）如图， ABC 是直角三角形，AB = 20 米，阴影（1）的面积比阴影（2）
的面积小 23 平方米，求 BC 的长度是多少米？（ 取 3.14）
A
1
2
B C
（3）（★★★★☆）如图，AB 与 CD 是两条互相垂直的直径，圆 O 的半径为 15 厘米，
ACB=90 ，弧 AEB 是以 C 为圆心，AC 为半径的圆弧，求阴影部分的面积．（ 取 3.14）
D
E
A B
O
C
209
综合练习
【A组】
练 1
（★★★☆☆）如图，正方形的边长为 4 厘米，阴影部分的面积是______平方厘米．（ 取
3.14）
练 2
（★★★☆☆）如图，阴影部分的面积是 100 平方厘米，求圆环的面积．
练 3
（★★★☆☆）已知等腰直角三角形 ABC，D 为斜边中点，AC=BC=2 分米，弧 DF、弧 DH 分
别是以 B、C 为圆心画的弧，求阴影部分的面积．
A
H
D E
B C
G F
210
练 4
（★★★★☆）如图，等腰 Rt ABC 腰长为 10 厘米，甲、乙两个部分的面积相等，求扇形 AEF
所在圆的面积．
A
F
乙
B
甲 C
E
练 5
（★★★★☆）正方形的边长为 8 厘米，一个半径为 1 厘米的圆沿着正方形的四边内侧滚动
一周，求圆滚过的面积．
【B组】
练 1
（★★★★★）如图，小正方形的边长 4 厘米，大正方形边长 6 厘米， DBE 的面积为 3.2 平
方厘米，求阴影部分的面积．
A C
D
B
E 30°
211
练 2
（★★★★★）如图，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚
到位置②．如果 AB、BC、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？
（ 取 3.14，结果保留两位小数）
B ②
① D
120°
A
C
课堂总结
21206 | 分数的乘除法
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握分数乘法的运算法则
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握分数除法的运算法则
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 利用运算律解决实际问题
知识清单
分数与分数 乘
分 数的乘法 整 数与分数 乘
分数乘法的 用
分 数的乘除法
数
分数的除法 分数除法的 算法
分 数除法的 用
74
知识点 1——分数的乘法
知识笔记
1．分数与分数 乘
两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母．即：
____________________．
2．整数与分数 乘
整数与分数相乘，整数与分数分子的积作积的分子，分母不变．即：
____________________．
3．分数乘法的 用
m
整数 a 的 可列式为：____________________．
n
p m
分数 的 可列式为：____________________．
q n
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
2 4 2 3
① = ______ ； ② = ______ ；
9 5 5 4
11 3
③ 6 = ______ ； ④ 12 = ______ ．
24 4
（2）（★★☆☆☆）计算：
13 19 1 1 4 24 3 2 1
① ； ② 3 1 ； ③ 6 ； ④ 1 3 ．
38 26 3 5 9 29 20 3 2
75
例 2
（1）（★★☆☆☆）填空：
① 12 米的 3 是________米； 2 ②6 千克的 是________千克；
5 4 15
③ 2 米的 3 是 3 2________米； ④ 升的 是________毫升．
15 4 10 3
7
（2）（★★☆☆☆）新星小学有学生 1050 人，其中男生占全校人数的 ，则该校有女生多
15
少人？
（3）（★★★☆☆）已知 4 3a = b = 2 c ，并且 a，b，c 都不等于 0，请把 a，b，c 三个数
3 4
按从小到大的顺序排列.
例 3
2
（★★★☆☆）一个皮球从高处自由落下，每次接触地面弹起的高度是前一次高度的 ，如果
5
这个皮球从 35 米高处落下，那么第二次弹起的高度是多少米？
76
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
4 15 2 3 5 4
① = ______ ； ② = ______ ； ③12 = ______ ； ④ 5 = ______ ．
5 26 21 8 6 25
（2）（★★☆☆☆）计算：
11 17 2 1 1 5 1 4
① ； ② 4 1 ； ③ 3 5 ； ④ 2 7 ．
85 121 3 2 2 21 7 25
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）填空：
3 2 3
① 米的 是______米； ②2 升的 是________升；
8 3 4
2 7 3 3
③ 2 小时的 是______分钟； ④ 千克的 是______克．
5 24 5 5
1
（2）（★★☆☆☆）文兴中学有教师 125 人，其中男教师占教师人数 ，则该校有女教师____
5
人．
2 1
（3）（★★★☆☆）已知 a 1 = b = 3 c ，并且 a，b，c 都不等于 0，请把 a，b，c 三个数
5 3
按从小到大的顺序排列.
77
练 1-3
1 3
（★★★☆☆）一根绳子每次对折后的长度是前一次长度的 ，那么一根1 米长的绳子第三
2 5
次对折后的长度是多少米？
知识点 2——分数的除法
知识笔记
1. 数
1 除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数．
p
a 的倒数是______（ a 0 ）， 的倒数是______（ p 0 ， q 0 ）．
q
互为倒数的两个数的乘积是 1．
2. 分数除法的 算法
甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数．用字母表示就是：
_____________________（ n 0 ， p 0 ， q 0 ）．
3. 分数除法的 用
m m
已知某数的 等于 a ，则：某数 = a ．
n n
78
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）下列说法中正确的有（ ）个.
①任何数都有倒数；
②如果两个数互为倒数，那么它们的乘积一定是 1；
③任何数的倒数都小于它本身.
A．0 B．1 C．2 D．3
5
（2）（★★☆☆☆）某数的倒数是 ，这个数与 25 的积是多少？
12
例 2
（1）（★★★☆☆）计算：
12 2 2 3
① 72 ； 4 ②16 ； ③ 1 ；
11 25 3 7 14
2 8 1
④ 6 4 14 ； ⑤ 99 ．
7 9 99
79
（2）（★★★☆☆）解方程：
① 9
8 6 4 2 2
3x = ； ② x = ； ③ x = ．
22 15 25 5 3 3
例 3
3 3
（1）（★★★☆☆）已知甲数的 是 84，乙数是 84 的 ，那么乙数是甲数的几分之几？
4 4
3
（2）（★★★★☆）小明将一本小说书分两天看完，第一天看了 150 页，占整本书的 ，这本
4
书共有多少页？小明第二天看了多少页书？
1 1
（3）（★★★★☆）果园里有梨树 150 棵，比桃数少 ，苹果树比桃树多 ，果园里有苹果树
3 5
多少棵？
80
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列说法中正确的有（ ）个.
①每个整数都有倒数；
②如果两个数的乘积是 1，那么它们互为倒数；
③一个假分数的倒数一定是一个真分数.
A．0 B．1 C．2 D．3
7 5
（2）（★★☆☆☆）1 减去 的差的倒数是多少？
48 6
练 2-2
（1）（★★★☆☆）计算：
5 1 1 1 5
① ； ② 117 2 ； ③ 3 2 1 ；
8 5 8 5 3 9
3 2 367
④ 32 2 ； ⑤ 367 367 ．
4 3 541
81
（2）（★★★☆☆）解方程：
① 6
12 3 3 1 1
8x = ； ② x = ； ③ + x = ．
23 25 5 4 2 20
练 2-3
5 5
（1）（★★★☆☆）已知甲数的 是 30，乙数是 40 的 ，那么甲、乙两数的和是多少？
6 8
2
（2）（★★★★☆）小明在图书馆借了本小说书，第一天看了 120 页，第二天看了全书的 ，
5
恰好看完，第二天比第一天少看了多少页？
（3）（★★★★☆）李明是个集邮爱好者，他除了从自己的私人信件中收集邮票外，他收集
的邮票大多是从市场购买的，也有些是朋友们赠送的。他从市场上购买的邮票有 200 枚，朋
2 3
友们赠送的邮票占他收集的邮票总数的 ，比他在市场上购买的少 ，请问：朋友们赠送给
9 5
李明多少枚邮票？李明共收集了多少枚邮票？
82
综合练习
【A组】
练 1
2
（1）（★★☆☆☆）5 个 的和是（ ）
15
2 4 4 8
A． B． C． D．
3 3 15 15
7 1 2
（2）（★★★☆☆）一瓶油重 千克，第一次用去 ，第二次用去第一次的 ，第二次用去
9 4 3
了一瓶油的几分之几？列式正确的是（ ）
7 1 7 2 7 1 2 1 2
A． B． C． D．
9 4 9 3 9 4 3 4 3
练 2
（1）（★★★☆☆）在下面的括号内填上适当的数，使等式成立：
4 3 4 1
① 3 ( ) =1； ②1 ( ) = ； ③ ( ) =1 ( ) =1．
7 10 13 2
3 1
（2）（★★★☆☆）已知 a、b 两数互为倒数，a 与 c 的和为 4 ，a 减去 d 的差是1 ，若 d=3，
5 2
求 a、b、c 的值.
83
练 3
（★★★☆☆）计算：
23 3 3 1 15 7
（1） ； （2）8 1 ； （3） 4 12 ；
24 8 5 2 18 9
8 1 1 8 3 15 13
（4）1 3 1 ； （5）12 5 ； （6） 6 2 ．
15 45 3 9 8 17 16
练 4
7 6
（1）（★★★☆☆）水果店运来 120 千克苹果，第一天卖了 ，第二天卖了第一天的 ，问：
20 7
第二天卖了多少千克苹果？
1
（2）（★★★☆☆）两台机器生产同一种零件.第一台 小时生产 20 个零件，第二台每小时
3
生产 80 个零件，第一台机器每小时生产多少个零件？两台机器同时生产 98 个零件需要几
小时？
84
【B组】
练 1
1
1+
（★★★★☆）计算： 12 + ．
1
3+
2
练 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 3 4 99 100（★★★★☆）计算： ．
1 1 1 1 1
1+ 1+ 1+ 1+ 1+
2 3 4 99 100
85
练 3
19191919 19 1919
（★★★★☆）计算： + ．
97979797 97 9797
课堂总结
8607 | 分数与小数的互化
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解分数与有限小数的互化原则
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握分数与循环小数的互化
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握分数与小数的混合运算
知识清单
分数化 小数
分数与 小数的互化 化 小数的
分 数的
小数化 分数
分 数与小数的互化 小数
分数与 小数的互化 小数化 分数
小数化 分数
分数与小数的
【考情分析】
1．分数与小数的互化及四则运算属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察分数与小数的互化，以填空题和选择题，计算题为主，占期末总分值的 10%；
3．对应教材：预初上册，第二章：分数，第二节：分数的运算，2.7 分数与小数的互化；
4．分数与小数的互化是六年级数学上学期第二章第 2 节中的内容．通过本讲的学习，我们
需要学会把分数化为有限小数或循环小数，并理解循环小数的意义，同时还需学会有限小数
向分数的转化，并学会利用分数与小数互相转化的方法比较分数与小数的大小，以及分数与
小数的混合运算．
1
课堂引入
【课堂引入】
你知道 0.3 循环如何用分数表示吗？
【答案】设 1x = 0.3，10x = 3.3，所以10x x = 3，即9x = 3，x = .
3
知识点 1——分数与 小数的互化
知识笔记
1．分数化 小数
3
利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如： = 3 5 = 0.6 ．
5
2． 化 小数的分数的
一个最简分数，如果分母中只含有素因数__________，再无其他素因数，那么这个分数
可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．
3． 小数化 分数
原来有几位小数，就在 1 后面添几个____作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，
若有整数部分作为带分数的整数部分．
注意：结果一定要化为最简分数．
【填空答案】
2、2 和 5
3、0
2
经典例题
例 1
9
（1）（★☆☆☆☆） 化成小数是（ ）
4
A、2.15 B、2.25 C、2.5 D、2.75
6 6 6 6
（2）（★★☆☆☆）在分数 、 、 、 中，不能化成有限小数的是（ ）
15 12 25 27
6 6 6 6
A、 B、 C、 D、
15 12 25 27
【配题说明】本题考察了分数化为有限小数的概念
【常规讲解】
9
（1） = 9 4 = 2.25 ，故选 B.
4
（2）一个最简分数的分母中，如果只含有 2 和 5 这样的质因数，这个最简分数就能化成有
6 2 6 1 6 6 2
限小数. = ， = ， 已经是最简分数，可以化成有限小数， = ，9 中含有素因
15 5 12 2 25 27 9
数 3，故不能化成有限小数，所以选 D.
例 2
（1）（★★☆☆☆）把下列小数化成最简分数：
①0.4=_______________； ②0.01=______________；
③0.625=_____________； ④2.5=_______________；
⑤1.25=______________； ⑥3.15=______________.
（2）（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小，在横线上填入适当的“>”、“<”或“=”符号：
3 5 21
① _____ 0.4 ② _____ 0.75 ③ _____ 0.81
8 7 25
【配题说明】本题主要考察小数化为分数及分数与小数比较大小，要求学生统一为分数或者
统一为小数进行比较．
【常规讲解】
4 2 1 625 5 5 1 1
（1）① 0.4 = = ；② 0.01= ；③ 0.625 = = ；④ 2.5 = 2 = 2 ；⑤1.25 =1
10 5 100 1000 8 10 2 4
3
⑥ 3.15 = 3
20
3
（ ）① 3 3 5 5 21 212 = 0.375 ，所以 0.4 ；② 0.71，所以 0.75；③ = 0.84 ，所以 0.81
8 8 7 7 25 25
例 3
（★★★☆☆）请写出所有分母是两位数，分子是 1，并且能化成有限小数的分数.
【配题说明】考察分数化有限小数的条件．
【常规讲解】
一个最简分数的分母中，如果只含有 2 和 5 这样的质因数，这个最简分数就能化成有限小
数 .故分 母是两位数 ，分子 是 1 ，并且能化 成有限 小数的分数 有： 1 1 1 1、 、 、 、
10 16 20 25
1 1 1 1 1
、 、 、 、 .
32 40 50 64 80
巩固练习
练 1-1
3
（1）（★☆☆☆☆） 化成小数是（ ）
8
A、0.315 B、0.325 C、0.35 D、0.375
1 3 5 7
（2）（★★☆☆☆）在分数 、 、 、 中，不能化成有限小数的有（ ）个
32 33 34 35
A、1 B、2 C、3 D、4
【配题说明】主要考察分数化小数法则：分子除以分母所得的商即为结果．
【常规讲解】
3
（1） = 0.375
8
（2）一个最简分数的分母中，如果只含有 2 和 5 这样的质因数，这个最简分数就能化成有
1 3 1
限小数. 是最简分数，32 中只含有质因数 2，可以化成有限小数； = ，故不可以化成
32 33 11
5 7 1
有限小数； 是最简分数，34 中含有质因数 2 和 17，所以不可以化成有限小数； = ，
34 35 5
所以可以化成有限小数，综上所述，不能化成有限小数的有 2 个，故选 B.
4
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）把下列小数化成最简分数：
①0.9=_____________； ②0.05=____________；
③0.125=___________； ④1.8=_____________；
⑤3.75=___________； ⑥4.16=___________.
（2）（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小，在横线上填入适当的“>”、“<”或“=”符号：
5 8 9
① _____ 0.7 ② _____ 0.66 ③ _____ 0.45
7 11 22
【配题说明】主要考察小数化分数法则及分数与小数的比较大小
【常规讲解】
（1）① 9 1 1 4 3 40.9 = ；② 0.05 = ；③ 0.125 = ；④1.8 =1 ；⑤3.75=3 ；⑥ 4.16 = 4 .
10 20 8 5 4 25
5 5
（2）①∵ 0.71，所以 0.7 ；
7 7
8 8
② = 0.72 ，所以 0.66 ；
11 11
9 9
③ = 0.409 ，所以 0.45 .
22 22
练 1-3
（★★★☆☆）请写出所有分母是两位数，分子是 3，并且能化成有限小数的分数.
【配题说明】开放性的题，考察学生对分数化有限小数条件的运用．
【常规讲解】
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
分母中只含有 2 或 5 两种素因数即可， 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ．
10 16 20 25 30 32 40 48 50 60 64 75 80 96
5
知识点 2——分数与 小数的互化
知识笔记
1． 小数
（1）一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这
个小数叫做____________．
（2）一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个
循环小数的__________．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循
环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．
例：0．3333…的循环节为“3”，写作 0.3 ；0．1363636…的循环节为“36”，写作0.136 ．
像“ 0.3 ”这样的循环小数称为________________，其循环节从小数点后第一位开始；
像“ 0.136 ”这样的循环小数称为________________，其循环节不从小数点后第一位开始.
2． 小数化 分数
纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母全部由 9 构
成，9 的个数等于一个循环节中的位数，最后再化为最简分数．
123 41
例： 0.123 = =
999 333
3． 小数化 分数
混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节之前的小数部分组成的数与小数部
分中不循环部分组成的数的差，分母的前几位数是 9，末几位数是 0，9 的个数等于一个
循环节中的位数，0 的个数等于小数点后不循环部分的位数．
123 1 122 61
例： 0.123 = = =
990 990 495
【填空答案】
（1）循环小数（2）循环节；纯循环小数；混循环小数
6
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）0.102102…的循环节是______，写作_______，保留 2 位小数写作_____．
（2）（★☆☆☆☆）已知：0.12222，0.353555…，3.23232323，0.101001000…，0.135353…，
0.23154430…，其中循环小数有_____个．
【配题说明】本题主要考察循环小数
【常规讲解】
（1）一个循环小数的循环节是依次不断重复出现的部分，求循环小数的近似数用四舍五入
法．102;0.102;0.10 .
（2）循环小数首先是无限小数，其次小数部分有规律的重复出现，0.101001000…的小数部
分有规律，但不是重复出现，所以不是循环小数；0.23154430…是无限小数，不过没有规律，
所以不是循环小数．所以答案是 0.353555…，0.1353535…，故有 2 个.
例 2
4
（1）（★★☆☆☆）将 化成循环小数是________，小数点右边第 50 位上的数字是______.
35
（2）（★★☆☆☆）将下列循环小数化为分数．
0.3 0.21 0.36 0.321
1 2 3 4 5 10 11 22
（3）（★★☆☆☆） = 0.1， = 0.2， = 0.3， = 0.4， = 0.5， =1.1， =1.2， = 2.4 ，观察以
9 9 9 9 9 9 9 9
上各式，利用你发现的规律，快速将下列分数化为循环小数：
7 8 14 25 32
① ② ③ ④ ⑤
9 9 9 9 9
（4）（★★★☆☆）计算：
① 2.45+ 3.13 ② 2.609 1.32 ③ 4.3 2.4 ④1.24 0.3
【配题说明】本题主要考察循环小数
【常规讲解】
4
（1） = 0.1142857 ，49÷6=8…1，所以小数点右边第 50 位上的数字是 1.
35
3 1 21 7 36 3 11 321 3 318 53
（2） 0.3= = ； 0.21= = ； 0.36 = = ； 0.321= = = .
9 3 99 33 90 30 990 990 165
7
7 8 14 25 32
（3）① = 0.7 ；② = 0.8 ；③ =1.5 ；④ = 2.7 ；⑤ = 3.5 .
9 9 9 9 9
（ ）① 45 13 1 5 2 75 22 974 2.45+ 3.13 = 2 + 3 = 2 + 3 = 2 + 3 = 5 ；
99 90 11 15 165 165 165
② 609 60 32 61 32 28392.609 1.32 = 2 1 = 2 1 =1 ；
900 99 100 99 9900
③ 3 4 39 22 2864.3 2.4 = 4 2 = = ；
9 9 9 9 27
④ 24 3 123 411.24 0.3 =1 = 3 = .
99 9 99 11
例 3
（1）（★★★☆☆）求证 20.6 = .
3
（2）（★★★★☆）将纯循环小数 化为最简分数时，分子与分母之和为 19，求 a 和 b.
0.ab
【配题说明】
【常规讲解】
2
（1）设 0.6 = a ,则 6.6 =10a，所以10a a = 6.6 0.6 = 6，所以9a = 6，所以a = . 3
10a + b 10
（2） 0.ab = ,当分母为 9 时，则分子为 10，则分数是 ，不合题意；
99 9
8
当分母为 11 时，分子为 8，则分数是 = 0.72 ，所以 a = 7，b = 2 .
11
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列各数中是循环小数的是（ ）
A、0.789 B、0.121… C、0.332525… D、0.050607…
（2）（★☆☆☆☆）0.44545454…的循环节是___________，用简便方法写作_________.
【配题说明】考察循环小数的表示方法和循环小数的近似数确定．
【常规讲解】
（1）根据循环小数的定义，故选 C.
8
（2）0.44545454…的循环节是 54，用简便方法写作 0.4454 ．
练 2-2
1
（1）（★★☆☆☆）将 化成循环小数是________，小数点右边第 20 位上的数字是_______.
22
1 8 17 25 68
（2）（★★☆☆☆） = 0.01， = 0.08， = 0.17， = 0.25， = 0.68
99 99 99 99 99
观察以上各式，利用你发现的规律，快速将下列分数化为循环小数：
5 14 35 46 74
① ② ③ ④ ⑤
99 99 99 99 99
（3）（★★★☆☆）计算：
3 19
① 0.54+ 0.36 ② 0.45 2 ③1.2 1.24+
4 27
【配题说明】结合循环小数考察周期问题和分数与小数的比较大小．
【常规讲解】
1
（1） = 0.045 ,19÷2=9…1，所以小数点右边第 20 位上的数字是 4.
22
5 14 35 46 74
（2）① = 0.05 ，② = 0.14，③ = 0.35 ，④ = 0.46 ，⑤ = 0.74 .
99 99 99 99 99
54 5 36 49 4 539 360 899
（3）① 0.54+ 0.36 = + = + = + = ;
90 99 90 11 990 990 990
3 45 11 5 11 5
② 0.45 2 = = = ;
4 99 4 11 4 4
19 2 24 19 11 123 19 41 19 20
③1.2 1.24+ =1 1 + = + = + = .
27 9 99 27 9 99 27 27 27 9
练 2-3
11
（1）（★★★☆☆）求证 0.36 = .
30
（2）（★★★★☆）将纯循环小数 化为最简分数时，分子与分母之和为 88，那么三位
0.abc
数 abc =_______.
a
【配题说明】考察考察 （最简）化成循环小数的规律．
7
【常规讲解】
9
（1）设 0.36 = a ,则3.6 =10a，36.6 =100a，所以100a 10a = 36.6 3.6 = 33，所以90a = 33 ，所
以 11a = .
30
abc
（2） 0.abc = ,而 999=9×111=9×3×37，又因为
999 0.abc
小于 1，且分子和分母的和是 58，
21
所以当分母为 37 时，则分子为 21，则分数是 = 0.567 ；所以不合题意；所以 abc = 567 .
37
知识点 3——分数与小数的
知识笔记
合 的一般原
（1）加减混合运算时，只需将题目中的数同时化成小数或分数后再运算；但当分数不
能化成有限小数时，则应同时化成分数后再运算．
（2）乘除运算中，一般将除法先转化为________，小数转化为________，然后遵循先约分
再运算的原则进行计算
（3）一般的运算顺序：先________，后________；若有括号，则先算括号内．
【填空答案】
（2）乘法，分数
（3）乘除，加减
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）以下说法中错误的是（ ）
2
A、计算 + 0.9 时，应当把小数化成分数后运算
3
1
B、计算3.2 时，应当把小数化成分数后运算
7
5 2
C、计算 0.5+ 时，应当把分数化成小数后运算
6 3
10
D、计算 13.21 + 0.7 时，应当把分数化成小数后运算
4
【配题说明】考察小数化分数法则，特别注意结果的最简性．
【常规讲解】
5 2 2
计算 0.5+ 时，因为 化成小数是循环小数，应当把小数化成分数后运算，所以此选项
6 3 3
错误，故选 C.
例 2
（★★★☆☆）计算：
1 3 1
（ 71） 1.5 + 4 （2） 2.52 + 0.5
4 4 6 15
（ ） 3 3
3 1 2
3 1.2 3 （4） 2 1.2+ + 1.6
4 8 5 10 3
【配题说明】考察分数与小数的混合运算
【常规讲解】
1 3 1 1 3 3 1 1 3 2 1 4 2
（1） 1.5 + 4 = + 4 = + = + =1
4 4 6 4 2 4 6 4 4 3 4 3 3
7 13 7 1 63 7 1 378 70 75 383
（2） 2.52 + 0.5 = 2 + = + = + =
15 25 15 2 25 15 2 150 150 150 150
3 3 6 4 3 3
（3）1.2 3 = =
4 8 5 15 8 25
3 1 2 3 6 1 2 13 10 2 8 2 8 16
（4） 2 1.2+ + 1.6 = 2 + + 1.6 = + = 2 + =
5 10 3 5 5 10 3 5 13 3 5 3 5 15
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）以下说法中错误的是（ ）
1
A、计算 0.1时，应当把小数化成分数后运算
9
5
B、计算1.8+ 时，应当把小数化成分数后运算
22
11
7
C、计算 0.18 +1.62 时，应当把分数化成小数后运算
10
5 3
D、计算 +1.9时，应当把分数化成小数后运算
12 4
【配题说明】考察小数化分数法则．
【常规讲解】
5 3 5
计算 +1.9时， = 0.416 ，应当把小数化成分数后运算，所以此选择错误，故选 D.
12 4 12
练 3-2
（★★★☆☆）计算：
2 3 3 2 2 8 （ 1） 3.625 + （2） 7.2 1 （3） 0.8 1.2 2
3 4 5 3 3 15
【配题说明】本题主要考察分数与小数的混合运算
【常规讲解】
2 3 5 2 3 29 2 3 87 16 18 89
（1） 3.625 + = 3 + = + = + =
3 4 8 3 4 8 3 4 24 24 24 24
（ ） 3 2 36 5 52 7.2 1 = = 20
5 3 5 3 3
2 8 2 4 8 2 15 6 1 13 1 13
（3） 0.8 1.2 2 = 1.2 2 = = =
3 15 3 5 15

3 4 5

2 10 2 20
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）把下列分数分别填入相应的圈内：
2 11 3 4 5 3 25 14 9 27
、 、3 、 、 、1 、 、2 、 、
5 8 12 18 20 27 40 42 54 64
12
能化成有限小数的分数 不能化成有限小数的分数
【配题说明】考察分数化小数法则
【常规讲解】
2 11 3 4 5 3 25 14
方 法 一 ： = 0.4、 =1.375、3 = 3.25、 = 0.2、 = 0.25、1 =1.1、 = 0.625、2 = 2.3
5 8 12 18 20 27 40 42
9 27 2 11 3 5 25 27
= 0.16、 = 0.421875 .故能化成有限小数的分数是 、 、3 、 、 、 ；能化成有限小
54 64 5 8 12 20 40 64
4 3 14 9
数的分数是 、1 、2 、 .
18 27 42 54
方法二：还可根据能化为有限小数的条件：一个最简分数的分母中，如果只含有 2 和 5 这样
的质因数，这个最简分数就能化成有限小数.
练 2
（★★☆☆☆）2.0207207207…的循环节是__________，用简便方法写作___________.
【配题说明】考察循环小数的概念．
【常规讲解】
2.0207207207…的循环节是 207，用简便方法写作
2.0207
练 3
（★★★☆☆）把下列各组数按照从小到大的顺序排列：
9 3 1 4 19 24
（1） 0.56， ， （2） ， ，0.20 （3） 4 ，4.95，4.95，4 ，4.905
16 5 5 21 20 25
【配题说明】考察分数化小数及大小比较．
【常规讲解】
9 3 9 3
（1） = 0.5625， = 0.6， 0.56 ；
16 5 16 5
1 4 4 1
（2） = 0.2， = 0.190476， 0.20
5 21 21 5
19 24 19 24
（3） 4 = 4.95，4. = 4.96， 4.905 4 4.95 4.95 4
20 25 20 25
13
练 4
（★★★☆☆）计算：
（ 3 1 31） 7.31 3 （2） 4 0.6
8 2 10
5 4 3 1 5
（3） 1 1.2 1.9 +1 （4） 2.2 + 0.6
6 5 5 10 7
【配题说明】考察基础的分数与小数混合运算．
【常规讲解】
（1） 3 17.31 3 = 7.31 3.375 0.5 = 3.435 .
8 2
（ ） 3 6 52 4 0.6 = = 2 .
10 5 3
5 4 4 4
（3） 1 1.2 1.9 +1 = (1 1) 1.9 +1 =1 .
6 5 5 5
3 1 5 3 11 1 5 3 3 10 3 5
（4） 2.2 + 0.6 = + = + = .
5 10 7 5 5 10 7 5 5 21 7 7
练 5
1
（★★★☆☆）一批货物，第一次运走它的 ，第二次运走 2.4 吨，还剩下一半，第一次运走
8
了多少吨货物？
【配题说明】考察基础的分数与小数的实际应用．
【常规讲解】
1 1 1
由题意得还剩下一半说明两次一共运走了 ，用 减去 ，剩下的就是 2.4 吨.
2 2 8
1 1 3 3 12 3 32 32 32 1 4
所以 = ，2.4 = = （吨），即总共有 吨，故第一次运走 = （吨）.
2 8 8 8 5 8 5 5 5 8 5
4
答：第一次运走了 吨.
5
14
【B组】
练 1
（★★★★☆）设 a，b，c 是 0~9 的数字（允许相同），将循环小数 0.abc 化成最简分数后，
分子有多少种不同的情况？
【配题说明】本题综合性较强，考查的知识点比较多，也比较综合，主要是认真分析题意，
根据所学知识求出结论
【常规讲解】
abc
0.abc = ，因为 a、b、c 是 0~9 的数字，所以 abc 可以为 001 到 999．
999
因为 999=9×111=3×3×3×37，所以 001 到 999 中以 3 为公因数有 333 个数可以约分，还剩
666 个．以 37 为公因数的有 27 个可以约分，还剩 639 个．算重复的有
9 个，所以剩下 639+9=648．而其中 81 的倍数有 12 个，所以共有 648+12=660 个.
练 2
a
（★★★★☆）真分数 化成小数后，如果小数点后连续 2017 个数字之和是 9075，那么
13
真分数 a 等于多少？
【配题说明】本题主要考察对循环节规律的归纳及运用
【常规讲解】
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
将分数 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 化为小数后发现所有的循环节都是 0、7、
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
6、9、2、3 或 4、6、1、5、3、8 构成.则一个循环节的和为 0+7+6+9+2+3=27 或 4+6+1+5+3+8=27，
4 5
而 9075÷27=336…3，而只有 ， 小数点后第一位是 3，所以 a=4 或 5.
13 13
1501 | 整数和整除
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解整数与整除的意义
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握因数和倍数
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握被特殊数整除的数的特征
知识清单
整 数的意义和分
整数的分
整 除的意义
因数和倍数
整数和整除 能 整除的数
数 数的 算性质
能 整除的数
能 整除的数
能 整除的数
能 整除的数
能 整除的数
能 整除的数
3
知识点 1——整数的分
知识笔记
1．整数的意义和分
（1）自然数：______和___________统称为自然数.
（2）整数：正整数、零、负整数、统称为整数.
2．整除的意义
整数 a 除以整数 b ，如果除得的商是_________而余数为零，我们就说 a 能被b 整除；或
者说 b 能整除 a .
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）下列说法中，正确个数是（ ）
①整数包括负数、整数
②1 是最小的自然数
③ a 除以 b ，商为整数，且余数为 0，则 a 能被b 整除
④有最大的自然数，而没有最小的自然数
⑤最大的正整数和最大的负整数都不存在
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
例 2
（★★☆☆☆）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是____________.
①3 和 0.3 ②12 和 4 ③5 和 15 ④0.2 和 0.4 ⑤1.4 和 14 ⑥5 和 0.1
4
例 3
（★★★☆☆）有 15 位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，
有几种分法？有可能把他们平均分成 4 个小组吗？为什么？
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列说法错误的是（ ）
A．自然数包括正整数和零
B．整数包括正整数和负整数
C．非负整数包括 0 和正整数
D．没有最小的负整数，但有最小的正整数
练 1-2
（★★☆☆☆）下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．
①7 和 11 ②9 和 2538 ③2 和 5 ④15 和 5
⑤13 和 91 ⑥2 和 0.4 ⑦0.3 和 6 ⑧1.5 和 2.5
练 1-3
（★★★☆☆）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班
共糊纸盒 342 个．小马虎的统计对吗？为什么？
5
知识点 2——因数和倍数
知识笔记
因数和倍数
整数 a 能被整数 b 整除， a 就叫做 b 的_________， b 就叫做 a 的_________（也称
为_________）．
注：一个整数的因数中最小的因数是 1，最大的因数是它本身．
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）下列说法中不正确的是（ ）
A．1 是任何整数的因数，任何整数都是 1 的倍数
B．偶数的因数不一定是偶数
C．奇数的因数一定是奇数
D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数
例 2
（★★☆☆☆）既是 3 的倍数，又是 30 的因数的数是________________．（写出所有符合条件
的数）
6
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）下列说法中正确的是（ ）
A．一个整数的最大因数就是它的最小倍数
B．1 是任何整数的因数，任何整数都是 1 的倍数
C．一个正整数至少有两个因数
D．偶数的因数一定是偶数，奇数的因数一定为奇数
练 2-2
（★★☆☆☆）一个数既是 10 的倍数，又是 100 的因数，且不能被 4 整除，这个数是______．
知识点 3——能 2,5整除的数
知识笔记
1. 能 2整除的数
被 2 整除的数的特征：个位上是_____，_____，_____，_____，_____的整数；
能被 2 整除的整数叫做___________，不能被 2 整除的整数叫做___________．
2. 数 数的 算性质
奇数±奇数=__________；奇数±偶数=__________；偶数±偶数=__________；
奇数×奇数=__________；奇数×偶数=__________；偶数×偶数=__________．
3. 能 5整除的数
能被 5 整除的数的特征：个位上是______或______的整数．
7
4. 能 2 5整除的数
能同时被 2 和 5 整除的数的特征：个位上是 ______的整数.
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）两个连续自然数的差是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．既不是奇数也不是偶数
例 2
（★★☆☆☆）已知一个三位数13x ．
（1）若这个三位数能被 2 整除，求 x ;
（2）若这个三位数能被 5 整除，求 x ;
（3）若这个三位数能同时被 2 和 5 整除，求 x .
例 3
（1）（★★★☆☆）13 个不同的自然数之和等于 100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几
个？
8
（2）（★★★☆☆）1＋2＋3＋…＋2015＋2016 的结果是奇数还是偶数？请说明理由.
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）9 个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数.
练 3-2
（★★☆☆☆）一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大 2，且能被 5 整除，求所有符合
条件的两位数：_______________．
练 3-3
（1）（★★★☆☆）用 25、26、27、28、29 这五个数两两相乘，可以得到 10 个不同的乘积，
问乘积中有多少个偶数？
（2）（★★★☆☆）在 1，2，3，…，2015，2016 中每个数前面任意添加“＋”、“－”号，
最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由.
9
知识点 4——能 3、9整除的数
知识笔记
1．能 3整除的数
能被 3 整除的数的特征：一个整数的各个数位上数字之和能被_____整除，这个整数就
能被 3 整除.
2．能 9整除的数
能被 9 整除的数的特征：一个整数的各个数位上数字之和能被_____整除，这个整数就
能被 9 整除.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）要使三位数 2□3 能被 3 整除，那么□中可以填的数是_____________.
（2）（★★☆☆☆）要使三位数 2□3 能被 9 整除，那么□中可以填的数是_____________．
例 2
（1）（★★★☆☆）一个五位数 4A97B 能被 3 整除，且 7B 能被 2 整除，这样的五位数有______
个．
（2）（★★★☆☆）从 2、4、0、5、8 这五个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，使得这
个三位数同时被 2、3 和 5 整除，那么这样的三位数有______个.
10
例 3
（★★★★☆）三个连续的自然数的和一定能被 3 整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举
出反例．
巩固练习
练 4-1
（★★☆☆☆）现有一个四位数 7□56：
（1）若该数能被 9 整除，那么□中可以填入哪些数？
（2）若该数能被 3 整除，那么□中可以填入哪些数？
练 4-2
（1）（★★★☆☆）四位数 2A9B 能同时被 3 和 5 整除，写出所有满足条件的四位数______.
（2）（★★★☆☆）五位数538AB 能够同时被 2、3、5 整除，求 A+B 的值．
11
练 4-3
（★★★★☆）已知一个三位数 abc ，试证明：若 a+b+c 能被 9 整除，则 abc 能被 9 整除.
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A．一个数至少有两个因数
B．个位上是 3、6、9 的整数都能被 3 整除
C．一个数既是 2 的倍数又是 5 的倍数，那么这个数一定是 10 的倍数
D．非负整数是正整数
练 2
（★★☆☆☆）50 以内的 7 的倍数有_______个.
练 3
（1）（★★★☆☆）一个数的最大因数与最小倍数的和是 2014，这个数是______．
（2）（★★★☆☆）一个整数的最大因数与最小因数的差为 27，写出这个整数的所有因数：
____________.
12
练 4
（★★★☆☆）对于如下式子：
（1）42□+30-147 能被 2 整除，则□中可填入____________；
（2）从 3、0、8、5 中任选几个数字，组成能被 5 整除的最小四位数是____________.
【B组】
练 1
（★★★★☆）若四位数9a8a 能被 15 整除，则 a 代表的数字是？
练 2
（★★★★☆）有一个三位数能被 9 整除，去掉末位数字后所得到的两位数恰是 7 的倍数，这
样的三位数中最大的是___________．
练 3
（★★★★☆）有一个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，这个三位数是？
1307 | 分数与小数的互化
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解分数与有限小数的互化原则
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握分数与循环小数的互化
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握分数与小数的混合运算
知识清单
分数化 小数
分数与 小数的互化 可化 小数的
分数的
小数化 分数
分 数与小数的互化 小数
分 数与 小数的互化 小数化 分数
小数化 分数
分数与小数的四 算
88
知识点 1——分数与 小数的互化
知识笔记
1．分数化 小数
3
利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如： = 3 5 = 0.6 ．
5
2．可化 小数的分数的
一个最简分数，如果分母中只含有素因数__________，再无其他素因数，那么这个分数
可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．
3． 小数化 分数
原来有几位小数，就在 1 后面添几个____作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，
若有整数部分作为带分数的整数部分．
注意：结果一定要化为最简分数．
经典例题
例 1
9
（1）（★☆☆☆☆） 化成小数是（ ）
4
A．2.15 B．2.25 C．2.5 D．2.75
6 6 6 6
（2）（★★☆☆☆）在分数 、 、 、 中，不能化成有限小数的是（ ）
15 12 25 27
6 6 6 6
A． B． C． D．
15 12 25 27
例 2
（1）（★★☆☆☆）把下列小数化成最简分数：
①0.4=_______________； ②0.01=______________；
89
③0.625=_____________； ④2.5=_______________；
⑤1.25=______________； ⑥3.15=______________.
（2）（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小，在横线上填入适当的“>”、“<”或“=”符号：
3 5 21
① _____ 0.4 ； ② _____ 0.75 ； ③ _____ 0.81．
8 7 25
例 3
（★★★☆☆）请写出所有分母是两位数，分子是 1，并且能化成有限小数的分数.
巩固练习
练 1-1
3
（1）（★☆☆☆☆） 化成小数是（ ）
8
A．0.315 B．0.325 C．0.35 D．0.375
1 3 5 7
（2）（★★☆☆☆）在分数 、 、 、 中，不能化成有限小数的有（ ）个.
32 33 34 35
A．1 B．2 C．3 D．4
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）把下列小数化成最简分数：
①0.9=_____________； ②0.05=____________；
③0.125=___________； ④1.8=_____________；
⑤3.75=____________； ⑥4.16=____________.
90
（2）（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小，在横线上填入适当的“>”、“<”或“=”符号：
① 5 ； ② 8
9
_____ 0.7 _____ 0.66 ； ③ _____ 0.45 ．
7 11 22
练 1-3
（★★★☆☆）请写出所有分母是两位数，分子是 3，并且能化成有限小数的分数．
知识点 2——分数与 小数的互化
知识笔记
1． 小数
（1）一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这
个小数叫做____________．
（2）一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个
循环小数的__________．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个
循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．
例：0．3333…的循环节为“3”，写作 0.3 ；0．1363636…的循环节为“36”，写作0.136 ．
像“ 0.3 ”这样的循环小数称为________________，其循环节从小数点后第一位开始；
像“ 0.136 ”这样的循环小数称为________________，其循环节不从小数点后第一位开
始.
91
2． 小数化 分数
纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母全部由 9 构
成，9 的个数等于一个循环节中的位数，最后再化为最简分数．
123 41
例： 0.123 = =
999 333
3． 小数化 分数
混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节之前的小数部分组成的数与小数部
分中不循环部分组成的数的差，分母的前几位数是 9，末几位数是 0，9 的个数等于一个
循环节中的位数，0 的个数等于小数点后不循环部分的位数．
123 1 122 61
例： 0.123 = = =
990 990 495
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）0.102102…的循环节是______，写作_______，保留 2 位小数写作_____．
（2）（★☆☆☆☆）已知：0.12222，0.353555…，3.23232323，0.101001000…，0.135353…，
0.23154430…，其中循环小数有_____个．
例 2
4
（1）（★★☆☆☆）将 化成循环小数是________，小数点右边第 50 位上的数字是______.
35
（2）（★★☆☆☆）将下列循环小数化为分数．
0.3 ； 0.21； 0.36 ； 0.321．
92
1 2 3 4 5 10 11 22
（3）（★★☆☆☆） = 0.1， = 0.2， = 0.3， = 0.4， = 0.5， =1.1， =1.2， = 2.4 ，观察以
9 9 9 9 9 9 9 9
上各式，利用你发现的规律，快速将下列分数化为循环小数：
7 8 14 25 32
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ．
9 9 9 9 9
（4）（★★★☆☆）计算：
① 2.45+ 3.13 ； ② 2.609 1.32 ； ③ 4.3 2.4 ； ④ 1.24 0.3 ．
例 3
（1）（★★★☆☆）求证 20.6 = .
3
（2）（★★★★☆）将纯循环小数 0.ab 化为最简分数时，分子与分母之和为 19，求 a 和 b．
93
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列各数中是循环小数的是（ ）
A．0.789 B．0.121… C．0.332525… D．0.050607…
（2）（★☆☆☆☆）0.44545454…的循环节是___________，用简便方法写作_________.
练 2-2
1
（1）（★★☆☆☆）将 化成循环小数是________，小数点右边第 20 位上的数字是_______.
22
1 8 17 25 68
（2）（★★☆☆☆） = 0.01， = 0.08， = 0.17， = 0.25， = 0.68
99 99 99 99 99
观察以上各式，利用你发现的规律，快速将下列分数化为循环小数：
5 14 35 46 74
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ．
99 99 99 99 99
（3）（★★★☆☆）计算：
3 19
① 0.54+ 0.36 ； ② 0.45 2 ； ③1.2 1.24+ ．
4 27
94
练 2-3
（1）（★★★☆☆）求证 110.36 = .
30
（2）（★★★★☆）将纯循环小数 0.abc 化为最简分数时，分子与分母之和为 88，那么三位
数 abc =_______.
知识点 3——分数与小数的四 算
知识笔记
合 算的一般原
（1）加减混合运算时，只需将题目中的数同时化成小数或分数后再运算；但当分数不
能化成有限小数时，则应同时化成分数后再运算．
（2）乘除运算中，一般将除法先转化为________，小数转化为________，然后遵循先约分
再运算的原则进行计算．
（3）一般的运算顺序：先________，后________；若有括号，则先算括号内．
95
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）以下说法中错误的是（ ）
2
A．计算 + 0.9 时，应当把小数化成分数后运算
3
1
B．计算3.2 时，应当把小数化成分数后运算
7
5 2
C．计算 0.5+ 时，应当把分数化成小数后运算
6 3
．计算 1D 3.21 + 0.7 时，应当把分数化成小数后运算
4
例 2
（★★★☆☆）计算：
1
（ ）
3 1 7
1 1.5 + 4 ； （2） 2.52 + 0.5 ；
4 4 6 15
3 3 3 1 2
（3）1.2 3 ； （4） 2 1.2+ + 1.6 ．
4 8 5 10 3
96
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）以下说法中错误的是（ ）
1
A．计算 0.1时，应当把小数化成分数后运算
9
5
B．计算1.8+ 时，应当把小数化成分数后运算
22
7
C．计算 0.18 +1.62 时，应当把分数化成小数后运算
10
5 3
D．计算 +1.9时，应当把分数化成小数后运算
12 4
练 3-2
（★★★☆☆）计算：
（ 2 3 3 2
2 8
1） 3.625 + ； （2） 7.2 1 ； （3） 0.8 1.2 2 ．
3 4 5 3 3 15
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）把下列分数分别填入相应的圈内：
2 11 3 4 5 3 25 14 9 27
、 、 3 、 、 、1 、 、 2 、 、
5 8 12 18 20 27 40 42 54 64
能化成有限小数的分数 不能化成有限小数的分数
97
练 2
（★★☆☆☆）2.0207207207…的循环节是__________，用简便方法写作___________.
练 3
（★★★☆☆）把下列各组数按照从小到大的顺序排列：
1 4
（1） 9 30.56， ， ； （2） ， ，0.20 ； （ ）
19 24
3 4 ，4.95，4.95，4 ，4.905 ．
16 5 5 21 20 25
练 4
（★★★☆☆）计算：
3 1 3
（1） 7.31 3 ； （2） 4 0.6 ；
8 2 10
5 4 3 1 5
（3） 1 1.2 1.9 +1 ； （4） 2.2 + 0.6 ．
6 5 5 10 7
98
练 5
1
（★★★☆☆）一批货物，第一次运走它的 ，第二次运走 2.4 吨，还剩下一半，第一次运走
8
了多少吨货物？
【B组】
练 1
（★★★★☆）设 a，b，c 是 0~9 的数字（允许相同），将循环小数 0.abc 化成最简分数后，
分子有多少种不同的情况？
练 2
a
（★★★★☆）真分数 化成小数后，如果小数点后连续 2017 个数字之和是 9075，那么
13
真分数 a 等于多少？
9910 | 比和比例
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 区别比和比值并会求比和比值
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 理解比的基本性质并熟练运用
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握比例及其性质
知识清单
比和比
比 比 和
比 和
比
比 和比例 比 比
比
比例
比 例 和比例
比例
比 例
比例
【考情分析】
1．比和比例属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察比和比值的意义，以填选题为主，占期末总分值的 10%；
3．对应教材：预初上册，第三章：比和比例，第一节：比和比例，3.1 比的意义；3.2 比的
基本性质；3.3 比例
1
4．比和比例是六年级数学上学期第三章第一节的内容，基础概念方面，同学们需要理解比、
比值以及比例的相关概念、并能理清比和比值、比和比例的区别，同时也要清楚比与除法、
分数等概念之间的联系和区别；性质理解方面，需掌握比的基本性质和比例的基本性质；计
算方面，需熟练比和比值求法，熟练运用比的基本性质进行最简整数比的化简和连比的求解，
以及根据比例的基本性质正确地进行比例的有关运算，为之后学习利用比例的基本性质解决
相关的实际问题做好准备．
课堂引入
【课堂引入】
100 米的赛跑中，甲用了 12 秒，乙用了 11 秒，则甲、乙的时间比是__________，速度比是
___________.
【答案】因为路程=时间×速度，所以甲、乙的时间比是 12:11，速度比是 11:12.
知识点 1——比
知识笔记
1．比和比
a、b 是两个数或两个同类的量，为了把 b 和 a 相比较，将 a 与 b 相除，叫做 a 与 b 的
____．记作________，或写成______，其中b 0 ；读作________，或 a 与 b 的比．
a 叫做比的_______，b 叫做比的________．
前项 a 除以后项 b 所得的商叫做________．
2．比 和
分子
比：前项：后项 = 比值；分数： = 分数值；除法：被除数÷除数 = 商．
分母
比的前项相当于分数的分子和除式中的__________；
比的后项相当于分数的分母和除式中的__________；
比值相当于分数的分数值和除式的商．
3．比 和
2
比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．
【填空答案】
a
（1）比， a : b ， ， a 比b ，前项，后项，比值
b
（2）被除数，除数
经典例题
例 1
1 3
（1）（★★☆☆☆）求比值：14 : 21= __________； : = __________.
3 2
（2）（★★☆☆☆）求比值：25 平方分米：0.4 平方米=______；25 分钟：1.2 小时=______.
（3）（★★☆☆☆）两个正方形的边长之比为5 : 3，则它们的面积之比为_________.
【配题说明】考察比和比值的意义
【常规讲解】
14 2 1 3 1 3 1 2 2
（1）由题意得14 : 21=14 21= = ; : = = = .
21 3 3 2 3 2 3 3 9
（2）由题意得 0.4 平方米=40 平方分米，所以 25 平方分米：0.4 平方米=25 平方分米：40 平
5
方分米=25÷40= ；1.2 小时=72 分钟，所以 25 分钟：1.2 小时=25 分钟：72 分钟=25÷72=
8
25
.
72
（3）两个正方形的边长之比为 5 : 3，则它们的面积之比为 52 : 32 = 25 : 9 .
例 2
（★★★☆☆）某公司招聘打字员，让应聘的甲和乙各自在电脑里输入一篇 3000 字的文章，
结果甲花的时间与乙花的时间之比为 3：4，若甲每分钟打字 200 个，求甲、乙两个人的打
字速度之比值是多少.
【配题说明】考察比的应用．
【常规讲解】
甲用时 3000÷200=15 分钟
3
乙用时 15÷3×4=20 分钟
乙每分钟输入 3000÷20=150 字
甲乙两人速度之比值是 4200:150=4:3=
3
答：甲、乙两个人的打字速度之比值是 4 .
3
例 3
3
（★★★☆☆）如右图，已知 ABD 的面积与 ABC 的面积之比是 2:5，若线段 BD 的长为
5
厘米，那么线段 DC 的长度为多少？
A
B
D C
【配题说明】考察比的应用．
【常规讲解】
由题可知， ABD 与 ABC 同高，所以 ABD 的面积： ABC 的面积=BD：BC=2：5；
3 3 3
已知 BD= ，所以 ：BC=2：5，BC= ；
5 5 2
3 3 9
DC=BC-BD= = 厘米.
2 5 10
9
答：线段 DC 的长度为 厘米.
10
巩固练习
练 1-1
2 1
（1）（★★☆☆☆）求比值：2.25：2.5=__________；3 : =__________.
3 2
（2）（★★☆☆☆）求比值：72 米：0.36 千米=_______；0.25 吨：40 千克=_______.
（3）（★★☆☆☆）两个正方形的边长之比为 7：3，则它们的面积之比为__________.
【配题说明】考察分数、除法、以及比之间的关系．
4
【常规讲解】
2.25 9 2 1 11 1 22
（1）由题意得 2.25: 2.5 = 2.25 2.5 = = ; 3 : = = .
2.5 10 3 2 3 2 3
1
（2）由题意得 0.36 千米=360 米，所以 72 米：0.36 千米=72 米：360 米==72÷360= ；0.25
5
25
吨=250 千克，所以 0.25 吨：40 千克=250 千克：40 千克= .
4
（3）两个正方形的边长之比为 7 : 3 ，则它们的面积之比为 72 : 32 = 49 : 9 .
练 1-2
（★★★☆☆）为了迎接世博会的到来，规划部门要对一条长是 2400 米的主干道进行修建，
现有甲、乙两个修筑队，根据以往的工作成绩可知，甲修筑队的工作效率与乙工作队的工作
效率之比为 3：5，若甲每天可修 150 米，求两队合作修建需要多少天.
【配题说明】考察比和比值的意义
【常规讲解】
设两队合作修建需要 x 天，根据题意，得：
5
150x +150 x = 2400
3
x = 6
答：两队合作修建需要 6 天.
练 1-3
（★★★☆☆）如右图，求：
（1）最小三角形的面积与整个长方形面积的比值；
（2）最小三角形的面积与最大三角形的面积的比值.
【配题说明】考察比的应用．
【常规讲解】
1
（1）最小三角形的面积为 1 2 =1 ，长方形面积为 2×4=8，所以最小三角形的面积与整个
2
1
长方形面积的比值是 ；
8
5
1
（2）最大三角形的面积为 4 2 = 4 ，所以最小三角形的面积与最大三角形的面积的比值
2
1
是 .
4
知识点 2——比
知识笔记
1. 比
比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0 除外），比值_______．
2. 比
比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做______________．
注：题目中比的结果都必须化成最简整数比．
3. 比
（1）如果 a :b = m : n ， b : c = n : k ，那么 a : b : c = ________ ；
（2）如果 k 0 ，那么 a : b : c = _________ ．
【填空答案】
1、不变
2、最简整数比
3、 m : n : k ， ak :bk : ck
经典例题
例 1
18 27
（1）（★★☆☆☆）填空：3：5= =
( ) 3+ ( )
（2）（★★☆☆☆）把下列各比化成后项是 100 的比：
6
①3:50=_____________； ②1.2:20=_____________.
（3）（★★☆☆☆）一段铁丝，原长是 9 米，一次用去了 6.6 米，问余下的铁丝与用去的铁
丝的长度比是____________（用最简整数比表示）.
【配题说明】考察比的性质和最简整数比
【常规讲解】
3 18 27 27
（1）3：5= = = = ，所以填 30，42.
5 30 45 3+ 42
（2）3：50=6:100；1.2：20=6:100.
（3）一段铁丝，原长是 9 米，一次用去了 6.6 米，余下 9-6.6=2.4 米，所以余下的铁丝与用
去的铁丝的长度比是 2.4：6.6=4:11.
例 2
（1）（★★☆☆☆）已知一个三角形的三个内角之和为180 ，且这个三角形三个内角之比为
2:3:4，则其中最小的内角为_________.
3 1
（2）（★★★☆☆）已知 x : y =1: , y : z =1 : 0.5 ，则 x : y : z = ______________.
5 3
（3）（★★★☆☆）已知 ab :bc : ac =15 :12 :16 ，则 a : b : c = ______________.
【配题说明】考察比值与最简整数比之间的关系．
【常规讲解】
2
（1）180 =40 ,故其中最小的内角为 40 .
2+3+4
3 1 4 1
（2）因为 x : y =1: = 5:3 = 40 : 24, y : z =1 : 0.5 = : = 8:3 = 24 :9 ，
5 3 3 2
所以 x : y : z = 40 : 24 : 9 .
（3）因为 ab : bc =15 :12，则a : c = 5 : 4 ，
因为 ab : ac =15 :16，则b : c =15 :16，
因为 a : c = 5 : 4 = 20 :16
所以 a :b : c = 20 :15 :16 .
7
例 3
x y z
（1）（★★★☆☆）已知 = = ，求:
2 4 7
① x : y : z ；
②若 2x + y + 3z = 58 ，分别求 x，y，z 的值；
x + y
③求 的值.
x + z
3
（2）（★★★☆☆）纸箱里有红、绿、黄三种颜色的球，红色球的个数是绿色球的 ，绿色
4
球的个数与黄色球个数的比是 4：5，已知绿色球与黄色球共 81 个，问：三种颜色的球各有
多少个？
【配题说明】考察三项连比的化简方法及比的综合应用．
【常规讲解】
x y z
（1）①设 = = = k ，所以 x = 2k, y = 4k, z = 7k ，即 x : y : z = 2 : 4 : 7 ；
2 4 7
② 2x + y + 3z = 58 ，即 4k + 4k + 21k = 58,29k = 58,k = 2，
所以 x = 2k = 4, y = 4k = 8, z = 7k =14 ；
x + y 2k + 4k 6 2
③ = = = .
x + z 2k + 7k 9 3
4 3
（2）由题意得，绿色球：81 = 36 个；黄色球：81 36 = 45 个；红色球： 36 = 27 个
9 4
答：红色球有 27 个，绿色球有 36 个，黄色球有 45 个.
巩固练习
练 2-1
16 12
（1）（★★☆☆☆）填空：______：5= = .
20 2 + ( )
（2）（★★☆☆☆）把下列各比化成后项是 50 的比：
①5：12=_____________； ②2.5：1=_____________.
（3）（★★☆☆☆）把 15 克盐放在 100 克水中，溶成盐水，那么盐与盐水重量的最简整数比
是____________.
8
【配题说明】考察比的基本性质和最简整数比
【常规讲解】
16 4 12 12
（1） = = = ，故填 4，13.
20 5 15 2 +13
25
（2）①5:12= : 50 ；②2.5：1=125:50.
12
（3）盐 15 克，水 100 克，盐水 115 克，所以盐与盐水重量的比是 15:115=3:23.
练 2-2
（1）（★★☆☆☆）已知一个平角的度数为180 ，把这个平角按 1:2:3 分成三个角，则这三个
角中最大的角是_______度.
（2）（★★★☆☆）已知 1 1x : y = 2 :3, x : z = : ，则 x : y : z = _____________.
3 4
（3）（★★★☆☆）已知 ab :bc : ac =10 :12 :15 ，则 a : b : c = ______________.
【配题说明】考察三连比
【常规讲解】
3
（1）180 =90 ,故其中最大的内角为 90 .
1+2+3
1 1
（2）因为 x : y = 2 :3 = 4 : 6, x : z = : = 4 :3 ，所以 x : y : z = 4 : 6 : 3 .
3 4
（3）因为 ab : bc =10 :12，则a : c = 5 : 6 ，
因为 ab : ac =10 :15，则b : c = 2 : 3 ，
因为b : c = 2 :3 = 4 : 6
所以 a : b : c = 5 : 4 : 6
练 2-3
P Q R
（1）（★★★☆☆）已知 = = ，求：
14 35 21
①P：Q：R；
②若 2P +Q R = 84 . ，求 P，Q，R 的值；
P +Q
③求 的值.
Q R
9
（2）（★★★☆☆）有三所工厂在第一季度展开生产大比拼，甲工厂生产的产品占总产品的
2
，比丙工厂多生产 248 件，而乙工厂与丙工厂的生产数之比为 3：2，求在第一季度中，
5
生产能力最强的是哪个工厂.
【配题说明】考察三项连比的化简方法及比的综合应用．
【常规讲解】
P Q R
（1）①设 = = = k ，所以 P =14k,Q = 35k, R = 21k ，即 P : Q : R =14 : 35 : 21= 2 : 5 : 3 ；
14 35 21
② 2P +Q R = 84 ，即 28k +35k 21k =84,k = 2 ，
所以 P =14k = 28,Q = y = 35k = 70, R = 21k = 42 ；
P +Q 14k + 35k 49 7
③ = = = .
Q R 35k 21k 14 2
（2）由题意得，设乙工厂生产 3x 件，丙工厂生产 2x 件，甲工厂生产 2x + 248 .
2
2x + 248 = (2x + 248+ 3x + 2x)
5
x =186
所以甲工厂生产 2 186 + 248 = 620 件，乙工厂生产3 186=558 件，丙工厂生产 2 186 = 372
件.
知识点 3——比例
知识笔记
1．比例
a、b、c、d 四个量中，如果 a : b = c : d，那么就说 a、b、c、d 成比例，也就是表示两
个比相等的式子叫做比例．
比例 a : b = c : d 也可以表示为_____________．
其中 a、b、c、d 分别叫做第一、二、三、四比例项．
2．比例 和比例
如果 a : b = c : d，那么第一比例项 a 和第四比例项 b 叫做____________，第二比例项 b
和第三比例项 c 叫做____________．
10
3．比例
对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即 a : b = b : c，那么把 b 叫做 a 和 c 的
_____________．
4．比例
a c
如果 a :b = c : d 或 = ，那么___________．
b d
a c
反之，如果 a、b、c、d 都不为零，且 ad = bc ，那么______________或 = ．
b d
两个外项的积等于两个内项的积．
【填空答案】
a c
1、 =
b d
2、比例外项，比例内项
3、比例中项
4、 ad = bc , a :b = c : d
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列各组中的两个比可以组成比例的是（ ）
1 1
A、21:3 和 1:7 B、 : 和 2 : 3 C、9:12 和 27:36 D、0.3:1.5 和 1.5:2.5
2 3
（2）（★★☆☆☆）6 是 2 和______的比例中项.
x
（3）（★★☆☆☆）若 2x = 5y ，则 =______.
y
1
（4）（★★☆☆☆）在一个比例式中，若两个外项的乘积是最小的质数，一个内项是 ，则
2
另一个内项是______.
【配题说明】考察比例的概念
【常规讲解】
1 1
（1）21:3=7:1，故 A 错； : = 3: 2 ，故 B 错；9:12=3:4，27:36=3:4，故 C 能组成比例，故
2 3
选 C.
11
（2）根据比例中项概念得：36÷2=18，6 是 2 和 18 的比例中项.
x 5
（3） 2x = 5y, = .
y 2
1 1
（4）最小的质数是 2，其中一个内项是 ，另一个内项是 2 = 4 .
2 2
例 2
3
（1）（★★★☆☆）若甲数的 等于乙数的 60%，则甲：乙=___________.
4
1 1 1
（2）（★★★☆☆）若 x 与 、、 这三个数可以组成比例式，则 x 可能是___________.
2 4 6
（3）（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
3 1 2 2 1 5
① 3: x = 7 : 6 ② : = : x ③1 : 2 = x :1.5 ④ (x + 2) : 4 = 5:
2 4 5 3 2 2
【配题说明】考察比例的基本性质
【常规讲解】
3 3
（1）由题意得： 甲=60%乙，甲：乙=60%： =4:5.
4 4
1 1 1 1 1
（2）当 x 与 组成外项时， x = , x = ；
2 2 4 6 12
1 1 1 1 1
当 x 与 组成外项时， x = , x = ；
4 4 2 6 3
1 1 1 1 3
当 x 与 组成外项时， x = , x = .
6 6 2 4 4
1 1 3
所以 x 可能是 ， 或 .
12 3 4
（3）① 183: x = 7 : 6,7x =18, x = ；
7
3 1 2 3 1 2 1
② : = : x, x = , x = ；
2 4 5 2 4 5 15
2 1 5 5 3
③1 : 2 = x :1.5, x = , x =1 ；
3 2 2 3 2
5 5 5
④ (x + 2) : 4 = 5: , (x + 2) = 4 5, x + 5 = 20, x = 6.
2 2 2
12
例 3
（1）（★★★☆☆）将 10 本相同厚度的书叠起来，高度为 30 厘米，如果有 25 本这样厚度
的书叠起来，那么这时的高度是多少？
（2）（★★★★☆）学校有心理和陶艺两个社团，若心理社团增加 40 人，则心理社团与陶
艺社团的人数之比为 2:1，若陶艺社团增加 20 人，则陶艺社团与心理社团人数的比是 5:6，
那么心理和陶艺两个社团原来各有多少人？
【配题说明】主要考察比例的应用
【常规讲解】
（1）设这时的高度是 x 厘米，
10:30=25:x，x=75
答：那么这时的高度是 75 厘米.
（2）设陶艺社团原来有 x 人.
(x + 20) : (2x 40) = 5 : 6
(2x 40) 5 = (x + 20) 6
10x 200 = 6x +120
4x = 320
x = 80
所以心理社团原来有 80×2-40=120 人
答：心理和陶艺两个社团原来各有 120 人、80 人.
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）下列各组中的两个比不可以组成比例的是（ ）
1 1 1
A、 ： 和 4 : 5 B、0.2:5 和 2:50 C、3 :3和 7:6 D、0.1:3 和 30:1
5 4 2
1
（2）（★★☆☆☆）5 是 与_______的比例中项.
2
x
（3）（★★☆☆☆）若 = 3y ，则 x : y =___________.
2
（4）（★★☆☆☆）一个比例式中，若两个外项都是质数，且这两个外项的乘积是 22，一个
13
11
内项是 ，则另一个内项是_______.
5
【配题说明】考察比例的概念
【常规讲解】
1 1 1 7
（1） : = 4 :5 ，故 A 对；0.2:5=2:50=1:25，故 B 对；3 :3 = :3 = 7 : 6 ，故 C 对；0.1:3=1:30，
5 4 2 2
故 D 不可以组成比例，选 D.
1 1
（2）根据比例中项概念得： 25 = 50 ，所以 5 是 和 50 的比例中项.
2 2
x x
（3） = 3y, x = 6y, = 6 .
2 y
11 11
（4）因为两个外项的乘积是 22，一个内项是 ，则另一个内项是 22 =10 .
5 5
练 3-2
1
（1）（★★★☆☆）若 x 与 ，3，5 这三个数可以组成比例式，则 x 可能是__________.
2
（2）（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
① 4 : x = 3:5 ②
5 1 2 1
: = : x ③1 : 2 = 2x :1.5 ④ (x 1) : (1 2x) = 3: 5
2 3 3 3
【配题说明】考察比例的基本性质
【常规讲解】
1 1
（1）当 x 与 组成外项时， x = 3 5, x = 30 ；
2 2
1 5
当 x 与3组成外项时， 3x = 5, x = ；
2 6
1 3
当 x 与 5 组成外项时，5x = 3, x = .
2 10
5 3
所以 x 可能是30， 或 .
6 10
20
（3）① 4 : x = 3:5,3x = 20, x = ；
3
5 1 2 5 1 2 4
② : = : x, x = , x = ；
2 3 3 2 3 3 45
1 4 3 1
③1 : 2 = 2x :1.5,2 2x = , x = ；
3 3 2 2
8
④ (x 1) : (1 2x) = 3:5,5(x 1) = 3(1 2x), x = .
11
14
练 3-3
（1）（★★★☆☆）有一种大豆，500 克可榨出豆油 150 克，照这样计算，现要生产 30 吨
豆油，需要这样的大豆多少吨？
（2）（★★★★☆）某电脑商铺引进了一批上网本，它的成本价是每件 2000 元，卖出一件
所得的利润与营业额之比为 4：9，如果某天内该商铺卖这种上网本获得了 16000 元的利润，
那么这天该商铺卖出了几本上网本？
【配题说明】主要考察比例的应用
【常规讲解】
（1）设需要这样的大豆 x 吨.
500 x
= ,150x =15000, x =100
150 30
答：需要这样的大豆 100 吨.
（2）设该天的营业额为 x 元，则 4:9 =16000: x, x = 36000 ，
所以卖的本数=（36000-16000）÷2000=10 本.
答：卖出了 10 本.
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）如果 a 是 b 的 5 倍，那么 a 和 b 的比是（ ）
1
A、 B、1:5 C、5 D、5:1
5
【配题说明】考察比的概念．
【常规讲解】
a
由题意得 a = 5b, = 5 ，故选 C.
b
15
练 2
（1）（★★☆☆☆）六（1）班有学生 45 人，若男生与女生人数之比是 2:3，则女生比男生多
______人.
1
（2）（★★☆☆☆）一杯糖水，糖与水的比是 ，喝去一半糖水后，又用水加满，这时杯中
5
糖与水的比值是________.
【配题说明】考察比的基本性质
【常规讲解】
（1）因为男生与女生人数之比是 2：3，所以可设男生人数为 2x，女生人数为 3x.
2x +3x = 45, x = 9
所以男生人数为 18 人，女生人数为 27 人.
故女生比男生多 9 人.
1 1 1 1
（2）由题意得，原来糖占 = ，喝去一半后还有糖 2 = ，倒满后糖与水比是：
1+5 6 6 12
1 1 1 1
: (1 ) = ，故答案是 .
12 12 11 11
练 3
（★★★☆☆）把下列各连比化成最简整数比：
1
（1）0.6:1.8:3 （2）3 :3.6 :8.1
2
4
（3）1 天:12（小）时:75 分 （4）320 克: 千克:0.02 吨
25
【配题说明】考察三连比及最简整数比
【常规讲解】
1
（1）0.6:1.8:3=6:18:30=1:3:5；（2）3 :3.6 :8.1= 3.5 :3.6 :8.1= 35:36 :81；
2
（3）1 天:12（小）时:75 分=24 时：12 时：1.25 时=2400:1200:125=96:48:5
4
（4）320 克: 千克:0.02 吨=320 克:160 克：20000 克=2:1:125．
25
16
练 4
（★★★☆☆）甲乙两仓库共有粮 4200 吨，当甲仓库运入粮 750 吨，乙仓库运出存粮 450 吨
后，甲、乙两仓库存粮的吨数比是 8:7，那么甲、乙两仓库原来各有存粮多少吨？
【配题说明】考察比的综合应用．
【常规讲解】
设甲仓原来存粮 x 吨，则乙仓库原来存粮 4200-x 吨，
(x + 750) : (4200 x 450) = 8 : 7, x =1650
乙仓库有：4200-1650=2550 吨
答：甲、乙两仓库原来各有存粮 1650 吨、2550 吨．
练 5
1
（★★★☆☆）已知 0.125、2 、8 这三个数.
2
（1）请再写出一个数，使得它与以上三个数可以构成比例式；
（2）这样的数你能找到多少个，把它们都写出来.
【配题说明】考察比例的基本性质
【常规讲解】
设这个数为 x，
1
当 x 与 0.125 组成外项时， 0.125x = 2 8, x =160 ；
2
1 1 2
当 x 与 2 组成外项时， 2 x = 0.125 8, x = ；
2 2 5
1 5
当 x 与 8 组成外项时，8x = 0.125 2 , x = .
2 128
2 5
所以 x 可能是160， 或 .
5 128
（1）160；
2 5
（2）3 个，分别是：160， 或 .
5 128
17
【B组】
练 1
1 1 1
（★★★★☆）若正整数 x、y 满足 = ，且 x : y = 7 :13，则 x + y = ________.
x y 182
【配题说明】本题考察由已知条件求值的方法，注意对设“k”法的理解和运用
【常规讲解】
1 1 1 1 13 7 6 1
设 x = 7k, y =13k(k 0) ，则 = = = = ,k =12；
x y 7k 13k 91k 91k 182
所以 x + y = 20 12 = 240 .
练 2
3 3
（★★★★☆）如右所示，圆的面积的 是广场，四边形面积的 是花园，而重叠部分的面积
8 5
为水池，若广场比花园的面积少 90 平方米，求广场、花园与水池的面积各是多少平方米.
【配题说明】考察比和比例的综合应用，难度较大．
【常规讲解】
3 3
（1）广场的面积：水池的面积= : (1 ) = 3:5
8 8
3 3
水池的面积：花园的面积= (1 ) : = 2 :3
5 5
广场的面积：水池的面积：花园的面积=6:10:15
6
因广场比花园面积少 90 平方米，故广场的面积：90 = 60 平方米
15 6
15
花园的面积：90 =150 平方米
15 6
2
水池的面积：150 =100 平方米
3
答：广场、花园与水池的面积各是 60 平方米，150 平方米，100 平方米.
1804 | 分数的意义和性质
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解除法和分数之间的关系及分数的意义
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 掌握分数的基本性质
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 利用分数的基本性质对分数进行约分和通分
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 灵活运用分数进行大小比较
知识清单
分 数与除法的
分 数与除法的
用数 的点 分数
分数的 性质
分数的意义和性质 分数的 性质 分
分数
公分
分 数的 小比 分
分 数的 小比
46
知识点 1——分数与除法的
知识笔记
1．分数与除法的
（1）用文字表示是：
被除数÷除数=_______.
（2）用字母表示是：
两个正整数 p、q 相除，可以用分数_____表示，读作 q 分之 p．
p
即 p q = ，其中 p 为分子，q 为分母．
q
p 3
特别地，当 q =1 时， = p ，例如 3÷1= =3．
q 1
2．用数 的点来 分数
2
用数轴上的点表示分数 就是将数轴上的单位长度_______等分，从_______开始自左
3
2
而右的第______个点表示分数 .
3
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）把下列各分数写成两个数相除的式子：
4
① =( ) ( ) ；
7
8
② =( ) ( ) ；
9
11
③ =( ) ( ) ．
3
47
（2）（★☆☆☆☆）用分数表示下列除法算式的商：
( )
① 4 19 = ；
( )
( )
②8 13 = ；
( )
( )
③10 9 = ．
( )
例 2
（★★☆☆☆）在数轴下方的空格里填上适当的分数．
例 3
（1）（★★★☆☆）把一根 3 米长的绳子对折两次后，折叠后的绳子长度是_____米，是原来
绳子长度的_____．
（2）（★★★☆☆）王师傅 4 小时制作了 9 个零件，那么王师傅每小时制作多少个零件？王
师傅制作一个零件需要多少小时？
48
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）把下列各分数写成两个数相除的式子：
3
① =( ) ( ) ；
10
5
② =( ) ( ) ；
32
16
③ =( ) ( ) ．
7
（2）（★☆☆☆☆）用分数表示下列除法算式的商：
( )
① 21 10 = ；
( )
( )
②15 8 = ；
( )
( )
③12 43 = ．
( )
练 1-2
2 7
（★★☆☆☆）在数轴上分别画出点 A、B 所表示的数：点 A 表示数 ，点 B 表示数 ．
3 4
练 1-3
（1）（★★★☆☆）把一条 5 米长的绳子对折三次后，折叠后的绳子长度是______米，是原
来绳子长度的______.
（2）（★★★☆☆）一条高速公路的全长是 29 千米，一辆汽车驶完全程用了 20 分钟，这辆
汽车平均每分钟行驶多少千米？平均每行驶 1 千米需要花费多少分钟？
49
知识点 2——分数的 性质
知识笔记
1. 分数的 性质
分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相
等．即：__________________（b 0 ， k 0 ， n 0 ）．
2. 分
把一个分数的分子与分母的_________约去的过程，称为约分．
3. 分数
分子和分母________的分数，叫做最简分数．
将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断地约
分，直到分子、分母互素为止．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A．一个分数的分子、分母都加上同一个不为零的数，分数的大小不变
B．一个分数的分子、分母都除以同一个数，分数的大小变
16 16 4 4
C． = =
25 25 5 5
3
D．分数 的分子加上 6，分母加上 34 以后，分数的值不变
17
（2）（★★★☆☆）一个分数的分子扩大到原来的 4 倍，分母扩大到原来的 2 倍，分数的值
_______2 倍.（填“扩大”或“缩小”）
50
例 2
2 5
（1）（★★★☆☆）写出介于 和 之间，且分母为 48 的最简分数.
3 6
（2）（★★★☆☆）求满足下列条件的分数：
8
①一个分数的分子和分母的和是 221，约分得 ，则原分数是多少？
9
4
②一个分数，分母与分子的差是 8，约分后得 ，试求原分数.
5
③一个最简分数的分子、分母的和是 27，分子比分母小 7，求这个分数.
例 3
（★★★★☆）甲、乙两人同时从两地相向而行，5 小时后两人首次相距 1 千米，已知甲每
小时行 4 千米，比乙慢 1 千米，问：此时两人各行了全程的几分之几？
51
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A．一个分数的分子、分母都加上同一个不为零的数，分数的大小不变
B．一个分数的分子、分母都除以同一个数，分数的大小不变
C．分数的分子和分母都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等
D．分数的分子和分母都减去同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等
（2）（★★★☆☆）分数的分子扩大到原来的 4 倍，分母扩大到原来的 8 倍，分数的值_____.
（填“扩大”或“缩小”）
练 2-2
1 2
（1）（★★★☆☆）请写出介于 和 之间，且分子为 15 的最简分数.
4 7
（2）（★★★☆☆）求下列各题中符合题意的分数：
1
①一个分数，分子与分母的积是 1000，将它化成最简分数为 ，则原分数是多少？
10
4
②一个分数，分母与分子的和是 81，它的值与 的值相等，试求原分数是多少？
32
③一个最简分数，分子和分母的积是 106，这样的分数是多少？
52
练 2-3
（★★★★☆）公路旁每隔 15 米树立一根电线杆，一条笔直的公路两旁都树立着 26 根电线
杆，小张骑电动自行车从第一根电线杆到第 21 根电线杆所通过的路程是这条公路全长的几
分之几？
知识点 3——分数的 小比
知识笔记
1. 公分
b d
两个异分母的分数 、 （ a 、c 为常数，且 a c 、a 0 、c 0 ）要化成同分母的分
a c
数，分母必须是 a 和 c 的__________，这个分母叫做公分母．
其中 a 和 c 的最小公倍数，称为______________．
2. 分
将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．
3. 分数的 小比
（1）分母相同而分子不同的分数
分母相同的分数，分子大的分数_________．
（2）分子相同而分母不同的分数
分子相同的分数，分母小的分数_________．
（3）分母不同且分子也不同的分数
①利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小；
②应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小．
53
经典例题
例 1
7 2 5 5
（1）（★★☆☆☆）将分数 、、、 按从小到大的顺序排列得（ ）
12 3 9 6
5 7 2 5 7 2 5 5
A． B．
9 12 3 6 12 3 9 6
2 5 7 5 5 2 7 5
C． D．
3 9 12 6 9 3 12 6
（2）（★★☆☆☆）将“>”或“<”填入括号内：
16 12 8 8
① （ ） ② （ ）
25 25 9 7
例 2
2 4 3
（1）（★★☆☆☆） 、 、 的最小公分母是_______________.
3 15 20
（2）（★★★☆☆）通分：
3 7 1 5
① 和 ； ② 和 ；
10 25 8 12
9 5 1 10 11
③ 和 ； ④ ， 和 ．
16 6 2 27 18
a
（3）（★★★☆☆）一个分数 ，其中 4 a 7，8 b 15 ，且 a，b 都是整数，则这个分数的
b
最大值为__________,最小值为__________.
54
例 3
7 5 4
（★★★☆☆）打一份文件，小王用了 小时，小李用了 小时，小张用了 小时，小徐用
15 12 9
17
了 小时，四人中工作效率最低的是谁？工作效率最高的是谁？
30
巩固练习
练 3-1
3 2 2 7
（1）（★★☆☆☆）将分数 ，，， 按从小到大的顺序排列得（ ）
8 3 7 10
2 3 2 7 3 2 2 7
A． B．
7 8 3 10 8 7 3 10
2 2 3 7 2 3 7 2
C． D．
3 7 8 10 7 8 10 3
（2）（★★☆☆☆）将“>”或“<”填入括号内：
23 25 8 8
① （ ） ； ② （ ） ．
33 33 17 19
练 3-2
3 7 21
（1）（★★☆☆☆） 、 、 的最小公分母是__________.
4 18 24
55
（2）（★★★☆☆）通分：
1 3 4 5
① 和 ； ② 和 ；
15 20 21 14
7 11 1 5 7
③ 和 ； ④ ， 和 ．
12 18 3 8 36
a
（3）（★★★☆☆）一个分数 ，其中 2 a 5，6 b 12 且 a，b 都是整数，则这个分数的最
b
大值为_________，最小值为_________.
练 3-3
（★★★☆☆）四个工人进行加工零件技术竞赛，甲 5 分钟加工 7 个零件，乙 8 分钟加工 10
个零件，丙 4 分钟加工 6 个零件，丁 9 分钟加工 12 个零件，请你为他们裁定出名次.
56
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）在括号内填入适当的数：
2 1 1
（1） 是（ ）个 ； （2）8 个 是（ ）；
3 3 5
7
（3） 是 7 个（ ）．
10
练 2
1
（★★★☆☆）把一个分数的分子扩大到原来的 6 倍，分母缩小为原来的 ，那么（ ）
2
A．分数的值扩大到原来的 6 倍
B．分数的值扩大到原来的 12 倍
1
C．分数的值缩小为原来的
3
D．分数的值不变
练 3
（★★★☆☆）解答：
（1）写出所有分母是 9，且分子小于分母的最简分数；
27
（2）把分数 化成分母为 56 且与原分数大小相等的分数；
42
27
（3）与分数 相等，且分子小于 48 的分数有多少个，你能一一写出来吗？
36
57
练 4
（★★★☆☆）根据下列条件解题：
（1）小明做了 20 个纸飞机，共用了 6 分钟，那么他平均多少分钟做一个纸飞机？（结果用
分数表示）
7
（2）数学课上高老师让小张、小李、小王三位同学各自用三种不同的方法把 扩大到原来
16
分数的 4 倍，这三位同学很快就写出了，你能写出几种呢？请你试一试？
3 8
（3）是否存在分母为 72 且介于 与 之间的分数？如果存在，请你求出所有符合条件的分
4 9
数？
【B组】
练 1
（★★★★☆）一个最简分数，它的分子与分母的积是 150，这个最简真分数可能是哪个分数？
58
练 2
（★★★★☆）一份工作，甲单独完成要 12 天，乙单独完成要 10 天，两人各做了 5 天，各完
成了全部工作的几分之几？谁完成得多？
练 3
3 2+1 4 3+1 5 4 +1 6 5+1
（★★★★☆）已知 = ， = ， = ， = .
2 1+1 3 2+1 4 3+1 5 4 +1
3 4 5 6
（1）请将 ，，， 由小到大用“<”符号排列起来；
2 3 4 5
n +1 n + 2 n + 3
（2）从中可以发现规律为 ___________ ___________ (填入“<”、“=”或“>”，
n n +1 n + 2
其中 n 为正整数）；
2000 20000 1999 19999
（3）大小比较： ____ ， ____ .
1999 19999 2000 20000
课堂总结
5913 | 百分比的应用（二）及等可能事件
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比的增长率及下降率问题
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比的涨价及降价问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比的盈利率及亏损率相关的题型
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 掌握百分比相关的利率及税率
目标 5 ★★★★★☆ 迁移 掌握等可能事件的运用
知识清单
、下
、
百分比的应用（二）
及等可能事件 、
、
等 可能事件
168
知识点 1—— 、下
知识笔记
1． 比 了百分
( )
甲比乙多了百分之几= 100% ．
( )
2． 比 了百分
( )
甲比乙少了百分之几= 100% ．
( )
3． ：即 了百分
( )
增长率= 100% ．
( )
4．下 ：即下 了百分
( )
下降率= 100% ．
( )
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）甲数是 20，乙数是 50，甲数比乙数少______%；
（2）（★★☆☆☆）计划投资比实际少 5 万元，计划投资 15 万元，实际比计划多______%.
例 2
（★★☆☆☆）工人原来做 800 个零件要用 5 小时，现在做 900 个零件只要 4.5 小时，他的工
作效率提高了______%．
169
例 3
（★★★☆☆）A、B 两个工程分别由甲、乙两个队来完成．在晴天，甲队完成 A 工程需要 12
天，乙队完成 B 工程需要 15 天；在雨天，甲队的效率要下降 40%，乙队的工作效率要下降
10%，现在两队同时开工，并同时完成这两个工程，那么在施工的日子里，晴天有几天？雨
天有几天？
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）某市今年上半年的工业总产值是 1800 亿元，计划全年总产值是 4000 亿
元，下半年相对于上半年的总产值增长率是______（除不尽的百分号前保留 1 位小数）．
1
（2）（★★☆☆☆）某校六年级的男生比女生多 ，则女生比男生少______%．
3
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）甲仓存货量比乙仓多 10%，乙仓存货量比丙仓少 10%，那么（ ）
A．甲仓比乙仓多 B．甲仓最多 C．丙仓最多 D．无法比较
1
（2）（★★☆☆☆）从甲堆煤中，取出 给乙堆，这时两堆煤重量就相等了，原来乙堆煤的
5
重量比甲堆煤的重量少百分之几？
170
练 1-3
（★★★☆☆）王师傅加工一批零件，加工 720 个之后，他的工作效率提高了 20%，结果提前
4 天完成任务，如果王师傅从一开始就把效率提高了 12.5%，那么也可以提前 4 天完成任务，
这批零件共有多少个？
知识点 2—— 、
知识笔记
1. “折数”
“打八折”指现价是原价的_______，“打对折”指现价是原价的_______，“打七五折”
指现价是原价的_______．
2. “成数”
成数是以 10 为分母的的分数．
1
如一成就是 ，即 10%；75%可以称为七成五．
10
3. 了百分
( )
涨价了百分之几 = 100% ．
( )
4. 了百分
( )
降价了百分之几 = 100% ．
( )
171
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）一种篮球原价 180 元，现在按原价的七五折出售.这种篮球现价每只______
元，每只便宜了______元．
（2）（★★☆☆☆）李丹家去年收玉米 300 千克，前年收玉米 240 千克，去年比前年的玉米
增产了______（填百分数）．
例 2
（1）（★★★☆☆）一种手机先提价 20%，再降价 20%，结果与原价相比（ ）
A．不变 B．提高了 C．降低了 D．无法比较
（2）（★★★☆☆）商品甲的定价打九折后和商品乙的定价相等，下面说法中不正确的是
（ ）
A．乙的定价是甲的 90% B．甲比乙的定价多 10%
10
C．乙的定价比甲少 10% D．甲的定价是乙的 倍
9
例 3
（★★★★☆）王先生向商店订购某种商品 80 件，每件定价 100 元，王先生对商店经理
说：“如果你肯减价，每件减 1 元，我就多订购 4 件．”商店经理算了一下，如果减价
5%，那么由于王先生肯多订购，仍可获得与原来一样多的利润，这家商店的商品的成本是
多少元？
172
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）明明在商店里买了一个计算器，打八五折，花了 68 元，这个计算器原价
______元．
（2）（★★☆☆☆）小华家前年收了 4000 千克稻谷，去年因为虫害，比前年减产三成五，去
年小华家收稻谷______千克．
练 2-2
（1）（★★★☆☆）某服装店的老板以每件 75 元的进价进了一批服装，提价 10%出售．某日
卖出一件衣服后不小心收进了一张 100 元的假币，这个老板在这件衣服上实际亏损了（ ）
A．75 元 B．100 元 C．82.5 元 D．92.5 元
（2）（★★★☆☆）原价每袋 2 元的某种牛奶正在搞促销活动，甲商店每袋降价 15%，乙商
店“买四送一”，丙商店每袋打八八折出售，小智要买五袋牛奶，从______商店买最便宜．
练 2-3
（★★★★☆）甲向商店订购某种商品 50 件，每件定价是 200 元，甲向商店经理说：“如果
你肯减价，每减 1 元，我就多订购 2 件．”商店经理算了一下，如果减价 10%，由于甲多订
购，商店仍可获得与原来相同的利润，问：这种商品每件的成本是多少元？
173
知识点 3—— 、
知识笔记
1. 和
盈利=___________–___________；
亏损=___________–___________．
2. 和
( )
盈利率= 100% ；
成本
( )
亏损率= 100% ．
成本
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）一件服装进价为 100 元，售价为 120 元，则它的盈利率为______；
（2）（★★☆☆☆）一台冰箱批发价为 2000 元，若要盈利 60%，则每台的售价为______元．
例 2
（★★★☆☆）玩具商店同时出售两种玩具售价都是 120 元，一件可赚 25%，另一件赔 25%.
如果同时出售这两件玩具，算下来是赔还是赚，如赔，赔多少元，如赚，赚多少元？
174
例 3
（★★★☆☆）元旦期间，某商店以每张 0.5 元的价格购进 500 张贺卡，再以每张 1.5 元的价
格卖出了 370 张，剩下的每张打八折出售，全部售完，求这家商店出售这批贺卡的盈利率．
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）一商品如果以 95 元的价格进货，盈利 5%，则它的售价为______元；
（2）（★★☆☆☆）一商品如果以 210 元的价格出售，盈利 5%，则它的成本为______元．
练 3-2
（★★★☆☆）一件商品每件原售价为 80 元，打八折出售后，仍可赚 25%，求这件商品的成
本是______．
练 3-3
（★★★☆☆）某水果店批发进来 200 千克橘子，用去运费 30 元，出售时按批发价提高 50%
卖出，卖了 90%后剩下的橘子烂了，最后结算可得 2 成利润，问橘子的批发价是每千克多少
元？
175
知识点 4—— 、
知识笔记
1.
将钱存入银行，银行根据不同的存期制定了相应的利率，存款人取出存款时，银行在返
还存款时还向存款人支付利息．向银行借款时（或称贷款），也需要向银行支付利息．
存款额或借款额称为__________．
利率又称利息率，表示一定时期内利息与本金的百分比，按年计算则称为____________；
按月计算则称为____________；按日计算则称为____________．
2.
税金 = 应缴税额×___________．
在特定的时期，国家规定，到银行存款时获取利息的同时，还需按一定的税率，向国家
缴纳利息税．
3. 息
利息 = 本金×利率×期数×（1－利息税率）．
本利和 = 本金＋__________．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）某人买了 20000 元的国家建设债券，定期 5 年，如果年利率为 3%，到期
得利息____元；
（2）（★★☆☆☆）小智买了 1000 元国库券，三年后得到本息和 1084 元，这种国库券的年
利率是______．
176
例 2
（★★★☆☆）联华超市每年从国外进口总价为 50 万元的 A、B 两种水果.由于我国加入了
WTO，2009 年的进口关税比 2008 年的有所下调，具体税率如下表.这样 A 种水果 2009 年的
进口关税比 2008 年少了 1 万元，那么 B 种水果 2009 年的进口关税比 2008 年少了多少元？
水果类型 2008 年 2009 年
A 20% 15%
B 24% 18%
巩固练习
练 4-1
（★★☆☆☆）若银行定期储蓄一年的年利率是 2.25%，则月利率应该是_________．
练 4-2
（★★★☆☆）某公司每年需要从国外进口总价为 100 万元的 A、B 两种仪器，若 A 仪器的
进口税率为 12%，A 仪器需支付关税 7.2 万元，B 仪器需支付关税 4 万元，求 B 仪器的进口
税率是多少
177
知识点 5——等可能事件
知识笔记
1. 事件
学校组织六年级八个班进行“元旦联欢会”活动，每个班都准备了一个节目，活动的时
候用抽签的方式确定各个班级的出场顺序．那么哪个年级可能第一个出场？
此时，每个班级都有第一个出场的可能，但无法确定具体哪个班级第一个出场．
像上述的问题，我们把它称为__________．
类似的事件有许多，如抛掷一枚硬币，落地后是正面朝上还是背面朝上？掷骰子停止后，
哪一点朝上？等等．
2. 等可能事件
上述事件具有共同的特点，就是事先知道出现的结果会有几种可能性，但是又无法确定
到底会出现哪一种结果．
我们将这类事件叫做___________________．
3. 等可能事件 发 某种结果可能性的 小
用字母“P”表示可能性的大小．
( )
P = ．
( )
可能性的大小一般用分数表示，也可以用百分数表示．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）投掷一枚骰子，骰子有六个面，每个面的点数为 1、2、3、4、5、6，求
点数为 2 的一面朝上的可能性是________．
178
（2）（★★☆☆☆）一个口袋中装有 4 个白球，2 个红球，6 个黄球，摇匀后随机从中摸出一
个球是白球的可能性大小是________．
例 2
（★★☆☆☆）如右图，将一个圆盘 6 等分，写出指针落在下列区域的可能性大小：
（1）指针落在 1 的可能性大小是________；
（2）指针落在偶数区域的可能性大小是________；
（3）指针落在 3 的倍数的区域的可能性大小是________．
例 3
（★★★☆☆）小王读一本 50 页厚的书本，他随手翻到一页，问：
（1）页码是偶数的可能性的大小？
（2）页码末位是 0 的可能性大小？
（3）页码能被 3 整除的可能性的大小？
179
巩固练习
练 5-1
（1）（★★☆☆☆）投掷一枚骰子，骰子有六个面，每个面的点数为 1、2、3、4、5、6，
求点数为 5 的一面朝上的可能性是________.
（2）（★★☆☆☆）一个袋内装有 2 个红球、3 个白球、5 个黄球（这些球除颜色外没有其
他区别），从中任意取出一球，则取得红球的可能性大小是________.
练 5-2
（★★☆☆☆）如右图，将一个圆盘 6 等分，写出指针落在下列区域的可能性大小：
（1）指针落在 4 的可能性大小是________；
（2）指针落在奇数区域的可能性大小是________；
（3）指针落在 2 的倍数的区域的可能性大小是________．
练 5-3
（★★★☆☆）某公司组织年会，对参与年会的 1500 个员工进行抽奖，共设置一等奖 2 名，
二等奖 5 名，三等奖 15 名，抽出的号码不再放回抽奖箱，若抽奖顺序按照三等奖、二等奖
和一等奖的顺序进行，问：
（1）抽到三等奖的可能性大小？
（2）抽到二等奖的可能性大小？
（3）抽到一等奖的可能性大小？
180
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）电视机厂五月份计划生产电视机 5000 台，实际生产了 6000 台，超额完成了
______%．
练 2
（★★☆☆☆）明明在商店里买了一个计算器，打八五折，花了 68 元，这个计算器原价______
元．
练 3
（★★★☆☆）掷一枚骰子，点数是素数的可能性是______．
练 4
（★★★☆☆）小方将 2000 元存入银行，定期 2 年，月利率为 0.15%，到期需按 20%的税率
支付利息税，小方到期时实际得到利息多少元？
练 5
（★★★★☆）某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书 100 本以上，按书价九折收款．一
3
学校到该书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的 ，只有甲种书得到九
5
折优惠．其中，买甲种书所付的钱数是买乙种书所付钱数的 2 倍．已知乙种书每本 1.5 元，
那么优惠前甲种书每本多少元？
181
【B组】
练 1
（★★★★☆）某超市大卖场在 9 月份准备将四种数量相同的商品降价销售，以便能尽快在国
庆前清仓，引入新的商品，现将这四种商品的基本信息列表如下：
货物 商品进价 原售价
高跟鞋 50 元 90 元
进口化妆品 100 元 130 元
羊毛衫 60 元 90 元
羽绒服 250 元 550 元
（1）这四种商品如果按原售价进行销售，哪一种商品的盈利率最低？是多少？
（2）现在为了加快销售速度，要对这四种商品进行降价，要求是：①高跟鞋、进口化妆品
只要能保本即可；②羊毛衫可以亏损 5%；③全部商品售完后，盈利率要达到 5%．
182
练 2
（★★★★☆）职员工资按下列标准缴纳所得税：
每月工资收入在 1600 元以内的 不 缴 税
每月工资收入在 3000 元以内的 超过 1600 元的部分按税率 5%纳税
超过 1600 元不超过 3000 元的部分按税率 5%纳税，
每月工资收入在 5000 元以内的
超过 3000 元不超过 5000 元的部分按 10%纳税
超过 1600 元不超过 3000 元的部分按税率 5%纳税，
每月工资收入在 5000 元以上的 超过 3000 元不超过 5000 元的部分按 10%纳税，超
过 5000 元的部分按 15%纳税
（1）若小王每月收入 1780 元，小李每月收入 3375 元，小张每月收入 6000 元，问：他们三
人各应缴纳所得税多少元？
（2）若小华每月需缴税 220 元，那么小华的月工资收入是多少？
课堂总结
18308 | 分数巧算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解分数与小数的基本运算法则
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 掌握分数的速算与巧算
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握分数单位的运用
知识清单
算
算性质
分 数的 算与巧算
用 算 巧
分 数巧算 分 数的 分 用公
单 分数
102
知识点 1——分数的 算与巧算
知识笔记
1. 算
交换律： a + b = ________，a b = ________ .
结合律： (a + b) + c = ________，(a b) c = ________ .
分配律： a (b + c) = ________，(a + b) c = ________ .
2. 用 算性质
减法的运算性质： a b c = ________，a + b c = ________ .
除法的运算性质： a b c = a (b c)，a b c = a c b .
3. 用 算 巧
分组凑整法、乘法分配律逆运用、整体设元法、拆项相消法等.
4. 分数的 分 用公
a + b
（1） = ________ .
a b
b a
（2） = ________ .
a b
1
（3） = __________ .
n (n +1)
1
（4） = __________ .
n (n + k )
103
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）计算：
7 5 11 3 3
① 2 + ； ② 49 23 18.7 25.25 ；
9 12 18 4 4
③ 3 12 0.26 0.52 ； ④8 7 0.125 ；
4 19
3 2 3 1
⑤ 2.4 ( + ) 3.2 ； ⑥16 ( + + 0.625) ．
4 3 8 4
例 2
（1）（★★★☆☆）计算：
70 1
① 28 ； ② 73 9 ；
71 17
104
③ 1997 23561997 1997 ； ④ 2356 2356 ．
1998 2357
（2）（★★★☆☆）计算：
4 12 1 1 4 148 86 74
① 23 +16 + ； ② 39 +148 + 48 ；
7 13 7 7 13 149 149 149
1 3 1 4 1 5
③ 31 + 41 + 51 ．
2 2 3 3 4 4
例 3
（★★★★☆）计算：
1 1 1 1 1 1 1
（1） + + + + + + ；
2 6 12 20 30 42 56
105
（ ）1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 12 + + + + + + + + + + + + + + + ．
1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）计算：
1 2 5 4
① 3 +1 2.7 ； ② (1 1.2 ) 1.9 +1 ；
2 3 6 5
③ 2 3 1 3 1 54 1.4 (1 ) ； ④ (2.5 ) + 0.25 ；
5 4 3 4 4 12
3 1 2 1 1
⑤ ( + 0.75) 24 ； ⑥ (0.75 + ) 1 ．
8 3 3 12 24
106
练 1-2
（1）（★★★☆☆）计算：
① 2007 ； ② 19972007 2007 1997 1997 ．
2008 1998
（2）（★★★☆☆）计算：
① 137 1 2 5 3 7 4 9139 +137 1 ； ② 51 + 71 + 91 ．
138 138 3 3 4 4 5 5
练 1-3
（★★★★☆）计算：
（ ） 1 1 1 11 + + + ；
11 13 13 15 15 17 17 19
107
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 18 18 19
（2） + + + + + + + + + + + + + + + + + ．
2 3 4 20 3 4 5 20 4 5 20 19 20 20
知识点 2——单 分数
知识笔记
1. 单 分数
分子是 1，分母是正整数的分数叫做______________，记为________.
1
2. 如果要将 分成 单 分数的和 可以用以下 法
n
（1）写出 n 的约数 n1，n2，n3 …,从中挑选出两个约数，例如 n . 1，n2
1 1 n1 + n2
（2）把 的分子、分母乘以两个约数的和 (n1 + n =2 ) ，得 .
n n n(n1 + n2 )
（3）把所得的分数拆成两个分数之和，使两个约数恰为两个分数的分子，得：
________________________．
（4）把所得的两个分数约分，使得到要求的结果.
注意：①若 n = n ，上式中等号右边的分母相同；若 n n ，上式中等号右边的分母不1 2 1 2
同.
②如果改变约分的取法，可得到不同的解.
1
3. 如果要将 分成 单 分数的差 也可用 法
n
108
经典例题
例 1
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1 1
（1） = + ； （2） = + ；
3 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
（3） = ； （4） = ．
3 ( ) ( ) 5 ( ) ( )
例 2
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1
（1） = + = + ；
12 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
（2） = = ；
12 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
（3） = .
12 ( ) ( ) ( )
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1 1
（1） = + ； （2） = + ；
11 ( ) ( ) 13 ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
（3） = ； （4） = ．
5 ( ) ( ) 11 ( ) ( )
109
练 2-2
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1
（1） = + = + ；
18 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
（2） = = ；
18 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
（3） = .
18 ( ) ( ) ( )
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）计算：
1 2 5 1
（1） 7 + 2.5； （2） (1 1.2 ) 4+1 ；
2 3 6 2
1 2 3 2 1 5
（3）1.6 (1 ) ； （4） (2.5 ) + 0.15．
3 15 4 5 3 7
110
练 2
（1）（★★★☆☆）计算：
① 7 1 1 3( + 0.125) 24 ； ② (0.375 + ) 3 ．
6 3 3 7
（2）（★★★☆☆）计算：
① 1335 3 ； ②
1
166 41．
17 20
练 3
（★★★☆☆）计算：
1 1 1 1 1 1 1
（1） = + ； （2） = + + ．
16 ( ) ( ) 30 ( ) ( ) ( )
练 4
1 1 1 1
（★★★★☆）计算： + + + ．
1 4 4 7 7 10 13 16
111
【B组】
练 1
（★★★★☆）计算：1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+ +2016 ．
2 2+3 2+3+4 2+3+ +2016
练 2
1 1 1 1
（★★★★☆）计算 + + + ．
2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7
练 3
1 5 11 109
（★★★★★）计算 + + + + .
2 6 12 110
11211 | 比例应用题
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 利用比例的意义和性质解决实际应用题
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握和差关系与比例分配问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握比例行程问题
知识清单
比例 题
比 例 用
比 例
知
比
比 例应用题 比例 知
比
比例 题
【考情分析】
1．比例的应用属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察比例的应用，以解答题为主，占期末总分值的 10%；
3．对应教材：预初上册，第三章：比和比例，第一节：比和比例，3.3 比例；
4．比例应用题是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活地根据题意寻找比例关系，
然后利用比例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际
上是分数应用题的另一种表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也
1
有一定的帮助作用．另外，比例应用题中有一类特殊的题型——比例行程问题，重点在于理
解行程问题中路程、速度和时间三者之间的关系，难点是利用已知量，根据三者的关系计算
未知的量．
课堂引入
【课堂引入】
一个巨幅广告牌长为 12 米，宽为 8 米，用相机拍下照片后，在照片上量得广告的长为
9cm，则在这张照片上这个广告的宽为______cm．
8
【答案】宽为 9 = 6 cm
12
知识点 1——比例 应用
知识笔记
1． 比例 题
根据 a :b = c : d ，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：________．
简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比
例，然后利用比例的性质，求解未知量．
2．比例
比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．
即：比例尺 = ___________________．
【填空答案】
bc
（1） d =
a
（2）图上距离 : 实际距离
2
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）甲、乙两人加工零件，甲 3 小时加工了 126 个零件，乙 4 小时加工了 140
个零件，则甲、乙两人的工作效率的比是______．
（2）（★★☆☆☆）一种练习本 10 元可以买 8 本，购买 10 本这种练习本需要______元．
【配题说明】本题利用比例的意义与性质解决实际问题
【常规讲解】
126 140
（1）甲一小时加工 = 42 个零件，乙一小时加工 = 35 个零件，所以甲、乙两人的工
3 4
作效率的比是 42 : 35 = 6 : 5 ．
10
（2）一本练习本 =1.25 元，所以 10 本需要 12.5 元．
8
例 2
（1）（★★☆☆☆）一幅地图的比例尺是 1:5000000，图上 4 厘米表示的实际距离是____千米.
（2）（★★☆☆☆）比例尺为 200:1 的图纸上，量出某零件的长度是 40cm，这个零件的实际
长度是______cm．
【配题说明】考察比例尺的意义，注意单位的统一．
【常规讲解】
（1） 0.00004 5000000 = 200 千米.
40
（2） = 0.2 厘米．
200
例 3
1
（1）（★★★☆☆）要修一条长 432 米的公路，已经修好了全长的 ，剩余的任务按 5 : 4 分
3
给甲、乙两个修路队。两个修路队各要修多少米？
（2）（★★★☆☆）在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元．已知甲比丙多捐
了 18 元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10 : 7，则甲、乙、丙各捐了多少元？
【配题说明】本题考查了按比例分配解决实际问题
3
【常规讲解】
（1）甲队要修 2 5432 =160 米，乙队要修
2 4
432 =128 米．
3 5+ 4 3 5+ 4
（2）乙捐了：18÷（10-7）×（10+7）-80 =22 元；甲捐了：（80-22+18）÷2=38 元；丙捐了：
38-18=20 元．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）某机床厂制造了一批机床，3 天生产了 21 台，结果再生产 12 天就完成了任
务，这批机床共有______台.
【配题说明】考察“工作总量=工作效率×工作时间”的应用
【常规讲解】
1 天生产 21 3=7 台，机床总数：7×（3+12）=105 台．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）在比例尺是 1:6000000 的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是 0.2 厘
米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．
（2）（★★☆☆☆）比例尺为 25 : 1 的图纸上，量出某零件的长度是 30cm，这个零件的实际
长度是______cm．
【配题说明】本题主要考查了比例尺的应用，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
【常规讲解】
（1） 0.2 6000000 0.01 0.001=12 千米．
30
（2） =1.2 cm
25
练 1-3
（★★★☆☆）小杰读一本书，第一天读完后，已读和未读的页数比是 1 : 5，第二天又读了 30
页，已读和未读的页数的比变为 3 : 5，求这本书共多少页？
4
【配题说明】考察和差关系和比例分配问题的综合运用．
【常规讲解】
3 1
30 ( ) =144 页．
3+ 5 1+ 5
知识点 2—— 比例
知识笔记
1. 知 比
两个量 A，B ，数量之比为 a : b ，数量之和为 x ，则 A 的数量为_______，B 的数量为______．
2. 知 比
两个量 A，B ，数量之比为 a : b (a b)，数量之差为 x ，则 A 的数量为_______，B 的数量
为_______．
3. K
若 A : B = a :b ，可设 A = ak,B = bk ，其中 k 0 ，那么：
A + B = _________ = _________ ， A B = _________ = _________ ．
【填空答案】
ax bx
1、 ,
a + b a + b
ax bx
2、 ,
a b a b
3、 ak + bk ， (a + b)k ; ak bk ; (a b)k
5
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）用 28 米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是 5:2，这
个长方形的长和宽各是多少？
（2）（★★☆☆☆）用 84 厘米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是 3 :
4 : 5，这个三角形三条边各是多少厘米？
【配题说明】考察已知两（三）个量的数量比和数量和，求这两（三）个量
【常规讲解】
28 5 28 2
（1）长= =10 米，宽= = 4 米．
2 5+ 2 2 5+ 2
答：长为 10 米，宽为 4 米．
3 4 5
（2）84 = 21厘米，84 = 28 厘米，84 = 35 厘米．
3+ 4 + 5 3+ 4 + 5 3+ 4 + 5
答：三角形三条边各是 21 厘米，28 厘米，35 厘米.
例 2
1
（1）（★★★☆☆）甲、乙两数的和是 120，把甲的 给乙，甲、乙的比就变为 2 : 3，求原来
3
的甲数是多少？
1 1
（2）（★★★☆☆）水果店共运进 114 筐水果，其中香蕉的筐数的 、梨的筐数的 和苹果
3 4
2
筐数的 相等，则香蕉有多少筐？
5
【配题说明】考察比的应用
【常规讲解】
2 1
（1）120 (1 ) = 72
2+ 3 3
答：原来的甲数是 72.
1 1 2
（2）设香蕉的筐数为 x，梨的筐数为 y，苹果的筐数为 z， x = y = z ，
3 4 5
x 3 y 8 6
可得： = ， = ，则 x:y:z=6:8:5，所以香蕉的筐数为：114 = 36 （筐）
y 4 z 5 6 +8+ 5
答：香蕉有 36 筐．
6
例 3
（★★★★☆）某团体有 100 名会员，男女会员人数之比是 14 : 11，会员分成三组，甲组人数
与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为 12 : 13，5 : 3，2 : 1，那么丙
组有多少名男会员？
【配题说明】本题综合性较强，主要考查已知两个数量的比以及数量和的运用，解题时注意
认真分析．
【常规讲解】
14
由题意知：男会员人数为：100 = 56 人．因为会员分成三个组，甲组的人
14 +11
数与乙丙组人数之和一样多，则甲组 100÷2=50 人，乙丙两组 50 人．
12
所以甲组男50 = 24 人，设丙组的人数为 x 人，则乙组人数为（50 x）人，
12+13
5 2
根据题意，可得： 24 + (50 x) + x = 56 ，解得： x =18 ．
8 3
2
所以丙组有男会员：18 =12 （人）．
3
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）甲、乙两个工程队合作修路，甲乙两队修路的长度比是 5 : 4，甲队比乙
队多修了 40 米，则这条路总长多少米？
（2）（★★☆☆☆）王伯伯家里的菜地一共有 800 平方米，准备用 230 平方米种西红柿，剩
下的按 2 : 1 的面积比种黄瓜和茄子，三种蔬菜的面积分别是多少平方米？
【配题说明】考察已知两（三）个量的数量比和数量和，求这两（三）个量
【常规讲解】
5 4
（1） 40 ( ) = 360 （米）
5+ 4 5+ 4
答：这条路总长 360 米.
2
（2）黄瓜的面积为 (800 230) = 380 平方米，
2 +1
7
1
茄子的面积为 (800 230) =190 平方米．
2+1
答：西红柿 230 平方米，黄瓜 380 平方米，茄子 190 平方米．
练 2-2
（1）（★★★☆☆）小红有邮票 60 张，小明有邮票 40 张，小红给多少张小明，两人的邮票
张数比为 1 : 4？
2
（2）（★★★☆☆）甲乙丙三人合作生产一批零件，甲生产零件的一半与乙生产零件的 相
3
3
等，又等于丙生产零件数的 ，已知乙比丙多生产 50 个零件，求共生产多少个零件？
4
【配题说明】本题考察比的应用
（ 11） (60+ 40) = 20 ，所以 60-20=40 张．
1+ 4
（2）设甲生产零件数为 x，乙生产零件数为 y，丙生产零件数为 z，
1 2 3 x 4 y 9
由题目可知 x = y = z ，可得： = 和 = ，则 x : y : z =12 : 9 :8 ，
2 3 4 y 3 z 8
则总零件数为 9 850 ( ) =1450 个．
12+ 9+8 12 + 9 +8
练 2-3
（★★★★☆）某服装厂生产一批服装，其中 88 名工人采用流水作业方式生产，需要经过三
道工序，第一道工序每个工人每小时可以生产 8 套，第二道工序每个工人每小时可以生产 24
套，第三道工序每个工人每小时可以生产 5 套，要使生产均衡进行，每道工序应各分配多少
人？
【配题说明】考察比例分配问题，重点是求这三道工序分配人数之比
【常规讲解】
设三道工序分配工人数分别为 x、y、z，8x = 24y = 5z ，
可得： x : y = 3 :1， y : z = 5 : 24 ，则 x : y : z =15 : 5 : 24 ．
15
所以每道工序分配工人数分别为：88 = 30（人），
15+ 5+ 24
5 24
88 =10 （人），88 = 48 （人）
15+ 5+ 24 15+ 5+ 24
答：每道工序应各分配 30 人，10 人，48 人.
8
知识点 3——比例 题
知识笔记
1. ：
路程=_______ _______；速度=路程 _______；时间=_______ 速度．
2. ：
当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，它们走过的路
程之比就等于它们的______________．
3. ：
当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，它们所用的时
间之比就等于它们______________．
【填空答案】
1、速度，时间，时间，路程
2、速度之比
3、速度的反比
经典例题
例 1
2 3
（★★☆☆☆）一辆自行车 2 小时行了 48 千米，一辆汽车1 小时行驶了 96 千米，问：
5 5
（1）自行车与汽车的行驶时间之比；
（2）自行车与汽车的行驶速度之比．
【配题说明】考察化简最简整数比，以及速度 = 路程 时间的运用
【常规讲解】
2 3
（1） 2 :1 = 3: 2 ；
5 5
9
5
48
48 96 12
（2） : = =1: 3
2 3 5
2 1 96
5 5 8
例 2
（★★★☆☆）甲、乙两辆汽车从相距 380 千米的两地相向开出，在途中相遇．已知甲、乙两
车的速度之比为 4 : 3，相遇时所用的时间的比为 5 : 6，那么，相遇时甲、乙两车各行了多少
千米？
【配题说明】考察行程问题中三个量之间的关系
【常规讲解】
因为甲、乙两车的速度之比为 4 : 3，相遇时所用的时间的比为 5 : 6，
20
所以相遇时两车的路程之比为 20:18，甲车行驶路程380 = 200 千米，
20 +18
乙车行驶路程为 380-200=180 千米．
答：相遇时甲车行了 200 千米，相遇时乙车行了 180 千米．
例 3
（★★★☆☆）从 A 地到 B 地，甲需要 40 分钟，乙需要 30 分钟．如果甲出发 5 分钟后，乙
才出发，那么乙多久可以追上甲？
【配题说明】行程问题，本题利用二者路程相等列式，解题时注意方法．
【常规讲解】
L L
设 A 和 B 之间距离为 L，乙追上时间为 t，则有 (5+ t) = t ，
40 30
解得：t 为 15 分钟．
答：乙经过 15 分钟可以追上甲.
10
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）两个城市相距 225 千米，一辆客车和一辆货车同时从这两城市相对开出，2.5
小时后相遇，已知货车与客车速度比是 4︰5，客车和货车每小时各行多少千米？
【配题说明】考察相遇问题，主要是求一个数的几分之几是多少的运用．
【常规讲解】
客车每小时行 50 千米，货车每小时行 40 千米．
225 4 225 5
货车和客车的速度分别是： = 40 千米/小时， = 50 千米/小时．
2.5 4 + 5 2.5 4+ 5
练 3-2
1 1
（★★★☆☆）小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多 ，小方用的时间比小明多 ，
5 8
小明和小方的速度之比是多少？
【配题说明】考察比的应用，利用速度、路程、时间三者之间的关系即可解答
【常规讲解】
6 8 27
由题意：小明与小方的路程比为 6:5，时间比为 8:9，所以速度比为 = ．
5 9 20
答：小明和小方的速度之比是 27:30
练 3-3
（★★★☆☆）甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，相向而行，出发时甲、乙的速度比是 5 : 4，
相遇后，甲的速度减少了 20%，乙的速度增加了 20%．当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10
千米，问 A、B 两地相距多少千米？
【配题说明】行程问题，考察相遇后的路程和速度、时间的关系．
【常规讲解】
相遇后，甲、乙的速度之比为：5×（1-20%）：4×（1+20%）=5:6，
4 4 4
相遇时，乙走了全程的 = ，所以相遇后甲到 B 地，甲又走了全程的 ，
5+ 4 9 9
4 8 4 8 44
乙又走了全程的 5 6 = ，所以乙总共走了全程的 + = ，
9 15 9 15 45
11
44
所以 A、B 两地的距离为：10 (1 ) = 450 （千米）．
45
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）榨油厂用 100 千克黄豆可以榨出 13 千克豆油，照这样计算，用 3 吨黄豆可以
榨出______吨豆油．
【配题说明】考察比例在实际问题中的应用．
【常规讲解】
13
3 = 0.39吨 ．
100
练 2
（1）（★★☆☆☆）要在纸上按 1：60000 的比例尺画一长为 2000 米长的桥，应画_______厘
米长的线段表示这座桥的长度.
（2）（★★☆☆☆）昆明到西双版纳的实际距离是 1200 千米，在一幅地图上量得两地之间的
距离是 6 厘米，在这幅地图上量得泸西到丽江的图上距离是 4 厘米，则泸西到丽江的实际距
离是______千米.
【配题说明】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
【常规讲解】
（1）设应画 x 厘米长的线段表示这座桥的长度，2000 米=200000 厘米
10
1: 60000 = x : 200000 ，解得 x =
3
10
所以应画 厘米.
3
（2）根据比例尺=图上距离：实际距离，1200 千米=120000000 厘米，算出比例尺为
1
6 120000000= ，然后根据泸西到丽江的图上距离是 4 厘米，算出泸西到丽江的实
20000000
12
1
际距离是 4 = 80000000厘米，80000000 厘米=800 千米，即泸西到丽江的实际距
20000000
离是 800 千米.
练 3
1
（★★★☆☆）要修一条长 432 米的公路，已经修好了全长的 ，剩余的任务按 5 : 4 分给甲、
3
乙两个修路队.两个修路队各要修多少米？
【配题说明】考察比例分配问题，求一个数的几分之几是多少．
【常规讲解】
甲、乙两队分别要修 160 和 128 米．
2 5 2 4
甲队要修 432 =160 米，乙队要修 432 =128 米．
3 5+ 4 3 5+ 4
练 4
（★★★☆☆）一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1 : 2 : 3，某人
走这三段路所用的时间之比是 4 : 5 : 6，已知他上坡时每小时行 2.5 千米，路程全长为 20 千
米，此人走完全程需多长时间？
【配题说明】考察行程问题中上坡下坡的问题，注意路程与时间的关系．
【常规讲解】
1 4
上坡所用时间为 20 2.5 = 小时，则平路和下坡所用时间分别为：
1+ 2 + 3 3
4 5 5 4 6 4 5
= 小时， = 2 小时，走完全程时间为 + + 2 = 5 小时．
3 4 3 3 4 3 3
答：此人走完全程需 5 小时.
【B组】
练 1
（★★★★☆）某俱乐部男、女会员人数之比是 3 : 2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙
三组的人数比是 10 : 8 : 7，甲组中男、女会员的人数之比是 3 : 1，乙组中男、女会员的人数
之比是 5 : 3，求丙组中男、女会员人数之比．
13
【配题说明】考察比的应用，关键是求得男女会员总数和甲乙两组中男女会员的人数．
【常规讲解】
设甲、乙、丙人数分别为 10x、8x、7x，则三组共有会员：10x+8x+7x=25x（人）
3
俱乐部有男会员： 25x =15x ，则女会员有： 25x 15x =10x ；
3+ 2
3
则甲组中有男会员：10x = 7.5x ，女会员：10x 7.5x = 2.5x ；
3+1
5
乙组中有男会员：8x = 5x ，女会员：8x 5x = 3x ；
3+ 5
丙组中有男会员：15x 7.5x 5x = 2.5x ，女会员：10x 2.5x 3x = 4.5x （人），
则丙组中男女会员人数之比： 2.5x : 4.5x = 5 : 9．
答：丙中男女会员人数之比是 5:9.
练 2
（★★★★☆）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小客车 15 元，小
轿车 10 元．某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 5 : 6，小客车和小轿车数量之
比是 4 : 11，收取小轿车的通行费比大客车多 630 元，求这天这三种车辆通过的总数量．
【配题说明】考察数量之差与比例分配问题的综合运用．
【常规讲解】
三种车辆数量之比为 10:12:33，设三种车辆数量分别为 10x、12x、33x，
则由 33x 10 10x 30 = 630，得： x = 21，
所以三种车辆总数量为： 21 (10 +12 + 33) =1155 辆．
1411 | 比例应用题
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 利用比例的意义和性质解决实际应用题
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握和差关系与比例分配问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握比例行程问题
知识清单
比例的意义和性质解题
比例性质的 用
比例
知 的数
比与数 和
比例应用题 和 差 与比例分 知 的数
比与数 差
法
、 和
的
比 例 题
143
知识点 1——比例性质的应用
知识笔记
1． 比例的意义和性质解题
根据 a :b = c : d ，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：________．
简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比
例，然后利用比例的性质，求解未知量．
2．比例
比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．
即：比例尺=___________________．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）甲、乙两人加工零件，甲 3 小时加工了 126 个零件，乙 4 小时加工了 140
个零件，则甲、乙两人的工作效率的比是______．
（2）（★★☆☆☆）一种练习本 10 元可以买 8 本，购买 10 本这种练习本需要______元．
例 2
（1）（★★☆☆☆）一幅地图的比例尺是 1:5000000，图上 4 厘米表示的实际距离是____千米.
（2）（★★☆☆☆）比例尺为 200:1 的图纸上，量出某零件的长度是 40cm，这个零件的实际
长度是______cm．
144
例 3
1
（1）（★★★☆☆）要修一条长 432 米的公路，已经修好了全长的 ，剩余的任务按 5:4 分
3
给甲、乙两个修路队．两个修路队各要修多少米？
（2）（★★★☆☆）在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元．已知甲比丙多捐
了 18 元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10:7，则甲、乙、丙各捐了多少元？
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）某机床厂制造了一批机床，3 天生产了 21 台，结果再生产 12 天就完成了任
务，这批机床共有______台.
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）在比例尺是 1:6000000 的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是 0.2 厘
米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．
（2）（★★☆☆☆）比例尺为 25:1 的图纸上，量出某零件的长度是 30cm，这个零件的实际
长度是______cm．
145
练 1-3
（★★★☆☆）小杰读一本书，第一天读完后，已读和未读的页数比是 1:5，第二天又读了 30
页，已读和未读的页数的比变为 3:5，求这本书共多少页？
知识点 2——和差 与比例分
知识笔记
1. 知 的数 比与数 和
两个量 A，B ，数量之比为 a : b ，数量之和为 x ，则 A 的数量为______，B 的数量为_____．
2. 知 的数 比与数 差
两个量 A，B ，数量之比为 a : b (a b)，数量之差为 x ，则 A 的数量为_______， B 的数
量为_______．
3. K法
若 A : B = a :b ，可设 A = ak, B = bk ，其中 k 0 ，那么：
A + B = _________ = _________ ， A B = _________ = _________ ．
146
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）用 28 米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是 5:2，这
个长方形的长和宽各是多少？
（2）（★★☆☆☆）用 84 厘米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是 3:4:5，
这个三角形三条边各是多少厘米？
例 2
1
（1）（★★★☆☆）甲、乙两数的和是 120，把甲的 给乙，甲、乙的比就变为 2:3，求原来
3
的甲数是多少？
1 1
（2）（★★★☆☆）水果店共运进 114 筐水果，其中香蕉的筐数的 、梨的筐数的 和苹果
3 4
2
筐数的 相等，则香蕉有多少筐？
5
147
例 3
（★★★★☆）某团体有 100 名会员，男女会员人数之比是 14:11，会员分成三组，甲组人数
与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为 12:13，5:3，2:1，那么丙组有
多少名男会员？
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）甲、乙两个工程队合作修路，甲乙两队修路的长度比是 5:4，甲队比乙队
多修了 40 米，则这条路总长多少米？
（2）（★★☆☆☆）王伯伯家里的菜地一共有 800 平方米，准备用 230 平方米种西红柿，剩
下的按 2:1 的面积比种黄瓜和茄子，三种蔬菜的面积分别是多少平方米？
148
练 2-2
（1）（★★★☆☆）小红有邮票 60 张，小明有邮票 40 张，小红给多少张小明，两人的邮票
张数比为 1:4？
2
（2）（★★★☆☆）甲乙丙三人合作生产一批零件，甲生产零件的一半与乙生产零件的 相
3
3
等，又等于丙生产零件数的 ，已知乙比丙多生产 50 个零件，求共生产多少个零件？
4
练 2-3
（★★★★☆）某服装厂生产一批服装，其中 88 名工人采用流水作业方式生产，需要经过三
道工序，第一道工序每个工人每小时可以生产 8 套，第二道工序每个工人每小时可以生产 24
套，第三道工序每个工人每小时可以生产 5 套，要使生产均衡进行，每道工序应各分配多少
人？
149
知识点 3——比例 题
知识笔记
1. 、 和 的
路程=_______ _______；速度=路程 _______；时间=_______ 速度．
2.
当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，它们走过的路
程之比就等于它们的______________．
3.
当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，它们所用的时
间之比就等于它们______________．
经典例题
例 1
2 3
（★★☆☆☆）一辆自行车 2 小时行了 48 千米，一辆汽车1 小时行驶了 96 千米，问：
5 5
（1）自行车与汽车的行驶时间之比；
（2）自行车与汽车的行驶速度之比．
150
例 2
（★★★☆☆）甲、乙两辆汽车从相距 380 千米的两地相向开出，在途中相遇．已知甲、乙两
车的速度之比为 4:3，相遇时所用的时间的比为 5:6，那么，相遇时甲、乙两车各行了多少千
米？
例 3
（★★★☆☆）从 A 地到 B 地，甲需要 40 分钟，乙需要 30 分钟．如果甲出发 5 分钟后，乙
才出发，那么乙多久可以追上甲？
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）两个城市相距 225 千米，一辆客车和一辆货车同时从这两城市相对开出，2.5
小时后相遇，已知货车与客车速度比是 4:5，客车和货车每小时各行多少千米？
151
练 3-2
1 1
（★★★☆☆）小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多 ，小方用的时间比小明多 ，
5 8
小明和小方的速度之比是多少？
练 3-3
（★★★☆☆）甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，相向而行，出发时甲、乙的速度比是 5 : 4，
相遇后，甲的速度减少了 20%，乙的速度增加了 20%．当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10
千米，问 A、B 两地相距多少千米？
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）榨油厂用 100 千克黄豆可以榨出 13 千克豆油，照这样计算，用 3 吨黄豆可以
榨出______吨豆油．
152
练 2
（1）（★★☆☆☆）要在纸上按 1：60000 的比例尺画一长为 2000 米长的桥，应画_______厘
米长的线段表示这座桥的长度.
（2）（★★☆☆☆）昆明到西双版纳的实际距离是 1200 千米，在一幅地图上量得两地之间的
距离是 6 厘米，在这幅地图上量得泸西到丽江的图上距离是 4 厘米，则泸西到丽江的实际距
离是______千米.
练 3
1
（★★★☆☆）要修一条长 432 米的公路，已经修好了全长的 ，剩余的任务按 5:4 分给甲、
3
乙两个修路队.两个修路队各要修多少米？
练 4
（★★★☆☆）一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1:2:3，某人走
这三段路所用的时间之比是 4:5:6，已知他上坡时每小时行 2.5 千米，路程全长为 20 千米，
此人走完全程需多长时间？
153
【B组】
练 1
（★★★★☆）某俱乐部男、女会员人数之比是 3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙
三组的人数比是 10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是 3:1，乙组中男、女会员的人数之
比是 5:3，求丙组中男、女会员人数之比．
练 2
（★★★★☆）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小客车 15 元，小
轿车 10 元．某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 5:6，小客车和小轿车数量之比
是 4:11，收取小轿车的通行费比大客车多 630 元，求这天这三种车辆通过的总数量．
课堂总结
15402 | 分解素因数
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解素数与合数的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握分解素因数的方法
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握公因数和最大公因数
目标 4 ★★★★☆☆ 识别 掌握公倍数和最小公倍数
知识清单
素数 数
分解素因数
素数 数 分解素因数 分解素因数
分解 分解素因数
分解素因数
因数
分解素因数
因数
因数 因数
数 素
因数
数 数
数 数 数 数
数 素
【考情分析】
1．分解素因数属于数与运算部分，属于记忆水平；
2．主要考察素数，合数及分解素因数，以选择填空题为主，占期中总分值的 10%；
1
3．对应教材：预初上册，第一章：数的整除，第二节：分解素因数，1.4 素数、合数与分解
素因数；1.5 公因数和最大公因数；1.6 公倍数和最小公倍数
4．分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分
解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的
概念以及分解素因数，难点是求 2 个整数或者是 3 个整数的最大公因数或最小公倍数，以及
利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣.
课堂引入
【课堂引入】
72 的素因数有哪些？
【答案】72 的因数有 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，素因数有 2，3.
知识点 1——素数 数 分解素因数
知识笔记
1．素数 数
素数：一个正整数，如果只有_______和它_______两个因数，则叫做素数，也叫做质数.
合数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数.
_____既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．
2．分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做
这个合数的____________．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
3． 分解素因数
例如：72=8×9=2×2×2×3×3．
4． 分解 分解素因数
例如：
2
5． 分解素因数
形如下图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
【填空答案】
1、1，本身，1
2、素因数
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）在 1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247 中，________________
_______________是素数，合数有______个．
（2）（★★☆☆☆）最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______.
（3）（★★☆☆☆）两个素数的和为 21，那么这两个素数的积是______．
【配题说明】本题主要考察素数和合数的概念．
【常规讲解】
（1）素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合数：
一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1 既不是素数，也不
是合数，故答案为 2、17、97；7．
3
（2）最小的自然数为 0，最小的素数为 2，最小的合数为 4
（3）20 以内的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试 21=2+19，2×19=38.
例 2
（1）（★★☆☆☆）将 84 分解素因数：______________，84 的素因数为______________．
（2）（★★★☆☆）如果三个连续自然数的乘积是 210，则这三个数分别是____________．
【配题说明】考查分解素因数的方法：可以用短除法，也可以用口算法分解素因数
【常规讲解】
（1）84=4×21=2×2×3×7，其中素因数为 2、2、3、7．
（2）210=3×2×5×7=5×6×7．
例 3
（★★★☆☆）面积是 72 平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的
周长可能是多少厘米？
【配题说明】本题是利用素数解决实际问题．
【常规讲解】
72=4×18=6×12=8×9，
则①长方形的长为 18 厘米，宽为 4 厘米，此时的周长为 2×（18+4）=44 厘米；
②长方形的长为 12 厘米，宽为 6 厘米，此时的周长为 2×（12+6）=36 厘米；
③长方形的长为 9 厘米，宽为 8 厘米，此时的周长为 2×（8＋9）=34 厘米．
答：这个长方形的周长可能是 44 厘米、36 厘米、34 厘米．
4
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列说法中正确的个数有（ ）个
①两个连续素数的乘积一定是奇数；
②两个素数的和一定是偶数；
③相邻的两个正整数的乘积一定是合数；
④一个合数至少有三个因数；
⑤任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）（★★☆☆☆）将 100 写成两个素数的和：100=______+______，共有______对.
（3）（★★☆☆☆）已知 a 和 b 都是小于 10 的合数，两位数 ab 是一个素数，这样的两位数
是______．
【配题说明】本题主要考察素数的定义
【常规讲解】
（1）①错．2 和 5 的乘积为 10.
②错．除了 2 之外的素数都是奇数，但 2 和素数之和为奇数．
③错．1 和 2 的乘积为 2，为素数．
④对．一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数．
⑤错．1 不能写成素数相乘的形式．
故选 B.
（2）100 以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，
59，61，67，71，73，79，83，89，97，共 25 个．100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53，
共有 6 对．
（3）小于 10 的合数为 4、6、8、9．则四个数构成的两位数为素数的有 89．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）下列选项中分解素因数正确的是（ ）
A．17=1×17 B．180=2×2×5×9
5
C．336=2×2×3×4×7 D．36=2×2×3×3
（2）（★★★☆☆）（2018 杨浦区校级期中）可以分解为三个素数之积的最小的三位数是
_______.
【配题说明】分解素因数一定要分解彻底，即分解到每个数都是素因数为止
【常规讲解】
（1）考查分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式．A 答案中 1 不是
素数；B 答案中 9 不是素数；C 答案中 4 不是素数，故选 D.
（2）解：最小的三位数是 100，100 = 2 2 5 5 ，不符合，
102 = 2 3 17 ，符合，
所以分解为三个素数之积的最小的三位数是 102；
故答案为：102．
练 1-3
（★★★☆☆）如果长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积为 24 平方厘米，
那么长方形的周长是多少？
【配题说明】此题主要考察长方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
【常规讲解】
24=1×24=2×12=3×8=4×6，所以周长可能为 50 厘米、48 厘米、22 厘米、20 厘米四种情况.
知识点 2—— 因数 因数
知识笔记
1. 因数
几个数公有的_________，叫做这几个数的公因数．
2. 因数
几个数的公因数中，_________的一个叫做这几个数的最大公因数．
3. 数 素
6
如果两个整数只有公因数______，那么称这两个数互素．
4. 因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大
公因数
【填空答案】
1、因数
2、最大
3、1
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）36 和 54 的公因数有_____________．
（2）（★★☆☆☆）三个数 16、24 和 30 的公因数有______．
【配题说明】考查公因数的求法，可以用列举法来求解
【常规讲解】
（1）36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36；54 的因数有 1、2、3、6、9、18、27、
54．则公因数有 1、2、3、6、9、18．
（2）16 的因数是 1、2、4、8、16；24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24；
30 的因数是 1、2、3、5、6、10、15、30．则 16、24、30 的公因数为 1、2
例 2
（1）（★★☆☆☆）126 和 630 的最大公因数是________________．
（2）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数
B．两个不同的素数一定互素
C．如果 1 是两个整数的公因数，则这两个数一定互素
D．若 5 能被 a 整除，又是 b 的最小倍数，则 a 和 b 的最大公因数是 5
7
（3）（★★★☆☆）有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、c 的最大公因数是 72，b、d 的最大
公因数是 90，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______．
（4）（★★★☆☆）两个正整数的和是 50，他们的最大公因数是 5，这两个数的差的最大值
是几？
【配题说明】本题主要考察最大公因数和两数互素.
【常规讲解】
（1）126=2×3×3×7；630=2×3×3×5×7；所以最大公因数是 2×3×3×7=126.
（2）A 错，例如 4 和 9 互素，但是 4 和 9 都是合数．
C 错，1 是所有整数的因数，所以如果 1 是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素．
D 错，若 5 能被 a 整除，则 a 为 1 或 5，因为 5 是 b 的最小倍数，则 b=5，所以 a 和 b 的最
大公因数不一定是 5，还有可能是 1．
故选 B.
（3）72=2×2×2×3×3；90=2×3×3×5，所以 72 和 90 的最大公因数是 2×3×3=18，这四个数
的最大公因数是 18.
（4）设这两个数是 5a，5b(a、b 互素)，则：5a+5b=50．所以 a+b=10．
①a=1，b=9 时，两个数是 5、45；45-5=40；
②a=3，b=7 时，两个数是 15、35．35-15=20；
所以这两个数的差的最大值是 40．
例 3
（★★★★☆）有一块长 24 分米，宽 16 分米的布，把它平均剪成大小一样的正方形布料，从
不浪费的角度考虑，小正方形布料的边长最大为多少分米？能剪下这样的布料多少块？
【配题说明】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公
有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
【常规讲解】
本题主要考察最大公因数，24=2×2×2×3,16=2×2×2×2，所以 24 和 16 的最大公因数是 8，
所以小正方形布料的边长最大为 8，能剪下（24×16）÷（8×8）=6 块.
8
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）10 和 15 的公因数有_____________．
（2）（★★☆☆☆）三个数 24、36 和 54 的公因数有______．
【配题说明】本题主要考察分解素因数的定义
【常规讲解】
（1）10 的因数有 1，2，5，10；15 的因数有 1，3，5，15.所以 10 和 15 的公因数是 1，5.
（2）24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24；36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、
36；54 的因数有 1、2、3、6、9、18、27、54．则公因数有 1、2、3、6．
练 2-2
（1）（★★☆☆☆）48 和 72 的最大公因数是________________．
（2）（★★☆☆☆）在下列各组数中，互素的有（ ）组.
①3 和 5； ②6 和 9； ③4 和 9； ④14 和 17； ⑤18 和 1．
A．1 B．2 C．3 D．4
（3）（★★★☆☆）有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、b 的最大公因数是 60，c、d 的最大
公因数是 48，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______．
（4）（★★★☆☆）两个自然数的差为 35，他们的最大公因数是 5，那这两个数有_______种
可能.
【配题说明】本题主要考察最大公因数和两数互素.
【常规讲解】
（1）48=2×2×2×2×3；72=2×2×2×3×3；所以最大公因数是 2×2×2×3=24.
（2）互素的为①③④⑤，故答案为 D.
（3）因为 60=2×2×3×5，48=2×2×2×2×3，所以 60 和 48 的公因数有 2、3、2，则 60 和 48
的最大公因数为 2×3×2=12，即这四个数的最大公因数是 12．
（4）设这两个数是 5a，5b(a、b 互素)，（假设 a>b）
则可得：5a-5b=35,a-b=35÷5=7，
那么 a 和 b 是互素，且差是 7 的数有无数个，故答案为：无数.
9
练 2-3
（★★★★☆）一块矩形地面，长 90 米，宽 15 米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间
的距离相等，则最少要种多少棵树．
【配题说明】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公
有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
【常规讲解】
每两棵树之间的距离要整除 90 和 15，则为 90 和 15 的公因数，题目中问最少种多少棵树，
则是求 90 和 15 的最大公因数，最大公因数为 15．则每两棵树之间距离 15 米种一棵树，一
排种 7 棵树，两排共种 14 棵树．
知识点 3—— 数 数
知识笔记
1. 数 数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数．
最小公倍数：几个整数公有的倍数中，________的一个叫做它们的最小公倍数.
2. 数 数
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的___________，再取它们各自剩余的素
因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的________就是它们的最小公倍数．
3. 三 数 数
求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取
各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．
为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．
【填空答案】
10
1、最小
2、素因数,乘积
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）已知 A=2×3×3×5×7，B=2×2×5×5×7，则 A 与 B 的最小公倍数是____．
（2）（★★☆☆☆）已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为 72，则这两个数为______．
（3）（★★★☆☆）两个正整数的最大公因数是 12，最小公倍数是 144，其中一个数是 48，
则另一个数是______．
【配题说明】考查最小公倍数的求法及互素
【常规讲解】
（1）公有因数为 2、5、7，则最小公倍数为 2×5×7×3×3×2×5=6300．
（2）如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．所以 72 可以写成两个合数
的乘积，则这两个数为 8 和 9.
（3）两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．故答案为 36.
例 2
（★★★☆☆）求下列各组数的最小公倍数．
（1）187 和 442； （2）36、84 和 39．
【配题说明】考查用短除法求最小公倍数．
【常规讲解】
17 187 442
（1） ，最小公倍数为 17×11×26=4862；
11 26
3 36 84 39
2 12 28 13
（2） 最小公倍数为 3×2×2×3×7×13=3276．
2 6 14 13
3 7 13
11
例 3
（1）（★★★★☆）甲每隔 3 天去少年宫一次，乙每隔 5 天去一次，丙每隔 7 天去一次，如
果 6 月 1 号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？
（2）（★★★★☆）某校外出活动，如果 9 人一组，则多 5 人；如果 15 人一组，则少 4 人，
已知学生人数在 130 至 140 人，则该年级的学生有______人．
【配题说明】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题
【常规讲解】
（1）因为甲每隔 3 天去少年宫一次，乙每隔 5 天去一次，丙每隔 7 天去一次，所以下次去
少年宫距离上次同时去少年宫的天数能同时被 3、5、7 整除，短除法可得 3、5、7 的最小公
倍数为 105，则经过 105 天（6 月 30 天，7 月 31 天，8 月 31 天），即 9 月 14 日甲、乙、丙
同时去少年宫．
（2）如果 9 人一组，则多 5 人，可以理解成若 9 人一组，则少 4 人．则题目可以理解成若
9 人一组，则少 4 人；如果 15 人一组，则少 4 人．因为学生人数在 130 到 140 人，在 130
到 140 之间，9 和 15 的公倍数为 135，则该年级共有 135-4=131 人．
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）已知 A = 2 2 3， B = 2 3 3 ． A 和 B 的最小公倍数是_______.
（2）（★★★☆☆）两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 24，其中一个数是 12，则另一
个数是______．
【配题说明】本题主要考察最大公因数的概念及运用
【常规讲解】
（1）因为 A = 2 2 3， B = 2 3 3 ，最小公倍数是： 2 3 2 3 = 36
（2）因为 24÷4=6,12=2×2×3，所以这两个数有两种情况：4×1=4,4×6=24 或 4×2=8,4×3=12，
因此其中一个数是 12，那么另一个数是 8.
12
练 3-2
（★★★☆☆）求下列各组数的最小公倍数．
（1）8 和 15； （2）455 和 715； （3）12、30 和 50．
【配题说明】考查用短除法求最小公倍数．
【常规讲解】
（1）因为 8 和 15 互素，所以最小公倍数是 120.
（2）根据短除法可得，
5 455 715
13 91 143 ，所以最小公倍数是 5×13×7×11=5005.
7 11
212 30 50
5 6 15 25
（3）因为 ，所以 12、30 和 50 的最小倍数是 300.
3 6 3 5
2 1 5
练 3-3
（1）（★★★★☆）（2017 普陀期中）小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现
每次拿出 4 个，每次拿出 5 个或每次拿出 6 个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过 100
个，但又不足 150 个，试问这篮苹果共多少个？
（2）（★★★★☆）一个正整数被 4 除余 1，被 6 除余 1，被 9 除余 1，则这个数最小是多少？
【配题说明】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．
【常规讲解】
（1）因为 4、5、6 的最小公倍数是 60，所以苹果的个数是 60 的倍数，又苹果的总数超过
100，但又不足 150 个，因此苹果的个数是 120 个.
（2）因为一个正整数被 4 除余 1，被 6 除余 1，被 9 除余 1，所以这个数减去 1 之后能同时
被 4、6、9 整除，短除法可求出 4、6、9 的最小公倍数为 36，则这个是最小为 36+1=37．
13
综 练习
【A组】
练 1
（★☆☆☆☆）在 1~100 这 100 个整数中，有 25 个素数，则合数有______个．
【配题说明】考查素数、合数的定义，注意 1 的特殊性．
【常规讲解】
1 到 100 这 100 个整数中，分为三类，1，素数，合数．所以合数的个数为
100－1－25=74 个．
练 2
（1）（★★☆☆☆）下列选项中分解素因数正确的是（ ）
A．20=1×2×2×5 B．90=3×5×6
C．36=2×2×3×3 D．67=1×67
（2）（★★☆☆☆）在小于 10 的正整数中，两个互素的合数有____________．
【配题说明】本题主要考察分解素因数.
【常规讲解】
（1）考查分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式．A 答案中 1 不是
素数；B 答案中 6 不是素数；D 答案中 1 不是素数．故选 C.
（2）小于 10 的正整数中，合数有 4、6、8、9，其中互素的有 4 和 9、8 和 9．
练 3
（★★★☆☆）已知甲数比乙数大 6，比丙数小 72，三数之和是 120，求三数的最小公倍数及
最大公因数．
【配题说明】考查求最小公倍数和最大公因数的求法．
【常规讲解】
已知甲数比乙数大 6，比丙数小 72，三数之和是 120，则甲、乙、丙分别为 18，12，90，则
由短除法可知：最大公因数为 6，最小公倍数为 540．
14
练 4
（★★★☆☆）把一块长 7.2cm，宽 6cm，厚 0.36dm 的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全
相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块.
【配题说明】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．
【常规讲解】
6 米=600 厘米，4.8 米=480 厘米；因为 600 与 480 的公因数中，较大的是 120，60，40，30，
20 等，根据题意，选择 60×60 的正方形地砖.需要的地砖数量为：（600÷60）×（480÷60）
=10×8=80（块）.答：该选用 60×60 的正方形地砖，需要 80 块.
练 5
（★★★☆☆）共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔 3 米种一棵树（路的两端都有树），
一共种了 66 棵，现在要改成每隔 4 米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？
【配题说明】本题是利用最小公倍数的思想解决实际问题．
【常规讲解】将实际问题转化为最小公倍数问题来解决．注意小路端点的树不要重复计算．
3 和 4 的最小公倍数为 12，则每隔 12 米的倍数的位置上的树不用移动．因为每隔 3 米种了
66 棵树，则小路长（66-1）×3=195 米．因为 195÷12=16…3，
所以 16+1=17 棵树不要移动．新挖树坑 66-17=49 个．
【B组】
练 1
（★★★★☆）a、b 和 c 都是两位数，a、b 的个位数字分别是 7 与 5，c 的十位数字是 1．如
果它们满足等式 ab + c = 2005 ，则 a + b + c 等于多少？
【配题说明】考查了质因数分解，解题的关键是推导出 c =10 ，根据 ab + c = 2005 ，列出方
程求解，题目难度较大．
【常规讲解】
因为 ab 个位一定是 5，等式 ab + c = 2005 ，所以 c 个位是 0
所以 ab 等于 1995
设 a 为10x + 7 ， b 为10y + 5 ，
15
所以 ab =100xy + 50x + 70y + 35 =1995 ，
所以100xy + 50x + 70y =1960 ，10xy + 5x + 7y =196
因为 x ， y 小于 10 且是整数， xy 小于 20，
解得 x = 5 ， y = 3 ，
10x + 7 = 57 ，10y + 5 = 35 ，
所以 a + b + c = 57 + 35+10 =102 ．
故 a + b + c 等于 102．
练 2
（★★★★★）已知两个正整数的差是 16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是 88，求：
这两个正整数．
【配题说明】本题综合性较强，主要考查对最大公因数和最小公倍数的理解，注意对解题方
法的理解和运用．
【常规讲解】
这两个正整数的最大公因数能整除最小公倍数，则它们的最大公因数能整除它们的最大公因
数和最小公倍数之和．88=1×2×2×2×11．
当最大公因数为 1，则最小公倍数为 87=3×29，显然，29-3=26 不等于 16，不合题意；
当最大公因数为 2，则最小公倍数为 86=2×43，86-2=84 不等于 16，不合题意；
当最大公因数为 4，则最小公倍数为 84=4×3×7，84-4=80 不等于 16，28-12=16 等于 16，符
合题意；
当最大公因数为 8，则最小公倍数为 80=8×2×5,40-26=14 不等于 16，不合题意；
当最大公因数为 11，则最小公倍数为 77=11×7，77-11=66 不等于 16，不合题意；
当最大公因数为 22，则最小公倍数为 66=22×3，66-22=44 不等于 16，不合题意；
当最大公因数为 44，则最小公倍数为 44，44-44=0 不等于 16，不合题意．
综上所述，这两个正整数为 28 和 12．
1610 | 比和比例
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 区别比和比值并会求比和比值
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 理解比的基本性质并熟练运用
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握比例及其性质
知识清单
比 和比
比 的意义 比、分数和除法的
比、分数和除法的
比的 性质
比和比例 比 的 性质 整数比
比的性质
比 例
比例 和比例
比例及其性质
比 例
比例的 性质
128
知识点 1——比的意义
知识笔记
1．比和比
a、b 是两个数或两个同类的量，为了把 b 和 a 相比较，将 a 与 b 相除，叫做 a 与 b 的
____．记作________，或写成______，其中b 0 ；读作________，或 a 与 b 的比．
a 叫做比的_______，b 叫做比的________．
前项 a 除以后项 b 所得的商叫做________．
2．比、分数和除法的
分子
比：前项：后项 = 比值；分数： = 分数值；除法：被除数÷除数 = 商．
分母
比的前项相当于分数的分子和除式中的__________；
比的后项相当于分数的分母和除式中的__________；
比值相当于分数的分数值和除式的商．
3．比、分数和除法的
比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．
经典例题
例 1
1 3
（1）（★★☆☆☆）求比值：14 : 21= __________； : = __________.
3 2
（2）（★★☆☆☆）求比值：25 平方分米：0.4 平方米=______；25 分钟：1.2 小时=______.
（3）（★★☆☆☆）两个正方形的边长之比为5 : 3，则它们的面积之比为_________.
129
例 2
（★★★☆☆）某公司招聘打字员，让应聘的甲和乙各自在电脑里输入一篇 3000 字的文章，
结果甲花的时间与乙花的时间之比为 3:4，若甲每分钟打字 200 个，求甲、乙两个人的打字
速度之比值是多少.
例 3
3
（★★★☆☆）如右图，已知 ABD 的面积与 ABC 的面积之比是 2:5，若线段 BD 的长为
5
厘米，那么线段 DC 的长度为多少？
A
B
D C
巩固练习
练 1-1
2 1
（1）（★★☆☆☆）求比值：2.25：2.5=__________；3 : =__________.
3 2
（2）（★★☆☆☆）求比值：72 米：0.36 千米=_______；0.25 吨：40 千克=_______.
（3）（★★☆☆☆）两个正方形的边长之比为 7：3，则它们的面积之比为__________.
130
练 1-2
（★★★☆☆）为了迎接世博会的到来，规划部门要对一条长是 2400 米的主干道进行修建，
现有甲、乙两个修筑队，根据以往的工作成绩可知，甲修筑队的工作效率与乙工作队的工作
效率之比为 3:5，若甲每天可修 150 米，求两队合作修建需要多少天.
练 1-3
（★★★☆☆）如右图，求：
（1）最小三角形的面积与整个长方形面积的比值；
（2）最小三角形的面积与最大三角形的面积的比值.
131
知识点 2——比的 性质
知识笔记
1. 比的 性质
比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0 除外），比值_______．
2. 整数比
比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做______________．
注：题目中比的结果都必须化成最简整数比．
3. 比的性质
（1）如果 a :b = m : n ，b : c = n : k ，那么 a : b : c = ________ ；
（2）如果 k 0 ，那么 a : b : c = _________ ．
经典例题
例 1
18 27
（1）（★★☆☆☆）填空：3:5= = .
( ) 3+ ( )
（2）（★★☆☆☆）把下列各比化成后项是 100 的比：
①3:50=_____________； ②1.2:20=_____________.
（3）（★★☆☆☆）一段铁丝，原长是 9 米，一次用去了 6.6 米，问余下的铁丝与用去的铁
丝的长度比是____________（用最简整数比表示）.
132
例 2
（1）（★★☆☆☆）已知一个三角形的三个内角之和为180 ，且这个三角形三个内角之比为
2:3:4，则其中最小的内角为_________.
（ 3 12）（★★★☆☆）已知 x : y =1: , y : z =1 : 0.5 ，则 x : y : z = ______________.
5 3
（3）（★★★☆☆）已知 ab :bc : ac =15 :12 :16 ，则 a : b : c = ______________.
例 3
x y z
（1）（★★★☆☆）已知 = = ，求：
2 4 7
① x : y : z ；
②若 2x + y + 3z = 58 ，分别求 x，y，z 的值；
x + y
③求 的值.
x + z
3
（2）（★★★☆☆）纸箱里有红、绿、黄三种颜色的球，红色球的个数是绿色球的 ，绿色
4
球的个数与黄色球个数的比是 4:5，已知绿色球与黄色球共 81 个，问：三种颜色的球各有多
少个？
133
巩固练习
练 2-1
16 12
（1）（★★☆☆☆）填空：______：5= = .
20 2 + ( )
（2）（★★☆☆☆）把下列各比化成后项是 50 的比：
①5：12=_____________； ②2.5：1=_____________.
（3）（★★☆☆☆）把 15 克盐放在 100 克水中，溶成盐水，那么盐与盐水重量的最简整数比
是____________.
练 2-2
（1）（★★☆☆☆）已知一个平角的度数为180 ，把这个平角按 1:2:3 分成三个角，则这三个
角中最大的角是_______度.
（2）（★★★☆☆）已知 1 1x : y = 2 :3, x : z = : ，则 x : y : z = _____________.
3 4
（3）（★★★☆☆）已知 ab :bc : ac =10 :12 :15 ，则 a : b : c = ______________.
练 2-3
P Q R
（1）（★★★☆☆）已知 = = ，求：
14 35 21
①P：Q：R；
②若 2P +Q R = 84 . ，求 P，Q，R 的值；
P +Q
③求 的值.
Q R
134
（2）（★★★☆☆）有三所工厂在第一季度展开生产大比拼，甲工厂生产的产品占总产品的
2
，比丙工厂多生产 248 件，而乙工厂与丙工厂的生产数之比为 3:2，求在第一季度中，生
5
产能力最强的是哪个工厂.
知识点 3——比例及其性质
知识笔记
1．比例
a、b、c、d 四个量中，如果 a : b = c : d，那么就说 a、b、c、d 成比例，也就是表示两
个比相等的式子叫做比例．
比例 a : b = c : d 也可以表示为_____________．
其中 a、b、c、d 分别叫做第一、二、三、四比例项．
2．比例 和比例
如果 a : b = c : d，那么第一比例项 a 和第四比例项 b 叫做____________，第二比例项 b
和第三比例项 c 叫做____________．
3．比例
对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即 a : b = b : c，那么把 b 叫做 a 和 c 的
_____________．
4．比例的 性质
a c
如果 a :b = c : d 或 = ，那么___________．
b d
a c
反之，如果 a、b、c、d 都不为零，且 ad = bc ，那么______________或 = ．
b d
两个外项的积等于两个内项的积．
135
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列各组中的两个比可以组成比例的是（ ）
1 1
A．21:3 和 1:7 B． : 和 2 : 3 C．9:12 和 27:36 D．0.3:1.5 和 1.5:2.5
2 3
（2）（★★☆☆☆）6 是 2 和______的比例中项.
x
（3）（★★☆☆☆）若 2x = 5y ，则 =______.
y
1
（4）（★★☆☆☆）在一个比例式中，若两个外项的乘积是最小的质数，一个内项是 ，则
2
另一个内项是______.
例 2
3
（1）（★★★☆☆）若甲数的 等于乙数的 60%，则甲：乙=___________.
4
1 1 1
（2）（★★★☆☆）若 x 与 、、 这三个数可以组成比例式，则 x 可能是___________.
2 4 6
（3）（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
3 1 2 2 1 5
① 3: x = 7 : 6 ； ② : = : x ； ③1 : 2 = x :1.5 ； ④ (x + 2) : 4 = 5: ．
2 4 5 3 2 2
136
例 3
（1）（★★★☆☆）将 10 本相同厚度的书叠起来，高度为 30 厘米，如果有 25 本这样厚度
的书叠起来，那么这时的高度是多少？
（2）（★★★★☆）学校有心理和陶艺两个社团，若心理社团增加 40 人，则心理社团与陶
艺社团的人数之比为 2:1，若陶艺社团增加 20 人，则陶艺社团与心理社团人数的比是 5:6，
那么心理和陶艺两个社团原来各有多少人？
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）下列各组中的两个比不可以组成比例的是（ ）
1 1 1
A． ： 和 4 : 5 B．0.2:5 和 2:50 C．3 :3和 7:6 D．0.1:3 和 30:1
5 4 2
1
（2）（★★☆☆☆）5 是 与_______的比例中项.
2
x
（3）（★★☆☆☆）若 = 3y ，则 x : y =___________.
2
（4）（★★☆☆☆）一个比例式中，若两个外项都是质数，且这两个外项的乘积是 22，一个
11
内项是 ，则另一个内项是_______.
5
137
练 3-2
1
（1）（★★★☆☆）若 x 与 ，3，5 这三个数可以组成比例式，则 x 可能是__________.
2
（2）（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
① 5 1 2 14 : x = 3:5 ； ② : = : x ； ③1 : 2 = 2x :1.5 ； ④ (x 1) : (1 2x) = 3: 5 ．
2 3 3 3
练 3-3
（1）（★★★☆☆）有一种大豆，500 克可榨出豆油 150 克，照这样计算，现要生产 30 吨
豆油，需要这样的大豆多少吨？
（2）（★★★★☆）某电脑商铺引进了一批上网本，它的成本价是每件 2000 元，卖出一件
所得的利润与营业额之比为 4:9，如果某天内该商铺卖这种上网本获得了 16000 元的利润，
那么这天该商铺卖出了几本上网本？
138
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）如果 a 是 b 的 5 倍，那么 a 和 b 的比是（ ）
1
A． B．1:5 C．5 D．5:1
5
练 2
（1）（★★☆☆☆）六（1）班有学生 45 人，若男生与女生人数之比是 2:3，则女生比男生多
______人.
1
（2）（★★☆☆☆）一杯糖水，糖与水的比是 ，喝去一半糖水后，又用水加满，这时杯中
5
糖与水的比值是________.
练 3
（★★★☆☆）把下列各连比化成最简整数比：
1
（1）0.6:1.8:3； （2）3 :3.6 :8.1；
2
4
（3）1 天:12（小）时:75 分； （4）320 克: 千克:0.02 吨．
25
139
练 4
（★★★☆☆）甲乙两仓库共有粮 4200 吨，当甲仓库运入粮 750 吨，乙仓库运出存粮 450 吨
后，甲、乙两仓库存粮的吨数比是 8:7，那么甲、乙两仓库原来各有存粮多少吨？
练 5
1
（★★★☆☆）已知 0.125、2 、8 这三个数.
2
（1）请再写出一个数，使得它与以上三个数可以构成比例式；
（2）这样的数你能找到多少个，把它们都写出来.
【B组】
练 1
1 1 1
（★★★★☆）若正整数 x、y 满足 = ，且 x : y = 7 :13，则 x + y = ________.
x y 182
140
练 2
3 3
（★★★★☆）如右所示，圆的面积的 是广场，四边形面积的 是花园，而重叠部分的面积
8 5
为水池，若广场比花园的面积少 90 平方米，求广场、花园与水池的面积各是多少平方米.
课堂总结
14115丨圆的组合图形
学习目标
目标1
★★★★☆☆识别
掌握组合图形的周长
目标2
★★★★★女迁移
熟练掌握圆有关组合图形的面积
d
知识清单
组合图形的周长
圆的周长
孤长
圆的组合图形
三角形的面积
等腰直角三角形的面积
长方形的面积
组合图形的面积
正方形的面积
梯形的面积
圆的面积
扇形的面积
【考情分析】
1.圆和扇形属于图形与几何部分，属于解释性理解水平；
2.主要考察圆和扇形的计算及应用，以解答题为主，占期末总分值的15%；
3.对应教材：预初上册，第四章：圆和扇形，第一节：圆的周长和弧长，41圆的周长；4.2
弧长，第二节：圆和扇形的面积，4.3圆的面积；4.4扇形的面积；
4.在此之前，我们已经学过许多几何图形，例如三角形、长方形、圆、扇形等等，并掌握
了它们的面积公式，我们将这些常见的图形称为基本图形，
还有一些较为复杂的非基本图形，它们是由一些基本图形组合而成的，本讲中，我们一起来
研究如何求组合图形的面积.
01
课堂引入
【课堂引入】
如图由三个相同的圆及一个等腰直角三角形构成，圆的半径都是3厘米，则阴影部分的面积
为
平方厘米.
【答案】等腰直角三角形面积减去三个扇形面积即得阴影的部分面积.
三个扇形的圆心角的度数的和为180度，故而将三个扇形面积
拼在一起，也就等于去求一个半径为3厘米的圆的面积的一半
角形面积：
×6×6=18,三个扇形的面积：
180×π×329
2
360
2
9
故阴影部分面积为：
18
=3.87平方厘米
出
知识点1——组合图形的周长
知识笔记
1.圆的周长
C=
2.弧长
【填空答案】
y
πd=2xr
nar
180
·2
雪
经典例题
例1
(1)(★★★☆☆)如图，正方形的边长是6厘米，则阴影部分的周长是
厘米.（元
取3.14)
(2)(★★★☆☆)如图，正方形的边长为8cm,求阴影部分的周长.（π取3.14)
【配题说明】考察阴影部分周长的求法
【常规讲解】
(1)阴影部分的周长等于正方形的周长加上四个等圆的周长.
C=6×4+4×2×π×r=24+4×2×π×
2
=24+12π=61.68厘米；
(2)由图知，阴影部分的周长等于半径为4cm的圆的周长，则2πr=2×3.14×4=25.12cm.
例2
(★★★☆☆)如图，把半径为6cm和4cm的两个半圆重叠放置，求阴影部分的周长.（π取
3.14)
【配题说明】考察阴影部分的周长
【常规讲解】
0309 | 分数应用题
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 掌握求一个数的几分之几
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握已知一个数的几分之几
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握一个数比另一个多（或少）几分之几
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 掌握工程问题
知识清单
一 数的 分
知一 数的 分
分数应用题
一 数比 一 数 分
题 的
题
题 的 公
115
知识点 1—— 一 数的 分
知识笔记
一 数的 分
应用题的数量关系是：单位“1”的量×几分之几=几分之几的具体量．
p
例：求 a 的 是多少？
q
解法___________．
经典例题
例 1
2
（★★☆☆☆）一根 50 米长的电线，剪去它的 ，则剪去了（ ）米.
5
2 3
A． B．20 C．30 D． 49
5 5
例 2
2
（1）（★★★☆☆）小红看一本 300 页的书，第一天看了这本书的 ，第二天看了这本书的
15
1
，则第三天应从______页看起.
6
2 3
（2）（★★★☆☆）一批苹果 60 吨，先运走了它的 ，再运来 吨，这时苹果有_______吨.
5 5
例 3
2 4
（★★★☆☆）小新计划三天看完一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了第一天的 ，那
7 5
么小新前两天共看了全书的几分之几？第三天小新应看完全书的几分之几？
116
巩固练习
练 1-1
2
（★★☆☆☆）一根 50 米长的电线，剪去它的 ，则还剩下了（ ）米.
5
2
． 3A B．20 C．30 D． 49
5 5
练 1-2
1
（1）（★★★☆☆）修筑一条 1500 千米的公路，第一个月修筑了全长的 ，第二个月修筑了
6
1
全长的 ，则这条路还有_______千米没有修完.
4
1 1
（2）（★★★☆☆）有一根木料长是 2004 米，先截取它的 ，再减去 米，则还剩下______
4 4
米.
练 1-3
3 2
（★★★☆☆）港口新到一批黄沙，共 3000 千克，第一天运走 吨，第二天运走剩下的 ，
4 5
第三天需全部运完，则第三天需要运多少千克？
117
知识点 2—— 知一 数的 分
知识笔记
知一 数的 分 是 这 数.
应用题的数量关系是：几分之几的具体量÷几分之几＝单位“1”的量．
p
例：一个数的 是 a ，这个数是多少？
q
解法：__________．
经典例题
例 1
3
（1）（★★☆☆☆）小明看了一本书的 ，正好是 1200 页，则这本书共有（ ）页.
4
A．1600 B．900 C．2100 D．以上答案都不对
7
（2）（★★☆☆☆）一批水果运走了 ，恰好是 63 吨，则这批水果原有_______吨.
12
例 2
3 1
（1）（★★★☆☆）甲仓库原来有存粮18 吨，运走了 4 吨后，此时甲仓库的粮食恰好为乙
4 2
19
仓库存量的 ，则乙仓库的存量有_______吨.
23
7 1 1
（2）（★★★☆☆）一桶油用去它的 后，再倒入 千克，这时桶内的油恰好是原来的 ，
10 2 3
这桶油原来有_______千克.
118
例 3
3
（★★★★☆）某班级有学生 48 人，其中女生占全班人数的 ，现在女生增加若干人，这样，
8
2
女生人数就占全班人数的 ，求增加女生的人数.
5
巩固练习
练 2-1
3
（1）（★★☆☆☆）小明看了一本书的 ，正好是 1200 页，则这本书还剩（ ）页.
4
1
A． B．400 C．300 D．900
4
4 1
（2）（★★☆☆☆）某数的 是 20，则这个数的 是__________.
5 10
练 2-2
5
（1）（★★★☆☆）一本笔记本的单价是 2 元，恰好是 2 本相同 A 型字典的价格的 ，那么
21
这种 A 型字典每本的价格是________.
5
（2）（★★★☆☆）小明看一本书，第一天看了 49 页，恰好是全书的 还多 4 页，则这本书
8
有________页.
练 2-3
3
（★★★★☆）某班男生人数占全班人数的 ，后来转来 1 名女生，此时男生人数占全班人数
5
4
的 ，则全班共有男生多少人？
7
119
知识点 3—— 一 数比 一 数 / 分
知识笔记
1. 一 数比 一 数 分
例：求 a 比 b 多几分之几？ 解法：____________________.
2. 一 数比 一 数 分
例：求 a 比 b 少几分之几？ 解法：____________________.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）某年级原有学生 420 人，现在比原来增加了 1 ，则现有学生几人？可列
6
式（ ）
1 1 1 1
A． 420+ B． 420 C． 420+420 D． 420 420
6 6 6 6
（2）（★★☆☆☆）某年级学生比原来增加了 1 ，现有学生 420 人，则原有学生（ ）人.
6
A．500 B．350 C．360 D．490
例 2
1 1
（1）（★★★☆☆）______比 20 米多 ，24 千克比______少 .
4 5
2
（2）（★★★☆☆）甲行驶的路程比乙行驶的路程多 ，乙行驶的路程比甲行驶的路程少
5
______．
120
例 3
（1）（★★★★☆）某商店两件衣服均卖了 1100 元，其中一件赚了 ，而另一件亏了 1 ，
10 10
这两件衣服合在一起是赚了还是亏了？赚或亏了多少？
（2）（★★★★☆）如右图，两个菱形重叠部分面积占 1B 的 ，占 的 1A ，则菱形 A 的面积
8 3
是菱形 B 的面积的几分之几？
巩固练习
练 3-1
1
（1）（★★☆☆☆）某年级原有学生 420 人，现在比原来减少了 ，则现有学生多少人？可
6
列式（ ）
1
A． 420+
1 1 1
B． 420 C． 420+420 D． 420 420
6 6 6 6
1
（2）（★★☆☆☆）某年级学生比原来减少了 ，现有学生 420 人，则原有学生（ ）人.
6
A．490 B．504 C．360 D．350
121
练 3-2
2
（★★★☆☆）某班男生人数是女生人数的 ，则女生人数比男生人数多______．（填几分之
5
几）
练 3-3
（★★★★☆）如右图，两个四边形重叠部分面积占 1 2B 的 ，占 A 的 ，则四边形 A 的面积
8 5
比四边形 B 的面积少几分之几？
知识点 4—— 题
知识笔记
1. 题 的
工作总量：一般将工作总量抽象成单位“1”；
工作效率：单位时间内完成的工作量．
2. 题 的 公
工作总量=______________×工作时间；
工作效率=工作总量÷______________；
工作时间=工作总量÷______________．
122
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）加工同样多的零件，王师傅用了 13 小时，李师傅用了15 小时，李师傅
14 16
的工作效率是王师傅的工作效率的______．（填几分之几）
（2）（★★★☆☆）一项工程，甲单独做需要 20 天时间完成，乙单独做需要 30 天时间完成，
如果甲、乙合作需要______天完成.
例 2
（★★★★☆）加工一批零件，甲单独做需 3 天完成，乙单独做需 4 天完成，两人同时加工，
完成任务时，甲比乙多做 24 个，问这批零件共有多少个？
巩固练习
练 4-1
（1）（★★★☆☆）一项工程，甲单独做需要 21 天时间，甲、乙合作需要 12 天时间，如果
乙单独做，需要______时间完成．
（2）（★★★☆☆）一件工程，甲、乙两队合作 20 天完成，乙、丙两队合作 60 天完成，丙、
丁两队合作 30 天完成，甲、丁合作______天完成．
123
练 4-2
（★★★★☆）加工一批零件，甲、乙合作 24 天可以完成，现在由甲先做 16 天，然后乙再做
12 天，还剩下这批零件的 2 没有完成．已知甲每天比乙多加工 3 个零件，则这批零件共有
5
多少个？
综合练习
【A组】
练 1
1
（★★☆☆☆）周末，小方乘 45 路公交车回家，当车开到游乐园站时，他发现车上人数的
6
1
下车后，这时又上来了车上人数的 ，那么现在车上的人数（ ）
6
A．增加了 B．减少了 C．同样多 D．无法确定
练 2
（1）（★★☆☆☆）男生比女生多二分之一，女生比男生少（ ）
A．二分之一 B．三分之一 C．三分之一 D．五分之一
2 3 1
（2）（★★☆☆☆）a 千克的 比 b 千克的 多 ，则 a 千克是 b 千克的______（填几分之
3 4 4
几）．
124
练 3
（★★★☆☆）一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两
人合作要 60 天完成．问：甲一人独做需要多少天完成？
练 4
2 2
（1）（★★★★☆）两件物品均以 200 元的价格出售，其中一件盈利 ，另一件亏损 ，问
5 5
最终商家是赚了钱还是亏了？赚或亏的金额是多少？
（2）（★★★★☆）一件商品在试销阶段原定每件的零售价为 300 元，每件商品的利润是零
1 1
售价的 ，预计每月的销售量为 100 件，而实际在第一个月的销售中零售价下降了 ，而
5 20
3
销售量却提高了 ，问：
10
①预计每月的销售总利润为多少元？
②第一个月的实际销售总利润为多少元？
③第一个月的实际销售总利润比预计每月的总利润是增加还是减少了，若增加，增加了几分
之几；若减少，减少了几分之几？
125
【B组】
练 1
4
（★★★★☆）有甲、乙两个课外活动小组，甲组人数是乙组人数的 ，后来又从乙组调 16
5
3
人到甲组，这时乙组人数是甲组人数的 ，甲、乙两组原来各有多少人？
4
练 2
1 1
（★★★★★）一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的 ，第二天吃了余下桃子的 ，
4 3
1
第三天又吃了余下的 ，最后剩下 8 个桃子，问这只猴子摘的这堆桃子共有多少个？它每天
2
各吃多少个？
课堂总结
12612 | 百分比及其应用（一）
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解百分比的意义及运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握百分比的简单应用
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握常见的百分率
知识清单
百 分比
百分比的意义及 算
百 分数、小数和分数 合 算
百分比及其
是 的百分
应用（一） 百分比的 单应用 的百分 是
知 是 的百分
的百分 和 用的百分
156
知识点 1——百分比的意义及 算
知识笔记
1．百分比
n
把两个数量的比值写成 的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，记作
100
________，读作百分之 n．符号“%”叫做百分号．
42 125
例如：42%就是 ，读作百分之四十二；125%就是 ，读作百分之一百二十五．
100 100
2．百分数、小数和分数 合 算
混合运算时，先将百分数化为________________，再进行计算．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）3.4%读作____________，百分之七十二可用“%”表示为______．
（2）（★★☆☆☆）0.0045 化为百分数是______，135%化为小数是______，32.6%化为最简
分数是______．
( )
（3）（★★☆☆☆） ( ) 8 = = 0.125 = ( )%.
( )
例 2
（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小：（在横线上填写适当的“>”、“<”或“=”符号）
7 1 5
（1）35%______ ；（2）0.15______150%；（3） ______0.333；（4）87.5%______ .
20 3 8
157
例 3
（★★★☆☆）计算：
（1） 3 2 3 5 13 50% +1 0.05+ 3 1 + 3.75；
5 3 4 9 3
（ 12）86 21+ 23.3 (2 75%) (1 30%) 28.7 ．
10
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）把 0.02%化为最简分数是______．
( )
（2）（★★☆☆☆） ( ) 16 = = 0.375 = ( )% .
( )
158
练 1-2
（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小：（在横线上填写适当的“>”、“<”或“=”符号）
1 1 5
（1）25%______ ；（2）0.75______0.075%；（3） ______0.14；（4）6.25%______ .
4 7 16
练 1-3
（★★★☆☆）计算： 16 1 412.5% 25% 0.5 + 72.4 6 +172.4 3 ．
25 5 5
知识点 2——百分比的 单应用
知识笔记
1. 是 的百分
甲是乙的百分之几=_______________．
2. 的百分 是
甲的百分之几=___________________．
3. 知 是 的百分
乙=___________________．
159
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）5 吨是 8 吨的_____%，5 吨的 20%是_____吨，_____吨的 30%是 60 吨．
（2）（★★☆☆☆）六（1）班有男生 32 人，女生 28 人.六（2）班人数是六（1）班的 95%，
六（2）班有_______人.
（3）（★★☆☆☆）一本 200 页的书，读了 20%，还剩下______页没读.
例 2
（1）（★★★☆☆）甲数的 40%与乙数的 50%相等，甲数是 120，乙数是______．
（2）（★★★☆☆）果品公司储存一批苹果，售出这批苹果的 30%后，又运来 160 箱，这时
1
比原来储存的苹果多 ，这时有苹果多少箱？
10
例 3
（★★★★☆）小明在假期里给自己定了一个读书计划，计划 3 天读若干页书，第一天完成了
1
计划的 ，第二天完成了计划的 35%，第三天读了 32 页，结果还差计划的 5%没有看完，则
3
小明原来计划 3 天读多少页书？
160
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）一堆沙子，第一次运走 40%。第二次运走 30%，还剩下 48 吨．这堆沙子
有多少吨？
（2）（★★☆☆☆）某学校六年级学生 400 人，其中男生人数有 150 人，六（1）班人数有 42
人，那么六（1）班人数占六年级女生人数的_________.
练 2-2
（1）（★★★☆☆）甲数的 25%是 1.25，乙数是 60 的 20%，乙数是甲数的百分之几？
（2）（★★★☆☆）某厂生产一批模具，其中一车间上半年生产了 4 万个，下半年比上半年
多生产 10%，且该车间全年的产量占到全厂总产量的 25%，则其他车间生产多少个模具？
161
练 2-3
（★★★★☆）张爷爷去世后留给他四个儿子甲、乙、丙、丁一笔遗产，关于这笔遗产如何分
1
配，遗嘱上是这样写的：把他所有财产的 20%给甲， 给乙，给丙的是甲和乙得到总数的
7
62.5%，丁可以得到 31 万元.问：每个儿子各得到多少遗产？
知识点 3—— 的百分
知识笔记
和 用的百分
( )
及格率 = 100% ；
( )
( )
合格率 = 100% ；
( )
( )
出勤率 = 100% ；
( )
“某某”的数量
“某某”率 = “某某”的数量占总的数量的百分之几 = 100% ．
总的数量
162
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）一个面粉厂，用 20 吨小麦能磨出 13000 千克的面粉，小麦的出粉率为
______．
（2）（★★☆☆☆）种______棵树，成活 475 棵，成活率是 95%．
（3）（★★☆☆☆）某班学生参加体育达标测试，一人因病缺席，通过的有 47 人，尚有 2 人
没有通过，该班学生体育达标的通过率是______．
例 2
（★★★☆☆）含盐率 10%的盐水 30 千克，需加入______千克盐后，才能制成含盐率 25%的
盐水．
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）在 100 克水中，加入 25 克盐，这盐水的含盐率是______．
（2）（★★☆☆☆）某班级进行一次测试，其中 2 人请病假未考，29 人良好，16 人优秀，3
人不及格，该班的及格率是______．
（3）（★★☆☆☆）六（2）班在庆祝国庆节举办联欢活动时有 2 人缺席，已知参加表演的
同学有 12 人，占了全班人数的 37.5%，出席率是______．
练 3-2
（★★★☆☆）有含糖 15%的糖水 20 千克和含糖 20%的糖水 30 千克，现将两种糖水混合，
要使其浓度为 10%，需加水多少千克？
163
综合练习
【A组】
练 1
7
（★★☆☆☆）0.42 =______（化为百分数）；156% =______（化为分数）； = ______（化
8
为百分数）．
练 2
（1）（★★☆☆☆）保险公司有员工 120 人，其中男职工是女职工的 50%，这个保险公司有
男职工______人．
（2）（★★☆☆☆）一批化肥先运走 25%，又运走 18 吨，这时还剩 45%没有运，这批化肥
共有______吨．
练 3
4 2 1 15 7 13（★★★☆☆）计算：3 1 1 75% 1.5 + 35 3 ．
7 3 14 16 16 17
练 4
（★★★☆☆）1520 千克的盐水中，含盐率为 25%，要使这些盐水变为含盐率为 50%的盐水，
需蒸发掉多少千克水？
164
练 5
（★★★★☆）右图表示一个班级学生如何来到学校的情况，根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这个班有几名学生是步行到校的？步行到校的人数占全班人数的百分之几？
（2）这个班乘地铁和乘公交来校的学生人数占全班总人数的百分之几？
15
10
5
0
公交车 自行车 步行 地铁 汽车
【B组】
练 1
（★★★★☆）利民粮店原有大米和面粉共 480 袋，卖出大米的 30%，卖出面粉的 40%，还
剩下大米和面粉 308 袋，原有的大米和面粉各多少袋？
练 2
（★★★★☆）爸爸今年 43 岁，女儿今年 11 岁，几年前女儿年龄是爸爸的 20%？
16505 | 分数的加减法
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握分数的加减运算法则
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 掌握真分数、假分数及带分数的分类
知识清单
分 分数加减法
分 数的加减法
分 分数加减法
分 数的加减法
分数
分数
分数、 分数和 分数
分数
分数加减法
61
知识点 1——分数的加减法
知识笔记
1． 分 分数加减法
同分母分数相加减，分母______，分子相加减．
b c
已知分数 、 （ a 0 ， b c ），则：
a a
b c b + c
+ = ．
a a a
b c b c
= ．
a a a
注意：一般地，分数运算的结果用________表示．
2． 分 分数加减法
异分母分数相加减，先______，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算．
经典例题
例 1
（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
1 3 7 4
（1） + = _____ ； （2） = _____ ；
8 8 9 9
17 7 5 11 7
（3） = _____ ； （4） + = _____ ；
25 25 12 12 12
11 13
（5） + 1= _____ ．
20 20
例 2
（1）（★★☆☆☆）计算：
11 1 6 9 5 3 1 14 2 3
① ； ② ； ③ + ； ④ ．
24 16 7 28 6 4 3 15 5 10
62
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中 x 的值：
① 3 9
5 3
x + = ； ② x = ； ③
1 3
x = ．
7 14 6 4 12 8
（3）（★★★☆☆）列式计算：
7 1 2
① 减去 的差再加上 的和是多少？
12 4 3
4 3 1
② 加上 的和再减去 的差是多少？
5 25 10
19 8 8
③ 加上 减去 的差的和是多少？
27 9 27
例 3
3 1
（★★★☆☆）李大厨采购了一批大米，第一周用去 吨，第二周比第一周少用 吨，两周
10 5
1
过后还剩余大米 吨，李大厨采购了多少吨大米？
2
63
巩固练习
练 1-1
（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
2 3 7 5
（1） + = _____ ； （2） = _____ ；
10 10 8 8
19 5 7 13 11
（3） = _____ ； （4） + = _____ ；
24 24 18 18 18
1 25
（5） + 1= _____ ．
26 26
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）计算：
11 1 3 1
① ； ② ；
24 16 4 12
4 7 4 7 5 11
③ + ； ④ + + ．
6 9 9 12 16 24
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中 x 的值：
3 3 3 1 16 1
① x = ； ② x = ； ③ x = ．
2 10 8 6 25 10
64
（3）（★★★☆☆）列式计算：
5 7 1
① 加上 的和，比 大多少？
6 18 4
1 7 1
②某数加上 得 ，求这个数减去 的差．
8 12 4
练 1-3
5 2
（★★★☆☆）小王第一天看了一本书的 ，第二天比第一天多看了这本书的 ，他两天共
28 7
看了这本书的几分之几？
65
知识点 2—— 分数、 分数和 分数
知识笔记
1. 分数
分子比分母____的分数叫做真分数．
2. 分数
分子____________分母的分数叫做假分数．
3. 分数
一个正整数与一个真分数_______所成的数叫做带分数．
带分数是假分数的另一种表达形式．
注意：分数运算的结果如果是假分数，一般用带分数表示．
4. 分数加减法
带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合
并起来．或者将带分数化为假分数再进行加减运算．
经典例题
例 1
1
（1）（★★☆☆☆） 2 化成假分数是（ ）
3
5 4 7 8
A．1 B．1 C． D．
3 3 3 3
19
（2）（★★☆☆☆）分数 介于正整数（ ）之间．
4
A．3 和 4 B．4 和 5 C．5 和 6 D．6 和 7
66
（3）（★★★☆☆）计算：
3 7 4 3 5
①1 + 2 ； ②1 + 2 ； ③ 6 2 ；
11 22 15 10 8
5 1 25 1 1 5 2
④ 3 1 ； ⑤ 2 ； ⑥ 2 + 3 4 ．
12 4 8 6 3 6 9
例 2
1
（★★★☆☆）有 A、B 两个水桶，A 桶中盛的水比 B 桶中的水多 6 升，如果从 A 桶中取出
3
1
2 升水倒入 B 桶，这时 A 桶中的水比 B 桶中的水多多少升？
4
例 3
1 1
（★★★★☆） 表示一种新运算，规定它的含义是： a b = a + 3 b + 2 ，请计算：
2 2
5 1
（1） 4 5 的值；
6 6
4 1 3
（2）10 7 的值.
7 14 28
67
巩固练习
练 2-1
3
（1）（★★☆☆☆）5 化成假分数是（ ）
4
11 17 23 25
A． B． C． D．
4 4 4 4
16
（2）（★★☆☆☆）分数 介于正整数（ ）之间．
3
A．4 和 5 B．5 和 6 C．6 和 7 D．7 和 8
（3）（★★★☆☆）计算：
5 5
① +1 ； ② 3 7 5 1 + 2 ； ③10 5 ；
3 12 4 16 9
④ 4 1 39 1 3 1 15 3 ； ⑤ 2 ； ⑥ 4 + 2 3 ．
15 10 10 4 8 6 4
练 2-2
1 3
（★★★☆☆）一根长是150 厘米的铜管被截成了 3 段，第一段铜管长是 47 厘米，第二段
2 5
809
铜管长是 厘米，第三段铜管长是多少厘米？
20
68
练 2-3
3
（★★★★☆） 表示一种新运算，规定它的含义是： a b = a + (b 2)，请计算：
2
1 1
（1） 3 5 的值；
4 5
7 13 7
（2）1 4 的值.
12 6 18
综合练习
【A组】
练 1
1 1
（1）（★★☆☆☆） 加上 的和是（ ）
4 3
1 2 1 7
A． B． C． D．
7 7 12 12
3 1
（2）（★★☆☆☆）某数减去 的差是 ，这个数是（ ）
4 2
5 3 1 1
A． B． C． D．
4 4 2 4
练 2
（★★☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
4 3
（1）10+ 2 = _____ ； （2）8 4 = _____ ；
9 5
5 1 5 5
（3）1 + 2 = _____ ； （4） 4 = _____ ．
6 2 12 4
69
练 3
（★★★☆☆）解方程：
1 33 1 3 1 1 1
（1） x + 2 = ； （2） x = ； （3）1 + x = 5 2 ．
10 5 2 5 5 8 4
练 4
（★★★☆☆）列式计算：
5 1
（1）8 减去 6 的差，再加上 的和，等于多少？
16 4
22 5 1
（2） 减去 的差与某数相加所得的和是5 ，求这个数.
9 12 3
70
练 5
1 1 5
（1）（★★★☆☆）一根竹竿长是3 米，笔直地插入河底泥中 米，露出水面 米，求河水
2 4 8
的深度.
4 5
（2）（★★★☆☆）某工地上有一堆黄沙，第一次用去 2 吨，第二次比第一次少用 吨，如
5 8
1
果剩下的黄沙比前两天用去的总和多 吨，那么还剩下多少吨黄沙？
5
【B组】
练 1
（★★★★☆）小兰在解题时发现一种规律：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1 ， = ， = ， = ,…
1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5
请根据以上规律解答以下问题：
1 （ ）（ ） 1 （ ）（ ）
（1） = ； = ；
99 100 （ ）（ ）n (n +1) （ ）（ ）
1 1 1 1 1 1 1
（2）计算： + + + + + + ．
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
71
练 2
1 1 1 1
（★★★★☆）根据 = （ n 为正整数），
n (n + 2) 2 n n + 2
1 1 1 1 1
计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 .
15 35 63 99 143
课堂总结
7203 | 公因数和公倍数的应用
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握公因数与公倍数
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决几何类应用题
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决日期类应用题
目标 4 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决剩余问题
目标 5 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决植树问题
知识清单
形 形 小
形 形
应用题 小
公 因数和公倍数的应用 应用题
数
题
数
题
30
知识点 1—— 应用题
知识笔记
1． 形 形 小
长方形拼正方形边长最小：取长、宽的_______________.
小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）
2． 形 形
长方形里裁正方形边长最大：取长、宽的_______________.
小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）
3． 小
长方体拼正方体边长最小：取长、宽、高的_______________.
小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长 ）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大
正方体边长÷小长方体高）
4．
长方体里割正方体边长最大：取长、宽、高的_______________.
小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大
长方体的高÷小正方体边长）
5．
剪绳子平均每段最大长度：取_______________.
条数=绳子总长÷（两条绳子长度的最大公因数）
31
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）一个长方形的长 6 厘米，宽 4 厘米，至少要多少个这样的小长方形才能
拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？
（2）（★★☆☆☆）一个大长方形长 24 厘米，宽 18 厘米，把它裁成若干个小正方形而没有
剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？
例 2
（1）（★★★☆☆）一个长方体的长 6 厘米，宽 4 厘米，高 2 厘米．至少要多少个这样的小
长方体才能拼成一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？
（2）（★★★☆☆）一个大长方体长 24 厘米，宽 18 厘米，高 12 厘米，把它裁成若干个小正
方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小
正方体？
32
例 3
（★★★☆☆）把两根分别长 24 厘米和 18 厘米的彩带，剪成长度一样的短彩带且没有剩余，
最少可以剪成多少根短彩带？
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）把一些长 24 厘米，宽 18 厘米的长方形纸板拼成一个大正方形，至少需要
多少块这样的长方形纸板？
（2）（★★☆☆☆）把一个长 54 厘米，宽 45 厘米的长方形纸板裁成若干块同样大小的正方
形，没有剩余，至少能裁成多少块这样的正方形纸板？
.
33
练 1-2
（1）（★★★☆☆）小新用长 6 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体木块拼最小的正方体模
型，这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？
（2）（★★★☆☆）有一个长方体的长是 60 厘米，宽是 40 厘米，高是 30 厘米，如果要切成
若干同样大的小正方体，小正方体的棱长最长可以是多少厘米？可以切成多少个这样的小正
方体？
练 1-3
（★★★☆☆）两根铁丝分别长 72 米、48 米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩
余，每段最长是多少米？
34
知识点 2—— 应用题
知识笔记
应用题
取每个时间段的________________.
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）一路车 5 分钟发一次车，二路车 6 分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要
多少时间再次同时发车？
例 2
（★★★☆☆）小红 5 天去一次图书馆，小华 3 天去一次图书馆，小明 6 天去一次图书馆，她
们今天同时在图书馆，至少要多少天她们 3 人再次相遇？
35
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）爸爸和妈妈都是公交司机，爸爸每 4 天休息一次，妈妈每 6 天休息一次．今年
2 月 18 日两人同时休息，什么时间又再次同时休息？
练 2-2
（★★★☆☆）1 路、2 路和 5 路车都从东站发车，1 路车每隔 10 分钟发一辆，2 路车每隔
15 分钟发一辆，而 5 路车每隔 20 分钟发一辆．当这三路车同时发车后，至少要过多少分
钟又有这三条线路的车同时发车？
36
知识点 3—— 题
知识笔记
1． 数
余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋________.
2． 数
缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－________.
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）六（3）班做早操，每 6 人一排或每 7 人一排，都能排成整排而没有剩余，六
（3）班至少有多少人？
例 2
（★★★☆☆）六（3）班做早操，每 6 人一排或每 7 人一排，都剩余 3 人，六（3）班至少有
多少人？
37
例 3
（★★★☆☆）六（3）班做早操，每 6 人一排少 3 人，每 7 人一排剩余 4 人，六（3）班至少
有多少人？
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都能正好分完，这包糖至少
有多少块？
练 3-2
（1）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都多 2 块，这包糖至少
有多少块？
38
（2）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都缺 3 块，这包糖至少
有多少块？
练 3-3
（1）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人少 7 块，还是分给 10 个人缺 9 块，都能正好
分完，这包糖至少有多少块？
（2）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人多 5 块，还是分给 10 个人缺 3 块，都能正好
分完，这包糖至少有多少块？
39
知识点 4—— 题
知识笔记
题
（1）两端都栽
棵数=____________=全长÷植树间距+1
全长=植树间距×（棵数-1）
（2）只有一端栽
棵树=_____________=全长÷植树间距
全长=植树间距×棵数
（3）两端都不栽
棵树=_____________=全长÷植树间距-1
全长=植树间距×（棵数+1）
（4）圆形
棵数=_____________=全长÷植物间距
全长=植物间距×棵数
经典例题
例 1
（★★★☆☆）有一段路每 8 米栽一棵树，头尾都栽共栽了 51 棵.如果改成 5 米一棵，至少几
米有一棵不动？共有多少棵不动？
40
例 2
（★★★☆☆）甲乙两地原来每隔 36 米安装一根电线杆，现在改成每隔 54 米安装一根电线
杆.在安装过程中除了两端的两根电线杆不需要移动外，途中还有 14 根不需要移动.那么甲
乙两地相距多少米？
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）小新在一段路的两边栽树，两端都栽，每隔 6 米栽一棵树，一共栽了 51 棵.现
在城市规划决定改为每隔 10 米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？
练 4-2
（★★★☆☆）甲乙两地原来每隔 18 米种一棵树，现在改成每隔 24 米种一棵树，在种树过程
中除了两端的两棵树不需要移动外，途中还有 8 棵不需要移动．那么甲乙两地相距多少米？
41
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）一块砖长 20 厘米，宽 12 厘米，厚 6 厘米．要堆成正方体至少需要这样的砖多
少块？
练 2
（★★★☆☆）一批水果，每箱放 30 个则多 20 个；每箱放 35 个则少 10 个．这批水果至少有
多少个？
练 3
（★★★☆☆）六（3）班的同学买来一些花朵，发现每 3 朵扎一束多 2 朵，如果每 5 朵扎一
束也多 2 朵，六（3）同学买的花大约在 30~60 朵之间.六（3）班同学可能买了多少朵花？
42
练 4
（★★★☆☆）星期五，爸爸妈妈在家休息，妈妈连续工作 6 天休一天，爸爸连续工作 5 天休
一天，下次爸爸妈妈都在家休息应是几天后？
练 5
（★★★☆☆）人民广场上有三条鹅卵石铺成的小路，三条小路的长分别是 36 米、24 米、18
米.要在每条路的两边栽上松树，三条路两边每两棵树之间的距离都相等.每相邻两棵树之间
的最大距离是多少？
【B组】
练 1
（★★★★☆）有一个两位数，除 50 余 2，除 63 余 3，除 73 余 1，求这个两位数是多少？
43
练 2
（★★★★☆）某工厂 111 名工人合作加工一种零件要经过三道工序，第一道工序每个工人每
小时可以完成 3 个，第二道工序每个工人每小时可以完成 12 个，第三道工序每个工人每小
时可以完成 5 个，要使流水线正常生产，各道工序至少安排几个工人最合理？
练 3
（★★★★☆）把 144 分成三个数的和，使这三个数分别能被 2，3，7 整除，而且所得商相
同，那么这三个数各是多少？
课堂总结
4404 | 分数的意义和性质
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解除法和分数之间的关系及分数的意义
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 掌握分数的基本性质
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 利用分数的基本性质对分数进行约分和通分
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 灵活运用分数进行大小比较
知识清单
分 数 的
分 数 的
数 的 分数
分数的 性质
分数的意义和性质 分 数的 性质 分
分数
分
分 数的 分
分 数的
【考情分析】
1．分数的意义和性质属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察分数的基本性质，分数的约分、通分及分数的大小比较，以填空题解答题为主，
占期中总分值的 15%；
3．对应教材：预初上册，第二章：分数，第一节：分数的意义与性质，2.1 分数与除法；2.2
分数的基本性质；2.3 分数的大小比较；
4．分数的意义和性质是初中数学六年级上学期第 2 章第 1 节的内容．通过本讲的学习，我
们需要根据具体的情境理解分数的意义，从而掌握分数的表达方式及分数与除法的关系，进
1
而根据除法的基本性质理解并掌握分数的基本性质，并利用其基本性质对分数进行约分、通
分和比较大小，为后面学习分数的计算打好基础．
课堂引入
【课堂引入】
你还记得分数与除法之间有什么关系吗？
p
【答案】两个正整数 p、q 相除，可以用分数 表示，读作 q 分之 p．
q
知识 1——分数 的
知识笔记
1．分数 的
（1）用文字表示是：
被除数÷除数=_______.
（2）用字母表示是：
两个正整数 p、q 相除，可以用分数_____表示，读作 q 分之 p．
p
即 p q = ，其中 p 为分子，q 为分母．
q
p 3
特别地，当 q =1 时， = p ，例如 3÷1= =3．
q 1
2． 数 的 来 分数
2
用数轴上的点表示分数 就是将数轴上的单位长度_______等分，从_______开始自左
3
2
而右的第______个点表示分数 .
3
【填空答案】
被除数 p
1、（1） （2）
除数 q
2、三、原点、2
2
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）把下列各分数写成两个数相除的式子：
4
① =( ) ( )
7
8
② =( ) ( )
9
11
③ =( ) ( )
3
（2）（★☆☆☆☆）用分数表示下列除法算式的商：
( )
① 4 19 =
( )
( )
②8 13 =
( )
( )
③10 9 =
( )
【配题说明】本题考察了分数与除法的关系
【常规讲解】
被除数
分数与除法的关系：被除数 ÷ 除数= ，
除数
4 8 10
故答案是：（1）①4,7；8,9；11,3；（2） ， ， ．
19 13 9
例 2
（★★☆☆☆）在数轴下方的空格里填上适当的分数．
【配题说明】本题考察了分数的概念及分数在数轴上的表示方法
【常规讲解】
3
1
把单位“1”平均分成三份，从原点向右取 1 份，这个点表示 ，从原点向右
3
5
取 5 份，这个点表示 ．
3
例 3
（1）（★★★☆☆）把一根 3 米长的绳子对折两次后，折叠后的绳子长度是_____米，是原来
绳子长度的_____.
（2）（★★★☆☆）王师傅 4 小时制作了 9 个零件，那么王师傅每小时制作多少个零件？王
师傅制作一个零件需要多少小时？
【配题说明】本题主要考察分数的简单运用
【常规讲解】
1
（1）把一根 3 米长的绳子对折两次，每段长度是原来绳子的 ，所以折叠后的绳子长度是
4
3 3 1
，是原来绳子的 3 =
4 4 4
9 4
（2） 9 4 = （个）， 4 9 = （小时）
4 9
9
答：王师傅每小时制作 个零件，王师傅制作一个零件需要小时.
4
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）把下列各分数写成两个数相除的式子：
3
① =( ) ( )
10
5
② =( ) ( )
32
16
③ =( ) ( )
7
（2）（★☆☆☆☆）用分数表示下列除法算式的商：
( )
① 21 10 =
( )
4
( )
②15 8 =
( )
( )
③12 43 =
( )
【配题说明】本题考察了分数与除法的关系．
【常规讲解】
被除数
除法与分数的关系：被除数 ÷ 除数 = ，故答案是：（1）3÷10；5÷32；16÷7；（2）
除数
21 15 12
； ； ．
10 8 43
练 1-2
2 7
（★★☆☆☆）在数轴上分别画出点 A、B 所表示的数：点 A 表示数 ，点 B 表示数 ．
3 4
【配题说明】本题考察了分数的概念及分数在数轴上的表示方法．
【常规讲解】
2 7
表示 0 到 1 之间平均分成 3 份，取其中的两份； 表示 0 到 1 之间平均分成 4 份，取 7
3 4
份．
练 1-3
（1）（★★★☆☆）把一条 5 米长的绳子对折三次后，折叠后的绳子长度是______米，是原
来绳子长度的______.
（2）（★★★☆☆）一条高速公路的全长是 29 千米，一辆汽车驶完全程用了 20 分钟，这辆
汽车平均每分钟行驶多少千米？平均每行驶 1 千米需要花费多少分钟？
【配题说明】本题考察了分数的应用
【常规讲解】
5
1 1 1 5 5 1
（1）由题意得，对折三次： 5 = ，是原来绳子长度的： 5 = .
2 2 2 8 8 8
5 1
故答案为 ， .
8 8
20
（2） 29 20=1.45 （千米）， 20 29= 分钟.
29
20
答：这辆汽车平均每分钟行驶 1.45 千米，平均每行驶 1 千米需要花费 分钟.
29
知识 2——分数的 性质
知识笔记
1. 分数的 性质
分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相
等．即：__________________（ b 0 ， k 0 ， n 0 ）
2. 分
把一个分数的分子与分母的_________约去的过程，称为约分．
3. 分数
分子和分母________的分数，叫做最简分数．
将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断地约
分，直到分子、分母互素为止．
【填空答案】
a a k a n
1、 = =
b b k b n
2、公因数
3、互素
6
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A、一个分数的分子、分母都加上同一个不为零的数，分数的大小不变
B、一个分数的分子、分母都除以同一个数，分数的大小变
16 16 4 4
C、 = =
25 25 5 5
3
D、分数 的分子加上 6，分母加上 34 以后，分数的值不变
17
（2）（★★★☆☆）一个分数的分子扩大到原来的 4 倍，分母扩大到原来的 2 倍，分数的值
_______2 倍.（填“扩大”或“缩小”）
【配题说明】本题主要考察分数的基本性质
【常规讲解】
（1）分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，分数的大小不变，故 A、B、C
都错；故选 D.
a 4a 2a
（2）设原分数为 ，分子扩大到原来的 4 倍，分母扩大到原来的 2 倍，变为 = ，所
b 2b b
以这个分数扩大到原来的 2 倍，故填“扩大”.
例 2
2 5
（1）（★★★☆☆）写出介于 和 之间，且分母为 48 的最简分数.
3 6
（2）（★★★☆☆）求满足下列条件的分数：
8
①一个分数的分子和分母的和是 221，约分得 ，则原分数是多少？
9
4
②一个分数，分母与分子的差是 8，约分后得 ，试求原分数.
5
③一个最简分数的分子、分母的和是 27，分子比分母小 7，求这个分数.
【配题说明】本题考察了对约分概念的理解
【常规讲解】
2 32 5 40 2 5 35 37
（1） = ， = ，介于 和 之间，且分母为 48 的最简分数有 ， ；
3 48 6 48 3 6 48 48
7
（2）①由题意可设原分数的分子为 8x，分母为 9x，所以 8x+9x=221,x=13.原分数的分子为
104
8×13=104.分母为 9×13=117，所以原分数是 .
117
②由题意可设原分数的分子为 4x，分母为 5x，所以 5x-4x=8,x=8. 原分数的分子为 4×8=32.分
32
母为 5×8=40，所以原分数是 .
40
③由题意可设原分数的分母为 x，分子为 x-7，所以 x+（x-7）=27,x=17.x-7=10,所以这个分数
10
是 .
17
例 3
（★★★★☆）甲、乙两人同时从两地相向而行，5 小时后两人首次相距 1 千米，已知甲每
小时行 4 千米，比乙慢 1 千米，问：此时两人各行了全程的几分之几？
【配题说明】本题考察了分数的简单应用
【常规讲解】
由题意得，甲每小时行 4 千米，比乙慢 1 千米，所以乙每小时行 5 千米，5 小时后两人首次
相距 1 千米，所以全程长：5×4+5×5+1=46 千米，5 小时甲行驶了 20 千米，乙行驶了 25 千
20 10 25
米，所以甲行驶了全程的 20÷46= = ，乙行驶了全程的 25÷46= .
46 23 46
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A、一个分数的分子、分母都加上同一个不为零的数，分数的大小不变
B、一个分数的分子、分母都除以同一个数，分数的大小不变
C、分数的分子和分母都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等
D、分数的分子和分母都减去同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等
（2）（★★★☆☆）分数的分子扩大到原来的 4 倍，分母扩大到原来的 8 倍，分数的值_____.
（填“扩大”或“缩小”）.
【配题说明】本题考察了分数的基本性质
8
【常规讲解】
（1）根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的
分数与原分数的大小相等，故选 C.
a 4a a
（2）设原分数为 ，分子扩大到原来的 4 倍，分母扩大到原来的 8 倍，变为 = ，所
b 8b 2b
以分数的值缩小，故填“缩小”.
练 2-2
1 2
（1）（★★★☆☆）请写出介于 和 之间，且分子为 15 的最简分数.
4 7
（2）（★★★☆☆）求下列各题中符合题意的分数：
1
①一个分数，分子与分母的积是 1000，将它化成最简分数为 ，则原分数是多少？
10
4
②一个分数，分母与分子的和是 81，它的值与 的值相等，试求原分数是多少？
32
③一个最简分数，分子和分母的积是 106，这样的分数是多少？
【配题说明】本题考察了对约分概念的理解
【常规讲解】
1 15 2 15 15 15 15 15
（1） = ， = ，所以可以填 ， ， ， .
4 60 7 52.5 53 56 58 59
10
（2）①由题意可设，分子为 x，分母为 10x，x×10x=1000，x=10，所以原分数是 .
100
81 9
②由题意可设，分子为 4x，分母为 32x，则 4x+32x=81，36x=81， x = = ，所以分子
36 4
9 9 9
4x = 4 = 9，32x = 32 = 72，所以原分数是 .
4 4 72
1 2 53
③106=1×106=2×53，所以最简分数可为 ， ， .
106 53 2
练 2-3
（★★★★☆）公路旁每隔 15 米树立一根电线杆，一条笔直的公路两旁都树立着 26 根电线
杆，小张骑电动自行车从第一根电线杆到第 21 根电线杆所通过的路程是这条公路全长的几
分之几？
【配题说明】本题考察了分数的简单应用
【常规讲解】
9
公路全长 15×（26-1）=375 米，第一根到底 21 根电线杆所通过的路程是 15×（21-1）=300，
300 4
所以是这条公路的：300÷375= = .
375 5
4
答：小张骑电动自行车从第一根电线杆到第 21 根电线杆所通过的路程是这条公路全长的 .
5
知识 3——分数的
知识笔记
1. 分
b d
两个异分母的分数 、 （ a 、c 为常数，且 a c 、a 0 、c 0 ）要化成同分母的分
a c
数，分母必须是 a 和 c 的__________，这个分母叫做公分母．
其中 a 和 c 的最小公倍数，称为______________．
2. 分
将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．
3. 分数的
（1）分母相同而分子不同的分数
分母相同的分数，分子大的分数_________．
（2）分子相同而分母不同的分数
分子相同的分数，分母小的分数_________．
（3）分母不同且分子也不同的分数
①利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小；
②应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小．
【填空答案】
1、公倍数、最小公分母
3、较大、较大
10
经典例题
例 1
7 2 5 5
（1）（★★☆☆☆）将分数 、、、 按从小到大的顺序排列得（ ）
12 3 9 6
5 7 2 5 7 2 5 5
A、 B、
9 12 3 6 12 3 9 6
2 5 7 5 5 2 7 5
C、 D、
3 9 12 6 9 3 12 6
（2）（★★☆☆☆）将“>”或“<”填入括号内：
16 12 8 8
① （ ） ② （ ）
25 25 9 7
【配题说明】本题考察了公分母的概念．
【常规讲解】
7 21 2 24 5 20 5 30 20 21 24 30
（1）12、3、9、6 的最小公分母是 36， = ， = ， = ， = ，所以 ，
12 36 3 36 9 36 6 36 36 36 36 36
5 7 2 5
.故选 A.
9 12 3 6
（2）分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大.
16 12 8 8
所以 （>） ， （<） .
25 25 9 7
例 2
2 4 3
（1）（★★☆☆☆） 、 、 的最小公分母是_______________.
3 15 20
（2）（★★★☆☆）通分：
3 7 1 5
① 和 ； ② 和 ；
10 25 8 12
9 5 1 10 11
③ 和 ； ④ ， 和 .
16 6 2 27 18
a
（3）（★★★☆☆）一个分数 ，其中 4 a 7，8 b 15 ，且 a，b 都是整数，则这个分数的
b
最大值为__________,最小值为__________.
【配题说明】本题考察了通分、分数比较大小及最简分数的概念．
【常规讲解】
11
2 4 3
（1）3,15,20 的最小公倍数是 60，所以 、 、 的最小公分母是 60.
3 15 20
3 15 7 14
（2）①10 和 25 的最小公倍数是 50， = ， = ;
10 50 25 50
1 3 5 10
②8 和 12 的最小公倍数是 24， = ， = ；
8 24 12 24
9 27 5 40
③16 和 6 的最小公倍数是 48， = ， = ；
16 48 6 48
1 27 10 20 11 33
④2,27,18 的最小公倍数是 54， = ， = ， = .
2 54 27 54 18 54
（3）当分母越小分子越大时，分数越大；分母越大分子越小时，分数越小.故分数最大是
6 2 5
b=9,a=6;分数最小是 b=14,a=5.故分数的最大值为 = ，分数的最小值为 .
9 3 14
例 3
7 5 4
（★★★☆☆）打一份文件，小王用了 小时，小李用了 小时，小张用了 小时，小徐用
15 12 9
17
了 小时，四人中工作效率最低的是谁？工作效率最高的是谁？
30
【配题说明】本题主要考察分数比较大小的应用
【常规讲解】
由题意可得
7 84 5 75 4 80 17 102
因为 15，12，9，30 的最小公倍数是 180， = ， = ， = ， = ，且
15 180 12 180 9 180 30 180
75 80 84 102
，故他们四人中工作效率最高是小李，最低的是小徐.
180 180 180 180
巩固练习
练 3-1
3 2 2 7
（1）（★★☆☆☆）将分数 ，，， 按从小到大的顺序排列得（ ）
8 3 7 10
2 3 2 7 3 2 2 7
A、 B、
7 8 3 10 8 7 3 10
2 2 3 7 2 3 7 2
C、 D、
3 7 8 10 7 8 10 3
（2）（★★☆☆☆）将“>”或“<”填入括号内：
12
23 25 8 8
① （ ） ② （ ）
33 33 17 19
【配题说明】本题考察了公分母和最简公分母的概念．
【常规讲解】
（1）几个分数的公分母指他们分母的公倍数，其中最小公倍数即是最小公分母；所以 8,3,7,10
3 315 2 560 2 240 7 588 240 315 560 588
的最小公倍数是 840， = ， = ， = ， = ，所以 ，
8 840 3 840 7 840 10 840 840 840 840 840
2 3 2 7
，故选 A.
7 8 3 10
（2）分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大.
23 25 8 8
所以 （<） ， （>） .
33 33 17 19
练 3-2
3 7 21
（1）（★★☆☆☆） 、 、 的最小公分母是__________.
4 18 24
（2）（★★★☆☆）通分：
1 3 4 5
① 和 ② 和
15 20 21 14
7 11 1 5 7
③ 和 ④ ， 和
12 18 3 8 36
a
（3）（★★★☆☆）一个分数 ，其中 2 a 5，6 b 12 且 a，b 都是整数，则这个分数的最
b
大值为_________，最小值为_________.
【配题说明】本题考察了最小公分母和通分
【常规讲解】
3 7 21
（1）4,18,24 的最小公倍数是 72，所以 、 、 的最小公分母是 72.
4 18 24
1 4 3 9
（2）①15 和 20 的最小公倍数是 60， = ， = ；
15 60 20 60
4 8 5 15
②21 和 14 的最小公倍数是 42， = ， = ；
21 42 14 42
7 21 11 22
③12 和 18 的最小公倍数是 36， = ， = ；
12 36 18 36
1 24 5 45 7 14
④3,8,和 36 的最小公倍数是 72， = ， = ， = .
3 72 8 72 36 72
13
（3）当分母越小分子越大时，分数越大；分母越大分子越小时，分数越小.故分数最大是
4 3
b=7,a=4;分数最小是 b=11,a=3.故分数的最大值为 ，分数的最小值为 .
7 11
练 3-3
（★★★☆☆）四个工人进行加工零件技术竞赛，甲 5 分钟加工 7 个零件，乙 8 分钟加工 10
个零件，丙 4 分钟加工 6 个零件，丁 9 分钟加工 12 个零件，请你为他们裁定出名次.
【配题说明】本题主要考察分数比较大小的应用
【常规讲解】
7 10 5 6 3
甲： 7 5 = （个/分钟），乙：10 8 = = （个/分钟），丙： 6 4 = = ，丁：
5 8 4 4 2
12 4 7 84 5 75 3 90 4 80
12 9 = = ，因为 5,4,2,3 的最小公倍数是 60， = ， = ， = ， = ，
9 3 5 60 4 60 2 60 3 60
90 84 80 75
，所以 3 7 4 5 .
60 60 60 60 2 5 3 4
所以丙是第一名，甲是第二名，丁是第三名，乙是第四名.
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）在括号内填入适当的数：
2 1 1
（1） 是（ ）个 （2）8 个 是（ ）
3 3 5
7
（3） 是 7 个（ ）
10
【配题说明】本题主要考察分数的意义
【常规讲解】
2 1 1 8 7 1
是 2 个 ；8 个 是 ； 是 7 个 .
3 3 5 5 10 10
14
练 2
1
（★★★☆☆）把一个分数的分子扩大到原来的 6 倍，分母缩小为原来的 ，那么（ ）
2
A、分数的值扩大到原来的 6 倍
B、分数的值扩大到原来的 12 倍
1
C、分数的值缩小为原来的
3
D、分数的值不变
【配题说明】本题主要考察分数的基本性质
【常规讲解】
6a 12a
a 1 =
设原分数为 ，分子扩大到原来的 6 倍，分母扩大到原来的 倍，变为 1 b ，所以分
b 2 b
2
数的值扩大到原来的 12 倍，故选 B.
练 3
（★★★☆☆）解答：
（1）写出所有分母是 9，且分子小于分母的最简分数；
27
（2）把分数 化成分母为 56 且与原分数大小相等的分数；
42
27
（3）与分数 相等，且分子小于 48 的分数有多少个，你能一一写出来吗？
36
【配题说明】本题主要考察分数的约分、通分及分数的大小比较
【常规讲解】
1 2 4 5 7 8
（1） ，，，，， ；
9 9 9 9 9 9
27 9 9 4 36
（2） = = = ；
42 14 14 4 56
27 3 3 6 9 12 15 18 21 24 30 33 36 39 42 45
（3） = ， = = = = = = = = = = = = = ，所以有 14
36 4 4 8 12 16 20 24 28 32 40 44 48 52 56 60
3 6 9 12 15 18 21 24 30 33 36 39 42 45
个，分别是 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
4 8 12 16 20 24 28 32 40 44 48 52 56 60
15
练 4
（★★★☆☆）根据下列条件解题：
（1）小明做了 20 个纸飞机，共用了 6 分钟，那么他平均多少分钟做一个纸飞机？（结果用
分数表示）
7
（2）数学课上高老师让小张、小李、小王三位同学各自用三种不同的方法把 扩大到原来
16
分数的 4 倍，这三位同学很快就写出了，你能写出几种呢？请你试一试？
3 8
（3）是否存在分母为 72 且介于 与 之间的分数？如果存在，请你求出所有符合条件的分
4 9
数？
【配题说明】本题主要考察分数的约分、通分及分数的大小比较
【常规讲解】
6 3
（1）由题意得，小明做 20 个纸飞机，共用了 6 分钟，所以做一个纸飞机需要：6 20 = = ；
20 10
7 7 4 28 7 7 7 7 2 14 7
（2）把 扩大到原来的 4 倍，方法有 = = ； = ； = = 等.
16 16 16 4 16 4 4 16 2 8 4
3 54 8 64 3 8 55 56 57 58 59 60 61 62 63
（3）因为 = ， = ，所以介于 与 之间的分数有 ， ， ， ， ， ， ， ， .
4 72 9 72 4 9 72 72 72 72 72 72 72 72 72
【B组】
练 1
（★★★★☆）一个最简分数，它的分子与分母的积是 150，这个最简真分数可能是哪个分数？
【配题说明】本题考察了分数基本性质的运用，综合性较强，注意对题意的理解．
【常规讲解】
1 2 3 6
因为150 =1 150 = 2 75 = 3 50 = 6 25 ，所以这个最简真分数可能是 ， ， ， .
150 75 50 25
练 2
（★★★★☆）一份工作，甲单独完成要 12 天，乙单独完成要 10 天，两人各做了 5 天，各完
成了全部工作的几分之几？谁完成得多？
【配题说明】本题主要考察分数的应用题型
16
【常规讲解】
1 5 1 1 5 1
甲： 5 = ，乙： 5 = ，因为 ，所以乙完成得多.
12 12 10 2 12 2
5 1
答：甲完成了全部工作的 ，乙完成了全部工作的 ，乙完成得多.
12 2
练 3
3 2+1 4 3+1 5 4 +1 6 5+1
（★★★★☆）已知 = ， = ， = ， = .
2 1+1 3 2+1 4 3+1 5 4 +1
3 4 5 6
（1）请将 ，，， 由小到大用“<”符号排列起来；
2 3 4 5
n +1 n + 2 n + 3
（2）从中可以发现规律为 ___________ ___________ (填入“<”、“=”或“>”，
n n +1 n + 2
其中 n 为正整数）；
2000 20000 1999 19999
（3）大小比较： ____ ， ____ .
1999 19999 2000 20000
【配题说明】本题主要是找规律题型
【常规讲解】
（1）同分子分数比较大小，分母越大，分数越小；分母越小，分数越大.
3 1 4 1 5 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 3
因为 =1 ， =1 ， =1 ， =1 ，所以 ，1 1 1 1 ， .
2 2 3 3 4 4 5 5 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2
n +1 n + 2 n + 3
（2）
n n +1 n + 2
2000 1 20000 1 1 1 1 1 2000 20000
（3）因为 =1 ， =1 ， ，所以1 1 ， ,
1999 1999 19999 19999 1999 19999 1999 19999 1999 19999
1999 19999
.
2000 20000
课堂总结
1706 | 分数的乘除法
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握分数乘法的运算法则
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握分数除法的运算法则
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 利用运算律解决实际问题
知识清单
分 数 分数 乘
分数的乘法 数 分数 乘
分数乘法的
分 数的乘除法
数
分数的除法 分数除法的 法
分 数除法的
【考情分析】
1．分数的乘除法属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察分数的乘法及除法运算，以解答题为主，占期末总分值的 15%；
3．对应教材：预初上册，第二章：分数，第二节：分数的运算，2.5 分数的乘法；2.6 分数
的除法；
4．分数的乘法和分数的除法是六年级数学上学期第二章第 2 节“分数的运算”中的的内容，
重点是理解倒数的意义，掌握分数的乘法和分数的除法的运算法则，熟练分数乘除法的运算，
并学会简单的分数乘除法的应用，难点是相关的简便运算，同学们一定要多多练习．
1
课堂引入
【课堂引入】
8 3
你知道 的值吗？
9 2
8 3 4
【答案】 = .
9 2 3
知识点 1——分数的乘法
知识笔记
1．分数 分数 乘
两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母．即：
____________________.
2． 数 分数 乘
整数与分数相乘，整数与分数分子的积作积的分子，分母不变．即：
____________________.
3．分数乘法的
m
整数 a 的 可列式为：____________________.
n
p m
分数 的 可列式为：____________________.
q n
【填空答案】
p m p m
1、 = （ q 0 ， n 0 ）
q n q n
m a m
2、 a = （ n 0 ）
n n
m p m
3、 a （ n 0 ）； （ q 0 ， n 0 ）
n q n
2
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
2 4 2 3
① = ______ ② = ______
9 5 5 4
11 3
③ 6 = ______ ④ 12 = ______
24 4
（2）（★★☆☆☆）计算：
13 19 1 1 4 24 3 2 1
① ② 3 1 ③ 6 ④ 1 3
38 26 3 5 9 29 20 3 2
【配题说明】本题主要考察分数的乘法运算
【常规讲解】
2 4 8 2 3 3
（ ）① = ；② = ；③ 11 11
3
1 6 = ；④ 12 = 9 .
9 5 45 5 4 10 24 4 4
13 19 1 1 1 10 6 4 24 58 24 16
（2）① = ;② 3 1 = = 4 ；③ 6 = = ；
38 26 4 3 5 3 5 9 29 9 29 3
3 2 1 3 5 7 7
④ 1 3 = = .
20 3 2 20 3 2 8
例 2
（1）（★★☆☆☆）填空：
12 3 2
① 米的 是________米 ②6 千克的 是________千克
5 4 15
2 3 3 2
③ 米的 是________米 ④ 升的 是________毫升
15 4 10 3
7
（2）（★★☆☆☆）新星小学有学生 1050 人，其中男生占全校人数的 ，则该校有女生多
15
少人？
4 3
（3）（★★★☆☆）已知 a = b = 2 c ，并且 a，b，c 都不等于 0，请把 a，b，c 三个数
3 4
按从小到大的顺序排列.
【配题说明】本题考查分数乘法的基础应用
【常规讲解】
3
12 3 9 2 4 2 3 1 3 2 1
（1）① = （米）；② 6 = （千克）；③ = （米）；④ = （升），
5 4 5 15 5 15 4 10 10 3 5
1
升=200毫升 .
5
7
（2）由题意得：男生人数有：1050 = 490（人），所以女生人数有：1050-490=560（人）.
15
答：该校有女生 560 人.
4 3
（3）因为 2 ， a，b，c 都不等于 0，所以 c a b .
3 4
例 3
2
（★★★☆☆）一个皮球从高处自由落下，每次接触地面弹起的高度是前一次高度的 ，如果
5
这个皮球从 35 米高处落下，那么第二次弹起的高度是多少米？
【配题说明】本题主要考查分数运算的应用．
【常规讲解】
2 2 28
第一次弹起的高度是35 =14 （米），第二次弹起的高度是14 = （米）
5 5 5
28
答：第二次弹起的高度是 米.
5
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
4 15 2 3 5 4
① = ______ ② = ______ ③12 = ______ ④ 5 = ______
5 26 21 8 6 25
（2）（★★☆☆☆）计算：
11 17 2 1 1 5 1 4
① ② 4 1 ③ 3 5 ④ 2 7
85 121 3 2 2 21 7 25
【配题说明】本题主要考察分数的乘法运算
【常规讲解】
4 15 6 2 3 1 5 4 4
（1）① = ;② = ;③12 =10 ;④ 5 =
5 26 13 21 8 28 6 25 5
4
11 17 1 2 1 14 3 1 5 7 110 55
（2）① = ;② 4 1 = = 7 ;③3 5 = = ;
85 121 55 3 2 3 2 2 21 2 21 3
1 4 15 4 12
④ 2 7 = 7 =
7 25 7 25 5
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）填空：
3 2 3
① 米的 是______米 ②2 升的 是 升
8 3 4
2 7 3 3
③ 2 小时的 是______分钟 ④ 千克的 是______克
5 24 5 5
1
（2）（★★☆☆☆）文兴中学有教师 125 人，其中男教师占教师人数 ，则该校有女教师____
5
人？
2 1
（3）（★★★☆☆）已知 a 1 = b = 3 c ，并且 a，b，c 都不等于 0，请把 a，b，c 三个数
5 3
按从小到大的顺序排列.
【配题说明】本题考察分数运算的应用
【常规讲解】
3 2 1 3 3 2 7 7 7
（1）① = （米）;② 2 = （升）;③ 2 = （小时）， 小时=42分钟 ;
8 3 4 4 2 5 24 10 10
3 3 9 9
④ = （千克）； 千克=360克 .
5 5 25 25
1
（2）由题意得：男教师有：125 = 25人，女教师有：125-25=100 人.
5
2 1
（3）因为 3 1 ， a，b，c 都不等于 0，所以 c a b .
5 3
练 1-3
1 3
（★★★☆☆）一根绳子每次对折后的长度是前一次长度的 ，那么一根1 米长的绳子第三
2 5
次对折后的长度是多少米？
【配题说明】本题主要考查分数运算的应用．
【常规讲解】
3 1 1 1 1
由题意得：1 = （米）
5 2 2 2 5
5
1
答：三次对折后的长度是 米.
5
知识点 2——分数的除法
知识笔记
1. 数
1 除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数．
p
a 的倒数是______（ a 0 ）， 的倒数是______（ p 0 ， q 0 ）．
q
互为倒数的两个数的乘积是 1．
2. 分数除法的 法
甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数．用字母表示就是：
_____________________（ n 0 ， p 0 ， q 0 ）
3. 分数除法的
m m
已知某数的 等于 a ，则：某数 = a ．
n n
【填空答案】
1 q
1、 ;
a p
m p m q
2、 =
n q n p
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）下列说法中正确的有（ ）个.
①任何数都有倒数；
6
②如果两个数互为倒数，那么它们的乘积一定是 1；
③任何数的倒数都小于它本身.
A、0 B、1 C、2 D、3
5
（2）（★★☆☆☆）某数的倒数是 ，这个数与 25 的积是多少？
12
【配题说明】本题主要考查
【常规讲解】
（1）①0 没有倒数，错;
②如果两个数互为倒数，那么它们的乘积一定是 1，正确；
3 4
③ 的倒数是 ，故错；
4 3
故本题应选 B.
5 12 12
（2）因为某数的倒数是 ，所以这个数是 ， 25 = 60 .
12 5 5
例 2
（1）（★★★☆☆）计算：
12 4 2 2 3
① 72 ②16 ③ 1
11 25 3 7 14
2 8 1
④ 6 4 14 ⑤ 99
7 9 99
（2）（★★★☆☆）解方程：
9 8 6 4 2 2
① 3x = ② x = ③ x =
22 15 25 5 3 3
【配题说明】本题主要考查分数除法的基础应用．
【常规讲解】
12 12 1 1
72 = = 4 25（1）① ；②16 =16 =100 ；
11 11 72 66 25 4
2 2 3 2 9 14 2 7 1 1
③ 1 = = 4；④ 6 4 14 = 6 =
3 7 14 3 7 3 7 30 14 10
8 1 1 1 1
⑤ 99 = 100 = 100 99 = 9900 11= 9889
9 99 9 99 9
9 9 9 1 3 8 6 6 8 6 15 9
（2）①3x = ，x = 3= = ;② x = ，x = = = ;
22 22 22 3 22 15 25 25 15 25 8 20
4 2 2 2 2 2 2
③ x = ， x = ，x = = 5
5 3 3 15 3 3 15
7
例 3
3 3
（1）（★★★☆☆）已知甲数的 是 84，乙数是 84 的 ，那么乙数是甲数的几分之几？
4 4
3
（2）（★★★★☆）小明将一本小说书分两天看完，第一天看了 150 页，占整本书的 ，这本
4
书共有多少页？小明第二天看了多少页书？
1 1
（3）（★★★★☆）果园里有梨树 150 棵，比桃数少 ，苹果树比桃树多 ，果园里有苹果树
3 5
多少棵？
【配题说明】本题主要是利用分数的除法解决实际问题．
【常规讲解】
3 4 3
（1）由题意得：甲数是 84 = 84 =112 ，乙数是 84 = 63 ，所以乙数是甲数的
4 3 4
63 9
63 112 = = .
112 16
3
（2）150 = 200 页，第二天看了 200-150=50 页
4
答：这本书共有 200 页，小明第二天看了 50 页书．
1 1
（3）桃树有150 1 = 225 棵，苹果树有 225 1+ = 270 棵
3 5
答：果园里有苹果树 270 棵.
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列说法中正确的有（ ）个
①每个整数都有倒数；
②如果两个数的乘积是 1，那么它们互为倒数；
③一个假分数的倒数一定是一个真分数.
A、0 B、1 C、2 D、3
7 5
（2）（★★☆☆☆）1 减去 的差的倒数是多少？
48 6
【配题说明】本题主要考查分数乘除混合运算
【常规讲解】
8
（1）①0 没有倒数；②对；③错，故选 B.
7 5 5 5 16
（2）1 = ， 的倒数是 ．
48 6 16 16 5
练 2-2
（1）（★★★☆☆）计算：
5 1
① ② 1
1 1 5
17 2 ③ 3 2 1
8 5 8 5 3 9
3 2 367
④ 32 2 ⑤ 367 367
4 3 541
（2）（★★★☆☆）解方程：
6 12 3 3 1 1①8x = ② x = ③ + x =
23 25 5 4 2 20
【配题说明】本题主要考查分数除法的计算
【常规讲解】
5 1 25 1 17
（1）① = ;②17 2 =17 = 8 ;
8 5 8 8 8
1 1 5 16 7 9 24 3 2 4 3
③ 3 2 1 = = ;④32 2 = 32 =16 ;
5 3 9 5 3 14 5 4 3 3 8
367 367 1 542 541
⑤ 367 367 = 367 367 + = 367 367 1+ = 367 367 = .
541 541 541 541 542
6 6 3 12 3 3 12 5
（2）①8x = ，x = 8 = ;② x = ，x = = ;
23 23 92 25 5 5 25 4
3 1 1 5 1 1 5 1
③ + x = ， x = ，x = =
4 2 20 4 20 20 4 25
练 2-3
5 5
（1）（★★★☆☆）已知甲数的 是 30，乙数是 40 的 ，那么甲、乙两数的和是多少？
6 8
2
（2）（★★★★☆）小明在图书馆借了本小说书，第一天看了 120 页，第二天看了全书的 ，
5
恰好看完，第二天比第一天少看了多少页？
（3）（★★★★☆）李明是个集邮爱好者，他除了从自己的私人信件中收集邮票外，他收集
的邮票大多是从市场购买的，也有些是朋友们赠送的。他从市场上购买的邮票有 200 枚，朋
2 3
友们赠送的邮票占他收集的邮票总数的 ，比他在市场上购买的少 ，请问：朋友们赠送给
9 5
李明多少枚邮票？李明共收集了多少枚邮票？
9
【配题说明】本题考查分数运算的应用．
【常规讲解】
5 6 5
（1）由题意得：甲数是 30 = 30 = 36 ，乙数是 40 = 25 ，所以甲乙两数的和是
6 5 8
36+25=61.
2 3 3
（2）由题意得：第一天看了全书的1 = 页，所以这本共有：120 = 200 ，第二天看了
5 5 5
200-120=80 页，所以第二天比第一天少看了 120-80=40 页
答：小明第二天比第一天少看了 40 页书．
3 2
（3） 200 1 = 80 （枚），80 = 360 （枚）
5 9
答：朋友们赠送给李明 80 枚邮票，李明共收集了 360 枚邮票.
综合练习
【A组】
练 1
2
（1）（★★☆☆☆）5 个 的和是（ ）
15
2 4 4 8
A、 B、 C、 D、
3 3 15 15
7 1 2
（2）（★★★☆☆）一瓶油重 千克，第一次用去 ，第二次用去第一次的 ，第二次用去
9 4 3
了一瓶油的几分之几？列式正确的是（ ）
7 1 7 2 7 1 2 1 2
A、 B、 C、 D、
9 4 9 3 9 4 3 4 3
【配题说明】本题考察分数乘法的应用
【常规讲解】
2 2
（1） 5 = ，故选 A.
15 3
（2）由题意可得，本题选 C.
练 2
（1）（★★★☆☆）在下面的括号内填上适当的数，使等式成立：
10
① 4
4 1
3 ( ) =1 ②
3
1 ( ) = ③ ( ) =1 ( ) =1
7 10 13 2
3 1
（2）（★★★☆☆）已知 a、b 两数互为倒数，a 与 c 的和为 4 ，a 减去 d 的差是1 ，若 d=3，
5 2
求 a、b、c 的值.
【配题说明】本题主要是对倒数概念及性质的考查．
【常规讲解】
（ ）① 4 25 4 7 10 3
4 13 1 2
1 3 = ，3 ( ) =1；②1 ( ) = ；③ ( ) =1 ( ) =1
7 7 7 25 3 10 13 4 2 3
3 1
（2）因为 a、b 两数互为倒数，所以 ab=1； a + c = 4 ，a d =1 ；
5 2
1 9
因为 = ，所以 a 3=1 ，a = ，即 2d 3 b = ；
2 2 9
9 3 3 9 23 9 46 45 1
+ c = 4 ，c = 4 = = =
2 5 5 2 5 2 10 10 10
故 9 2 1a = ，b = ，c = .
2 9 10
练 3
（★★★☆☆）计算：
23 3 3 1 15 7
（1） （2）8 1 （3） 4 12
24 8 5 2 18 9
8 1 1 8 3 15 13
（4）1 3 1 （5）12 5 （6） 6 2
15 45 3 9 8 17 16
【配题说明】本题考查分数乘除法的混合运算
【常规讲解】
23 3 23 3 1 3 2 16
（1） = ；（2）8 1 = 8 = ；
24 8 64 5 2 5 3 5
15 7 87 9 1 29
（3） 4 12 = = ；
18 9 18 7 12 56
8 1 23 45 9
（4）1 3 1 = 3 = ；
15 45 15 46 2
1 8 3 8
（5）12 5 =12 = 2
3 9 16 9
3 15 13 51 15 16
（6） 6 2 = = 2
8 17 16 8 17 45
11
练 4
7 6
（1）（★★★☆☆）水果店运来 120 千克苹果，第一天卖了 ，第二天卖了第一天的 ，问：
20 7
第二天卖了多少千克苹果？
1
（2）（★★★☆☆）两台机器生产同一种零件.第一台 小时生产 20 个零件，第二台每小时
3
生产 80 个零件，第一台机器每小时生产多少个零件？两台机器同时生产 98 个零件需要几
小时？
【配题说明】本题主要考察分数的应用
【常规讲解】
7 6 6
（1）第一天卖了120 = 42 千克，第二天卖了第一天的 ， 42 = 36 千克
20 7 7
答：第二天卖了 36 千克苹果
1 1
（2）因为第一台 小时生产 20 个零件，所以 1 小时生产 20 = 60 个，
3 3
98 7
98 (60+80) = 98 140 = = 小时
140 10
7
答：第一台机器每小时生产 60 个零件，两台机器同时生产 98 个零件需要 小时.
10
【B组】
练 1
1
1+
（★★★★☆）计算： 12 +
1
3+
2
【配题说明】本题主要考察分数的计算
【常规讲解】
1 1 1 1 7 23
1+ =1+ =1+ =1+ =1+ =
1 1 2 16 16 16
2 + 2 + 2 +
1 7 7 7
3+
2 2
12
练 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2
（★★★★☆）计算：
3 4 99 100
1 1 1 1 1
1+ 1+ 1+ 1+ 1+
2 3 4 99 100
【配题说明】本题主要考察学生的能力.
【常规讲解】
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 3 4 99 100
1 1 1 1 1
1+ 1+ 1+ 1+ 1+
2 3 4 99 100
1 2 3 98 99
= 2 3 4 99 100
3 4 5 100 101
2 3 4 99 100
1 2 3 98 99
=
3 4 5 100 101
1 2
=
100 101
1
=
5050
练 3
19191919 19 1919
（★★★★☆） +
97979797 97 9797
【配题说明】在一些分数的计算题中，注意巧算思想的运用．
【常规讲解】
19191919 19 1919
+
97979797 97 9797
19 1010101 19 19
= +
97 1010101 97 97
1
=
2
1312 | 百分比及其应用（一）
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解百分比的意义及运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握百分比的简单应用
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握常见的百分率
知识清单
百 分比
百 分比 及
百分 分
百分比及其
百分
应用（一） 百分比 单应用 百分
知 百分
百分 用 百分
【考情分析】
1．百分比及其应用属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察百分比的概念及应用，以填选题为主，占中考总分值的 5%；
3．对应教材：预初上册，第三章：比和比例，第二节：百分比，3.4 百分比的意义；3.5 百
分比的应用
4．百分比是初中数学六年级上学期第三章第 2 节的内容．本讲的重点是理解百分比的意义，
认识百分比的表示方法，熟练掌握百分数与小数、分数之间的互化，并运用于运算中，难点
是百分比的简单应用和常见百分率．
1
课堂引入
【课堂引入】
13
化成百分数是多少？
20
13
【答案】 = 0.65 = 65%
20
知识点 1——百分比 及
知识笔记
1．百分比
n
把两个数量的比值写成 的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，记作
100
________，读作百分之 n．符号“%”叫做百分号．
42 125
例如：42%就是 ，读作百分之四十二；125%就是 ，读作百分之一百二十五．
100 100
2．百分 分
混合运算时，先将百分数化为________________，再进行计算．
【填空答案】
（1）n%
（2）小数或分数
2
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）3.4%读作____________，百分之七十二可用“%”表示为______．
（2）（★★☆☆☆）0.0045 化为百分数是______，135%化为小数是______，32.6%化为最简
分数是______．
( )
（3）（★★☆☆☆） ( ) 8 = = 0.125 = ( )%.
( )
【配题说明】考察百分数的读法、写法及小数、百分数和分数的互化
【常规讲解】
（1）百分之三点四，72%．
326 163 163
（2） 32.6% = = ，故答案为 0.45%，1.35， ．
1000 500 500
1
（3）1 8 = = 0.125 =12.5% .
8
例 2
（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小：（在横线上填写适当的“>”、“<”或“=”符号）
7 1 5
（1）35%______ （2）0.15______150% （3） ______0.333 （4）87.5%______
20 3 8
【配题说明】考察百分数，分数及小数的转化．
【常规讲解】
7
（1）35%=0.35， = 0.35 ，故填“=”
20
（2）150%=1.5，故填“<”
1
（3） = 0.3 ，故填“>”
3
5
（4）87.5%=0.875， = 0.625，故填“>”
8
例 3
（★★★☆☆）计算：
3 2 3 5 1
（1） 3 50% +1 0.05+ 3 1 + 3.75．
5 3 4 9 3
3
（ 12）86 21+ 23.3 (2 75%) (1 30%) 28.7 ．
10
【配题说明】考察分数、百分数和小数的混合运算．
【常规讲解】
32 3 8 8
（1） 3.6 2 1.5+1.75 0.05+ + 3.75 =10.8+ 0.0875+ + 3.75 =14.6375+
9 4 3 3
1171 8 4153 73
= + = =17
80 3 240 240
（2）原式=86.1 21+ 23.3 (2 0.75) (1 0.3) 28.7 = 4.1+ 29.125 20.09 =13.135 ．
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）把 0.02%化为最简分数是______．
( )
（2）（★★☆☆☆） ( ) 16 = = 0.375 = ( )% .
( )
【配题说明】考察将百分数化成分数的方法．
【常规讲解】
0.02 1
（1） 0.02% = =
100 5000
（2） 36 16 = = 0.375 = 37.5%
8
练 1-2
（★★☆☆☆）比较下列各组数的大小：（在横线上填写适当的“>”、“<”或“=”符号）
1 1 5
（1）25%______ （2）0.75______0.075% （3） ______0.14 （4）6.25%______
4 7 16
【配题说明】考察百分数，分数及小数的转化．
【常规讲解】
1
（1）25%=0.25， = 0.25，故填“=”
4
（2）0.075%=0.00075，故填“>”
4
1
（3） = 0.142857 ，故填“>”
7
5
（4）6.25%=0.0625， = 0.3125 ，故填“<”
16
练 1-3
（★★★☆☆）计算： 16 1 412.5% 25% 0.5 + 72.4 6 +172.4 3 ．
25 5 5
【配题说明】考察分数、百分数和小数的混合运算
【常规讲解】
16 1 4
12.5% 25% 0.5 + 72.4 6 +172.4 3
25 5 5
12.5 1 1 16
= + 72.4 6.2+172.4 3.8
100 4 2 25
= 0.01+ 448.88+ 655.12
=1104.01．
知识点 2——百分比 单应用
知识笔记
1. 百分
甲是乙的百分之几=_______________．
2. 百分
甲的百分之几=___________________．
3. 知 百分
乙=___________________．
【填空答案】
甲
1、 100%
乙
2、甲 百分之几
5
3、甲 百分之几
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）5 吨是 8 吨的_____%，5 吨的 20%是_____吨，_____吨的 30%是 60 吨．
（2）（★★☆☆☆）六（1）班有男生 32 人，女生 28 人.六（2）班人数是六（1）班的 95%，
六（2）班有_______人.
（3）（★★☆☆☆）一本 200 页的书，读了 20%，还剩下______页没读.
【配题说明】考察求一个数的百分之几是多少的运用．
【常规讲解】
5
（1） 100% = 62.5%，5 20% =1 ， 60 20% = 300，故答案为 62.5，1，200．
8
（2） (32 + 28) 95% = 60 0.95 = 57 （人）．
（3） 200 (1 20%) =160 （页）．
例 2
（1）（★★★☆☆）甲数的 40%与乙数的 50%相等，甲数是 120，乙数是______．
（2）（★★★☆☆）果品公司储存一批苹果，售出这批苹果的 30%后，又运来 160 箱，这时
1
比原来储存的苹果多 ，这时有苹果多少箱？
10
【配题说明】考察百分数的简单应用
【常规讲解】
（1）120 40% 50% = 96 ．
1 1
（2）160 (30% + ) = 400 ， 400 (1+ ) = 440 （箱），
10 10
即这时有苹果 440 箱．
6
例 3
（★★★★☆）小明在假期里给自己定了一个读书计划，计划 3 天读若干页书，第一天完成了
1
计划的 ，第二天完成了计划的 35%，第三天读了 32 页，结果还差计划的 5%没有看完，则
3
小明原来计划 3 天读多少页书？
【配题说明】考察百分比的应用
【常规讲解】
设小明原计划 3 天读 x 页.
1
由题意得 x + 35%x + 32+ 5%x = x, x =120
3
答：小明原来计划 3 天读 120 页书.
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）一堆沙子，第一次运走 40%。第二次运走 30%，还剩下 48 吨．这堆沙子
有多少吨？
（2）（★★☆☆☆）某学校六年级学生 400 人，其中男生人数有 150 人，六（1）班人数有 42
人，那么六（1）班人数占六年级女生人数的_________.
【配题说明】考察已知一个数的百分数是多少，求这个数的运用．
【常规讲解】
（1） 48 (1 40% 30%) =160 （吨）．
42
（2） = 0.168 =16.8% ．
400 150
练 2-2
（1）（★★★☆☆）甲数的 25%是 1.25，乙数是 60 的 20%，乙数是甲数的百分之几？
（2）（★★★☆☆）某厂生产一批模具，其中一车间上半年生产了 4 万个，下半年比上半年
多生产 10%，且该车间全年的产量占到全厂总产量的 25%，则其他车间生产多少个模具？
7
【配题说明】考察百分数的简单应用．
60 20%
（1） 100% = 240%．
1.25 25%
（2）下半年为 4×（1+10%）=4.4 万个
全年为 4+4.4=8.4 万个
全厂为 8.4÷25%=33.6 万个
其他车间生产 33.6-8.4=25.2 万个.
练 2-3
（★★★★☆）张爷爷去世后留给他四个儿子甲、乙、丙、丁一笔遗产，关于这笔遗产如何分
1
配，遗嘱上是这样写的：把他所有财产的 20%给甲， 给乙，给丙的是甲和乙得到总数的
7
62.5%，丁可以得到 31 万元.问：每个儿子各得到多少遗产？
【配题说明】考察百分比的应用
【常规讲解】
设这笔遗产一共有 x 万元，则
1 1
20%x + x + 62.5%(20%x + x) + 31= x
7 7
解得 x = 70
20%x = 20% 70 =14 万元
1 1
x = 70 =10 万元
7 7
1 5
62.5%(20%x + x) = (14+10) =15 万元
7 8
答：甲得到 14 万元，乙得到 10 万元，丙得到 15 万元，丁得到 31 万元.
8
知识点 3—— 百分
知识笔记
用 百分
( )
及格率 = 100% ；
( )
( )
合格率 = 100% ；
( )
( )
出勤率 = 100% ；
( )
“某某”的数量
“某某”率 = “某某”的数量占总的数量的百分之几 = 100% ．
总的数量
【填空答案】
及格人数 ； 合格产品数 ； 实际出勤人数
总人数 产品总数 应该出勤的人数
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）一个面粉厂，用 20 吨小麦能磨出 13000 千克的面粉，小麦的出粉率为
______．
（2）（★★☆☆☆）种______棵树，成活 475 棵，成活率是 95%．
（3）（★★☆☆☆）某班学生参加体育达标测试，一人因病缺席，通过的有 47 人，尚有 2 人
没有通过，该班学生体育达标的通过率是______．
【配题说明】考察百分率的应用题
【常规讲解】
13000
（1） 1000 100% = 65% ．
20
（2） 475 95% = 500 （棵）．
47
（3） 100% = 94%
1+ 47 + 2
9
例 2
（★★★☆☆）含盐率 10%的盐水 30 千克，需加入______千克盐后，才能制成含盐率 25%的
盐水．
【配题说明】考察含盐率的问题，注意盐的变化会引起盐水的变化
【常规讲解】
30 10%+ x
设需要加入 x 千克盐， 100% = 25% ，解得： x = 6 ．
30+ x
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）在 100 克水中，加入 25 克盐，这盐水的含盐率是______．
（2）（★★☆☆☆）某班级进行一次测试，其中 2 人请病假未考，29 人良好，16 人优秀，3
人不及格，该班的及格率是______．
（3）（★★☆☆☆）六（2）班在庆祝国庆节举办联欢活动时有 2 人缺席，已知参加表演的
同学有 12 人，占了全班人数的 37.5%，出席率是______．
【配题说明】考察百分率的应用题
【常规讲解】
25
（1） 100% = 20% ．
100 + 25
29+16
（2） 100% = 90% ．
2+ 29+16+ 3
32 2
（3）全班人数为：12 37.5% = 32 ，出席率为： 100% = 93.75% ．
32
练 3-2
（★★★☆☆）有含糖 15%的糖水 20 千克和含糖 20%的糖水 30 千克，现将两种糖水混合，
要使其浓度为 10%，需加水多少千克？
【配题说明】考察与浓度相关的计算．
【常规讲解】
(20 15% + 30 20%) 10% 20 30 = 40 （千克）．
10
综 练习
【A组】
练 1
7
（★★☆☆☆）0.42 =______（化为百分数）；156% =______（化为分数）； = ______（化
8
为百分数）．
【配题说明】考察小数、分数和百分数的互化．
【常规讲解】
156 39 39
156% = = ，故答案 42%， ，87.5%．
100 25 25
练 2
（1）（★★☆☆☆）保险公司有员工 120 人，其中男职工是女职工的 50%，这个保险公司有
男职工______人．
（2）（★★☆☆☆）一批化肥先运走 25%，又运走 18 吨，这时还剩 45%没有运，这批化肥
共有______吨．
【配题说明】考察百分数的应用
【常规讲解】
1
（1）男女职工人数比为 1:2，男职工人数为：120 = 40 （人）．
1+ 2
（2）18 (1 45% 25%) = 60 （吨）．
练 3
4 2 1 15 7 13
（★★★☆☆）计算： 3 1 1 75% 1.5 + 35 3 ．
7 3 14 16 16 17
【配题说明】考察小数、分数和百分数的混合运算．
【常规讲解】
25 3 14 15 3 7 2 13
原式= + 35 3
7 5 15 16 4 16 3 17
13 13
= 2 2 + 35 3 =131
17 17
11
练 4
（★★★☆☆）1520 千克的盐水中，含盐率为 25%，要使这些盐水变为含盐率为 50%的盐水，
需蒸发掉多少千克水？
【配题说明】考察浓度问题的运用，注意本题中盐的量是不变的．
【常规讲解】
1520 1520 25% 50% = 760（千克）．
答：需蒸发掉 760 千克水.
练 5
（★★★★☆）右图表示一个班级学生如何来到学校的情况，根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这个班有几名学生是步行到校的？步行到校的人数占全班人数的百分之几？
（2）这个班乘地铁和乘公交来校的学生人数占全班总人数的百分之几？
15
10
5
0
公交车 自行车 步行 地铁 汽车
【配题说明】考察百分数的应用，分析图表数据即可．
【常规讲解】
(1) 全班人数：12+8+4+14+2=40；
4
步行到校的人数占全班人数： 100% =10% ；
40
14 +12
(2) 100% = 65% ．
40
12
【B组】
练 1
（★★★★☆）利民粮店原有大米和面粉共 480 袋，卖出大米的 30%，卖出面粉的 40%，还
剩下大米和面粉 308 袋，原有的大米和面粉各多少袋？
【配题说明】考察百分数的应用，根据题意列方程即可．
【常规讲解】
设大米、面粉各有 x、400-x 袋，
则 x (1 30%) + (480 x) (1 40%) = 308 ，
解得：x=200，所以 400-x=400-200=280．
即原有大米 200 袋，原有面粉 280 袋．
答：原有大米 200 袋，原有面粉 280 袋．
练 2
（★★★★☆）爸爸今年 43 岁，女儿今年 11 岁，几年前女儿年龄是爸爸的 20%？
【配题说明】本题主要考查年龄的变化，注意爸爸和女儿的年龄都是在发生变化的．
【常规讲解】
11 x
设 x 年前女儿年龄是爸爸的 20%，则 100% = 20% ， x = 3，
43 x
故 3 年前女儿年龄是爸爸的 20%．
1314」圆和扇形
学习目标
目标1
★★★☆☆女操作
掌握圆的周长公式
目标2
★★★★☆☆识别
熟练掌握弧长公式并运用
目标3
★★★★☆☆识别
掌握圆的面积公式并熟练运用
目标4
★★★★☆☆识别
熟记扇形的面积公式
知识清单
圆的周长
孤长
孤和圆心角的概念
圆和扇形
孤长公式
圆的面积
扇形的面积
扇形的概念
扇形的面积
【考情分析】
1.
圆和扇形属于图形与几何部分，属于解释性理解水平；
2.主要考察圆和扇形的计算及应用，以解答题为主，占期末总分值的15%；
3.对应教材：预初上册，第四章：圆和扇形，第一节：圆的周长和弧长，41圆的周长；4.2
弧长，第二节：圆和扇形的面积，4.3圆的面积；4.4扇形的面积；
1
4.圆和扇形是六年级数学上学期第4章的内容，通过本讲的学习，同学们需要掌握圆的周
长和弧长的公式，并熟练运用进行相关的计算.难点是圆的周长和弧长公式在组合图形中的
运用，圆的面积和扇形面积的基本计算方法，以及在实际问题中的应用.
课堂引入
【课堂引入】
个圆的周长是3.14厘米，它的半径是
厘米.（π取3.14）
【答案】圆的周长公式：C=πd=2xr,2πr=3.14,2×3.14r=3.14,r=
知识点1一一
圆的周长
知识笔记
圆的周长
通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定倍数，我们把这个倍数叫做圆周
率，用字母π表示，π读作“pi”；圆周率π是个无限不循环小数，π≈3.14.
圆的周长÷直径=
用字母C表示圆的周长，d表示直径，【表示半径，那么：
C=
或C=
【填空答案】
圆周率，xd，2πr
经典例题
例1
(1)(★★☆☆☆)画一个周长是43.96厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（)厘米.
A.14
B.7
C.3.5
D.28
(2)(★★☆☆女)圆的周长扩大到原来的4倍，则圆的半径扩大到原来的()倍.
A.1
B.2
C.4
D.8
·2
【配题说明】考察圆的周长公式
【常规讲解】
(1)圆规两脚之间的距离指圆的半径，根据C=2πr,43.96=2×3.14r,=7,故选B.
(2)根据C=2πr,r=
故选C
2π
例2
(1)（★★★☆☆)小智每天绕半径为20米的花坛跑15圈，则小智每天要跑多少米？（π
取3.14)
(2)(*★★☆☆)一辆自行车轮胎的外直径是7分米，如果每分钟转100周，现在要通过
一段长3300米的路，需要多少分钟？（得数保留整数）
【配题说明】考查圆的周长的在实际问题中的计算.
【常规讲解】
(1)15×2×3.14×20=1884米.
答：小智每天要跑1884米.
(2)7分米=0.7米
3300÷(3.14×0.7×100)=3300÷219.8≈15分钟
答：需要15分钟，
例3
(1)(*★★★☆)如图是由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形
则这个图形的周长为.
（π取3.14)
6
0301 | 整数和整除
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解整数与整除的意义
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握因数和倍数
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握被特殊数整除的数的特征
知识清单
整数 和
整数
整除
数和 数
整数和整除 整除 数
数 数
整除 数
整除 数
整除 数
整除 数
整除 数
整除 数
1
【考情分析】
1．整数和整除属于数与运算部分，属于记忆水平；
2．主要考察整数的分类、整除的意义及因数和倍数，以选择填空题为主，占期中总分值的
5%；
3．对应教材：预初上册，第一章：数的整除，第一节：整数与整除，1.1 整数和整除的意义；
1.2 因数和倍数；1.3 能被 2,5 整除的数
4．整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进
行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为
我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．
课堂引入
【课堂引入】
整数如何分类？
【答案】正整数、零、负整数、统称为整数.
知识点 1——整数
知识笔记
1．整数 和
（1）自然数：______和___________统称为自然数.
（2）整数：正整数、零、负整数、统称为整数.
2．整除
整数 a 除以整数 b ，如果除得的商是_________而余数为零，我们就说 a 能被b 整除；或
者说 b 能整除 a .
【填空答案】
（1）零，正整数
（2）整数
2
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）下列说法中，正确个数是（ ）
①整数包括负数、整数
②1 是最小的自然数
③ a 除以 b ，商为整数，且余数为 0，则 a 能被b 整除
④有最大的自然数，而没有最小的自然数
⑤最大的正整数和最大的负整数都不存在
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【配题说明】本题主要考查整数的分类，整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数
和零．
【常规讲解】
①错，整数包括正整数、负整数和 0
②错，0 是最小的自然数
③错，要求 a 和 b 也要为整数
④错，没有最大的自然数，有最小的自然数 0
⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1
故选 A.
例 2
（★★☆☆☆）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是____________.
①3 和 0.3 ②12 和 4 ③5 和 15 ④0.2 和 0.4 ⑤1.4 和 14 ⑥5 和 0.1
【配题说明】本题主要考查整除的概念．
【常规讲解】
整数 a 除以整数 b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说 a 能被 b 整除；或者说 b 能
整除 a，故是③.
3
例 3
（★★★☆☆）有 15 位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，
有几种分法？有可能把他们平均分成 4 个小组吗？为什么？
【配题说明】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
【常规讲解】因为 15=1×15=3×5，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．
一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成 4 个小组，因为 4 不能整除 15．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列说法错误的是（ ）
A．自然数包括正整数和零
B．整数包括正整数和负整数
C．非负整数包括 0 和正整数
D．没有最小的负整数，但有最小的正整数
【配题说明】本题主要考查整数的分类，整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数
和零．
【常规讲解】
A 、自然数包括正整数和零，说法正确；
B 、整数包括正整数和负整数，零，说法错误；
C 、非负整数包括零和正整数，说法正确；
D 、没有最小的负整数，但有最小的正整数，说法正确；
故选： B ．
练 1-2
（★★☆☆☆）下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．
①7 和 11 ②9 和 2538 ③2 和 5 ④15 和 5
4
⑤13 和 91 ⑥2 和 0.4 ⑦0.3 和 6 ⑧1.5 和 2.5
【配题说明】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分
【常规讲解】
a 能除尽 b 是指 b÷a 所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．
故答案为②③⑤⑥⑦
练 1-3
（★★★☆☆）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班
共糊纸盒 342 个．小马虎的统计对吗？为什么？
【配题说明】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用
【常规讲解】
342÷4=85...2，余数不为 0．
故不对，因为 4 不能整除 342．
知识点 2—— 数和 数
知识笔记
数和 数
整数 a 能被整数 b 整除， a 就叫做 b 的_________， b 就叫做 a 的_________（也称
为_________）．
注：一个整数的因数中最小的因数是 1，最大的因数是它本身．
【填空答案】
倍数，因数，约数
5
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）下列说法中不正确的是（ ）
A．1 是任何整数的因数，任何整数都是 1 的倍数
B．偶数的因数不一定是偶数
C．奇数的因数一定是奇数
D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数
【配题说明】本题主要考查因数和倍数的定义，注意 1 的特殊性
【常规讲解】
D 答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数，故 D 是不正确的.
例 2
（★★☆☆☆）既是 3 的倍数，又是 30 的因数的数是________________．（写出所有符合条件
的数）
【配题说明】本题可以将 30 的因数一一列出，然后判断其实不是 3 的倍数
【常规讲解】
30=1×30=2×15=3×10=5×6，所以 30 的因数为 1、2、3、5、6、10、15、30．其中 3 的倍
数为 3、6、15、30．
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）下列说法中正确的是（ ）
A．一个整数的最大因数就是它的最小倍数
B．1 是任何整数的因数，任何整数都是 1 的倍数
C．一个正整数至少有两个因数
D．偶数的因数一定是偶数，奇数的因数一定为奇数
6
【配题说明】本题主要考察整除的意义
【常规讲解】
A.选择正确
B.1 不是 0 的因数也不是 0 的倍数
C.1 的因数只有 1
D.偶数的因数有 1,1 为奇数
练 2-2
（★★☆☆☆）一个数既是 10 的倍数，又是 100 的因数，且不能被 4 整除，这个数是______．
【配题说明】本题也可一一列举出既是 10 的倍数，又是 100 的因数的数，然后再判断哪些
不能被 4 整除
【常规讲解】
10 的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是 100 的因数，且不能
被 4 整除的是 10、30、50、70、90．
知识点 3—— 2,5整除 数
知识笔记
1. 2整除 数
被 2 整除的数的特征：个位上是_____，_____，_____，_____，_____的整数；
能被 2 整除的整数叫做___________，不能被 2 整除的整数叫做___________．
2. 数 数
奇数±奇数=__________；奇数±偶数=__________；偶数±偶数=__________；
奇数×奇数=__________；奇数×偶数=__________；偶数×偶数=__________．
3. 5整除 数
能被 5 整除的数的特征：个位上是______或______的整数．
7
4. 2 5整除 数
能同时被 2 和 5 整除的数的特征：个位上是______的整数.
【填空答案】
1、0，2，4，6，8;偶数，奇数
2、偶数,奇数,偶数,奇数,偶数,偶数
3、0，5
4、0
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）两个连续自然数的差是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．既不是奇数也不是偶数
【配题说明】本题主要考查奇、偶数的运算性质
【常规讲解】
两个连续自然数的差为±1，为奇数故选 A.
例 2
（★★☆☆☆）已知一个三位数13x ．
（1）若这个三位数能被 2 整除，求 x ;
（2）若这个三位数能被 5 整除，求 x ;
（3）若这个三位数能同时被 2 和 5 整除，求 x .
【配题说明】本题主要考查能被 2、5 整除的数的特点．
【常规讲解】
能被 2 整除的数的特征：个位上是 0，2，4，6，8 的整数，所以 x =0，2，4，6，8；
能被 5 整除的数的特征：个位上是 0，5 的整数，所以 x=0，5；
能同时被 2 和 5 整除的数的特征：个位上是 0 的整数，所以 x =0.
8
例 3
（1）（★★★☆☆）13 个不同的自然数之和等于 100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几
个？
（2）（★★★☆☆）1＋2＋3＋…＋2015＋2016 的结果是奇数还是偶数？请说明理由.
【配题说明】本题主要考查奇、偶数的运算性质
【常规讲解】
（1）当偶数有 13 个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有 13 个；偶数为 0 个时，则这
13 个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为 100；偶数为 1 个时，则有 12 个奇数，这 13 个
数字之和为偶数，所以偶数最少有 1 个
（2）1 到 2016 个数字中有 1008 个偶数，这 1008 个偶数之和为偶数；有 1008 个奇数，这
1008 个奇数之和为偶数；则这 2016 个数字之和为偶数
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）9 个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数.
【配题说明】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
【常规讲解】
9 个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数
练 3-2
（★★☆☆☆）一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大 2，且能被 5 整除，求所有符合
条件的两位数：_______________．
【配题说明】本题主要考查能被 5 整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．
【常规讲解】
能被 5 整除的数尾数为 0 或 5．0 为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个
位上的数字只能为 5，十位上的数字为 3，则这个两位数为 35．
9
练 3-3
（1）（★★★☆☆）用 25、26、27、28、29 这五个数两两相乘，可以得到 10 个不同的乘积，
问乘积中有多少个偶数？
（2）（★★★☆☆）在 1，2，3，…，2015，2016 中每个数前面任意添加“＋”、“－”号，
最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由.
【配题说明】本题主要考查奇、偶数的运算性质
【常规讲解】
（1）要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则 26 与 25、27、28、29 相乘，可以
得到偶数；28 与 25、26、27、29 相乘，可以得到偶数．中间有重复的 26 与 28 相乘，则一
共有 4+4-1=7 个偶数．
（2）2016 个数中有 1008 个奇数，这 1008 个奇数之和为偶数；2016 个数中有 1008 个偶数，
这 1008 个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则 2016 个数字之和为偶数．每个数前面任意
添加“＋”、“－”号，与 1，2，3…2015，2016 之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．
知识点 4—— 3、9整除 数
知识笔记
1． 3整除 数
能被 3 整除的数的特征：一个整数的各个数位上数字之和能被_____整除，这个整数就
能被 3 整除.
2． 9整除 数
能被 9 整除的数的特征：一个整数的各个数位上数字之和能被_____整除，这个整数就
能被 9 整除.
【填空答案】
1、3
2、9
10
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）要使三位数 2□3 能被 3 整除，那么□中可以填的数是_____________.
（2）（★★☆☆☆）要使三位数 2□3 能被 9 整除，那么□中可以填的数是_____________．
【配题说明】本题主要考查能被 3 和 9 整除的数的特征．
【常规讲解】
能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字和是 3 的倍数；能被 9 整除的数的特征：各个数
位上的数字和是 9 的倍数.
（1）1,4,7（2）4.
例 2
（1）（★★★☆☆）一个五位数 4A97B 能被 3 整除，且 7B 能被 2 整除，这样的五位数有______
个．
（2）（★★★☆☆）从 2、4、0、5、8 这五个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，使得这
个三位数同时被 2、3 和 5 整除，那么这样的三位数有______个.
【配题说明】本题主要考查能被 2、3、5 整除的数的特征.
【常规讲解】
（1） 7B 能被 2 整除，则 B 为 0、2、4、6、8； 4A97B 能被 3 整除，则 20+A+B 能被 3 整
除．当 B=0 时，A 可为 1、4、7；当 B=2 时，A 可为 2、5、8；当 B=4 时，A 可为 0、3、6、
9；当 B=6 时，A 可为 1、4、7；当 B=8 时，A 可为 2、5、8；所以这样的五位数有 16 个.
（2）能同时被 2 和 5 整除的数末尾数为 0，则有 240、420、580、850、250、520、280、
820、450、540、480、840，其中能够被 3 整除的有 240、420、450、540、480、840，故有
6 个.
例 3
（★★★★☆）三个连续的自然数的和一定能被 3 整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举
出反例．
11
【配题说明】三个连续的自然数的表示方法为 n-1,n,n+1.
【常规讲解】
设三个连续的自然数为 n-1,n,n+1，则其和为 n-1+n+n+1=3n，此数一定能被 3 整除.
巩固练习
练 4-1
（★★☆☆☆）现有一个四位数 7□56：
（1）若该数能被 9 整除，那么□中可以填入哪些数？
（2）若该数能被 3 整除，那么□中可以填入哪些数？
【配题说明】本题主要考查能被 3 整除以及能被 9 整除的数的特征
【常规讲解】
（1）0，9.
（2）0，3，6，9.
练 4-2
（1）（★★★☆☆）四位数 2A9B 能同时被 3 和 5 整除，写出所有满足条件的四位数______.
（2）（★★★☆☆）五位数538AB 能够同时被 2、3、5 整除，求 A+B 的值．
【配题说明】本题主要考查能被 2、3、5 整除的数的特点
【常规讲解】
（1）能被 5 整除的数的个位数为 0 或 5，则 B 为 0 或 5；当 B=0 时，A 为 1、4、7；当 B=5
时，A 为 2、5、8．所以满足条件的四位数为 2190、2490、2790、2295、2595、2895．
（2）能被 2、5 整除的数的特点是个位上数字为 0，则 B=0．能被 3 整除的数的特点是各个
数位上的数字之和能被 3 整除，则 A 可为 2、5、8．则 A+B 为 2、5、8．
练 4-3
（★★★★☆）已知一个三位数 abc ，试证明：若 a+b+c 能被 9 整除，则 abc 能被 9 整除.
12
【配题说明】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用
【常规讲解】
因为 a+b+c 能被 9 整除，则可得 a+b+c=9m（m 为正整数），
又 abc =100a +10b + c = (99a +9b)+ (a +b + c)，因为99a + 9b 能被 9 整除，也 a+b+c 能被 9
整除，所以 abc 能被 9 整除.
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A．一个数至少有两个因数
B．个位上是 3、6、9 的整数都能被 3 整除
C．一个数既是 2 的倍数又是 5 的倍数，那么这个数一定是 10 的倍数
D．非负整数是正整数
【配题说明】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题
【常规讲解】
A 答案错误，如 1 只有一个因数；
B 答案中考查能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字和是 3 的倍数；
C 答案是正确的；
D 答案中 0 也属于非负整数.
故选 C.
练 2
（★★☆☆☆）50 以内的 7 的倍数有_______个.
【配题说明】从最小的倍数一一尝试即可得到答案
【常规讲解】
50 以内的 7 的倍数有：7、14、21、27、35、42、49.
13
练 3 .
（1）（★★★☆☆）一个数的最大因数与最小倍数的和是 2014，这个数是______．
（2）（★★★☆☆）一个整数的最大因数与最小因数的差为 27，写出这个整数的所有因数：
____________
【配题说明】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身
【常规讲解】
（1）一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是 1007
（2）一个整数的最大因数为它本身，最小因数为 1，则这个数为 28．28=1×28=2×14=4×7，
则 28 的因数有 1、2、4、7、14、28.
练 4
（★★★☆☆）对于如下式子：
（1）42□+30-147 能被 2 整除，则□中可填入____________；
（2）从 3、0、8、5 中任选几个数字，组成能被 5 整除的最小四位数是____________.
【配题说明】本题主要考查能被 2、3、5 整除的数的特点
【常规讲解】
（1）因为 42□+30-147 能被 2 整除，42□+30-147 的结果一定是偶数，因为奇数+偶数-奇数=
偶数，所以□可填 1、3、5、7、9；
（2）能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的整数，故答案为 3085.
【B组】
练 1
（★★★★☆）若四位数9a8a 能被 15 整除，则 a 代表的数字是？
【配题说明】本题主要考查整除的特征，注意 15 的倍数个位必须是 0 或 5
【常规讲解】
要想能被 15 整除， 9a8a 的个位必须是 0 或 5，所以 a = 0 或 a = 5 ，
当 a = 0 时，即 9080，9080 15 = 605.3 ，不能被 15 整除；
当 a = 5 时，即 9585，9585 15 = 639，能被 15 整除，所以 a = 5 ；
答： a 代表的数字是 5．
14
练 2
（★★★★☆）有一个三位数能被 9 整除，去掉末位数字后所得到的两位数恰是 7 的倍数，这
样的三位数中最大的是___________．
【配题说明】此题重点考查能被 9 整除的数的特征，同时考查学生分析与推断能力．
【常规讲解】
三位数能被 9 整除，它的各个位数加起来是 9 的倍数．
7 的倍数有：14、21、28、35、42、56、63、70、77、84、91、98，
加上末尾是 9 的倍数：144、216、288、351、423、567、630、639、702、774、846、918、
981，
最大是 981．
答：这样的三位数中，最大是 981．
故答案为：981．
练 3
（★★★★☆）有一个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，这个三位数是？
【配题说明】本题考查了数的整除性问题，属于竞赛题型，有一定难度．根据题意列出方程，
然后根据能被 3、9 整除的数的特征得出这个三位数是 27 的倍数，是解答本题的关键．
【常规讲解】
设这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为 A 、 B 、 C ，由题意得：
100A +10B +C = 42(A+ B +C) ．
42 是 3 的倍数，即100A +10B +C = 3 2 7(A+ B +C) ，
这个三位数 (100A +10B +C) 是 3 的倍数，
(A + B +C) 是 3 的倍数，
这个三位数 (100A +10B +C) 是 9 的倍数，
(A + B +C) 是 9 的倍数．
这个三位数 (100A +10B +C) 是 27 的倍数．
则这个三位数 (100A +10B +C) 是 27 7 2 = 378 的倍数，
而三位数中是 378 的倍数的数只有 2 个，即为 378，756．
42 (3+ 7 + 8) = 756 378，
15
这个三位数不是 378；
42 (7 + 5 + 6) = 756 ，
这个三位数是 756．
答：这个三位数是 756．
课堂总结
1603 | 公因数和公倍数的应用
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握公因数与公倍数
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决几何类应用题
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决日期类应用题
目标 4 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决剩余问题
目标 5 ★★★★☆☆ 识别 灵活运用公因数与公倍数解决植树问题
知识清单
应用
公 因数和公倍数的应用 应用
数
数
【考情分析】
1．公因数和公倍数属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察公倍数，最小公倍数以及最大公因数和最小公倍数的应用，以解答题为主，占
期中总分值的 10%；
1
3．对应教材：预初上册，第一章：数的整除，第一节：整数与整除，1.5 公因数与最大公因
数；1.6 公倍数与最小公倍数；
4．分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分
解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍
数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通
过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，
加强学生对数学学习的兴趣．
课堂引入
【课堂引入】
某班有男生 24 人，女生 18 人.体育课上，老师要把男、女生分别分小组活动，但每组的人
数都要相等，每组最多有多少人？一共可以分成多少个小组？
【答案】24=2×2×2×3，18=2×3×3
所以 24 和 18 的最大公因数是 6,（24+18）÷6=7（人）
答：最多可以分成 6 组，最多 7 人.
知识点 1—— 应用
知识笔记
1．
长方形拼正方形边长最小：取长、宽的_______________.
小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）
2．
长方形里裁正方形边长最大：取长、宽的_______________.
小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）
3．
长方体拼正方体边长最小：取长、宽、高的_______________.
2
小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大
正方体边长÷小长方体高）
4．
长方体里割正方体边长最大：取长、宽、高的_______________.
小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大
长方体的高÷小正方体边长）
5．
剪绳子平均每段最大长度：取_______________.
条数=绳子总长÷（两条绳子长度的最大公因数）
【填空答案】
1、最小公倍数
2、最大公因数
3、最小公倍数
4、最大公因数
5、最大公因数
经典例
例 1
（1）（★★☆☆☆）一个长方形的长 6 厘米，宽 4 厘米，至少要多少个这样的小长方形才能
拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？
（2）（★★☆☆☆）一个大长方形长 24 厘米，宽 18 厘米，把它裁成若干个小正方形而没有
剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？
【配题说明】本题考察了求最大公因数和最小公倍数的方法
【常规讲解】
（1）6 和 4 的最小公倍数 12，所以大的正方形的边长是 12 厘米，个数为（12÷6）×（12÷
4）=2×3=6（个）.
答：至少要 12 个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形，边长是 12 厘米.
3
（2）边长为 24 和 18 的最大公因数 6 厘米，个数为（24÷6）×（18÷6）=12（个）
答：边长是 6 厘米，最多能裁成 12 个.
例 2
（1）（★★★☆☆）一个长方体的长 6 厘米，宽 4 厘米，高 2 厘米。至少要多少个这样的小
长方体才能拼成一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？
（2）（★★★☆☆）一个大长方体长 24 厘米，宽 18 厘米，高 12 厘米，把它裁成若干个小正
方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小
正方体？
【配题说明】本题考察了求最大公因数和最小公倍数的方法
【常规讲解】
（1）棱长取最小公倍数 12 厘米，个数为12 12 12 (6 4 2)=36 .
答：至少要 36 个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体，棱长是 12 厘米.
（2）棱长取最大公因数 6 厘米，个数为 24 18 12 (6 6 6)=24 .
答：正方体的棱长是 6 厘米，最多能裁成 24 个小正方体.
例 3
（★★★☆☆）把两根分别长 24 厘米和 18 厘米的彩带，剪成长度一样的短彩带且没有剩余，
最少可以剪成多少根短彩带？
【配题说明】本题考察了求最大公因数的应用
【常规讲解】
取 24 和 18 最大公因数 6，条数为 (24+18) 6=7 .
答：最少可以剪成 7 根短彩带.
4
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）把一些长 24 厘米，宽 18 厘米的长方形纸板拼成一个大正方形，至少需要
多少块这样的长方形纸板？
（2）（★★☆☆☆）把一个长 54 厘米，宽 45 厘米的长方形纸板裁成若干块同样大小的正方
形，没有剩余，至少能裁成多少块这样的正方形纸板？
【配题说明】本题考察了求最大公因数和最小公倍数的应用
【常规讲解】
（1）正方形边长取 24 和 18 的最小公倍数 72，个数为 72 72 (24 18)=12 .
答：至少需要 12 块这样的长方形纸板.
（2）正方形边长为 54 和 45 的最大公因数 9，个数为 54 45 (9 9)=30 .
答：至少能裁成 30 块这样的正方形纸板.
练 1-2
（1）（★★★☆☆）小新用长 6 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体木块拼最小的正方体模
型，这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？
（2）（★★★☆☆）有一个长方体的长是 60 厘米，宽是 40 厘米，高是 30 厘米，如果要切成
若干同样大的小正方体，小正方体的棱长最长可以是多少厘米？可以切成多少个这样的小正
方体？
【配题说明】本题考察了两个数以及三个数的最小公倍数的应用．
【常规讲解】
（1）由题意得，6，4，3 的最小公倍数是 12，再用最小公倍数 12 分别除以长方体木块的
长，宽，高；最后用求出的三个数相乘，就是需要的长方体木块的个数，即：
正方体体积：12×12×12=1728（立方厘米）
（12÷6）×（12÷4）×（12÷3）=24（块）.
答：这个正方体模型的体积是 1728 立方厘米，用 24 块上面那样的长方体木块．
（2）因为 60=2×2×3×5，,40=2×2×2×5，30=2×3×5，所以 60，40，30 的最大公因数是：
2×5=10，所以正方体的棱长最大是 10 厘米.
5
（60÷10）×（40÷10）×（30÷10）=6×4×3=72（个）
答：正方体的棱长最大是 10 厘米，可以切成 72 个小正方体.
练 1-3
（★★★☆☆）两根铁丝分别长 72 米、48 米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩
余，每段最长是多少米？
【配题说明】本题考察了求最大公因数的应用
【常规讲解】
取 72 和 48 最大公因数 24，所以每段最长是 24 米.
知识点 2—— 应用
知识笔记
应用
取每个时间段的________________.
【填空答案】
最小公倍数
经典例
例 1
（★★☆☆☆）一路车 5 分钟发一次车，二路车 6 分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要
多少时间再次同时发车？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
取 5 和 6 的最小公倍数 30，所以至少要 30 分钟再次同时出发.
6
例 2
（★★★☆☆）小红 5 天去一次图书馆，小华 3 天去一次图书馆，小明 6 天去一次图书馆，她
们今天同时在图书馆，至少要多少天她们 3 人再次相遇？
【配题说明】本题考察了三个数的最小公倍数
【常规讲解】
取 5、3 和 6 的最小公倍数 30，所以至少要 30 天她们 3 人再次相遇.
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）爸爸和妈妈都是公交司机，爸爸每 4 天休息一次，妈妈每 6 天休息一次．今年
2 月 18 日两人同时休息，什么时间又再次同时休息？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
取 4 和 6 的最小公倍数 12，所以 3 月 1 日再次同时休息.
练 2-2
（★★★☆☆）1 路、2 路和 5 路车都从东站发车，1 路车每隔 10 分钟发一辆，2 路车每隔
15 分钟发一辆，而 5 路车每隔 20 分钟发一辆．当这三路车同时发车后，至少要过多少分
钟又有这三条线路的车同时发车？
【配题说明】本题考察了三个数的最小公倍数
【常规讲解】
取 10、15 和 20 的最小公倍数 60，所以至少要过 60 分钟又有这三条线路的车同时发车.
7
知识点 3——
知识笔记
1． 数
余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋________.
2． 数
缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－________.
【填空答案】
1、余数
2、缺数
经典例
例 1
（★★☆☆☆）六（3）班做早操，每 6 人一排或每 7 人一排，都能排成整排而没有剩余，六
（3）班至少有多少人？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
6 和 7 的最小公倍数 42，所以至少有 42 人.
例 2
（★★★☆☆）六（3）班做早操，每 6 人一排或每 7 人一排，都剩余 3 人，六（3）班至少有
多少人？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
6 和 7 的最小公倍数是 42，所以最小公倍数 42，再加 3，共 45 人.
8
例 3
（★★★☆☆）六（3）班做早操，每 6 人一排少 3 人，每 7 人一排剩余 4 人，六（3）班至少
有多少人？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
每 7 人一排剩余 4 人，也就是说每 7 人一排少 3 人，6 和 7 的最小公倍数 42，再减 3，共 39
人.
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都能正好分完，这包糖至少
有多少块？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
取 8 和 10 最小公倍数 40，所以这包糖至少有 40 块..
练 3-2
（1）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都多 2 块，这包糖至少
有多少块？
（2）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人，还是分给 10 个人，都缺 3 块，这包糖至少
有多少块？
配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
（1）取 8 和 10 最小公倍数 40，再加 2，所以这包糖至少有 42 块..
（2）取 8 和 10 最小公倍数 40，再减 3，所以这包糖至少有 37 块..
9
练 3-3
（1）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人少 7 块，还是分给 10 个人缺 9 块，都能正好
分完，这包糖至少有多少块？
（2）（★★★☆☆）有一包糖，不论分给 8 个人多 5 块，还是分给 10 个人缺 3 块，都能正好
分完，这包糖至少有多少块？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
（1）取 8 和 10 最小公倍数 40，再加 1，41 块.
（2）取 8 和 10 最小公倍数 40，再减 3，37 块
知识点 4——
知识笔记
（1）两端都栽
棵数=____________=全长÷植树间距+1
全长=植树间距×（棵数-1）
（2）只有一端栽
棵树=_____________=全长÷植树间距
全长=植树间距×棵数
（3）两端都不栽
棵树=_____________=全长÷植树间距-1
全长=植树间距×（棵数+1）
（4）圆形
棵数=_____________=全长÷植物间距
全长=植物间距×棵数
【填空答案】
（1）段数＋1
10
（2）段数
（3）段数-1
（4）段数
经典例
例 1
（★★★☆☆）有一段路每 8 米栽一棵树，头尾都栽共栽了 51 棵.如果改成 5 米一棵，至少几
米有一棵不动？共有多少棵不动？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
路长8 (51-1)=400 ，5 和 8 最小公倍数为 40，不动数的棵数为 400 40+1=11 .
答：至少有 40 米有一颗不动，共有 11 棵不动.
例 2
（★★★☆☆）甲乙两地原来每隔 36 米安装一根电线杆，现在改成每隔 54 米安装一根电线
杆.在安装过程中除了两端的两根电线杆不需要移动外，途中还有 14 根不需要移动.那么甲
乙两地相距多少米？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
取 36 和 54 的最小公倍数 108，距离为108 (14+1)=1620 （米）.
答：甲乙两地相距 1620 米.
11
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）小新在一段路的两边栽树，两端都栽，每隔 6 米栽一棵树，一共栽了 51 棵.现
在城市规划决定改为每隔 10 米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
路长 6×（51-1）=300，取 6 和 10 的最小公倍数 30，不用移栽的树有 300÷30+1=11（棵）.
答：不用移栽的树有 11 棵.
练 4-2
（★★★☆☆）甲乙两地原来每隔 18 米种一棵树，现在改成每隔 24 米种一棵树，在种树过程
中除了两端的两棵树不需要移动外，途中还有 8 棵不需要移动.那么甲乙两地相距多少米？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数
【常规讲解】
取 18 和 24 的最小公倍数 72，距离为 72 (8+1)=648 米.
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）一块砖长 20 厘米，宽 12 厘米，厚 6 厘米．要堆成正方体至少需要这样的砖多
少块？
【配题说明】本题考察了求三个数的最小公倍数的应用.
【常规讲解】
20，12 和 6 的最小公倍数是 60，所以 (60 20) (60 12) (60 6)=150
所以至少需要这样的砖 150 块.
12
练 2
（★★★☆☆）一批水果，每箱放 30 个则多 20 个；每箱放 35 个则少 10 个．这批水果至少有
多少个？
【配题说明】本题考察了最小公倍数的应用.
【常规讲解】
30 和 35 的最小公倍数 210，再减 10，所以至少有 200 个.
练 3
（★★★☆☆）六（3）班的同学买来一些花朵，发现每 3 朵扎一束多 2 朵，如果每 5 朵扎一
束也多 2 朵，六（3）同学买的花大约在 30~60 朵之间.六（3）班同学可能买了多少朵花？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【常规讲解】
3 和 5 的最小公倍数是 15,大约在 30~60 之间，所以取 30 和 45，再加 2，所以可能买了 32
朵或 47 朵.
练 4
（★★★☆☆）星期五，爸爸妈妈在家休息，妈妈连续工作 6 天休一天，爸爸连续工作 5 天休
一天，下次爸爸妈妈都在家休息应是几天后？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【常规讲解】
6 和 5 的最小公倍数是 30，所以下次爸爸妈妈都在家休息应是 30 天后.
练 5
（★★★☆☆）人民广场上有三条鹅卵石铺成的小路，三条小路的长分别是 36 米、24 米、18
米.要在每条路的两边栽上松树，三条路两边每两棵树之间的距离都相等.每相邻两棵树之间
的最大距离是多少？
【配题说明】本题考察了三个数的最大公因数的应用
【常规讲解】
13
36=2×2×3×3；24=2×2×2×3；18=2×3×3
36，24，18 的最大公因数是 2×3=6，所以这两棵树之间的最长距离是 6 米.
答：两棵树之间的最大距离是 6 米．
【B组】
练 1
（★★★★☆）有一个两位数，除 50 余 2，除 63 余 3，除 73 余 1，求这个两位数是多少？
【配题说明】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【常规讲解】
先把各个除数的余数去掉，去掉以后就能被这个数整除
50-2=48，63-3=60,73-1=72
48，60，72 的公因数中两位数只有 12，因此这个两位数是 12.
练 2
（★★★★☆）某工厂 111 名工人合作加工一种零件要经过三道工序，第一道工序每个工人每
小时可以完成 3 个，第二道工序每个工人每小时可以完成 12 个，第三道工序每个工人每小
时可以完成 5 个，要使流水线正常生产，各道工序至少安排几个工人最合理？
【配题说明】本题主要是考察学生对最大公因数的概念的准确理解和运用．
【常规讲解】
由题意得，3，12，5 的最小公倍数是 60，中间的数为 60÷3=20 个，60÷12=5 个，60÷5=12
个，111÷（20+5+12）=3，所以第一道 20×3=60 个，第二道 12×3=36 个，第三道 5×3=15 个.
练 3
（★★★★☆）把 144 分成三个数的和，使这三个数分别能被 2，3，7 整除，而且所得商相
同，那么这三个数各是多少？
【配题说明】本题主要是考察整数的性质．
【常规讲解】
由题意得：设相同的商为 x ，则三个数分别是 2x、3x、7x ，
2x + 3x + 7x =144 ，12x =144 ， x =12 .
14
2x = 24、3x = 36、7x =84
那么这三个数各是 24、36、84.
课堂总结
1514 | 圆和扇形
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握圆的周长公式
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 熟练掌握弧长公式并运用
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握圆的面积公式并熟练运用
目标 4 ★★★★☆☆ 识别 熟记扇形的面积公式
知识清单
圆的
和圆 的
公
圆和扇形
圆的
扇形的
扇 形的
扇形的
185
知识点 1——圆的
知识笔记
圆的
通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定倍数，我们把这个倍数叫做圆周
率，用字母 表示， 读作“pai”；圆周率 是个无限不循环小数， 3.14 ．
圆的周长÷直径=____________.
用字母 C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么：
C = _______ 或 C = ________ .
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）画一个周长是 43.96 厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）厘米.
A．14 B．7 C．3.5 D．28
（2）（★★☆☆☆）圆的周长扩大到原来的 4 倍，则圆的半径扩大到原来的（ ）倍.
A．1 B．2 C．4 D．8
例 2
（1）（★★★☆☆）小智每天绕半径为 20 米的花坛跑 15 圈，则小智每天要跑多少米？（
取 3.14）
（2）（★★★☆☆）一辆自行车轮胎的外直径是 7 分米，如果每分钟转 100 周，现在要通过
一段长 3300 米的路，需要多少分钟？（得数保留整数）
186
例 3
（1）（★★★★☆）如图是由直径分别为 4 厘米、6 厘米和 10 厘米的三个半圆所组成的图形，
则这个图形的周长为______．（ 取 3.14）
6 4
（2）（★★★★☆）如图，点 O、点 B 在线段 AC 上，AB=120 米，BC=70 米，O 是圆心．从
A 到 C 有 3 条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短．
O
A C
B
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）已知圆的周长是 106.76 分米，则圆的半径是（ ）
A．17 B．8.5 C．34 D．无法确定
（2）（★★☆☆☆）一个半圆形，半径是 r，它的周长是（ ）
A． r B． r + r C． r + 2r D．无法确定
187
练 1-2
（1）（★★★☆☆）小方家挂钟的分钟长 24 厘米，1 小时后，分针的尖端所走的路程是多少
厘米？10 小时后呢？（ 取 3.14）
（2）（★★★☆☆）一台压路机前轮半径是 0.4 米，如果前轮每分钟转动 6 周，10 分钟可以
从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？
练 1-3
（1）（★★★★☆）直径均为 1 米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，
试求金属带的长度．（ 取 3.14）
（2）（★★★★☆）如图，一个半径 1 厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板
长 30 厘米，宽 20 厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是______厘米．（
取 3.14）
188
知识点 2——
知识笔记
1. 和圆 的
如图，圆上 A、B 两点之间的部分就是弧，记作： ，读作：弧 AB；
AOB 称为_____________．
A
O B
2. 公
设圆的半径长为 r，n°圆心角所对的弧长是 l，那么： l = ________ ．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列判断中正确的是（ ）
A．半径越大的弧越长
B．所对圆心角越大的弧越长
C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大
D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变
（2）（★★☆☆☆）一段圆弧所在的圆的半径是 40 厘米，这条弧所对的圆心角为 100°，求
该圆弧的弧长．（结果保留 ）
189
例 2
（★★★☆☆）如图， ABC 的三条边长都是 18 毫米，分别以 A、B、C 为圆心，18 毫米为半
径画弧，求这三条弧长的和．（ 取 3.14）
A
B C
例 3
（★★★★☆）小华把边长为 3 的等边三角形（1）放在一条直线上，让三角形绕着顶点 C 顺
时针转动，到达位置（2），再继续转动到达位置（3），请你帮小华算一算 A 点走过的路程.
（ 取 3.14）
190
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的有（ ）个.
①弧是圆上任意两点之间的一条线段；
②已知直径是 时， °所对弧长 nd n l = d ；
360
③圆心角增大时，弧长就随着减少；
④同圆中弧长相等，所对的圆心角不一定相等；
⑤一个圆的半径增加 1 厘米，它的周长增加 2π 厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（★★☆☆☆）一弧长为 18.84 厘米，所对的圆心角为 270°，求该弧所在圆的半径．（
取 3.14）
练 2-2
（★★★☆☆）如图，以 B、C 为圆心的两个半圆的直径都是 2 厘米，那么阴影部分的周长是
多少厘米？（ 取 3.14）
A B C D
191
练 2-3
（★★★★☆）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3 厘米，以点 A 为圆心、AC 长为半径在三角
形外画弧，交 BA 的延长线于点 D；以点 B 为圆心、BD 长为半径画弧，交 CB 的延长线于
点 E；以点 C 为圆心、CE 长为半径画弧，交 AC 的延长线于点 F，求最后所得图形 CDEFC
的周长.（结果保留 ）
知识点 3——圆的
知识笔记
圆的
圆所占平面的大小叫做______________．
设圆的半径长为 r，面积为 S，那么：圆的面积 S = _______ = _______ ．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）圆的半径是 4 厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留 ）
（2）（★★☆☆☆）圆的直径是 6 米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（
取 3.14）
192
（3）（★★☆☆☆）圆的周长是 25.12 分米，它的面积是______平方分米．（ 取 3.14）
例 2
（1）（★★☆☆☆）有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的 3 倍，则大圆的周长是小圆
的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的 4 倍，则小圆面积
是与大圆面积的比是______．
（2）（★★☆☆☆）在一个边长为 20 厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是
______平方厘米．（ 取 3.14）
（3）（★★★☆☆）用一根长为 16 分米的铁丝围成一个圆，接头处长为 0.3 分米，这个圆的
面积是多少？（ 取 3.14）
例 3
（★★★☆☆）如图，正方形的面积是 12 平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
（ 取 3.14）
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）半径为 3cm 的圆的面积为_______cm2.（结果保留 ）
（2）（★★☆☆☆）直径为 8cm 的圆的面积为_______cm2.（结果保留 ）
193
练 3-2
（1）（★★☆☆☆）一个圆的面积扩大到原来的 16 倍，则半径_______到原来的______倍.
（2）（★★☆☆☆）一个圆形花环，外直径是 10cm，内直径是 4cm，则该花环的面积为
_______cm2.（结果保留 ）
练 3-3
（★★★☆☆）如图中的圆的周长是 16.4 厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴
影部分的周长是多少厘米？（ 取 3.14）
知识点 4——扇形的
知识笔记
1. 扇形的
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做________．
如图，空白部分记作扇形 AOB．
A
B
O
2. 扇形的
设组成扇形的半径为 r，圆心角为 n°，弧长为 l，那么：
S = ________ = ________
扇形 ．
194
经典例题
例 1
1
（1）（★★☆☆☆）一个扇形的面积是它所在圆面积的 ，这个扇形的圆心角是______．
5
（2）（★★☆☆☆）一个扇形的半径是 5 厘米，圆心角是 60°，则此扇形的面积是______平
方厘米，周长是______厘米．（ 取 3.14）
（3）（★★☆☆☆）已知扇形的弧长是 31.4 厘米，半径是 10 厘米，那么扇形的面积是______
平方厘米．（ 取 3.14）
例 2
（★★★☆☆）一个圆心角为 60°的扇形，其面积与一个直径为 9 的圆相等，求此扇形所在圆
的面积．（结果保留 ）
例 3
（1）（★★★★☆）如图，已知正方形边长为 2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以
边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留 ）
195
（2）（★★★★☆）如图，圆的半径是 6 厘米，阴影部分的面积是31.5 平方厘米，求图中
三角形的面积．
巩固练习
练 4-1
7
（1）（★★☆☆☆）一个扇形的面积是它所在的圆的面积的 ，这个扇形的圆心角是______
18
度.
（2）（★★☆☆☆）若扇形的弧长是 9.42cm，圆心角是 270°，则扇形的面积是_______cm2.
（ 取 3.14）
（3）（★★☆☆☆）若扇形的半径为 9cm，弧长为 20cm，则这个扇形的面积是_______cm2.
练 4-2
（★★★☆☆）一个圆心角为 45°的扇形，它的周长为 11.14 厘米，求它的面积．（ 取 3.14）
196
练 4-3
（1）（★★★★☆）如图，长方形的宽为 5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．
（ 取 3.14）
（2）（★★★★☆）有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长 6 米的等边三角
形，绳长是 8 米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（ 取 3.14）
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列判断中，正确的是（ ）
A．半径越大的扇形，面积越大
B．所对圆心角越大的扇形，面积越大
C．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大
D．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小
197
练 2
（1）（★★☆☆☆）圆的半径由 6 厘米增加到 9 厘米，圆的面积增加了__________平方厘
米．（ 取 3.14）
（2）（★★☆☆☆）一张长 30 厘米，宽 20 厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩
下______平方厘米的纸没有用．（ 取 3.14）
练 3
（1）（★★☆☆☆）一个扇形的半径是 5 厘米，圆心角是 72°，这个扇形的周长是______分
米．（ 取 3.14）
（2）（★★☆☆☆）一个扇形的面积是 78.5 平方厘米，圆心角为 36°，当这个扇形的半径不
变而圆心角增加了 108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（ 取 3.14）
练 4
（★★★☆☆）如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为 8，中半圆直径为 20，则阴影
部分面积与大半圆的面积之比是多少？
练 5
1
（★★★★☆）如图，扇形 AOB 为 个圆，半径为 4 厘米，以它的两条半径为直径，在扇形
4
内部画两个半圆，求阴影部分的面积．
198
【B组】
练 1
4
（★★★★☆）大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的 ，是小圆
15
3
面积的 ，量得小圆的半径是 5 厘米，问大圆的半径是多少？（ 取 3.14）
5
练 2
（★★★★☆）已知 C、D 两点在以 AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知 AB 长为
10，求阴影部分的面积．（结果保留 ）
C D
A B
O
课堂总结
19916 | 期末复习
学习目标
目标 1 ★★★★☆☆ 识别 掌握数的整除的知识点
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握分数的知识点
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握比和比例的知识点
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握圆的知识点
知识清单
期 末复习
1
【考情分析】
六年级上学期的数学学习可以看作小学数学到初中数学的过渡学习，其中包括了整除、分数、
比和比例及圆和扇形的相关知识．知识点的难度在整个初中阶段都是最简单的部分，希望同
学们在这一阶段能够夯实基础，为后面的学习做好准备．
课堂引入
【课堂引入】
大家还记得本学期学习了哪些内容吗？
【答案】数的整除，分数，比和比例，圆和扇形
知识点 1——
知识笔记
1.
（1）奇数：不能被____整除的整数.
（2）偶数：能被____整除的整数.
（3）素数：一个正整数，只有_______和它_______两个因数.
（4）合数：一个正整数，除了 1 和它本身以外还有别的因数.
（5）能被 2 整除的数的特征：个位上是_____，_____，_____，_____，_____的整数.
（6）能被 5 整除的数的特征：个位上是______的整数.
2.
（1）整除：整数 a 除以整数b ，如果除得的商是_________而余数为零，我们就说 a 能被
b 整除；或者说 b 能整除 a .
（2）因数：整数 a 能被整数 b 整除，b 就叫做 a 的_________（也称为_________）.
（3）倍数：整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的_________.
（4）互素：如果两个整数只有公因数______．
（5）公因数：几个整数公有的_________．
（6）公倍数：几个整数公有的________．
2
【填空答案】
1、（1）2；（2）2；（3）1，本身；（5）0，2，4，6，8；（6）0，5
2、（1）整数；（2）因数，约数；（3）倍数；（4）1；（5）因数；（6）倍数
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A. 整数包括正整数和负整数
B. 非负整数是自然数
C. 若整数 m 除以整数 n 恰好能除尽，则 m 一定能被 n 整除
D. 若 m÷n 余数为 0，则 n 一定能整除 m
（2）（★★☆☆☆）正整数 24 能被正整数 a 整除，写出所有满足条件的 a 的值.
【配题说明】考察整数与整除
【常规讲解】
（1）整数包括正整数、负整数和零，故 A 错；非负整数是自然数，正确；若整数 m 除以整
数 n 商是整数而没有余数，则 m 一定能被 n 整除，故 C、D 错；故选 B.
（2）因为正整数 24 能被正整数 a 整除，所以 a 可以是 1，2，3，4，6，8，12，24.
2
（1）（★★☆☆☆）一个三位数能被 2 整除，这个数加上 3 能被 5 整除，则这个三位数最小
是________.
（2）（★★☆☆☆）能同时被 2、3、5 整除的最大的三位数是________.
【配题说明】考察能被 2，3，5 整除的数的特征
【常规讲解】
（1）能够被 2，5 整除的最小的三位数是 105，所以减去 3，这个三位数最小是 102.
（2）能够被 2，3，5 整除的数的特征：个位是 0，并且各个数位上的数字之和能被 3 整除，
所以这样的最大三位数是 990.
3
3
（1）（★★★☆☆）已知 A = 2 2 3 m ， B = 2 3 3 m ， A、B 的最大公因数是 30，则
m=_______.
（2）（★★★☆☆）已知 A = 2 2 5 m ， B = 2 3 5 m ， A、B 的最小公倍数是 420，则
m=_______.
（3）（★★★★☆）已知两个数的和是 90，它们的最大公因数是 15，试求这两个数.
（4）（★★★★☆）一张长方形纸片的长是 42 厘米，宽是 30 厘米，要把这张纸裁成大小相
等的正方形纸片而没有剩余，裁成的正方形纸片至少有多少张？
【配题说明】考察最大公因数和最小公倍数
【常规讲解】
（1）因为 A = 2 2 3 m ， B = 2 3 3 m ，所以 A 和 B 的最大公因数为 2×3×m，2×3×
m=30，m=5.
（2）因为 A = 2 2 5 m ，B = 2 3 5 m ，所以 A 和 B 的最小公倍数是 2×5×m×2×3=420，
m=7.
（3）假设这两个数分别是 15a，15b，则 15a+15b=90，15（a+b）=90，a+b=6，所以 a=1，
b=5，所以 15a=15，15b=75.
答：这两个数分别是 15，75.
（4）42=2×3×7，30=2×3×5；42 和 30 的最大公因数是 2×3=6，所以截出的正方形纸的最
大边长是 6 厘米，（42×30）÷（6×6）=1260÷36=35 个
答：裁成正方形边长最大是 6 厘米，至少可以裁成 35 个这样的正方形.
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A. 两个整数相除，商一定是整数
B. 非负整数是正整数
C. 若整数 m 除以整数 n 恰好能整除，则 m 一定能被 n 除尽
D. 若 m÷n=0.3，则 n 一定能整除 m
4
（2）（★★☆☆☆）正整数 36 能被正整数 a 整除，写出所有满足条件的 a 的值.
【配题说明】考察整数与整除
【常规讲解】
（1）两个整数相除，商一定是整数，错，比如 1÷2=0.5；非负整数是正整数和 0；若整数 m
除以整数 n 恰好能整除，则 m 一定能被 n 除尽，对；若 m÷n=0.3，则 n 一定能整除 m，说
法错误，因为商是小数，并且 m，n 不一定都是整数，故选 C.
（2）因为正整数 36 能被正整数 a 整除，所以 a 可以是 1，2，3，4，6，9，12，18，36.
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）一个三位数能被 5 整除，这个数加上 3 能被 2 整除，则这个三位数最小
是_______.
（2）（★★☆☆☆）能同时被 2、3、5 整除的最小的三位数是_______.
【配题说明】考察能被 2，3，5 整除的数的特征
【常规讲解】
（1）能够被 2，5 整除的最小的三位数是 105，105+3=108 能被 2 整除，所以这个三位数最
小是 105.
（2）能够被 2，3，5 整除的数的特征：个位是 0，并且各个数位上的数字之和能被 3 整除，
所以这样的最小三位数是 2×3×5=30，30×4=120，能同时被 2、3、5 整除的最小的三位数是
120.
练 1-3
（1）（★★★☆☆）已知 A = 2 2 3 m ， B = 2 3 3 m ， A、B 的最大公因数是 42，则
m=________.
（2）（★★★☆☆）已知 A = 2 3 5 m ， B = 2 3 3 m ， A、B 的最小公倍数是 630，则
m=________.
（3）（★★★★☆）已知两个数的和是 108，它们的最大公因数是 18，试求这两个数.
（4）（★★★★☆）小杰的爸爸找来两根长木棒，准备做成长度相等的小木棒给小杰做手工
作品，已知两根长木棒长度分别是 30cm、66cm，那么做成的小木棒最长可以是多少厘米？
一共能截成多少段？（材料没有剩余）
5
【配题说明】考察最大公因数和最小公倍数
【常规讲解】
（1）因为 A = 2 2 3 m ， B = 2 3 3 m ，所以 A 和 B 的最大公因数为 2×3×m，2×3×
m=42，m=7.
（2）因为 A = 2 3 5 m ，B = 2 3 3 m ，所以 A 和 B 的最小公倍数是 2×3×5×3×m =630，
m=7.
（3）假设这两个数分别是 18a，18b，则 18a+18b=108，18（a+b）=108，a+b=6，所以 a=1，
b=5，所以 18a=18，18b=90.
答：这两个数分别是 15，75.
（4）30=2×3×5，66=2×3×11，30 和 666 的最大公因数是 2×3=6，所以小木棒最长可以是
6 厘米，30÷6+66÷6=16 段
答：做成的小木棒最长可以是 6 厘米，一共能截成 16 段.
知识点 2——
知识笔记
1.
（1）分数与除法：被除数÷除数=_______．
（2）最简分数：分子和分母________的分数．
（3）真分数：分子比分母_____的分数．
（4）假分数：分子____________分母的分数．
（5）带分数：一个正整数与一个真分数_______所成的数．
（6）倒数：1 除以一个不为零的数得到的商．
（7）约分：把一个分数的分子与分母的_________约去的过程．
（8）通分：将异分母的分数分别化成与原分数__________的同分母的分数．
2.
分数的分子和分母都乘以或都除以______________的数，所得的分数与原分数的大小
_______．
6
3.
（1）同分母分数相加减
（2）异分母分数的加、减法
（3）分数的乘法
（4）分数的除法
4.
（1）循环小数
（2）分数与小数的互化
（3）分数与小数的混合运算
【填空答案】
被除数
1、（1） ；（2）互素；（3）小；（4）大于或者等于；（5）相加；（7）公因
除数
数；（8）大小相等
2、同一个不为零，相等
经典 题
1
1 x
（1）（★★☆☆☆）在 1、2、3、4、5 这 5 个数中，能使分数 和 一个是真分数，另一个
x 4
是假分数的 x 的值有哪些？
2 1
（2）（★★☆☆☆）一个最简分数，把它的分子增加 1 得到 ，把它的分子减少 1 得到 ，
3 2
请写出这个最简分数.
【配题说明】考察真分数及假分数
【常规讲解】
1 x 1
（1）当 x=1 时， =1， = ，所以符合题意；
x 4 4
1 1 x 1
当 x=2 时， = ， = ，所以不符合题意；
x 2 4 2
1 1 x 3
当 x=3 时， = ， = ，所以不符合题意；
x 3 4 4
7
1 1 x
当 x=4 时， = ， =1，所以符合题意；
x 4 4
1 1 x 5
当 x=5 时， = ， = ，所以符合题意；
x 5 4 4
综上所述，x=1，4，5.
2 8 1 6 8 1 7 6 +1 7 7
（2）因为 = ， = ； = ， = ，所以这个分数是 .
3 12 2 12 12 12 12 12 12
2
（★★★☆☆）计算：
（ 2 7 1 1 11） + （2） 2 2 17
5 20 4 12 25
（ ） 1 5 2 （ ） 9983 + 0.25 1 4 999 999
4 7 7 999
【配题说明】考察分数的计算
【常规讲解】
2 7 1 8 7 5 6 3
（1） + = + = =
5 20 4 20 20 20 20 10
1 1 25 51 1 1
（2） 2 2 17 = =
12 25 12 25 17 4
1 5 2 1 5 1 2 1 5 2 1
（3） + 0.25 1 = + 1 = ( +1 ) =
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 2
998 1 1
（4） 999 999 = (1000 ) 999 =1000 999 999 = 999000 1= 998999
999 999 999
3
7 6
（1）（★★★★☆）水果店运来 120 千克苹果，第一天卖了 ，第二天卖了第一天的 ，
20 7
问：第二天卖了多少千克苹果？
（2）（★★★★☆）有一辆长途汽车从甲地开往乙地，中途有些人下车后，所剩乘客是原有
1 5
人数的 ，后来又有 14 人上车，这时车上的人数相当于原来的 ，问：原来车上有多少人？
6 9
【配题说明】考察分数的应用
【常规讲解】
7 6
（1）第一天卖了：120 = 42 千克；第二天卖了： 42 = 36 千克
20 7
答：第二天卖了 36 千克.
8
5 1 10 3 7
（2）方法一：14 ( ) =14 ( ) =14 = 36 人
9 6 18 18 18
方法二：设原来车上有 x 人，则：
1 5 5 1
x +14 = x， x x =14，x = 36
6 9 9 6
答：原来车上有 36 人.
巩固练习
练 2-1
x x
（1）（★★☆☆☆）对于分数 （x 为正整数），当 x 取何值时， 为最大的真分数？
10 10
a
（2）（★★☆☆☆）如果 是假分数，但是又不能化成带分数，并且 a 要比 20 小，那么 a 可
4
以取的自然数有哪些？
【配题说明】考察真分数及假分数
【常规讲解】
x
（1）当 x=9 时， 为最大的真分数
10
（2）分子大于或等于分母的分数是假分数，整数和真分数合成的数通常叫做带分数，因为
a
a 比 20 小的正整数， 是假分数，但不能化为带分数，所以 a 是大于或等于 4，小于 20 且
4
是 4 的倍数，所以 a 的取值为 4，8，12，16.
练 2-2
（★★★☆☆）计算：
7 1 2 1
（1） 0.3+ （2） 2 0.75
25 2 3 4
7 3 1 7 238
（3） 999 + 99 + 9 + （4） 238 238
8 4 2 8 239
【配题说明】考察分数的计算
【常规讲解】
7 1 3 7 1 15 14 25 4 2
（1） 0.3+ = + = + = =
25 2 10 25 2 50 50 50 50 25
9
2 1 2 9 4
（2） 2 0.75 = = 2
3 4 3 4 3
7 3 1 7 7 3 1 1 1 1
（3） 999 + 99 + 9 + = 999 + 99 + 9 + ( + + )
8 4 2 8 8 4 2 8 4 2
7 1 3 1 1 1
= (999 + ) + (99 + ) + (9 + )
8 8 4 4 2 2
=1000 +100 +10 =1110
238 238 239 + 238 238 (239 +1) 238 240
（4） 238 238 = 238 = 238 = 238
239 239 239 239
239 239
= 238 =
238 240 240
练 2-3
1 1
（1）（★★★★☆）一根绳子全长是 6 米，第一次剪去全长的 ，第二次剪去全长的 ，那
3 2
么剩下部分的长度是多少米？
1 2
（2）（★★★★☆）一部书，分上、下两册，已知上册的页数的 与下册页数的 相等，且
4 7
下册有 189 页，这部书共有多少页？
【配题说明】考察分数的应用
【常规讲解】
1 1
（1）第一天剪了： 6 = 2 米；第二天剪了： 6 = 3 米，所以还剩下 6-2-3=1 米
3 2
答：剩下部分的长度是 1 米.
2 1 8
（2） = ，7 +8 =15，189 7 15=405页
7 4 7
答：这部书共有 405 页.
知识点 3——
知识笔记
1.
（1）比：a、b 是两个数或两个同类的量，为了把 b 和 a 相比较，将 a 与 b 相除，叫做
a 与 b 的____.
（2）比例：a、b、c、d 四个量中，如果 a : b = c : d，那么就说 a、b、c、d 成比例，也
10
就是表示两个比相等的式子叫做比例．
2.
（1）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0 除外），比值_______．
（2）比例的基本性质：
a c
如果 a :b = c : d 或 = ，那么___________．
b d
a c
反之，如果 a、b、c、d 都不为零，且 ad = bc ，那么______________或 = ．
b d
3.
n
（1）概念：把两个数量的比值写成 的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，
100
记作________，读作百分之 n．符号“%”叫做百分号．
（2）百分数与小数、分数的关系
（3）应用
4.
上述事件具有共同的特点，就是事先知道出现的结果会有几种可能性，但是又无法确定
到底会出现哪一种结果．
我们将这类事件叫做___________________．
【填空答案】
1、比
2、（1）不变；（2） ad = bc , a :b = c : d
3、n%
4、等可能事件
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）若 a :b = 2:3，b :c = 3:6 .
①求 a : b : c ；
11
②已知 a = 20，求 b，c 的值.
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中的 x.
1 1 1
① 2x : 3 =16 ② x :3 =18:
4 6 3
【配题说明】考察比例的计算
【常规讲解】
（1）①因为 a :b = 2:3，b :c = 3:6 ，所以 a : b : c = 2 : 3: 6
②因为 a : b : c = 2 : 3: 6，设 a=2k，b=3k，c=6k，已知 a = 20，所以 2k=20，所以 k=10，则 b=30，
c=60.
（ ）① 1 1 13 132 2x : 3 =16，2x 16 = 3 ，32x = ，x = .
4 4 4 128
② 1 1 1 1 1x :3 =18: ， x = 3 18， x = 57，x =171.
6 3 3 6 3
2
（★★★☆☆）某小学开展课外兴趣小组活动，参加舞蹈队人数与参加音乐队人数的比是 7:11，
如果从舞蹈队调 5 人到音乐队，那么两队人数的比是 1:2，舞蹈队有多少人？
【配题说明】考察比例的应用
【常规讲解】
设参加舞蹈队人数、参加音乐队人数分别是 7x，11x.则：
(7x 5) : (11x + 5) =1: 2
2(7x 5) =11x + 5
14x 10 =11x + 5
3x =15
x = 5
5×7=35 人
答：舞蹈队有 35 人.
3
（★★★☆☆）如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有
数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，
（1）求两个转盘上分别出现数字 1 和 3 的可能性大小；
（2）求两个转盘上的数字都是奇数的可能性大小.
12
【配题说明】考察等可能事件
【常规讲解】
（ 1 11）转盘出现数字 1 的可能性是 ，出现数字 3 的可能性是 .
5 4
所以两个转盘上分别出现数字 1 和 3 的可能性是 1 1 1 = .
5 4 20
（2）第一个转盘上是奇数的可能性是 3 ，另一个转盘是奇数的可能性是 1 .
5 2
所以两个转盘上的数字都是奇数的可能性是 3 1 3 = .
5 2 10
巩固练习
练 3-1
1 2
（1）（★★☆☆☆）若 a :b = : ，b : c = 5:3 .
2 3
①求 a : b : c ；
②已知 a + b + c = 47 ，求 a，b，c 的值.
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中的 x.
x 2 7 3
① 2.5 : =1 ②1 :1 = x :
2 3 8 4
【配题说明】考察比例的计算
【常规讲解】
1 2
（1）①因为 a :b = : ，b : c = 5:3 ，所以 a :b = 3: 4 ， a :b : c =15: 20 :12
2 3
②因为 a :b : c =15: 20 :12 ，设 a=15k，b=20k，c=12k，已知 a + b + c = 47 ，所以 15k +20k+12k
=47，所以 k=1，则 a=15，b=20，c=12.
x x 5
（2）① 2.5 : =1， = ，x = 5
2 2 2
13
② 2 7 3 15 5 3 21 :1 = x : ， x = ，x = .
3 8 4 8 3 4 3
练 3-2
（★★★☆☆）一辆汽车从甲地到乙地，已行的路程和剩下的路程的比是 1:3；如果再行 35 千
米，则已行的路程和剩下的路程的比是 3:5.从甲地到乙地一共有多少千米？
【配题说明】考察比例的应用
【常规讲解】
设刚开始已行的路程为 x 米，剩下的路程为 3x 米
(x + 35) : (3x 35) = 3: 5
5(x + 35) = 3(3x 35)
9x 105 = 5x +175
4x = 280
x = 70
4×7=280 千米
答： 从甲地到乙地一共有 280 千米.
练 3-3
（★★★☆☆）如图，甲为四等分字母转盘，乙为三等分数字转盘.同时自由转动两个转盘，
当转盘停止转动后（若指针指在边界上则重转）.
（1）求转到的是 A3 的可能性大小；
（2）求转到 A 和奇数的可能性大小.
【配题说明】考察等可能事件
【常规讲解】
1 1
（1）甲转盘转到 A 的可能性是 ，乙转盘转到数字 3 的可能性是
4 3
14
1 1 1
所以两个转盘上转到的是 A3 的可能性是 = .
4 3 12
1 2
（2）甲转盘转到 A 的可能性是 ，乙转盘转到奇数的可能性是
4 3
1 2 1
所以两个转盘上转到 A 和奇数的可能性是 = .
4 3 6
知识点 4——
知识笔记
1.
C = _______ 或 C = ________ .
2.
l = ________
3.
S = _______
4.
S = ________ = ________
扇形
【填空答案】
1、 d ， 2 r
n
2、 r
180
3、 r 2
n 1
4、 r
2
， lr
360 2
15
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）一个圆的周长是 50.24 厘米，则半径是多少厘米？（ 取 3.14）
（2）（★★☆☆☆）若一弧的半径是 2 厘米，圆心角是 45 度，则弧长是多少厘米？（ 取
3.14）
（3）（★★☆☆☆）若一扇形圆心角是 60 度，扇形的半径是 4 厘米，则扇形的面积是多少？
（结果保留 ）
【配题说明】考察与圆有关的基本公式
【常规讲解】
（1） C = 2 r ， 50.24 = 2 r，50.24 = 2 3.14r，r = 8 厘米
n r 45 3.14 2
（2） l = = =1.57 厘米
180 180
n r2 60 42 8
（3） S = = = 平方厘米.
360 360 3
2
（★★★☆☆）如图，四边形 ABCD 是长方形，长为 10 厘米，宽为 6 厘米，求阴影部分的
面积.（结果保留 ）
【配题说明】考察阴影部分的面积
【常规讲解】
阴影部分的面积等于半径为 10 厘米的扇形面积+半径为 6 厘米的扇形面积-长方形 ABCD 的
90 102 90 62
面积， S = + 6 10 = 25 + 9 60 = 34 60 .
360 360
16
3
（★★★★☆）用 8 米长的绳子将一头牛系在草地上的直径为 0.2 米的木桩上，这头牛能吃到
草的地方有多大？（绳子的伸缩和缠绕和打结忽略不计）（ 取 3.14）
【配题说明】考察圆的有关应用
【常规讲解】
牛能吃到草的地方是以 8.1 为半径的圆的面积减去以 0.1 为半径的圆的面积
3.14 (8 + 0.1)2 = 206.0154 平方米
3.14 0.12 = 0.0314 平方米
206.0154-0.0314=205.984 平方米
答：这头牛能吃到草的地方有 205.984 平方米.
巩固练习
练 4-1
（1）（★★☆☆☆）直径为 10 厘米的圆的周长为多少厘米？（ 取 3.14）
（2）（★★☆☆☆）若一弧长为 2.826 米，弧的半径为 12 分米，则圆心角为多少？（ 取
3.14）
（3）（★★☆☆☆）若一个扇形圆心角是 45 度，扇形的半径是 16 厘米，则扇形的面积是多
少？（结果保留 ）
【配题说明】考察与圆有关的基本公式
【常规讲解】
（1） C = d =10 3.14 = 31.4 ，厘米
（2）12 分米=1.2 米
n r n 3.14 1.2
l = ,2.826 = ,n =135
180 180
n r2 45 162
（3） S = = = 32 平方厘米.
360 360
17
练 4-2
（★★★☆☆）求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）（结果保留 ）
【配题说明】考察阴影部分的面积
【常规讲解】
2
90 12 1 1 1 1 1
S = = =
360 2 2 4 8 8
练 4-3
（★★★★☆）如图是一个正三角形的篱笆，边长为 3 米，在一角上用 3 米长的绳子拴着一只
小狗，求小狗最大活动范围，若绳子长为 4 米，情况又如何？（结果保留 ）
【配题说明】考察圆的有关应用
【常规讲解】
当绳子 3 米时，可活动范围是以 3 米为半径的圆少掉正三角形所占 60°角的地方，所以面积
300 32 15
为 = 平方米.
360 2
当绳子 4 米时，可活动范围是以 4 米为半径的圆少掉正三角形所占 60°角的地方，还有正三
角形后面的两块以 1 米为半径的，角度为 120°的面积，所以面积
300 42 120 12
为 + 2 =14 平方米.
360 360
18
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列说法中，正确的有（ ）
（1）120 是同时能被 2、3、5 整除的最小的三位数；
（2）个位上是 3、6、9 的自然数一定能被 3 整除；
（3）两个素数相加的和一定是偶数；
（4）相邻的两个正整数，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的乘积；
（5）两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 60，那么这两个数只能是 12 和 60；
（6）一个素数的因数也一定都是素数．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【配题说明】考查能被 2、3、5、9 整除的数的特征及最大公约数和最小公倍数的概念．
【常规讲解】
（1）正确．能同时能被 2、3、5 整除的最小的三位数应是他们的最小公倍数 30 的倍数，最
小的三位数则是 120；（2）错误．能被 3 整除的数字的特征是各个位上数字之和是 3 的倍
数；（3）错误．例如：2+3＝5；（4）正确．两个相邻正整数必然互素；（5）正确；（6）
错误．任何数都有因数 1，但 1 不是素数．
故选 B.
练 2
2a + 2b
（★★☆☆☆）分数 中的 a 和 b 同时扩大为原来的三倍，得到的分数是原来的（ ）
ab
1 1 2
A． B． C．3 倍 D．
3 9 3
【配题说明】本考查分数的基本性质的运用．
【常规讲解】
分子总共扩大为原来的 3 倍，分母扩大为原来的 9 倍．
故选 A
19
练 3
（★★★☆☆）计算：
（ ） 7 7 1 21 4 + 0.125 3 ; （2）8 125% ;
16 8 4 11
1 14
（ ） 983 12.8 3 5 2.8 ; （4）10000 99 99 .
5 15 99
【配题说明】考查利用割补法求阴影部分的面积．
【常规讲解】
7 7 1 71 7 1 13 71 14 2 52 7
（1） 4 + 0.125 3 = + = + = ；
16 8 4 16 8 8 4 16 16 16 16 16
2 11 5
（2）8 125% =8 = 55 ；
11 2 4
1 14 16 14 15 16 64 5
（3）12.8 3 5 2.8 =12.8 5- =12.8 2 = = 2 ；
5 15 5 5 14

5 5 32
98 1
（4）10000 99 99 =10000 99 (100 ) =10000 9900+1=101．
99 99
练 4
（★★★★☆）有两箱苹果，大箱里的苹果比小箱里的苹果多 31 个，如果从小箱中取 7 个放
入大箱，则大箱与小箱中的苹果比是 7:4，现在小箱中有苹果多少个？
【配题说明】考查比例在实际问题中的运用，注意看清楚所求的结果．
【常规讲解】
设小箱中原有 x 个苹果，则根据题意，
可得： (x + 31+ 7) : (x 7) = 7 : 4 ， 解得：x = 67，
故现在小箱中有苹果： 67 7 = 60 个．
练 5
（★★★★☆）如图，三个圆的半径均为 3 厘米，求阴影部分的面积．
20
【配题说明】考查扇形的面积在求阴影部分面积中的应用．
【常规讲解】
由四边形的内角和及图形可知：
三个扇形的圆心角之和为：360° 90°=270°，
270
所以 S = 32
27
= 平方厘米． 阴影
360 4
【B组】
练 1
（★★★★★）一空水池有甲、丙两根进水管和乙一根排水管，单开甲管需 5 分钟注满水池，
单开丙管需 10 分钟注满水池，如单开乙管需 6 分钟排完水．某次，池中没有水，打开甲管
若干分钟后，发现乙管未关上，随即关上乙管，同时打开丙管，又过了同样长的时间，水池
1
的 注了水，这时再按照甲、乙、丙的顺序轮流各开一分钟，问注满水时，前后一共用了多
4
少分钟？
【配题说明】本题综合性较强，主要考查分数运算的应用，解题时要分析清楚每个时间段的
状态．
【常规讲解】
1 1 1
设水池容积为 1，甲一分钟注水 ，乙一分钟注水 ，丙一分钟排水 ，
5 10 6
1 1 1 x 1 1 x 1 3
设注满 水用时 x 分钟，则 + + = ，解得： x = ．
4 5 6 2 5 10 2 4 2
随后顺序各开一分钟即 3 分钟一循环，最后注满水的时候只能是甲或丙开放，
1 1 1 2 3 2 5
每一循环注水 + = ， = 5+ ，
5 10 6 15 4 15 8
3 2 1 1 1 5
也就是 5 个循环后还剩： 5 = ，甲还需注水 = 分钟，
4 15 12 12 5 12
3 5 11
所以总时间是： + 5 3+ =16 分钟．
2 12 12
练 2
（★★★★★）某店原来将一批苹果按 100%的利润（即利润是成本的 100%）定价出售．由于
定价过高，无人购买．后来不得不按 38%的利润重新定价，这样出售了其中的 40%．此时，
21
因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总
利润是原定利润的 30.2%．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？
【配题说明】本题综合性较强，主要考查对利润与成本的关系的理解．
【常规讲解】
设第二次降价后按 a% 的利润定价，则由题意，可得：
38% 40% + (1 40%) a% =100% 30.2% ，
0.152 + 0.6a% = 0.302
解得： a = 25，
所以此时的定价是：1+ 25% =125% ，
故第二次降价后的价格是原定价的：125% 200% = 62.5% ．
课堂总结
2202 | 分解素因数
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解素数与合数的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握分解素因数的方法
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握公因数和最大公因数
目标 4 ★★★★☆☆ 识别 掌握公倍数和最小公倍数
知识清单
素 数与合数
分 解素因数
素 数、合数与分解素因数 算法分解素因数
分解法分解素因数
除法分解素因数
公因数
分解素因数
公因数
公因数和 公因数
数互素
公因数
公 倍数与 小公倍数
公 倍数和 小公倍数 数的 小公倍数
数的 小公倍数
16
知识点 1——素数、合数与分解素因数
知识笔记
1．素数与合数
素数：一个正整数，如果只有_______和它_______两个因数，则叫做素数，也叫做质数.
合数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数.
_____既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．
2．分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做
这个合数的____________．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
3． 算法分解素因数
例如：72=8×9=2×2×2×3×3．
4． 分解法分解素因数
例如：
5． 除法分解素因数
形如下图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
17
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）在 1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247 中，________________
_______________是素数，合数有______个．
（2）（★★☆☆☆）最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______.
（3）（★★☆☆☆）两个素数的和为 21，那么这两个素数的积是______．
例 2
（1）（★★☆☆☆）将 84 分解素因数：______________，84 的素因数为______________．
（2）（★★★☆☆）如果三个连续自然数的乘积是 210，则这三个数分别是____________．
例 3
（★★★☆☆）面积是 72 平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的
周长可能是多少厘米？
18
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列说法中正确的个数有（ ）个．
①两个连续素数的乘积一定是奇数；
②两个素数的和一定是偶数；
③相邻的两个正整数的乘积一定是合数；
④一个合数至少有三个因数；
⑤任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）（★★☆☆☆）将 100 写成两个素数的和：100=______+______，共有______对.
（3）（★★☆☆☆）已知 a 和 b 都是小于 10 的合数，两位数 ab 是一个素数，这样的两位数
是______．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）下列选项中分解素因数正确的是（ ）
A．17=1×17 B．180=2×2×5×9
C．336=2×2×3×4×7 D．36=2×2×3×3
（2）（★★★☆☆）可以分解为三个素数之积的最小的三位数是_______.
练 1-3
（★★★☆☆）如果长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积为 24 平方厘米，
那么长方形的周长是多少？
19
知识点 2——公因数和 公因数
知识笔记
1. 公因数
几个数公有的_________，叫做这几个数的公因数．
2. 公因数
几个数的公因数中，_________的一个叫做这几个数的最大公因数．
3. 数互素
如果两个整数只有公因数______，那么称这两个数互素．
4. 公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大
公因数．
经典例题
例 1
（1）（★☆☆☆☆）36 和 54 的公因数有_____________．
（2）（★★☆☆☆）三个数 16、24 和 30 的公因数有______．
例 2
（1）（★★☆☆☆）126 和 630 的最大公因数是________________．
20
（2）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数
B．两个不同的素数一定互素
C．如果 1 是两个整数的公因数，则这两个数一定互素
D．若 5 能被 a 整除，又是 b 的最小倍数，则 a 和 b 的最大公因数是 5
（3）（★★★☆☆）有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、c 的最大公因数是 72，b、d 的最大
公因数是 90，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______．
（4）（★★★☆☆）两个正整数的和是 50，他们的最大公因数是 5，这两个数的差的最大值
是几？
例 3
（★★★★☆）有一块长 24 分米，宽 16 分米的布，把它平均剪成大小一样的正方形布料，从
不浪费的角度考虑，小正方形布料的边长最大为多少分米？能剪下这样的布料多少块？
21
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）10 和 15 的公因数有_____________．
（2）（★★☆☆☆）三个数 24、36 和 54 的公因数有______．
练 2-2
（1）（★★☆☆☆）48 和 72 的最大公因数是________________．
（2）（★★☆☆☆）在下列各组数中，互素的有（ ）组.
①3 和 5； ②6 和 9； ③4 和 9； ④14 和 17； ⑤18 和 1．
A．1 B．2 C．3 D．4
（3）（★★★☆☆）有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、b 的最大公因数是 60，c、d 的最大
公因数是 48，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______．
（4）（★★★☆☆）两个自然数的差为 35，他们的最大公因数是 5，那这两个数有_______种
可能.
练 2-3
（★★★★☆）一块矩形地面，长 90 米，宽 15 米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间
的距离相等，则最少要种多少棵树．
22
知识点 3——公倍数和 小公倍数
知识笔记
1. 公倍数与 小公倍数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数．
最小公倍数：几个整数公有的倍数中，________的一个叫做它们的最小公倍数.
2. 数的 小公倍数
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的___________，再取它们各自剩余的素
因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的________就是它们的最小公倍数．
3. 数的 小公倍数
求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取
各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．
为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）已知 A=2×3×3×5×7，B=2×2×5×5×7，则 A 与 B 的最小公倍数是____．
（2）（★★☆☆☆）已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为 72，则这两个数为______．
（3）（★★★☆☆）两个正整数的最大公因数是 12，最小公倍数是 144，其中一个数是 48，
则另一个数是______．
23
例 2
（★★★☆☆）求下列各组数的最小公倍数．
（1）187 和 442； （2）36、84 和 39．
例 3
（1）（★★★★☆）甲每隔 3 天去少年宫一次，乙每隔 5 天去一次，丙每隔 7 天去一次，如
果 6 月 1 号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？
（2）（★★★★☆）某校外出活动，如果 9 人一组，则多 5 人；如果 15 人一组，则少 4 人，
已知学生人数在 130 至 140 人，则该年级的学生有______人．
24
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）已知 A = 2 2 3， B = 2 3 3 ． A 和 B 的最小公倍数是_______.
（2）（★★★☆☆）两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 24，其中一个数是 12，则另一
个数是______．
练 3-2
（★★★☆☆）求下列各组数的最小公倍数．
（1）8 和 15； （2）455 和 715； （3）12、30 和 50．
练 3-3
（1）（★★★★☆）小明的外婆从家乡带来一篮苹果，小明数了数，发现每次拿出 4 个，每
次拿出 5 个或每次拿出 6 个，都恰好拿完，又知道苹果的总数超过 100 个，但又不足 150
个，试问这篮苹果共多少个？
（2）（★★★★☆）一个正整数被 4 除余 1，被 6 除余 1，被 9 除余 1，则这个数最小是多少？
25
综合练习
【A组】
练 1
（★☆☆☆☆）在 1~100 这 100 个整数中，有 25 个素数，则合数有______个．
练 2
（1）（★★☆☆☆）下列选项中分解素因数正确的是（ ）
A．20=1×2×2×5 B．90=3×5×6
C．36=2×2×3×3 D．67=1×67
（2）（★★☆☆☆）在小于 10 的正整数中，两个互素的合数有____________．
练 3
（★★★☆☆）已知甲数比乙数大 6，比丙数小 72，三数之和是 120，求三数的最小公倍数及
最大公因数．
练 4
（★★★☆☆）把一块长 7.2cm，宽 6cm，厚 0.36dm 的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全
相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块.
26
练 5
（★★★☆☆）共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔 3 米种一棵树（路的两端都有树），
一共种了 66 棵，现在要改成每隔 4 米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？
【B组】
练 1
（★★★★☆）a、b 和 c 都是两位数，a、b 的个位数字分别是 7 与 5，c 的十位数字是 1．如
果它们满足等式 ab + c = 2005 ，则 a + b + c 等于多少？
练 2
（★★★★★）已知两个正整数的差是 16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是 88，求：
这两个正整数．
2716 | 期末复习
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 识别 掌握数的整除的知识点
目标 2 ★★★★☆☆ 迁移 熟练掌握分数的知识点
目标 3 ★★★★☆☆ 迁移 熟练掌握比和比例的知识点
目标 4 ★★★★☆☆ 迁移 熟练掌握圆的知识点
知识清单
期 末复习
1
知识点 1——
知识笔记
1.
（1）奇数：不能被____整除的整数.
（2）偶数：能被____整除的整数.
（3）素数：一个正整数，只有_______和它_______两个因数.
（4）合数：一个正整数，除了 1 和它本身以外还有别的因数.
（5）能被 2 整除的数的特征：个位上是_____，_____，_____，_____，_____的整数.
（6）能被 5 整除的数的特征：个位上是______的整数.
2.
（1）整除：整数 a 除以整数b ，如果除得的商是_________而余数为零，我们就说 a 能被
b 整除；或者说b 能整除 a .
（2）因数：整数 a 能被整数 b 整除，b 就叫做 a 的_________（也称为_________）.
（3）倍数：整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的_________.
（4）互素：如果两个整数只有公因数______．
（5）公因数：几个整数公有的_________．
（6）公倍数：几个整数公有的________．
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A. 整数包括正整数和负整数
B. 非负整数是自然数
C. 若整数 m 除以整数 n 恰好能除尽，则 m 一定能被 n 整除
D. 若 m÷n 余数为 0，则 n 一定能整除 m
2
（2）（★★☆☆☆）正整数 24 能被正整数 a 整除，写出所有满足条件的 a 的值.
2
（1）（★★☆☆☆）一个三位数能被 2 整除，这个数加上 3 能被 5 整除，则这个三位数最小
是________.
（2）（★★☆☆☆）能同时被 2、3、5 整除的最大的三位数是________.
3
（1）（★★★☆☆）已知 A = 2 2 3 m ， B = 2 3 3 m ， A、B 的最大公因数是 30，则
m=_______.
（2）（★★★☆☆）已知 A = 2 2 5 m ， B = 2 3 5 m ， A、B 的最小公倍数是 420，则
m=_______.
（3）（★★★★☆）已知两个数的和是 90，它们的最大公因数是 15，试求这两个数.
（4）（★★★★☆）一张长方形纸片的长是 42 厘米，宽是 30 厘米，要把这张纸裁成大小相
等的正方形纸片而没有剩余，裁成的正方形纸片至少有多少张？
3
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ）
A. 两个整数相除，商一定是整数
B. 非负整数是正整数
C. 若整数 m 除以整数 n 恰好能整除，则 m 一定能被 n 除尽
D. 若 m÷n=0.3，则 n 一定能整除 m
（2）（★★☆☆☆）正整数 36 能被正整数 a 整除，写出所有满足条件的 a 的值.
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）一个三位数能被 5 整除，这个数加上 3 能被 2 整除，则这个三位数最小
是_______.
（2）（★★☆☆☆）能同时被 2、3、5 整除的最小的三位数是_______.
练 1-3
（1）（★★★☆☆）已知 A = 2 2 3 m ， B = 2 3 3 m ， A、B 的最大公因数是 42，则
m=________.
（2）（★★★☆☆）已知 A = 2 3 5 m ， B = 2 3 3 m ， A、B 的最小公倍数是 630，则
m=________.
（3）（★★★★☆）已知两个数的和是 108，它们的最大公因数是 18，试求这两个数.
4
（4）（★★★★☆）小杰的爸爸找来两根长木棒，准备做成长度相等的小木棒给小杰做手工
作品，已知两根长木棒长度分别是 30cm、66cm，那么做成的小木棒最长可以是多少厘米？
一共能截成多少段？（材料没有剩余）
知识点 2——
知识笔记
1.
（1）分数与除法：被除数÷除数=_______.
（2）最简分数：分子和分母________的分数.
（3）真分数：分子比分母____的分数．
（4）假分数：分子____________分母的分数.
（5）带分数：一个正整数与一个真分数_______所成的数.
（6）倒数：1 除以一个不为零的数得到的商．
（7）约分：把一个分数的分子与分母的_________约去的过程．
（8）通分：将异分母的分数分别化成与原分数____________的同分母的分数.
2.
分数的分子和分母都乘以或都除以______________的数，所得的分数与原分数的大小
_______．
5
3.
（1）同分母分数相加减
（2）异分母分数的加、减法
（3）分数的乘法
（4）分数的除法
4.
（1）循环小数
（2）分数与小数的互化
（3）分数与小数的混合运算
经典 题
1
1 x
（1）（★★☆☆☆）在 1、2、3、4、5 这 5 个数中，能使分数 和 一个是真分数，另一个
x 4
是假分数的 x 的值有哪些？
2 1
（2）（★★☆☆☆）一个最简分数，把它的分子增加 1 得到 ，把它的分子减少 1 得到 ，
3 2
请写出这个最简分数.
6
2
（★★★☆☆）计算：
（ 2 7 11） + ; （2）
1 1
2 2 17 ;
5 20 4 12 25
1 5 2 998
（3） + 0.25 1 ; （4）999 999 .
4 7 7 999
3
7 6
（1）（★★★★☆）水果店运来 120 千克苹果，第一天卖了 ，第二天卖了第一天的 ，
20 7
问：第二天卖了多少千克苹果？
（2）（★★★★☆）有一辆长途汽车从甲地开往乙地，中途有些人下车后，所剩乘客是原有
1 5
人数的 ，后来又有 14 人上车，这时车上的人数相当于原来的 ，问：原来车上有多少人？
6 9
7
巩固练习
练 2-1
x x
（1）（★★☆☆☆）对于分数 （x 为正整数），当 x 取何值时， 为最大的真分数？
10 10
a
（2）（★★☆☆☆）如果 是假分数，但是又不能化成带分数，并且 a 要比 20 小，那么 a 可
4
以取的自然数有哪些？
练 2-2
（★★★☆☆）计算：
7 1 2 1
（1） 0.3+ ; （2） 2 0.75 ;
25 2 3 4
7 3 1 7 238
（3） 999 + 99 + 9 + ; （4） 238 238 .
8 4 2 8 239
8
练 2-3
1 1
（1）（★★★★☆）一根绳子全长是 6 米，第一次剪去全长的 ，第二次剪去全长的 ，那
3 2
么剩下部分的长度是多少米？
1 2
（2）（★★★★☆）一部书，分上、下两册，已知上册的页数的 与下册页数的 相等，且
4 7
下册有 189 页，这部书共有多少页？
9
知识点 3——
知识笔记
1.
（1）比：a、b 是两个数或两个同类的量，为了把 b 和 a 相比较，将 a 与 b 相除，叫做
a 与 b 的____.
（2）比例：a、b、c、d 四个量中，如果 a : b = c : d，那么就说 a、b、c、d 成比例，也
就是表示两个比相等的式子叫做比例．
2.
（1）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0 除外），比值_______．
（2）比例的基本性质：
a c
如果 a :b = c : d 或 = ，那么___________．
b d
a c
反之，如果 a、b、c、d 都不为零，且 ad = bc ，那么______________或 = ．
b d
3.
n
（1）概念：把两个数量的比值写成 的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，
100
记作________，读作百分之 n．符号“%”叫做百分号．
（2）百分数与小数、分数的关系
（3）应用
4.
上述事件具有共同的特点，就是事先知道出现的结果会有几种可能性，但是又无法确定
到底会出现哪一种结果．
我们将这类事件叫做___________________．
10
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）若 a :b = 2 : 3，b : c = 3: 6 .
①求 a :b : c ；
②已知 a = 20，求 b，c 的值.
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中的 x.
1 1 1
① 2x : 3 =16 ； ② x : 3 =18: .
4 6 3
2
（★★★☆☆）某小学开展课外兴趣小组活动，参加舞蹈队人数与参加音乐队人数的比是 7:11，
如果从舞蹈队调 5 人到音乐队，那么两队人数的比是 1:2，舞蹈队有多少人？
11
3
（★★★☆☆）如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有
数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，
（1）求两个转盘上分别出现数字 1 和 3 的可能性大小；
（2）求两个转盘上的数字都是奇数的可能性大小.
巩固练习
练 3-1
1 2
（1）（★★☆☆☆）若 a :b = : ，b : c = 5:3 .
2 3
①求 a :b : c ；
②已知 a + b + c = 47 ，求 a，b，c 的值.
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中的 x.
x 2 7 3
① 2.5 : =1； ②1 :1 = x : .
2 3 8 4
12
练 3-2
（★★★☆☆）一辆汽车从甲地到乙地，已行的路程和剩下的路程的比是 1:3；如果再行 35 千
米，则已行的路程和剩下的路程的比是 3:5.从甲地到乙地一共有多少千米？
练 3-3
（★★★☆☆）如图，甲为四等分字母转盘，乙为三等分数字转盘.同时自由转动两个转盘，
当转盘停止转动后（若指针指在边界上则重转）.
（1）求转到的是 A3 的可能性大小；
（2）求转到 A 和奇数的可能性大小.
13
知识点 4——
知识笔记
1.
C = _______ 或 C = ________ .
2.
l = ________ .
3.
S = _______ .
4.
S = ________ = ________
扇形 .
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）一个圆的周长是 50.24 厘米，则半径是多少厘米？（ 取 3.14）
（2）（★★☆☆☆）若一弧的半径是 2 厘米，圆心角是 45 度，则弧长是多少厘米？（ 取
3.14）
14
（3）（★★☆☆☆）若一扇形圆心角是 60 度，扇形的半径是 4 厘米，则扇形的面积是多少？
（结果保留 ）
2
（★★★☆☆）如图，四边形 ABCD 是长方形，长为 10 厘米，宽为 6 厘米，求阴影部分的
面积.（结果保留 ）
3
（★★★★☆）用 8 米长的绳子将一头牛系在草地上的直径为 0.2 米的木桩上，这头牛能吃到
草的地方有多大？（绳子的伸缩和缠绕和打结忽略不计）（ 取 3.14）
15
巩固练习
练 4-1
（1）（★★☆☆☆）直径为 10 厘米的圆的周长为多少厘米？（ 取 3.14）
（2）（★★☆☆☆）若一弧长为 2.826 米，弧的半径为 12 分米，则圆心角为多少？（ 取
3.14）
（3）（★★☆☆☆）若一个扇形圆心角是 45 度，扇形的半径是 16 厘米，则扇形的面积是多
少？（结果保留 ）
练 4-2
（★★★☆☆）求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）（结果保留 ）
16
练 4-3
（★★★★☆）如图是一个正三角形的篱笆，边长为 3 米，在一角上用 3 米长的绳子拴着一只
小狗，求小狗最大活动范围，若绳子长为 4 米，情况又如何？（结果保留 ）
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列说法中，正确的有（ ）
（1）120 是同时能被 2、3、5 整除的最小的三位数；
（2）个位上是 3、6、9 的自然数一定能被 3 整除；
（3）两个素数相加的和一定是偶数；
（4）相邻的两个正整数，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的乘积；
（5）两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 60，那么这两个数只能是 12 和 60；
（6）一个素数的因数也一定都是素数．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
练 2
2a + 2b
（★★☆☆☆）分数 中的 a 和 b 同时扩大为原来的三倍，得到的分数是原来的（ ）
ab
1 1 2
A． B． C．3 倍 D．
3 9 3
17
练 3
（★★★☆☆）计算：
（ ） 7 7 1 21 4 + 0.125 3 ; （2）8 125% ;
16 8 4 11
1 14 98（3）12.8 3 5 2.8 ; （4）10000 99 99 .
5 15 99
练 4
（★★★★☆）有两箱苹果，大箱里的苹果比小箱里的苹果多 31 个，如果从小箱中取 7 个放
入大箱，则大箱与小箱中的苹果比是 7:4，现在小箱中有苹果多少个？
18
练 5
（★★★★☆）如图，三个圆的半径均为 3 厘米，求阴影部分的面积．
【B组】
练 1
（★★★★★）一空水池有甲、丙两根进水管和乙一根排水管，单开甲管需 5 分钟注满水池，
单开丙管需 10 分钟注满水池，如单开乙管需 6 分钟排完水．某次，池中没有水，打开甲管
若干分钟后，发现乙管未关上，随即关上乙管，同时打开丙管，又过了同样长的时间，水池
1
的 注了水，这时再按照甲、乙、丙的顺序轮流各开一分钟，问注满水时，前后一共用了多
4
少分钟？
19
练 2
（★★★★★）某店原来将一批苹果按 100%的利润（即利润是成本的 100%）定价出售．由于
定价过高，无人购买．后来不得不按 38%的利润重新定价，这样出售了其中的 40%．此时，
因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总
利润是原定利润的 30.2%．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？
课堂总结
2009丨分数应用题
学习目标
目标1
大★★★★必迁移
掌握求一个数的几分之几
目标2
★★★★★女迁移
熟练掌握已知一个数的几分之几
目标3
★★★★★☆迁移
掌握一个数比另一个多（或少）几分之几
目标4
大★大★★必迁移
掌握工程问题
知识清单
求一个数的几分之几
已知一个数的几分之几
分数应用题
求一个数比另一个数多/少几分之几
工程问题
工程问题中的基本概念
工程问题中的基本公式
【考情分析】
1.分数运算的运用属于数与运算部分，属于解释性理解水平，
2.主要考察分数应用题，以解答题为主，占期末试卷总分值的20%；
3.对应教材：预初上册，第二章：分数，第二节：分数的运算，2.9分数运算的应用；
4.分数运算的应用是六年级数学上学期第二章第二节内容，主要包含分数运算的应用中的
几种常见的类型，重、难点是第三种类型一个数比另一个数多（或少）几分之几的应用.通
01
过这节课的学习一方面将前面学过的内容进行复习巩固，另一方面提升学生的分数计算能
力，并且通过解决实际问题，激发学生对数学学习的兴趣
课堂引入
【课堂引入】
某校六年级，共有学生516人，
20
其中男同学人数占全年级的
43
则该学校六年级有女生多
少人？
【答案】
20,
516×(1-
=276
43
学校六年级有女生276人
苗
知识点1一求一个数的几分之几
知识笔记
求一个数的几分之几
应用题的数量关系是：单位“1的量几分之几=几分之几的具体量
例：求a的P是多少？
9
解法
【填空答案】
经典例题
例1
(*★☆☆☆)一根50米长的电线，剪去它的号，则剪去了()米。
A
2
B、20
C.30
D、
5
3
5
【配题说明】考查“求一个数的几分之几”，用乘法解决问题
·2
【常规讲解】
剪去它的，即第去了50号-20（米，
故选B
例2
女)小红看一本300页的书，第一天看了这本书的名，第二天
6
则第三天应从
页看起。
(2)
(★★★☆☆)一批苹果60吨，先运走了它的
再运来吨，这时苹果有」
吨
【配题说明】考查分数运算的应用
【常规讲解】
(1)第一天看了：300×
2
=40页，
=50页，所以第三天应从91页看
15
第二天看了：300×
6
起
一天运走了60×号24吨，再运来吨，这时苹果有60-24+=3
5
例3
(*女)小新计划三天看完一本书，第一天看了全书的号，第二天看了第一天的号，那
么小新前两天共看了全书的几分之几？第三天小新应看完全书的几分之几？
【配题说明】考查分数运算的应用，同时需要较强的逻辑思维能力
【常规讲解】
55:1
2,4218
1817
7
3535
答：
小新前两天共看了全书的8
第三天小新应看完全书的
17
35
·305 | 分数的加减法
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握分数的加减运算法则
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 掌握真分数、假分数及带分数的分类
知识清单
分 分数加减法
分数的加减法
分 分数加减法
分 数的加减法
分数
分数
分数 分数 分数
分数
分数加减法
【考情分析】
1．分数的加减法属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察分数的加减运算，以解答题为主，占期中总分值的 10%；
3．对应教材：预初上册，第二章：分数，第二节：分数的运算，2.4 分数的加减法；
4．分数的加减法是六年级数学上学期第二章第 2 节的内容．通过本讲的学习，需先掌握异
分母分数加减法的法则，并能利用法则进行计算；重点是理解真分数、假分数和带分数的概
念，并掌握假分数与带分数的互化，并熟练运用异分母分数加减法的法则计算带分数加减法；
难点是利用分数加减法的规律解分数方程和利用加法的结合律、交换律以及根据特征寻找规
律的技巧进行相关的简便计算．
1
课堂引入
【课堂引入】
1 1 1 1
你知道 + ， + 分别等于多少吗？
3 3 3 2
1 1 2 1 1 2 3 5
【答案】 + = ； + = + =
3 3 3 3 2 6 6 6
知识点 1——分数的加减法
知识笔记
1． 分 分数加减法
同分母分数相加减，分母______，分子相加减．
b c
已知分数 、 （ a 0 ， b c ），则：
a a
b c b + c
+ = ．
a a a
b c b c
= ．
a a a
注意：一般地，分数运算的结果用________表示
2． 分 分数加减法
异分母分数相加减，先______，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算．
【填空答案】
（1）不变；最简分数
（2）通分
2
经典例题
例 1
（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
1 3 7 4
（1） + = _____ （2） = _____
8 8 9 9
17 7 5 11 7
（3） = _____ （4） + = _____
25 25 12 12 12
11 13
（5） + 1= _____
20 20
【配题说明】本题考察了同分母分数的加减法，注意运算结果要约分化简．
【常规讲解】同分母分数相加减，分母不变，分子相加减．
3 1 4 1 7 4 3 1 17 7 10 2
（1） + = = ；（2） = = ；（3） = = ；
8 8 8 2 9 9 9 3 25 25 25 5
5 11 7 9 3 11 13 4 1
（4） + = = ；（5） + 1= = ；
12 12 12 12 4 20 20 20 5
例 2
（1）（★★☆☆☆）计算：
11 1 6 9 5 3 1 14 2 3
① ② ③ + ④
24 16 7 28 6 4 3 15 5 10
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中 x 的值：
3 9 5 3 x = 1 3① x + = ② ③ x =
7 14 6 4 12 8
（3）（★★★☆☆）列式计算：
7 1 2
① 减去 的差再加上 的和是多少？
12 4 3
4 3 1
② 加上 的和再减去 的差是多少？
5 25 10
19 8 8
③ 加上 减去 的差的和是多少？
27 9 27
【配题说明】本题考察了异分母分数的加减混合运算，注意准确运用运算法则
【常规讲解】
11 1 22 3 19
（1）① = =
24 16 48 48 48
3
6 9 24 9 15
② = =
7 28 28 28 28
5 3 1 10 9 4 5
③ + = + =
6 4 3 12 12 12 4
14 2 3 28 12 9 7
④ = =
15 5 10 30 30 30 30
（ ）① 3 9 9 3 9 6 32 x + = ，x = = =
7 14 14 7 14 14 14
5 3 5 3 10 9 1
② x = ，x = = =
6 4 6 4 12 12 12
1 3 3 1 9 2 11
③ x = ，x = + = + =
12 8 8 12 24 24 24
7 1 2 7 3 8
（3）① + = + =1
12 4 3 12 12 12
4 3 1 40 6 5 41
② + = + =
5 25 10 50 50 50 50
19 8 8 19 24 8 35
③ + = + =
27 9 27 27 27 27 27
例 3
3 1
（★★★☆☆）李大厨采购了一批大米，第一周用去 吨，第二周比第一周少用 吨，两周
10 5
1
过后还剩余大米 吨，李大厨采购了多少吨大米？
2
【配题说明】本题考察了异分母分数加减法的应用．
【常规讲解】
3 1 1
由题意得，第二周用去 = （吨）
10 5 10
3 1 1 9
所以共采购了： + + = （吨）
10 10 2 10
9
答：李大厨采购了 吨.
10
4
巩固练习
练 1-1
（★☆☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
2 3 7 5
（1） + = _____ （2） = _____
10 10 8 8
19 5 7 13 11
（3） = _____ （4） + = _____
24 24 18 18 18
1 25
（5） + 1= _____
26 26
【配题说明】本题考察了同分母分数的加减法，注意运算结果要约分化简．
【常规讲解】同分母分数相加减，分母不变，分子相加减．
2 3 5 1 7 5 2 1
（1） + = = （2） = =
10 10 10 2 8 8 8 4
19 5 14 7 7 13 11 9 1
（3） = = （4） + = =
24 24 24 12 18 18 18 18 2
1 25
（5） + 1= 0
26 26
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）计算：
11 1 3 1
① ②
24 16 4 12
4 7 4 7 5 11
③ + ④ + +
6 9 9 12 16 24
（2）（★★☆☆☆）求下列各式中 x 的值：
3 3 3 1
① x = ② x =
2 10 8 6
16 1
③ x =
25 10
（3）（★★★☆☆）列式计算：
5 7 1
① 加上 的和，比 大多少？
6 18 4
1 7 1
②某数加上 得 ，求这个数减去 的差.
8 12 4
5
【配题说明】本题主要考察分数的加减及混合运算，注意相关运算法则的准确运用．
【常规讲解】
11 1 22 3 19 3 1 9 1 8 2
（1）① = = ；② = = = ；
24 16 48 48 48 4 12 12 12 12 3
4 7 4 12 14 8 7 5 11 28 15 22 65
③ + = + =1；④ + + = + + = ．
6 9 9 18 18 18 12 16 24 48 48 48 48
3 3 3 3 18 9
（2）① x = ，x = + = =
2 10 10 2 10 5
3 1 3 1 5
② x = ，x = =
8 6 8 6 24
16 1 27
③ x = ，x =
25 10 50
5 7 1 35
（3）① + =
6 18 4 36
7 1 11 11 1 5
② = ， =
12 8 24 24 4 24
练 1-3
5 2
（★★★☆☆）小王第一天看了一本书的 ，第二天比第一天多看了这本书的 ，他两天共
28 7
看了这本书的几分之几？
【配题说明】本题考察了异分母分数加减法的应用以及分数的大小比较
【常规讲解】
5 5 2 9
由题意得： + + =
28 28 7 14
9
答：他两天共看了这本书的 .
14
6
知识点 2—— 分数 分数 分数
知识笔记
1. 分数
分子比分母____的分数叫做真分数．
2. 分数
分子____________分母的分数叫做假分数．
3. 分数
一个正整数与一个真分数_______所成的数叫做带分数．
带分数是假分数的另一种表达形式．
注意：分数运算的结果如果是假分数，一般用带分数表示．
4. 分数加减法
带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合
并起来．或者将带分数化为假分数再进行加减运算．
【填空答案】
1、小
2、大于或者等于
3、相加
经典例题
例 1
1
（1）（★★☆☆☆） 2 化成假分数是（ ）
3
5 4 7 8
A、1 B、1 C、 D、
3 3 3 3
19
（2）（★★☆☆☆）分数 介于正整数（ ）之间.
4
7
A、3 和 4 B、4 和 5 C、5 和 6 D、6 和 7
（3）（★★★☆☆）计算：
3 7 4 3 5
①1 + 2 ②1 + 2 ③ 6 2
11 22 15 10 8
5 1 25 1 1 5 2
④ 3 1 ⑤ 2 ⑥ 2 + 3 4
12 4 8 6 3 6 9
【配题说明】本题考察了假分数的概念及带分数和假分数的转化以及带分数的加减运算
【常规讲解】
1 7
（1） 2 = ，故选 C.
3 3
19 3 19
（2） = 4 ，所以 介于正整数 4 和 5 之间，故选 B.
4 4 4
3 7 3 7 13
（3）①1 + 2 =1+ 2+ + = 3
11 22 11 22 22
4 3 19 23 38 69 107 17
②1 + 2 = + = + = = 3
15 10 15 10 30 30 30 30
5 3
③ 6 2 = 3
8 8
5 1 5 1 1 1
④ 3 1 = (3 1) + = 2 + = 2
12 4 12 4 6 6
25 1 25 13 75 52 23
⑤ 2 = = =
8 6 8 6 24 24 24
1 5 2 7 23 38 42 69 76 35 17
⑥ 2 + 3 4 = + = + = =1
3 6 9 3 6 9 18 18 18 18 18
例 2
1
（★★★☆☆）有 A、B 两个水桶，A 桶中盛的水比 B 桶中的水多 6 升，如果从 A 桶中取出
3
1
2 升水倒入 B 桶，这时 A 桶中的水比 B 桶中的水多多少升？
4
【配题说明】本题考察了带分数的加减运算在实际问题中的运用．
【常规讲解】
1 1 1 5
6 2 2 =1 （升）
3 4 4 6
5
答：这时 A 桶中的水比 B 桶中的水1 升.
6
8
例 3
1 1
（★★★★☆） 表示一种新运算，规定它的含义是： a b = a + 3 b + 2 ，请计算：
2 2
5 1
（1） 4 5 的值；
6 6
4 1 3
（2）10 7 的值.
7 14 28
【配题说明】本题考察新定义
【常规讲解】
5 1 5 1 1 1 5 1 1 1 2
（1） 4 5 = 4 + 3 5 + 2 = 4 + 3 5 2 = ；
6 6 6 2 6 2 6 2 6 2 3
1 3 1 1 3 1 1 1 3 1 223 27（2）首先 7 = 7 + 3 + 2 = 7 + 3 2 = = 7
14 28 14 2 28 2 14 2 28 2 28 28
4 27 4 1 27 1 17
其次10 7 = 10 + 3 7 + 2 = 3 .
7 28 7 2 28 2 28
巩固练习
练 2-1
3
（1）（★★☆☆☆）5 化成假分数是（ ）
4
11 17 23 25
A、 B、 C、 D、
4 4 4 4
16
（2）（★★☆☆☆）分数 介于正整数（ ）之间.
3
A、4 和 5 B、5 和 6 C、6 和 7 D、7 和 8
（3）（★★★☆☆）计算：
5 5 3 7
① +1
5
②1 + 2 ③10 5
3 12 4 16 9
4 1 39 1 3 1 1
④ 5 3 ⑤ 2 ⑥ 4 + 2 3
15 10 10 4 8 6 4
【配题说明】本题考察了分数的相关概念及分数的运算
【常规讲解】
9
3 23
（1） 5 = ，故选 C.
4 4
16 1 16
（2） = 5 ， 介于正整数 5 和 6 之间，故选 B.
3 3 3
5 5 20 17 37 1
（3）① +1 = + = = 3
3 12 12 12 12 12
3 7 3 7 12 7 19 3 3
②1 + 2 =1+ 2+ + = 3+ + = 3+ = 3+1 = 4
4 16 4 16 16 16 16 16 16
5 4
③10 5 = 4
9 9
4 1 79 31 158 93 65 13 1
④ 5 3 = = = = = 2
15 10 15 10 30 30 30 6 6
39 1 39 9 156 90 33 13
⑤ 2 = = = =1
10 4 10 4 40 40 20 20
3 1 1 35 13 13 105 52 78 79 7
⑥ 4 + 2 3 = + = + = = 3
8 6 4 8 6 4 24 24 24 24 24
练 2-2
1 3
（★★★☆☆）一根长是150 厘米的铜管被截成了 3 段，第一段铜管长是 47 厘米，第二段
2 5
809
铜管长是 厘米，第三段铜管长是多少厘米？
20
【配题说明】本题考察了分数加减法的应用，计算时要注意看清题目问的问题．
【常规讲解】
1 3 809 301 238 809 3010 952 809 1249 9
由题意得：150 47 = = = = 62 （厘米）
2 5 20 2 5 20 20 20 20 20 20
9
答：第三段铜管长是 62 厘米.
20
练 2-3
3
（★★★★☆） 表示一种新运算，规定它的含义是： a b = a + (b 2)，请计算：
2
1 1
（1） 3 5 的值；
4 5
7 13 7
（2）1 4 的值.
12 6 18
【配题说明】本题考察新定义
【常规讲解】
10
1 1 1 3 1 7 16 99 19
（1） 3 5 = 3 + 5 2 = + = = 4 ；
4 5 4 2 5 4 5 20 20
13 7 13 3 7 2 7 1（2）首先 4 = + 4 2 = + 2 = 3
6 18 6 2 18 3 18 18
7 1 7 3 1 1 1 41 5
其次1 3 = 1 + 3 2 = +1 = =1 .
12 18 12 2 18 12 18 36 36
综合练习
【A组】
练 1
1 1
（1）（★★☆☆☆） 加上 的和是（ ）
4 3
1 2 1 7
A、 B、 C、 D、
7 7 12 12
3 1
（2）（★★☆☆☆）某数减去 的差是 ，这个数是（ ）
4 2
5 3 1 1
A、 B、 C、 D、
4 4 2 4
【配题说明】本题考察了分数的运算．
【常规讲解】
1 1 7
（1）由题意得： + = ，故选 D.
4 3 12
1 3 5
（2）由题意得： + = ，故选 A.
2 4 4
练 2
（★★☆☆☆）直接写出下列各题的答案：
4 3
（1）10+ 2 = _____ （2）8 4 = _____
9 5
5 1 5 5
（3）1 + 2 = _____ （4） 4 = _____
6 2 12 4
【配题说明】本题考察了真分数和假分数的概念．
【常规讲解】
11
4 4
（1）10+ 2 =12
9 9
3 2
（2）8 4 = 3
5 5
5 1 11 5 11 15 26 13 1
（3）1 + 2 = + = + = = = 4
6 2 6 2 6 6 6 3 3
5 5 53 15 38 19 1
（4） 4 = = = = 3
12 4 12 12 12 6 6
练 3
（★★★☆☆）解方程：
1 33 1 3 1 1 1
（1） x + 2 = （2） x = （3）1 + x = 5 2
10 5 2 5 5 8 4
【配题说明】本题考察了含有分数的方程
【常规讲解】
33 1 66 21 45 9 1
（1） x = 2 = = = = 4
5 10 10 10 10 2 2
3 1 1 9
（2） x = + =
5 5 2 10
1 1 13 5
（3） x = 5 2 1 = =1
4 8 8 8
练 4
（★★★☆☆）列式计算：
5 1
（1）8 减去 6 的差，再加上 的和，等于多少？
16 4
22 5 1
（2） 减去 的差与某数相加所得的和是5 ，求这个数.
9 12 3
【配题说明】本题考察了分数运算的应用．
【常规讲解】
5 1 128 101 4 31 15
（1）由题意得：8 6 + = + = =1 .
16 4 16 16 16 16 16
22 5 103 1 103 89 17
（2）由题意得： + = ，5 = = 2 .
9 12 36 3 36 36 36
12
练 5
1 1 5
（1）（★★★☆☆）一根竹竿长是3 米，笔直地插入河底泥中 米，露出水面 米，求河水
2 4 8
的深度.
4 5
（2）（★★★☆☆）某工地上有一堆黄沙，第一次用去 2 吨，第二次比第一次少用 吨，如
5 8
1
果剩下的黄沙比前两天用去的总和多 吨，那么还剩下多少吨黄沙？
5
【配题说明】本题考察了分数运算在实际问题中的应用．
【常规讲解】
1 1 5 7 1 5 28 2 5 21
（1） 3 = = = （米）
2 4 8 2 4 8 8 8 8 8
21
答：河水的深度是 米.
8
4 5 87 7 4 7 1 7
（2）由题意得，第二次用去 2 = = 2 （吨）；还剩下 2 + 2 + = 5 （吨）.
5 8 40 40 5 40 5 40
7
答：还剩下5 吨黄沙.
40
【B组】
练 1
（★★★★☆）小兰在解题时发现一种规律：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1 ， = ， = ， = ,…
1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5
请根据以上规律解答以下问题：
1 （ ）（ ） 1 （ ）（ ）
（1） = ； = ；
99 100 （ ）（ ）n (n +1) （ ）（ ）
1 1 1 1 1 1 1
（2）计算： + + + + + +
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
【配题说明】本题考察了分数的简便运算．
【常规讲解】
1 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
（1）通过观察可得： = ； =
99 100 ( 99 ) ( 100) n (n +1) ( n ) (n +1)
13
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1 + + + + + +
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
（2）
1
=1
8
7
=
8
练 2
1 1 1 1
（★★★★☆）根据 = （ n 为正整数），
n ( n + 2) 2 n n + 2
1 1 1 1 1
计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9
15 35 63 99 143
【配题说明】本题主要是根据题目给出的运算方法进行计算，注意对方法的理解和准确运用
【常规讲解】
1 1 1 1 1
1 + 3 + 5 + 7 + 9
15 35 63 99 143
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ + 3+ + 5 + + 7 + + 9 +
2 3 5 2 5 7 2 7 9 2 9 11 2 11 13
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ 3+ 5 + 7 + 9 + + + + +
2 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13
1 1 1
= 25 +
2 3 13
5
= 25
39
1408 | 分数巧算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解分数与小数的基本运算法则
目标 2 ★★★★☆☆ 识别 掌握分数的速算与巧算
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握分数单位的运用
知识清单
算
算
分数 算 巧算
算 巧
分数巧算 分 数 分
单 分数
【考情分析】
1．分数的巧算属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
2．主要考察分数与小数的综合运算，以解答题为主，占期末总分值的 10%；
3．对应教材：预初上册，第二章：分数，第二节：分数的运算，2.8 分数、小数的四则混合
运算；
4．分数、小数的四则混合运算是六年级数学上学期第二章第 2 节中的内容．
在这之前，我们已经学习了分数的加减法、分数的乘除法和分数与小数的互化，而本讲将在
此基础上讲解分数与小数的混合运算，灵活运用分数与小数的互化及基本的运算法则．
紧接着，我们将在课本内容的基础上，拓展一些速算与巧算的相关题型，同学们需要有意识
地观察并灵活地分析题目的特征，充分利用相关的技巧，达到速算与巧算的目的．
1
最后，单位分数的讲解将教会同学们如何将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和．
课堂引入
【课堂引入】
3 3
计算： 3
8 4
3 3 3 3 3 9 3 4 1
小明是这样做的： 3 = 3 = = = ，请问小明的解法是否正确？如
8 4 8 4 8 4 8 9 6
有错误，请指出来，并加以改正.
【常规讲解】
3 3 3 1 3 3
3 = =
8 4 8 3 4 32
知识点 1——分数 算 巧算
知识笔记
1. 算
交换律： a + b = ________,a b = ________
结合律： (a + b) + c = ________,(a b) c = ________
分配律： a (b + c) = ________,(a + b) c = ________
2. 算
减法的运算性质： a b c = ________,a + b c = ________
除法的运算性质： a b c = a (b c),a b c = a c b
3. 算 巧
分组凑整法、乘法分配律逆运用、整体设元法、拆项相消法等.
4. 分数 分
a + b
（1） = ________
a b
b a
（2） = ________
a b
2
1
（3） = __________
n (n +1)
1
（4） = __________
n (n + k )
【填空答案】
1、b + a ， b a ， a + (b + c) ， a (b c) ， a b + a c ， a c + b c
2、 a (b + c) ， a + (b c)
4、 1 1 ， 1 1 1 1 1 1 1+ ， ， ( )
a b a b n n +1 k n n +1
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）计算：
7 5 11①
3 3
2 + ② 49 23 18.7 25.25
9 12 18 4 4
3 12
③ 0.26 0.52 ④8 7 0.125
4 19
⑤ 3 2 3 12.4 ( + ) 3.2 ⑥16 ( + + 0.625)
4 3 8 4
【配题说明】考察分数与小数互化运用于基础加减乘除运算.
【常规讲解】
7 5 11 3 7 5 11 3 28 15 22 27
① 2 + = 2 = 2 =1
9 12 18 4 9 12 18 4 36 36 36 36
3
② 49 23 18.7 25.25 = 49 23.75+18.7 25.25 =18.7
4
3 3 1 3
③ 0.26 0.52 = 0.26 =
4 4 0.52 8
12 12 1 12
④8 7 0.125 = 8 7 = 7
19 19 8 19
3 2 17
⑤ 2.4 ( + ) 3.2 = 2.4 3.2 = 3.4 3.2 = 0.2
4 3 12
3 1 3 1 7 3 32 2
⑥16 ( + + 0.625) =16 ( + + ) =16 = =10
8 4 8 4 8 2 3 3
3
例 2
（1）（★★★☆☆）计算：
① 70 1 28 ② 73 9
71 17
③ 19971997 1997 ④
2356
2356 2356
1998 2357
（2）（★★★☆☆）计算：
4 12 1 1 4 148 86 74
① 23 +16 + ② 39 +148 + 48
7 13 7 7 13 149 149 149
1 3 1 4 1 5
③ 31 + 41 + 51
2 2 3 3 4 4
【配题说明】考察分数与小数加减混合运算
【常规讲解】
70 1 28 43
（1）① 28 = (1 ) 28 = 28 = 27
71 71 71 71
1 18 18 2 2
② 73 9 = (72+ ) 9 = 72 9+ 9 = 8+ = 8
17 17 17 17 17
1997 1997 1997 1 1
③1997 1997 = (1997 + ) 1997 =1997 1997 + 1997 =1+ =1
1998 1998 1998 1998 1998
2356 2356 2357 + 2356 2356 2358 2357
④ 2356 2356 = 2356 = 2356 = 2356
2357 2357 2357 2356 2358
2357
=
2358
4 12 1 1 4 4 12 4 4 1 4 12 1
（2）① 23 +16 + = 23 + 4 + = 23 + 4 + =16
7 13 7 7 13 7 13 7 7 13 7 13 13
148 86 74 39 86 24 39 86 24
39 +148 + 48 =148 +148 +148 =148 ( + + )
② 149 149 149 149 149 149 149 149 149
=148
1 1 3 1
③观察发现如果将 31 分成 30 与1 的和，那么 30 是除数 的分子的整数倍，1 则恰好与
2 2 2 2
除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．
1 3 1 4 1 5 1 3 1 4 1 5
31 + 41 + 51 = 30 +1 + 40 +1 + 50 +1
2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4
3 4 5
= 30 +1+ 40 +1+ 50 +1
2 3 4
= 20+30+40+3
=93
4
例 3
（★★★★☆）计算：
（ ） 1 1 1 1 1 1 11 + + + + + +
2 6 12 20 30 42 56
（ ）1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 12 + + + + + + + + + + + + + + +
1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995
【配题说明】本题主要考察分组凑整及裂项相消
【常规讲解】
（ ） 1 1 1 1 1 1 11 + + + + + +
2 6 12 20 30 42 56
1 1 1 1 1 1 1
= + + + + + +
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1 + + + + + +
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
1 7
=1 =
8 8
观察可知分母是 1 的和为 1；分母是 2 的和为 2；分母是 3 的和为 3；……依次类推；分母
是 1995 的和为 1995.这样，此题简化成求1+ 2 + 3+ +1995 的和.
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1
+ + + + + + + + + + + + + + +
1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995
=1+ 2 + 3+ 4 + +1995 =(1+1995) 1995 2
= 998 1995 =1991010
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）计算：
1 2 5 4
① 3 +1 2.7 ② (1 1.2 ) 1.9 +1
2 3 6 5
2 3 1 3 1 5
③ 4 1.4 (1 ) ④ (2.5 ) + 0.25
5 4 3 4 4 12
3 1 2 1 1
⑤ ( + 0.75) 24 ⑥ (0.75 + ) 1
8 3 3 12 24
【配题说明】考察分数与小数的四则混合运算
5
【常规讲解】
① 1 2 1 2 7 15 20 21 73 +1 2.7 = 3 +1 2 = 3 +1 2 = 2
2 3 2 3 10 30 30 30 15
② 5 4 4 4(1 1.2 ) 1.9+1 = 0 1.9+1 =1
6 5 5 5
2 3 1 22 4 7 2 74
③ 4 1.4 (1 ) = =
5 4 3 5 3 5 3 15
3 1 5 3 5 1 5 3 9 5 27 5 161
④ (2.5 ) + 0.25 = ( ) + 4 = + 4 = + =
4 4 12 4 2 4 12 4 4 12 16 3 48
⑤ 3 1 3 1 3 3 1 3( + 0.75) 24 = ( + ) 24 = 24 24+ 24 = 9 8+18 =19
8 3 8 3 4 8 3 4
⑥ 2 1 1 9 8 1 24 1 24 4(0.75 + ) 1 = ( + ) = =
3 12 24 12 12 12 25 6 25 25
练 1-2
（1）（★★★☆☆）计算：
2007 1997
① 2007 2007 ②1997 1997
2008 1998
（2）（★★★☆☆）计算：
① 137 1 ② 2 5 3 7 4 9139 +137 1 51 + 71 + 91
138 138 3 3 4 4 5 5
【配题说明】本题主要考察分数的运算性质
【常规讲解】
2007 2007 1 1 2009
（1）① 2007 2007 = (2007 + ) =1+ =
2008 2008 2007 2008 2008
②本题非常容易出现的一种错误解法是：
1997 1997 1997
1997 1997 =1997 (1997 + ) =1997 1997 +1997 =1+1998 =1999
1998 1998 1998
也就是学生会惯性地理解为除法具有除法分配率！正确的解法如下：
1997 1997 1998+1997 1997 1999 1998 1998
1997 1997 =1997 =1997 =1997 =
1998 1998 1998 1999 1997 1999
137 1 137 1 137 137
（2）①139 +137 1 = (138+1) +137 (1+ ) =137 + +137 +
138 138 138 138 138 138
1
=137 2 + 2 (1 )
138
1 68
= 276 2 = 275
138 69
6
2 2 5 2
②观察发现如果将 51 分成 50 与1 的和，那么 50 是除数 的分子的整数倍，1 则恰好与
3 3 3 3
除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．
2 5 3 7 4 9 2 5 3 7 4 9
51 + 71 + 91 = 50 +1 + 70 +1 + 90 +1
3 3 4 4 5 5 3 3 4 4 5 5
5 7 9
= 50 +1+ 70 +1+ 90 +1
3 4 5
= 30 + 40 + 50 + 3
=123
练 1-3
（★★★★☆）计算：
（ ） 1 1 1 11 + + +
11 13 13 15 15 17 17 19
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 18 18 19
（2） + + + + + + + + + + + + + + + + +
2 3 4 20 3 4 5 20 4 5 20 19 20 20
【配题说明】本题主要考察分组凑整和裂项法
【常规讲解】
（ ） 1 1 1 11 + + +
11 13 13 15 15 17 17 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ( ) + ( ) + ( ) + ( )
2 11 13 2 13 15 2 15 17 2 17 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + ( ) + ( ) + ( )
2 11 13 13 15 15 17 17 19
1 1 1
= ( )
2 11 19
1 8 4
= =
2 209 209
（2）观察可知分母是 2 分子和为 1 分母是 3 分子和为1+ 2；分母是 4 分子和为1+ 2 + 3 ；……
依次类推；分母是 20 子和为1+ 2 + 3+ +19 .
1 1 1 1
原式= + (1+ 2) + (1+ 2+ 3) + + (1+ 2+ 3+ +19)
2 3 4 20
1 1 1 1
= + (1+ 2) 2 2+ (1+ 3) 3 2+ + (1+19) 19 2
2 3 4 20
1 2 3 19
= + + + + = 95
2 2 2 2
7
知识点 2——单 分数
知识笔记
1. 单 分数
分子是 1，分母是正整数的分数叫做______________，记为________.
1
2. 如果要将 分成两个单 分数 和，可以 以下方法
n
（1）写出 n 的约数 n1，n2，n3 …,从中挑选出两个约数，例如 n，n . 1 2
1 1 n1 + n2
（2）把 的分子、分母乘以两个约数的和 (n1 + n2 ) ，得 = .
n n n(n1 + n2 )
（3）把所得的分数拆成两个分数之和，使两个约数恰为两个分数的分子，得：
________________________.
（4）把所得的两个分数约分，使得到要求的结果.
注意：①若 n = n ，上式中等号右边的分母相同；若 n n ，上式中等号右边的分母不1 2 1 2
同.
②如果改变约分的取法，可得到不同的解.
1
3. 如果要将 分成两个单 分数 差，也可 同上方法
n
【填空答案】
1
1、单位分数，
n
1 n1 n
2、 = +
2
n n(n1 + n2 ) n(n1 + n2 )
经典例题
例 1
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1 1
（1） = + （2） = +
3 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
8
1 1 1 1 1 1
（3） = （4） =
3 ( ) ( ) 5 ( ) ( )
【配题说明】考察分数单位.
【常规讲解】
1 1+ 3 1 3 1 1
（1） 3 =1 3, = = + = + ；
3 3(1+ 3) 12 12 12 4
1 1+ 2 1 2 1 1
（2） 2 =1 2, = = + = + ；
2 2(1+ 2) 6 6 6 3
1 3 1 3 1 1 1
（3） 3 =1 3, = = = ；
3 3(3 1) 6 6 2 6
1 5 1 5 1 1 1
（4） 5 =1 5, = = = .
5 5(5 1) 20 20 4 20
例 2
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1
（1） = + = + ；
12 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
（2） = = ；
12 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
（3） = .
12 ( ) ( ) ( )
【配题说明】考察分数单位的运算
【常规讲解】
（1）12 = 2 6 = 3 4
1 2 + 6 2 6 1 1
= = + = +
12 12(2 + 6) 12 8 12 8 48 16
1 3+ 4 3 4 1 1
= = + = +
12 12(3+ 4) 12 7 12 7 28 21
1 1 1 1 1
所以 = + = +
12 48 16 28 21
（2）12 = 2 6 = 3 4
1 6 2 6 2 1 1
= = =
12 12(6 2) 12 4 12 4 8 24
1 4 3 4 3 1 1
= = =
12 12(4 3) 12 12 3 4
1 1 1 1 1
所以 = =
12 8 24 3 4
9
（3）12 =1 2 6
1 6 2 1 6 2 1 1 1 1
= = =
12 12(6 2 1) 36 36 36 6 18 36
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1 1
（1） = + （2） = +
11 ( ) ( ) 13 ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
（3） = （4） =
5 ( ) ( ) 11 ( ) ( )
【配题说明】本题主要考察分数单位的运算.
【常规讲解】
1 1+11 1 11 1 1
（1）11=1 11, = = + = + ；
11 11(1+11) 11 12 11 12 132 12
1 1+13 1 13 1 1
（2）13 =1 13, = = + = + ；
13 13(1+13) 13(1+13) 13(1+13) 182 14
1 5 1 5 1 1 1
（3） 5 =1 5, = = = ；
5 5(5 1) 20 20 4 20
1 11 1 11 1 1 1
（4）11=1 11, = = = .
11 11(11 1) 110 110 10 110
练 2-2
（★★★☆☆）在下面的括号内填上不同的自然数：
1 1 1 1 1
（1） = + = + ；
18 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
（2） = = ；
18 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
（3） = .
18 ( ) ( ) ( )
【配题说明】考察分数单位的运算.
【常规讲解】
10
（1）18 = 2 9 = 3 6
1 2 + 9 2 9 1 1
= = + = +
18 18(2 + 9) 18 11 18 11 99 22
1 3+ 6 3 6 1 1
= = + = +
18 18(3+ 6) 18 9 18 9 54 27
（2）18 = 2 9 = 3 6
1 9 2 9 2 1 1
= = =
18 18(9 2) 18 7 18 7 14 63
1 6 3 6 3 1 1
= = =
18 18(6 3) 18 3 18 3 9 18
（3）18 =1 3 6
1 6 3 1 6 3 1 1 1 1
= = =
18 18(6 3 1) 18 2 18 2 18 2 6 12 36
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）计算：
1 2 5 1
（1） 7 + 2.5 （2） (1 1.2 ) 4+1
2 3 6 2
（ ） 1 2 3
2 1 5
3 1.6 (1 ) （4） (2.5 ) + 0.15
3 15 4 5 3 7
【配题说明】主要考察分数、小数的混合运算
【常规讲解】
1 2 2 2 2
（1） 7 + 2.5 = 7.5+ 2.5 = 5+ = 5
2 3 3 3 3
5 1 1
（2） (1 1.2 ) 4+1 =1
6 2 2
1 2 3 3 2 2 4 16 8 48 8 40 8
（3）1.6 (1 ) =1 = = = =
3 15 4 5 3 15 3 15 45 45 45 45 9
2 1 5 2 5 1 5 20 13 100 91 500 591 66
（4） (2.5 ) + 0.15 = ( ) + = + = + = = 5
5 3 7 5 2 3 7 3 15 21 105 105 105 105
11
练 2
（1）（★★★☆☆）计算：
① 7 1 ② 1 3( + 0.125) 24 (0.375 + ) 3
6 3 3 7
（2）（★★★☆☆）计算：
① 1335 3 ②
1
166 41
17 20
【配题说明】本题主要考察分数的常见运算性质
【常规讲解】
（ ）① 7 1 7 1 1 7 1 11 ( + 0.125) 24 = ( + ) 24 = 24 24+ 24 = 28 8+ 3 = 23
6 3 6 3 8 6 3 8
② 1 3 3 1 3 3 1 3 1 1 1 79(0.375 + ) 3= ( + ) 3= 3 3+ 3= + =
3 7 8 3 7 8 3 7 8 9 7 504
（ ）① 13 13 13 455 132 35 3 = 35 (3+ ) = 35 3+ 35 =105+ =131
17 17 17 17 17
② 1 41 1 1166 41= (164+ ) 41= 4+ = 4
20 20 20 20
练 3
（★★★☆☆）计算：
1 1 1 1 1 1 1
（1） = + （2） = + +
16 ( ) ( ) 30 ( ) ( ) ( )
【配题说明】本题主要考察单位分数
【常规讲解】
（1）16 = 2 8
1 2+8 2 8 1 1
= = + = +
16 16(2 +8) 160 160 80 20
（2） 30 = 2 3 5
1 2+3+5 2 3 5 1 1 1
= = + + = + +
30 30(2 + 3+ 5) 300 300 300 150 100 60
练 4
1 1 1 1
（★★★★☆）计算： + + + ．
1 4 4 7 7 10 13 16
【配题说明】本题主要使用“裂项法”完成简便
12
【常规讲解】
1 1 1 1
+ + + +
1 4 4 7 7 10 13 16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 ) + ( ) + ( ) + + ( )
3 4 3 4 7 3 7 10 3 13 16
1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 ) + ( ) + ( ) + + ( )3 4 4 7 7 10 13 16
1 1 5
= (1 ) =
3 16 16
【B组】
练 1
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+ +2016
（★★★★☆）计算： ．
2 2+3 2+3+4 2+3+ +2016
【配题说明】本题综合性较强，主要考察分数的简便运算，注意对方法的归纳总结
【常规讲解】
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+ +2016

2 2+3 2+3+4 2+3+ +2016
3 6 10 (1+ 2016) 2016 2
=
2 5 9 (2 + 2016) 2015 2
6 12 20 (1+ 2016) 2016
=
4 10 18 (2 + 2016) 2015
2 3 3 4 4 5 2016 2017
=
1 4 2 5 3 6 2015 2018
2016
= 3
2018
3024
=
1009
练 2
1 1 1 1
（★★★★☆）计算 + + + ．
2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7
【配题说明】本题综合性较强，主要考察分数的简便运算，注意对方法的归纳总结
【常规讲解】
13
1 1 1 1
+ + +
2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
= + + +
2 3 4 5 3 4 4 5 6 7 5 6
1 1 1 1 1 1
= ( + ) + ( + )
2 5 3 4 4 7 5 6
7 1 11 1
= +
10 12 28 30
7 11
= +
120 840
1
=
14
练 3
1 5 11 109
（★★★★★）计算 + + + + .
2 6 12 110
【配题说明】本题主要考察分数的简便运算，注意法则的准确运用
【常规讲解】
1 5 11 109
+ + + +
2 6 12 110
1 1 1 1 1
=1 +1 +1 +1 + +1
1 2 2 3 3 4 4 5 10 11
1 1 1 1 1
=10 (1 + + + )
2 2 3 10 11
1
=10 (1 )
11
1
= 9
11
14