09 | 证明举例
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解演绎证明、命题、定理、公理的概念
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 能利用之前学过的几何知识，进行证明举例
目标 3 ★★★★★★ 综合 能利用之前学过的几何知识，解决动点问题
知识清单
题
题、公理、定理 公理
定 理
证 明举例
证明举例 证 明举例的一 方法
证明举例动点问题 动 点问题
100
知识点 1—— 题、公理、定理
知识笔记
1． 题
（1）能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；
其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题；
数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“_______________”的形式；
（2）逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做______________；
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
2．公理
人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．
3．定理
（1）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断
其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做___________；
（2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定
理，其中一个叫做另一个的_____________；
所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理．
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：
（1）等边对等角；
如果____________________，那么______________________________；
（2）同角的补角相等；
如果____________________，那么______________________________；
101
（3）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
如果____________________，那么______________________________；
（4）全等三角形对应边相等；
如果____________________，那么______________________________．
例 2
（★★★☆☆）写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．
（1）等腰三角形两腰上的中线相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）等边对等角；
（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
例 3
（★★★☆☆）写出下列命题的逆命题、判断真假，并选取其中一个给予证明．
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）等腰三角形两个底角的角平分线长相等．
102
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．三个角相等的三角形是等边三角形； B．同角的余角相等；
C．在三角形中，钝角所对的边最长； D．对顶角相等．
练 1-2
（★★★☆☆）写出以下命题的逆命题，并判断真假：
（1）等边三角形的三个内角相等；
（2）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；
（3）等腰三角形的底角相等；
（4）全等三角形对应角相等；
（5）全等三角形面积相等．
练 1-3
（★★☆☆☆）以下说法中正确的有（ ）个
（1）逆定理一定是真命题； （2）一个定理一定有逆定理；
（3）互逆命题一定是互逆定理； （4）互逆定理一定是互逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
103
知识点 2——证明举例
知识笔记
证明举例的一 方法：
（1）利用_________的判定和性质证明；
（2）利用全等得出结论证明；
（3）利用角平分线的性质证明.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）如图，若 AB / /CD ，直线 EF 分别与 AB 和CD 相交于点 E 和 F，EP ⊥ EF ，
EFD 的平分线与 EP 相交于点 P，且 BEP = 40 ，则 EPF =____________；
（2）（★★☆☆☆）已知：如图， AB / /CD ，且 FH、EG 分别是 BFE、 CEF 的平分线，
求证： FH / /EG ．
104
例 2
（★★★☆☆）如图，已知在三角形 ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，EF 过点
D，且 EF / /BC ，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，求证：EF =BE+CF．
例 3
（1）（★★★☆☆）如图， Rt ABC 中， AB ⊥ AC ， AD ⊥ BC ， BE 平分 ABC ，交 AD 于
E ， EF / / AC ，下列结论一定成立的是 ( )
A． AB = BF B． AE = ED C． AD = DC D． ABE = DFE
（2）（★★★☆☆）已知：如图， ADC = 90 ， DC / / AB ， BA = BC ， AE ⊥ BC ，垂足为
点 E ，点 F 为 AC 的中点
①求证： ADC AEC ；
②连接 DE ，求证： DE / /BF .
105
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）如图①，直线 AB / /CD ，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE ，CE ，可以发
现 B + C = BEC ．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点 E 作 EF / / AB ，
AB / /DC （已知）， EF / / AB （辅助线的作法），
EF / /DC( )
C = CEF ． ( )
EF / / AB ， B = BEF （同理），
B + C = （等量代换）
即 B + C = BEC ．
练 2-2
（★★★☆☆）已知，如图 ABC 中， ACB 的平分线交 AB 于 E ， ACB 的补角 ACD 的平
分线为CG ， EG / /BC 交 AC 于 F ，求证： EF = FG .
106
练 2-3
（★★★☆☆）已知：如图， ADC = 90 ，DC / / AB ，BA = BC ， AE ⊥ BC ，垂足为点 E ，
点 F 为 AC 的中点．
（1）求证： AFB = 90 ；
（2）求证： ADC AEC ；
（3）连接 DE ，试判断 DE 与 BF 的位置关系，并证明．
知识点 3——证明举例动点问题
知识笔记
动点问题
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多 个动点,它们在线段上运动的一类开放性题
目解决这类问题的关键是___________,灵活运用有关数学知识解决问题.
107
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图，已知 ABC ，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 落在边 AB 上的点 E
处，点 B 落在点 D 处，联结 BD ，如果 DAC = DBA ，那么 BAC = 度．
例 2
（★★★☆☆）如图，在等边 ABC 中， AM 为 BC 边上的中线，动点 D 在直线 AM 上时，以
CD 为边在CD 的下方作等边 CDE ，联结 BE ．
（1） CAM = 度；
（2）当点 D 在线段 AM 上时，求证： ADC BEC ；
（3）当动点 D 在直线 AM 上时，设直线 BE 与直线 AM 的交点为O ，试判断 AOB 的度数
是否会发生变化？请说明理由．
108
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）已知 ABC ，过点C 作直线 l ，AM ⊥ l 于点 M ，BN ⊥ l 于点 N ，AM =CN ．
（1）如图，若 MN = AM + BN ，请判断 ABC 的形状，并说明理由；
（2）直线 MN 绕点 C 旋转过程中，若已知条件不变，线段 MN、AM、BN 应具备怎样的数
量关系时，才能保证 ABC 在（1）问中的形状不发生变化？请画出图形，并说明理由．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）下列命题是假命题的是 ( )
A．等角的补角相等 B．同旁内角互补
C．在一个三角形中，等角对等边 D．全等三角形面积相等
（2）（★★☆☆☆）下列命题中，其中真命题的个数有 个．
①等腰三角形两腰上的高相等；
②在空间中，垂直于同一直线的两直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
109
练 2
（★★★☆☆）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如
果 那么 ”的形式，再指出命题的条件和结论．
①同号两数的和一定不是负数；
②若 x = 2 ，则1 5x = 0 ；
③延长线段 AB 至 C ，使 B 是 AC 的中点；
④互为倒数的两个数的积为 1．
练 3
（★★★☆☆）如图， ABC 的内角 ABC 的平分线与外角 ACG 的平分线交于点 D ，过点
D 作 BC 的平行线交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．试判断 EF 与 BE ，CF 之间的关系，并说明理
由．
110
练 4
（★★★☆☆）判断下列命题的真假，并给出证明.
2
（1）若 a = 3，则 a = 3 ；
（2）如图，已知 BE ⊥ AD ，CF ⊥ AD ，垂足分别为点 E ，F ，且 BE =CF ．则 AD 是 ABC
的中线．
【B组】
练 1
（★★★☆☆）已知：如图， AB = AC = BD ， E 为 AB 中点，求证：CD = 2CE ．
111
练 2
（★★★★☆）如图，点O 是等边 ABC 内一点， AOB =110 ， BOC = ．将 BOC 绕点
C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC ，连接 OD ．
（1）求证： COD 是等边三角形；
（2）当 =150 时，试判断 AOD 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， AOD 是等腰三角形？
课堂总结
11204 | 一元二次方程的解法与根的判别式
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握求根公式法解一元二次方程
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握根的判别式的概念及判别式的值
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握根的判别式的应用
知识清单
根公式法 根公式法
一元二次方程的解法与
根的判别式 判 别式的概念 根的判别式
判别式的
判别式的应用 判 别式的应用
37
知识点 1—— 根公式法
知识笔记
根公式法
（1）把一元二次方程化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 （ a 0 ）；
（2）确定 a、b、c 的值；
（3）求出 b2 4ac 的值（或代数式）；
若 b2 4ac 0，则把 a、b、c 的值代入求根公式__________________，求出 x1 、 x2 ；
若 b2 4ac 0，则方程无解．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）用求根公式法解下列方程：
（1） x2 +1= 4x ； （2）3x
2 (x 2)2 = 5 ；
（3） (2x 3)2 = x(x 5) + 6 ； （4） 2x2 + 3x + 8 = 5x + 3．
例 2
（★★★☆☆）最简二次根式 2x2 x 与 4x 2 是同类二次根式，求关于 m 的方程
xm2 + 2x2m 2 = 0的根．
38
例 3
（★★★☆☆）解方程： k 2 k(x + 2) = x(2x + 3) +1 .
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）解下列方程（求根公式法）：
（1） x2 = 2(x 1) ； （2） 0.2x2 0.1x =1；
（3） x2 + 2( 3 +1)x + 2 3 = 0 ； （4） x2 2mx + m2 n2 = 0 ．
练 1-2
（★★★☆☆）已知关于 x 的方程： x2 4(m 1)x + 3m2 2m + 4k = 0 ，当 m 取任意有理数
时，方程的根都是有理数，求 k 的值或者是 k 的取值范围．
39
练 1-3
a 2
（★★★☆☆）解方程： x (a +1)x + a = 0 ．
4
知识点 2——根的判别式
知识笔记
1． 判别式的概念
一元二次方程根的判别式：我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的
根的判别式，通常用符号“ ”表示，记作_____________．
2． 判别式的
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) ，
（1）当 =b2 4ac 0 时，方程有两个___________的实数根；
（2）当 =b2 4ac = 0 时，方程有两个___________的实数根；
（3）当 =b2 4ac 0 时，方程________________．
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）已知关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 + 2mx + m 3 = 0 ，求：当方程有两
个不相等的实数根时 m 的取值范围；
40
（2）（★★★☆☆）已知关于 x 的方程 x2 + 2x a +1= 0 没有实数根，试判断关于 x 的方程
x2 + ax + a = 0 的根的情况．
例 2
（★★★☆☆）已知关于 x 的一元二次方程 mx2 (3m 1)x + 2m 1= 0 ．
（1）求证：无论 m 为任意实数，方程总有实数根；
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于 1，求方程的解．
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）已知关于 x 的方程 x2 + 2kx = x (k 2)2 ，当 k 取何值时，此方程：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）没有实数根．
41
练 2-2
（★★★☆☆）已知关于 x 的方程 x2 2(m + 2)x + m2 + 5 = 0 没有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）试判断关于 x 的方程 (m + 5)x2 2(m +1)x + m = 0 的根的情况．
知识点 3——判别式的应用
知识笔记
判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据___________的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）若方程 (x 1)(x2 2x + m) = 0 的三根是一个三角形三边的长，则实数 m 的取值
范围是 ( )
3 3 3
A． 0 m 1 B． m C． m 1 D． m 1
4 4 4
42
例 2
（★★★☆☆）我们知道，一元二次方程 2ax2 + bx + c = 0 ，当b 4ac 0 ，它有两个实数根：
b
x1 + x2 =
b + b2 4ac b b2 4ac a
x ， ，可得 ①， 1 = x2 =
2a 2a cx x
1 2
=
a
3
+ =
如 2x2 3x 4 = 0 的两根是 、 ，由①得 2 ，
= 2
我们可把①称为是一元二次方程的根与系数的关系式．
1 1
（1）已知方程 x2 + 3x 1= 0 的两个不同的根为 、 ，则 + = ； + = ；
（2）已知关于 x 的方程 x2 kx + 5(k 5) = 0 的两个实数根分别是 x1 ，x2 且满足 2x1 + x2 = 7 ，
x1 0 ， x2 0 ，则 k = ．
例 3
（1）（★★★★☆）关于 x 的一元二次方程 mx2 2(m 1)x + m 1= 0 有两正实根，那么 m 的
取值范围是 ( )
A． m 1 B． m 1且 m 0 C． m 0 D． m 1
（2）（★★★★☆）已知方程 x2 7x 3 = 0 的两个根为 x1、x2 ，则代数式
(x2 21 + 7x1 + 3)(x2 + 7x2 + 3) = ．
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）已知 a、b、c 是三角形 ABC 的三边：且关于 x 的方程
4x2 + 4(b2 + c2 + a2 )x + 3(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 0 有两个相等的实数根，试判定三角形 ABC 的
形状．
43
练 3-2
（★★★☆☆）已知关于 x 的方程 x2 + (3 2k)x + k 2 +1= 0 的两个实数根分别是 x1 、 x2 ，当
| x1 | + | x2 |= 7 时，那么 k 的值是 ．
练 3-3
（★★★☆☆）在等腰 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b ，c ，已知 a = 3 ，b 和
1
c 是关于 x
2
的方程 x + mx + 2 m = 0 的两个实数根，则 ABC 的周长是 ．
2
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）解下列方程（求根公式法）：
（1） x2 = 2(x 1) ； （2） 0.2x2 0.1x =1；
（3） x2 + 2( 3 +1)x + 2 3 = 0 ； （4） x2 2mx + m2 n2 = 0 ．
44
练 2
（★★☆☆☆）已知关于 x 的方程 (2 k)x2 2kx 1 0 ：
（1）若方程只有 1 个实数根，求 k 的值；
（2）若方程有实根，求 k 的取值范围；
（3）若方程有两实根，求 k 的取值范围．
练 3
（★★★☆☆）已知关于 x 的方程 (a 5)x2 2(a 2)x a 0 没有实数根，试判断方程
ax2 2(a 2)x (a 5) 0 的根的情况．
练 4
（★★★★☆）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程
2 b cax + bx + c = 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 ．那么 x1 + x2 = ， x1x2 = ．
a a
例如：已知方程 2x2 + 3x 5 = 0 的两根分别为 x1 、 x2
b 3 c 5 5
则： x1 + x2 = = ， x1 、 x2 = = =
a 2 a 2 2
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程 3x2 4x 6 = 0 的两根分别为 x1 、 x2 ，求 x1 + x2 和 x1x2 的值；
45
1 1
（2）已知方程 3x2 4x 6 = 0 的两根分别为 x1 、 x2 ，求 + 的值； x1 x2
（3）若一元二次方程 2x2 + mx 3 = 0 的一根大于 1，另一根小于 1，求 m 的取值范围．
【B组】
练 1
（★★★★☆）设关于 x 的方程 x2 3 18x 3 12 = 0 的两根为 a、b ，请构造一个以 a3 和b3 为根
的一元二次方程．
练 2
（★★★★☆）设实数 x ，y 分别满足99x2
2
+ 2019x +1= 0 ，y + 2019y + 99 = 0 并且 xy 1．则
xy +10x +1
= ．
y
课堂总结
4603 | 一元二次方程的概念及解法
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解一元二次方程的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 掌握因式分解法解一元二次方程
知识清单
一 元二次方程的概念
一元二次方程的概念 一 元二次方程的一 式
一元二次方程的解
一元二次方程的概念及
解法 直 平方法
直 平方法及 方法
方法
因 式分解法 因式分解法
25
知识点 1——一元二次方程的概念
知识笔记
1． 一元二次方程的概念
（1）整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做_____________；
（2）一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是_________的整式方程
称作一元二次方程．
2． 一元二次方程的一 式
任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化成 ax
2 + bx + c = 0(a 0)的形式，这种形式简
称为一元二次方程的一般式．其中 ax2 叫做_________， a 是二次项系数； bx 叫做
_________， b 是一次项系数； c 叫做常数项．
3． 一元二次方程的解
能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知
数的方程，它的解又叫做__________．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 ( )
A． (x 1)(x + 3) = 0 B． ax2 + bx + c = 0 （其中 a、b、c 是常数）
1 2
C． x =1 D． (x 3)(x 2) = x2 1
x2
（2）（★★☆☆☆）若 mx2 + 2x = 3x2 + mx 3 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围
是 ．
26
例 2
（1）（★★☆☆☆）一元二次方程 (x +1)(1 x) = 2x 化成二项系数为正的一般式是 ；
（2）（★★☆☆☆）请构造一个关于 x 的方程，使其两个根为 4 和 6，且一次项系数为 1，
这个方程是 ．
例 3
（1）（★★☆☆☆）关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 + x + m2 1= 0 有一根为 0，则 m = ；
（2）（★★☆☆☆）如果 23 2 是方程 x + mx + 7 = 0 的一个根，则 m = ．
巩固练习
练 1-1
2
（★★☆☆☆）方程 (m 3)xm 7 + (m 2)x + 5 = 0
（1） m 为何值时，方程是一元二次方程；
（2） m 为何值时，方程是一元一次方程．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）把方程 2x(x 1) = 3(x + 5) 4化为一元二次方程的一般形式是 ；
（2）（★★☆☆☆）写出一个二次项系数为 2，且方程有一个根为 0 的一元二次方程是 ．
练 1-3
（★★★☆☆）若 a 是方程 x2 x 1= 0 的一个根，求代数式 a3 2a + 3 的值．
27
知识点 2——直 平方法及 方法
知识笔记
1． 直 平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，
那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如______________的形式求解．
2． 方法
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）先把二次项系数化为 1：即方程左右两边同时除以二次项系数；
（2）移项：把常数项移到方程右边；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成_________的形式；
当 n 0 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）关于 x 的方程 (x + m)2 = n ，下列说法正确的是 ( )
A．有两个解 x = n B．当 n 0 时，有两个解 x = n m
C．当 n 0时，有两个解 x = n D．当 n 0 时，方程无实根
（2）（★★★☆☆）解关于 x 的方程：
① (x 3)2 = 3 ； ② 5x2 4 5x + 4 = 0 ； ③ 4(x + 3)
2 = 25(x 2)2 .
28
例 2
2 2
（1）（★★☆☆☆）配方： x x + = (x )2 ；
5
（2）（★★★☆☆）用配方法解下列方程：
3 2 3
① 2x2 + 4x 7 = 0 ； ② x 4x = 0 ； ③16x2 + 32x = 273 ．
2 2
例 3
（1）（★★★☆☆）解关于 x 的方程： x2 1=1 ax2 (a 1) ；
（2）（★★★☆☆）解关于 y 的方程：by2 1= y2 + 2 ．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）方程 (3x 3)2 27 = 0 的根是 ；
a c
（2）（★★★☆☆）将 4 个数 a ，b ，c ，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，
b d
a c x +1 1 x
定义 = ad bc ，上述记号就叫做 2 阶行列式．若 = 6 ，则 x = ．
b d x 1 x +1
29
练 2-2
2 1
（1）（★★☆☆☆）若 x mx + 是一个完全平方式，则 m 的值为 ；
4
2 1
（2）（★★☆☆☆）一元二次方程 x x + = 0 的根是 ；
4
（3）（★★★☆☆）用配方法解方程：
① 2 2x + 2 5x = 4 ； ② 9x + 6x 55 = 0 .
知识点 3——因式分解法
知识笔记
因式分解法
因式分解法的一般步骤：
①将方程右边化为零；
②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
③令每一个因式分别为零，得到两个________________；
分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）方程 x2 = 4 | x | 的解为 ( )
A． 4 B．0 或 4 C．4 D． 4 或 0
（2）（★★★☆☆）方程 x(x 3) = 3(x 3) 的解是 ；
30
（3）（★★★☆☆）解方程： (2x 9)2 (x 6)2 = 0 .
例 2
（1）（★★★☆☆）解下列方程：
① x2 2x 8 = 0 ； ② (3x 1)(x + 2) = 20 .
（2）（★★★☆☆）已知等腰三角形的两边长分别是方程 x2 7x +10 = 0的两根，求此等腰三
角形的周长．
例 3
（1）（★★★☆☆）解方程： x4 + 6x2 40 = 0；
（2）（★★★☆☆）解方程： (4x 1)2 10(4x 1) 24 = 0 ．
31
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）解方程： 3(x 2)2 = x(2 x) ．
练 3-2
3 8
（1）（★★★☆☆）解方程： x(x ) = 3x 4 ；
2 3
（2）（★★★☆☆）解方程： (x +1)2 ( 2 + 3)x + 6 3 2 = 0 ．
练 3-3
（1）（★★☆☆☆）解方程： x4 + 5x2 6 = 0 ；
（2）（★★★☆☆）如果 (x2 + y2 )(x2 1+ y2 ) = 20 ，求 x2 + y2 的值．
32
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★★☆☆）下列方程中，适合用直接开方法解的个数有 ( )
1 1
① x
2 =1 2； ② (x 2)2 = 5 ； ③ (x + 3) = 3 ；
3 4
④ x2
2
= x + 3； ⑤ 3x2 3 = x2 +1； ⑥ y 2y 3 = 0 ；
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（★★☆☆☆）若关于 x 的一元二次的方程 (m 2)x2 + 2x + (m2 4) = 0 有一个根是 0，则
m = ．
练 2
（★★☆☆☆）用适当的方法解下列关于 x 的方程：
1 2 9
（1） 4x2 6x 4 = 0； （2） x + 3x = ；
2 2
（3） 2 23x 3 2 = 5x( 2 x) ； （4） 9(x 2) 16(x +1) = 0 ．
练 3
（1）（★★☆☆☆）若 (x2 + y2 )2 4(x2 + y2 ) 5 = 0 ，则 x2 + y2 = ；
33
（2）（★★☆☆☆）选择恰当的解法解下列方程：
① (3x 1)(x + 2) = 20 ； ② 5(2x 3)2 + 3(3 2x) 8 = 0 .
练 4
（★★★☆☆）已知三角形的两边长分别是 1 和 2，第三边长是方程 2x2 5x + 3 = 0 的根，求
三角形的周长．
【B组】
练 1
（★★★★☆）已知关于 x 的方程 (a 1)x2 + 2x (a +1) = 0 的根都是整数，则满足条件的整数
a 的值为 ．
练 2
（★★★★☆）已知8x2 + 9y2 +12xy + 40x + 24y + 52 = 0 ，求 x2 + y2 的值．
3406 | 函数与正比例函数
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 掌握函数的概念
目标 2 ★★☆☆☆☆ 理解 掌握正比例函数的概念、图像及性质
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 运用正比例函数解决几何计算问题
知识清单
函数
函 数
函 数 函数
正比例函数
函 数与正比例函数 正比例函数 正 比例函数
正 比例函数
与
正比例函数与
与
【考情分析】
1．函数的概念正比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约 20%；
2．主要考察函数与正比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图像与性质
以考察解答题为主；
3．对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第一节；
4．函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比
例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函
数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图像和性质．
1
课堂引入
【课堂引入】
复习引入：平面直角坐标系：直角坐标平面内任意一点都有唯一确定的坐标（x，y）与之对
应，反过来，以任意给定的一对有序数对（x，y）为
坐标，都可以在直角坐标平面内确定一个点
注：坐标轴上的点不属于任何一个象限
知识 1——函数
知识笔记
1．函数
（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 允许的取值范围内，
变量 y 随着 x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函
数， x 叫做自变量．函数用记号 y = f (x) 表示， f (a) 表示_________时的函数值；
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
2．函数 函数
（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的__________；
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
【填空答案】
x = a ；定义域
2
经典例
例 1
（1）（★★☆☆☆）在进行路程 s 、速度 v 和时间 t 的相关计算中，若保持行驶的路程不变，
则下列说法正确的是 ( )
A． s 、 v 是变量 B． s 、 t 是变量
C． v 、 t 是变量 D． s 、 v 、 t 都是变量
（2）（★★☆☆☆）3x y = 7 中，变量是 ，常量是 ，把它写成用 x 的式
子表示 y 的形式是 ．
【配题说明】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化
的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
【常规讲解】（1）解：在进行路程 s 、速度 v 和时间 t 的相关计算中，若保持行驶的路程不
变，则 v 、 t 是变量， s 是常量，
故选： C ．
（2）解：3x y = 7 中，变量是 x 和 y ，常量是 3 和 7 ．把它写成用 x 的式子表示 y 的形式
是 y = 3x 7 ．
故答案是： x 和 y ；3 和 7 ； y = 3x 7 ．
例 2
（1）（★★☆☆☆）下列解析式中， y 不是 x 的函数的是 ( )
A． y = 2x B． y = x2 C． y = x (x 0) D． y =| x |
（2）（★★☆☆☆）下列各坐标系中的图像，不能表示 y 是 x 的函数的是 ( )
A． B．
C． D．
3
（3）（★★☆☆☆）（2020 松江区期末）一个边长为 2 厘米的正方形，如果它的边长增加
x(x 0) 厘米，则面积随之增加 y 平方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式为 ．
【配题说明】本题主要考查了函数定义，要注意正确理解函数的概念，构成函数的对应关系
必须形成一对一或多对一，但是不能一对多．
【常规讲解】（1）解： A 、 y = 2x 对于 x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值，符合函数的
定义；
2
B 、 y = x 对于 x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值，符合函数的定义；
C 、 y = x (x 0) 对于 x 的每一个取值， y 有两个确定的值，不符合函数的定义；
D 、 y =| x | 对于 x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值，符合函数的定义．
故选： C ．
（2）解： A 、对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图像；
B 、对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图像；
C 、对给定的 x 的值，有多个 y 值与之对应，不是函数图像，符合题意；
D 、对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图像．
故选： C ．
（3）解：由题意得， y = (2 + x)2 22 = x2 + 4x ，
故答案为： y = x2 + 4x ．
【拓展讲解】如图，长方形 ABCD 中，AB = 5 ，AD = 3 ，点 P 从点 A 出发，沿长方形 ABCD
的边逆时针运动，设点 P 运动的距离为 x ； APC 的面积为 y ，如果5 x 8，那么 y 关于
x 的函数关系式为 ．
【配题说明】本题考查了函数关系式，找出当5 x 8时点 P 的位置是解题的关键．
【常规讲解】解：当5 x 8时，点 P 在线段 BC 上， PC = 8 x ，
1 5
y = PC AB = x + 20 ．
2 2
5
故答案为： y = x + 20 ．
2
4
例 3
x 1
（1）（★★★☆☆）（2020 静安区期末）函数 f (x) = 的定义域为 ；
2 x
x +1
（2）（★★★☆☆）（2020 虹口区二模）函数 y = 的定义域为 ；
x
x
（3）（★★★☆☆）（2020 浦东新区期末）已知函数 y = ，当 x = 2 时， y = ；
x 1
x + 2
（4）（★★★☆☆）（2020 奉贤区期末）已知 f (x) = ， f (a) = 5 ，那么 a = ．
2x
【配题说明】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定及函数值及其计算，理解函数值的
意义是正确解答的前提，掌握分母有理化的方法是得出正确答案的关键．
【常规讲解】（1）解：由题意得， 2 x 0 ，
解得， x 2 ，
（2）解：由题意得， x +1 0 ， x 0 ，
解得， x 1且 x 0 ，
故答案为： x 1且 x 0 ．
（3）解：当 x = 2 时，
x 2 2( 2 +1)
函数 y = = = = 2 + 2 ，
x 1 2 1 ( 2 1)( 2 +1)
故答案为： 2 + 2 ．
x + 2
（4）解：因为 f (x) = ，
2x
a + 2
所以 f （a） = = 5 ，
2a
2
解得 a = ，
9
2
经检验 a = 是方程的解.
9
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天
中， 随 变化而变化，其中自变量是 ，因变量是 ．
5
【配题说明】函数的定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于 D 中的每
个值 x ，变量 y 按照一定的法则有一个确定的值 y 与之对应，称变量 y 为变量 x 的函数，记
作 y = f (x) ；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
【常规讲解】解：“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区
一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是：时间，因变量是：温度．
故答案是：温度、时间、时间、温度．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）有下面四个关系式：① y =| x | ；② | y |= x ；③ 2x2 y = 0 ；④ y = x(x 0) ．其
中 y 是 x 的函数的是 ( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
（2）（★★☆☆☆）（2019 黄浦区校级期中） A 、 B 两地相距 50 千米，小张骑自行车从 A
地到 B 地，车速为 13 千米 / 小时，骑了 t 小时后，小张离 B 地 s 千米，那么 s 关于 t 的函数
解析式是 ．
【配题说明】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 x ，y ，
对于 x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数， x 叫自变量．
【常规讲解】（1）解： 对于 x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值，
① y =| x | ；③ 2x2 y = 0 ；④ y = x(x 0) ．当 x 取值时， y 有唯一的值对应；
故选： D ．
（2）解：由题意可得： s = 50 13t ．
故答案为： s = 50 13t ．
练 1-3
x
（1）（★★☆☆☆）（2019 松江区期末）函数 y = 的定义域为 ；
x 5
2 x
（2）（★★★☆☆）（2019 徐汇区月考）函数 y = 的自变量 x 的取值范围是 ；
1 x
2
（3）（★★★☆☆）（2021 浦东新区模拟）已知函数 f (x) = 2 ，那么 f ( 3) = ； x +1
6
2
（4）（★★★☆☆）（2019 松江区二模）已知函数 f (x) = ，那么 f ( 2) f ( 3) ．（填
x
“ ”、“ = ”或“ ” )
【配题说明】考查了函数自变量的取值范围，本题用到的知识点：分式的分母不等于 0，被
开方数大于等于 0．
【常规讲解】（1）解：根据题意得 x 5 0 ，
解得 x 5 ．
故答案为： x 5 ．
（2）解：根据题意得： x 0 且1 x 0 ，
解得： x 0 且 x 1．
故答案为： x 0 且 x 1．
（3）解：当 x = 3 时，
2 2 2 1
f ( 3) = = = =
2 ． ( 3) +1 3+1 4 2
2
（4）解： 已知函数 f (x) = ，
x
2 2 2 3
f ( 2) = = 2 ， f ( 3) = = ，
2 3 3
2 3 4
( 2)2 = 2 ， ( )2 = ，
3 3
4
2 ，
3
2 3
2 ，
3
f ( 2) f ( 3) .
7
知识 2——正比例函数
知识笔记
1．正比例函数
（1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数___________），那么
y
就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量 x 、 y 成正比例，就是 = k ，或
x
表示为 y = kx （ x 不等于 0）， k 是不等于零的常数；
（2）解析式形如 y = kx （ k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数 k
叫做比例系数．正比例函数 y = kx 的定义域是___________．确定了比例系数，就可以
确定一个正比例函数的解析式.
2．正比例函数
（1）一般地，正比例函数 y = kx ( k 是常数, k 0 )的图像是经过 (0，0) ，(1，k) 这两点
的一条直线，我们把正比例函数 y = kx 的图像叫做直线____________；
（2）图像画法：列表、描点、连线．
3．正比例函数
（1）当 k 0 时，正比例函数的图像经过第_______象限；自变量 x 的值逐渐增大时，
y 的值也随着逐渐增大；
（2）当 k 0 时，正比例函数的图像经过第_______象限；自变量 x 的值逐渐增大时，
y 的值则随着逐渐减小．
【填空答案】
1.（1）不等于零; （2）一切实数
2. y = kx
3. 一、三；二、四
8
经典例
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 奉贤区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有 ( )
A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径
2
（2）（★★☆☆☆）如果函数 y = (m 2)xm 1 是正比例函数，那么 m = ．
【配题说明】此题主要考查了正比例函数的定义，此题属于辨识成正、反比例的量，就看这
两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
【常规讲解】（1）解： A 、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；
B 、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
C 、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；
D 、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
故选： D ．
2
（2）解： 函数 y = (m 2)xm 1 是正比例函数，
2
m 2 0 且 m 1=1，
解得： m = 2 ，
故答案为： 2 ．
例 2
（1）（★★☆☆☆）（2015 上海模拟）已知正比例函数 y = kx(k 0) 的图像经过点 ( 4,2) ，
那么函数值 y 随自变量 x 的值的增大而 ；（填“增大”或“减小” )
（2）（★★☆☆☆）（2020 杨浦区期中）已知正比例函数 y = (2a 1)x ，如果 y 的值随着 x 的
值增大而减小，则 a 的取值范围是 ．
【配题说明】】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当 k 0 时， y 随 x 的增大而增大；当
k 0 时， y 随 x 的增大而减小”是解题的关键．
1
【常规讲解】（1）解：首先把 x = 4 ， y = 2 代入，得 4k = 2 ， k = 0 ，
2
再根据正比例函数图像的性质，得 y 随 x 的增大而减小．
故填：减小．
9
（2）解： y 的值随着 x 的值增大而减小，
2a 1 0 ，
1
a ．
2
例 3
（★★★☆☆）分类讨论思想数学课上，老师要求同学们画函数 y =| x | 的图像，小红联想绝对
值的性质得 y = x(x 0) 或 y = x(x 0) ，于是她很快作出了该函数的图像（如图）．请回答：
（1）小红所作的图对吗？如果不对，请你画出正确的函数图像；
（2）根据上述的作图方法，请画出函数 y = 3 | x | 的图像．
【配题说明】本题考查正比例函数的图像、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，
画出相应的函数图像．
【常规讲解】解：（1）不对．
x & (x 0)
y =| x |= ，
x & (x 0)
函数图像如图 1 所示；
（2）函数 y = 3 | x | 的图像如图 2 所示．
10
巩固练习
练 2-1
y k2（1）（★★☆☆☆）（2013 黄浦区期中）若 x 、 是变量，函数 y = (k +1)x +2k 2 是正比例函
数，且经过第一、第三象限，则 k = ；
（2）（★★☆☆☆）如果 y = (k 2)x + (k 2 2k) 是正比例函数，则 k = ．
【配题说明本题考查了正比例函数的定义和性质，解决本题的关键是熟记正比例函数的性
质．
2
【常规讲解】（1）解： 函数 y = (k +1)xk +2k 2 是正比例函数，且经过第一、第三象限，
k 2 + 2k 2 =1
k +1 0
解得： k =1．
（2）解：依题意得： k 2 2k = 0 且 k 2 0 ，
解得 k = 0
练 2-2
（1）（★★☆☆☆）（2020 普陀区期末）如果正比例函数 y = kx 的图像经过第一、三象限，
那么 y 的值随着 x 的值增大而 ；（填“增大”或“减小” )
（2）（★★☆☆☆）（2020 徐汇区二模）已知正比例函数 y = kx(k 0) 的函数值 y 随着自变
量 x 的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是 ．（只需写出一个）
【配题说明】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质
【常规讲解】（1）解：函数 y = kx(k 0) 的图像经过第一、三象限，那么 y 的值随 x 的值增
大而增大，
故答案为：增大．
（2）解： 正比例函数 y = kx(k 0) 的函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小，
k 0 ，
符合条件的正比例函数可以是 y = 2x ，
11
练 2-3
（★★★☆☆）已知正比例函数 y = (m 1)x 的函数图像有两点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，当 x1 x2
时，有 y1 y2 ．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 取最大整数时，画出该函数图像．
【配题说明】本题考查了正比例函数的图像和性质，当 k 0 时， y 随 x 的增大而增大，当
k 0 时， y 随 x 的增大而减小．
【常规讲解】解：（1） 正比例函数 y = (m 1)x 的函数图像有两点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，
当 x1 x2 时，有 y1 y2 ，
m 1 0 ，
m 1，
m 的取值范围是 m 1；
（2） m 1，
m 取最大整数 0，
所以解析式为 y = x ，
图像如图所示：
12
知识 3——正比例函数
知识笔记
1.与
正比例函数作为综合题时，多与几何问题结合去考察的题型，常见题型为面积问题（已
知面积求点坐标或解析式、已知点坐标求面积）等.
2.与
正比例函数动点综合问题多是考察点在运动过程中不变的量，或者是探索点变化过程
中与其它量的_________________.
【填空答案】
函数关系式
经典例
例 1
（★★★☆☆）已知正比例函数 y = kx 经过点 A ，点 A 在第四象限，过点 A 作 AH ⊥ x 轴，垂
足为点 H ，点 A 的横坐标为 3，且 AOH 的面积为 3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在 x 轴上能否找到一点 P ，使 AOP 的面积为 5？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【配题说明】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意
点 P 的坐标有两个．
【常规讲解】解：（1） 点 A 的横坐标为 3，且 AOH 的面积为 3
点 A 的纵坐标为 2 ，点 A 的坐标为 (3, 2) ，
正比例函数 y = kx 经过点 A ，
2
3k = 2 解得 k = ，
3
2
正比例函数的解析式是 y = x ；
3
13
（2） AOP 的面积为 5，点 A 的坐标为 (3, 2) ，
OP = 5 ，
点 P 的坐标为 (5,0) 或 ( 5,0) ．
例 2
3
（★★★★☆）在平面直角坐标系中，点 A 坐标为 (1,0) ，在直线 y = x 上取点 P ，使 OPA
3
是等腰三角形，求所有满足条件的点 P 坐标．
【配题说明】本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，
注意分情况进行讨论．
【常规讲解】解：如图所示
3
①在直线 y = x 上作OP =OA ，可得符合条件的 P1 、 P2 点，
3
3 1 3 1
P1 坐标为 ( ， ) ， P2 ( ， ) ，
2 2 2 2
14
3 3 3
②以 A 为圆心，1 为半径作弧交直线 y = x 于点 P3 ，点 P3 符合条件，P3 坐标为 ( ， ) ，
3 2 2
3 1 3
③线段 OA 的垂直平分线交直线 y = x 于点 P4 ，点 P4 符合条件， P4 点坐标为 ( ， ) ．
3 2 6
3 1 3 1 3 3 1 3
故答案为： P ( ， ) ， P2 ( ， )1 ， P3 ( ， ) ， P4 ( ， ) ．
2 2 2 2 2 2 2 6
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）已知一正比例函数 y = mx 图像上的一点 P 的纵坐标是 3，作 PQ⊥y 轴，垂足
为点 Q，三角形 OPQ 的面积是 12，求此正比例函数的解析式．
【配题说明】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
【常规讲解】因为 PQ⊥y 轴，垂足为点 Q，所以 PQ 长度就是点 P 的横坐标的绝对值，
12
y 3
由三角形面积可得：PQ = 1 =8，所以 m = = ．
3 x 8
2
3
所以此正比例函数的解析式为： y = x ．
8
练 3-2
（★★★☆☆）如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线 OP 与线段 AB 相交于点 P，
（1）若直线 OP 将△ABO 的面积等分，求直线 OP 的解析式；
（2）若点 P 是直线 OP 与线段 AB 的交点，是否存在点 P，使△AOP 与△BOP 中，一个面
积是另一个面积的 3 倍？若存在，求直线 OP 的解析式；若不存在，请说明理由．
y
B
P
x
A O
15
【配题说明】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
1
【常规讲解】（1）三角形△ABO 的面积为： 6 8 =24，设点 P 坐标为（x， y），
2
1 1 24
6 y = 8 x = =12 ，可得 x =3，y=4．
2 2 2
因为点 P 在第二象限，所以 P 坐标为（-3，4），
y 4 4 4
所以 = = ，所以y = x ．
x 3 3 3
（2）第一种情况：当△AOP 的面积是△BOP 面积的三倍时，
1 3 1 1 3
6 y = 24 ， 8 x = 24 ，可得点 P 的坐标为（ ，6），
2 4 2 4 2
y 6
= = 4
x 3 ，所以 y = 4x ；
2
第二种情况，当△BOP 的面积是△AOP 的面积的三倍时，
1 1 1 3 9
6 y = 24 ， 8 x = 24 ，可得点 P 的坐标为（ ，2），
2 4 2 4 2
y 2 4
= = 4
所以 x 9 9 ，所以 y = x ．
9
2
综 练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）城市绿道串连起绿地、公园、人行步道和自行车道，改善了城市慢行交
通的环境，引导市民绿色出行．截至 2016 年底某市城市绿道达 2000 公里，该市人均绿道长
度 y （单位：公里）随人口数 x 的变化而变化，指出这个问题中的所有变量 ；
（2）（★★☆☆☆）下列图像中，表示 y 是 x 的函数的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【配题说明】本题考查了常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键．
16
【常规讲解】（1）解：这个问题中的所有变量是该市人均绿道长度 y 与人口数 x ，
故答案为 x ， y ．
（2）解：第一个图像，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图像；
第二个图像，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图像；
第三个图像，对给定的 x 的值，可能有两个 y 值与之对应，不是函数图像；
第四个图像，对给定的 x 的值，可能有两个 y 值与之对应，不是函数图像．
综上所述，表示 y 是 x 的函数的有第一个、第二个，共 2 个．
故选： B ．
练 2
1
（1）（★★☆☆☆）（2019 杨浦区三模）函数 = 2 x + 的定义域是 ；
x +1
x + 2
（2）（★★☆☆☆）（2004 静安区二模）已知函数 f (x) = + 6 x ，求函数的定义域
x 2
及 f (4) ．
【配题说明】本题考查了函数的定义域，解题的关键是能够根据函数关系式得出不等式．
【常规讲解】（1）解：由函数关系式可得：
2 x 0 ， x +1 0 ，
x 2 且 x 1．
故答案为： x 2 且 x 1．
x 2 0
（2）解：根据题意得， ，
6 x 0
x 2
解得 ，
x 6
定义域为： 2 x 6 ；
4 + 2
f （4） = + 6 4 ，
4 2
= 3 2 + 2 ，
= 4 2 ．
17
练 3
（★★★☆☆）（2014 闸北区校级期中）若函数 y = (4m 1)x + (m 4) 是正比例函数，那么
m = ，图像经过 象限．
【配题说明】本题考查了正比例函数的概念 .
【常规讲解】解：由已知，函数 y = (4m 1)x + (m 4) 是正比例函数，
所以 m 4 = 0 ，得 m = 4 ，
即函数关系式为 y =15x ，
所以图像过一、三象限．
练 4
（1）（★★★☆☆）已知直线 y = ax 是经过第二、四象限的直线，且 a + 3 在实数范围内有
意义，求 a 的取值范围；
（2）（★★★☆☆）已知函数 y = (2m +1)x 的值随 x 的增大而减小，且函数 y = (1 3m)x 的值
随着 x 的增大而增大，求 m 的取值范围．
【配题说明】考察正比例函数的性质．
a 0
【常规讲解】（1）由题目可得 ，解得： 3 a 0 ；
a + 3 0
2m +1 0 1
（2）由正比例函数的性质可得： ，解得： m ．
1 3m 0 2
【B组】
练 1
（★★★★☆）已知直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=12，点 D、E、F 分别在边 BC、
AC、AB 上（点 E、F 与三角形 ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为点 H，
设 CE = x，BF = y，求 y 与 x 之间的函数关系式．
【配题说明】考察根据图形找等量关系得出函数关系式．
【常规讲解】由题意可得： AEH AFH (A.S.A)，所以 AE = AF ，
可得： 6 x =12 y ，所以 y = 6 + x ．
18
练 2
（★★★★☆）已知正比例函数过点 A（4，-2），点 P 在正比例函数图像上，B（0，4）且
S ABP =10 ，求点 P 的坐标．
【配题说明】考察正比例函数图像中的面积问题，注意本题有两种情况讨论．
2 1 1
【常规讲解】假设比例系数为 k， k = = ，正比例函数为 y = x ，
4 2 2
1
第一种情况：点 P 在第二象限，设 P（x， x ），
2
1
S ABP = S BPO + S ABO ， S ABO = 4 4 = 8，
2
1 1
S BPO = S ABP S ABO =10 8 = 4 x ， x =1，则点 P 坐标为（ 1， ）；
2 2
1
第二种情况：点 P 在第四象限，设 P（x， x ），
2
1 1 9
S ABP = S BOP S ABO =10= 4 x 4 4 = 2x 8 ，x=9，则点 P 坐标为（9， ）
2 2 2
1915 | 几何动点问题
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 运用已学过的几何定理解决动点面积问题
目标 2 ★★★★★★ 综合 运用已学过的几何定理解决旋转类动点问题
目标 3 ★★★★★★ 综合 运用已学过的几何定理解决动点三角形问题
知识清单
动 点 问题
几 何动点问题 动点 问题
动 点三角形问题
179
知识点 1——动点 问题
知识笔记
动点 问题
在运动的背景下，产生的面积与动点之间的 关系，关键点是找出决定这个面积变化的几
个量是怎样变化的，常见的面积表达方法有：（1）公式法；（2）__________．
经典例题
例 1
（★★★★☆）已知，如图，在 Rt ABC 中， ACB = 90 ， AB = 2 ， B = 30 ，P 是边 BC
上的一动点，过点 P 作 PE ⊥ AB ，垂足为 E ，延长 PE 至点Q ，使 PQ = PC ，连接 CQ 交边
AB 于点 D ．
（1）求 AD 的长；
（2）设CP = x ， PCQ 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）过点 C 作 CF ⊥ AB ，垂足为 F ，联结 PF 、 QF ，试探索当点 P 在边 BC 的什么位置
时， PFQ 为等边三角形？请指出点 P 的位置并加以证明．
180
巩固练习
练 1-1
（★★★★☆）如图， ABC 中，AC = 2 3 ，BC = 4 3 ，AB = 6 ，点 P 是射线CB 上一点（不
与点 B 重合），EF 为 PB 的垂直平分线，交 PB 于点 F ，交射线 AB 于点 E ，联结 PE 、AP ．
（1）求 B 的度数；
（2）当点 P 在线段 CB 上时，设 BE = x ， ACP 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并
写出函数的定义域；
（3）如果 BE = 2 ，请直接写出 ACP 的面积．
知识点 2——动点 问题
知识笔记
动点 问题
（1）等线段，共顶点，就可以有旋转；
（2）遇中点，旋 180°，构造中心对称；
（3）遇 90°，旋 90°，构造垂直；
（4）遇 60°，旋 60°，构造_________；
（5）遇等腰，旋顶角．
181
经典例题
例 1
（★★★★☆）如图（1），已知四边形 ABCD 的四条边相等，四个内角都等于90 ，点 E 是
CD 边上一点， F 是 BC 边上一点，且 EAF = 45 ．
（1）求证： BF + DE = EF ；
（2）若 AB = 6 ，设 BF = x ， DE = y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（3）过点 A 作 AH ⊥ FE 于点 H ，如图（2），当 FH = 2 ， EH =1时，求 AFE 的面积．
182
巩固练习
练 2-1
（★★★★☆）如图，已知 AB = 3 ，BC = 4 ， AB ⊥ BC ， AG / /BC ，将一个直角的顶点置于
点 C ，并将它绕着点 C 旋转，两直角边分别交射线 AG 于点 D ，交 AB 的延长线于点 E ，联
结 DE 交 BC 于点 F ．
（1）当 DCB = 60 时，求 BE 的长；
（2）设 BE = x ，若 AD = y ，用含 x 的代数式表示 y 并写出 x 的取值范围；
（3）旋转过程中，若 DC = FC ，求此时 BE 的长．
183
知识点 3——动点特殊三角形
知识笔记
动点特殊三角形
（1）等腰三角形的分类讨论这类题目均和图形运动有关，利用________的思想，结合
题目中的已知条件建立等量关系；
（2）直角三角形的特征非常明显，通常先讨论三角形的哪个角有可能是直角，根据这
个直角的条件结合题目条件进行计算．
经典例题
例 1
（★★★★☆）已知，如图，在 ABC 中， AE 平分 CAB 交 BC 于点 E ， AC = 6 ，CE = 3 ，
AE = 3 5 BE = 5 ，点 F 是边 AB 上的动点（点 F 与点 A ，B 不重合），连接 EF ，设 BF = x ，
EF = y ．
（1）求 AB 的长；
（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当 AEF 为等腰三角形时，直接写出 BF 的长．
184
例 2
（★★★★☆）如图，已知 ABC 中， ACB = 90 ， ABC = 30 ， AC = 2 ，点 P 是边 AB 上
的一个动点，以点 P 为圆心，PB 的长为半径画弧，交射线 BC 于点 D ，射线 PD 交射线 AC
于点 E ．
（1）当点 D 与点 C 重合时，求 PB 的长；
（2）当点 E 在 AC 的延长线上时，设 PB = x ，CE = y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出
定义域；
（3）当 PAD 是直角三角形时，求 PB 的长．
185
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）在 ABC 中， ACB = 90 ， D 是 AB 的中点，过点 B 作 CBE = A ， BE 与
射线 CA 相交于点 E ，与射线 CD 相交于点 F ．
（1）如图，当点 E 在线段 CA 上时，求证： BE ⊥CD ；
（2）如果 BE =CD ，那么线段 AC 与 BC 之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；
（3）如果 BDF 是等腰三角形，求 A 的度数．
186
综合练习
【A组】
练 1
（★★★★☆）已知，如图，点 D 在射线 AB 上，且 AD = 2 ，点 P 是射线 AC 上的一个动点，
线段 PD 的垂直平分线与射线 AC 交于点 E ，与 BAC 的平分线交于点 F ．连接 DF 、PF 、
EF ．
（1）当 DF / / AC 时，求证： AD = PF ；
（2）当 BAC = 60 时，设 AP = x ， AF = y ，求 y 关于 x 的函数解析式．
187
练 2
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， D 是 AB 的中点， E 是边 AC 上一动点，联结 DE ，过点
D 作 DF ⊥ DE 交边 BC 于点 F（点 F 与点 B 、C 不重合），延长 FD 到点G ，使 DG = DF ，
联结 EF 、 AG ，已知 AB =10 ， BC = 6 ， AC = 8 ．
（1）求证： AC ⊥ AG ；
（2）设 AE = x ， CF = y ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当 BDF 是以 BF 为腰的等腰三角形时，求 AE 的长．
188
【B组】
练 1
（★★★★★）在 ABC 中， AB = AC ， A = 60 ，点 D 是线段 BC 的中点， EDF =120 ，
DE 与线段 AB 相交于点 E ， DF 与线段 AC （或 AC 的延长线）相交于点 F ．
（1）如图 1，若 DF ⊥ AC ，垂足为 F ， AB = 8 ，求 BE 的长；
（2）如图 2，将（1）中的 EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度， DF 仍与线段 AC 相交于
1
点 F ．求证： BE +CF = AB ；
2
（3）如图 3，将（2）中的 EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的
延长线相交于点 F ，作 DN ⊥ AC 于点 N ，若 DN = FN ， AB = 8 ，求 BE 的长．
18909 | 证明举例
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解演绎证明、命题、定理、公理的概念
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 能利用之前学过的几何知识，进行证明举例
目标 3 ★★★★★★ 综合 能利用之前学过的几何知识，解决动点问题
知识清单
证 明举例
证 明举例 证明举例
证明举例
【考情分析】
1．添加辅助线是几何证明部分，属于图形与几何板块，占期末考分值约 20%；
2．主要考察命题、定理、公理的概念，以选择题、填空为主，证明举例会结合全等三角形
的判定与性质考察，以解答题为主；
3．对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明；
4．命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、
定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证
明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，
另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础。
1
课堂引入
【课堂引入】情境导入、复习回顾
（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。
证明：等腰三角形的两个底角相等。
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC
求证：∠B=∠C
证明：过点 A 作∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D
∴ ∠BAD = ∠CAD
∴可证明△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B =∠C
（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？
引入命题的概念
知识 1——
知识笔记
1．
（1）能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；
其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题；
数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“_______________”的形式；
（2）逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做______________；
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
2．
人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．
3．
（1）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其
他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做___________；
2
（2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，
其中一个叫做另一个的_____________；
所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理．
【填空答案】
1.（1）如果……那么……；（2）互逆命题
2.定理
3.逆定理
经典例
例 1
（★★☆☆☆）把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：
（1）等边对等角；
如果____________________，那么______________________________；
（2）同角的补角相等；
如果____________________，那么______________________________；
（3）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
如果____________________，那么______________________________；
（4）全等三角形对应边相等；
如果____________________，那么______________________________．
【配题说明】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使
得语句更通顺好理解．
【常规讲解】（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等；
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；
（4）一对全等三角形中，如果两条边是这对全等三角形的对应边，那么这两条边相等．
3
例 2
（★★★☆☆）写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．
（1）等腰三角形两腰上的中线相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）等边对等角；
（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
【配题说明】考查一个命题的逆命题的写法，以及对命题真假的判断．
【常规讲解】（1）逆命题：如果一个三角形中有两条边上的中线相等，那么这个三角形是
等腰三角形，真命题，不是逆定理；
（2）逆命题：两直线平行，内错角相等，真命题，是逆定理；
（3）逆命题：等角对等边，真命题，是逆定理；
（4）逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的一对同旁内角的角平分线互相垂直，
那么这两条直线平行，真命题，不是逆定理．
例 3
（★★★☆☆）写出下列命题的逆命题、判断真假，并选取其中一个给予证明．
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）等腰三角形两个底角的角平分线长相等．
【配题说明】此题考查的是命题与定理，等腰三角形的性质三角形的内角和定理，全等三角
形的判断和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【常规讲解】解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角
形是直角三角形．
1
已知，如图， ABC 中， D 是 AB 边的中点，且CD = AB ，
2
求证： ABC 是直角三角形，
1
证明： D 是 AB 边的中点，且 CD = AB ，
2
AD = BD =CD ，
AD =CD ，
ACD = A，
4
BD =CD ，
BCD = B ，
又 ACD + BCD + A + B =180 ，
2( ACD + BCD) =180 ，
ACD + BCD = 90 ，
ACB = 90 ，
ABC 是直角三角形；
（2）逆命题是“有两个角的平分线相等的三角形是等腰三角形”．
已知：在 ABC 中， BD 平分 ABC 、 CE 平分 ACB ，且 BD =CE 求证： ABC 是等腰三
角形，
设这个 ABC ，CD 、 BE 分别是 C 和 B 的角平分线，
过点 E 作 BEF = BCD ，使 EF = BC ，
BC = EF
在 BCD 与 FEB 中， BEF = BCD ，
BE = CD
BCD FEB(SAS)
FBE = BDC ， BF = DB ，
设 ABE = EBC = ， ACD = DCB = ，
FBC = BDC + =180 2 + =180 ( + ) ，
CEF = FEB + CEB = +180 2 =180 ( + ) ，
FBC = CEF ，
2 + 2 180 ，
+ 90 ，
FBC = CEF 90 ，
过 C 点作 FB 的垂线和过 F 点作CE 的垂线必都在 FB 和CE 的延长线上．
设垂足分别为G 、 H ，
HEF = CBG ，
FHE = G = 90
在 CGB 与 FHE 中， FEH = CBG ，
EF = BC
CGB FHE
CG = FH ， BC = HE ，
5
连接CF ，
CF =CF
在 Rt CGF与 FHC 中， ，
FH = CG
Rt CGF FHC，
FG =CH ，
BF =CE ，
CE = BD ，
BC = CB
在 BDC 与 CEB 中， BD = CE ，
CD = BE
BDC CEB ，
ABC = ACB ，
AB = AC ．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．三个角相等的三角形是等边三角形； B．同角的余角相等；
C．在三角形中，钝角所对的边最长； D．对顶角相等．
【配题说明】考查对命题的逆命题的真假的判断，举反例即可．
【常规讲解】等边三角形三个内角相等，A 的逆命题是真命题；余角相等的角是等角，不一
定是同角，B 的逆命题是假命题；
6
根据“大边对大角”，最长边所对的角是三角形中最大角即可，三角形中的最大角不一定是
钝角，例如直角三角形，C 的逆命题是假命题；
相等的角不一定为对顶角，同位角、内错角等，D 的逆命题是假命题；故选 A．
练 1-2
（★★★☆☆）写出以下命题的逆命题，并判断真假：
（1）等边三角形的三个内角相等；
（2）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；
（3）等腰三角形的底角相等；
（4）全等三角形对应角相等；
（5）全等三角形面积相等．
【配题说明】考查对命题的逆命题的真假的判断．
【常规讲解】（1）逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形，真命题；
（2）逆命题：两个三角形是全等三角形，这两个三角形中两条对应边和其中一个对应角都
相等，真命题；
（3）逆命题：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题；
（4）逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，假命题；
（5）逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形，假命题．
练 1-3
（★★☆☆☆）以下说法中正确的有（ ）个
（1）逆定理一定是真命题； （2）一个定理一定有逆定理；
（3）互逆命题一定是互逆定理； （4）互逆定理一定是互逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
【配题说明】考查定理和命题的区别和联系．
【常规讲解】逆定理的前提是真命题，（1）正确；定理对应的逆命题不一定为真命题，则
没有逆定理，（2）错误；定理一定是命题，但命题不一定是定理，可知互逆定理一定是互
逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，（3）错误，（4）正确；
综上，（1）（4）正确，故选 B．
7
知识 2——证明举例
知识笔记
证明举例 ：
（1）利用_________的判定和性质证明；
（2）利用全等得出结论证明；
（3）利用角平分线的性质证明.
【填空答案】
平行线
经典例
例 1
（1）（★★☆☆☆）如图，若 AB / /CD ，直线 EF 分别与 AB 和CD 相交于点 E 和 F，EP ⊥ EF ，
EFD 的平分线与 EP 相交于点 P，且 BEP = 40 ，则 EPF =____________；
（2）（★★☆☆☆）已知：如图， AB / /CD ，且 FH、EG 分别是 BFE、 CEF 的平分线，
求证： FH / /EG ．
【配题说明】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，同旁内角互补．
【常规讲解】（1） PEF = 90 ， BEP = 40 ，
BEF = PEF + BEP =130
8
AB / /CD ， BEF + EFD =180
EFD = 50
PF 是 EFD 的角平分线，
1
EFP = EFD = 25
2
EPF =180 PEF EFP = 65
（2）证明： AB / /CD ， CEF = BFE ，
1 1
GE 是 CEF 的角平分线， GEF = CEF ，同理 EFH = BFE
2 2
GEF = EFH ， FH / /EG ．
例 2
（★★★☆☆）如图，已知在三角形 ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，EF 过点
D，且 EF∥BC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，求证：EF =BE+CF．
【配题说明】考查角平分线与平行线结合产生等腰三角形的基本模型．
【常规讲解】证明： BD 是 ABC 的角平分线，
EBD = DBC
EF / /BC ，
EDB = DBC ，
EBD = EDB
BE = DE ，同理 DF =CF ，
EF = ED + DF = BE + CF
【拓展讲解（】2006 黄浦区校级期中）已知：在四边形 ABCD 中，BC BA ， A + C =180 ，
且 C = 60 ， BD 平分 ABC ，求证： BC = AB + DC ．
9
【配题说明】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助
线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
【常规讲解】证明：在 BC 上截取 BE = BA ，
BD 平分 ABC ，
ABD = EBD ，
在 BAD 和 BED 中，
BA = BE
ABD = EBD
BD = BD
BAD BED(SAS) ，
AD = DE ， A = BED ，
BED + DEC =180 ， A + C =180 ，
C = DEC ，
DE = DC ，
DC = AD
C = 60 ，
CDE 是等边三角形，
DE =CD =CE ，
BC = BE + CE = AB + CD ．
例 3
（1）（★★★☆☆）如图， Rt ABC 中， AB ⊥ AC ， AD ⊥ BC ， BE 平分 ABC ，交 AD 于
E ， EF / / AC ，下列结论一定成立的是 ( )
A． AB = BF B． AE = ED C． AD = DC D． ABE = DFE
10
（2）（★★★☆☆）（2018 普陀区期中）已知：如图， ADC = 90 ，DC / / AB ，BA = BC ，
AE ⊥ BC ，垂足为点 E ，点 F 为 AC 的中点
（1）求证： ADC AEC ；
（2）连接 DE ，求证： DE / /BF
【配题说明】查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证
明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【常规讲解】解： BAD + ABD = 90 ， ABD + C = 90
BAD = C （同角的余角相等）
又 EF / / AC
BFE = C BAD = BFE
又 BE 平分 ABC
ABE = FBE BEF = AEB ，
在 ABE 与 FBE 中，
BEF = AEB
BE = BE
ABE = EBF
ABE FBE(AAS)
AB = BF ．
故选： A ．
（2）（1）证明： AE ⊥ BC （已知），
AEC = 90 （垂直的定义）．
ADC = 90 （已知），
ADC = AEC （等量代换）．
DC / / AB （已知），
DCA = CAB （两直线平行，内错角相等）．
11
BA = BC （已知），
ECA = CAB （等边对等角）．
DCA = ECA （等量代换）．
在 ADC 和 AEC 中，
ADC = AEC
DCA = ECA
AC = AC
ADC AEC(AAS) ．
（2）证明：设 DE 交 AC 于点 H ，
ADC AEC （已证），
AD = AE ， DAH = EAH （全等三角形对应边相等、对应角相等）．
AH ⊥ DE （等腰三角形的三线合一）．
AHE = 90 （垂直的定义）
AFB = 90 （已证），
AFB = AHE （等量代换）．
DE / /BF （同位角相等，两直线平行）．
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）如图①，直线 AB / /CD ，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE ，CE ，可以发
现 B + C = BEC ．
12
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点 E 作 EF / / AB ，
AB / /DC （已知）， EF / / AB （辅助线的作法），
EF / /DC( )
C = CEF ． ( )
EF / / AB ， B = BEF （同理），
B + C = （等量代换）
即 B + C = BEC ．
【配题说明】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键
【常规讲解】证明：如图①，过点 E 作 EF / / AB ，
AB / /DC （已知）， EF / / AB （辅助线的作法），
EF / /DC （平行于同一直线的两直线平行），
C = CEF ．（两直线平行，内错角相等），
EF / / AB ，
B = BEF （同理），
B + C = BEF + CEF （等量代换）
即 B + C = BEC ，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等， BEF + CEF ；
练 2-2
（★★★☆☆）已知，如图 ABC 中， ACB 的平分线交 AB 于 E ， ACB 的补角 ACD 的平
分线为CG ， EG / /BC 交 AC 于 F ，求证： EF = FG .
13
【配题说明】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线性质，角平分线性质等知识点，
关键是求出 EF =CF ，CF = FG ，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
【常规讲解】解： EF = FG ，
理由是： CE 平分 ACB ， CG 平分 ACD ，
BCE = ECF ， DCG = GCF ，
EG / /BC ，
FEC = BCE ， G = DCG ，
FEC = ECF ， G = FCG ，
EF =CF ， CF = FG ，
EF = FG ．
练 2-3
（★★★☆☆）（2017 浦东新区期中）已知：如图， ADC = 90 ， DC / / AB ， BA = BC ，
AE ⊥ BC ，垂足为点 E ，点 F 为 AC 的中点．
（1）求证： AFB = 90 ；
（2）求证： ADC AEC ；
（3）连接 DE ，试判断 DE 与 BF 的位置关系，并证明．
【配题说明】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与
性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
【常规讲解】（1）证明： BA = BC ， F 是 AC 的中点（已知），
BF ⊥ AC （等腰三角形的三线合一）．（1 分）
AFB = 90 （垂直的定义）．（1 分）
（2）证明： AE ⊥ BC （已知），
AEC = 90 （垂直的定义）．
ADC = 90 （已知），
ADC = AEC （等量代换）．（1 分）
14
DC / / AB （已知），
DCA = CAB （两直线平行，内错角相等）．
BA = BC （已知），
ECA = CAB （等边对等角）．
DCA = ECA （等量代换）．（1 分）
ADC = AEC (已证)
在 ADC 和 AEC 中， DCA = ECA (已证)
AC = AC (公共边)
ADC AEC(AAS) ．（1 分）
（3） DE 与 BF 平行．（1 分）
证明：设 DE 交 AC 于点 H ，
ADC AEC （已证），
AD = AE ， DAH = EAH （全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1 分）
AH ⊥ DE （等腰三角形的三线合一）．（1 分）
AHE = 90 （垂直的定义）
AFB = 90 （已证），
AFB = AHE （等量代换）．（1 分）
DE / /BF （同位角相等，两直线平行）．
15
知识 3——证明举例
知识笔记
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段上运动的一类开放性题
目解决这类问题的关键是___________,灵活运用有关数学知识解决问题.
【填空答案】
动中求静
经典例
例 1
（★★★☆☆）如图，已知 ABC ，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 落在边 AB 上的点 E
处，点 B 落在点 D 处，联结 BD ，如果 DAC = DBA ，那么 BAC = 度．
【配题说明】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：旋转前、后
的图形全等．
【常规讲解】解：
设 BAC = x ，由旋转的性质，可得
16
DAE = BAC = x ，
DAC = DBA = 2x ，
又 AB = AD ，
ADB = ABD = 2x ，
ABD 中， BAD + ABD + ADB =180 ，
x + 2x + 2x =180 ，
x = 36 ，
即 BAC = 36 ，
故答案为：36
例 2
（★★★☆☆）（2018 普陀区期中）如图，在等边 ABC 中，AM 为 BC 边上的中线，动点 D
在直线 AM 上时，以CD 为边在CD 的下方作等边 CDE ，联结 BE ．
（1） CAM = 度；
（2）当点 D 在线段 AM 上时，求证： ADC BEC ；
（3）当动点 D 在直线 AM 上时，设直线 BE 与直线 AM 的交点为O ，试判断 AOB 的度数
是否会发生变化？请说明理由．
【配题说明】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质
的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关
键．
【常规讲解】解：（1）如图 1 中， ABC 是等边三角形，
BAC = 60 ．
线段 AM 为 BC 边上的中线
1
CAM = BAC ，
2
CAM = 30 ．
17
故答案为：30；
（2） ABC 与 DEC 都是等边三角形
AC = BC ， CD =CE ， ACB = DCE = 60
ACD + DCB = DCB + BCE
ACD = BCE ．
在 ADC 和 BEC 中
AC = BC
ACD = BCE
CD = CE
ACD BCE(SAS) ．
（3） AOB 是定值， AOB = 60 ，
理由如下：
①当点 D 在线段 AM 上时，如图 1，由（2）可知 ACD BCE ，则 CBE = CAD = 30 ，
又 ABC = 60
CBE + ABC = 60 + 30 = 90 ，
ABC 是等边三角形，线段 AM 为 BC 边上的中线
1 1
AM 平分 BAC ，即 BAM = BAC = 60 = 30
2 2
BOA = 90 30 = 60 ．
②当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图 2 中，
ABC 与 DEC 都是等边三角形
AC = BC ， CD =CE ， ACB = DCE = 60
ACB + DCB = DCB + DCE
ACD = BCE
在 ACD 和 BCE 中，
AC = BC
ACD = BCE ，
CD = CE
ACD BCE(SAS)
CBE = CAD = 30 ，
同理可得： BAM = 30 ，
BOA = 90 30 = 60 ．
③当点 D 在线段 MA 的延长线上时，
ABC 与 DEC 都是等边三角形
18
AC = BC ， CD =CE ， ACB = DCE = 60
ACD + ACE = BCE + ACE = 60
ACD = BCE
在 ACD 和 BCE 中，
AC = BC
ACD = BCE ，
CD = CE
ACD BCE(SAS)
CBE = CAD
同理可得： CAM = 30
CBE = CAD =150
CBO = 30 ， BAM = 30 ，
BOA = 90 30 = 60 ．
综上，当动点 D 在直线 AM 上时， AOB 是定值， AOB = 60 ．
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）（2019 浦东新区期中）已知 ABC ，过点C 作直线 l ，AM ⊥ l 于点 M ，BN ⊥ l
于点 N ， AM =CN ．
（1）如图，若 MN = AM + BN ，请判断 ABC 的形状，并说明理由；
（2）直线 MN 绕点 C 旋转过程中，若已知条件不变，线段 MN、AM、BN 应具备怎样的数
量关系时，才能保证 ABC 在（1）问中的形状不发生变化？请画出图形，并说明理由．
19
【配题说明】本题考查了作图 复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
【常规讲解】解：（1） ABC 是等腰直角三角形．
理由如下：
MN = AM + BN ， MN = MC + NC ，
AM + BN = MC + NC
AM =CN
MC = BN
AM ⊥ l 于点 M ， BN ⊥ l 于点 N ，
AMC = BNC = 90
AMC CNB
AC = BC ， ACM = CBN ，
CBN + BCN = 90
ACM + BCN = 90
ACB = 90
ABC 是等腰直角三角形．
（2）
如图：当 MN = AM + BN ，或 MN = BN AM ，或 MN = AM BN 时，
ABC 是等腰直角三角形．
理由如下：
①同（1），当 MN = AM + BN 时，可证明 ABC 是等腰直角三角形．
②当 MN = BN AM 时， MN = MC NC
BN AM = MC NC AM = NC
BN = MC ，
同（1）可证明 AMC CNB
20
AC = BC ， ACM = CBN ，
CBN + BCN = 90
ACM + BCN = 90
ACB = 90
ABC 是等腰直角三角形．
③当 MN = AM BN 时， MN =CN CM
AM BN =CN CM ，
AM = NC ，
BN =CM ，
同②可证明 ABC 是等腰直角三角形．
答：当 MN = AM + BN ，或 MN = BN AM ，或 MN = AM BN 时，
ABC 是等腰直角三角形．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）（2018 闵行区期中）下列命题是假命题的是 ( )
A．等角的补角相等
B．同旁内角互补
C．在一个三角形中，等角对等边
D．全等三角形面积相等
（2）（★★☆☆☆）（2018 杨浦区期中）下列命题中，其中真命题的个数有 个．
①等腰三角形两腰上的高相等；
②在空间中，垂直于同一直线的两直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
【配题说明】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【常规讲解】（1）解： A 、等角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意；
21
B 、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C 、在一个三角形中，等角对等边，正确，是真命题，不符合题意；
D 、全等三角形的面积相等，正确，是真命题，不符合题意，
故选： B ．
（2）解：①等腰三角形两腰上的高相等，原命题是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原命题是假命题；
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，原命题是假命题；
故答案为：1
练 2
（★★★☆☆）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如
果 那么 ”的形式，再指出命题的条件和结论．
①同号两数的和一定不是负数；
②若 x = 2 ，则1 5x = 0 ；
③延长线段 AB 至 C ，使 B 是 AC 的中点；
④互为倒数的两个数的积为 1．
【配题说明】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，难度不大．
【常规讲解】解：①同号两数的和一定不是负数是命题，改写为：如果两个数是同号，那么
这两个数的和一定不是负数，条件是：两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数；
②若 x = 2 ，则1 5x = 0 是命题，改写为：如果 x = 2 ，那么1 5x = 0 ，条件是 x = 2 ，结论
是1 5x = 0 ；
③延长线段 AB 至 C ，使 B 是 AC 的中点不是命题；
④互为倒数的两个数的积为 1 是命题，改写为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为
1，条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为 1．
22
练 3
（★★★☆☆）如图， ABC 的内角 ABC 的平分线与外角 ACG 的平分线交于点 D ，过点
D 作 BC 的平行线交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．试判断 EF 与 BE ，CF 之间的关系，并说明理
由．
【配题说明】本题需注意的是：只要过角平分线上的点作已知角的一边的平行线和另一边相
交，即可出现等腰三角形．
【常规讲解】解： EF = BE CF ．
证明： BD 平分 ABC ， ABD = DBC ．
又 ED / /BC ， EDB = DBC ；
ABD = EDB ， BE = ED ；
同理可证：CF = FD ；
EF = ED FD ，
EF = BE CF ．
练 4
（★★★☆☆）判断下列命题的真假，并给出证明.
a2（1）若 = 3，则 a = 3 ；
（2）如图，已知 BE ⊥ AD ，CF ⊥ AD ，垂足分别为点 E ，F ，且 BE =CF ．则 AD 是 ABC
的中线．
【配题说明】此题主要考查了判断命题的正确性以及全等三角形的判定与性质，得出
BED CFD 是解题关键．
23
【常规讲解】（1）解：是假命题，
当 a = 3 时， a2 = 3，但 a 3 ，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明： BE ⊥ AD ， CF ⊥ AD ，
DFC = DEB = 90 ，
在 BED 和 CFD 中，
2 = 1
DFC = DEB ，
CF = BE
BED CFD(AAS)
BD =CD ，
AD 是 ABC 的中线，
所以命题（2）是真命题．
【B组】
练 1
（★★★☆☆）已知：如图， A = AC = BD ， E 为 AB 中点，求证：CD = 2CE ．
【配题说明】此题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理，综合考查的知识
点较多，解答本题的关键是熟练全等三角形的判定定理．
v【常规讲解】证明：取 AC 的中点 F ，连接 BF ，
AB = AC ，点 E ， F 分别是 AB ， AC 的中点，
AE = AF ，
24
在 ABF 和 ACE 中，
A = A
AB = AC ，
AE = AF
ABF ACE(SAS) ，
BF =CE ，
BD = AB ， AF =CF ，
DC = 2BF ，
DC = 2CE ．
练 2
（★★★★☆）如图，点O 是等边 ABC 内一点， AOB =110 ， BOC = ．将 BOC 绕点
C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC ，连接 OD ．
（1）求证： COD 是等边三角形；
（2）当 =150 时，试判断 AOD 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， AOD 是等腰三角形？
【配题说明】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性
质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．
【常规讲解】（1）证明： 将 BOC 绕点C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC ，
CO =CD ， OCD = 60 ，
COD 是等边三角形．
（2）解：当 =150 时， AOD 是直角三角形．
25
理由是： 将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC ，
BOC ADC ，
ADC = BOC =150 ，
又 COD 是等边三角形，
ODC = 60 ，
ADO = ADC ODC = 90 ，
=150 ， AOB =110 ， COD = 60 ，
AOD = 360 AOB COD = 360 150 110 60 = 40 ，
AOD 不是等腰直角三角形，即 AOD 是直角三角形．
（3）解：①要使 AO = AD ，需 AOD = ADO ，
AOD = 360 110 60 =190 ， ADO = 60 ，
190 = 60 ，
=125 ；
②要使OA =OD ，需 OAD = ADO ．
OAD =180 ( AOD + ADO) =180 (190 + 60 ) = 50 ，
60 = 50 ，
=110 ；
③要使OD = AD ，需 OAD = AOD ．
AOD = 360 110 60 =190 ，
180 ( 60 )
OAD = =120 ，
2 2
190 =120 ，
2
解得 =140 ．
综上所述：当 的度数为125 或110 或140 时， AOD 是等腰三角形．
2616 | 期末复习
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 理解掌握二次根式的概念、性质及运算法则
目标 2 ★★★★★★ 综合 理解掌握一元二次方程的概念、解法与应用
目标 3 ★★★★★★ 综合 掌握正反比例函数的概念与图像性质
目标 4 ★★★★★★ 综合 掌握几何证明的知识点
知识清单
期末复习
1
【考情分析】
1．本节课主要考察二次根式、一元二次方程、正反比例函数与几何证明四个章节知识点
2．试卷以选择题、填空题、解答题三种题型进行考察
3．对应教材：八年级上册
课堂引入
【课堂引入】
同学们还记得本学期我们学习了哪些内容吗？
回答：二次根式、一元二次方程、正反比例函数与几何证明
知识点 1——
知识笔记
1．
代数式 a （ a 0 ）叫做二次根式，其中 a 是被开方数.
2．
a(a 0)2
（1） a = a = ；
a(a 0)
（2） ab = a b （ a 0 ，b 0 ）；
a
（3） = _______（ a 0 ，b 0）；
b
（4） ( a )2 = a(a 0) .
3．
（1）最简二次根式的定义：符合以下条件的二次根式是最简二次根式：
①被开方数中各因式的指数都为 1；
②被开方数所含因数是整数，因式是整式，被开方数不含分母．
（2）同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的
2
被开方数________，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
4．
（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；
（2）有理化因式：两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么
这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式；
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同
类二次根式分别合并；
（4）二次根式的乘法：二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变，即
a b = ab(a 0,b 0). ；
（5）二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即
a a
= (a 0,b＞0）.
b b
【填空答案】
a
2. ；相同
b
经典 题
1
2 x
（1）（★★☆☆☆）当 x 时， 有意义；
3
1 x2
（2）（★★☆☆☆）若二次根式 4 + a 与 2a 1 是同类二次根式，则 a = ；
（3）（★★☆☆☆） 2 3的有理化因式是 ；
（4）（★★☆☆☆）当 a 3时，化简 (2a 1)2 + (a + 3)2 的结果是________.
【配题说明】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
【常规讲解】（1）解：由题意可得： x 0 ，1 x2 0 ，
解得： x 0 且 x 1．
故答案为： 0 且 x 1．
（2）解： 二次根式 4 + a 与 2a 1 是同类二次根式，
3
4 + a = 2a 1
解得 a = 5 ．
故答案为：5．
（3）解： 2 3的有理化因式是 2 + 3 ，
故答案为： 2 + 3
（4）解： a 3 ，
a + 3 0 ， 2a 1 7 ，
原式=| 2a 1| + | a + 3 |
= (2a 1) (a + 3)
= 2a +1 a 3
= 3a 2
2
6 3 1 2
（1）（★★★☆☆）（2019 徐汇区校级月考）计算： + 24 25 ；
4 10 3 6 2 125
14 6 12b
（2）（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）计算： ；
ab ab2 5a3
b ab a b a + b
（3）（★★★☆☆）化简： ( a + ) ( + ) .
a + b ab + b ab a ab
【配题说明】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行
二次根式的乘除运算，再合并即可．
6(4 + 10) 3(3+ 6)
【常规讲解】（1）解：原式 = + 6 10
16 10 9 6
= 4 + 10 3 6 + 6 10
=1．
14 6 12b 14 6 5a3 14 6a a 15ab 7 10b
（2）解： = = = ．
ab ab2 5a3 ab ab2 12b ab ab 6b b3
b ab a b a + b
（3）解： ( a + ) ( + ) ，
a + b ab + b ab a ab
a ( a + b) b ab a a ( a b) b b( a + b) (a + b)(a b)
= [ + ] ，
a + b a + b ab( a + b)( a b )
a + b ab(a + b)
= ，
a + b ab(a b)
a + b a b
= ，
a + b (a + b)
4
a b
= ，
a + b
= ( a b) ，
= a + b ．
3
1 2
a = a + a 2 a
2 2a +1
（★★★☆☆）已知： ，化简并求 的值．
2 +1 a + 2 a2 a
【配题说明】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简是解题的关键．
1
【常规讲解】解： a = = 2 1，
2 +1
2
(a 1)(a + 2) (a 1)
原式 =
a + 2 a(a 1)
1
= a 1+ ，
a
原式 = 2 1 1+ 2 +1
= 2 2 1．
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）（2019 嘉定区期中）如果 2a 1 有意义，那么 a 的取值范围是 ；
x + 2 x + 2
（2）（★★☆☆☆）（2019 静安区月考）等式 = 成立的条件 ；
x 3 x 3
ab 2
（3）（★★☆☆☆）在 9x , 45, , ab, 中，最简二次根式的个数为 ；
4 3
（4）（★★☆☆☆）下列各组中的两个根式是同类二次根式的是 ( )
A． 5 2x 和3 x B． 75a3b2 和 12a
2 2 1C． x y 和 xy D． a 和
a2
【配题说明】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是
解题的关键．
5
【常规讲解】（1）解：由题意得， 2a 1 0 ，
1
解得， a ，
2
1
故答案为： a ．
2
x + 2 x + 2 x + 2 0
（2）解：等式 = 成立的条件是： ，
x 3 x 3 x 3 0
解得： x 3．
ab ab 2 6
（3）解： 9x = 3 x ， 45 = 3 5 ， = ， = ，都不是最简二次根式，
4 2 3 3
ab 是最简二次根式，
（4）解： A 、被开方数不同，不是同类二次根式；
B 、化简可得 5ab 3a 和 2 3a ，是同类二次根式；
C 、化简得 x y 和 y x ，不是同类二次根式；
1
D 、化简得 a 和 不是同类二次根式．
| a |
故选： B ．
练 1-2
15 3
（1）（★★★☆☆）（2019 静安区月考）计算： 27 48 ；
5 3
3 4 y 5
（2）（★★★☆☆）计算： xy3 ( ) ( x3 y )(x 0) ．
5 15 x 6
【配题说明】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行
二次根式的乘除运算，再合并即可．
3( 5 3)
【常规讲解】（1）解：原式 = 3 3 4 3
5 3
= 3 3 3 4 3
= 2 3 ．
（2）解： x 0 ， xy3 0 ，
y 0 ，
3 3 15 x 5 3
原式 = xy ( ) ( x y )
5 4 y 6
6
9 2 2 5= x y ( x3 y )
4 6
9 5
= xy ( x xy )
4 6
15
= x2 y xy ．
8
练 1-3
（ ★★★★☆ ） （ 2019 浦 东 新 区 校 级 月 考 ） 已 知 x ， y 都 是 有 理 数 ， 并 且 满 足
x2 + 2y + 2y =17 4 2 ，求 x y 的值．
【配题说明】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将
所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．
【常规讲解】解： x2 + 2y + 2y =17 4 2 ，
(x2 + 2y 17) + 2(y + 4) = 0 ．
x ， y 都是有理数，
x2 + 2y 17 与 y + 4 也是有理数，
x2 + 2y 17 = 0
y + 4 = 0
x = 5
解得
y = 4
x y 有意义的条件是 x y ，
取 x = 5 ， y = 4 ，
x y = 5 ( 4) = 3．
7
知识点 2——
知识笔记
1.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程．一般
形式为：_____________________；
其中 ax2 称为二次项，bx 称为一次项，c 为常数项．
2.
（1）直接开平方法：形如 ( px + q)2 = m( p 0,m 0) 的一元二次方程都可以用直接
开平方法解．
（2）因式分解法：①将方程左边的二次式分解因式；
②使方程左边的两个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；
③分别令两个一次因式为零求解.
（3）配方法：①将方程化为一般形式；
②配成 (x +m)2 = n 的形式；
③当 n 0 时，得 x +m = n ，方程的解为 x = m n ；当 n 0 时，方程无解．
（4）求根公式法：①将方程化为一般形式 ax2 +bx + c = 0(a 0) ；
②计算b2 4ac 的值；
2
2 b b 4ac③若b 4ac 0 ，用求根公式 x = ，求方程的解；
2a
④若b2 4ac 0 ，方程__________．
3.
我们把b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 +bx + c = 0的根的判别式，用符号 来表示．
当 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 0 时，方程没有实数根．
8
4.
二次三项式 ax2 + bx + c(a 0) 在实数范围内的因式分解的一般步骤：
（1）求出方程 ax2 + bx + c(a 0) 的两个实根 x1、x2 ；
（2）写出分解式 ax2 + bx + c = __________________.
【填空答案】
2
1. ax +bx + c = 0(a 0) ；2. 无解；4. a(x x1 )(x x2 )
经典 题
1
2
（1）（★★☆☆☆）方程 (m 2)xm 2 + (3 m)x 2 = 0 是一元二次方程，则 m = ；
（2）（★★☆☆☆）若关于 x 的方程 x2 2x m = 0 有实数根 x = 2 ，则 m = ；
（3）（★★★☆☆）解方程：
① 2x2 4x 6 = 0（用配方法）；② 2y
2 + 4(y 1) = 0（用公式法）；③ (x 1)2 2(x 1) =15 ．
【配题说明】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确
解答本题的关键．
2
【常规讲解】（1）解： 关于 x 的方程 (m 2)xm 2 + (3 m)x 2 = 0 是一元二次方，
m 2 0
2 ，
m 2 = 2
解得： m = 2 ．
（2）解：将 x = 2 代入原方程，得： 22 2 2 m = 0 ，
解得： m = 0 ．
（3）解：① 2x2 4x 6 = 0 ，
x2 2x 3 = 0 ，
x2 2x = 3，
(x 1)2 = 4，
解得 x1 = 3， x2 = 1；
②化简方程得，
2y2 + 4y 4 = 0 ，
a = 2 ， b = 4 ， c = 4 ，
9
b2 4ac = 48
4 48
y = = 1 3 ，
4
解得 y1 = 1+ 3 ， y2 = 1 3 ．
③解： (x 1)2 2(x 1) 15 = 0 ，
[(x 1) 5][(x 1) + 3] = 0 ，
(x 1) 5 = 0 或 (x 1) + 3 = 0 ，
所以 x1 = 6 ， x2 = 2 ．
2
（1）（★★☆☆☆）（2020 浦东新区期末）若关于一元二次方程 2mx2 + (8m +1)x + 8m = 0 有
两个实数根，那么 m 的取值范围是 ；
（2）（★★☆☆☆）（2018 嘉定区期末）不解方程，判断方程 3x2 + 2 2x = 1 的根的情
况 ；
（3）（★★☆☆☆）（2019 松江区期末）关于 x 的一元二次方程 x2 + (2m 1)x + m2 = 0 ，其
根的判别式的值为 9，求 m 的值及这个方程的根．
【 配 题 说 明 】 本 题 考 查 了 根 的 判 别 式 ： 一 元 二 次 方 程 的 定 义 ， 一 元 二 次 方 程
ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根与△ = b2 4ac 有如下关系：当△ 0 时，方程有两个不相等的实数
根；当△ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当△ 0 时，方程无实数根．
【常规讲解】（1）解： 方程有两个实数根，
△ = b2 4ac = (8m +1)2 4 2m 8m =1+16m 0 ，且 2m 0 ，
1
解得： m 且 m 0 ，
16
1
故答案为 m 且 m 0 ．
16
（2）解：由3x2 + 2 2x = 1得到：3x2 + 2 2x +1= 0 ．
a = 3 ， b = 2 2 ， c =1，
△ = b2 4ac = 8 12 = 4 0 ，
一元二次方程3x2 + 2 2x = 1 无实数根．
故答案为：无实数根．
（3）解：由题意可知：△ = (2m 1)2 4m2 = 9 ，
m = 2 ，
10
该方程为： x2 5x + 4 = 0 ，
x =1 或 x = 4
3
（1）（★★★☆☆）（2020 奉贤区期末）在实数范围内分解因式： x2 3x 2 = ；
（2）（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）k = 时，二次三项式 4x2 kx + 5 是关于
x 的完全平方式；
（3）（★★★☆☆）（2018 长宁区期末）某种品牌的笔记本电脑原价为 5000 元，如果连续
两次降价的百分率都为10% ，那么两次降价后的价格为 元；
（4）（★★★☆☆）（2017 普陀区期末）如图，在长为 32 米、宽为 20 米的长方形绿地内，
修筑两条同样宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成 4 块，这 4 块绿地的总面
积为 540 平方米．如果设道路宽为 x 米，由题意所列出关于 x 的方程是 ．
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，要通过审题结合一元二次方程列出方程式.
【常规讲解】（1）解：令 x2 3x 2 = 0 ，
则 a =1，b = 3， c = 2 ，
3 ( 3)2 4 1 ( 2) 3 17
x = = ，
2 1 2
2 3+ 17 3 17 x 3x 2 = (x )(x ) ．
2 2
（2）解： k = 2 4 5 ，
k = 4 5 ．
故答案是： 4 5 ．
（3）解：第一次降价后价格为5000 (1 10%) = 4500 元，
第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为 4500 (1 10%) = 4050 元．
答：两次降价后的价格为 4050 元．
（4）解：设道路的宽为 x 米．依题意得：
(32 x)(20 x) = 540 ，
故答案为： (32 x)(20 x) = 540 ．
11
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）（2020 松江区期中）关于 x 的方程 (a 2)x2 + 3x + 4 = 0 是一元二次方程，
则 a 的取值范围是 ；
（2）（★★☆☆☆）已知 x = 3是方程 x2 2x +m = 0 的一个根，那么 m = ；
（3）（★★★☆☆）解方程： 4y2 3 = (y + 2)2 ；
2 1
（4）（★★★☆☆）用配方法解方程： 2x 3x + = 0 ．
2
【配题说明】此题主要考查了一元二次方程定义，要熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法
是解题的关键．
【常规讲解】（1）解：由题意得： a 2 0 ，
解得： a 2 ，
故答案为： a 2 ．
（2）解：将 x = 3代入 x2 2x +m = 0 ，
9 6 + m = 0 ，
m = 3，
故答案为： 3．
（3）解：将方程整理，得： 3y2 4y 7 = 0 ，
a = 3 ， b = 4， c = 7 ，
△ = ( 4)2 4 3 ( 7) =100 0 ，
4 10
则 y = ，
6
7
y = ， y2 = 11 ．
3
2 3 9 9 1
（4）解： 2(x x + ) + = 0 ，
2 16 16 2
3 9 1
2(x )2 + = 0 ，
4 8 2
3
2(x )2
5
=
4 8
3 5
(x )2 =
4 16
12
3 5
x =
4 4
3 5
x =
4
练 2-2
2 1 2
（1）（★★☆☆☆）（2018 嘉定区期末）已知关于 x 的方程 x + (m 2)x + m 1= 0 有两个
4
实数根，那么 m 的取值范围是 ；
（2）（★★★☆☆）（2018 宝山区期末）已知关于 x 的一元二次方程 2x2 3x + m = 0 没有
实数根，求 m 的最小整数值．
【配题说明】本题考查了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0 ， a ， b ， c 为常数）的根的判
别式△ = b2 4ac ．当△ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当△= 0 时，方程有两个相等的
实数根；当△ 0 时，方程没有实数根．
1
【常规讲解】（1）解： 关于 x 的方程 x
2 + (m 2)x + m2 1= 0 有两个实数根，
4
1
△ = (m 2)
2 4 1 ( m2 1) = 4m + 8 0 ，
4
m 2 ．
故答案为： m 2 ．
（2）解： 关于 x 的一元二次方程 2x2 3x + m = 0 没有实数根，
△ = ( 3)2 4 2 m = 3 8m 0 ，
3
m ，
8
m 可以取得最小整数值为 1．
练 2-3
（1）（★★★☆☆）（2018 闵行区期末）在实数范围内因式分解 2x2 x 2 = ；
（2）（★★★☆☆）（2018 奉贤区期末）某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的 100
元涨到了 179 元，设平均每次涨价的百分比为 x ，那么可列方程： ；
13
（3）（★★★☆☆）（2014 上海期末）两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一
半多 4cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的 2 倍少32cm2 ，则大、小两个正方形的边长
依次是 ．
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，要通过审题结合一元二次方程列出方程式.
【常规讲解】（1）解：令 2x2 x 2 = 0
a = 2 ， b = 1， c = 2
△ = b2 4ac =1 4 2 ( 2) =17
1 17 1 17
x = =
2 2 4
1 17 1+ 17
x1 = ， x2 =
4 4
2 1 17 1+ 17 2x x 2 = 2(x )(x )
4 4
1 17 1+ 17
故答案为： 2(x )(x )
4 4
（2）解：设平均每次涨价的百分比为 x ，那么可列方程：
100(1+ x)2 =179 ．
故答案为：100(1+ x)2 =179 ．
（3）解：设小正方形的边长为 xcm ，大正方形的边长为 ycm ．
1
x = y + 4
根据题意，得 2
y
2 = 2x2 32
x =12
解得 ．
y =16
故答案为：16，12．
14
知识点 3——
知识笔记
1．
（1）正比例函数：解析式形如______（ k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，
其中常数 k 叫做比例系数，定义域是一切实数；
（2）正比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①直线经过第一、第三象限； ①直线经过第二、第四象限；
②y 随 x 的增大而增大； ②y 随 x 的增大而_________；
性质
③自变量的取值范围是全体实数；
④| |越大，直线越靠近 y 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越大；
| |越小，直线越靠近 x 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越小.
2．
（1）反比例函数: 解析式形如_______（ k 是不等于零的常数）的函数叫做反比例函数，
k
其中常数 k 叫做比例系数，反比例函数 y = 的定义域是 x 0 ；
x
15
（2）反比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①双曲线两分支分别在第一、三象 ①双曲线两分支分别在第二、
限； 第四象限；
②在每个象限内 y 随 x 的增大而减 ②在每个象限内，y 随 x 的增大
小； 而增大；
性质
③ x 的取值范围是 x 0 ， y 的取值范围是 y 0 ，图像不能和坐标轴相
交，只能无限接近；
④既是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是坐标原点，对称轴分
别是 y = x 和 y = x .
【填空答案】
1、 y = kx ；减小
k
2、 y =
x
经典 题
1
3
（1）（★★★☆☆）下列对反比例函数 y = 的图象的描述，正确的是 ( )
x
A．与坐标轴有交点 B．有两支，分别在第二、四象限
C．经过点 (1,3) D．函数值 y 随 x 的值增大而减小
16
（2）（★★★☆☆）（2021 奉贤区二模）下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小
的是 ( )
2 2
A． y = B． y = C． y = 2x D． y = 2x
x x
x k
（3）（★★★☆☆）（2018 黄浦区校级月考）函数 y = (k1 0) 与 y =
2 (k
k 2
0) 在同一
1 x
坐标系中的大致图象是 ( )
A． B．
C． D．
【配题说明】本题考查正比例函数、反比例函数的增减性，解题的关键是掌握正比例函数、
反比例函数的性质．
3
【常规讲解】（1）解： A 、反比例函数 y = 的图象与坐标轴无交点，故 A 错误；
x
B 、 k = 3 0 ，
双曲线的的两个分支，分别在第一、三象限，故 B 错误；
C 、 1 3 = 3 = k ，
3
反比例函数 y = 的图象经过点 (1,3) ，故C 正确；
x
D 、 k 0 ，
函数值 y 在每个象限内随 x 的值增大而减小，故 D 错误，
故选：C ．
2
（2）解： A 、函数 y = ，在 x 0 时 y 随自变量 x 的值增大而减小，或 x 0 时 y 随自变量
x
x 的值增大而减小，故 A 不符合题意，
2
B 、函数 y = ，在 x 0 时 y 随自变量 x 的值增大而增大，或 x 0 时 y 随自变量 x 的值增
x
大而增大，故 B 不符合题意，
C 、函数 y = 2x ， y 随自变量 x 的值增大而增大，故C 不符合题意，
17
D 、函数 y = 2x ， y 随自变量 x 的值增大而减小，故 D 符合题意，
故选： D ．
x k
（3）解： 函数 y = (k1 0) 与 y =
2 (k
k 2
0) ，
1 x
x k
函数 y = (k1 0) 的图象是经过第二、四象限且经过原点的直线，函数 y =
2 (k2 0)k1 x
的图象在第一、三象限，故选项 A 、 B 、 C 错误，选项 D 正确，
故选： D ．
2
（★★★☆☆）（2019 松江区期末）已知： y = y1 + y2 ，并且 y 与 (x 1)1 成正比例， y 与 x2
成反比例．当 x = 2 时， y = 5 ；当 x = 2 时， y = 9 ．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）求当 x = 8时的函数值．
【配题说明】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握正比例函数和
反比例函数解析式的形式．
【常规讲解】解：（1） y 与 (x 1)1 成正比例， y 与 x2 成反比例，
k
设 y1 = k1(x 1) ， y2 =
2 ，
x
y = y1 + y2 ，
k
y = k1(x 1) +
2 ，
x
当 x = 2 时， y = 5 ；当 x = 2 时， y = 9 ．
k2
5 = k + 1 2
，
k 9 = 3k1
2
2
k1 = 2
解得： ，
k2 = 6
6
y 关于 x 的函数解析式为 y = 2(x 1) +
x
3 3
（2）当 x = 8时，原式 = 2 7 + =14 ．
4 4
18
3
（★★★★☆）（2019 松江区期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，正比例函
k
数 y = 3x 的图象与反比例函数 y = (x 0) 的图象都经过点 A(2,m) ．
x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 B 在 x 轴上，且OA = BA ，反比例函数图象上有一点C ，且 ABC = 90 ，求点C 坐
标．
【配题说明】本题主要考查了正反比例函数与直角三角形性质，正确把握函数图像以及运用
直角性质是解题关键．
【常规讲解】解： 正比例函数 y = 3x 的图象经过点 A(2,m) ，
m = 2 3 ，
点 A 的坐标为 (2 ， 2 3) ，
k = 4 3 ，
4 3
反比例函数的解析式为 y = ；
x
（2）作 AD ⊥ x 轴于 D ， CE ⊥ x 轴于 E ，
4 3
设点C 的坐标为 (x, ) ，
x
AO = AB ， AD ⊥ x 轴，
OD = DB = 2 ， AD = 2 3 ，
AB = AD2 + BD2 = 4 ，
DAB = 30 ，
ABD = 60 ，
ABC = 90 ，
CBE = 30 ，
19
1
CE = BC ，
2
由勾股定理得， BE = 3CE ，
4 3
3 = x 4 ，
x
解得， x1 = 2 （舍去）， x2 = 6 ，
2 3
则点C 的坐标为 (6, ) ．
3
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）（2019 松江区期末）下列函数中， y 随着 x 的增大而减小的是 ( )
3 3
A． y = 3x B． y = C． y = 3x D． y =
x x
2k
（2）（★★☆☆☆）（2018 静安区期末）正比例函数 y = 3kx 与反比例函数 y = 在同一坐
x
标系中的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
20
【配题说明】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的图象，关键是熟练掌握两个函数图
象的性质．
【常规讲解】（1）解： A 、 y = 3x 中 k = 3 0 ， y 随着 x 的增大而增大，不符合题意；
3
B 、 y = 中 k = 3 0 ，在每个象限内 y 随着 x 的增大而减小，不符合题意；
x
C 、 y = 3x 中 k = 3 0 ， y 随着 x 的增大而减小，符合题意；
3
D 、 y = 中 k = 3 0 ，在每个象限内 y 随着 x 的增大而增大，不符合题意；
x
故选：C ．
（2）解：当 k 0 时，正比例函数 y = 3kx 的图象经过原点，过第一、三象限，反比例函数
2k
y = 图象在第一、三象限，
x
2k
当 k 0 时，正比例函数 y = 3kx 的图象经过原点，过第二、四象限，反比例函数 y = 图象
x
在第二、四象限，
四个选项中只有 B 符合，
故选： B ．
练 4-2
（★★☆☆☆）（2018 黄浦区校级月考）已知 y = y1 + y2 ，其中 y
2
1 与 x 成正比例， y2 与 x 1
成反比例，且当 x = 1时， y = 3 当 x = 2 时， y = 3 ．
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；
（2）当 x = 2 ，求 y 的值．
【配题说明】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的
关键．
m 2 m
【常规讲解】解：（1）根据题意设 y = kx2 ， y2 = ，即 y = y1 + y2 = kx +1 ，
x 1 x 1
m
k = 3
将 x = 1， y = 3 ， x = 2 ， y = 3 分别代入得： 2 ，
4k + m = 3
1
解得： k = ， m = 5 ，
2
1
y = x2
5
则 + ，
2 x 1
21
1 2 5
（2）当 x = 2 时， y = x + =16 + 5 2 ．
2 x 1
练 4-3
k
（★★★★☆）（2010 普陀区期末）已知：如图，正比例函数 y = k x 的图象与反比例函数 y = 21
x
的图象相交于点 A 、B ，点 A 在第一象限，且点 A 的横坐标为 1，作 AH 垂直于 x 轴，垂
足为点 H ， S AOH =1 ．
（1）求 AH 的长；
（2）求这两个函数的解析式；
（3）如果 OAC 是以OA为腰的等腰三角形，且点C 在 x 轴上，求点 C 的坐标．
【配题说明】本题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式等腰三角形的性
质，综合性较强，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．
【常规讲解】解：（1） 点 A 的横坐标为 1， AH ⊥ x 轴，
OH =1，
S AOH =1，
1
OH AH =1，
2
解得： AH = 2 ．
（2） OH =1， AH = 2 ，
点 A 的坐标为 A(1,2) ，
点 A(1,2) 在正比例函数 y = k1x 的图象上，
2 = k1 1，
解得： k1 = 2 ．
所求的正比例函数的解析式为 y = 2x ，
k
点 A(1,2) 在反比例函数 y = 2 的图象上，
x
22
k
2 = 2 ，
1
解得 k2 = 2 ．
2
所求的反比例函数的解析式为 y = ．
x
（3）由题意，设点C 的坐标为 (a,0) ．
OAC 是以OA为腰的等腰三角形，
OA =OC 或 OA = AC ，
①当OA =OC 时， a = 5 ，
即可得：点C 的坐标为 ( 5 ， 0) 或 ( 5 ， 0) ．
②当OA = AC 时， a = 2 ； a = 0 ，
点 C 与点O 不重合，
a = 0 不合题意舍去，
点 C 的坐标为 (2,0) ，
综上所述：点C 的坐标为 ( 5 ， 0) 或 ( 5 ， 0) 或 (2,0) ．
知识点 4——
知识笔记
1．
（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距
离相等；
（2）线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
________________；
2．
（1）角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）角平分线逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边__________的点，
在这个角的平分线上.
23
3．
（1）一般直角三角形：
① 直角三角形全等：有一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记
为 H.L）
② 直角三角形性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半．
（2）含30 的直角三角形：
① 在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半．
② 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等
于30 ．
4．
（1）勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）勾股逆定理：一个三角形中，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么
这个三角形是_______________．
【填空答案】
垂直平分线上；距离相等; 直角三角形
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
（2）（★★☆☆☆）将“等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式： ；
（3）（★★☆☆☆）已知：如图， RtΔABC 中， AC BC ， ACB = 90 ，CD 是 ABC 的
中线，点 E 在 CD 上，且 AED = B ．求证： AE = BC ．
24
【配题说明】本题考查了命题与定理、还考察了全国等三角形的判定与性质．
【常规讲解】（1）解： A 、其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆
定理；
B 、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；
C 、其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；
D 、其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．
故选： B ．
（1） 如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等
（3）证明：延长CD 到 F 使 DF =CD ，连接 AF ，
AD = BD
CD 是 ABC 的中线， AD = BD ，在 ADF 与 BCD 中， ADF = BDC ，
DF = DC
ADF BCD ， F = BCD ， BC = AF ，
ACB = 90 ， CD 是 ABC 的中线， CD = BD ， B = BCD ，
AED = F ， AE = AF ， AE = BC ．
2
（1）（★★★☆☆）如图，在 ABC 中，EF 是 AC 的垂直平分线，AF =12 ，BF = 3，则 BC = ．
25
（2）（★★★☆☆）已知：如图， AD / /BC ，DB 平分 ADC ，CE 平分 BCD ，交 AB 于点
E ， BD 于点O ．求证：点O 到 EB 与 ED 的距离相等．
【配题说明】本题考查线段的垂直平分线定理与角平分线定理，利用垂直平分线性质与角
平分线性质构造全等即可．
【常规讲解】（1）解： EF 是线段 AC 的垂直平分线， FC = AF =12 ，
BF = 3 ， BC = BF + FC = 3+12 =15 ，故答案为：15．
（2）证明： AD / /BC ， ADC + BCD =180 ，
DB 平分 ADC ， CE 平分 BCD ， ODC + OCD = 90 ，
DOC = 90 ，又CE 平分 BCD ， CB =CD ， OB =OD ，
CE 是 BD 的垂直平分线， EB = ED ，又 DOC = 90 ，
EC 平分 BED ， 点O 到 EB 与 ED 的距离相等．
3
（★★★★☆）已知：如图，在 BCD 中，CE ⊥ BD 于点 E ，点 A 是边CD 的中点，EF 垂直
1
平分线 AB ；（1）求证：BE = CD ；（2）当 AB = BC ， ABD = 25 时，求 ACB 的度数．
2
【配题说明】本题主要考查了垂直平分线、直角三角形与勾股定理，较为综合.
1
【常规讲解】（1）证明：连接 AE ， CE ⊥ BD ，点 A 是边CD 的中点， AE = AD = CD ，
2
26
1
EF 垂直平分线 AB ， EA = EB ， BE = CD ；
2
（2） EA = EB ， EAB = ABD = 25 ， AED = EAB + ABD = 50 ，
EA = AD ， D = AED = 50 ， BAC = ABD + D = 75 ，
AB = BC ， ACB = BAC = 75 ．
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）如图，已知 AE 平分 BAC ， ED 垂直平分 BC ， EF ⊥ AC ， EG ⊥ AB ，垂足
分别是点 F 、 G ．求证：
（1） BG =CF ；
（2） AB = AF +CF ．
【配题说明】此题考查了辅助线添加的内容，这里要注意全等三角形的判定.
【常规讲解】证明：（1）连接CE 、 BE ，
ED 垂直平分 BC ， EC = EB ， AE 平分 CAB ， EF ⊥ AC ， EG ⊥ AB ，
EC = EB
EF = EG ，在 Rt CFE 和 Rt BGE 中， ， Rt CFE Rt BGE ，
EF = EG
BG =CF ；
（2） AE 平分 BAC ， EF ⊥ AC ， EG ⊥ AB ， EF = EG ，
AE = AE
在 Rt AGE 和 Rt AFE 中， ， Rt AGE Rt AFE ， AG = AF ，
EG = EF
27
AB = AG + BG ， AB = AF +CF ．
练 4-2
（★★★★☆）已知：如图，在 ABC 和 ABE 中， ACB = AEB = 90 ， D 是 AB 中点，联
结 DC 、 DE 、 CE ， F 是 CE 中点，联结 DF ．
（1）求证： DC = DE ；
（2）若 AB =10 ， CE = 8 ，求 DF 的长．
【配题说明】本题主要考查了垂直平分线、直角三角形与勾股定理，较为综合.
1
【常规讲解】解：（1） ACB = 90 ， D 是 AB 中点， CD = AB ，
2
1
同理： ED = AB ， CD = ED ；
2
（2） CD = ED ， F 是 CE 中点， DF ⊥CE ，
1
CD = AB ， AB =10 ， CD = 5 ， F 是CE 中点，CE = 8 ， CF = 4 ，
2
DF = CD2 CF 2 = 3．
28
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）（2019 松江区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是 ( )
1
A． 2 和 12 B． 2 和
2
C． 2ab 和 ab3 D． a 1 和 a +1
（2）（★★☆☆☆）（2019 青浦区校级月考）解不等式： 3(x 1) 5x ．
【配题说明】第一题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，
被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；第二题考察二次根式的混合运算和分母有理化
【常规讲解】解：A 、 12 = 2 3 ，被开方数是 3，与 2 的被开方数 2 不同，不是同类二次
根式，故本选项不符合题意．
1 2
B 、 = ，被开方数是 2，与 2 的被开方数 2 相同，是同类二次根式，故本选项符合
2 2
题意．
C 、 ab3 =| b | ab ，被开方数是 ab ，与 2ab 的被开方数 2ab 不同，不是同类二次根式，
故本选项不符合题意．
D 、 a 1 和 a +1 的被开方数分别是 a 1 、a +1 ，不是同类二次根式，故本选项不符合题
意．
故选： B ．
（2）解： 3x 3 5x ，
3x 5x 3 ，
( 3 5)x 3 ，
3
x ，
3 5
3( 3 + 5)
x ，
2
3+ 15
x ．
2
29
练 2
（1）（★★☆☆☆）（2019 徐汇区校级月考）如果 (m 3)x2 + 2x + m2 3 = 0 是关于 x 的一
元二次方程，则 m 的取值范围是 ；
（2）（★★★☆☆）一辆汽车，新车购买价 20 万元，第一年使用后折旧 20% ，以后该车的年
折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价
值 11.56 万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为 x ，那么根据题意，列出的方程为 ．
【配题说明】第一题考查的是一元二次方程的定义，第二题考察折旧率问题，考查了列一元
二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价
格为 11.56 万元建立方程是关键．
【常规讲解】（1）解： (m 3)x2 + 2x +m2 3 = 0 是关于 x 的一元二次方程，
m 3 0 ，
即 m 3 ．
（2）解：设这辆车第二、三年的年折旧率为 x ，由题意，得
20(1 20%)(1 x)2 =11.56 ．
故答案是： 20(1 20%)(1 x)2 =11.56 ．
练 3
（★★☆☆☆）（2020 奉贤区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有 ( )
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
【配题说明】此题主要考查了正比例函数的定义
【常规讲解】解： A 、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；
B 、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
C 、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；
D 、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
故选： D ．
30
练 4
（★★★☆☆）（2019 浦东新区期末）如下图，在平面直角坐标系 xOy 内，函数 y = ax(a 0)
b
和 y = (b 0) 交于 A 、 B 两点，已知 A( 1,4) ．
x
（1）求这两个函数的解析式，并直接写出点 B 的坐标；
（2）点C 在 x 轴上，且 ACB = 90 时，求点 C 的坐标．
【配题说明】本题考查反比例函数和正比例函数的交点问题，待定系数法求正函数和反比例
函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C 的坐标是解题的关键．
4 = a
【常规讲解】解：（1）由题意得： ，
4 = b
4
这两个函数解析式分别为 y = 4x ， y = ，
x
点 B 的坐标是 (1, 4) ；
（2）设点C 的坐标为 (c,0)
ACB = 90 ，
AC2 + BC2 = AB2 ，
A( 1,4) ， B(1, 4)
(x +1)2 + 42 + (c 1)2 + 42 = 22 + 82 ，
解得： c = 17 ，
点 C 的坐标是 ( 17,0) 或 ( 17,0) ．
31
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，已知在 RtΔABC 中， ACB = 90 ，M 是边 AB 的中点，连接CM 并延
1
长到点 E ，使得 EM = AB ， D 是边 AC 上一点，且 AD = BC ，联结 DE ，求 CDE 的度
2
数．
【配题说明】此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰
三角形的性质．
【常规讲解】解：如图，连接 AE ，
1 1
ACB = 90 ， AM = BM ， CM = AB ， EM = AB ， CM = EM ，
2 2
AM = BM
在 AME 和 BMC 中， AME = BMC ， AME BMC(SAS) ，
EM = CM
AE = BC ， EAM = B ， AD = BC ， AD = AE ，
BAC + B = 90 ， BAC + EAM = 90 ，即 DAE = 90 ，
ADE = 45 ， CDE =135 ．
3201 | 二次根式初步
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 理解二次根式的概念
目标 2 ★★☆☆☆☆ 理解 掌握二次根式的性质
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 掌握最简二次根式与同类二次根式
知识清单
二 次根式的概念
二次根式初步 二 次根式的性质
二次根式
二次根式与 二次根式
二次根式
3
知识点 1——二次根式的概念
知识笔记
二次根式的概念
（1）代数式 a （ a 0 ）叫做二次根式，读 作“根号 a ”，其中 a 是_____________；
（2）二次根式有意义的条件是被开方数是_____________．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列各式中一定是二次根式的是 ( )
1
A． 5 B． x2 +1 C． 3x D．
x
1
（2）（★★☆☆☆）当 x 时， 是二次根式；
1 3x
a
（3）（★★☆☆☆）若 是二次根式，则 a、b、c 应满足的条件是 ( )
bc
A． a、b、c 均为非负数 B． a、b、c 同号
a
C． a 0 ， bc 0 D． 0
bc
例 2
x 3
（1）（★★☆☆☆）如果 有意义，那么 x 的取值范围是 ；
x
x +1
（2）（★★☆☆☆）当 x 时， 在实数范围内有意义；
| x | 2
(x 2)0
（3）（★★★☆☆）若根式 x 1 + 有意义，则 x 的取值范围是 ．
5 x
4
例 3
（1）（★★☆☆☆） b = a 3 3 a + 4，则 ab = ；
2 2
（2）（★★★☆☆）已知 x y
x 16 + 16 x + 2
、 是实数，且 y = ，求 xy ．
x 4
巩固练习
练 1-1
1
（1）（★★☆☆☆）下列各式： a2 +1 ， b + 2(b 2) ， ( )
2 ， (3x 1)2 ， b2 4ac ，
2
其中是二次根式的个数有 ( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
a
（2）（★★☆☆☆）若 是二次根式，则 a、b 应满足的条件是 ( )
b
A． a、b 均为非负数 B． a、b 同号
a
C． a 0 ， b 0 D． 0
b
练 1-2
2 x
（★★☆☆☆）当 x 时， 有意义．
3
1 x2
练 1-3
（1）（★★☆☆☆）若 y = a +16 36 a + a2 ，则 y = ；
|1 y |
（2）（★★★☆☆）若 x ， y
1
是实数，且 y x 1 + 1 x + ，求 的值．
2 y 1
5
知识点 2——二次根式的性质
知识笔记
二次根式的性质
（1）二次根式的性质：
性质 1： a2 = a(a 0) ；
性质 2： ( a )2 = a(a 0) ；
性质 3： ab = _________ （ a 0 ，b 0 ） ；
a
性质 4： = ___________（ a 0 ，b 0 ）．
b
a(a 0)
（2） a2 与 a 的关系： a
2 = a = 0(a = 0) ．
a(a 0)
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）若 (a 5)2 = 5 a ，则 a 的取值范围是 ( )
A． a 5 B． a 5 C． 0 a 5 D．一切实数
9x2 6x +1
（2）（★★☆☆☆）若 =1，那么 x 的取值范围是 ．
1 3x
例 2
（1）（★★☆☆☆）计算： ( 7)2 = ；
（2）（★★☆☆☆）化简： (3 )2 = ；
12a2
（3）（★★☆☆☆）化简： (a 0) = ；
b4
（4）（★★☆☆☆）计算： 5 2 6 = ．
6
例 3
（★★★☆☆）a、b、c 三个数在数轴上的点如图所示，求 | a b | + | c a | | c + b | (a c)2
的值．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）使 (x 1)2 =1 x 成立的 x 的取值范围是 ；
（2）（★★☆☆☆）如果 a + a2 2a +1 =1，那么 a 的取值范围是 ．
练 2-2
1
（1）（★★☆☆☆）将 a 根号外面的式子移到根号内是 ；
a
x 2
（2）（★★☆☆☆）如果 ，化简 x2 6x + 9 + x2 4x + 4 = ．
x 3 0
练 2-3
（★★★☆☆）化简： | 6 a | + (2a 1)2 + ( a)2 ．
7
知识点 3—— 二次根式与 二次根式
知识笔记
1. 二次根式的概念
（1）被开方数中各因式的___________；
（2）被开方数不含分母；
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 二次根式的概念
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数________，那么这几个二次根式叫
做同类二次根式．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）将下列二次根式化成最简二次根式：
① 4x3 y2 (y 0) ； ② 4x2 4xy y2 (2x y) ；
a x2 x 12
③ (a 0，b 0) ； ④
2 (x 4) . b x 3
（2）（★★☆☆☆）判断下列二次根式是否为同类二次根式：
a m n m n
① a和 ； ② 2a和 2a2 ； ③ 和 (m n 0) ．
2 m n m n
8
例 2
（1）（★★★☆☆）若最简二次根式 x2 x 与 x + 8 是同类二次根式，则 x = ；
（2）（★★★☆☆）若最简根式 2a 4 3a + b 与 a b 是同类根式，则 2a + b = ．
例 3
（★★★★☆）将下列式子化成最简二次根式：
1 x y x y
若 x、y 为实数，且 y = 1 4x + 4x 1 + ，求 2 2 的值．
2 y x y x
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）下列各根式中，最简二次根式是 ( )
1 a2 + b2
A． 8a B． C． D． 2a2b
6 2
1
12a3x3
x a
（2）（★★★☆☆）已知下列四个根式： 、3a 、3x 、
3 4a
3x 与 3ax 是同
3 3a x
类二次根式的是 ．
练 3-2
1
（1）（★★★☆☆）当 x = 时，最简二次根式 x2 3x 和 x + 9 是同类二次根式；
2
（2）（★★★☆☆）若两个最简二次根式 n 5 与 2m 5 能够合并，则 mn = ．
9
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列各式中，一定是二次根式的有 ( )
① 2 ；② a ；③ a2 +1 ；④ 4 ；⑤ x
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
练 2
1
（1）（★★☆☆☆）化简： a = ；
a5
a2
（2）（★★☆☆☆）将 (a 3) (a 0) 化简的结果是 ；
3 a
（3）（★★☆☆☆）已知最简二次根式 3b 与3 ab 的被开方数相同，则 a = ．
练 3
（1）（★★★☆☆）已知 2y = 2x 3 + 3 2x 4 ，计算 x y 的值；
（2）（★★★☆☆）化简： x2 6x + 9 + x2 8x +16(3 x 4) ．
10
练 4
（★★★☆☆）某同学作业本上做了这么一道题：“当 a = 时，试求 a + a2 2a +1 的值”，
1
其中 是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出
2
你的道理．
【B组】
练 1
（★★★★☆）若 z 适合 3x + 5y 2 3z + 2x + 5y 3z = x 2016 + y + 2016 x y ，
求 z 的值．
练 2
m4 4m3 8m2 + 8m + 24
（★★★★☆）已知：m= 14 6 5 ，求 的值．
m2 6m + 7
1114 | 函数与特殊三角形存在性问题
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 掌握坐标系下等腰三角形存在性问题
目标 2 ★★★★★★ 综合 掌握坐标系下直角三角形存在性问题
知识清单
三角形的概念与性质
函数与特殊三角形的存 三角形的存在性问题
三角形的存在性问题
在性问题
直 角三角形的概念与性质
直 角三角形的存在性问题
直角三角形的存在性问题
169
知识点 1—— 三角形的存在性问题
知识笔记
1． 三角形的概念与性质
（1）等腰三角形的定义：两条边相等的三角形，相等的两条边为腰，另一边为底；
（2）等腰三角形的性质：①等边对等角；②____________；
（3）等腰三角形的判定：①定义法，直接证边相等；②等角对等边.
2． 三角形的存在性问题
（1）几何法：利用等腰三角形的性质或三线合一性质，求出动点到已知点距离，再转
化坐标；
（2）代数法：利用边相等的原则，求出三边长度，分类讨论，求解动点坐标，以计算
为主.（步骤：设点，求边，等边，求解）
经典例题
例 1
k
（★★★☆☆）已知：如图，正比例函数 y = k1x 的图象与反比例函数 y =
2 的图象相交于点 A 、
x
B ，点 A 在第一象限，且点 A 的横坐标为 1，作 AH 垂直于 x 轴，垂足为点 H ，S AOH =1 ．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）如果 OAC 是以 OA 为腰的等腰三角形，且点C 在 x 轴上，求点 C 的坐标．
170
例 2
4
（★★★★☆）已知，点 B 、C 是双曲线 y = 在第一象限分支上的两点，点 A 在 x 轴正半轴
x
上， AOB 为等腰直角三角形， B = 90 ， AC 垂直于 x 轴．
（1）求点 C 的坐标；
（2）点 D 为 x 轴上一点，当 BCD 为等腰三角形时，求点 D 的坐标．
例 3
k
（★★★★☆）如图，正比例函数 y = k1x(k1 0) 的图象与反比例函数 y =
2 (k2 0) 的图象交
x
于点 A(a,6) ，且点 C(9,2) 在反比例函数的图象上，点 B 的坐标为 (4,0) ．
（1）求正比例函数 y = k1x 的解析式；
（2）若 P 为射线 OA 上一点，①若点 P 的横坐标为 x ， OPB 的面积为 S ，写出 S 关于 x 的
函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围；②当 POB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标．
171
巩固练习
练 1-1
k
（★★★☆☆）已知：如图，点 A(1,m) 是正比例函数 y = k 21x 与反比例函数 y = 的图象在第
x
一象限的交点， AB ⊥ x 轴，垂足为点 B ， ABO 的面积是 2．
（1）求 m 的值以及这两个函数的解析式；
（2）若点 P 在 x 轴上，且 AOP 是以OA 为腰的等腰三角形，求点 P 的坐标．
练 1-2
k
（★★★★☆）已知，如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y = (k 0) 与直线 y = 2x 都
x
经过点 A(2, m) ．
（1）求 k 与 m 的值；
（2）此双曲线又经过点 B(n, 2) ，点 C 是 y 轴的负半轴上的一点，且点 C 到 x 轴的距离是 2，
联结 AB、AC、BC ，
①求 ABC 的面积；
②点 E 在 y 轴上， ACE 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标．
172
知识点 2——直角三角形存在性问题
知识笔记
1．直角三角形的概念与性质
（1）直角三角形的性质：三边关系：勾股定理；角度关系：___________；
（2）直角三角形的判定：①勾股定理的逆定理；②证明有直角；
（3）等腰直角三角形：含 45°的直角三角形，常见辅助线及全等模型：一线三垂直.
2．直角三角形的存在性问题
（1）代数法：设动点坐标，求出三边长度，利用勾股定理构建三边关系，求解方程.
步骤：设点，求边，勾股，求解；
（2）几何法：利用直角挖掘几何信息或构建辅助线求解动点坐标.
常见情境：等腰直角三角形等.
经典例题
例 1
（★★★★☆）如图，已知正比例函数图象经过点 A(2,2) ， B(m,3)
（1）求正比例函数的解析式及 m 的值；
（2）分别过点 A 与点 B 作 y 轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点 C 、
D （点 C、D 均在点 A 、 B 下方），若 BD = 4AC ，求反比例函数的解析式；
（3）在第（2）小题的前提下，联结 AD ，试判断 ABD 的形状，并说明理由．
173
例 2
（★★★★☆）如图，直线 l 经过原点和点 A(3, 6) ，点 B 坐标为 (4, 0)
（1）求直线 l 所对应的函数解析式；
（2）若 P 为射线 OA 上的一点．
①设 P 点横坐标为 x ， OPB 的面积为 S ，写出 S 关于 x 的函数解析式，指出自变量 x 的取
值范围；
②当 POB 是直角三角形时，求 P 点坐标．
巩固练习
练 2-1
（★★★★☆）如图，在平面直角坐标系中，点 B(a,b) 是第一象限内一点，且 a 、b 满足等式
a2 6a + 9+ | b 1|= 0 ．
（1）求点 B 的坐标；
174
（2）如图 1，动点 C 以每秒 1 个单位长度的速度从 O 点出发，沿 x 轴的正半轴方向运动，
同时动点 A 以每秒 2 个单位长度的速度从 O 点出发，沿 y 轴的正半轴方向运动，设运动的
时间为 t 秒，当 t 为何值时， ABC 是 AB 为斜边的等腰直角三角形.
综合练习
【A组】
练 1
k
（★★★☆☆）如图， P1 是反比例函数 y = (k 0) 在第一象限图象上的一点，点 A1 的坐标为
x
(2,0) ．若 P1OA1 与 P2 A1 A2 均为等边三角形，则 A2 点的坐标为 ．
175
练 2
k 1
（★★★★☆）已知反比例函数 y = 的图象过点 ( 2, ) ．
2x 2
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）如图，点 A(m,1) 是反比例函数图象上的点，求 m 的值；
（3）利用（2）的结果，请问：在 x 轴上是否存在点 P ，使以 A、O、P 三点为顶点的三角形
是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB ，AB ⊥ x 轴于点 C ，点 A( 3 ，1) 在反
k
比例函数 y = 的图象上．
x
k
（1）求反比例函数 y = 的表达式；
x
（2）求 AOB 的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点 P ，使得以 O 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形若
存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，简述你的理由．
17605 | 一元二次方程的应用
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握二次三项式的因式分解
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握一元二次方程的数字问题、传播问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 运用一元二次方程解决增长率问题
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 运用一元二次方程解决利率问题、利润问题
目标 5 ★★★★★☆ 迁移 运用一元二次方程解决几何面积问题
知识清单
二次 的 二次 的
一元二次方程的应用
1
【考情分析】
1．一元二次方程的应用是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考分值约 10%
2．主要考察二次三项式的因式分解，以填空题、解答题为主，一元二次方程的应用以考察
解答题。
3．对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第三节。
4．本节涉及两部分内容，一是运用一元二次方程对二次三项式进行因式分解，二是运用方
程的思想解决关于数字及增长（降低）率的实际问题．通过本节的学习，充分了解二次三项
式与其相对应的一元二次方程之间的联系，会运用方程思想解决实际问题，难点是找到题目
中的等量关系，列出方程并解决问题．
课堂引入
【课堂引入】
复习回顾：你知道解一元二次方程有哪些方法吗？列方程解应用题有哪些步骤呢？
答：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法；
列方程解应用题的一般步骤：（1）弄清题意，找出未知数，并用代数式表示；（2）找出应
用题中数量之间的相等关系，列方程；（3）解方程。
2
知识点 1——二次 的
知识笔记
二次 的
（1）形如_________________________的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a 0) 的两个根是 x1 和 x2 ,那么二次三项式的分
解公式为：_________________________．
【填空答案】
2
（1） ax + bx + c (a，b，c都不为零)
ax2 + bx + c = a (x x1 )(x x（ ） 2 )2
经典例
例 1
（★★★☆☆）（2020 上海期末）在实数范围内因式分解：2x2 + 4x 3 = ．
【配题说明】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公
式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
2 + 10 2 10
【常规讲解】（1）解： 2x2 + 4x 3 = 0 的解是 x1 = ， x2 = ，
2 2
2 2 + 10 2 10所以可分解为 2x + 4x 3 = 2(x )(x ) ．
2 2
例 2
（★★★☆☆）若关于 a 的二次三项式 ka2 2a +1在实数范围内能分解因式，则 k 的取值范
围是 ．
【配题说明】此题考查了实数范围内分解因式，弄清根的判别式与能分解因式之间的关系是
解本题的关键．
【常规讲解】解： 关于 a 的二次三项式 ka2 2a +1在实数范围内能分解因式，
3
= 4 4k 0 ，且 k 0 ，
解得： k 1且 k 0 ，
故答案为： k 1且 k 0
例 3
（1）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解： (x2 + x)2 1= ；
（2）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解： 2x2 8xy + 5y2 = ．
【配题说明】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
1+ 5 1 5
【常规讲解】（1）解：原式 = (x2 + x +1)(x2 + x 1) = (x2 + x +1)(x )(x ) ，
2 2
2 1+ 5 1 5故答案为： (x + x +1)(x )(x )
2 2
（2）解：原式 = 2x2 8xy + 8y2 3y2 ，
= 2(x 2y)2 3y2 ，
= [ 2(x 2y) + 3y][ 2(x 2y) 3y]，
= ( 2x 2 2y + 3y)( 2x 2 2y 3y) ，
故答案为： ( 2x 2 2y + 3y)( 2x 2 2y 3y) ．
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）（2020 浦东新区期中）在实数范围内分解因式：2x2 6x 1= ．
【配题说明】此题考查了分解因式的方法，要注意先考虑提公因式法，再考虑公式法，最后
才是求根公式法．
2 1
【常规讲解】（1）解： 2x 6x 1= 2(x
2 3x ) ．
2
2 1 3+ 11 3 11
又 x 3x = 0 的根为 x1 = ， x2 = ，2 2 2
3+ 11 3 11
2x2 6x 1= 2(x )(x ) ．
2 2
3+ 11 3 11
故答案为： 2(x )(x ) ．
2 2
4
练 1-2
（★★★☆☆）（2017 杨浦区三模）如果关于 x 二次三项式 x2 6x +m 在实数范围内不能分
解因式，那么 m 的取值范围是 ．
【配题说明】本题主要考查了实数范围内分解因式，二次三项式在实数范围内不能分解因式，
即方程无解，也就是△ 0 ，读懂题意是解答本题的关键．
【常规讲解】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式，
方程 x2 6x +m = 0 无解，即△ 0 ．
△ = b2 4ac = ( 6)2 4m = 36 4m 0 ，
解得， m 9 ．
故答案为 m 9 ．
知识点 2——
知识笔记
1.
对于数的应用题主要是要知道数的表示．
例如：一个三位数个位、十位、百位分别为 x 、y、 z，那么这个三位数则可以表示为
___________________．
2．
____________________，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传
染的轮数或天数，A 表示最终的人数．
【填空答案】
1.100x +10y + z ；2. a(1+ x)n = A
5
经典例
例 1
（1）（★★★☆☆）若一个两位正整数，它的个位数字与十位数字的和是 5，数字的平方和
是 17，求这个两位数 ；
（2）（★★★☆☆）三个连续自然数，最大的一个数为 n + 2 ，它比另外两个自然数的积还大
1，则这三个自然数是 ．
【配题说明】本题考查了列一元二次方程解应用题的一般方法，要理解平方和与和的平方的
不同．
【常规讲解】（1）解：设这个两位数的个位数字为 x ，则十位数字为 (5 x) ，依题意得
x2 + (5 x)2 =17 ，整理得 x2 5x + 4 = 0 ，
解得 x1 =1， x2 = 4 ，
这个两位数为 41 或 14．
（2）解：最大的一个数为 n + 2 ，则另外两个数为 n +1 ， n ，由题意得：
n(n +1) +1= n + 2 ，
解得： n = 1，
自然数为非负数，
n =1 ， n +1= 2 ， n + 2 = 3 ，
故答案为：1，2，3．
例 2
（★★★☆☆）2019 年年底以来，“新冠疫情”在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得
到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有 2 人感染发病，未
加控制，结果两天后发现共有 50 人感染发病．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过 200 人吗？
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：（1）设每位发病者平均每天传染 x 人，
依题意得： 2(1+ x)2 = 50 ，
6
解得： x1 = 4 ， x2 = 6 （不合题意，舍去）．
答：每位发病者平均每天传染 4 人．
（2） 50 (1+ 4) = 50 5 = 250 （人 ) ，
250 200 ．
答：若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过 200 人．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★★☆☆）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少 9，如果把十位上
的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小 27，则原来的两位数
是 ；
（2）（★★★☆☆）若两个连续正奇数的积是 63，则它们的和等于 ．
【配题说明】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决
本题的关键；用到的知识点为：两位数=10 十位数字+ 个位数字．
【常规讲解】（1）解：设原两位数个位上的数字为 x ，则十位上的数字为 (x2 9) ．
10(x2 9) + x 10x (x2 9) = 27 ，
解得 x1 = 4 ， x2 = 3（不符合题意，舍去）．
x2 9 = 7 ，
10(x2 9) + x = 74 ．
答：原两位数为 74．
故答案为：74．
（2）解：设较小的奇数为 2n 1，
(2n 1)(2n +1) = 63 ，
4n2 1= 63 ，
n = 4 或 n = 4 （舍去），
当 n = 4 时 奇数为 7，9，
7 + 9 =16 ，
故答案为：16．
7
练 2-2
（★★★☆☆）六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每名同学送一份小礼品，全班共互
送 600 份小礼品，则该班有 名同学．
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：设该班有 x 名学生，
根据题意得： x(x 1) = 600 ，
解得： x1 = 25 ， x2 = 24 （舍去），
即该班有 25 名学生，
故答案为：25．
知识点 3——
知识笔记
基本公式：_____________________，
a 表示增长前的数，x 表示增长率，b 表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出
2
a、b ；如果是降低率，则为 a (1 x) = b ．
【填空答案】
2
a (1+ x) = b
经典例
例 1
（★★★☆☆）（2019 黄浦区校级期中）某品牌羽绒服原价每件 800 元，在冬季促销活动中
连续经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为 512 元，求每次降价的百分
率．
8
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：设每次降价的百分率为 x ，
依题意，得：800(1 x)2 = 512 ，
整理，得： 25x2 50x 9 = 0 ，
解得： x1 = 0.2 = 20% ， x2 =1.8 （不合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为 20% ．
例 2
（★★★★☆）（2020 杨浦区期中）某中学读书社对全校 600 名学生图书阅读量（单位：本）
进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是 6 本，读书社人均阅读量是 15 本．读书社人
均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率 x ，全校学生人均阅读量第三季度和
第一季度相比，增长率也是 x ，已知第三季度读书社全部 40 名成员的阅读总量将达到第三
季度全校学生阅读总量的 25% ，求增长率 x 的值．
【配题说明】本题考查了一元二次方程的运应用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程
是关键．
【常规讲解】解：由题意得：第三季度读书社人均读书量为15(1+ x)2 本，第三季度全校学生
的人均读书量为 6(1+ x) 本，
40 15(1+ x)2 = 600 6(1+ x) 25% ．
解得， x1 = 1（舍去）， x2 = 0.5 ．
答： x 的值为 0.5．
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）国家电网在某地投资兴建抽水蓄能电站，2018 年投入资金 12800 万元，并规
划投入资金逐年增加，2020 年在 2018 年的基础上增加投入资金 16000 万元．从 2018 年到
2020 年，国家电网在该地投入资金的年平均增长率为多少？
9
【配题说明】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的
量 (1 x)2 = 后来的量，其中增长用 + ，减少用 ．
【常规讲解】解：（1）设国家电网在该地投入资金的年平均增长率为 x ，
依题意得：12800(1+ x)2 =12800 +16000 ，
解得： x1 = 0.5 = 50% ， x2 = 2.5（不合题意，舍去）．
答：国家电网在该地投入资金的年平均增长率为50% ．
知识点 4——
知识笔记
1.
利息=本金 利率 _______；
2.
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本） ____________．
【填空答案】
1.期数； 2.销售的件数
经典例
例 1
（★★★★☆）（2017 闵行区校级期中）小明的妈妈将 20000 元人民币存入银行，两年后取
出，扣除 20% 的利息税后可得到人民币 20640 元，求这项储蓄的年利率是多少？设这项储
蓄的年利率是 x ，则列出的方程为 ．
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：设这项储蓄的年利率是 x ，
10
根据题意得：[20000(1+ x)2 20000] (1 20%) = 20640 20000 ，
整理得：16000(1+ x)2 16000 = 640 ．
例 2
（★★★★☆）（2014 闵行区校级期中）某机械租赁公司有同一型号设备 40 套．经过一段时
间的经营发现：当每套设备的月租金为 270 元时，恰好全部出租．在此基础上，当每套设备
的月租金每提高 10 元时，这种设备就少出租一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用
20 元．
（1）设每套设备的月租金为 x （元 ) ，用含 x 的代数式表示未租出的设备数（套 ) 以及所有
未租设备（套 ) 的支出费用；
（2）租赁公司的月收益能否达到 11140 元？如果能则此时应该出租多少套设备？每套的月
租金是多少元？如果不能则请说明理由．
【配题说明】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．
x 270
【常规讲解】解：（1）未租出的设备为 ，套，所有未出租设备支出的费用为
10
x 270
20 = (2x 540) 元；
10
（2） x [40 (x 270) 10] 20 [(x 270) 10] =11140 ，
x2 650x +106000 = 0 ，
△ = b2 4ac = 1500 0 ，
故租赁公司的月收益不能达到 11140 元．
巩固练习
练 4-1
（★★★★☆）（2020 虹口区期中）小丽的妈妈在银行存入 5000 元，存期一年，到期银行代
扣利息税 22.5 元，求这项储蓄的年利率是多少？（国家规定存款利息的纳税办法是：利息
税 = 利息 20% ，储户取款时由银行代扣代收）
11
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：根据题意得：
5000x 20% = 22.5 ，
解得： x = 0.0225 = 2.25% ，
答：这项储蓄的年利率是 2.25% ．
练 4-2
（★★★★☆）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电
子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售
单价定为 200 元时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 5 个．已知
每个电子产品的固定成本为 100 元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每
天可获利 32000 元？
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：设降价后的销售单价为 x 元，则降价后每天可售出[300 + 5(200 x)]个，
依题意，得： (x 100)[300 + 5(200 x)] = 32000 ，
整理，得： x2 360x + 32400 = 0 ，
解得： x1 = x2 =180 ．
180 200 ，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时，公司每天可获利 32000 元．
12
知识点 5——
知识笔记
判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．
经典例
例 1
（★★★★☆）第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧
《吉赛尔》在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙 26 米）的空旷
场地为提前到场的观众设立面积为 300 平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众
进出，在两边空出两个宽各为 1 米的出入口，共用去隔栏绳 48 米．请问，工作人员围成的
这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：设封闭型长方形等候区的边 AB 为 x 米，
由题意得： x(48 2x + 2) = 300 ，
整理，得 x2 25x +150 = 0 ，
解得 x1 =10 ， x2 =15 ，
当 x =10 时， BC = 30 26 ；
当 x =15 时， BC = 20 26 ，
x =10 不合题意，应舍去．
答：封闭型长方形等候区的边 AB 为 15 米， BC 为 20 米．
13
巩固练习
练 5-1
（★★★★☆）（2020 黄浦区校级期中）如图，利用长 20 米的一段围墙，用篱笆围一个长方
形的场地，中间用篱笆分割出 2 个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为 1 米的门，总
共用去篱笆 34 米，为了使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平方米，求 AB 、 BC 边各为多少
米？
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表
示出另一边的长．
【常规讲解】解：设 AB 为 x 米，则 BC 为 (36 3x) 米，
x(36 3x) = 96，
解得： x1 = 4 ， x2 = 8 ，
当 x = 4 时，
36 3x = 24 20 （不合题意，舍去），
当 x = 8时，
36 3x =12 ．
答： AB = 8 米， BC =12 米．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★★☆☆）（2020 杨浦区校级期中）若二次三项式 kx2 4x + 3 在实数范围内总能分
解成两个一次因式的乘积，则 k 的取值范围是 ；
14
2 1 2
（2）（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）在实数范围内因式分解： 2x xy y .
2
1 2 33 2
【配题说明】本题考查了因式分解的公式法．提取公因式后把 2y2 变形为+ y y 是
16 16
解决本题的关键．另解决本题亦可通过求根公式的办法．
【常规讲解】（1）解：根据题意得 k 0 且△ = ( 4)2 4k 3 0 ，
4
解得 k 且 k 0 ．
3
4
故答案为 k 且 k 0 ．
3
1
（2）解：原式 = (4x
2 xy 2y2 )
2
1 33 1 1+ 33
= (2x + y)(2x y)
2 4 4
练 2
（★★★☆☆）2020 年 9 月 29 日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全
球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，
未进行有效隔离，经过两轮传染后共有 169 人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这 169 位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，
共有多少人患病？
【配题说明】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
【常规讲解】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人，
依题意得： (1+ x)2 =169，
解得： x1 =12 ， x2 = 14 （不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了 12 个人．
（2）169 (1+12) = 2197 （人 ) ．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有 2197 人患病．
15
练 3
（★★★★☆）（2010 黄浦区校级期末）某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共 20 万
元．甲种存款的年利率为1.5% ，乙种存款的年利率为 2% ．该公司一年共得利息 0.36 万元，
求甲、乙两种存款各多少万元？
【配题说明】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给
出的条件，找出关于利息的等量关系，列出方程，再求解．
【常规讲解】解：设甲种存款 x 万元，乙种存款 (20 x) 万元，
依题意可得：1.5%x + 2%(20 x) = 0.36 ，
解得 x = 8，
20 x =12 ．
答：甲种存款 8 万元，乙种存款 12 万元．
练 4
（★★★★☆）（2018 嘉定区期中）如图，要建一个面积为 130 平方米的仓库，现有能围成
32 米长的木板，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道 1 米宽的小门．
（1）如果墙长 16 米，求仓库的长和宽；
（2）如果墙长 a 米，在离开墙 9 米开外仓库一侧修条小路，那么墙长 a 米至少要多少米？
【配题说明】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关
系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
32 +1 x
【常规讲解】解：（1）设长方形的长为 x ，则宽为 米，
2
32 +1 x
由题意，得 x =130
2
解得： x1 =13 ， x2 = 20
当 x = 20 时，显然 20 16 ，不符合题意，舍去
所以 x =13 ．
16
答：长方形的长为 13，则宽为 10 米；
（2） 宽为 10 米 9 米，
此时不符合题意．
当长为 20 米时，宽为 6.5 米 9 米，
a 20 米．
【B组】
练 1
（★★★★☆）（2019 浦东新区校级月考）藏族小伙小游在九寨沟开店做牛肉生意，根据协
议，每天他会用 8880 元购进牦牛肉和黄牛肉 240 斤，其中牦牛肉和黄牛肉的数量之比为3:1，
已知每斤牦牛肉的售价比每斤黄牛肉的售价多 15 元，预计当天可全部售完．
（1）若小游预计每天盈利不低于 2220 元，则牦牛肉每斤至少卖多少元？
（2）若牦牛肉和黄牛肉均在（1）的条件下以最低价格销售，但 8 月份因为九寨沟地震，游
客大量减少，导致牛肉滞销，小游决定降价销售每天进购的牛肉，已知牦牛肉的单价下降 a%
5
（其中 a 0) ，但销量还是比进购数量下降了 a% ，黄牛肉每斤下降了 3 元，销量比进购
3
10
数量下降了 a% ，最终每天牦牛肉的销售额比黄牛肉销售额的 5 倍还多 350 元，求 a 的值．
3
【配题说明】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是
理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【常规讲解】解：（1）设牦牛肉每斤卖 x 元，则每斤黄牛肉为 (x 15) 元．
因为购进牦牛肉和黄牛肉 240 斤，其中牦牛肉和黄牛肉的数量之比为3:1，
所以购进牦牛肉 180 斤，购进黄牛肉 60 斤，
依题意得：180x + 60(x 15) 8880 2220 ，
解得 x 50 ．
答：牦牛肉每斤至少卖 50 元；
（2）由（1）知牦牛肉每斤至少卖 50 元，黄牛肉每斤卖 35 元．
5 10
依题意得：50(1 a%) 180 (1 a%) = 5 (35 3) 60 (1 a%) + 350 ，
3 3
整理得， 300(a%)2 +160 a% 19 = 0 ，
190
解得 a =10 或 a = （舍弃）， a =10 ．
3
1707 | 反比例函数
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握反比例函数的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握反比例函数的图像与性质
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 运用反比例函数进行几何计算
知识清单
反比例函数 反比例函数
反 比例函数 反 比例函数 反 比例函数
反 比例函数
反比例函数 反 比例函数
【考情分析】
1．反比例函数是函数的部分，属于函数与分数板块，占中考考分值约 20%。
2．主要考察反比例函数的概念，以选择题、填空题为主，正比例函数的图像与性质以考察
解答题为主，反比例函数与几何问题以解答题为主。
3．对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第二节。
4．反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质
进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这
节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．
1
课堂引入
【课堂引入】
我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数
复习函数的定义：在某变化过程中有两个变量，.若给定其中一个变量的值，都有唯一确定的
值与它对应,则称为函数.由此引入反比例函数
知识点 1——反比例函数
知识笔记
反比例函数
（1）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变
k
量成反比例．用数学式子表示两个变量 x 、y 成反比例，就是 xy = k ，或表示为 y = ，
x
其中 k 是______________；
（2）解析式形如______________的函数叫做反比例函数，其中 k 叫做比例系数；
k
（3）反比例函数 y = 的定义域是_______________．
x
【填空答案】
（1）不等于 0 的常数；
k
（2） y = （ k 是常数， k 0 ）；
x
（3）不等于零的一切实数
2
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列函数（其中 x 是自变量）中，哪些是反比例函数 哪些不是，为什么
x 1
① y = ； ② y = 2x 1 ； ③ y = (k 0) ；
3 kx
2
④ xy = 2 ； ⑤ y = +1 ．
x
（2）（★★☆☆☆）已知：y 与 x 成反比例，且 x = 1时，y = 2 ，则它的函数解析式是________；
1 1
（3）（★★☆☆☆）已知 y 与 x2 成反比例，且当 x = 2 时，y = ，则当 x = 时，y = _________.
4 3
【配题说明】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量
的乘积是否为定值即可．
k
【常规讲解】（1）反比例函数有三种基本形式 y = 、 y = kx 1 、 xy = k ，均要求 k 0 ，②
x
③④ 符合这几种形式，是反比例函数，①⑤不是．
k k 2
（2）设函数解析式为 y = ，即有 = 2 ，得： k = 2 ，则函数解析式为 y = ；
x 1 x
k k 1 1
（3）设函数解析式为 y = 2 ，即有
=
2
4 ，得：k = 1，函数解析式为
y = ，则当
x ( 2) x2
1
1 y = = 92
x = 时， 1 ．
3
3
例 2
2
（1）（★★☆☆☆）如果 y = (k 1)xk k 1 是反比例函数，则 k 的值是_________；
2
（2）（★★☆☆☆）已知函数 y = (m 3)xm 10 是反比例函数，则 m = _________.
1
【配题说明】考查反比例函数 y = kx (k 0)的形式，根据次数确定相应字母取值一定要注
意比例系数不为 0 的前提条件．
k 2 k 1= 1
【常规讲解】（1）由题意可得 ，解得： k = 0 ；
k 1 0
m2 10 = 1
（2）由题意可得 ，解得： m = 3 ．
m 3 0
3
例 3
（1）（★★☆☆☆）已知 y + 2 与 x 1 成反比例，且当 x = 1时 y = 3，当 x = 3时，y 的值；
（2）（★★★☆☆）已知 y = 2y1 y x2 ，若 y1 与 成反比例， y2 与 x + 3 成正比例，且当 x =1
时 y =10 ，当 x = 1时 y = 2 .
①求 y 与 x 间的函数关系式；
1
②求当 y = 时，x 的值．
2
【配题说明】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函
数关系的积为定值求解．
k k
【常规讲解】（1）令 y + 2 = (k 0) ，根据题意，则有 3+ 2 = ，得： k = 2 ，
x 1 1 1
2 2
则相应解析式为 y = 2 ，当 x = 3时，则有 y = 2 = 1．
x 1 3 1
k 2k
（2）①令 y 1 y 11 = ， 2 = k2 (x + 3) ，则有 y = 2y1 y2 = k2 (x + 3) ，
x x
2k1 4k2 =10 k1 =1 2
根据题意则有 ，解得： ，则 y = + 2(x + 3)；
2k1 2k2 = 2 k2 = 2 x
1 2 1 11 57
②令 y = ，则有 + 2(x + 3) = ，整理得 4x2 +11x + 4 = 0 ，解得： x = ．
2 x 2 8
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列说法中正确的有（ ）个
1
（1）当 k 0 时，y = 是反比例函数；
kx
1
（2）如果 y = ，那么 y 与 x
2
2 成反比例； 3x
m 1 2
（3）如果 y = + m 1是反比例函数，则 m = 1；
x
（4）如果 x、y 成正比例，y 与 z 成反比例，则 x 与 z 成反比例．
A．1 B．2 C．3 D．4
【配题说明】考查反比例函数的概念．
【常规讲解】根据反比例函数的意义，可知（1）（2）正确；
4
m 1 0
（3）为反比例函数，则有 ，解得： m = 1，（3）错误；
m2 1= 0
k k k
（4）根据题意，令 x = k1 y (k1 0)， y =
2 (k2 0) ，则有 x =
1 2 ，
z z
由 k1k 0 ，可知 x z2 与 成反比例；
（1）（2）（4）正确，故选 C．
练 1-2
2
（★★☆☆☆）（2020 嘉定区期中）若 y = (4 2a)xa 5 是反比例函数，则 a 的值是 ．
【配题说明】此题主要考查了反比例函数定义，解题时关键是注意 y = kx 1 的形式中 k 0 ．
【常规讲解解： y = (4 2a)xa
2 5 是反比例函数，
4 2a 0 ，且 a2 5 = 1，
解得 a = 2 .
练 1-3
k k
（★★★☆☆）设 y = 1 和 y = 21 2 ，当 x = 2 时， y1 + y2 =1，y1 y2 = 3 ，求 k1 、k2 的值．
x x
【配题说明】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程的问题．
k1 k
+
2 =1
2 2 k1 = 4
【常规讲解】依题意可得： ，解得： ．
k k1 k 2 = 3 2
= 2
2 2
5
知识点 2——反比例函数 像
知识笔记
1．反比例函数 像
反比例函数的图像叫做双曲线，它有两支．
2．反比例函数
（1）当 k 0 时，函数图像的两支分别在第_____________象限；在每个象限内，当自
变量 x 的值逐渐增大时， y 的值随着逐渐减小；
（2）当 k 0 时，函数图像的两支分别在第_____________象限；在每个象限内，当自
变量 x 的值逐渐增大时， y 的值随着逐渐增大；
（3）图像的两支都无限接近于 x 轴和 y 轴，但不会与 x 轴和 y 轴相交．
【填空答案】
k
（1） y = （ k 是常数， k 0 ）；
x
（2）一、三；二、四.
经典例题
例 1
1 1
（1）（★★☆☆☆）下列函数 y = 3x，y = 5x，y = ，y = 中，y 的值随 x 的增大而减小的
x x
有（ ）个
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
a2 1
（2）（★★★☆☆）下列函数 y = (a 是常数) 的图像上有三点 A （-3，y1）、B （-1，y2）、
x
C（2，y3），则 y1 、 y2 、 y3 的大小关系是（ ）
A． y2 y3 y1 B． y3 y2 y1
C． y1 y2 y3 D． y3 y1 y2
6
【配题说明】考查正比例函数和反比例函数的增减性的判断，正比例函数和反比例函数根据
比例系数与 0 的大小关系增减性是相反的．
【常规讲解】（1）根据正比例函数的增减性， k 0 时，y 随着 x 增大而减小；反比例函数
的增减性需要考虑每个象限，因此可知函数 y = 3x 符合题意，故选 B．
（2）由 a2 1 0 恒成立，可知在每个象限内 y 随着 x 的增大而增大，由 3 1 0 ，
可知 0 y1 y2 ，由 2 0 ，得： y3 0 ，则有 y3 y1 y2 ，故选 D．
例 2
k
（1）（★★★☆☆）已知 P（1， m2 +1）在双曲线 y = 上，则双曲线的图像在第_______象
x
限内，当 x < 0 时，y 的值随 x 的减小而________；
（2）（★★★☆☆）设反比例函数 y = 5x 1 ，当5 x 10 时，函数的最大值是___________．
【配题说明】考查反比例函数的增减性，要根据反比例函数上的点判断出相应的 k 值与 0 的
大小关系，再利用其增减性解决问题．
【常规讲解】（1）由点 P（1，m2 +1）在双曲线上，可得：k = m2 +1 0 恒成立，由此可知
函数在一、三象限内，根据反比例函数的增减性，在每个象限内， y 随着 x 的减小而增大；
（2）因为 y = 5x 1 ， k = 5 0 ，根据反比例函数的增减性，在每个象限内， y 随着 x 的
1 1
增大而增大，所以当5 x 10 时，可知 x =10 时函数有最大值 ymax = 5 10 = ．
2
例 3
（1）（★★★☆☆）平面直角坐标系中，点 A (7 2m，5 m) 在第二象限，且 m 为整数，求过
点 A 的反比例函数解析式；
k 3
（2）（★★★☆☆）若反比例函数 y = 的图像位于第二、四象限内，正比例函数
x
2
y = ( k 1)x 过一、三象限，求整数 k 的值．
3
【配题说明】考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，根据函数所在象限判断出相应
的比例系数与 0 的大小关系，解决问题．
7
【常规讲解】（1）由点 A (7 2m，5 m) 在第二象限，可知 7 2m 0 ，5 m 0 ，得： m 5 ，
2
k
因为 m 为整数，即可得： m = 4 ， A( 1，1)．设过点的反比例函数解析式为 y = ，
x
7
k 1
即有 =1，得： k = 1，即反比例函数解析式为 y = ；
1 x
k 3
（2）由反比例函数 y = 图像在二、四象限，可知 k 3 0 ，即 k 3，由正比例函数
x
2 2 3
y = ( k 1)x 过一、三象限，可知 k 1 0 ，由此可得： k 3 ，则整数 k 的值为 2．
3 3 2
k
【拓展讲解】已知反比例函数 y = (k 0) ，当自变量 x 的取值范围为-8 x 4 时，相应
x
1
的函数取值范围是 -1 y ，求这个反比例函数解析式．
2
【配题说明】考查反比例函数的增减性的综合应用，注意根据反比例函数的性质进行分析判
断．
【常规讲解】当 k 0 时，在每个象限内，反比例函数的 y 值随着 x 值的增大而减小，
1 1
可知 x = 8 时， y = ， x = 4 时， y = 1 ，由 ( 8) = ( 4) ( 1) = 4 ，
2 2
可知此时 k = 4 符合题意；
当 k 0 时，在每个象限内，反比例函数的 y 值随着 x 值的增大而增大，
1 1
可知 x = 8 时， y = 1 ， x = 4 时， y = ，由 ( 8) ( 1) ( 4) ，
2 2
可知此时不符合题意，
4
综上所述， k = 4 ，即反比例函数解析式为 y = ．
x
巩固练习
练 2-1
k
（1）（★★★☆☆）如果点 A(x1 ， y1) 和 B(x2 ， y2 ) 在反比例函数 y = (k 0) 的图像上，且
x
0 x1 x2 ，那么 y1 与 y2 的大小关系为： y1 y2 ．（填“ ”或“= ”或“ ” )
2021
（2）（★★★☆☆）（2020 上海期末）已知三点 (a,m) 、(b,n) 和 (c,t) 都在反比例函数 y =
x
的图像上，若 a 0 b c ，则 m 、 n 和 t 的大小关系是 ( )
A． t n m B． t m n C． m t n D． m n t
8
【配题说明】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质： k 0 时，图像位于
一、三象限是解题关键．
k
【常规讲解】（1）解： 点 A(x1 ， y1) 和 B(x2 ， y2 ) 在反比例函数 y = (k 0) 的图像上，且
x
0 x1 x2 ，且在同一个象限内， y 随 x 的增大而增大，
y1 y2
2021
（2）解：反比例函数 y = 中， k = 2021 0 ，图像位于一、三象限，
x
a 0 ，
点 (a,m) 在第三象限，
m 0 ；
0 b c ，
点 (b,n) 和点 (c,t) 在第一象限，
0 t n ，
m t n ，
故选： C ．
练 2-2
2
（1）（★★★☆☆）反比例函数 y = (m 2)xm 2 的图像在第二、四象限，则 m=________；
2k + 3
（2）（★★★☆☆）若反比例函数 y = ，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值
x
范围是____________．
【配题说明】考查反比例函数的性质，根据图像所在象限或增减性判断出比例系数的大小.
【常规讲解】（1）因为函数为反比例函数，则有 m2 2 = 1，又函数图像在二、四象限，
则有 k = m 2 0 ，解得： m = 1；
（2）根据反比例函数的增减性，比例系数小于 0 时，在每个象限 y 内随着 x 的增大而增
3
大，依题意则有 2k + 3 0 ，即得： k ．
2
练 2-3
1
（★★★☆☆）反比例函数 k + 的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.
y = 2 + k 2 1
x
9
【配题说明】考查反比例函数的定义求解相应字母，注意比例系数不能为 0．
【常规讲解】因为函数为反比例函数，则有 k 2 1= 0 ，又函数图像在二、四象限，则有
1 1
k + 0 ，即可得： k = 1，则相应的函数解析式为 y = ．
2 2x
知识点 3——反比例函数
知识笔记
反比例函数
（1）数学方法—“待定系数法”，待定系数法是数学中常用的方法；
（2）数学思想—“数形结合”的思想，在解函数题时要充分利用函数图形，会正确画图．
【填空答案】
数形结合
经典例题
例 1
1 3
（★★★★☆）（2019 青浦区校级期中）如图，点 A 在双曲线 y = 上，点 B 在双曲线 y =
x x
上，且 AB / /x 轴，过点 A 、B 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为点 D 、C ，那么四边形 ABCD
的面积是 ．
【配题说明】此题主要考查了反比例函数关系 k 的几何意义，得出矩形 EODA 和矩形 BCOE
的面积是解题关键．
【常规讲解】解：过点 A 作 AE ⊥ y 轴于点 E ，
10
1 3
点 A 在双曲线 y = 上，点 B 在双曲线 y = 上，
x x
矩形 EODA 的面积为：1，矩形 EOCB 的面积是 3，
矩形 ABCD 的面积为： 3 1= 2 ，
故答案为 2．
例 2
k
（★★★★☆）过原点作直线交双曲线 y = (k 0) 于点 A、C，过 A、C 两点分别作两坐标轴
x
的平行线，围成矩形 ABCD，如图所示．
（1）已知矩形 ABCD 的面积等于 8，求双曲线的解析式；
（2）若已知矩形 ABCD 的周长为 8，能否由此确定双曲线的解析式 如果能，请予求出；如
果不能，说明理由．
【配题说明】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作
垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 k ．
k
【常规讲解】（1）设 A x， ，因为过原点直线与反比例函数两交点
x
k
关于原点中心对称，可得： C x， ，
x
2k
由此可得 SABCD = 2x = 8 ，得： k = 2 ，
x
2
即双曲线解析式为 y = ；
x
11
2k
（2）同（1）可得，CABCD = 2 2x + = 8 ，由于一个方程含有两个未知数，因此 k 的值无
x
法确定，故反比例函数解析式也无法确定．
巩固练习
练 3-1
3
（★★★★☆）如图，点 P 的坐标为 (2, ) ，过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A ，交双曲线
2
k k
y = (x 0) 于点 N ；作 PM ⊥ AN 交双曲线 y = (x 0) 于点 M ，连接 AM ．已知 PN = 4 ．
x x
（1）求 k 的值；
（2）求 APM 的面积．
k
【配题说明】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数 y = 中 k 的几何
x
意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义．
3
【常规讲解】解：（1） 点 P 的坐标为 (2, ) ，
2
3
AP = 2 ， OA = ．
2
PN = 4 ， AN = 6 ，
3
点 N 的坐标为 (6, ) ．
2
3 k
把 N (6, ) 代入 y = 中，得 k = 9 ．
2 x
9
（2） k = 9 ， y = ．
x
9
当 x = 2 时， y = ．
2
9 3
MP = = 3．
2 2
12
1
S APM = 2 3 = 3 ．
2
练 3-2
k
（★★★★☆）如图，点 A、B 在 反比例函数 y = (k 0) 的图像上，且 A、B 横坐标分别是
x
a、2a (a 0) ．AC⊥x 轴，垂足为 C，三角形 AOC 的面积为 2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点(-a，y1)、(-2a，y2 ) 也在反比例函数的图像上，试比较 y1 ，y2 的大小．
【配题说明】考查反比例函数的几何意义，与函数图像上点的坐标无关．
【常规讲解】（1）根据反比例函数的几何意义，可得
1
S AOC = k = 2 ，由 k 0 ，即得： k = 4 ，
2
4
则反比例函数解析式为 y = ；
x
（2）当 k 0 时，反比例函数图像在每个象限内，
y 随 x 的减小而增大，由 a 0 ，即得： 2a a 0 ，由此即得： y1 y2 ．
综合练习
【A组】
练 1
2
（★★☆☆☆）当 m = 时，函数 y = (m2 + 2m)xm m 1 是反比例函数．
k
【配题说明】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 y = (k 0) 转化为
x
y = kx 1(k 0) 的形式．
13
2
【常规讲解】解： y = (m2 + 2m)xm m 1 是反比例函数，
m2 m 1= 1
，
m
2 + 2m 0
解之得 m =1．
故答案为：1．
练 2
2
(1)（★★☆☆☆）（2019 徐汇区期中）已知点 (x1 ， y1) 和 (x2 ， y2 ) 都在反比例函数 y = 的
x
图像上，若 x1 x2 0 ，则 y1 、 y2 的大小关系是 y1 y2 ；
6k 3
（2）（★★☆☆☆）已知函数 y = ，如果在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，那么 k 的
x
取值范围是___________；
m + 2
（3）（★★☆☆☆）如果双曲线 y = 位于第一，三象限，那么 m 的取值范围是____．
x
【配题说明】考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像性质和判断图像上点的
位置，是正确解答的关键．
【常规讲解】（1）解： k = 2 0 ，
在每个象限内， y 随 x 的增大而减小，
又 x1 x2 0 ，
可得 y1 y2 ，
（2）（1）反比例函数在每个象限内 y 随着 x 增大而减小，可得：6k 3 0 ，即得 k 的取值
1
范围是 k ；
2
（2）反比例函数图像在一、三象限，即可得： k = m + 2 0 ，得 m 2 ．
练 3
k
（★★★☆☆）已知反比例函数 y = 的图像上有一点 A ，过 A 点向 x 轴做垂线，垂足分别为
x
点 B ，且 AOB 的面积为 15，求这个反比例函数解析式．
【配题说明】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这
1
个点与垂足和原点所构成的三角形面积为 k ，注意加绝对值，有正负两个答案．
2
14
1
【常规讲解】根据反比例函数几何意义，可得 S AOB = k =15 ，解得： k = 30 ，
2
30
即反比例函数解析式为 y = ．
x
练 4
1 1
（★★★☆☆）（2018 浦东新区期末）如图，已知两个反比例函数 C1 : y = 和 C2 : y = 在
x 3x
第一象限内的图像，设点 P 在 C1 上， PC ⊥ x 轴于点 C ，交 C2 于点 A ， PD ⊥ y 轴于点 D ，
交 C2 于点 B ，则四边形 PAOB 的面积为 ．
k
【配题说明】本题考查了反比函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y = 图像中任取
x
一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 | k |．
【常规讲解】解： PC ⊥ x 轴， PD ⊥ y 轴，
1 1 1 1 1
S = S = | |= = ， S矩形 =1 AOC BOD PCOD ，
2 3 2 3 6
1 2
四边形 PAOB 的面积 =1 2 = .
6 3
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，已知正方形 OABC 的面积是 9，点 O 为坐原点，A 在 x 轴上，C 在 y 轴
k k
上，B 在函数 y = (k 0，x 0) 的图像上，点 P（m，n）在 y = (k 0，x 0) 的图像上异
x x
于 B 的任意一点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是 E、F．设矩形 OEPF 和正
方形 OABC 不重合部分的面积是 S．
（1）求点 B 的坐标；
9
（2）当 S = 时，求点 P 的坐标；
2
15
（3）写出 S 关于 m 的函数解析式．
【配题说明】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论．
【常规讲解】（1）因为 SOABC = AB BC = 9 ，且四边形为正方形，则有 AB = BC ，即得：
AB = BC = 3 ，所以点 B 坐标为 (3，3)；
9
（2）由（1）易得 k = 3 3 = 9 ，则反比例函数的解析式为： y = ．
x
9 9
因为矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合部分的面积是 S，且 S = ，设 P(a， ) ，
2 a
9 9 3
当点 P 位于点 B 下方时，有 S重 = (a 3) = ，解得： a = 6 ，此时 P 点坐标为： 6， ；
a 2 2
9 9 3 3
当点 P 位于点 B 上方时，有 S = a ( 3) = ，解得：a = ，此时 P 点坐标为： ，6重 ，
a 2 2 2
3 3
综上，P 点的坐标为 6， 或 ，6 ；
2 2
（3）用割补法求面积，即可得以下分类讨论：
当 0 m 3 时， S = 9 S重 = 9 3m ；
9
当 m 3 时， S = 9 S重 = 9 3n ，点 P（m，n）在双曲线上，即可得： n = ，
m
9 27
则有 S = 9 3n = 9 3 = 9 ；
m m
9 3m(0 m 3)
综上所述， S = 27 ．
9 (m 3)
m
16
练 2
（★★★★☆）如图已知在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 顶点 A、B 的坐标分别为（1，
k
0）和（0，2）．双曲线 y = (x 0) 经过点 D．
x
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点 C 正好落在双曲线上．
【配题说明】考查反比例函数与正方形的结合应用，通过作高构造全等三角形即可求出对应
点坐标解决问题．
【常规讲解】（1）如图，作 DE ⊥ x 轴交 x 轴于点 E ，易证 AOB DEA ，
由此可得： DE = AO =1， AE = BO = 2 ，则有
OE =OA+ AE = 3 ，即 D (3，1)．
k k
又点 D (3，1)在反比例函数 y = 上，则有 =1，得： k = 3 ，
x 3
3
即双曲线函数解析式为 y = ；
x
（2）同（1）易得C (2，3)，平移后点 C 落在双曲线上，平移后纵坐标保持不变，
则有 C '(1，3)，由此可得将正方形沿 x 轴向左平移 1 个单位长度即可．
y
F C
B
D
O A E x
1710 | 证明举例-辅助线添加
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 通过添加辅助线构造全等三角形解决问题
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 通过倍长中线构造全等三角形解决问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 通过截长补短构造全等三角形解决问题
知识清单
三角形
证 明举例 辅助线添加 线
114
知识点 1—— 三角形
知识笔记
常用辅助线
（1）联结两个点得到线段；
（2）过某一点做_________或者垂线；
（3）延长某一条线段，构造特殊的三角形．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图， ABC 中， D 是 BC 边的中点，过点 D 的直线交 AB 于点 E ，交 AC 的
延长线于点 F ，且 BE =CF ．求证： AE = AF ．
例 2
（★★★☆☆）如图，两个全等的含 30 、 60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放置在一起，
DEA = ACB = 90 ， DAE = ABC = 30 ，E 、 A 、C 三点在一条直线上，连接 BD ，取
BD 中点 M ，连接 ME 、 MC ，试判断 EMC 的形状，并说明理由．
115
例 3
（★★★☆☆）如图，在 ABC 中， A = 90 ， AB = AC ， BD 平分 ABC ，交 AC 于点 D ，
过 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E ．求证： BD = 2CE ．
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，点 P 在边 AB 上，过点 P 作 PE ⊥ AC ，
垂足为点 E ， Q 为 BC 延长线上一点，当 PA =CQ 时，连接 PQ 交边 AC 于点 D ，求 DE 的
长．
116
练 1-2
（★★★☆☆）在 ABC 中，AB = AC ， BAC = 90 ，直角 EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，两
边 PE 、 PF 分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F ．
1
求证：（1） AE =CF ；（2） S = S ．
四边形AEPF ABC
2
练 1-3
（★★★☆☆）如图，点 D 是 ABC 的边 BC 中点，将一把直角三角尺的直角顶点放于 D 处，
其两条直角边分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F ．试比较 BE + CF 与 EF 的大小，并说明理由．
117
知识点 2—— 线
知识笔记
线
遇到中点，通过_____________构造全等的三角形．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图，已知 ABC 中， D 是 BC 的中点， ED ⊥ DF ．求证： BE + CF EF ．
例 2
（★★★☆☆）如图，已知：CD = AB ， BAD = BDA ，AE 是 ABD 的中线，求证：AC = 2AE ．
118
例 3
（★★★★☆）如图，向 ABC 外作正方形 ABEF 和 ACGH ，点 M 是 BC 边的中点，求证：
FH = 2AM ．
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）已知，如图 ABC 中，AB = 5 ，AC = 3 ，则中线 AD 的取值范围是_________．
练 2-2
（★★★☆☆）如图，已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上一点，延长 BF 交
AC 于 E ，且 AE = EF ，求证： BF = AC ．
119
练 2-3
（★★★★☆）如图，在 ABC 中，AD 是中线，DE ，DF 分别平分 ADB 和 ADC 交 AB ，
AC 于点 E ， F ．试判断 BE + CF 与 EF 的关系．
知识点 3——
知识笔记
（1）截长法：过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再
证剩下的线段与另一短边相等；
（2）补短法：延长_____________；通过旋转等方式使两短边拼合到一起.
120
经典例题
例 1
（★★★★☆）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1，在 ABC 中，AD 平分 BAC ， B = 2 C ．求
证： AB + BD = AC ．”
李老师给出了如下简要分析：要证 AB + BD = AC ，就是要证线段的和差问题，所以有两个
方法：
方法一：“截长法”．如图 2，在 AC 上截取 AE = AB ，连接 DE ，只要证 BD = 即可，
这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ △ ，得出
B = AED 及 BD = ，再证出 = ，进而得出 ED = EC ，则结论成立．此种证
法的基础是“已知 AD 平分 BAC ，将 ABD 沿直线 AD 对折，使点 B 落在 AC 边上的点 E
处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图 3，延长 AB 至点 F ，使 BF = BD ．只要证 AF = AC 即可，此时
先证 = C ，再证出△ △ ，则结论成立．
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
121
例 2
（★★★★☆）如图 BAD = CAE = 90 ， AB = AD ， AE = AC ， AF ⊥CB ，垂足为 F ．
（1）求证： ABC ADE ；
（2）求 FAE 的度数；
（3）求证：CD = 2BF + DE ．
例 3
（★★★★☆）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，EF ⊥ AE 交 DCE 外角的平分线于
F ．
（1）求证： AE = EF ；
（2）如图，当 E 是 BC 上任意一点，而其它条件不变，AE = EF 是否仍然成立？若成立，请
证明，若不成立，请说明理由．
122
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）如图，点 D 是 ABC 三条角平分线的交点， ABC = 68 .
（1）求证： ADC =124 ；
（2）若 AB + BD = AC ，求 ACB 的度数．
练 3-2
（★★★☆☆）如图，已知 AP / /BC ， PAB 的平分线与 CBA的平分线相交于点 E ，CE 的
连线交 AP 于点 D ，求证： AD + BC = AB ．
123
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）如图， ABC 中， B = 60 ， BAC ， ACB 的平分线 AD ， CE 交于点 O ，
说明 AE +CD = AC 的理由．
练 2
（★★☆☆☆）如图，在四边形 ABCD 中， AB / /CD ， E 是边 AD 上的点， BE 平分 ABC ，
CE 平分 BCD ．
求证：（1） BE ⊥CE ；（2） BC = AB +CD ．
124
练 3
（★★★☆☆）如图，已知在 ABC 中， AB = AC ， A =100 ， CD 是 ACB 的平分线．
（1） ADC = ；
（2）求证： BC =CD + AD ．
练 4
（★★★☆☆）如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD ， B + D =180 ，E ，F 分别是边 BC ，
1
CD 上的点，且 EAF = BAD ，求证： EF = BE + FD ．
2
125
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，在 ABC 的边上取两点 D 、E ，且 BD =CE ，求证：AB + AC AD + AE ．
练 2
（★★★★☆）如图，已知等边 ABC 和等边 ADE ， F 是 AE 的中点，G 是 CD 的中点，求
证： BE = 2FG ．
12605 | 一元二次方程的应用
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握二次三项式的因式分解
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握一元二次方程的数字问题、传播问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 运用一元二次方程解决增长率问题
目标 4 ★★★★★☆ 迁移 运用一元二次方程解决利率问题、利润问题
目标 5 ★★★★★☆ 迁移 运用一元二次方程解决几何面积问题
知识清单
二 次三 式的因式分解 二次三 式的因式分解
数 问题
数 问题、 问题
问题
一元二次方程的应用 问题 问题
问题
问题、 问题
问题
几 何 问题 几何 问题
48
知识点 1——二次三 式的因式分解
知识笔记
二次三 式的因式分解
（1）形如_________________________的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a 0) 的两个根是 x1 和 x2 ,那么二次三项式的分
解公式为：_________________________．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）在实数范围内因式分解： 2x2 + 4x 3 = ．
例 2
（★★★☆☆）若关于 a 的二次三项式 ka2 2a +1在实数范围内能分解因式，则 k 的取值范
围是 ．
例 3
（1）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解： (x2 + x)2 1= ；
（2）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解： 2x2 8xy + 5y2 = ．
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）在实数范围内分解因式： 2x2 6x 1= ．
49
练 1-2
（★★★☆☆）如果关于 x 二次三项式 x2 6x + m 在实数范围内不能分解因式，那么 m 的取值
范围是 ．
知识点 2——数 问题、 问题
知识笔记
1．数 问题
对于数的应用题主要是要知道数的表示．
例如：一个三位数个位、十位、百位分别为 x 、y、 z，那么这个三位数则可以表示为
___________________．
2． 问题
____________________，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传
染的轮数或天数，A 表示最终的人数．
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）若一个两位正整数，它的个位数字与十位数字的和是 5，数字的平方和
是 17，求这个两位数 ；
（2）（★★★☆☆）三个连续自然数，最大的一个数为 n + 2 ，它比另外两个自然数的积还大
1，则这三个自然数是 ．
50
例 2
（★★★☆☆）2019 年年底以来，“新冠疫情”在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得
到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有 2 人感染发病，未
加控制，结果两天后发现共有 50 人感染发病．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过 200 人吗？
巩固练习
练 2-1
（1）（★★★☆☆）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少 9，如果把十位上
的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小 27，则原来的两位数
是 ；
（2）（★★★☆☆）若两个连续正奇数的积是 63，则它们的和等于 ．
练 2-2
（★★★☆☆）六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每名同学送一份小礼品，全班共互
送 600 份小礼品，则该班有 名同学．
51
知识点 3—— 问题
知识笔记
问题
基本公式：_____________________，
a 表示增长前的数，x 表示增长率，b 表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出
2
a、b ；如果是降低率，则为 a (1 x) = b ．
经典例题
例 1
（★★★☆☆）某品牌羽绒服原价每件 800 元，在冬季促销活动中连续经过两次降价，且每次
降价的百分率相同，现在每件售价为 512 元，求每次降价的百分率．
例 2
（★★★★☆）某中学读书社对全校 600 名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季
度全校学生人均阅读量是 6 本，读书社人均阅读量是 15 本．读书社人均阅读量在第二季度、
第三季度保持一个相同的增长率 x ，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率
也是 x ，已知第三季度读书社全部 40 名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量
的 25% ，求增长率 x 的值．
52
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）国家电网在某地投资兴建抽水蓄能电站，2018 年投入资金 12800 万元，并规
划投入资金逐年增加，2020 年在 2018 年的基础上增加投入资金 16000 万元．从 2018 年到
2020 年，国家电网在该地投入资金的年平均增长率为多少？
知识点 4—— 问题
知识笔记
1. 问题
利息=本金 利率 _______；
2. 问题
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本） ____________．
经典例题
例 1
（★★★★☆）小明的妈妈将 20000 元人民币存入银行，两年后取出，扣除 20% 的利息税后
可得到人民币 20640 元，求这项储蓄的年利率是多少？设这项储蓄的年利率是 x ，则列出的
方程为 ．
53
例 2
（★★★★☆）某机械租赁公司有同一型号设备 40 套．经过一段时间的经营发现：当每套设
备的月租金为 270 元时，恰好全部出租．在此基础上，当每套设备的月租金每提高 10 元时，
这种设备就少出租一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用 20 元．
（1）设每套设备的月租金为 x （元 ) ，用含 x 的代数式表示未租出的设备数（套 ) 以及所有
未租设备（套 ) 的支出费用；
（2）租赁公司的月收益能否达到 11140 元？如果能则此时应该出租多少套设备？每套的月
租金是多少元？如果不能则请说明理由．
巩固练习
练 4-1
（★★★★☆）小丽的妈妈在银行存入 5000 元，存期一年，到期银行代扣利息税 22.5 元，求
这项储蓄的年利率是多少？（国家规定存款利息的纳税办法是：利息税= 利息 20% ，储户
取款时由银行代扣代收）
练 4-2
（★★★★☆）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电
子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售
单价定为 200 元时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 5 个．已知
每个电子产品的固定成本为 100 元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每
天可获利 32000 元？
54
知识点 5—— 问题
知识笔记
问题
判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．
经典例题
例 1
（★★★★☆）第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧
《吉赛尔》在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙 26 米）的空旷
场地为提前到场的观众设立面积为 300 平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众
进出，在两边空出两个宽各为 1 米的出入口，共用去隔栏绳 48 米．请问，工作人员围成的
这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
55
巩固练习
练 5-1
（★★★★☆）如图，利用长 20 米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分
割出 2 个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为 1 米的门，总共用去篱笆 34 米，为了
使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平方米，求 AB 、 BC 边各为多少米？
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★★☆☆）若二次三项式 kx2 4x + 3 在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，
则 k 的取值范围是 ；
2 1 2
（2）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解： 2x xy y .
2
56
练 2
（★★★☆☆）2020 年 9 月 29 日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全
球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，
未进行有效隔离，经过两轮传染后共有 169 人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这 169 位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，
共有多少人患病？
练 3
（★★★★☆）某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共 20 万元．甲种存款的年利率为
1.5% ，乙种存款的年利率为 2% ．该公司一年共得利息 0.36 万元，求甲、乙两种存款各多
少万元？
练 4
（★★★★☆）如图，要建一个面积为 130 平方米的仓库，现有能围成 32 米长的木板，仓库
的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道 1 米宽的小门．
（1）如果墙长 16 米，求仓库的长和宽；
（2）如果墙长 a 米，在离开墙 9 米开外仓库一侧修条小路，那么墙长 a 米至少要多少米？
57
【B组】
练 1
（★★★★☆）藏族小伙小游在九寨沟开店做牛肉生意，根据协议，每天他会用 8880 元购进
牦牛肉和黄牛肉 240 斤，其中牦牛肉和黄牛肉的数量之比为3:1，已知每斤牦牛肉的售价比
每斤黄牛肉的售价多 15 元，预计当天可全部售完．
（1）若小游预计每天盈利不低于 2220 元，则牦牛肉每斤至少卖多少元？
（2）若牦牛肉和黄牛肉均在（1）的条件下以最低价格销售，但 8 月份因为九寨沟地震，游
客大量减少，导致牛肉滞销，小游决定降价销售每天进购的牛肉，已知牦牛肉的单价下降 a%
5
（其中 a 0) ，但销量还是比进购数量下降了 a% ，黄牛肉每斤下降了 3 元，销量比进购
3
10
数量下降了 a% ，最终每天牦牛肉的销售额比黄牛肉销售额的 5 倍还多 350 元，求 a 的值．
3
课堂总结
5812 | 直角三角形的判定及其性质
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握直角三角全等判定
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握直角三角形的性质及其推论
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 能够运用性质定理推论解决几何问题
知识清单
直 角三角形的判定
直角三角形的判定及其
性质 直 角三角形的性质
直角三角形性质的推论
142
知识点 1——直角三角形的判定
知识笔记
直角三角形的判定
（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；
（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个
________________全等（简记“H．L”）．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
（2）（★★☆☆☆）如图，已知 C = D = 90 ，添加一个条件，可使用“ HL ”判定 Rt ABC
与 Rt ABD 全等．以下给出的条件适合的是 ( )
A． ABC = ABD B． BAC = BAD
C． AC = AD D． AC = BC
143
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，在 ABC 中， AB = AC ， BD ⊥ AC 于 D ，CE ⊥ AB 于 E ， BD 和
CE 交于 O ， AO 的延长线交 BC 于 F ，则图中全等的直角三角形有 ( )
A．4 对 B．5 对 C．6 对 D．7 对
（2）（★★★☆☆）如图，AD 平分 BAC ，DE ⊥ AB 于 E ，DF ⊥ AC 于 F ，且 DB = DC ，
求证： EB = FC ．
例 3
（★★★★☆）如图，在 ABC 中，AB = AC ，DE 是过点 A 的直线，BD ⊥ DE 于 D ，CE ⊥ DE
于点 E ，
（1）若 B 、 C 在 DE 的同侧（如图所示）且 AD =CE ．求证： AB ⊥ AC ；
144
（2）若 B 、C 在 DE 的两侧（如图所示），且 AD =CE ，其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直
吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列命题中，正确的个数是( )
①两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．
A．3 B．2 C．1 D．0
练 1-2
（1）（★★★☆☆）如图， AB = BC ， BAD = BCD = 90 ，点 D 是 EF 上一点， AE ⊥ EF
于 E ，CF ⊥ EF 于 F ， AE =CF ，求证： Rt ADE Rt CDF ；
145
（2）（★★★☆☆）如图，已知 AD ， AF 分别是 ABC 和 ABE 的高 AD = AF
AC = AE ，求证： BC = BE ．
练 1-3
（★★★★☆）如图，在直角三角形 ABC 中， C = 90 ，AC = 20 ，BC =10 ，PQ = AB ，P ，
Q 两点分别在线段 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AM 上运动，且点 P 不与点 A ， C 重
合，那么当点 P 运动到什么位置时，才能使 ABC 与 APQ 全等？
146
知识点 2——直角三角形性质
知识笔记
直角三角形的性质
（1）直角三角形斜边中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的__________；
（2）含 30 度角的直角三角形：在直角三角形中，________所对的直角边等于斜边的
一半.
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ， A =15 ，DE 垂直平分 AB 交 AC 于
E ，若 BC =1，则 AC = ；
（2）（★★★☆☆）已知：如下图， ABC 和 BCD 中， BAC = BDC = 90 ， E 为 BC 的
中点，连接 DE 、 AE ．若 DC / / AE ，在 DC 上取一点 F ，使得 DF = DE ，连接 EF 交 AD
于 O ，求证： EF ⊥ DA ．
147
例 2
（★★★★☆）如图，已知四边形 ABCD 中， ABC = ADC = 90 ，点 E 是 AC 中点，点 F
是 BD 中点．
（1）求证： EF ⊥ BD ；
（2）过点 D 作 DH ⊥ AC 于 H 点，如果 BD 平分 HDE ，求证： BA = BC ．
例 3
1
（★★★★☆）已知，如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ，点 E 在 AC 上，AB = DE ，AD / /BC ，
2
求证： CBA = 3 CBE ．
148
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）如图， ABC 中，AB = AC ， BAC =120 ，AD ⊥ AC 交 BC 于点 D ，AD = 4 ，
则 BC = ．
练 2-2
（★★★☆☆）已知：如图，在 ABC 中，BD 、CE 分别是边 AC 、 AB 上的高，点 M 是 BC
的中点，且 MN ⊥ DE ，垂足为点 N .
（1）求证： ME = MD ；
（2）如果 BD 平分 ABC ，求证： AC = 4EN ．
知识点 3——直角三角形性质的推论
知识笔记
直角三角形性质的推论
（1）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的_________，那么这条直角边所对的锐
角等于 30°．
149
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2BC ，在CD 上取一点 E ，使 AE = AB ，则 EBC
的度数为 ．
例 2
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， BA = BC ， B =120 ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于
1
D ，求证： AD = DC ．
2
例 3
（★★★★☆）已知 MAN ， AC 平分 MAN ．
（1）在图 1 中，若 MAN =120 ， ABC = ADC = 90 ，求证： AB + AD = AC ；
（2）在图 2 中，若 MAN =120 ， ABC + ADC =180 ，则（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
150
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）如图，在 ABC 中， C = 90 ， A = 30 ，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，
交 AC 于点 E ，求证： AE = 2CE ．
练 3-2
（★★★★☆）如图，在等边 ABC 中， D 、 E 分别是 BC、CA 上的点，且 AE =CD ， AD 与
BE 交于点 F .
（1）求 BFD 的度数；
（2）作 BG ⊥ AD ，垂足为G ，求证： BF = 2FG ．
151
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高， B = 30 ， AD = 2cm ，则 AB 的长
度是 ( )
A． 2cm B． 4cm C．8cm D．16cm
（2）（★★★☆☆）若等腰三角形一腰上的高等于这条腰的一半，则此三角形的顶角的度数
为 度．
练 2
（★★★☆☆）在 ABC 中， P 、Q 分别是 BC 、 AC 上的点，作 PR ⊥ AB ， PS ⊥ AC ，垂足
分别是 R ， S ， PR = PS ， AQ = PQ ，则下面三个结论：① AS = AR ；② PQ / / AR ；③
BRP CSP ．其中正确的是 ．
练 3
（★★★☆☆）已知：如图，在 ABC 中， A = 30 ， ACB = 90 ，M 、D 分别为 AB 、MB
的中点，求证：CD ⊥ AB ．
152
练 4
（★★★☆☆）已知：如图，在 ABC 中， AD 是边 BC 上的高，CE 是边 AB 上的中线，G 是
CE 的中点， DG ⊥CE 于点G ．求证： B = 2 BCE ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， BC = AC ， ACB = 90 ，D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD 交
1
BD 的延长线于点 E ，且 AE = BD ，求证： BD 是 ABC 的角平分线．
2
153
练 2
（★★★★☆）如图，在 ABC 中，点 D 在边 AC 上，DB = BC ，点 E 是CD 的中点，点 F 是
AB 的中点．
1
（1）求证： EF = AB ；
2
（2）过点 A 作 AG / /EF ，交 BE 的延长线于点G ，求证： ABE AGE ．
课堂总结
15416 | 期末复习
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 理解掌握二次根式的概念、性质及运算法则
目标 2 ★★★★★★ 综合 理解掌握一元二次方程的概念、解法与应用
目标 3 ★★★★★★ 综合 掌握正反比例函数的概念与图像性质
目标 4 ★★★★★★ 综合 掌握几何证明的知识点
知识清单
期末复习
1
知识点 1——
知识笔记
1．
代数式 a （ a 0 ）叫做二次根式，其中 a 是被开方数.
2．
a(a 0)
（1） a
2 = a = ；
a(a 0)
（2） ab = a b （ a 0 ，b 0 ）；
a
（3） = _______（ a 0 ，b 0 ）；
b
（4） ( a)2 = a(a 0) .
3．
（1）最简二次根式的定义：符合以下条件的二次根式是最简二次根式：
①被开方数中各因式的指数都为 1；
②被开方数所含因数是整数，因式是整式，被开方数不含分母．
（2）同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们
的被开方数________，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
4．
（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；
（2）有理化因式：两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那
么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式；
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把
同类二次根式分别合并；
（4）二次根式的乘法： a b = ab(a 0,b 0). ；
a a
（5）二次根式的除法： = (a 0,b＞0）.
b b
2
经典 题
1
2 x
（1）（★★☆☆☆）当 x 时， 有意义；
3
1 x2
（2）（★★☆☆☆）若二次根式 4 + a 与 2a 1 是同类二次根式，则 a = ；
（3）（★★☆☆☆） 2 3的有理化因式是 ；
（4）（★★☆☆☆）当 a 3时，化简 (2a 1)2 + (a + 3)2 的结果是________.
2
6 3 1 2
（1）（★★★☆☆）计算： + 24 25 ；
4 10 3 6 2 125
14 6 12b
（2）（★★★☆☆）计算： ；
ab ab2 5a3
b ab a b a + b
（3）（★★★☆☆）化简： ( a + ) ( + ) .
a + b ab + b ab a ab
3
1 a2 + a 2 a2a = 2a +1（★★★☆☆）已知： ，化简并求 的值．
2 +1 a + 2 a2 a
3
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）如果 2a 1 有意义，那么 a 的取值范围是 ；
x + 2 x + 2
（2）（★★☆☆☆）等式 = 成立的条件 ；
x 3 x 3
ab 2
（3）（★★☆☆☆）在 9x, 45, , ab, 中，最简二次根式的个数为 ；
4 3
（4）（★★☆☆☆）下列各组中的两个根式是同类二次根式的是 ( )
A． 5 2x 和 3 x B． 75a3b2 和 12a
C． x2 y 和 xy2
1
D． a 和
a2
练 1-2
15 3
（1）（★★★☆☆）计算： 27 48 ；
5 3
3 4 y 5
（2）（★★★☆☆）计算： xy3 ( ) ( x3 y )(x 0) ．
5 15 x 6
4
练 1-3
（★★★★☆）已知 x、y 都是有理数，并且满足 x2 + 2y + 2y =17 4 2 ，求 x y 的值．
知识点 2——
知识笔记
1.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程．一般
形式为：_____________________；
其中 ax2 称为二次项，bx 称为一次项， c 为常数项．
2.
（1）直接开平方法：形如 (px+ q)2 =m(p 0,m 0) 的一元二次方程都可以用直接
开平方法解．
（2）因式分解法：①将方程左边的二次式分解因式；
②使方程左边的两个因式分别等于零，得 到两个一元一次方程；
③分别令两个一次因式为零求解.
（3）配方法：①将方程化为一般形式；
②配成 (x +m)2 = n 的形式；
③当 n 0 时，得 x +m = n ，方程的解为 x = m n ；当 n 0 时，方程无解．
（4）求根公式法：①将方程化为一般形式 ax2 +bx+ c = 0(a 0) ；
②计算b2 4ac 的值；
b b2 4ac
③若b2 4ac 0 ，用求根公式 x = ，求方程的解；
2a
④若b2 4ac 0 ，方程__________．
5
3.
我们把b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 +bx+ c = 0 的根的判别式，用符号 来表示．
当 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 0 时，方程没有实数根．
4.
二次三项式 ax2 + bx + c(a 0) 在实数范围内的因式分解的一般步骤：
（1）求出方程 ax2 + bx + c(a 0) 的两个实根 x1、x2 ；
（2）写出分解式 ax2 + bx + c = __________________.
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）方程 (m 2)xm
2 2 + (3 m)x 2 = 0是一元二次方程，则 m = ；
（2）（★★☆☆☆）若关于 x 的方程 x2 2x m = 0 有实数根 x = 2 ，则 m = ；
（3）（★★★☆☆）解下列方程：
① 22x2 4x 6 = 0（用配方法）；② 2y + 4(y 1) = 0（用公式法）；③ (x 1)
2 2(x 1) =15 ．
2
（1）（★★☆☆☆）若关于一元二次方程 2mx2 + (8m +1)x + 8m = 0 有两个实数根，那么 m 的
取值范围是 ；
（2）（★★☆☆☆）不解方程，判断方程3x2 + 2 2x = 1 的根的情况 ；
（3）（★★☆☆☆关于 x 的一元二次方程 x2 + (2m 1)x + m2 = 0 ，其根的判别式的值为 9，求
m 的值及这个方程的根．
6
3
（1）（★★★☆☆）在实数范围内分解因式： x2 3x 2 = ；
（2）（★★★☆☆） k = 时，二次三项式 4x2 kx + 5是关于 x 的完全平方式；
（3）（★★★☆☆）某种品牌的笔记本电脑原价为 5000 元，如果连续两次降价的百分率都为
10% ，那么两次降价后的价格为 元；
（4）（★★★☆☆）如图，在长为 32 米、宽为 20 米的长方形绿地内，修筑两条同样宽且分
别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成 4 块，这 4 块绿地的总面积为 540 平方米．如
果设道路宽为 x 米，由题意所列出关于 x 的方程是 ．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）关于 x 的方程 (a 2)x2 + 3x + 4 = 0 是一元二次方程，则 a 的取值范围
是 ；
（2）（★★☆☆☆）已知 x = 3是方程 x2 2x +m = 0 的一个根，那么 m = ；
（3）（★★★☆☆）解方程： 4y2 3 = (y + 2)2 ；
1
（4）（★★★☆☆）用配方法解方程： 2x
2 3x + = 0 ．
2
7
练 2-2
2 1
（1）（★★☆☆☆）已知关于 x 的方程 x + (m 2)x + m
2 1= 0有两个实数根，那么 m 的取
4
值范围是 ；
（2）（★★★☆☆已知关于 x 的一元二次方程 2x2 3x +m = 0 没有实数根，求 m 的最小整数
值．
练 2-3
（1）（★★★☆☆）在实数范围内因式分解 2x2 x 2 = ；
（2）（★★★☆☆）某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的 100 元涨到了 179 元，设
平均每次涨价的百分比为 x ，那么可列方程： ；
（3）（★★★☆☆）两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4cm ，大正方
形的面积比小正方形的面积的 2 倍少32cm2 ，则大、小两个正方形的边长依次是 ．
知识点 3——
知识笔记
1．
（1）正比例函数：解析式形如______（ k 是不 等于零的常数）的函数叫做正比例函数，
其中常数 k 叫做比例系数，定义域是一切实数；
8
（2）正比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①直线经过第一、第三象限； ①直线经过第二、第四象限；
②y 随 x 的增大而增大； ②y 随 x 的增大而_________；
性质
③自变量的取值范围是全体实数；
④| |越大，直线越靠近 y 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越大；
| |越小，直线越靠近 x 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越小.
2．
（1）反比例函数: 解析式形如_______（ k 是不等于零的常数）的函数叫做反比例函数，
k
其中常数 k 叫做比例系数，反比例函数 y = 的定义域是 x 0 ；
x
（2）反比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①双曲线两分支分别在第一、三象 ①双曲线两分支分别在第二、
限； 第四象限；
性质
②在每个象限内 y 随 x 的增大而减 ②在每个象限内，y 随 x 的增大
小； 而增大；
9
③ x 的取值范围是 x 0 ， y 的取值范围是 y 0 ，图像不能和坐标轴相
交，只能无限接近；
④既是轴对称图形又是中心对称图 形，对称中心是坐标原点，对称轴分
别是 y = x 和 y = x .
经典 题
1
3
（1）（★★★☆☆）下列对反比例函数 y = 的图象的描述，正确的是 ( )
x
A．与坐标轴有交点 B．有两支，分别在第二、四象限
C．经过点（1，3） D．函数值 y 随 x 的值增大而减小
（2）（★★★☆☆）下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小的是 ( )
2 2
A． y = B． y = C． y = 2x D． y = 2x
x x
x k
（3）（★★★☆☆）函数 y = (k1 0) 与 y =
2 (k2 0) 在同一坐标系中的大致图象是 ( ) k1 x
A． B．
C． D．
10
2
（★★★☆☆）已知： y = y1 + y2 ，并且 y1 与 (x 1) 成正比例， y x2 与 成反比例．当 x = 2
时， y = 5；当 x = 2 时， y = 9．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）求当 x = 8时的函数值．
3
（★★★★☆）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，正比例函数 y = 3x 的图象与反
k
比例函数 y = (x 0) 的图象都经过点 A(2,m) ．
x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 B 在 x 轴上，且OA = BA ，反比例函数图象上有一点C ，且 ABC = 90 ，求点C 坐
标．
11
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）下列函数中， y 随着 x 的增大而减小的是 ( )
3 3
A． y = 3x B． y = C． y = 3x D． y =
x x
2k
（2）（★★☆☆☆）正比例函数 y = 3kx 与反比例函数 y = 在同一坐标系中的图象是 ( )
x
A． B．
C． D．
练 4-2
（★★☆☆☆）已知 y = y1 + y
2
2 ，其中 y1 与 x 成正比例，y2 与 x 1成反比例，且当 x = 1时，
y = 3当 x = 2 时， y = 3．
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；
（2）当 x = 2 ，求 y 的值．
12
练 4-3
k
（★★★★☆）已知：如图，正比例函数 y = k 21x 的图象与反比例函数 y = 的图象相交于点 A 、
x
B ，点 A 在第一象限，且点 A 的横坐标为 1，作 AH 垂直于 x 轴，垂足为点 H ，S AOH =1．
（1）求 AH 的长；
（2）求这两个函数的解析式；
（3）如果 OAC 是以OA为腰的等腰三角形，且点C 在 x 轴上，求点 C 的坐标．
知识点 4——
知识笔记
1．
（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距
离相等；
（2）线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
________________；
2．
（1）角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）角平分线逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边__________的点，
在这个角的平分线上.
13
3．
（1）一般直角三角形：
① 直角三角形全等：有一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记
为 H.L）
② 直角三角形性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半．
（2）含30 的直角三角形：
① 在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半．
② 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等
于30 ．
4．
（1）勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）勾股逆定理：一个三角形中，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么
这个三角形是_______________．
经典 题
1
（1）（★★☆☆☆）下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
（2）（★★☆☆☆）将“等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式： ；
14
（3）（★★☆☆☆）已知：如图， RtΔABC 中， AC BC ， ACB = 90 ，CD 是 ABC 的中
线，点 E 在CD 上，且 AED = B ．求证： AE = BC ．
2
（1）（★★★☆☆）如图，在 ABC 中，EF 是 AC 的垂直平分线，AF =12，BF = 3，则 BC = ．
（2）（★★★☆☆）已知：如图，AD / /BC ，DB 平分 ADC ，CE 平分 BCD ，交 AB 于点
E ， BD 于点O ．求证：点O 到 EB 与 ED 的距离相等．
15
3
（★★★★☆）已知：如图，在 BCD 中，CE ⊥ BD 于点 E ，点 A 是边CD 的中点，EF 垂直
1
平分线 AB .（1）求证：BE = CD ；（2）当 AB = BC ， ABD = 25 时，求 ACB 的度数．
2
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）如图，已知 AE 平分 BAC ，ED 垂直平分 BC ，EF ⊥ AC ， EG ⊥ AB ，垂足
分别是点 F 、 G ．求证：
（1） BG =CF ；
（2） AB = AF +CF ．
16
练 4-2
（★★★★☆）已知：如图，在 ABC 和 ABE 中， ACB = AEB = 90 ， D 是 AB 中点，联
结 DC 、 DE 、 CE ， F 是CE 中点，联结 DF ．
（1）求证： DC = DE ；
（2）若 AB =10 ， CE = 8 ，求 DF 的长．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是 ( )
1
A． 2 和 12 B． 2 和
2
C． 2ab 和 ab3 D． a 1 和 a +1
（2）（★★☆☆☆）解不等式： 3(x 1) 5x ．
17
练 2
（1）（★★☆☆☆）如果 (m 3)x2 + 2x +m2 3= 0是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范
围是 ；
（2）（★★★☆☆）一辆汽车，新车购买价 20 万元，第一年使用后折旧 20% ，以后该车的年
折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价
值 11.56 万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为 x ，那么根据题意，列出的方程为 ．
练 3
（★★☆☆☆）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有 ( )
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
练 4
b
（★★★☆☆）如下图，在平面直角坐标系 xOy 内，函数 y = ax(a 0) 和 y = (b 0) 交于 A 、
x
B 两点，已知 A( 1,4) ．
（1）求这两个函数的解析式，并直接写出点 B 的坐标；
（2）点C 在 x 轴上，且 ACB = 90 时，求点 C 的坐标．
18
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，已知在 RtΔABC 中， ACB = 90 ， M 是边 AB 的中点，连接CM 并延
1
长到点 E ，使得 EM = AB ， D 是边 AC 上一点，且 AD = BC ，联结 DE ，求 CDE 的度
2
数．
课堂总结
1904 | 一元二次方程的解法与根的判别式
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握求根公式法解一元二次方程
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握根的判别式的概念及判别式的值
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握根的判别式的应用
知识清单
根 式法 根 式法
一元二次方程的解法与
根 的判别式 判 别式的 根 的判别式
判 别式的
判别式的 判别式的
【考情分析】
1．求根公式法及根的判别式是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分
值约 15%
2．主要考察根的判别式的概念，以选择题、填空题为主，求根公式法解方程、根的判别式
的应用以解答题为主。
3．对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节。
4．求根公式法和根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解
方程的情况下判断出根的情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范
围．本节重点能掌握求根公式法解一元二次方程、运用根的判别式，判别方程根的情况，会
运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围等．
1
课堂引入
【课堂引入】
用配方法解下列方程：（1） x2 7x 18 = 0 ；（2） 4x2 +1= 4x ；（3）3x2 + 4x + 5 = 0
在这两天的学习中有的同学说有的一元二次方程用用配方法解太麻烦了，有没有比较简单的
一种解法呢？我们发现用配方法解一元二次方程的步骤都是相同的，这其中有没有什么公式
呢？答案是肯定的，今天我们就来学习用公式法解一元二次方程.
知识点 1—— 根 式法
知识笔记
根 式法
（1）把一元二次方程化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 （ a 0 ）；
（2）确定 a、b、c 的值；
（3）求出b2 4ac 的值（或代数式）；
若 b2 4ac 0，则把 a、b、c 的值代入求根公式__________________，求出 x1 、 x2 ；
若 b2 4ac 0，则方程无解．
【填空答案】
b b2 4ac
x =
2a
经典例题
例 1
（★★★☆☆）用求根公式法解下列方程：
（1） x2 +1= 4x ； （2）3x
2 (x 2)2 = 5 ；
（3） (2x 3)2 = x(x 5) + 6 ； （4） 2x2 + 3x + 8 = 5x + 3．
【配题说明】此题考查了解一元二次方程 公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
【常规讲解】（1）解：方程整理得： x2 4x +1= 0，
2
这里 a =1， b = 4， c =1，
b2 4ac =16 4 =12 0 ，
b b2 4ac 4 2 3
x = = ，
2a 2
解得： x1 = 2 + 3 ， x2 = 2 3 ．
（2）解： 3x2 x2 + 4x 4 5 = 0
2x2 + 4x 9 = 0
a = 2 ， b = 4 ， c = 9 ，
△ =16 + 72 = 88，
4 88
x =
4
2 + 22 2 22
x1 = ， x2 = ．
2 2
（3）解：原方程化为， 3x2 7x + 3 = 0；
△ = ( 7)2 4 3 3 =13 ；
7 13
x = ；
6
7 + 13 7 13
原方程的根是 x1 = ， x2 = ．
6 6
（4）解：方程整理得： 2x2 2x + 5 = 0 ，
a = 2 ， b = 2 ， c = 5 ，
b2 4ac = 4 4 2 5 0 ，
方程无解．
例 2
（★★★☆☆）（2019 徐汇区校级月考）最简二次根式 2x2 x 与 4x 2 是同类二次根式，
求关于 m 的方程 xm2 + 2x2m 2 = 0 的根．
【配题说明】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出 a ，b ，c ，求出△= b2 4ac 的值，
是解此题的关键．
【常规讲解】解： 最简二次根式 2x2 x 与 4x 2 是同类二次根式，
2x2 x = 4x 2 ，
整理，得： 2x2 5x + 2 = 0 ，
则 (x 2)(2x 1) = 0 ，
3
x 2 = 0 或 2x 1= 0 ，
1
解得 x = 2 或 x = ，
2
1
当 x = 时， 2x2 x = 4x 2 = 0 ，舍去；
2
当 x = 2 时，方程 xm2 + 2x2m 2 = 0 为 2m2 + 8m 2 = 0 ，
整理，得： m2 + 4m 1= 0 ，
4 2 5
解得 m = = 2 5 ．
2
例 3
（★★★☆☆）（2017 虹口区校级月考）解方程： k 2 k(x + 2) = x(2x + 3) +1 .
【配题说明】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，
本题属于基础题型．
【常规讲解】解：原方程化为： 2x2 + (k + 3)x +1+ 2k k 2 = 0 ，
△ = (k + 3)2 8(1+ 2k k 2 )
= 9k 2 10k +1
当△ = 0 时，
即 (9k 1)(k 1) = 0 ，
1
k = 或 k =1，
9
1
当 k = 时，
9
7
此时方程的解为： x1 = x2 = ，
9
当 k =1时，
此时方程的解为： x1 = x2 = 1 ，
1
当△ 0 时，即 k 1，此时方程无解；
9
1 (k + 3) 9k 2 10k +1
当△ 0 ，即 k 或 k 1时，此时方程为解为 x = ，
9 4
1 7 1
综上所述，当 k = 时，x1 = x2 = ；当 k =1时，x1 = x2 = 1 ；当 k 1时，此时方程无
9 9 9
1
k (k + 3) 9k
2 10k +1
解；当 或 k 1时， x = ；
9 4
4
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）解下列方程（求根公式法）：
（1） x2 = 2(x 1) ； （2） 0.2x2 0.1x =1；
（3） x2 + 2( 3 +1)x + 2 3 = 0 ； （4） x2 2mx +m2 n2 = 0 ．
【配题说明】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出 a ，b ，c ，求出△= b2 4ac 的值，
是解此题的关键．
【常规讲解】（1） x2 2x + 2 = 0 ，a =1，b = 2，c = 2 ，得：b2 4ac = 4 0 ，所以方程
无解；
（2） 0.2x2 0.1x 1= 0 ， a = 0.2，b = 0.1，c = 1，得：b2 4ac = 0.81，
0.1 0.81 0.1 0.9
则 x = = ，所以原方程的根 x1 = 2.5，x2 = 2 ；
2 0.2 0.4
2 3 2 4
（3） a =1，b = 2( 3 +1)，c = 2 3 ，得b2 4ac =16 ，得： x = ，
2
所以原方程的根 x1 =1 3，x2 = 3 3 ；
， 2m 4n
2
（4） a =1 b = 2m，c = m2 n2 ，得b2 4ac = 4n2 ，得： x = ，
2
所以原方程的根 x1 = m + n，x2 = m n ．
练 1-2
（★★★☆☆）已知关于 x 的方程： x2 4(m 1)x + 3m2 2m + 4k = 0 ，当 m 取任意有理数
时，方程的根都是有理数，求 k 的值或者是 k 的取值范围．
【配题说明】本题综合性较强，主要考查学生对方程的根是有理数的理解．
【常规讲解】解： a =1，b = 4(m 1)，c = 3m2 2m + 4k ，
2 2
得 = b 4ac =16(m 1) 4(3m2 2m + 4k ) = 4m2 24m +16 16k ，
当 m 取任意有理数时，方程的根都是有理数， b2 4ac 是完全平方式，
5
16 16k = 36 ， k = ．
4
5
练 1-3
a 2
（★★★☆☆）（2017 杨浦区校级月考）解方程： x (a +1)x + a = 0 ．
4
【配题说明】本题考查解方程，解答本题的关键是明确解方程的方法，利用分类讨论的数学
思想解答．
【常规讲解】解：当 a = 0 时， x + 0 = 0 ，解得， x = 0 ；
a
当 a 0 时，△ = [ (a +1)]
2 4 a = 2a +1，
4
(a +1) 2a +1 2(a +1) 2 2a +1
x = =
当 a 0.5 时， a a ，
2
4
2(a +1) + 2 2a +1 2a 2 2a +1
则 x1 = ， x2 = ；
a a
2(a +1)
当 a = 0.5 时， x1 = x2 = ；
a
当 a 0.5 时，原方程无解．
知识点 2——根的判别式
知识笔记
1．判别式的
一元二次方程根的判别式：我们把 2 2b 4ac 叫做一元二次方程 ax + bx + c = 0(a 0) 的
根的判别式，通常用符号“ ”表示，记作_____________．
2．判别式的
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) ，
（1）当 =b2 4ac 0 时，方程有两个___________的实数根；
（2）当 =b2 4ac = 0 时，方程有两个___________的实数根；
（3）当 =b2 4ac 0 时，方程________________．
【填空答案】
6
1. =b2 4ac ；2.（1）不相等；（2）相等；（3）没有实数根
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）已知关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 + 2mx +m 3 = 0 ，求：当方程有两
个不相等的实数根时 m 的取值范围；
（2）（★★★☆☆）（2019 虹口区校级月考）已知关于 x 的方程 x2 + 2x a +1= 0 没有实数
根，试判断关于 x 的方程 x2 + ax + a = 0 的根的情况．
【配题说明】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关
键．
【常规讲解】（1）解： 关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 + 2mx +m 3 = 0 有两个不相等的
实数根，·
△ 2 0 且 m 1 0 ，即 (2m) 4(m 1)(m 3) 0 且 m 1 ，
3
解得 m 且 m 1 ，
4
3
当方程有两个不相等的实数根时 m 的取值范围为 m 且 m 1 ．
4
（2）解： 关于 x 的方程 x2 + 2x a +1= 0 没有实数根，
△ = 4 4( a +1) 0 ，
解得： a 0 ，
方程 2x2 + ax + a = 0 的根的判别式是：△ = a 4a = a(a 4) ，
a 0 ， a 4 0 ，
△ 0 ，
关于 x 的方程 x2 + ax + a = 0 有两个不相等的实数根．
例 2
（★★★☆☆）（2020 杨浦区校级期中）已知关于 x 的一元二次方程 mx2 (3m 1)x + 2m 1= 0 ．
（1）求证：无论 m 为任意实数，方程总有实数根；
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于 1，求方程的解．
7
【配题说明】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根与△= b2 4ac
有如下关系：当△ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0 时，方程有两个相等的实数
根；当△ 0 时，方程无实数根．
【常规讲解】解：（1）关于 x 的一元二次方程 mx2 (3m 1)x + 2m 1= 0 ．
△ = (3m 1)2 4m(2m 1) = (m 1)2 0 ，
无论 m 为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，△ = (3m 1)2 4m(2m 1) =1，
解得 m1 = 0 ， m2 = 2 ，
而 m 0 ，
m = 2 ，
关于 x 的一元二次方程为 2x2 5x + 3 = 0 ．
(2x 3)(x 1) = 0 ，
3
解得 x1 = ， x2 =1．
2
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）（2020 静安区校级期中）已知关于 x 的方程 x2 + 2kx = x (k 2)2 ，当 k 取何
值时，此方程：
①有两个不相等的实数根；
②没有实数根．
【配题说明】本题考查了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根的判别式△= b2 4ac ：当
△ 0 ，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0 ，方程有两个相等的实数根；当△ 0 ，方程没
有实数根．
【常规讲解】解：方程化为： x2 + (2k 1)x + (k 2)2 = 0 ，
△ = (2k 1)2 4 (k 2)2 =12k 15 ．
5
①当12k 15 0 ， k 时，方程有两个不相等的实数根；
4
5
②当12k 15 0， k 时，方程没有实数根．
4
8
练 2-2
（★★★☆☆）（2018 浦东新区期中）已知关于 x 的方程 x2 2(m + 2)x +m2 + 5 = 0 没有实数
根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）试判断关于 x 的方程 (m + 5)x2 2(m +1)x +m = 0 的根的情况．
【配题说明】本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义，能熟记根的判别式的内容是解
此题的关键．
【常规讲解】解：（1） 关于 x 的方程 x2 2(m + 2)x +m2 + 5 = 0 没有实数根，
△ = [ 2(m + 2)]2 4 1 (m2 + 5) =16m 4 0 ，
1
解得： m ；
4
1
（2） m ，
4
①当 m + 5 0 时，
原方程是一元二次方程，
△ = [ 2(m +1)]2 4(m + 5)m = 4 12m ，
1
m ，
4
4 12m 0 ，
原方程有两个不相等的实数根；
②当 x + 5 = 0 时，方程为8x 5 = 0 ，
方程有一个实数根．
9
知识点 3——判别式的
知识笔记
判别式的
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据___________的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
【填空答案】
参数系数
经典例题
例 1
（★★★☆☆）若方程 (x 1)(x2 2x +m) = 0 的三根是一个三角形三边的长，则实数 m 的取值
范围是 ( )
3 3 3
A． 0 m 1 B． m C． m 1 D． m 1
4 4 4
【配题说明】本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关
系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【常规讲解】解：方程 (x 1)(x2 2x +m) = 0 的有三根，
x1 =1， x
2 2x +m = 0 有根，方程 x2 2x +m = 0 的△= 4 4m 0 ，得 m 1．
又 原方程有三根，且为三角形的三边和长．
有 x2 + x3 x1 =1， | x2 x3 | x1 =1，而 x2 + x3 = 2 1已成立；
当 | x2 x3 | 1 时，两边平方得： (x2 + x
2
3 ) 4x2x3 1 ．
3
即： 4 4m 1．解得， m ．
4
3
m 1．故选：C ．
4
10
例 2
（★★★☆☆）（2016 黄浦区期中）我们知道，一元二次方程 ax2 2+ bx + c = 0 ，当b 4ac 0 ，
b
x1 + x2 2 = b + b 4ac b b2 4ac a
它有两个实数根： x1 = ， x = ，可得 ①， 2
2a 2a cx x =
1 2 a
3
+ =
如 2x2 3x 4 = 0 的两根是 、 ，由①得 2 ，
= 2
我们可把①称为是一元二次方程的根与系数的关系式．
1 1
（1）已知方程 x2 + 3x 1= 0 的两个不同的根为 、 ，则 + = ； + = ；
（2）已知关于 x 的方程 x2 kx + 5(k 5) = 0 的两个实数根分别是 x1 ，x2 且满足 2x1 + x2 = 7 ，
x1 0 ， x2 0 ，则 k = ．
b c
【配题说明】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为 ，两根之积为 是解题
a a
的关键，老师在讲解时可以给学生拓展此知识点为韦达定理，不能直接写于证明题，填选可
用．
【常规讲解】】解：（1） 方程 x2 + 3x 1= 0 的两个不同的根为 、 ，
+ = 3 ， = 1 ，
1 1 +
+ = = 3 ．
故答案为： 3 ； 3 ．
（2） 关于 x 的方程 x2 kx + 5(k 5) = 0 的两个实数根分别是 x1 ， x2 且满足 2x1 + x2 = 7 ，
x1 + x2 = k
x1x2 = 5(k 5) ，解得： k1 = 2 ， k2 = 6 ，
2x1 + x2 = 7
x1 0 ， x2 0 ，
5(k 5) 0 ，
k = 6 ．
故答案为：6．
11
例 3
（1）（★★★★☆）（2017 杨浦区校级月考）关于 x 的一元二次方程 mx2 2(m 1)x +m 1= 0
有两正实根，那么 m 的取值范围是 ( )
A． m 1 B． m 1且 m 0 C． m 0 D． m 1
（2）（★★★★☆）（2019 徐汇区校级月考）已知方程 x2 7x 3 = 0 的两个根为 x1 ， x2 ，
则代数式 (x21 + 7x + 3)(x
2 + 7x + 3) = 1 2 2 ．
【配题说明】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次
项系数非零、两根之积大于 0 以及根的判别式△ 0 列出关于 m 的一元一次不等式组是解题
的关键．
2m 2 + 4 4m m 1+ 1 m
【常规讲解】解： 根据求根公式可得方程两根： x = = 1
2m m
2m 2 4 4m m 1 1 m
x2 = =
2m m
关于 x 的一元二次方程 mx2 2(m 1)x +m 1= 0 有两正实根，
m 1
x1x2 =
m
m 0
m 1
0 ，
m
= [ 2(m 1)]
2 4m(m 1) 0
解得： m 0 ．
故选：C ．
（2）解： 方程 x2 7x 3 = 0 的两个根为 x1 ， x2 ，
x21 7x1 3 = 0 ， x
2
2 7x2 3 = 0 ，
即 x2 2 1 = 7x1 + 3 ， x2 = 7x2 + 3 ，
原式= (x2 + x2 )(x21 1 2 + x
2
2 )
= 4(x x )2 ， 1 2
方程 x2 7x 3 = 0 的两个根为 x1 ， x2 ，
7 + 61 7 61
x1 = 、x2 =
2 2 ，
x1x2 = 3
原式= 4 ( 3)2 = 36 ．
故答案为 36．
12
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）已知 a、b、c 是三角形 ABC 的三边：且关于 x 的方程
4x2 + 4(b2 + c2 + a2 )x + 3(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 0 有两个相等的实数根，试判定三角形 ABC 的
形状．
【配题说明】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简．
【常规讲解】因为方程有两相等实根，
2
得 =16(b2 + c2 + a2 ) 4 4 3(a2b2 + b2c2 + a2c2 ) = 0 ，
2 2 2
=16(b4 + c4 + a4 a2b2 b2c2 a2c2 ) = 8 (a2 c2 ) + (b2 c2 ) + (a2即 b2 ) = 0 ，
化简得： a2 c2 = 0 ， b2 c2 = 0 ， a2 b2 = 0 ，因为 a、b、c 是三角形三边，
可得 a 0 ， b 0 ， c 0 ，故有 a = b = c ，即得三角形 ABC 是等边三角形．
练 3-2
（★★★☆☆）（2018 静安区期末）已知关于 x 的方程 x2 + (3 2k)x + k 2 +1= 0 的两个实数根
分别是 x1 、 x2 ，当 | x1 | + | x2 |= 7 时，那么 k 的值是 ．
【配题说明】本题考查了根与系数的关系和根的判别式．解此题时很多学生容易顺理成章的
5
利用两根之积与和公式进行解答，解出 k 值，而忽略了限制性条件△ 0 时 k ．
12
【常规讲解】解： x2 + (3 2k)x + k 2 +1= 0 的两个实数根分别是 x1 、 x2 ，
△ = (3 2k)2 4 1 (k 2 +1) 0 ，
9 12k + 4k 2 4k 2 4 0 ，
5
k ，
12
2k 3 + 2k 3
x1 = 、x2 =
2 2
x1x = k
2
2 +1、x1 + x2 = 2k 3
x x 2 1 2 = k +1 0 ，
x1 、 x2 同号，
分两种情况：
13
①当 x1 、 x2 同为正数时， x1 + x2 = 7 ，
即 2k 3 = 7 ，
k = 5 ，
5
k ，
12
k = 5 不符合题意，舍去，
②当 x1 、 x2 同为负数时， x1 + x2 = 7 ，
即 2k 3 = 7 ，
k = 2 ，
故答案为： 2 ．
练 3-3
（★★★☆☆）在等腰 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b ，c ，已知 a = 3 ，b 和
c x x2
1
是关于 的方程 + mx + 2 m = 0 的两个实数根，则 ABC 的周长是 ．
2
【配题说明】本题考查了根与系数的关系：若 x1 ， x 是一元二次方程 ax
2
2 + bx + c = 0(a 0)
b c
的两根时， x1 + x2 = ， x1x2 = ．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
a a
2 1
【常规讲解】解：当b = c 时，关于 x 的方程 x + mx + 2 m = 0 的两个相等的实数根，则△
2
= m2
1
4 (2 m) = 0 ，解得 m = 4 或 m = 2 ，
2
当 m = 2 时，解得b = c =1，因为1+1= 2 ，不符合三角形三边的关系，故舍去；
当 m = 4 时，方程变形为 x2 4x + 4 = 0 ，此时b + c = 4 ，
所以此时 ABC 的周长为3+ 4 = 7 ；
1 22
当 b = a = 3 ， 把 x = 3 代 入 方 程 得 9 + 3m + 2 m = 0 ， 解 得 m = ， 方 程 变 形 为
2 5
2 22 21 21 7x x + = 0 ，则 3c = ，解得 c = ，
5 5 5 5
7 37
所以此时 ABC 的周长为 3+ + 3 = ；
5 5
37
当 c = a = 3 ，同理可得 ABC 的周长为 ；
5
37
综上所述， ABC 的周长为 7 或 ．
5
14
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）解下列方程（求根公式法）：
（1） x2 = 2(x 1) ； （2） 0.2x2 0.1x =1；
（3） x2 + 2( 3 +1)x + 2 3 = 0 ； （4） x2 2mx +m2 n2 = 0 ．
【配题说明】本题主要考查用求根公式法求解一元二次方程的根．
【常规讲解】（1） x2 2x + 2 = 0 ，a =1，b = 2，c = 2 ，得：b2 4ac = 4 0 ，所以方程
无解；
（2） 0.2x2 0.1x 1= 0 ， a = 0.2，b = 0.1，c = 1，得：b2 4ac = 0.81，
0.1 0.81 0.1 0.9
则 x = = ，所以原方程的根 x1 = 2.5，x2 = 2 ；
2 0.2 0.4
( 2 3 2 4（3） a =1，b = 2 3 +1)，c = 2 3 ，得b2 4ac =16 ，得： x = ，
2
所以原方程的根 x =1 3，x = 3 3 ； 1 2
2m 4n2
（4） a =1，b = 2m，c = m2 n2 ，得b2 4ac = 4n2 ，得： x = ，
2
所以原方程的根 x1 = m + n，x2 = m n ．
练 2
（★★☆☆☆）已知关于 x 的方程 (2 k)x2 2kx 1 0 ：
（1）若方程只有 1 个实数根，求 k 的值；
（2）若方程有实根，求 k 的取值范围；
（3）若方程有两实根，求 k 的取值范围．
【配题说明】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意分类讨论．
【常规讲解】（1）方程只有 1 个不等实根，即方程为一元一次方程，二次项系数 2 + k = 0 ，
即得: k = 2 ；
（2）同（1）， k = 2 时，方程为一元一次方程，有实根； 2 + k 0 ，即 k 2 时，方程
2 2
为一元二次方程，方程有实根，则有 = (2k ) 4(2 + k ) = 4(k k 2) 0 ，即得 k 2 或
15
k 1，则 k 2 或 2 k 1或 k 2 ；综上所述， k 2 或 k 1；
（3）由（2）可知，方程有两实根， k 2 或 2 k 1或 k 2 ．
练 3
（★★★☆☆）已知关于 x 的方程 (a 5)x2 2(a 2)x a 0 没有实数根，试判断方程
ax2 2(a 2)x (a 5) 0 的根的情况．
【配题说明】考查根据字母取值范围确定方程根的情况，注意分类讨论．
【常规讲解】（1）当 a + 5 = 0 时，即 a = 5 时，方程为一元一次方程，必有实数根，不合题
意；
2
（2）当 a + 5 0 时，方程没有实数根，可得 = 4(a + 2) 4(a + 5)a = 4a +16 0 ，
2
得 a 4 ，则 a 0 ， = 4(a 2) 4a (a 5) = 4a +16 0 ，可知方程有两个不等实数
根，综上所述，方程有两个不相等的实数根．
练 4
（★★★★☆）（2014 浦东新区期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程
b c
ax2 + bx + c = 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 ．那么 x1 + x2 = ， x1x2 = ．
a a
例如：已知方程 2x2 + 3x 5 = 0 的两根分别为 x1 、 x2
b 3 c 5 5
则： x1 + x2 = = ， x1 、 x2 = = =
a 2 a 2 2
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程 3x2 4x 6 = 0 的两根分别为 x1 、 x2 ，求 x1 + x2 和 x1x2 的值；
1 1
（2）已知方程 3x2 4x 6 = 0 的两根分别为 x 、 x ，求 +1 2 的值；x1 x2
（3）若一元二次方程 2x2 +mx 3 = 0 的一根大于 1，另一根小于 1，求 m 的取值范围．
b
【配题说明】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．熟练掌握 x1 + x2 = ，
a
c
x1x2 = 中 a 、b 、 c 所表示的意义是解题的关键．
a
4 4 6
【常规讲解】解：（1） x1 + x2 = ( ) = ， x1x2 = = 2；
3 3 3
16
4
（2） 1 1 x1 + x2 3 2+ = = = ；
x1 x2 x1 x2 2 3
m2 4 2 ( 3) 0
（3）由题意得： ，解得 m 1．
2 + m 3 0
【B组】
练 1
（★★★★☆）（2018 虹口区校级期中）设关于 x 的方程 x2 3 18x 3 12 = 0 的两根为 a ，b ，
请构造一个以 a3 和 b3 为根的一元二次方程．
【配题说明】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属
于基础题型．此题用韦达定理会非常简单，在书写过程的时候可以把韦达定理的证明过程写
上
【常规讲解】解：由题意可知： a + b = 3 18 ， ab = 3 12 ，
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ，
a2 + b2 = ( 3 18)2 + 2 3 12 ，
a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2 )
= 3 18 [( 3 18)2 + 2 3 12 + 3 12]
= ( 3 18)3 + 3 3 18 12
=18+ 3 6
= 36 ，
a3b3 = (ab)3 = 12 ，
以 a3 和b3 为根的一元二次方程 x2 36x 12 = 0 ，
练 2
（★★★★☆）（2017 浦东新区自主招生）设实数 x ， y 分别满足99x2 + 2019x +1= 0 ．
xy +10x +1
y2 + 2019y + 99 = 0 并且 xy 1．则 = ．
y
【配题说明】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值．将根与系数的
关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
1 1
【常规讲解】解：把方程 y2 + 2019y + 99 = 0 转化为：99 + 2019 +1= 0
y2
，
y
17
1
x 和 是方程足 99x2 + 2019x +1= 0 的两个根，
y
1 2019 x 1
x + = ， = ，
y 99 y 99
xy +10x +1 x 1 2019 1 2009
= x +10 + = +10 = ．
y y y 99 99 99
2009
故答案为： ．
99
1802 | 二次根式的运算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握二次根式的加减运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握二次根式的分母有理化
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握二次根式的混合运算
知识清单
二次根式的加法 法
二次根式的加 运算
二次根式的 法 法
二 次根式的运算
分 理 分 理
二次根式的 合运算 二 次根式的 合运算
14
知识点 1——二次根式的加 运算
知识笔记
1. 二次根式的加法 法
先把各个二次根式化为______________，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．
2. 二次根式的 法与 法
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数__________；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数__________．
经典例题
例 1
2 1
（1）（★★☆☆☆）计算： 12 + 4 0.5 18 + 3 ；
3 3
x 2
（2）（★★★☆☆）计算： 8x 2 + 2x ；
2 9x
（3）（★★★☆☆）计算： 28+10 3 28 10 3 ；
ab3 27a ab3 3a
（4）（★★★☆☆）计算： 2a + 2ab2 (b 0) .
3 b3 3 4b
15
例 2
（1）（★★★☆☆）已知正数 x 满足不等式： 3x 12 2x 4 ；
（2）（★★★☆☆）化简： 2 (x +1)2 + x2 4x + 4 ．
例 3
1 2 1 2
（1）（★★★☆☆）计算： 3 ( 2 ) (4 1 ) ；
3 5 3 5
n n 1 n3 n
（2）（★★★☆☆）计算： ( ) ；
m 3m3 m m3 2m3
2 3 a
（3）（★★★☆☆）化简： ab3 ( a3b) 3 (b 0) .
b 2 b
16
巩固练习
练 1-1
1
（1）（★★☆☆☆）计算： ( 0.5 + 2 ) ( 18 27) ；
3
2 b 3 3（2）（★★★☆☆）计算： 2a 3ab + 27a + 2ab a (b 0) ；
6 4
（3）（★★★☆☆）化简： 2x +13+ 128x 192 2x 2 + 8x 12 .
练 1-2
（★★★☆☆）已知 x = 5 + 7 ， y = 2 + 10 ，比较 x 与 y 的大小．
练 1-3
3
（1）（★★☆☆☆）计算： 3 18 2 6 ；
6
2 6a b 3
（2）（★★★☆☆）计算： ab3 ( a3b)(a 0) .
b b2 a 2
17
知识点 2——分 理
知识笔记
1. 分 理
（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含_________的运算；
（2）分母有理化的方法：把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2. 理 因式
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两
个含有二次根式的非零代数式互为____________．
经典例题
例 1
1
（1）（★★☆☆☆）若 a = ， b =1 2 ，则 a 、b 两数的关系是 ( ) .
1+ 2
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
（2）（★★★☆☆） a b 1(a 0) 的有理化因式可以是 ．
例 2
2 3 + 5
（★★★☆☆）分母有理化： .
2 + 3 + 5
18
例 3
1 2 x2 1
（★★★☆☆）已知 x = ，求代数式 的值．
2 +1 x x2 + x
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）下列结论中正确的是 ( )
A． 2 2a + b 是 a b 的有理化因式 B． 4x 6xy + 9y 不是最简二次根式
C． 3 2 3 的绝对值是 3 2 3 D．3+ 2 2 的倒数是3 2 2
（2）（★★★☆☆） m n 的倒数是 ．
练 2-2
1 1
（★★★☆☆）已知 m = ， n = ，求 m2 mn + n2 的值．
2 + 5 2 5
练 2-3
1 1 1
（★★★☆☆）观察下列各式 = 2 1， = 3 2 ， = 4 3 利用
2 +1 3 + 2 4 + 3
上述三个等式及其变化过程，
1 1 1 1
计算 + + + + 的值．
2 +1 3 + 2 4 + 3 2009 + 2008
19
知识点 3——二次根式的 合计算
知识笔记
二次根式的 合运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序 规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、__________等进行解题．
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）求值： (2 2 3)2020 (3+ 2 2)2021 = ；
1 1
（2）（★★★☆☆）计算： 4 + ( 48 24) 6 ．
2 3 2
例 2
2 3 2
（★★★★☆）计算： 2 3 + 2 ．
2 3 2
1
2 3 2
20
例 3
b ab a b a + b
（★★★★☆）化简： ( a + ) ( + ) .
a + b ab + b ab a ab
巩固练习
练 3-1
（1）（★★★☆☆）计算： ( 3 2)2019 ( 3 + 2)2020 = ；
2
（2）（★★★☆☆）计算： ( 50 + ) 3 5 6 .
2 + 3
练 3-2
a + b + 2 ab a b
（★★★★☆）计算： ．
a + b a b
21
综合练习
【A组】
练 1
1
（1）（★★☆☆☆）计算： (3 0.5 3 ) (2 0.125 20) ；
5
1 a a 4
（2）（★★★☆☆）计算： 27a3 a2 + 3a 108a3 .
3 3 3 3
练 2
3x 3y 4 x y
（★★★☆☆）计算： 4
x2 7 2x2
．
y
练 3
1
( ) 2（★★★☆☆）计算： ( 2 3)
0 + ( 4)2 .
2 3
22
练 4
2a2 + 3ab 4b2
（★★★☆☆）已知 a( a + 2 b) = b( a + 6 b)(ab 0) ，则 = ．
3a2 5ab + b2
【B组】
练 1
21
（★★★★☆）若有理数 a ，b 满足 3 3 = a + b ，则 a + b = ．
4
练 2
n +1 n n +1 + n
（★★★★☆）已知 x = ， y = ，且19x2 +123xy +19y2 =1985 ．试求正
n +1 + n n +1 n
整数 n ．
课堂总结
2308 | 正反比例函数综合
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握正反比例函数的概念与图像性质
目标 2 ★★★★★★ 综合 能够运用函数图像性质解决几何问题
知识清单
正比例函数
正 反比例函数
正 反比例函数
正反比例函数综合
函数与几何综合 函数与动点几何
85
知识点 1——正反比例函数
知识笔记
1．正比例函数
（1）正比例函数：解析式形如______（ k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，
其中常数 k 叫做比例系数，定义域是一切实数；
（2）正比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①直线经过第一、第三象限； ①直线经过第二、第四象限；
②y 随 x 的增大而增大； ②y 随 x 的增大而_________；
性质
③自变量的取值范围是全体实数；
④| |越大，直线越靠近 y 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越大；
| |越小，直线越靠近 x 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越小.
2．反比例函数
（1）反比例函数: 解析式形如_______（ k 是不等于零的常数）的函数叫做反比例函数，
k
其中常数 k 叫做比例系数，反比例函数 y = 的定义域是 x 0 ；
x
86
（2）反比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①双曲线两分支分别在第一、三 象 ①双曲线两分支分别在第二、
限； 第四象限；
②在每个象限内 y 随 x 的增大而减 ②在每个象限内，y 随 x 的增大
小； 而增大；
性质
③ x 的取值范围是 x 0 ， y 的取值范围是 y 0 ，图像不能和坐标轴相
交，只能无限接近；
④既是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是坐标原点，对称轴分
别是 y = x 和 y = x .
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）函数 2y = (m +1)xm 5 ：
①当 m 为_______时，它是正比例函数，且 y 随 x 的增大而增大；
②当 m 为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y 随 x 的增大而增大．
87
k
（2）（★★★☆☆）已知正比例函数 y = k x 和反比例函数 y = 2 的比例系数1 1 k 和 k 互为倒2 1 2
x
数，且正比例函数的图象经过点 (2,1) ．
①求这两个函数解析式；
②如果 y = y1 + y2 ，求当 x = 3 时， y 的值是多少？
例 2
3
（1）（★★★☆☆）函数 y = 2x 与 y = 的图像的交点坐标是_______________；
x
k 1
（2）（★★★☆☆）已知直线 y = 2mx 与双曲线 y = 的一个交点 A 的坐标为 ( 1， 2) ，
x
则 m + k =________；它们的另一个交点坐标是___________；
c
（3）（★★★☆☆）若直线 y = ax(a 0) 和双曲线 y = (c 0) 在同一坐标系内的图象没有交
x
2
点，且关于 x 的一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根的情况三人的说法如下：
甲：方程可能有两个相等的实数根；
乙：方程没有实数根；
丙： x = 0 一定不是方程的根．
下列判断正确的是 ( )
A．乙错丙对 B．乙对丙错 C．乙和丙都错 D．甲错乙对
例 3
k
（1）（★★★☆☆）已知直线 y = kx(k 0 ， k 为常数）与双曲线 y = 1 (k1 0 ， k1 为常数）
x
k
没有交点，若点 A(2, y1 ) ， B( 4, y2 ) 和C(1, y ) 均在双曲线 y =
1
3 上，则 y ，1 y ，2 y 的大小3
x
关系为___________；
88
4
（2）（★★★☆☆）函数 y = x(x 0) ， y = (x 0) 的图象如图所示，下列结论： 1 2
x
①两函数图象的交点坐标为 A(2, 2) ；
②当 x 2 时， y2 y ； 1
③直线 x =1分别与两函数图象交于 B 、 C 两点，则线段 BC 的长为 3；
④当 x 逐渐增大时， y 的值随着 x 的增大而增大， y 的值随着 x 的增大而减小． 1 2
则其中正确的是 ( )
A．只有①② B．只有①③ C．只有②④ D．只有①③④
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）已知函数 2y = (m2 + 2m)xm m 1
（1）如果 y 是 x 的正比例函数，求 m 的值；
（2）如果 y 是 x 的反比例函数，求出 m 的值，并写出此时 y 与 x 的函数关系式．
练 1-2
k
（1）（★★★☆☆）经过原点的直线 l 与反比例函数 y = 的图象交于点 A( 3, a) ，B(b, 2) ，
x
则 k 的值为 ；
k 3
（2）（★★★☆☆）已知反比例函数 y = (k 为常数）与正比例函数 y = x 的图象有交点，
x
k 的取值范围是 ( )
A． k 0 B． k 0 C． k 3 D． k 3
89
练 1-3
（★★★☆☆）已知正比例函数 y 的图象与反比例函数 y 的图象相交，其中一个交点坐标为1 2
(3, 4) ，当 y y 时，下列结论正确的是 ( ) 1 2
A． 3 x 0 或 x 3 B． x 3或 0 x 3
C． 3 x 3 D． x 4 或 0 x 4
知识点 2——函数与几何综合
知识笔记
函数与动点问题结合
正反比例函数动点综合问题多是考察点在运 动过程中不变的量，或者是探索点变化过
程中与其它量的_________________.
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，PB ⊥ PA ， AB ⊥ x 轴于点 E ，正比例函数
y = mx n 3的图象和反比例函数 y = 的图象相交于 A 、 P( 1, 2) 两点，则点 B 的坐标
x
是 ；
90
4
（2）（★★★☆☆）如图， P 、1OA1 P A A 是等腰直角三角形，点 P 、 在函数2 1 2 1 P2 y = (x 0)
x
的图象上，斜边OA 、 A A 都在 x 轴上，则点 A 的坐标是 . 1 1 2 2
例 2
（★★★★☆）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y1 = 2x 的图象与反比例函
k
数 y = 的图象交于 A( 1, n) ， B 两点． 2
x
（1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；
（2）观察图象，请直接写出满足 y 2 时 x 的取值范围； 2
3
（3）点 p 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若 POB 的面积为 ，请求出点 p 的横
2
坐标．
91
例 3
（★★★★☆）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 A(1, 0) 且与 y 轴平行，直线 l 过点 B(0, 2)1 2
k
且与 x 轴平行，直线 l 与 l 相交于 P ．点 E 为直线 l 上一点，反比例函数1 1 1 y = (k 0) 的图象
x
过点 E 且与直线 l 相交于点 F ． 1
（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；
（2）连接 OE、OF、EF ；
①如图 1，过 E 作 EC 垂直于 x 轴交 x 轴于C 点，当C 点异于 A 点时，说明 OEF 的面积等
于四边形 ECAF 的面积；
②若 k 2 ，且 OEF 的面积为 PEF 面积的 2 倍，请直接写出点 E 的坐标．
92
巩固练习
练 2-1
1
（★★★☆☆）如图，正比例函数 y = kx(k 0) 与反比例函数 y = 的图象相交于 A、C 两点，
x
过 A 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 B ，连接 BC ，则 ABC 的面积为 .
练 2-2
k
（★★★★☆）如图，直线 y = x 和双曲线 y = (k 0) 交于 A ， B 两点， AE ⊥ x 轴，垂足为
x
E ，射线 AC ⊥ AD ， AC 交 y 轴于点C ， AD 交 x 轴于点 D ，且四边形 ACOD 的面积为 1．
k
（1）求双曲线 y = 的解析式；
x
（2）求 A ， B 两点的坐标．
93
练 2-3
a 3
（1）（★★★★☆）已知函数 y = (x 0) 的图象与 y = (x 0) 的图象关于 y 轴对称．在2 1
x x
a
y = (x 0) 的图象上取一点 P(P 点的横坐标大于 2) ，过 P 作 PQ ⊥ x 轴，垂足是Q ，若存2
x
在两点 B、C ，且 B(0, 2) C(2, 0) 四边形 BCQP 的面积等于 2，求 P 点的坐标；
（2）已知：在矩形 AOBC 中，OB = 4、OA = 3．分别以OB、OA 所在直线为 x 轴和 y 轴，建
立如图所示的平面直角坐标系．F 是边 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），过 F 点的反
k
比例函数 y = (k 0) 的图象与 AC 边交于点 E ．
x
①求证： AOE 与 BOF 的面积相等；
②记 S = S S ，求 S 关于 k 的函数解析式； OEF ECF
③是否存在这样的实数 k ，使 OEF 和 ECF 面积相等？若存在，求出点 F 的坐标；若不存
在，说明理由．
94
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）已知函数 y = (m +1)x|2m| 1 ，
（1）当 m 何值时， y 是 x 的正比例函数？
（2）当 m 何值时， y 是 x 的反比例函数？（上述两个问均要求写出解析式）
练 2
1 k
（★★★☆☆）已知正比例函数 y1 = x 与反比例函数 y = 的图象经过 A( 2,1) 点，求： 2
2 x
（1）反比例函数的解析式；
（2）正比例与反比例函数另一个交点 B 的坐标；
（3）当 x 在什么范围， y = y ，当 x 在什么范围， y y ，当 x 在什么范围， y y ． 1 2 1 2 1 2
95
练 3
（★★★☆☆）点P 是反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图像的交点，PQ⊥x轴于点Q(2, 0) ，
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如果点 M 在这个反比例函数的图像上，且 MPQ 的面积是 6，求 M 点的坐标．
练 4
1 k
（★★★☆☆）如图，已知直线 y = x 与双曲线 y = (k 0) 交于 A、B 两点，且点 A 的横1 2
2 x
k
坐标是 4，过原点 O 的另一条直线 L 交双曲线 y2 = (k 0) 于 P、Q 两点（点 P 在第一象
x
限），若由点 A、B、P、Q 为顶点组成的四边形的面积是 24，求点 P 的坐标．
96
【B组】
练 1
k 1 k
（★★★★☆）两个反比例函数 y = 和 y = 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在1 2 y1 =
x x x
1 1
的图象上，PC⊥x 轴于点 C，交 y = 的图象于点 A，PD⊥y 轴于点，交 y 的图象于点2 2 =
x x
k
B，当点 P 在 y = 的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边1
x
形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与 PB 始终相等；④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一
定是 PD 的中点．其中一定正确的是( )
A．①②③④ B． ①②③ C．①②④ D． ①③④
练 2
m
（★★☆☆☆）在平面直角坐标系 xOy 中（如图），点 A( 4,1) 为直线 y = kx 和双曲线 y =
x
的一个交点．
（1）求 k 、 m 的值；
（2）若点 B( 5, 0) ，在直线 y = kx 上有一点 P ，使得 S = 2S ，请求出点 P 的坐标； ABP ABO
（3）在双曲线上是否存在点 M ，使得 AOM = 45 ，若存在，请求出点 M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
9703丨一元二次方程的概念及解法
学习目标
目标1
大★☆☆☆女理解
理解一元二次方程的概念
目标2
★★★女女女操作
掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程
目标3
大★★☆☆☆操作
掌握因式分解法解一元二次方程
知识清单
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般式
一元二次方程的解
一元二次方程的概念及
解法
直接开平方法及配方法
直接开平方法
配方法
因式分解法
因式分解法
【考情分析】
.
一元二次方程的概念和解法都是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考
考分值约15%：
2.主要考察一元二次方程的概念和解法，以选择题、填空题和解答题为主；
3.对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第一、二节；
4.一元二次方程概念是八年级数学上学期第二章第一节内容，利用因式分解法、配方法及
求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程
因式分解、配方法和求根公式法三种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这三种解法的原
理和过程的理解，难点是这三种解法在解一元二次方程中的灵活应用。通过这节课的学习
方面为我们后期学习根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础。
01
课堂引入
【课堂引入】
15
存车处
某校要在校园内墙边的空地上修建一个平面图为矩形的存车处，要求存车处的一面靠墙（墙
长15m,如图中AB所示)，另外三面用90m的铁栅栏围起来，并在与AB垂直的一边上开
道2m宽的门。如果矩形存车处的面积为480m2,请以矩形一边长为未知数列方程。
提问：题中有哪些等量关系？如何设未知数？
学生活动：回答上述问题。然后根据题意，列出方程。
老师：让每个小组说出他们所列的方程，对出现的问题进行更正
提问：你们列的方程一样么？为什么？将所列的方程进行整理看看现在结果一样么？
学生整理得出两个方程分别为：×2-92x+960=0和x2-46x+240=0
提问：x2-92x+960=0和x2-46x+240=0这两个方程有什么相同之处？
小组讨论片刻，说出自己的认识，如都是整式方程，都含有一个未知数，未知数的最高次都
是2等。
出
知识点1
元二次方程的概念
知识笔记
1.一元二次方程的概念
(1)整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做
(2)一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
的整式方程
称作一元二次方程，
0213 | 勾股定理、两点间距离公式
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握勾股定理的证明及应用
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握勾股定理逆定理的证明及应用
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握两点间距离公式
知识清单
勾股定理
勾股定理、两点间距离
公式 勾股定理 定理
两 点间距离公式
【考情分析】
1．勾股定理及两点间距离公式是属于图形与几何部分，占期末考试分值约 15%；
2．勾股定理及逆定理，主要考察填空题、解答题；两点间距离公式结合平面直角坐标系考
察选择题和填空题；
3．对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明，第三节：直角三角形；
4．本章节主要的内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定
理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的
证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学
习中运用非常广泛。
1
课堂引入
【课堂引入】
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其
他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广
泛深入的研究，因此有许多名称。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代
数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所
以勾股定理也称为勾股弦定理。
知识点 1——勾股定理
知识笔记
勾股定理
直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方；
在 Rt ABC 中， C = 90 ， a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边，则__________.
【填空答案】
a2 + b2 = c2
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）等边三角形的边长是 3，则此三角形的面积是___________；
（2）（★★☆☆☆）等腰三角形底边上的长为 2，腰长为 4，则它底边上的高为_________．
【配题说明】本题考查了勾股定理.
3 9
【常规讲解】（1）作出等边三角形的高，则可得高为 3 ，则三角形的面积为 3 ；
2 4
（2）作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为 15
【拓展讲解】（1）若直角三角形的三边长分别为 n+1，n+2，n+3 则 n 的值是____________；
（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．
2
【配题说明】考察勾股定理的应用．
2 2 2
【常规讲解】（1）由题意有： (N +1) + (N + 2) = (N + 3) ，解： N = 2 （负值舍去）；
（2）可设直角三角形的三边长分别为 n-2，n，n+2
2 2
∴ (N 2) + N 2 = (N + 2) ，∴ N = 8
∴三角形的周长为 3N = 24
例 2
（1）（★★★☆☆）（2020 长宁区期末）如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ，点 D 在 BC 上，
1
且 AC = DC = AB ，若 AD = 2 ，则 BD = ；
2
（2）（★★★☆☆）（2013 闵行区期末）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空
出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为
1，大正方形面积为 13，直角三角形的两条直角边为 a、b ，那么 (a + b)
2 的值是 ；
（3）（★★★☆☆）（2019 浦东新区期末）如图，正方形 ABCD 和正方形CEFG 中，点 D 在
CG 上，BC = a ，CE = b ，H 是 AF 的中点，那么CH 的长是 ．（用含 a、b 的
代数式表示）
【配题说明】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直
角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【常规讲解】（1）解： AD = 2 ， C = 90 ， AC = DC ，
AC =CD =1，
3
1
AC = DC = AB ，
2
AB = 2 ，
BC = AB2 AC2 = 3 ，
BD = 3 1，
故答案为： 3 1．
（2）解： 大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，
1
四个直角三角形面积和为13 1=12 ，即 4 ab =12 ，
2
2ab =12 ， a2 + b2 =13 ，
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab =13 +12 = 25 ．
故答案是：25．
（3）解：连接 AC 、CF ，
在正方形 ABCD 和正方形CEFG 中，
ACG = 45 ， FCG = 45 ，
ACF = 90 ，
BC = a ， CE = b ，
AC = 2a ， CF = 2b ，
由勾股定理得， AF = AC2 + CF 2 = 2a2 + 2b2 ，
ACF = 90 ， H 是 AF 的中点，
1
CH = 2a2 + 2b2 ，
2
1 2 2
故答案为： 2a + 2b ．
2
4
例 3
（★★★☆☆）（2020 浦东新区期末）如图，四边形 ABCD 中， BAD = BCD = 90 ，E 为
对角线 BD 的中点，连接 AE、CE ．
（1）求证： AE =CE ；
（2）若 AC = 8、BD =10 ，求 ACE 的面积．
【配题说明】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形判定与
性质.
【常规讲解】（1）证明： BAD = BCD = 90 ， E 为对角线 BD 的中点，
1 1
AE = BD ， CE = BD ，
2 2
AE =CE ；
（2）解：如图，过点 E 作 EG ⊥ AC ，
1
由（1）知， AE = CE = BD ， BD =10 ，
2
AE =CE = 5．
又 EG ⊥ AC ，
1
AG = CG = AC ．
2
又 AC = 8，
AG =CG = 4 ．
在直角 ABE 中， AE = 5， AG = 4 ，则由勾股定理知： EG = AE2 AG2 = 3．
1
S = AC EG =12 ．
2
5
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列各数组中，不是勾股数组的是 ( )
A．5，12，13 B．9，40，41 C．8，12，15 D．3，4，5
【配题说明】本题考查了勾股定理.
【常规讲解】解：解： A 、 52 +122 =132 ，是勾股数，故本选项错误．
B 、 92 + 402 = 412 ，是勾股数，故本选项错误．
C 、82 +122 152 ，不是勾股数，故本选项正确．
D 、 72 + 242 = 252 ，是勾股数，故本选项错误．
故选：C ．
练 1-2
（1）（★★★☆☆）（2019 浦东新区期末）已知：如图， ABC 中， ABC = 90 ，AC =10 ，
BC = 6 ， CD 平分 ACB 交 AB 于 D ．求 AD 的长；
（2）（★★★☆☆）（2020 上海期末）如图，已知正方形 ABCD 的面积为 4，正方形 FHIJ
的面积为 3，点 D、C、G、J、I 同一水平面上，则正方形 BEFG 的面积为 ．
【配题说明】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，数形结合并熟练掌握相关性质
及定理是解题的关键．
6
【常规讲解】（1）解：过 D 作 DE ⊥ AC 于点 E ．
ABC 中， ABC = 90 ， AC =10 ， BC = 6 ，
AB = AC2 BC2 = 8 ，
DB ⊥ BC ， DE ⊥ AC ，CD 平分 ACB ，
DE = DB ，
DBC = DEC = 90 ， CD =CD ，
Rt CBD Rt CED(HL) ，
BC = EC = 6 ，
AE = 4
设 AD = x ，则 DE = DB = 8 x ，
在 Rt ADE 中， AD2 = AE2 + DE2 ，
解得 AD = 5 ．
故 AD 的长是 5．
（2）解： 四边形 ABCD 、四边形 FHIJ 和四边形 BEFG 都是正方形，
BCG = BGF = GJF = 90 ， BG =GF ，
CBG + BGC = 90 ， JGF + BGC = 90 ，
CBG = JGF ，
在 BCG 和 GJF 中，
BCG = GJF
CBG = JGF ，
BG = GF
BCG GJF(AAS) ，
BC =GJ ，
正方形 ABCD 的面积为 4，正方形 FHIJ 的面积为 3，
BC2 = 4 ， FJ 2 = 3 ，
GJ 2 = 4 ，
在 Rt GJF 中，由勾股定理得：
7
FG2 =GJ 2 + FJ 2 = 4 + 3 = 7 ，
正方形 BEFG 的面积为 7．
故答案为：7．
练 1-3
（★★★☆☆）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm ，BC = 8cm ，现将直角边
AC 沿直线 AD 对折，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求CD 的长．
【配题说明】此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清
其中的等量关系．
【常规讲解】解： 两直角边 AC = 6cm ， BC = 8cm ，
在 Rt ABC 中，由勾股定理可知 AB =10 ，
现将直角边 AC 沿直线 AD 对折，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD = DE ，
AE = AC = 6 ，
BE =10 6 = 4，
设 DE =CD = x ， BD = 8 x ，
在 Rt BDE 中，根据勾股定理得： 2 2 2BD2 = DE2 + BE2 ，即 (8 x) = x + 4 ，
解得 x = 3．
即 CD 的长为3cm ．
8
知识点 2——勾股定理 定理
知识笔记
勾股定理 定理
（1）如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是___________；
利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形；
（2）在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边
的平方和等于较小两边的平方和．
【填空答案】
直角三角形
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2015 闵行区期末）下列各组数据是线段的长，其中能作为直角三角形
的三边的是 ( )
A． 2 、 3 、1 B． 2 、 3 、2
C． 2 、 3 、3 D． 2 、 3 、4
（2）（★★☆☆☆）（2015 徐汇区期末）如果关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx + (a + c) = 0
有两个相等的实数根，其中 a、b、c 是 ABC 的三边长，那么 ABC 的形状是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【配题说明】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 ，
那么这个三角形就是直角三角形．
【常规讲解】（1）解：因为 ( 2)2 +12 = ( 3)2 ，所以，以 2 、1、 3 为三边的三角形为直
角三角形．
故选： A ．
（2）解： 关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx + (a + c) = 0 有两个相等的实数根，
9
= 0 ( 2b)2 4(a c)(a + c) = 0
，即 ，
a c 0 a c
解得： a2 = b2 + c2 且 a c ．
又 a 、b 、 c 是 ABC 的三边长，
ABC 为直角三角形．
故选： A ．
例 2
（1）（★★★☆☆）（2014 浦东新区期中）如图，在 4 3的正方形网格中， ABC 与 DEC
的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，则 BAC + CDE = 度．
（2）如图，在四边形 ABCD 中，AC ⊥CD ， ADC 的面积为30cm2 ，DC =12cm ，AB = 3cm ，
BC = 4cm ，
①试判断 ABC 的形状；
②求 ABC 的面积．
【配题说明】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形就是
直角三角形．
【常规讲解】（1）解： BF =CF ，CK = EK ，
FBC = CEK = 45 ，
1+ BAC = 45 ， 2 + CDE = 45 ，
连接 AD 、 BE ，
BC2 = 22 + 22 = 8， CE2 =12 +12 = 2 ， BE2 = 32 +12 =10 ，
BC2 + CE2 = BE2 ，
10
BCE = 90 ，
AD2 = 32 +12 =10 ， CD2 = 32 +12 =10， AC2 = 42 + 22 = 20，
AD2 + CD2 = AC2 ，
ADC = 90 ，
ACD = 45 ，
1+ 2 = 45 ，
BAC + CDE = 45 ，
故答案为：45．
（2）解：如右图所示，
① CD =12 ，
1 1
S ACD = CD AC = 12 AC = 30，
2 2
AC = 5 ，
又 BC = 4， AB = 3 ，
BC2 + AB2 = 25 = AC2 ，
ABC 是直角三角形；
②由①知 ABC 是直角三角形，
1 1
S ABC = AB BC = 3 4 = 6 ．
2 2
例 3
（★★★☆☆）（2000 上海）如图，公路 AB 和公路 CD 在点 P 处交会，且 APC = 45 ，点
Q 处有一所小学， PQ =120 2m ，假设拖拉机行驶时，周围130m 以内会受到噪声的影响，
11
那么拖拉机在公路 AB 上沿 PA 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受
影响，已知拖拉机的速度为 36km / h ，那么学校受影响的时间为多少秒？
【配题说明】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【常规讲解】解：过Q 作QH ⊥ PA 于 H ，
APC = 45 ，
HQP = 45 ．
PHQ 为等腰直角三角形．
PQ =120 2m
PH 2 + HQ2 = PQ2 ，
PH = HQ =120m 130m ．故学校会受到噪声的影响．
设拖拉机行至 E 处开始影响学校，在 F 处结束影响，则QE =QF =130m ，
由勾股定理可得： EH = FH = 1302 1202 = 50(m)
36000m
EF =100m ，又 V拖 = 36km / h = =10m / s
3600s
学校受影响的时间为100 10 =10(s) ．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）（2020 浦东新区期末）三角形三边长分别为①3，4，5；②5，12，13；
③17，8，15；④1，3， 2 2 ．其中直角三角形有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12
（2）（★★☆☆☆）（2014 金山区期末）已知三角形的两边长分别是 6 和 8，第三边的长是
方程 x2 10x = 2 7(x 10) 的根，求这个三角形最大边上的中线长．
【配题说明】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足
a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形就是直角三角形．
【常规讲解】（1）解：①32 + 42 = 52 ，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
② 52 +122 =132 ，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82 +152 =172 ，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
_)2
④12 + (2 2 = 32 ，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选： D ．
（2）解： x2 10x = 2 7(x 10) ，
即： x(x 10) = 2 7(x 10) ，
x =10 或 2 7 ，
①当 x =10 时， 62 + 82 =102 ，
该三角形为直角三角形，
最大边上的中线即为斜边中线为斜边长一半= 5 ；
②当 x = 2 7 时， 6
2 + (2 7)2 = 82 ，
该三角形为直角三角形，
最大边上的中线即为斜边中线为斜边长一半= 4 ．
答：这个三角形最大边上的中线长为 4 或 5．
练 2-2
（★★★☆☆）已知：如图，在四边形 ABCD 中， B = 90 ，AB = BC = 2 ，CD = 3 ，AD =1，
求 DAB 的度数．
【配题说明】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是
连接 AC ，并证明 ACD 是直角三角形．
13
【常规讲解】解： B = 90 ， AB = BC = 2 ，
AC = AB2 + BC2 = 2 2 ， BAC = 45 ，
又 CD = 3 ， DA =1，
AC2 + DA2 = 8 +1= 9 ， CD2 = 9 ，
AC2 + DA2 =CD2 ，
ACD 是直角三角形，
CAD = 90 ，
DAB = 45 + 90 =135 ．
故 DAB 的度数为135 ．
练 2-3
（★★★☆☆）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ( )
A．13 米 B．12 米 C．5 米 D． 119 米
【配题说明】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【常规讲解】解：如图所示，过 D 点作 DE ⊥ AB ，垂足为 E ，
AB =13 ， CD = 8 ，
又 BE =CD ， DE = BC ，
AE = AB BE = AB CD =13 8 = 5，
在 Rt ADE 中， DE = BC =12 ，
AD2 = AE2 + DE2 =122 + 52 =144 + 25 =169，
AD =13 （负值舍去），
答：小鸟飞行的最短路程为13m ．
故选： A ．
14
知识点 3——两点间距离公式
知识笔记
两点间距离公式
（1）如果平面内有两点 A(x ，y ) 、B(x ，y ) ，则 A、B 两点间的距离为：_____________； 1 1 2 2
（2）当 A(x 、1 ，y1 ) B(x ，y ) 两点同在 x 轴上或平行于 x 轴的直线上，则有2 2 y1 = y ，2
AB=_____________；
（3）当 A(x 、 两点同在 轴上或平行于 轴的直线上，则有 ，1 ，y1 ) B(x2 ，y2 ) y y x1 = x2
AB=_____________．
【填空答案】
(x x )2 + ( y y )2 ； | x1 x2 | | y y |1 2 1 2 ； 1 2
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）（2016 普陀区期末）已知直角坐标平面内的两点分别为 A(2, 1) 、B(5,3) ，
那么 A、B 两点的距离等于 ；
（2）（★★☆☆☆）（2015 长宁区期末）如果式子 (a +1)2 + (b 2)2 表示点 P(a,b) 和点Q
的距离，那么Q 点坐标是 ；
（3）（★★☆☆☆）（2016 闵行区期末）若平面内点 A( 1, 3) 、 B(5,b) ，且 AB =10 ，则b
的值为 ．
【配题说明】本题考查两点间的距离公式，两点 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，则这两点间的距
离为 AB = (x1 x
2
2 ) + (y1 y )
2 ． 2
15
【常规讲解】（1）解：由两点间的距离公式得， AB = (5 2)2 + (3 +1)2 = 5 ，
故答案为：5．
（2）解：由平面内两点间距离公式
PQ = (a +1)2 + (b 2)2 = (a ( 1))2 + (b 2)2
所以Q 点的坐标为 ( 1, 2) ．
（3）解：由题意可得，
( 1 5)2 + ( 3 b)2 =10 ，
解得，b = 11或b = 5 ，
故答案为： 11或 5．
例 2
（★★★☆☆）（2002 上海期末）已知平面上点 A( 1, 4) ， B(11,12) ， P( 5, y) ，点 P 到点
A 和点 B 的距离相等，求 y 的值．
【配题说明】本题考查的是两点间的距离公式，解答此题时要注意在解无理方程同解分式
方程一样，最后所得结果要代入原式进行验根．
【常规讲解】解： 平面上点 A( 1, 4) ，B(11,12) ，P( 5, y) ，点 P 到点 A 和点 B 的距离相等，
( 5 +1)2 + (y 4)2 = ( 5 11)2 + (y 12)2 ，两边平方，得
16 + y2 8y +16 = 256 + y2 24y +144 ．
解得 y = 23 ．
经检验： y = 23 是原方程的根．
例 3
（★★★☆☆）在平面直角坐标系中，点 A( 4 3, 0) ，点 B(a, 3a) ，则当 AB 取得最小值时，
a 的值为 .
【配题说明】本题考查了两点间的距离公式，配方法，熟练掌握两点间的进来了公式是解题
的关键．
【常规讲解】解： 点 A( 4 3, 0) ，点 B(a, 3a) ，
AB = ( 4 3 a)2 + ( 3a)2 = 2 (a + 3)2 + 9 ，
当 AB 取得最小值时， a 的值为 3 .
16
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）（2018 浦东新区期末）在直角坐标平面内，点 A( m, 5) 和点 B( m, 3)
之间的距离为 ；
（2）（★★☆☆☆）（2018 浦东新区期末）若点 P 在 x 轴上，点 A 坐标是 (2, 1) ，且 PA = 2 ，
则点 P 的坐标是 ．
【配题说明】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键．
【常规讲解】（1）解： 在直角坐标平面内，点 A( m, 5) ，点 B( m, 3)
AB = ( m + m)2 + (5 + 3)2 = 8 ；
（2）解：由题意设 P(x, 0) ，因为 PA = 2 ，
(2 x)2 + ( 1 0)2 = 2 ，
解得： x = 3或 x =1，
所以点 P 的坐标是 (3, 0) 或 (1, 0) ，
练 3-2
（★★★★☆）（2013 浦东新区期末）已知点 A 的坐标为 (1, 2) ，点 B 的坐标为 (4,1) ，在 x 轴
上求一点C ，使得点C 到 A 、 B 两点的距离相等．
【配题说明】此题考查点的坐标问题，关键是两点间距离公式的应用，考查计算能力．
【常规讲解】解：由图，已知点 A 的坐标为 (1, 2) ，点 B 的坐标为 (4,1) ，
连接 AB ，作 AB 的垂直平分线，交 x 轴于点C ，
AC = 22 +12 = 5 ，
BC = 22 +12 = 5 ；
AC = BC ，
点 C 就是所求的点，即C(2, 0) ．
17
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 奉贤区期末）在 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别是 a、b、c ，
下列条件中，不能说明 ABC 是直角三角形的是 ( )
A． A : B : C = 3: 4 :5 B． C = A B
b2C． = a
2 c2 D． a :b : c = 5 :12 :13
（2）（★★☆☆☆）（2020 南京期末）如图，在平面直角坐标系中，点 P 为 x 轴上一点，且
到 A(0, 2) 和点 B(5,5) 的距离相等，则线段 OP 的长度为 ( )
A．3 B．4 C．4.6 D． 2 5
【配题说明】本题考查轨迹，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【常规讲解】（1）解： A 、 A : B : C = 3: 4 :5 ，且 A + B + C =180 ，
5
所以 C =180 = 75 90 ，故 ABC 不是直角三角形；
3 + 4 + 5
18
B 、因为 C = A B ，即 A = B + C ，且 A + B + C =180 ，所以 2 A =180 ，
解得 A = 90 ，故 ABC 是直角三角形；
C 、因为b2 = a2 c2 ，所以 a2 = b2 + c2 ，故 ABC 是直角三角形；
D 、因为 a :b : c = 5 :12 :13 ，设 a = 5x ，b =12x ，c =13x ，(5x)2 + (12x)2 = (13x)2 ，故 ABC
是直角三角形．
故选： A ．
（2）解：设点 P(x, 0) ，
根据题意得， x2 + 22 = (5 x)2 + 52 ，
解得： x = 4.6 ，
OP = 4.6 ，
故选：C ．
练 2
（★★★☆☆）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形，如果正方形 A、B、C、D 的边长分别为 3，4，1，2．则最大的正方形 E 的面积
是 ．
【配题说明】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a ，b ，斜边
长为 c ，那么 a2 + b2 = c2 ．
【常规讲解】解：由勾股定理得，正方形 F 的面积 = 正方形 A 的面积 + 正方形 B 的面积
= 32 + 42 = 25，
同理，正方形G 的面积 = 正方形 C 的面积+ 正方形 D 的面积= 22 +12 = 5 ，
正方形 E 的面积 = 正方形 F 的面积 + 正方形G 的面积= 30 ，
故答案为：30．
19
练 3
（★★★☆☆）已知平面直角坐标系内不同的两点 A(3a + 2, 4) 和 B(3, 2a + 2) 到 x 轴的距离相
等，则 a 的值为 ．
【配题说明】本题考查了角平分线的性质及其逆用；解题的关键是作辅助线，辅助线是证明
一道题的重中之重，然后利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理．
【常规讲解】解： 平面直角坐标系内的两点 A(3a + 2, 4) 和 B(3, 2a + 2) 到 x 轴的距离相等，
| 2a + 2 |= 4 ，
解得： a1 =1， a2 = 3 ．
当 a =1时，点 A 为 (5, 4) ，点 B 为 (3, 4) ，符合题意；
当 a = 3 时，点 A 为 ( 4, 4) ，点 B(3, 4) ，符合题意．
故答案为：1 或 3．
练 4
（★★★☆☆）已知：如图，在 ABC 中， C =120 ，边 AC 的垂直平分线 DE 与 AC 、 AB
分别交于点 D 和点 E ．
（1）作出边 AC 的垂直平分线 DE ；
（2）当 AE = BC 时，求 A 的度数．
【配题说明】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，线段垂直
平分线的作法，难度中等，熟记性质是解题的关键．
【常规讲解】解：（1）如图所示， DE 即为所求作的边 AC 的垂直平分线；
20
（2）如图，连接CE ，
DE 是 AC 的垂直平分线，
AE =CE ，
A = ACE ，
AE = BC ，
CE = BC ，
B = CEB ，
设 A = x ，
则 CEB = A + ACE = x + x = 2x ，
在 BCE 中， BCE =180 2 2x =180 4x ，
ACB = ACE + BCE = x +180 4x =120 ，
解得 x = 20 ，
即 A = 20 ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）（2015 上海校级月考）点 P 在 y 轴上，A(4,1) ，B(1, 4) ，如果 ABP 是直角三
角形，求点 P 的坐标．
【配题说明】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理，根据题意运用勾
股定理得出方程是解决问题的关键．
【常规讲解】解：设点 P 的坐标为 (0, x) ，
分两种情况：
①当点 B 为直角顶点时，点 P 在 y 轴正半轴，
作 AD ⊥ y 轴于 D ， BE ⊥ y 轴于 E ， BF ⊥ x 轴于 F ，如图 1 所示：
由勾股定理得： PB2 + AB2 = PA2 ，
即12 + (4 x)2 + 32 + 32 = (x 1)2 + 42 ，
21
解得： x = 3，
点 P 的坐标为 (0,3)
②当点 A 为直角顶点时，点 P 在 y 轴负半轴，
作 AD ⊥ y 轴于 D ， BE ⊥ y 轴于 E ，如图 2 所示：
由勾股定理得： PA2 + AB2 = PB2 ，
即 42 + (1 x)2 + 32 + 32 = (4 x)2 +12 ，
解得： x = 3，
点 P 的坐标为 (0, 3) ；
综上所述：如果 ABP 是直角三角形，点 P 的坐标为 (0,3) 或 (0, 3) ．
练 2
（★★★★☆）（2018 徐汇区期末）如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ，AC = 3 3 ，BC = 9 ，
点 Q 是边 AC 上的动点（点Q 不与点 A 、C 重合），过点Q 作QR / / AB ，交边 BC 于点 R ，
再把 QCR 沿着动直线QR 翻折得到 QCR ，设 AQ = x ．
（1）求 PRQ 的大小；
（2）当点 P 落在斜边 AB 上时，求 x 的值；
（3）当点 P 落在 Rt ABC 外部时，PR 与 AB 相交于点 E ，如果 BE = y ，请直接写出 y 关于
x 的函数关系式及定义域．
【配题说明】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质．解题时，充分利用了折叠的性质：
对应边、对应角都相等．
【常规讲解】解：（1）如图 1， 在 Rt ABC 中， C = 90 ，
22
AB = AC2 + BC2 = (3 3)2 + 92 = 6 3 ，
1
AC = AB ，
2
B = 30
QR / / AB ，
QRC = B = 30
PRQ = 30 ；
（2）如图 2，在 Rt ABC 中， C = 90 ， B = 30 ．
A = 60 ，同理，可得 CQR = 60 ， PQR = 60
AQP =180 60 60 ， APQ = 60
AQ = PQ = CQ ．
x = 3 3 x ．
3
x = 3 ；
2
3
（3） y = 3x ；定义域： 0 x 3 ；
2
补充： 由（1）、（2）可知 AFQ 是等边三角形， PEF = 30 ， AB = 2AC ，
AQ = AF =QF ， EF = 2PF ．
根据折叠的性质得到： PF =CQ QF ，
AE = AF + EF = AQ + 2(CQ AQ) ，
BE = AB AE = 2AC [AQ + 2(AC AQ AQ)] = 2AC AQ 2AC + 4AQ = 3AQ ，
y = 3x ．
3
点 P 在线段 AB 上时， x = 3 ，
2
3
该函数的定义域为 0 x 3 ．
2
2313 | 勾股定理、两点间距离公式
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握勾股定理的证明及应用
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握勾股定理逆定理的证明及应用
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握两点间距离公式
知识清单
勾 股定理
勾 股定理、两点间距离
公式 勾 股定理的 定理
两点间距离公式
156
知识点 1——勾股定理
知识笔记
勾股定理
直角三角形中，两条直角边的平方和，等于 斜边的平方；
在 Rt ABC 中， C = 90 ， a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边，则__________.
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）等边三角形的边长是 3，则此三角形的面积是___________；
（2）（★★☆☆☆）等腰三角形底边上的长为 2，腰长为 4，则它底边上的高为_________．
例 2
1
（1）（★★★☆☆）如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ，点 D 在 BC 上，且 AC = DC = AB ，
2
若 AD = 2 ，则 BD = ；
（2）（★★★☆☆）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正
方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为 1，大正方形面积为
13，直角三角形的两条直角边为 2a、b ，那么 (a + b) 的值是 ；
157
（3）（★★★☆☆）如图，正方形 ABCD 和正方形CEFG 中，点 D 在CG 上，BC = a ，CE = b ，
H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是 ．（用含 a、b 的代数式表示）
例 3
（★★★☆☆）如图，四边形 ABCD 中， BAD = BCD = 90 ，E 为对角线 BD 的中点，连接
AE、CE ．
（1）求证： AE =CE ；
（2）若 AC = 8、BD =10 ，求 ACE 的面积．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列各数组中，不是勾股数组的是 ( )
A．5，12，13 B．9，40，41 C．8，12，15 D．3，4，5
158
练 1-2
（1）（★★★☆☆）已知：如图， ABC 中， ABC = 90 ，AC =10 ，BC = 6 ，CD 平分 ACB
交 AB 于 D ．求 AD 的长；
（2）（★★★☆☆）如图，已知正方形 ABCD 的面积为 4，正方形 FHIJ 的面积为 3，点
D、C、G、J、I 同一水平面上，则正方形 BEFG 的面积为 ．
练 1-3
（★★★☆☆）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm ，BC = 8cm ，现将直角边
AC 沿直线 AD 对折，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求CD 的长．
159
知识点 2——勾股定理的 定理
知识笔记
勾股定理的 定理
（1）如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是___________；
利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形 ；
（2）在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边
的平方和等于较小两边的平方和．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列各组数据是线段的长，其中能作为直角三角形的三边的是 ( )
A． 2 、 3 、1 B． 2 、 3 、2
C． 2 、 3 、3 D． 2 、 3 、4
（2）（★★☆☆☆）如果关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx + (a + c) = 0 有两个相等的实数
根，其中 a、b、c 是 ABC 的三边长，那么 ABC 的形状是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，在 4 3的正方形网格中， ABC 与 DEC 的顶点都在边长为 1 的
小正方形的顶点上，则 BAC + CDE = 度．
160
（2）（★★★☆☆）如图，在四边形 ABCD 中，AC ⊥CD ， ADC 的面积为30cm2 ，DC =12cm ，
AB = 3cm ， BC = 4cm ，
①试判断 ABC 的形状；
②求 ABC 的面积．
例 3
（★★★☆☆）如图，公路 AB 和公路CD 在点 P 处交会，且 APC = 45 ，点Q 处有一所小学，
PQ =120 2m ，假设拖拉机行驶时，周围130m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路
AB 上沿 PA 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机
的速度为36km / h ，那么学校受影响的时间为多少秒？
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）三角形三边长分别为①3，4，5；②5，12，13；③17，8，15；④1，3，
2 2 ．其中直角三角形有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
161
（ 2 ） （ ★★☆☆☆ ） 已 知 三 角 形 的 两 边 长 分 别 是 6 和 8 ， 第 三 边 的 长 是 方 程
x2 10x = 2 7(x 10) 的根，求这个三角形最大边上的中线长．
练 2-2
（★★★☆☆）已知：如图，在四边形 ABCD 中， B = 90 ，AB = BC = 2 ，CD = 3 ，AD =1，
求 DAB 的度数．
练 2-3
（★★★☆☆）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ( )
A．13 米 B．12 米 C．5 米 D． 119 米
162
知识点 3——两点间距离公式
知识笔记
两点间距离公式
（1）如果平面内有两点 A(x ，y ) 、B(x ，y ) ，则 A、B 两点间的距离为：_____________； 1 1 2 2
（2）当 A(x ，y ) 、 B(x ，y ) 两点同在 x 轴上或平行于 x 轴的直线上，则有1 1 2 2 y1 = y ，2
AB=_____________；
（3）当 A(x ，y ) 、B(x ，y ) 两点同在 y 轴上或平行于 y 轴的直线上，则有 x = x ，1 1 2 2 1 2
AB=_____________．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）已知直角坐标平面内的两点分别为 A(2, 1) 、B(5,3) ，那么 A、B 两点的
距离等于 ；
（2）（★★☆☆☆）如果式子 (a +1)2 + (b 2)2 表示点 P(a,b) 和点Q 的距离，那么 Q 点坐标
是 ；
（3）（★★☆☆☆）若平面内点 A( 1, 3) 、 B(5,b) ，且 AB =10 ，则b 的值为 ．
例 2
（★★★☆☆）已知平面上点 A( 1, 4) ， B(11,12) ， P( 5, y) ，点 P 到点 A 和点 B 的距离相
等，求 y 的值．
163
例 3
（★★★☆☆）在平面直角坐标系中，点 A( 4 3, 0) ，点 B(a, 3a) ，则当 AB 取得最小值时，
a 的值为 .
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）在直角坐标平面内，点 A( m, 5) 和点 B( m, 3) 之间的距离为 ；
（2）（★★☆☆☆）若点 P 在 x 轴上，点 A 坐标是 (2, 1) ，且 PA = 2 ，则点 P 的坐标
是 ．
练 3-2
（★★★★☆）已知点 A 的坐标为 (1, 2) ，点 B 的坐标为 (4,1) ，在 x 轴上求一点C ，使得点C
到 A 、 B 两点的距离相等．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）在 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别是 a、b、c ，下列条件中，不
能说明 ABC 是直角三角形的是 ( )
A． A : B : C = 3: 4 :5 B． C = A B
b2 = a2 c2C． D． a : b : c = 5 :12 :13
164
（2）（★★☆☆☆）如图，在平面直角坐标系中，点 P 为 x 轴上一点，且到 A(0, 2) 和点 B(5,5)
的距离相等，则线段OP 的长度为 ( )
A．3 B．4 C．4.6 D． 2 5
练 2
（★★★☆☆）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形，如果正方形 A、B、C、D 的边长分别为 3，4，1，2．则最大的正方形 E 的面积
是 ．
练 3
（★★★☆☆）已知平面直角坐标系内不同的两点 A(3a + 2, 4) 和 B(3, 2a + 2) 到 x 轴的距离相
等，则 a 的值为 ．
165
练 4
（★★★☆☆）已知：如图，在 ABC 中， C =120 ，边 AC 的垂直平分线 DE 与 AC 、 AB
分别交于点 D 和点 E ．
（1）作出边 AC 的垂直平分线 DE ；
（2）当 AE = BC 时，求 A 的度数．
【B组】
练 1
（★★★★☆）点 P 在 y 轴上， A(4,1) ， B(1, 4) ，如果 ABP 是直角三角形，求点 P 的坐标．
166
练 2
（★★★★☆）如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ， AC = 3 3 ， BC = 9 ，点Q 是边 AC 上的动
点（点 Q 不与点 A 、C 重合），过点 Q 作QR / / AB ，交边 BC 于点 R ，再把 QCR 沿着动直
线 QR 翻折得到 QCR ，设 AQ = x ．
（1）求 PRQ 的大小；
（2）当点 P 落在斜边 AB 上时，求 x 的值；
（3）当点 P 落在 Rt ABC 外部时，PR 与 AB 相交于点 E ，如果 BE = y ，请直接写出 y 关于
x 的函数关系式及定义域．
课堂总结
16710 | 证明举例-辅助线添加
学习目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 通过添加辅助线构造全等三角形解决问题
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 通过倍长中线构造全等三角形解决问题
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 通过截长补短构造全等三角形解决问题
知识清单
证 明举例 辅助线添加 线
【考情分析】
1．添加辅助线是几何证明部分，属于图形与几何板块，占期末考分值约 20%；
2．主要考察添加辅助线构造全等三角形，以解答题为主；
3．对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明；
4．本节课需要运用七年级的全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添
加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大；通过这节课的学习一
方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直
角三角形性质奠定基础。
1
课堂引入
【课堂引入】
同学们是否还记得七年级学习过的全等三角形的判定定理与性质？
全等三角形的判定定理主要是已知条件为“两边及夹角对应相等（SAS）”，“两角及夹边
对应相等（ASA）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”“三边对应相等（SSS）”
的两个三角形全等.
知识点 1——
知识笔记
常用辅助线
（1）联结两个点得到线段；
（2）过某一点做_________或者垂线；
（3）延长某一条线段，构造特殊的三角形．
【填空答案】
平行线
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图， ABC 中， D 是 BC 边的中点，过点 D 的直线交 AB 于点 E ，交 AC 的
延长线于点 F ，且 BE =CF ．求证： AE = AF ．
2
【配题说明】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构
造出全等三角形是解题的关键．
【常规讲解】证明：过点C 作 CG / / AB 交 EF 于 G ，
AEF = CGF ， B = DCG ，
在 CDG 和 BDE 中
B = DCG
CD = BD
CDG = BDE
CDG BDE(ASA) ，
CG = BE ，
BE =CF ，
CF =CG ，
F = CGF ，
F = AEF ，
AE = AF ．
例 2
（★★★☆☆）如图，两个全等的含 30 、 60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放置在一起，
DEA = ACB = 90 ， DAE = ABC = 30 ，E 、 A 、C 三点在一条直线上，连接 BD ，取
BD 中点 M ，连接 ME 、 MC ，试判断 EMC 的形状，并说明理由．
【配题说明】主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目有一定的难度．
【常规讲解】解： EMC 的形状是等腰直角三角形，
理由是：连接 AM ，
3
8 = 30 ， 9 = 60 ，
DAB =180 30 60 = 90 ，
M 为 BD 中点，AD = AB（已知两个全等的含 30 、60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放
置在一起），
AM ⊥ BD （等腰三角形底边的高也平分底边）
AM = BM = DM （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）
1
5 = 6 = (180 90 ) = 45 ， 4 = BDA = 45 ，
2
7 = 30 ，
MBC = 45 + 30 = 75 ，
同理 MAE = 75 = MBC ，
在 BCM 和 AEM 中
BM = AM
MBC = MAE ，
BC = AE
BCM AEM (SAS) ，
EM =CM ， 3 = 2 ，
AM ⊥ BD ，
1+ 2 = 90 ， 1+ 3 = 90 ，
EMC 是等腰直角三角形．
例 3
（★★★☆☆）如图，在 ABC 中， A = 90 ， AB = AC ， BD 平分 ABC ，交 AC 于点 D ，
过 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E ．求证： BD = 2CE ．
4
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，会
利用一些简单的辅助线辅助解题．
【常规讲解】证明：如图所示，延长 BA ，CE 交于点 F ，
ABD + ADB = 90 ， CDE + ACF = 90 ，
ABD = ACF ，
又 AB = AC ，
在 Rt ABD 和 Rt ACF 中，
DBA = ACF
AB = AC ，
BAD = CAF
Rt ABD Rt ACF ，
BD =CF ，
在 Rt FBE 和 Rt CBE 中，
BD 平分 ABC ，
BCF = F ，
BEC = 90 ，
BEF = BEC = 90 ，
BE = BE ，
Rt FBE Rt CBE ，
EF = EC ，
CF = 2CE ，
即 BD = 2CE ．
5
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，点 P 在边 AB 上，过点 P 作 PE ⊥ AC ，
垂足为点 E ， Q 为 BC 延长线上一点，当 PA =CQ 时，连接 PQ 交边 AC 于点 D ，求 DE 的
长．
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性
质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常
考题型．
【常规讲解】解：过 P 作 PF / /BC 交 AC 于 F ，如图所示：
则 PFD = QCD ， APF = B ， AFP = ACB ，
ABC 是等边三角形，
A = B = ACB = 60 ， AC = 2 ，
APF = AFP = A ，
APF 是等边三角形，
PA = FP = AF ，
PA =CQ ，
FP =CQ ，
在 PFD 和 QCD 中，
PFD = QCD
PDF = QDC ，
FP = CQ
PFD QCD(AAS) ，
DF = DC ，
PE ⊥ AC ， APF 是等边三角形，
AE = FE ，
6
1
DF + EF = DC + AE = AC =1 ，
2
即 DE =1 ．
v
练 1-2
（★★★☆☆）在 ABC 中，AB = AC ， BAC = 90 ，直角 EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，两
边 PE 、 PF 分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F ．
1
求证：（1） AE =CF ；（2） S = S ．
四边形AEPF ABC
2
【配题说明】考察三角形全等判定和性质的综合运用．
【常规讲解】证明：（1）连接 AP ．
在 ABC 中， AB = AC ， BAC = 90 ，直角 EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，
B = C = 45 ，AP = PC = BP ；
在直角三角形 ABP 中， B = BAP = 45 ；
在直角三角形 APC 中， PAC = C = 45 ；
EAP = C = 45 ；
FPE = APC = 90 ，
CPF = APE ；
在 AEP 与 CPF 中，
7
EAP = C = 45 ，
AP =CP ，
CPF = APE ，
AEP CPF(ASA) ，
AE =CF （全等三角形的对应边相等）；
（2） AEP CPF ，
S AEP = S CPF （全等三角形的面积相等）；
又 S = S + S四边形AEPF AEP AFP ，
1
S = S = S
四边形AEPF APC ABC ；
2
1
即 S = S四边形AEPF ABC ．
2
练 1-3
（★★★☆☆）如图，点 D 是 ABC 的边 BC 中点，将一把直角三角尺的直角顶点放于 D 处，
其两条直角边分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F ．试比较 BE + CF 与 EF 的大小，并说明理由．
【配题说明】考察三角形全等判定和性质的综合运用．
【常规讲解】解： BE + CF EF ．
理由：作 BG / /AC ，交 FD 的延长线于G ，
DBG = DCF ．
D 为 BC 的中点，
BD =CD
又 BDG = CDF ，
在 BGD 与 CFD 中，
DBG = DCF
BD = CD
BDG = CDF
8
BGD CFD(ASA) ．
GD = FD ， BG =CF ．
又 DE ⊥ FG ，
EG = EF （垂直平分线到线段端点的距离相等）．
在 EBG 中， BE + BG EG ，
即 BE + CF EF ．
知识点 2—— 线
知识笔记
线
遇到中点，通过_____________构造全等的三角形．
【填空答案】
倍长中线
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图，已知 ABC 中， D 是 BC 的中点， ED ⊥ DF ．求证： BE + CF EF ．
9
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中
证明 BDE CDG 是解题的关键．
【常规讲解】解：延长 ED ，使 DG = DE ，连接CG 、 FG ，
D 为 BC 的中点，
BD =CD ，
在 BDE 和 CDG 中，
BD = CD
BDE = CDG ，
ED =GD
BDE CDG(SAS) ，
BE =CG ，
EF = FG ，
CG + CF FG ，
BE + CF EF ．
例 2
（★★★☆☆）如图，已知：CD = AB ， BAD = BDA ，AE 是 ABD 的中线，求证：AC = 2AE ．
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线
是解题的关键．
【常规讲解】证明：延长 AE 至 F ，使 AE = EF ，连接 BF ，
在 ADE 与 BFE 中，
10
AE = EF
AED = BEF ，
DE = BE
AED FEB ，
BF = DA ， FBE = ADE ，
ABF = ABD + FBE ，
ABF = ABD + ADB = ABD + BAD = ADC ，
在 ABF 与 ADC 中，
AB = CD
ABF = ADC ，
BF = AD
ABF CDA ，
AC = AF ，
AF = 2AE ，
AC = 2AE ．
例 3
（★★★★☆）如图，向 ABC 外作正方形 ABEF 和 ACGH ，点 M 是 BC 边的中点，求证：
FH = 2AM ．
【配题说明】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及平行四边形的判
定与性质，作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的关键．
【常规讲解】证明：在 AM 的延长线上取点 N ，使 AM = MN ，连接 BN 、CN
M 是 BC 的中点， AM = MN ，
11
四边形 ABNC 是平行四边形 ABNC ，（对角线互相平分）
CN = AB ， BAC + ACN =180 ，
四边形 ABEF 、 ACGH 是正方形，
AF = AB ， AH = AC ， BAF = CAH = 90 ，
AF =CN ， BAC + FAH = 360 BAF CAH =180 ，
FAH = ACN ，
在 ACN 和 AHF 中，
AF = CN
FAH = ACN ，
AH = AC
ACN AHF (SAS)
FH = AN ，
AN = AM + MN = 2AM ，
FH = 2AM ．
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）已知，如图 ABC 中， AB = 5 ， AC = 3 ，则中线 AD 的取值范围是 ．
【配题说明】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形的，把 AB 、 AC 和
AD 转化到一个三角形中是解题的关键．
【常规讲解】解：延长 AD 到点 E ，使 AD = ED ，连接CE ，
AD 是 ABC 的中线，
12
BD =CD ，
在 ABD 和 ECD 中
AD = ED
ADB = EDC
BD = CD
ABD ECD(SAS) ，
AB = EC ，
在 AEC 中， AC + EC AE ，且 EC AC AE ，
即 AB + AC 2AD， AB AC 2AD ，
2 2AD 8，
1 AD 4 ，
故答案为：1 AD 4 ．
练 2-2
（★★★☆☆）如图，已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上一点，延长 BF 交
AC 于 E ，且 AE = EF ，求证： BF = AC ．
【配题说明】题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利
用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．
【常规讲解】证明：如图，延长 AD 到点G ，使得 AD = DG ，连接 BG ．
AD 是 BC 边上的中线（已知），
DC = DB ，
13
在 ADC 和 GDB 中，
AD = DG
ADC = GDB (对顶角相等)
DC = DB
ADC GDB(SAS) ，
CAD = G ， BG = AC
又 BE = AC ，
BE = BG ，
BED = G ，
BED = AEF ，
AEF = CAD ，
即： AEF = FAE ，
AF = EF ．
练 2-3
（★★★★☆）如图，在 ABC 中，AD 是中线，DE ，DF 分别平分 ADB 和 ADC 交 AB ，
AC 于点 E ， F ．试判断 BE + CF 与 EF 的关系．
【配题说明】本题主要考查了中线倍长辅助线与全等三角形的判定的综合运用．
【常规讲解】解： BE + CF EF ，理由如下：
如图，过点 B 作 BH / / AC 交 FD 的延长线于 H ，连接 EH ，
14
则 C = DBH ，
在 ABC 中， AD 是中线，
BD =CD ，
C = DBH
在 BDH 和 CDF 中， BD = CD ，
BDH = CDF
BDH CDF(ASA) ，
CF = BH ， DF = DH ，
DE 平分 ADB ， DF 平分 ADC ，
1
EDF = 180 = 90 ，
2
ED ⊥ DF ，
ED 垂直平分 FH ，
EF = EH （三线合一），
由三角形的三边关系得， BE + BH EH ，
BE + CF EF ．
15
知识点 3——
知识笔记
（1）截长法：过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再
证剩下的线段与另一短边相等；
（2）补短法：延长_____________；通过旋转等方式使两短边拼合到一起.
【填空答案】
短边
经典例题
例 1
（★★★★☆）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1，在 ABC 中，AD 平分 BAC ， B = 2 C ．求
证： AB + BD = AC ．”
李老师给出了如下简要分析：要证 AB + BD = AC ，就是要证线段的和差问题，所以有两个
方法：
方法一：“截长法”．如图 2，在 AC 上截取 AE = AB ，连接 DE ，只要证 BD = 即可，
这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ △ ，得出
B = AED 及 BD = ，再证出 = ，进而得出 ED = EC ，则结论成立．此种证
法的基础是“已知 AD 平分 BAC ，将 ABD 沿直线 AD 对折，使点 B 落在 AC 边上的点 E
处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图 3，延长 AB 至点 F ，使 BF = BD ．只要证 AF = AC 即可，此时
先证 = C ，再证出△ △ ，则结论成立．
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
16
【配题说明】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定，角平分线的性质，掌握折叠的性质
是本题的关键．
【常规讲解】解：方法一、在 AC 上截取 AE = AB ，连接 DE ，如图 2 :
AD 平分 BAC ，
BAD = DAC ，
在 ABD 和 AED 中，
AE = AB
BAD = DAC ，
AD = AD
ABD AED(SAS) ，
B = AED ， BD = DE ，
又 B = 2 C ，
AED = 2 C ，
而 AED = C + EDC = 2 C ，
C = EDC ，
DE =CE ，
AB + BD = AE + CE = AC ，
故答案为： EC ，转化， ABD ， AED ， DE ， EDC ， C ；
方法二、如图 3，延长 AB 至点 F ，使 BF = BD ，
F = BDF ，
ABD = F + BDF = 2 F ，
ABD = 2 C ，
F = C ，
在 AFD 和 ACD 中，
FAD = CAD
F = C ，
AD = AD
AFD ACD(AAS) ，
17
AC = AF ，
AC = AB + BF = AB + BD ，
故答案为 F ， AFD ， ACD ．
例 2
（★★★★☆）如图 BAD = CAE = 90 ， AB = AD ， AE = AC ， AF ⊥CB ，垂足为 F ．
（1）求证： ABC ADE ；
（2）求 FAE 的度数；
（3）求证：CD = 2BF + DE ．
【配题说明】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【常规讲解】证明：（1） BAD = CAE = 90 ，
BAC + CAD = 90 ， CAD + DAE = 90 ，
BAC = DAE ，
在 BAC 和 DAE 中，
AB = AD
BAC = DAE ，
AC = AE
BAC DAE(SAS) ；
（2） CAE = 90 ， AC = AE ，
E = 45 ，
由（1）知 BAC DAE ，
BCA = E = 45 ，
AF ⊥ BC ，
CFA = 90 ，
CAF = 45 ，
18
FAE = FAC + CAE = 45 + 90 =135 ；
（3）延长 BF 到G ，使得 FG = FB ，
AF ⊥ BG ，
AFG = AFB = 90 ，
在 AFB 和 AFG 中，
BF = GF
AFB = AFG ，
AF = AF
AFB AFG(SAS) ，
AB = AG ， ABF = G ，
BAC DAE ，
AB = AD ， CBA = EDA ，CB = ED ，
AG = AD ， ABF = CDA，
G = CDA，
GCA = DCA = 45 ，
在 CGA 和 CDA 中，
GCA = DCA
CGA = CDA，
AG = AD
CGA CDA(AAS) ，
CG =CD ，
CG =CB + BF + FG =CB + 2BF = DE + 2BF ，
CD = 2BF + DE ．
19
例 3
（★★★★☆）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，EF ⊥ AE 交 DCE 外角的平分线于
F ．
（1）求证： AE = EF ；
（2）如图，当 E 是 BC 上任意一点，而其它条件不变，AE = EF 是否仍然成立？若成立，请
证明，若不成立，请说明理由．
【配题说明】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．
【常规讲解】（1）证明：取 AB 的中点 H ，连接 EH ；
ABCD 是正方形，
AE ⊥ EF ；
1+ AEB = 90 ，
2 + AEB = 90
1= 2 ，
BH = BE ， BHE = 45 ，
且 FCG = 45 ，
AHE = ECF =135 ， AH =CE ，
AHE ECF ，
AE = EF ；
（2）解：成立．
在 AB 上取 BH = BE ，连接 EH ，
ABCD 为正方形，
AB = BC ，
BE = BH ，
AH = EC ，
20
1= 2 ， AHE = ECF =135 ，
AHE ECF ，
AE = EF ．
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）如图，点 D 是 ABC 三条角平分线的交点， ABC = 68 ，
（1）求证： ADC =124 ；
（2）若 AB + BD = AC ，求 ACB 的度数．
【配题说明】此题考查了全等三角形的判定与性质，有一定难度，关键是仔细理解题意，作
出辅助线，要熟练掌握全等三角形的判定定理．
【常规讲解】解：（1）证明： ABC = 68 ，
BAC + ACB =180 68 =112 ，
AD ， CD 是角平分线，
1
DAC + ACD = ( BAC + ACB) = 56 ，
2
ADC =180 ( DAC + ACD) =180 56 =124 ．
（2）解：在 AC 上截取 AE = AB ，连接 DE ，
21
AC = AB + BD ，
EC = BD ，
AB = AE
在 ABD 和 AED 中， DAC = BAD ，
AD = AD
ABD AED ，
BD = ED ，
DE = EC ，
EDC = ECD ，
1
ACB = EDC + ECD = AED = ABD = ABC = 34 ．
2
练 3-2
（★★★☆☆）如图，已知 AP / /BC ， PAB 的平分线与 CBA的平分线相交于点 E ，CE 的
连线交 AP 于点 D ，求证： AD + BC = AB ．
【配题说明】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作
法，注意数形结合思想的应用．
【常规讲解】证明：如图，在 AB 上截取 AF = AD ，连接 EF ，
AE 平分 PAB ，
DAE = FAE ，
在 DAE 和 FAE 中，
AD = AF
DAE = FAE ，
AE = AE
22
DAE FAE(SAS) ，
AFE = ADE ，
AD / /BC ，
ADE + C =180 ，
AFE + EFB =180 ，
EFB = C ，
BE 平分 ABC ，
EBF = EBC ，
在 BEF 和 BEC 中，
EFB = C
EBF = EBC ，
BE = BE
BEF BEC(AAS) ，
BC = BF ，
AD + BC = AF + BF = AB ．
证法二：如图，延长 AE 交 BC 的延长线于 M ，
AE 平分 PAB ， BE 平分 CBA，
1= 2 ， 3 = 4 ，
AD / /BC
1= M = 2， 1+ 2 + 3 + 4 =180
BM = BA ， 3 + 2 = 90 ，
BE ⊥ AM ，
在 ABE 和 MBE 中，
3 = 4
BE = BE ，
AEB = MEB
ABE MBE(ASA) ，
AE = ME ，
在 ADE 和 MCE 中，
1= M
AE = ME ，
5 = 6
ADE MCE(ASA) ，
23
AD =CM ，
AB = BM = BC + AD ．
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）如图， ABC 中， B = 60 ， BAC ， ACB 的平分线 AD ， CE 交于点O ，
说明 AE + CD = AC 的理由．
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理
【常规讲解】证明：在 AC 上取 AF = AE ，连接OF ，
则 AEO AFO(SAS) ，
AOE = AOF ；
AD 、 CE 分别平分 BAC 、 ACB ，
24
1
ECA + DAC = (180 B) = 60 ，
2
则 AOC =180 ECA DAC =120 ；
AOC = DOE =120 ， AOE = COD = AOF = 60 ，（对顶角相等）
则 COF = 60 ，
COD = COF ，
又 FCO = DCO ，CO =CO ，
FOC DOC(ASA) ，
DC = FC ，
AC = AF + FC ，
AC = AE + CD ．
练 2
（★★☆☆☆）如图，在四边形 ABCD 中， AB / /CD ， E 是边 AD 上的点， BE 平分 ABC ，
CE 平分 BCD ．
求证：（1） BE ⊥CE ；（2） BC = AB +CD ．
【配题说明】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，
证明 BE ⊥CE 并作出辅助线是解题的关键．
【常规讲解】（1）证明： AB / /CD ，
ABC + DCB =180 ，
BE 平分 ABC ， CE 平分 BCD ，
1 1
EBC = ABC ， ECB = BCD ，
2 2
1
EBC + ECB = ( ABC + BCD) = 90 ，
2
BEC =180 ( EBC + ECB) =180 90 = 90 ，
BE ⊥CE ，
（2）证明：如图，延长 BE 交CD 延长线于 F ，
25
BEC = 90 ，
CE ⊥ BF ，
CE 平分 BCD ，
BCE = FCE ，
在 BCE 与 FCE 中，
BCE = FCE
EC = EC ，
BEC = FEC = 90
BCE FFE(ASA) ，
BC = FC ， BE = FE ，
AB / /CD ，
ABE = F ，
在 ABE 与 FDE 中，
ABE = F
BE = FE ，
AEB = FED
ABE FDE(ASA) ，
AB = DF ，
BC =CF =CD + DF =CD + AB ，
即 BC = AB +CD ．
练 3
（★★★☆☆）如图，已知在 ABC 中， AB = AC ， A =100 ， CD 是 ACB 的平分线．
（1） ADC = ；
（2）求证： BC =CD + AD ．
26
【配题说明】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解
题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定的难度．
【常规讲解】（1）解： AB = AC ， A =100 ，
1
ABC = ACB = (180 A) = 40 ，
2
CD 平分 ACB ，
1
ACD = BCD = ACB = 20 ，
2
ADC =180 A ACD =180 100 20 = 60 ，
故答案为 60 ；
（2）证明：延长CD 使 CE = BC ，连接 BE ，
1
CEB = CBE = (180 BCD) = 80 ，
2
EBD = CBE ABC = 80 40 = 40 ，
EBD = ABC ，
在 CB 上截取CF = AC ，连接 DF ，
在 ACD 和 FCD 中，
AC = CF
ACD = FCD = 20 ，
CD = CD
ACD FCD(SAS) ，
AD = DF ，
DFC = A =100 ，
BDF = DFC ABC =100 40 = 60 ，
EDB = ADC = 60 ，
EDB = BDF ，
EBD = FBD = 40 ，
在 BDE 和 BDF 中，
27
EDB = BDF
BD = BD ，
EBD = FBD
BDE BDF(ASA) ，
DE = DF = AD ，
BC =CE = DE + CD ，
BC = AD + CD ．
练 4
（★★★☆☆）如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD ， B + D =180 ，E ，F 分别是边 BC ，
1
CD 上的点，且 EAF = BAD ，求证： EF = BE + FD ．
2
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定与性质；通过构造全等三角形来实现线段的转换
是解题的关键，属于中考常考题型．
【常规讲解】证明：延长CB 至 M ，使 BM = FD ，连接 AM ，如图所示：
ABC + D =180 ， ABM + ABC =180 ，
ABM = D ，
在 ABM 与 ADF 中，
AB = AD
ABM = D ，
BM = DF
ABM ADF (SAS) ，
AF = AM ， BAM = DAF ，
28
1
EAF = BAD ，
2
1
DAF + BAE = BAD = FAE ，
2
BAM + BAE = EAF ，
即 MAE = EAF ，
在 AME 与 AFE 中，
AM = AF
MAE = FAE ，
AE = AE
AME AFE(SAS) ，
EF = ME ，
ME = BE + BM ，
EF = BE + FD ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，在 ABC 的边上取两点 D 、E ，且 BD =CE ，求证：AB + AC AD + AE ．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用．
【常规讲解】 取BC中点M ，连AM 并延长至N ，使MN = AM ，
连BN 、DN ，延长ND交AB于P ．
BD =CE， DM = EM ．
29
AM = MN
在△AEM 与△NDM 中， AME = NMD
EM = DM
DMN≌ EMA(S.A.S )， DN = AE ．
同理可证：BN =CA ．
BN + BP PN ，DP + PA AD ， BN + BP + DP + PA PN + AD ．
BN + AB DN + AD， AB + AC AD + AE ．
A
P
B D M E C
N
练 2
（★★★★☆）如图，已知等边 ABC 和等边 ADE ， F 是 AE 的中点，G 是CD 的中点，求
证： BE = 2FG ．
【配题说明】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，熟练
掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【常规讲解】解：如图，延长 DF 至点 H ，使 DF = FH ，连接CH ，
G 为 CD 的中点， F 为 DH 的中点，
30
1
FG = CH ，
2
F 为 AE 的中点，
EF = AF ，
在 DEF 和 HAF 中，
EF = AF
EFD = AFH ，
DF = HF
DEF HAF(SAS) ，
DE = AH ， DEF = HAF ，
ADE 为等边三角形，
DE = AE ， DEA = 60 ，
AH = AE ， HAF = 60 ，
ABC 为等边三角形，
AC = AB ， BAC = 60 ，
BAC + BAH = HAF + BAH ，
CAH = BAE ，
在 CAH 和 BAE 中，
CA = BA
CAH = BAE ，
AH = AE
CAH BAE(SAS) ，
CH = BE ，
1
FG = BE ．
2
即 BE = 2FG ．
3108 | 正反比例函数综合
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握正反比例函数的概念与图像性质
目标 2 ★★★★★★ 综合 能够运用函数图像性质解决几何问题
知识清单
正 比例函数
正 反比例函数
正反比例函数
正 反比例函数综合
函数 综合 函数
【考情分析】
1．正反比例函数综合是函数的部分，属于函数板块，占中考考分值约 20%；
2．主要考察正反比例函数的解析式、图像及其性质正反比例函数的几何综合考察形式以填
空题、解答题为主；
3．对应教材：八年级上册第十八章正反比例函数第三节；
4．正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性
质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用
的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．
1
课堂引入
【课堂引入】
引入方向：同学们还记得正比例函数的概念吗？
答：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两
y
个变量成正比例，用数学式子表示两个变量 x、y 成正比例，就是 = k ，或表示为 y = kx ，
x
k 是不等于零的常数；
那我们再回顾一下反比例函数的概念吧~
答：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两
y
个变量成正比例，用数学式子表示两个变量 x、y 成正比例，就是 = k ，或表示为 y = kx ，
x
k 是不等于零的常数．
知识 1——正反比例函数
知识笔记
1．正比例函数
（1）正比例函数：解析式形如______（ k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，
其中常数 k 叫做比例系数，定义域是一切实数；
（2）正比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①直线经过第一、第三象限； ①直线经过第二、第四象限；
性质
②y 随 x 的增大而增大； ②y 随 x 的增大而_________；
2
③自变量的取值范围是全体实数；
④| |越大，直线越靠近 y 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越大；
| |越小，直线越靠近 x 轴，即直线与 x 正半轴的夹角越小.
2．反比例函数
（1）反比例函数: 解析式形如_______（ k 是不等于零的常数）的函数叫做反比例函数，
k
其中常数 k 叫做比例系数，反比例函数 y = 的定义域是 x 0 ；
x
（2）反比例函数图像的性质：
k 0 k 0
图像
①双曲线两分支分别在第一、三象 ①双曲线两分支分别在第二、
限； 第四象限；
②在每个象限内 y 随 x 的增大而减 ②在每个象限内，y 随 x 的增大
小； 而增大；
性质
③ x 的取值范围是 x 0 ， y 的取值范围是 y 0 ，图像不能和坐标轴相
交，只能无限接近；
④既是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是坐标原点，对称轴分
别是 y = x 和 y = x .
【填空答案】
1、 y = kx ；减小
k
2、 y =
x
3
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）函数 2y = (m +1)xm 5 ：
①当 m 为_______时，它是正比例函数，且 y 随 x 的增大而增大；
②当 m 为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y 随 x 的增大而增大．
k
（2）（★★★☆☆）已知正比例函数 y = k x 和反比例函数 y = 2 的比例系数 k 和 k 互为倒1 1 2 1 2
x
数，且正比例函数的图象经过点 (2,1) ．
①求这两个函数解析式；
②如果 y = y1 + y2 ，求当 x = 3 时， y 的值是多少？
【配题说明】考查正反比例函数的概念及解析式．
【常规讲解】（1）①因为函数为正比例函数，则有 m2 5 =1 ，解得：m = 6 ，又函数 y
随着增大而增大，即可得 k = m +1 0 ，得： m = 6 ；
②因为函数为反比例函数，则有 m2 5 = 1 ，解得： m = 2 ，又函数 y 随着增大而 增
大，即可得 k = m +1 0 ，得： m = 2 ．
（2）解：①把点 (2,1) 代入正比例函数 y1 = k1x ，得
1= 2k1 ，
1
解得 k1 = ．
2
系数 k1 和 k2 互为倒数，
k2 = 2 ．
1
故正比例函数解析式为 y1 = x ，反比例函数解析式为 y2 = 2x ；
2
3
②当 x = 3 时， y1 = ， y2 = 2 3 ，
2
3 5 3
所以 y = y1 + y2 = + 2 3 = ．
2 2
例 2
3
（1）（★★★☆☆）函数 y = 2x 与 y = 的图像的交点坐标是_______________；
x
4
k 1
（2）（★★★☆☆）已知直线 y = 2mx 与双曲线 y = 的一个交点 A 的坐标为 ( 1， 2) ，
x
则 m + k =________；它们的另一个交点坐标是___________；
c
（3）（★★★☆☆）若直线 y = ax(a 0) 和双曲线 y = (c 0) 在同一坐标系内的图象没有交
x
2
点，且关于 x 的一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根的情况三人的说法如下：
甲：方程可能有两个相等的实数根；
乙：方程没有实数根；
丙： x = 0 一定不是方程的根．
下列判断正确的是 ( )
A．乙错丙对 B．乙对丙错 C．乙和丙都错 D．甲错乙对
【配题说明】考查函数图像交点的求取，让两函数相等解方程即可，注意对应纵坐标．
3 6 6
【常规讲解】（1）令 2x = ，解得 x
x 1
= ，x2 = ，对应函数值分别为 y1 = 6 ，y2 = 6 ，
2 2
6 6
即两函数图像交点坐标为 ，6 和 ， 6 ；
2
2
k 1
（2）y = 2mx 和 y = 过点 A( 1， 2)，则有 2m = 2 ，1 k = 2 ，解得：m =1，k = 3 ，
x
则 m + k = 4 ，正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称，可知另一交点坐标 为
(1，2)．
c
（3）解： 直线 y = ax(a 0) 和双曲线 y = (c 0) 在同一坐标系内的图象没有交点，
x
ac 0 ， b2 4ac 0 ，
关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不相等实数根，
故选： A ．
例 3
k
（1）（★★★☆☆）已知直线 y = kx(k 0 ， k 为常数）与双曲线 y = 1 (k1 0 ， k1 为常数）
x
k
没有交点，若点 A(2, y1 ) ， B( 4, y2 ) 和C(1, y3 ) 均在双曲线 y =
1 上，则 y1 ， y2 ， y3 的大小
x
关系为___________；
4
（2）（★★★☆☆）函数 y1 = x(x 0) ， y2 = (x 0) 的图象如图所示，下列结论：
x
①两函数图象的交点坐标为 A(2, 2) ；
5
②当 x 2 时， y ； 2 y1
③直线 x =1分别与两函数图象交于 B 、 C 两点，则线段 BC 的长为 3；
④当 x 逐渐增大时， y 的值随着 x 的增大而增大， y 的值随着 x 的增大而减小．1 2
则其中正确的是 ( )
A．只有①② B．只有①③ C．只有②④ D．只有①③④
【配题说明】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质
是解题关键．
【常规讲解】（1）解： 直线 y = kx(k 0 ， k 为常数）经过一，三象限，线 y = kx(k 0 ，
k
k 为常数）与双曲线 y = 1 (k k1 0 ， 1 为常数）没有交点，
x
k
双曲线 y = 1 (k1 0 ， k1 为常数）在二、四象限，
x
反比函数在每个象限内， y 随 x 的增大而增大，
A(2, y1 ) 、 C(1, y3 ) 在第四象限， B( 4, y2 ) 在第二象限，
2 1，
0 y1 y3 ， y2 0 ，
y2 y1 y3 ；
y = x
4
（2）解：①函数 y1 = x(x 0) ， y2 = (x 0) 组成方程组 4 ，
x y =
x
x = 2
解之得 ，即两函数图象的交点坐标为 A(2, 2) ，故①正确；
y = 2
②由图象直接可得当 x 2 时， y2 y1 ，故②错误；
4
③把 x =1分别代入函数 y1 = x(x 0) ， y2 = (x 0) ，可得 y1 =1， y2 = 4 ，
x
BC 的长为 3，故③正确；
④函数 y1 = x(x 0) 中， k 0 ， y 随 x 增大而增大，
4
y2 = (x 0) 中， k 0 ，在每一象限内 y 随 x 增大而减小，故④正确．
x
故选： D ．
6
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）已知函数 y = (m2
2
+ 2m)xm m 1
（1）如果 y 是 x 的正比例函数，求 m 的值；
（2）如果 y 是 x 的反比例函数，求出 m 的值，并写出此时 y 与 x 的函数关系式．
k
【配题说明】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 y = (k 0) 转化为
x
y = kx 1 (k 0) 的形式．
2 m2【常规讲解】解：（1）由 y = (m + 2m)x m 1 是正比例函数，得
m2 m 1=1 且 m2 + 2m 0 ，
解得 m = 2 或 m = 1；
2
（2）由 y = (m2 + 2m)xm m 1 是反比例函数，得
m2 m 1= 1且 m2 + 2m 0 ，
解得 m =1．
故 y 与 x 的函数关系式 y = 3x 1 ．
练 1-2
k
（1）（★★★☆☆）经过原点的直线 l 与反比例函数 y = 的图象交于点 A( 3, a) ，B(b, 2) ，
x
则 k 的值为 ；
k 3
（2）（★★★☆☆）已知反比例函数 y = (k 为常数）与正比例函数 y = x 的图象有交点，
x
k 的取值范围是 ( )
A． k 0 B． k 0 C． k 3 D． k 3
【配题说明】此题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解
题的关键．
k
【常规讲解】（1）解： 经过原点的直线 l 与反比例函数 y = 的图象交于点 A( 3, a) ，B(b, 2) ，
x
A、 B 关于原点对称，
a = 2 ， b = 3 ，
7
A( 3, 2) ，
k = 3 2 = 6，
（2）解：由正比例函数 y = x 可知直线过一、三象限，
k 3
反比例函数 y = (k 为常数）与正比例函数 y = x 的图象有交点，
x
k 3
反比例函数 y = (k 为常数）位于一、三象限，
x
k 3 0 ，
k 3 ，
故选：C ．
练 1-3
（★★★☆☆）已知正比例函数 y 的图象与反比例函数 y 的图象相交，其中一个交点坐标为1 2
(3, 4) ，当 y y 时，下列结论正确的是 ( ) 1 2
A． 3 x 0 或 x 3 B． x 3或 0 x 3
C． 3 x 3 D． x 4 或 0 x 4
【配题说明】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，熟练运用反比例函数与正比
例函数的性质解决问题是本题的关键．
【常规讲解】解： 正比例函数 y1 的图象与反比例函数 y 的图象相交于点 (3, 4)2 ，
两个函数图象的另一个交点为 ( 3, 4) ，
当 x 3或 0 x 3 时， y1 y2 ，
故选： B ．
8
知识 2——函数 综合
知识笔记
函数 问题结合
正反比例函数动点综合问题多是考察点在运动过程中不变的量，或者是探索点变化过
程中与其它量的_________________.
【填空答案】
函数关系式
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，PB ⊥ PA ， AB ⊥ x 轴于点 E ，正比例函数
y = mx n 3的图象和反比例函数 y = 的图象相交于 A 、 P( 1, 2) 两点，则点 B 的坐标
x
是 ；
4
（2）（★★★☆☆）如图， POA 、 P A A 是等腰直角三角形，点 P 、P 在函数1 1 2 1 2 1 2 y = (x 0)
x
的图象上，斜边OA 、 A 都在 x 轴上，则点 的坐标是 . 1 1 A2 A2
【配题说明】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点，证明 PNO BMP 是本题解题
的关键．
【常规讲解】（1）解： AP 为正比例函数，故点 A 、 P 关于原点对称，
9
则点 A(1, 2) ，则设点 B(1, t) ，
过点 P 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 N ，交点 B 与 x 轴的平行线于点 M ，
MPB + NPO = 90 ， MPB + MBP = 90 ，
NPO = MPB ，
BM =1 ( 1) = 2 = PN = 2 ， PNO = BMP = 90 ，
PNO BMP(AAS) ，
MP =ON =1 ，
故 MN = MP + PN =1+ 2 = 3 ，
故点 B 的坐标为 (1,3) ；
（2）解：（1）根据等腰直角三角形的性质，可设点 P1 (a, a) ，
4
又 y = ，
x
则 a2 = 4 ， a = 2 （负值舍去），
再根据等腰三角形的三线合一，得 A (4, 0)1 的坐标是 ，
4
设点 P 的坐标是 (4 + b,b)2 ，又 y = ，则b(4 + b) = 4 ，
x
即 b2 + 4b 4 = 0 ，
又 b 0 ， b = 2 2 2 ，
再根据等腰三角形的三线合一，
4 + 2b = 4 + 4 2 4 = 4 2 ，
点 A2 的坐标是 (4 2 ， 0) ．
例 2
（★★★★☆）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y1 = 2x 的图象与反比例函
k
数 y = 的图象交于 A( 1, n) ， B 两点． 2
x
（1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；
10
（2）观察图象，请直接写出满足 y 2 时 x 的取值范围；2
p 3（3）点 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若 POB 的面积为 ，请求出点 p 的横
2
坐标．
【配题说明】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题时注意：反比例函
数与正比例函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
【常规讲解】解：（1）把 A( 1, n) 代入 y1 = 2x ，可得 n = 2 ，
A( 1, 2) ，
k
把 A( 1, 2) 代入 y2 = ，可得 k = 2 ，
x
2
反比例函数的表达式为 y2 = ，
x
点 B 与点 A 关于原点对称，
B(1, 2) ．
（2） A( 1, 2) ，
y2 2 时取值范围是 x 1或 x 0 ；
（3）作 BM ⊥ x 轴于 M ， PN ⊥ x 轴于 N ，
3
S = S =
梯形MBPN POB ，
2
2 1 2 3 1 2 3
设 P(m, ) ，则 (2 + )(m 1) = 或 (2 + )(1 m) = ，
m 2 m 2 2 m 2
整理得， 2m2 3m 2 = 0或 2m2 + 3m 2 = 0 ，
1
解得 m = 2 或 m = ，
2
1
P 点的横坐标为 2 或 ．
2
11
例 3
（★★★★☆）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 A(1, 0) 且与 y 轴平行，直线 l 过点 B(0, 2)1 2
k
且与 x 轴平行，直线 l 与 l 相交于 P ．点 E 为直线1 1 l 上一点，反比例函数 y = (k 0) 的图象1
x
过点 E 且与直线 l 相交于点 F ．1
（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；
（2）连接OE、OF、EF ；
①如图 1，过 E 作 EC 垂直于 x 轴交 x 轴于C 点，当C 点异于 A 点时，说明 OEF 的面积等
于四边形 ECAF 的面积；
②若 k 2 ，且 OEF 的面积为 PEF 面积的 2 倍，请直接写出点 E 的坐标．
【配题说明】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数的比例系数 k 的
几何意义是解题的关键，属于中考常考题型．
【常规讲解】解：（1）如图 1 中，
12
由题意点 P 坐标 (1, 2) ，
k
当 E 、 P 重合时， P(1, 2) 代入 y = 得 k = 2 ．
x
（2）① S OEF = S S四边形OEFA OFA
= S EOC + S S四边形ECAF FOA ，
S EOC = S FOA ，
S EOF = S四边形ECAF ．
②如图 2 中，作 EM ⊥OA 于 M ．
设点 E 坐标 (m, 2) ． S OEF = 2S PEF ，
S = 2S
四边形FAME PEF ，
1 1
(2 + 2m)(m 1) = 2 (m 1)(2m 2) ，
2 2
m = 3或 1，
k 2 ， m =1不合题意，
m = 3， 点 E 坐标 (3, 2) ．
13
巩固练习
练 2-1
1
（★★★☆☆）如图，正比例函数 y = kx(k 0) 与反比例函数 y = 的图象相交于 A、C 两点，
x
过 A 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 B ，连接 BC ，则 ABC 的面积为 .
【配题说明】本题考查的是反比例函数与正比例函数图象的特点，解答此题的关键是找出 A 、
C 两点坐标的关系，设出两点坐标即可．
1
【常规讲解】解： 正比例函数 y = kx(k 0) 与反比例函数 y = 的图象均关于原点对称，
x
1 1
设 A 点坐标为 (x, ) ，则C 点坐标为 ( x, ) ，
x x
1 1 1 1
S AOB = OB AB = x = ，
2 2 x 2
1 1 1 1 1
S BOC = OB | |= | x | | |= ，
2 x 2 x 2
1 1
S ABC = S AOB + S BOC = + =1．
2 2
练 2-2
k
（★★★★☆）如图，直线 y = x 和双曲线 y = (k 0) 交于 A ， B 两点， AE ⊥ x 轴，垂足为
x
E ，射线 AC ⊥ AD ， AC 交 y 轴于点C ， AD 交 x 轴于点 D ，且四边形 ACOD 的面积为 1．
k
（1）求双曲线 y = 的解析式；
x
（2）求 A ， B 两点的坐标．
14
【配题说明】本题是反比例函数与正比例函数的交点问题，三角形全等的判定和性质，正确
求得反比例函数解析式是解决本题的关键．
【常规讲解】解：（1）作 AF ⊥ y 轴于 F ，
点 A 在直线 y = x 上，
AF = AE ，
CAF + DAF = DAE + DAF = 90 ，
CAF = DAE ，
在 CAF 和 DAE 中，
CAF = DAE
AFC = AED = 90 ，
AF = AE
CAF DAE(AAS) ，
S正方形 = S =1AFOE 四边形ACOD ，
k = S正方形 =1AFOE ，
1
双曲线的解析式为 y = ；
x
y = x
x =1 x = 1
（2）解 1 得 或 ，
y = y =1 y = 1
x
A(1,1) ， B( 1, 1) ．
15
练 2-3
a 3
（1）（★★★★☆）已知函数 y2 = (x 0) 的图象与 y1 = (x 0) 的图象关于 y 轴对称．在
x x
a
y = (x 0) 的图象上取一点 P(P 点的横坐标大于 2) ，过 P 作 PQ ⊥ x 轴，垂足是Q ，若存2
x
在两点 B、C ，且 B(0, 2) C(2, 0) 四边形 BCQP 的面积等于 2，求 P 点的坐标；
（2）已知：在矩形 AOBC 中，OB = 4、OA = 3．分别以OB、OA 所在直线为 x 轴和 y 轴，建
立如图所示的平面直角坐标系．F 是边 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），过 F 点的反
k
比例函数 y = (k 0) 的图象与 AC 边交于点 E ．
x
①求证： AOE 与 BOF 的面积相等；
②记 S = S S ，求 S 关于 k 的函数解析式； OEF ECF
③是否存在这样的实数 k ，使 OEF 和 ECF 面积相等？若存在，求出点 F 的坐标；若不存
在，说明理由．
【配题说明】此题属于反比例函数综合题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法及
数形结合思想是解本题的关键．
a 3
【常规讲解】（1）解 y y2 = (x 0) 的图象与 y1 = (x 0) 的图象 轴对称，
x x
3
y2 = (x 0) ，
x
B 点是直线 y = x + 2 与 y 轴的交点，
B(0, 2) ，
3
设 P(n, ) ， n 2S S = 2四边形BOQP BOC ，
n
16
1 3 1 5
(2 + )n 2 2 = 2 ， n = ，
2 n 2 2
5 6
P( ， ) .
2 5
（2）①证明：设 E(x1 ， y1 ) ， F(x2 ， y2 ) ， AOE 与 FOB 的面积分别为 S1 ， S2 ，
k k
由题意得 y1 = ， y2 = ，
x1 x2
1 1 1 1
S1 = x1 y1 = k ， S2 = x2 y2 = k ，
2 2 2 2
S1 = S2 ，
即 AOE 与 FOB 的面积相等；
k k
②解：由题意知 E ， F 两点坐标分别为 E( ， 3) ， F (4, ) ，
3 4
1 1 1 1
S ECF = EC CF = (4 k)(3 k) ，
2 2 3 4
S EOF = S矩形 S S SAOBC AOE BOF ECF
1 1
=12 k k S ECF
2 2
=12 k S ECF
1 1 1
S = S OEF S ECF =12 k 2S ECF =12 k 2 (4 k)(3 k) ．
2 3 4
1 1
S = k 2 + k S = (k 6)2，即 + 3 ；
12 12
1
③若 S CEF = S OEF ，则有 S = k
2 + k = 0 ，解得： k1 = 0 ， k2 =12 ，
12
不在题目相应取值范围之内，即不存在这样的实数 k ．
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）已知函数 y = (m +1)x|2m| 1 ，
（1）当 m 何值时， y 是 x 的正比例函数？
（2）当 m 何值时， y 是 x 的反比例函数？（上述两个问均要求写出解析式）
【配题说明】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键．
17
【常规讲解】解：（1） 函数 y = (m +1)x|2m| 1 是正比例函数，
| 2m | 1=1 ，且 m +1 0 ，
解得， m =1；
即当 m =1时， y 是 x 的正比例函数；
（2） 函数 y = (m +1)x|2m| 1 是反比例函数，
| 2m | 1= 1，且 m +1 0 ，
解得， m = 0 ；
即当 m = 0 时， y 是 x 的反比例函数．
练 2
1 k
（★★★☆☆）已知正比例函数 y = x 与反比例函数 y = 的图象经过 A( 2,1) 点，求：1 2
2 x
（1）反比例函数的解析式；
（2）正比例与反比例函数另一个交点 B 的坐标；
（3）当 x 在什么范围， y = y ，当 x 在什么范围，1 2 y1 y ，当 x 在什么范围，2 y1 y ． 2
【配题说明】本题的考点及学生易错点
例：考察物质中共价键的判断已经物质变化过程中的作用力问题，属于学生易错点
1 k
【常规讲解】解：（1） 正比例函数 y1 = x 与反比例函数 y A( 2,1)2 = 的图象经过 点，
2 x
k = 2 ，
2
y2 = ，
x
1 2
（2） 正比例函数 y1 = x 与反比例函数 y2 = 的图象有两个交点，
2 x
x 2
= ，
2 x
x2 = 4 ，即 x = 2 ，
正比例与反比例函数另一个交点 B 的坐标为 (2, 1) ，
（3）根据图象可知，当 x = 2 时， y1 = y2 ，当 2 x 0 或 x 2 时， y1 y2 ，当 x 2 或
0 x 2 时， y1 y2 ．
18
练 3
（★★★☆☆）点P是反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图像的交点，PQ⊥x轴于点Q(2, 0) ，
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如果点 M 在这个反比例函数的图像上，且 MPQ 的面积是 6，求 M 点的坐标．
【配题说明】考查与反比例函数相关的图形面积计算．
【常规讲解】（1）由 Q（2，0），可得 P 点横坐标为 2，令 x = 2 ，得： y = 2x = 4 ，
k k 8
设反比例函数解析式为 y = ，则有 = 4 ，解得：k = 8 ，即得反比例函数解析式为 y = ；
x 2 x
1 1
（2）由（1）可得 PQ = 4 ， S MPQ = 6 ，即得 PQ xM xP = 4 xM 2 = 6 ，
2 2
8
解得： xM = 5 或 xM = 1，即得：M 5， 或 M ( 1，8) ．
5
练 4
1 k
（★★★☆☆）如图，已知直线 y = x 与双曲线1 y = (k 0) 交于 A、B 两点，且点 A 的横2
2 x
k
坐标是 4，过原点 O 的另一条直线 L 交双曲线 y = (k 0) 于 P、Q 两点（点 P 在第一象2
x
限），若由点 A、B、P、Q 为顶点组成的四边形的面积是 24，求点 P 的坐标．
【配题说明】考查正比例函数和反比例函数两交点关于原点中心对称，利用求面积的方法即
可把所求面积表示出来再进行解题计算．
19
1
【常规讲解】因为点 A 在直线上 y1 = x ，令 x = 4 ，
2
1
则有 y1 = 4 = 2 ，得 A(4，2)，
2
8
则 k = 4 2 = 8 ，设点 P x， ，
x
根据反比例函数与正比例函数两交点关于原点对称，易得四边形 ABPQ 为平行四边形，则有
S AOP = 6 ，即可得以下分类讨论：
8 1 8 16
① 0 x 4 时， S AOP = 4 8 (4 x) 2 = x = 6 ，
x 2 x x
解得： x1 = 8 （舍）， x2 = 2 ，即得 P (2，4)；
1 8 16
②当 x 4 时， S AOP = 2x 8 (x 4) 2 = + x = 6 ，
2 x x
解得： x1 = 2 （舍）， x2 = 8 ，即得 P (8，1)．
综上所述，点 P 的坐标为 (2，4)或 (8，1) ．
【B组】
练 1
k 1 k
（★★★★☆）两个反比例函数 y = 和 y = 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在1 2 y1 =
x x x
1 1
的图象上，PC⊥x 轴于点 C，交 y = 的图象于点 A，PD⊥y 轴于点，交2 y2 = 的图象于点
x x
k
B，当点 P 在 y = 的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边1
x
形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与 PB 始终相等；④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一
定是 PD 的中点．其中一定正确的是( )
A．①②③④ B． ①②③
C．①②④ D． ①③④
【配题说明】考查反比例函数的几何意义的应用．
【常规讲解】根据反比例函数的几何意义，
20
1
可得 S ODB = S OCA = ，则①正确；
2
又 S = S矩形 S S = k 1四边形PAOB OCPD ODB OCA ，②正确；
1 k
由 S OPD = S OPC = S矩形 = ，可得 S OPD SOCPD ODB = S OPC S OCA ，即 S OPB = S OPA ， 点
2 2
P 移动过程中不能确保OC =OD ，即 PA、PB 不是始终相等，③错误；
A 是 PC 中点 时，则有 S OCA = S OPA = S OPB = S ODB ，则有OP = PB ，可知④正确；
综上所述，①②④正确，故选 C．
练 2
（★★☆☆☆）（2019 秋 徐汇区期中）在平面直角坐标系 xOy 中（如图），点 A( 4,1) 为直
m
线 y = kx 和双曲线 y = 的一个交点．
x
（1）求 k 、 m 的值；
（2）若点 B( 5, 0) ，在直线 y = kx 上有一点 P ，使得 S ABP = 2S ，请求出点 ABO P 的坐标；
（3）在双曲线上是否存在点 M ，使得 AOM = 45 ，若存在，请求出点 M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【配题说明】本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，待
定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
m
【常规讲解】解：（1） 点 A( 4,1) 在直线 y = kx 和双曲线 y = 的图象上，
x
1
k = ， m = 4 ．
4
1 4
（2）如图 1 中，设直线 y = x 与反比例函数 y = 的另一个交点为 C(4, 1) ．
4 x
21
由对称性可知：OA =OC ，
当点 P 与 C 重合时， S ABP = 2S ABO ，此时 P(4, 1) ．
当点 P 在 OA的延长线上时， P A = AC 时， S P ( 12,3) ABP = 2S ABO ，此时 ，
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为 (4, 1) 或 ( 12,3) ．
（3）如图 2 中，将OA绕点O 顺时针旋转90 得到OA ，则 A (1.4) ，
取 AA 的中点 D ，作直线OD 在第二象限交反比例函数于 M ．此时 AOM = 45 ，
3 5
D( ， ) ，
2 2
5
直线OD 的解析式为 y = x ，
3
5 2 15 2 15
y = x x = x = 3 5 5
由 ，解得 或 ，
4 2 15 2 15y = y = y =
x 3 3
点 M 在第二象限，
2 15 2 15
M ( ， ) ．
5 3
2211」线段的垂直平分线与角的平分线
学习目标
目标1
★★★☆☆必操作
理解掌握线段的垂直平分线的概念及性质
目标2
★★★女☆女操作
理解掌握角平分线的概念及性质
目标3
★★★★☆☆识别
掌握轨迹的概念，可以根据条件做出轨迹
知识清单
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
与角的平分线
角的平分线
轨迹
【考情分析】
1.线段垂直平分线、角平分线与轨迹是几何部分，属于图形与几何板块，占期未考分值约
20%;
2.线段垂直平分线、角平分线主要以填空题、解答题为主，轨迹主要以选择题、填空题为
主
3.对应教材：八年级上，第十九章第四节：线段的垂直平分线与角的平分线：
4主要对线段的垂直平分线和角平分线进行讲解，重，点是线段的垂直平分线和角平分线定理
的理解，难点是线段的垂直平分线和角平分线定理的运用.通过这节课的学习一方面为我们
后期学习直角三角形提供依据，另一方面也为后面学习勾股定理奠定基础。
01
课堂引入
【课堂引入】
提出问题：小桥应该建在哪里，使得小桥到它们两家的距离相等？
学生思考后回答：小桥会建在河岸的某个位置，但并不能很准确地说出判断依据：
教师从中抽象出数学问题，出本节课的主题
一线段垂直平分线的相关内容
追问：什么叫线段的垂直平分线？引出本堂课内容。
出
知识点1一一
线段的垂直平分线
知识笔记
线段的垂直平分线
(1)线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离
(2)和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【填空答案】
相等
经典例题
例1
(★★☆☆☆)(2020长宁区期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交
BC于点E.△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为(
D
A.3
B.6
C.12
D.16
·2
【配题说明】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直
平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.
【常规讲解】解：：AB的垂直平分线交AB于点D,
∴AE=BE
:△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13,△ABC的周长=AC+BC+AB=19,
∴.AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，
故选：B.
例2
(★★★☆☆)如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是
∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠0+∠E=180°，则∠A=度.
B
【配题说明】本题考查三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
【常规讲解】解：如图，连接OA.
点O是AB,AC的垂直平分线的交点，
..OA=OB=OC
∴.∠OAB=∠OBA,
∠OAC=∠OCA,
∠BOC=∠ABO+∠OCA+∠BAC=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC,
0306 | 函数与正比例函数
学习目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 掌握函数的概念
目标 2 ★★☆☆☆☆ 理解 掌握正比例函数的概念、图像及性质
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 运用正比例函数解决几何计算问题
知识清单
一次函数的概念
函数的概念
函 数的定 函数
正比例函数的概念
函 数与正比例函数 正比例函数 正 比例函数的
正 比例函数的性质
与 结合
正 比例函数与几何计算
与 动点问题结合
60
知识点 1——函数的概念
知识笔记
1．函数的概念
（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 允许的取值范围内，
变量 y 随着 x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函
数， x 叫做自变量．函数用记号 y = f (x) 表示， f (a) 表示_________时的函数值；
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
2．函数的定 函数
（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的__________；
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）在进行路程 s 、速度 v 和时间 t 的相关计算中，若保持行驶的路程不变，
则下列说法正确的是 ( )
A． s 、 v 是变量 B． s 、 t 是变量
C． v 、 t 是变量 D． s 、 v 、 t 都是变量
（2）（★★☆☆☆）3x y = 7 中，变量是 ，常量是 ，把它写成用 x 的式
子表示 y 的形式是 ．
例 2
（1）（★★☆☆☆）下列解析式中， y 不是 x 的函数的是 ( )
A． y = 2x B． y = x2 C． y = x (x 0) D． y =| x |
61
（2）（★★☆☆☆）下列各坐标系中的图像，不能表示 y 是 x 的函数的是 ( )
A． B．
C． D．
（3）（★★☆☆☆）一个边长为 2 厘米的正方形，如果它的边长增加 x(x 0) 厘米，则面积随
之增加 y 平方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式为 ．
例 3
x 1
（1）（★★★☆☆）函数 f (x) = 的定义域为 ；
2 x
x +1
（2）（★★★☆☆）函数 y = 的定义域为 ；
x
x
（3）（★★★☆☆）已知函数 y = ，当 x = 2 时， y = ；
x 1
x + 2
（4）（★★★☆☆）已知 f (x) = ， f (a) = 5，那么 a = ．
2x
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天
中， 随 变化而变化，其中自变量是 ，因变量是 ．
练 1-2
（1）（★★☆☆☆）有下面四个关系式：① y =| x | ；② | y |= x ；③ 2x2 y = 0 ；④ y = x(x 0) ．其
中 y 是 x 的函数的是 ( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
62
（2）（★★☆☆☆） A 、B 两地相距 50 千米，小张骑自行车从 A 地到 B 地，车速为 13 千米
/ 小时，骑了 t 小时后，小张离 B 地 s 千米，那么 s 关于 t 的函数解析式是 ．
练 1-3
x
（1）（★★☆☆☆）函数 y = 的定义域为 ；
x 5
2 x
（2）（★★★☆☆）函数 y = 的自变量 x 的取值范围是 ；
1 x
2
（3）（★★★☆☆）已知函数 f (x) = 2 ，那么 f ( 3) = ； x +1
2
（4）（★★★☆☆）已知函数 f (x) = ，那么 f ( 2) f ( 3) .（填“ ”“= ”或“ ” )
x
知识点 2——正比例函数
知识笔记
1．正比例函数的概念
（1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数___________），那么
y y就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量 x 、 成正比例，就是 = k ，或
x
表示为 y = kx （ x 不等于 0）， k 是不等于零的常数；
（2）解析式形如 y = kx （ k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数 k
叫做比例系数．正比例函数 y = kx 的定义域是___________．确定了比例系数，就可以
确定一个正比例函数的解析式.
2．正比例函数的
（1）一般地，正比例函数 y = kx ( k 是常数, k 0 )的图像是经过 (0，0) ，(1，k) 这两点
的一条直线，我们把正比例函数 y = kx 的图像叫做直线____________；
（2）图像画法：列表、描点、连线．
63
3．正比例函数的性质
（1）当 k 0 时，正比例函数的图像经过第_______象限；自变量 x 的值逐渐增大时，
y 的值也随着逐渐增大；
（2）当 k 0 时，正比例函数的图像经过第_______象限；自变量 x 的值逐渐增大时，
y 的值则随着逐渐减小．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有 ( )
A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径
2
（2）（★★☆☆☆）如果函数 y = (m 2)xm 1 是正比例函数，那么 m = ．
例 2
（1）（★★☆☆☆）已知正比例函数 y = kx(k 0) 的图像经过点 ( 4,2) ，那么函数值 y 随自变
量 x 的值的增大而 ；（填“增大”或“减小” )
（2）（★★☆☆☆）已知正比例函数 y = (2a 1)x ，如果 y 的值随着 x 的值增大而减小，则 a
的取值范围是 ．
64
例 3
（★★★☆☆）分类讨论思想数学课上，老师要求同学们画函数 y =| x | 的图像，小红联想绝对
值的性质得 y = x(x 0) 或 y = x(x 0) ，于是她很快作出了该函数的图像（如图）．请回答：
（1）小红所作的图对吗？如果不对，请你画出正确的函数图像；
（2）根据上述的作图方法，请画出函数 y = 3 | x | 的图像．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）若 x 、 y 是变量，函数 y = (k +1)xk
2 +2k 2 是正比例函数，且经过第一、第
三象限，则 k = ；
（2）（★★☆☆☆）如果 y = (k 2)x + (k 2 2k) 是正比例函数，则 k = ．
练 2-2
（1）（★★☆☆☆）如果正比例函数 y = kx 的图像经过第一、三象限，那么 y 的值随着 x 的值
增大而 ；（填“增大”或“减小” )
（2）（★★☆☆☆）已知正比例函数 y = kx(k 0) 的函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小，
那么符合条件的正比例函数可以是 ．（只需写出一个）
65
练 2-3
（★★★☆☆）已知正比例函数 y = (m 1)x 的函数图像有两点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，当 x1 x2
时，有 y1 y2 ．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 取最大整数时，画出该函数图像．
知识点 3——正比例函数的几何计算
知识笔记
1. 与 结合
正比例函数作为综合题时，多与几何问题结合去考察的题型，常见题型为面积问题（已
知面积求点坐标或解析式、已知点坐标求面积）等.
2. 与动点问题结合
正比例函数动点综合问题多是考察点在运动过程中不变的量，或者是探索点变化过程
中与其它量的_________________.
66
经典例题
例 1
（★★★☆☆）已知正比例函数 y = kx 经过点 A ，点 A 在第四象限，过点 A 作 AH ⊥ x 轴，垂
足为点 H ，点 A 的横坐标为 3，且 AOH 的面积为 3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在 x 轴上能否找到一点 P ，使 AOP 的面积为 5？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
例 2
3
（★★★★☆）在平面直角坐标系中，点 A 坐标为 (1,0) ，在直线 y = x 上取点 P ，使 OPA
3
是等腰三角形，求所有满足条件的点 P 坐标．
67
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）已知一正比例函数 y = mx 图像上的一点 P 的纵坐标是 3，作 PQ⊥y 轴，垂足
为点 Q，三角形 OPQ 的面积是 12，求此正比例函数的解析式．
练 3-2
（★★★☆☆）如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线 OP 与线段 AB 相交于点 P，
（1）若直线 OP 将△ABO 的面积等分，求直线 OP 的解析式；
（2）若点 P 是直线 OP 与线段 AB 的交点，是否存在点 P，使△AOP 与△BOP 中，一个面
积是另一个面积的 3 倍？若存在，求直线 OP 的解析式；若不存在，请说明理由．
y
B
P
x
A O
68
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）城市绿道串连起绿地、公园、人行步道和自行车道，改善了城市慢行交
通的环境，引导市民绿色出行．截至 2016 年底某市城市绿道达 2000 公里，该市人均绿道长
度 y （单位：公里）随人口数 x 的变化而变化，指出这个问题中的所有变量 ；
（2）（★★☆☆☆）下列图像中，表示 y 是 x 的函数的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
练 2
1
（1）（★★☆☆☆）函数 = 2 x + 的定义域是 ；
x +1
x + 2
（2）（★★☆☆☆）已知函数 f (x) = + 6 x ，求函数的定义域及 f (4) ．
x 2
练 3
（★★★☆☆）若函数 y = (4m 1)x + (m 4) 是正比例函数，那么 m = ，图像经过 象
限．
69
练 4
（1）（★★★☆☆）已知直线 y = ax 是经过第二、四象限的直线，且 a + 3 在实数范围内有
意义，求 a 的取值范围；
（2）（★★★☆☆）已知函数 y = (2m +1)x 的值随 x 的增大而减小，且函数 y = (1 3m)x 的值
随着 x 的增大而增大，求 m 的取值范围．
【B组】
练 1
（★★★★☆）已知直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=12，点 D、E、F 分别在边 BC、
AC、AB 上（点 E、F 与三角形 ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为点 H，
设 CE = x，BF = y，求 y 与 x 之间的函数关系式．
70
练 2
（★★★★☆）已知正比例函数过点 A（4，-2），点 P 在正比例函数图像上，B（0，4）且
S ABP =10 ，求点 P 的坐标．
课堂总结
7102 | 二次根式的运算
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握二次根式的加减运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握二次根式的分母有理化
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握二次根式的混合运算
知识清单
二次根式的
二 次根式的 运算
二次根式的
二次根式的运算
二 次根式的 运算 二 次根式的 运算
【考情分析】
1．二次根式的运算是二次根式的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约 30%；
2．主要考察二次根式的加减法、乘除法以及分母有理化，以分母有理化以填空题为主，二
次根式的运算以填空和解答题为主；
3．对应教材：八年级上册第十六章二次根式第三节；
4．本章节的综合性较强，第一是二次根式的四则运算，难点是合并同类项及乘除运算的时
候符号问题．第二个讲解的是分母有理化，它是数与代数的重要内容，是二次根式运算的依
据；其次是综合运算，融合了加、减、乘、除四种运算以及化简求值类，解题的技巧和计算
的准确度是关键点；再次是复习与提高，二次根式这章节的主要内容做一整体的回顾和提升，
针对重难点及易错、常考的进行总结，帮助学生更好的巩固本章所学的内容。
1
课堂引入
提出问题：同学们还记得同类二次根式的概念吗？合并同类二次根式是怎么合并的呢？
由合并同类二次根式引入二次根式的加减乘除运算
知识点 1——二次根式的 运算
知识笔记
1.二次根式的
先把各个二次根式化为______________，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．
2.二次根式的 与
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数__________；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数__________．
【填空答案】
1.最简二次根式
2.（1）不变;（2）不变
经典例题
例 1
2 1
（1）（★★☆☆☆）（2020 浦东新区期末）计算： 12 + 4 0.5 18 + 3 ；
3 3
x 2
（2）（★★★☆☆）（2020 静安区校级期中）计算： 8x 2 + 2x ；
2 9x
（3）（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）计算： 28+10 3 28 10 3 ；
ab3 27a ab3 3a
（4）（★★★☆☆）（2018 浦东新区月考）计算： 2a + 2ab2 (b 0) .
3 b3 3 4b
【配题说明】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
2 2 3
【常规讲解】（1）解：原式 = 2 3 + 4 3 2 + 3
2 3 3
2
= 2 3 + 2 2 2 2 + 3 = 3 3 ．
2 5
（2）解：原式 = 2 2x 2x + 2x = 2x ．
3 3
（3）解：原式 = 25+ 2 5 3 + 3 25 2 5 3 + 3
= (5 + 3)2 (5 3)2
= 5 + 3 (5 3)
= 2 3 ．
ab3 27a ab3 3a
（4）解： 2a + 2ab2
3 b3 3 4b
ab3 9 3ab b2 3ab 3ab
= 2a + 2ab2
3 b4 9 4b2
ab3 3 3ab b 3ab 2 3ab= 2a + 2ab
3 b2 3 2b
2
= ab 3ab ab 3ab + ab 3ab
3
4
= ab 3ab ．
3
例 2
（★★★☆☆）（2017 浦东新区校级期中）已知正数 x 满足不等式： 3x 12 2x 4 ；
化简： 2 (x +1)2 + x2 4x + 4 ．
【配题说明】本题主要考查了二次根式的性质与化简，通过解一元一次不等式得到 x 的取
值范围是解决问题的关键．
【常规讲解】解： 3x 12 2x 4 ，
(2 3)x 4 2 3 ，
x 2 ，
又 x 为正数，
0 x 2 ，
x +1 0 ， x 2 0 ，
2 (x +1)2 + x2 4x + 4 = 2 | x +1| + | x 2 |= 2x + 2 + 2 x = x + 4
．
3
例 3
1 2 1 2
（1）（★★★☆☆）（2019 闵行区校级月考）计算： 3 ( 2 ) (4 1 ) ；
3 5 3 5
n n 1 n3 n
（2）（★★★☆☆）（2019 黄浦区校级月考）计算： ( ) ；
m 3m3 m m3 2m3
2 3 a
（3）（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）化简： ab3 ( a3b) 3 (b 0) .
b 2 b
【配题说明】此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则．
1 2 1 2
【常规讲解】（1）解： 3 ( 2 ) (4 1 )
3 5 3 5
2 10 7 7
= (1 4)
5 3 3 5
5 10 3 7
= (1 4)
2 3 7 5
=10 2 ．
n n 1 n3 n
（2）解： ( )
m 3m3 m m3 2m3
n 1 n n3 2m3
= ( ) 1
m m 3m3 m3 n
n 2n3
=
m2 3m3
n | n |
= 6mn
m2 3m2
n2
= 6mn ．
3m4
2 3 ab
（3）解：原式 = ( b) ab ( a ab) 3
b 2 b
ab
= 3a ab 3
b
b b
= ( 3a )
3 ab ab
= ab ．
4
巩固练习
练 1-1
1
（1）（★★☆☆☆）（2020 闵行区期中）计算： ( 0.5 + 2 ) ( 18 27) ；
3
b 3
（2）（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）计算：2a 3ab2 + 27a3 + 2ab a (b 0) ；
6 4
（3）（★★★☆☆）化简： 2x +13+ 128x 192 2x 2 + 8x 12 .
【配题说明】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数
都不变．
2 2 3
【常规讲解】（1）解：原式 = + 3 2 + 3 3
2 3
5 2 11 3
= + ．
2 3
ab
（2）解：原式 = 2ab 3a + 3a + ab 3a
2
7
= ab 3a ．
2
（3）解： 2x +13+ 128x 192 2x 2 + 8x 12
= 2x 3+ 64 (2x 3) +16 2x 3+ 4 (2x 3) +1
= ( 2x 3)2 + 2 4 2x 3 + 42 ( 2x 3)2 + 2 2x 3 +12
= ( 2x 3 + 4)2 ( 2x 3 +1)2
= 2x 3 + 4 2x 3 1
= 3 ．
练 1-2
（★★★☆☆）（2018 浦东新区期中）已知 x = 5 + 7 ，y = 2 + 10 ，比较 x 与 y 的大小．
【配题说明】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的大小比较的方
法和二次根式的运算法则．
【常规讲解】解： x2
2
=12 + 2 35 、 y =12 + 2 20 ，
因为 35 大于 20 ，
5
所以 x y ．
练 1-3
3
（1）（★★☆☆☆）计算： 3 18 2 6 ；
6
2 6a b 3
（2）（★★★☆☆）（2017 虹口区校级月考）计算： ab3 ( a3b)(a 0) .
b b2 a 2
【配题说明】此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则．
1
【常规讲解】（1）解：原式 = (3 2) 18 3 6 ，
6
1 3
= 9 ， = ．
4 4
2 b2 3 a
（2）解：原式 = ( ) ab3 a3b
b 6a 2 b
b
= ( a2b ab)
2a
ab2 ab
= ．
2
知识点 2——
知识笔记
1.
（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含_________的运算；
（2）分母有理化的方法：把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2. 因式
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两
个含有二次根式的非零代数式互为____________．
【填空答案】
1.二次根式；2.有理化因式
6
经典例题
例 1
1
（1）（★★☆☆☆）（2019 浦东新区校级月考）若 a = ，b =1 2 ，则 a 、b 两数的
1+ 2
关系是 ( ) .
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
（2）（★★★☆☆）（2018 宝山区期末） a b 1(a 0) 的有理化因式可以是 ．
【配题说明】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 2 1
【常规讲解】（1）解：化简得： a = = = 2 1，b =1 2 ，
1+ 2 (1+ 2)( 2 1)
则 a 与b 互为相反数，
故选： A ．
（2）解： a b 1 的有理化因式可以是 b 1 （的倍数）．
故答案为： b 1 （的倍数）
例 2
2 3 + 5
（★★★☆☆）（2019 宝山区校级月考）分母有理化： .
2 + 3 + 5
【配题说明】本题考查分母有理数，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及运算法
则，本题属于中等题型．
( 2 + 5 3)2
【常规讲解】解：原式 =
( 2 + 5 + 3)( 2 + 5 3)
( 2 + 5 3)2
=
( 2 + 5)2 3
10 6 15 + 5
=
10 + 2
( 10 6 15 + 5)( 10 2)
=
( 10 + 2)( 10 2)
3 10 3 6
=
6
10 6
=
2
7
例 3
1 2 x2 1
（★★★☆☆）（2016 浦东新区月考）已知 x = ，求代数式 的值．
2 +1 x x2 + x
【配题说明】本题考查了分母有理化，分式的化简求值．在化简的过程中要注意运算顺序
和分式的化简．
1
【常规讲解】解： x = = 2 1，
2 +1
2 x2 1 2(x +1) x2 +1 (x +1)(3 x) 3 x 3 2 +1 (4 2)( 2 +1)
= = = = = = 3 2 + 2
2 ． x x + x x(x +1) x(x +1) x 2 1 ( 2)2 1
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）（2019 浦东新区校级月考）下列结论中正确的是 ( )
A． a + b 是 a b 的有理化因式
B． 4x2 6xy + 9y2 不是最简二次根式
C． 3 2 3 的绝对值是 3 2 3
D． 3+ 2 2 的倒数是 3 2 2
（2）（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考） m n 的倒数是 ．
【配题说明】此题主要考查了分母有理化以及最简二次根式，正确掌握二次根式的相关性
质是解题关键．
【常规讲解】（1）解： A 、 a + b 是 a + b 的有理化因式，故此选项错误；
2 2
B 、 4x 6xy + 9y ，是最简二次根式，故此选项错误；
C 、 3 2 3 的绝对值是 2 3 3 ，故此选项错误；
D 、 3+ 2 2 的倒数是 3 2 2 ，故此选项正确；
故选： D ．
1 m + n m + n
（2）解： m n 的倒数是 = = ，
m n ( m n)( m + n) m n
m + n
故答案为：
m n
8
练 2-2
1 1
（★★★☆☆）（2017 浦东新区月考）已知 m = ， n = ，求 m2 mn + n2 的值．
2 + 5 2 5
【配题说明】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2 5
【常规讲解】解：根据题意得： m = = 5 2 ，
(2 + 5)(2 5)
2 + 5
n = = 5 2 ，
(2 5)(2 + 5)
则原式= ( 5 2)2 ( 5 2)( 5 2) + ( 5 + 2)2 =19 ．
练 2-3
1 1
（★★★☆☆）（2018 普陀区校级月考）观察下列各式 = 2 1， = 3 2 ，
2 +1 3 + 2
1
= 4 3 利用上述三个等式及其变化过程，
4 + 3
1 1 1 1
计算 + + + + 的值．
2 +1 3 + 2 4 + 3 2009 + 2008
【配题说明】此题考查分母有理化的应用，合并同类二次根式是关键．
1 1 1 1
【常规讲解】解： + + + +
2 +1 3 + 2 4 + 3 2009 + 2008
= 2 1+ 3 2 + 4 3 + + 2009 2008
= 2009 1．
9
知识点 3——二次根式的 计算
知识笔记
二次根式的 运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、__________等进行解题．
【填空答案】
乘法公式
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）（2020 浦东新区期中）求值： (2 2 3)2020 (3+ 2 2)2021 = ；
1 1
（2）（★★★☆☆）（2020 松江区期末）计算： 4 + ( 48 24) 6 ．
2 3 2
【配题说明】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于
基础题型．
【常规讲解】（1）解：原式 = (2 2 3)2020 (2 2 + 3)2020 (2 2 + 3)
= ( 1)2020 (2 2 + 3)
= 2 2 + 3．
故答案为： 2 2 + 3 ．
（2）解：原式 = 2 + 3 2 2 + 48 6 24 6
= 2 + 3 2 2 + 2 2 2
= 3 ．
例 2
2 3 2
（★★★★☆）（2019 浦东新区校级月考）计算： 2 3 + 2 ．
2 3 2
1
2 3 2
10
【配题说明】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进
行二次根式的乘除运算，再合并即可．
6 2
【常规讲解】解：原式 = +
3 2 2 3 2 2
6(3 2 + 2 3) 2(2 + 2)
=
18 12 4 2
= 3 + 2 2 1
= 3 1 ．
例 3
b ab a b a + b
（★★★★☆）（2019 浦东新区校级月考）化简：( a + ) ( + ) .
a + b ab + b ab a ab
【配题说明】本题考查的是二次根式的混合运算，此题比较复杂，注意观察分子和分母的
关系，灵活运用法则进行变形是关键，最后要把二次根式化为最简二次根式的形式．
b ab a b a + b
【常规讲解】解： ( a + ) ( + ) ，
a + b ab + b ab a ab
a ( a + b) b ab a a ( a b) b b( a + b) (a + b)(a b)
= [ + ] ，
a + b a + b ab( a + b)( a b )
a + b ab(a + b)
= ，
a + b ab(a b)
a + b a b
= ，
a + b (a + b)
a b
= ，
a + b
= ( a b) ，
= a + b ．
巩固练习
练 3-1
（1）（★★★☆☆）计算： ( 3 2)2019 ( 3 + 2)2020 = ；
2
（2）（★★★☆☆）（2019 徐汇区校级期中）计算： ( 50 + ) 3 5 6 .
2 + 3
11
【配题说明】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
【常规讲解】（1）解：原式 = [( 3 2) ( 3 + 2)]2019 ( 3 + 2)
= 2 3 ．
故答案为： 2 3 ．
（2）解：原式 = [5 2 + 2(2 3)] 3 5 6
= (5 2 + 2 2 6) 3 5 6
= (7 2 6) 3 5 6
= 7 6 3 2 5 6
= 2 6 3 2 ．
练 3-2
a + b + 2 ab a b
（★★★★☆）（2019 青浦区校级月考）计算： ．
a + b a b
【配题说明】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进
行二次根式的乘除运算，再合并即可．
( a + b)2 ( a b)( a + b)
【常规讲解】解：原式 =
a + b a b
= a + b ( a + b)
= 0 ．
综 练习
【A组】
练 1
1
（1）（★★☆☆☆）（2019 徐汇区校级期中）计算： (3 0.5 3 ) (2 0.125 20) ；
5
1 a a 4
（2）（★★★☆☆）计算： 27a3 a2 + 3a 108a3 .
3 3 3 3
【配题说明】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于
基础题型．
12
3 2 4 5 2
【常规讲解】（1）解：原式 = ( ) ( 2 5)
2 5 2
3 2 4 5 2 6
= + 2 5 = 2 + 5
2 5 2 5
1 2 3a 3a 4（2）解：原式 = 3a 3a a + 3a 6a 3a
3 3 3 3
a2
= a 3a 3a + a 3a 8a 3a
3
a2
= ( 6a ) 3a ．
3
练 2
3x 3y 4 x y
（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）计算： 4 2 2 ．x 7 2x y
【配题说明】本题主要考查了二次根式的除法法则，掌握据二次根式的除法法则是解决问
题的关键．
3x 3y 4 x y
【常规讲解】解： 4
x2 7 2x2 y
4 3x 3y x y
= ( 4 )
7 x2 2x2 y
7 3(x y) 2x2 y
= ( 4 )
4 x2 x y
= 7 6y ．
练 3
1 2
（★★★☆☆）（2019 闵行区期中）计算： ( ) ( 2 3)
0 + ( 4)2 .
2 3
【配题说明】考查了分母有理化，零指数幂，负整数指数幂，熟记运算法则即可解答，属
于基础题．
【常规讲解】解：原式 = ( 2 3)2 1+ | 4 |
= 2 2 6 + 3 1+ 4
= 8 2 6 ．
13
练 4
（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）已知 a( a + 2 b) = b( a + 6 b)(ab 0) ，则
2a2 + 3ab 4b2
= ．
3a2 5ab + b2
【配题说明】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
【常规讲解】解：由题意可知： a + 2 ab = ab + 6b ，
a + ab 6b = 0 ，
( a + 3 b)( a 2 b) = 0 ，
a = 3 b （舍去）或 a = 2 b ，
a = 4b ，
2 16b2 + 3 4b2 4b2 40
原式 = = ，
3 16b2 5 4b2 + b2 29
40
故答案为：
29
【B组】
练 1
21
（★★★★☆）（2017 徐汇区校级自主招生）若有理数 a ， b 满足 3 3 = a + b ，则
4
a + b = ．
【配题说明】本题考查了二次根式的性质、完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是
关键．
21
【常规讲解】解： 3 3 = a + b ，
4
21
(a + b)2 = 3 3 ，
4
21
a2 + 2a b + b = 3 3 ，
4
2 21
a + b = 4 3
a =
b = 3 ，解得： 2 ，
2a = 3 b = 3
14
3 3
a + b = + 3 = ，
2 2
3
故答案为： ．
2
练 2
n +1 n n +1 + n
（★★★★☆）（2019 浦东新区校级月考）已知 x = ， y = ，且
n +1 + n n +1 n
19x2 +123xy +19y2 =1985 ．试求正整数 n ．
【配题说明】此题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算．解题的关键是整体
代入思想的应用．
【 常 规 讲 解 】 解 ： 化 简 x 与 y 得 ： x = ( n +1 n)2 = 2n +1 2 n(n +1) ，
y = ( n +1 + n)2 = 2n +1+ 2 n(n +1) ，
x + y = 4n + 2， xy = ( n +1 n)2 ( n +1 + n)2 = [( n +1 + n)( n +1 n +1)]2 =1，
将 xy =1代入方程，化简得： x2 + y2 = 98 ，
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 98+ 2 1=100 ，
x + y =10 ．
4n + 2 =10 ，
解得 n = 2 ．
1511 | 线段的垂直平分线与角的平分线
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解掌握线段的垂直平分线的概念及性质
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 理解掌握角平分线的概念及性质
目标 3 ★★★★☆☆ 识别 掌握轨迹的概念，可以根据条件做出轨迹
知识清单
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
与角的平分线 角的平分线
129
知识点 1——线段的垂直平分线
知识笔记
线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线上的任意一点到这条 线段的两个端点的距离_________；
（2）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
经典例题
例 1
（★★☆☆☆）如图，在 ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ． ABC 的
周长为 19， ACE 的周长为 13，则 AB 的长为 ( )
A．3 B．6 C．12 D．16
例 2
（★★★☆☆）如图，在 ABC 中，已知点 O 是边 AB、AC 垂直平分线的交点，点 E 是
ABC、 ACB 角平分线的交点，若 O + E =180 ，则 A = 度．
130
例 3
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， BAC = 90 ， BE 平分 ABC ， AM ⊥ BC 于点 M 交 BE
于点 G ，AD 平分 MAC ，交 BC 于点 D ，交 BE 于点 F ．求证：线段 BF 垂直平分线段 AD ．
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）如图，在 ABE 中， AD ⊥ BE 于点 D ， C 是 BE 上一点， BD = DC ，且点C
在 AE 的垂直平分线上，若 ABC 的周长为18cm ，求 DE 的长．
练 1-2
（★★★☆☆）如图，DF 垂直平分 AB ，EG 垂直平分 AC ，若 BAC =110 ，则 DAE = ．
131
练 1-3
（★★★★☆）如图， AD 是 ABC 的高， AD 垂直平分线分别交 AB ， AC 于点 E ， F ．
1
（1）求证： B = AED ；
2
（2）若 DE =1 ，求 AB 的长．
知识点 2——角平分线
知识笔记
角平分线性质定理及推论
（1）角的平分线上的点到_____________的距 离相等；
（2）在一个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是 ( )
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条高线的交点
132
（2）（★★★☆☆）如图， BM 是 ABC 的平分线，点 D 是 BM 上一点，点 P 为直线 BC 上
的一个动点．若 ABD 的面积为 9， AB = 6 ，则线段 DP 的长不可能是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5.5
例 2
（★★★★☆）已知 ABC 中， ACB = 90 ，CD ⊥ AB 于点 D ，AE 平分 BAC ，交 CD 于点
F ， EG ⊥ AB 于点 G ，说明 EG =CF ．
例 3
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， ABC 的平分线与 ACB 的外角的平分线相交于点 P ，连
接 AP ．
（1）求证： PA 平分 BAC 的外角 CAM ；
（2）过点 C 作 CE ⊥ AP ， E 是垂足，并延长CE 交 BM 于点 D ．求证：CE = ED ．
133
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）如图，已知点 P 到 BE ， BD ， AC 的距离恰好相等，则点 P 的位置：
①在 B 的平分线上；②在 DAC 的平分线上；③在 ECA 的平分线上；④恰是 B ， DAC ，
ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
练 2-2
（★★★★☆）已知：如图，BP 、CP 分别是 ABC 的外角平分线，PM ⊥ AB 于点 M ，PN ⊥ AC
于点 N ．求证： PA 平分 MAN ．
练 2-3
（★★★★☆）已知：如图，点 D 是 ABC 的边 AC 上的一点，过点 D 作 DE ⊥ AB ，DF ⊥ BC ，
E 、 F 为垂足，再过点 D 作 DG / / AB ，交 BC 于点 G ，且 DE = DF ．
（1）求证： DG = BG ；（2）求证： BD 垂直平分 EF ．
134
知识点 3——
知识笔记
1．点的
符合某些条件的所有的点的集合．
2．三个基本
（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的_____________；
（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角_________点的轨迹是这个角的平分线；
（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）经过定点 A 且半径为 10 的圆的圆心轨迹是 ；
（2）（★★☆☆☆）经过已知点 M 和 N 的圆的圆心的轨迹是 ；
（3）（★★☆☆☆） A 、 B 为线段 AB 的两个端点，则满足 PA PB = AB 的动点 P 的轨迹
是 ；
（4）（★★☆☆☆）已知 A 、 D 之间的距离是3cm ，点 A 绕点 D 旋转 70 时，它经过的路线
长是 ．
135
例 2
（★★☆☆☆）已知 ABC ，在 ABC 内求作一点 P ，使它到 ABC 三个顶点的距离相等．
例 3
（★★★☆☆）如图，已知 AOB ，求作射线OC ，使OC 平分 AOB ．①作射线OC ；②在
1
OA 和 OB 上分别截取OD ，OE ，使OD =OE ；③分别以点 D ， E 为圆心，以大于 DE 长
2
为半径，在 AOB 内作弧，两弧交于点 C ．
上述做法合理的顺序是 ；（写序号）
这样做出的射线OC 就是 AOB 的角平分线，其依据是 ．
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）下列说法错误的是 ( ) .
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为1cm 的圆
C．到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2cm 的直线
D．等腰 ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线
136
练 3-2
（1）（★★☆☆☆）到点 P( 3, 0) 的距离等于 2 的点的轨迹是 ；
（2）（★★☆☆☆）如果两个定点 A 、 B 的距离为 3 厘米，那么到点 A 、 B 的距离之和为 3
厘米的点的轨迹是 ；
（3）（★★☆☆☆）已知两点 A 、 B ，到这两点距离相等的点的轨迹是 ．
练 3-3
（★★☆☆☆）如图，已知 ABC ，P 为 AB 上一点，请用尺规作图的方法在 AC 上找一点Q ，
使得 AQ + PQ = AC （保留作图痕迹，不写作法）．
综合练习
【A组】
练 1
（★★☆☆☆）下列说法错误的是 ( )
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点 P 距离等于3cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，3cm 为半径的圆
C．到直线 l 距离等于1cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于1cm 的直线
D．等腰 ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线
137
练 2
（★★★☆☆）如图所示，在 ABC 中， AB 、 AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D 、 E ，垂
足分别为点 M 、 N ．
（1）若 ADE 的周长为 16，求 BC 的长；
（2）若 BAC =108 ，求 DAE 的度数．
练 3
（★★★☆☆）如图，已知： ABC 的 ABC 、 ACB 的外角平分线交于点 D ．求证： AD 是
BAC 的平分线．
138
练 4
（★★★☆☆）已知：如图，在 ABC 中， C =120 ，边 AC 的垂直平分线 DE 与 AC 、 AB
分别交于点 D 和点 E ．
（1）作出边 AC 的垂直平分线 DE ；
（2）当 AE = BC 时，求 A 的度数．
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， BC = AC ， ACB = 90 ， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD 交
1
BD 的延长线于点 E ，且 AE = BD ，求证： BD 是 ABC 的角平分线．
2
139
练 2
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， C = 90 ，O 为 ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥ BC ，
OE ⊥ AC ，OF ⊥ AB ，点 D 、E 、F 分别是垂足，且 AB =10cm ，BC = 8cm ，CA = 6cm ，
则点 O 到三边 AB 、 AC 和 BC 的距离分别为多少？
课堂总结
14015 | 几何动点问题
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 运用已学过的几何定理解决动点面积问题
目标 2 ★★★★★★ 综合 运用已学过的几何定理解决旋转类动点问题
目标 3 ★★★★★★ 综合 运用已学过的几何定理解决动点三角形问题
知识清单
动点 问题
几 何动点问题 动 点 问题
动点 问题
【考情分析】
1．动点几何问题属于图形与几何板块，占期末考分值约 25%；
2．主要综合考察全等三角形判定与性质、勾股定理、直角三角形性质等几何知识点，以解
答题为主，分值较大，题目难度较高；
3．对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明；
4．本讲是属于图形的运动，运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结
论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在
联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些
1
不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、
方程和函数等知识．
课堂引入
【课堂引入】
教师提问：同学们还记得动点型问题我们有哪些解题方法吗？学生回答：分类思想、函数思
想、数形结合思想；由此引入本堂课内容
知识点 1——动点 问题
知识笔记
动点 问题
在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几
个量是怎样变化的，常见的面积表达方法有：（1）公式法；（2）__________．
【填空答案】
割补法
经典例题
例 1
（★★★★☆）（2018 金山区期末）已知，如图，在Rt ABC中， ACB = 90 ， AB = 2 ，
B = 30 ， P 是边 BC 上的一动点，过点 P 作 PE ⊥ AB，垂足为 E ，延长 PE 至点Q，使
PQ = PC，连接CQ交边 AB 于点D．
（1）求 AD的长；
（2）设CP = x， PCQ的面积为 y ，求 y 关于 x的函数解析式，并写出定义域；
（3）过点C 作CF ⊥ AB ，垂足为 F ，联结 PF 、QF ，试探索当点 P 在边 BC 的什么位置
时， PFQ 为等边三角形？请指出点 P 的位置并加以证明．
2
【配题说明】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计
算，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【常规讲解】解：（1） ACB = 90 ， B = 30 ，
1
AC = AB =1，
2
PQ = PC ，
PQC = PCQ ，
PE ⊥ AB ，
PQC + QDE = 90 ，
ACB = 90 ，
PCQ + ACD = 90 ，
ACD = QDE ，
ACD = ADC，
ACD = ADC ，
AD = AC =1；
（2）作QH ⊥ BC 于H ，
ACB = 90 ， B = 30 ，
A = 60 ，又 AD = AC，
ADC 为等边三角形，
QCB = 30 ，
PQ = PC = x ，
PQC = PCQ = 30 ，
QPH = 60 ，
3
QH = x，
2
3
1 3 3 2 3 PCQ的面积为 y = x x = x ( x 3)；
2 2 4 3
（3）当点 P 在边 BC 的中点时， PFQ 为等边三角形，
理由如下：如备用图， BFC = 90 ，点 P 是 BC 的中点，
1
PF = BC = CP ，
2
BFC = 90 ， B = 30 ，
1
FC = BC = CP ， BPE = 60 ，
2
FC = PF =CP ，
FPC 为等边三角形，
FPC = 60 ，
BPE = 60 ，
QPF = 60 ，
PF = PC = PQ ，
PFQ为等边三角形．
巩固练习
练 1-1
（★★★★☆）（2017 普陀区期末）如图， ABC 中， AC = 2 3， BC = 4 3 ， AB = 6，点
P 是射线CB上一点（不与点 B 重合），EF 为 PB的垂直平分线，交 PB于点 F ，交射线 AB
于点 E ，联结 PE 、 AP ．
（1）求 B的度数；
4
（2）当点 P 在线段CB上时，设 BE = x ， ACP的面积为 y ，求 y 关于 x的函数解析式，并
写出函数的定义域；
（3）如果 BE = 2，请直接写出 ACP的面积．
【配题说明】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角
形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用．
【常规讲解】解：（1）在 ABC 中，
AC = 2 3 ， BC = 4 3 ， AB = 6，
AC2 + AB2 = 48， BC2 = 48，
AC2 + AB2 = BC2 ．
BAC = 90 ．
又 AC = 2 3 ， BC = 4 3 ，
1
AC = BC，
2
B = 30 ．
（2）过点 A作 AD ⊥ BC ，垂足为点D．
在 ADB 中， ADB = 90 ， B = 30 ，
1
AD = AB = 3，
2
1 1
同理， EF = BE = x ．
2 2
1
在Rt EFB中， EF 2 + FB2 = EB2 ，即 ( x)
2 + BF 2 = x2，
2
3
BF = x，
2
又 BP = 2BF ，
BP = 3x．
CP =CB PB = 4 3 3x ，
5
1
S ACP = CP AD，
2
1 3 3
y = (4 3 3x) 3 = 6 3 x， (0 x 4)；
2 2
（3）当点 P 在线段 BC 上时，由 BE = 2知 x = 2，
3 3
由（2）知此时 ACP的面积为 6 3 2 = 3 3；
2
当点 P 在射线CB上时，如图，过点 A作 AM ⊥ BC 于点M ，
BE = 2， EBF = ABC = 30 ，
1
EF = BE =1，
2
则 PF = BF = 3 ，
AB = 6，
1
AM = AB = 3，
2
1 1
则 ACP的面积为 PC AM = (4 3 + 3 + 3) 3 = 9 3 ．
2 2
知识点 2——动点 问题
知识笔记
动点 问题
（1）等线段，共顶点，就可以有旋转；
（2）遇中点，旋 180°，构造中心对称；
（3）遇 90°，旋 90°，构造垂直；
（4）遇 60°，旋 60°，构造_________；
（5）遇等腰，旋顶角．
6
【填空答案】
等边
经典例题
例 1
（★★★★☆）（2017 长宁区期末）如图（1），已知四边形 ABCD的四条边相等，四个内角
都等于90 ，点 E 是CD边上一点， F 是 BC 边上一点，且 EAF = 45 ．
（1）求证： BF + DE = EF ；
（2）若 AB = 6，设 BF = x，DE = y，求 y 关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围；
（3）过点 A作 AH ⊥ FE 于点H ，如图（2），当 FH = 2， EH =1时，求 AFE 的面积．
【配题说明】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用
旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考
压轴题．
【常规讲解】（1）证明：如图 1 中，将 ADE 绕点 A顺时针旋转90 得到 ABH ．
四边形 ABCD是正方形，
AB = AD =CD = BC ， BAD = 90 ，
EAF = 45 ，
BAF + BAH = BAF + DAE = 45 ，
7
FAH = FAE = 45 ，
AF = AF ， AH = AE ，
AFH AFE(SAS) ，
EF = FH ，
FH = BH + BF = DE + BF ，
EF = BF + DE．
（2）解： AB = BC =CD = 6， BF = x，DE = y，
EF = x + y ， FC = 6 x， EC = 6 y ，
在Rt ECF中， EF 2 =CF 2 + EC2，
(x + y)2 = (6 x)2 + (6 y)2 ，
36 6x
y = (0 x 6)．
x + 6
（3）解：如图 2 中，将 ADE 绕点 A顺时针旋转90 得到 ABM ．
由（1）可知 AFM AFH ，
AB ⊥ FM ， AH ⊥ EF ，
AB = AH ，
设 AB = BC =CD = AD = x ，
ABF = AHF = 90 ，
AF = AF ． AB = AH ，
Rt AFB Rt AFH(HL)，
BF = FH = 2，同理可证：DE = EH =1，
CF = x 2， EC = x 1，
在Rt ECF中， EF 2 =CF 2 + EC2，
32 = (x 2)2 + (x 1)2，
3+ 17 3 17
x = 或 （舍弃），
2 2
8
1 1 3+ 17 9 + 3 17
S AEF = EF AH = 3 = ．
2 2 2 4
巩固练习
练 2-1
（★★★★☆）（2017 闵行区校级期中）如图，已知 AB = 3，BC = 4，AB ⊥ BC ，AG / /BC ，
将一个直角的顶点置于点C ，并将它绕着点C 旋转，两直角边分别交射线 AG 于点D ，交
AB 的延长线于点 E ，联结DE 交 BC 于点 F ．
（1）当 DCB = 60 时，求 BE 的长；
（2）设 BE = x ，若 AD = y ，用含 x的代数式表示 y 并写出 x的取值范围；
（3）旋转过程中，若DC = FC，求此时 BE 的长．
【配题说明】本题是综合题，考查了全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，学会正确寻找三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属
于中考压轴题．
【常规讲解】解：（1） ECD = 90 ， DCB = 60 ，
BCE = 30 ，
AB ⊥ BC ， BCE = 30 ，
BC = 3BE ，
4 3
BE =
3
（2）如图 1，过点D作DH ⊥ BC 于H ，
9
AB ⊥ BC ， AG / /BC ，
AG ⊥ AB，且 AB ⊥ BC ，DH ⊥ BC ，
四边形 ABHD 是长方形，
AB = DH = 3， AD = BH = y ，
DHC = EBC = 90 ，
DCH + BCE = 90 ， BCE + BEC = 90 ，
BEC = DCH ，且 DHC = EBC = 90 ，
4 y 3
= ，
x 4
3 16
y = x + 4(0 x )
4 3
（3） CD =CF ，
CDF = CFD，
AG / /BC，
CFD = ADF ，
EDA = EDC，
EA⊥ DA， EC ⊥ DC ，
EA = EC = x + 3，
在Rt BCE 中， EC2 = BE2 + BC2 ，
(x + 3)2 = x2 + 42，
7
x =
6
7
BE = ．
6
10
知识点 3——动点特殊
知识笔记
动点特殊
（1）等腰三角形的分类讨论这类题目均和图形运动有关，利用________的思想，结合
题目中的已知条件建立等量关系；
（2）直角三角形的特征非常明显，通常先讨论三角形的哪个角有可能是直角，根据这
个直角的条件结合题目条件进行计算．
【填空答案】
分类讨论
经典例题
例 1
（★★★★☆）（2018 长宁区期末）已知，如图，在 ABC 中，AE 平分 CAB 交 BC 于点 E ，
AC = 6，CE = 3，AE = 3 5 BE = 5，点 F 是边 AB 上的动点（点 F 与点 A，B 不重合），
连接 EF ，设 BF = x， EF = y ．
（1）求 AB 的长；
（2）求 y 关于 x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当 AEF 为等腰三角形时，直接写出 BF 的长．
11
【配题说明】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定
理，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题，属于中考常考题型．
【常规讲解】解：（1） AC = 6，CE = 3， AE = 3 5 ，
AC2 +CE2 = 62 + 32 = 45，
AE2 = (3 5)2 = 45，
AC2 +CE2 = AE2，
ACE = 90 ，
BE = 5，
BC = 8，
由勾股定理得： AB = AC2 + BC2 = 62 + 82 =10；
（2）如图 1，过 E 作 EG ⊥ AB于G ，
AE平分 BAC ， C = 90 ，
EG = EC = 3，
AE = AE，
Rt ACE Rt AGE(HL)，
AG = AC = 6，
BG =10 6 = 4，
BF = x，
FG =| 4 x |，
在Rt EFG中，由勾股定理得： EF = EG2 + FG2 ，
y = 32 + (4 x)2 = x2 8x + 25(0 x 10)；
（3）分两种情况讨论：
①当 AE = AF = 3 5时，如图 2，
AB =10，
BF =10 3 5 ，
②当 AF = EF 时，如图 3，过 F 作 FP ⊥ AE于 P ，
1 3 5
AP = AE = ，
2 2
CAE = FAP ， APF = C = 90 ，
ACE∽ APF ，
12
3 5 AF
AE AF =
= ，即 6 3 5 ，
AC AP
2
15
AF = ，
4
15 25
BF =10 = ，
4 4
25
综上，当 AEF 为等腰三角形时， BF 的长为10 3 5或 ．
4
例 2
（★★★★☆）（2015 奉贤区期末）如图，已知 ABC 中， ACB = 90 ， ABC = 30 ，AC = 2 ，
点 P 是边 AB 上的一个动点，以点 P 为圆心， PB的长为半径画弧，交射线 BC 于点D，射
线 PD交射线 AC 于点 E ．
（1）当点D与点C 重合时，求 PB的长；
（2）当点 E 在 AC 的延长线上时，设 PB = x，CE = y，求 y 关于 x的函数关系式，并写出
定义域；
（3）当 PAD是直角三角形时，求 PB的长．
【配题说明】本题考查了直角三角形的判定和性质，圆的性质，求函数的解析式，等边三角
形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
13
【常规讲解】解：（1）如图 1， 在 ABC 中， ACB = 90 ， ABC = 30 ，
1
AC = AB ，
2
AC = 2，
AB = 4，
以点 P 为圆心， PB的长为半径画弧，交射线 BC 于点D，点D与点C 重合，
PD = PB ，
PCB = B = 30 ，
APC = ACD = 60 ，
AP = AC = 2 ，
BP = 2 ；
（2） PD = PB ， ABC = 30 ，
PDB = B = 30 ，
APE = 60 ， CDE = 30 ，
ACD = 90 ，
AEP = 60 ，
AE = AP，
PB = x ，CE = y，
2 + y = 4 x ， y = 2 x． (0 x 2) ；
（3）①如图 2，当点 E 在 AC 的延长线上时，连接 AD ，
PAD是直角三角形， APD = 60 ， PAD 60 ，
PDA = 90 ，
PAD = 30 ．
1
PD = AP，
2
1
即 x = (4 x) ，
2
4
x = ；
3
②如图 3，当点 E 在 AC 边上时，连接 AD
PAD是直角三角形， APD = 60 ， ADP 60 ，
PAD = 90 ，
PDA = 30 ．
14
1 1
AP = PD．即 4 x = x，
2 2
8
x = ．
3
4 8
综上所述：当 PB的长是 或 时， PAD 是直角三角形．
3 3
巩固练习
练 3-1
（★★★★☆）（2016 静安区期末）在 ABC 中， ACB = 90 ，D是 AB 的中点，过点 B 作
CBE = A， BE 与射线CA相交于点 E ，与射线CD相交于点 F ．
（1）如图，当点 E 在线段CA上时，求证： BE ⊥CD；
（2）如果 BE =CD ，那么线段 AC 与 BC 之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；
（3）如果 BDF 是等腰三角形，求 A的度数．
15
【配题说明】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质及相似三角形的证明及性质，难度
适中．
【常规讲解】解：（1） CBE = A，
CBE + EBA = A+ EBA，即： CBA = BEC，
ACB = 90 ，D是 AB 的中点，
CD = BD，
CBA = DCB ，
DCB = BEC，
DCB + ACD = 90 ，
BEC + ACD = 90 ，
BE ⊥CD；
BC 1
（2）线段 AC 与 BC 之间的数量关系是 = (AC = 2BC) ，
AC 2
CBE = A， BCE = ACB，
BC BE
= ，
AC AB
CD 1
BE =CD， = ，
AB 2
BC 1
= ．
AC 2
（3） BDF 是等腰三角形， BFD = 90 ，
BDF = 45 ．
1
①当点 E 在线段CA上时， A = BDF = 22.5 ；（2 分）
2
180 CDA 135
②当点 E 在线段CA延长线上时， BAC = = = 67.5 ．（2 分）
2 2
16
综合练习
【A组】
练 1
（★★★★☆）（2015 浦东新区期末）已知，如图，点D在射线 AB 上，且 AD = 2 ，点 P 是
射线 AC 上的一个动点，线段 PD的垂直平分线与射线 AC 交于点 E ，与 BAC 的平分线交
于点 F ．连接DF 、 PF 、 EF ．
（1）当DF / /AC时，求证： AD = PF ；
（2）当 BAC = 60 时，设 AP = x ， AF = y，求 y 关于 x的函数解析式．
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【常规讲解】解：（1） AF 平分 BAC ，
BAF = FAC，
DF / / AC ，
DAF = FAC ，
DAF = DFA，
AD = DF ，
EF 垂直平分DP，
DF = PF ，
AD = PF ；
（2）过点 F 作 FG ⊥ AC 于G ， FH ⊥ AB于H ，
AF 平分 BAC ， FG ⊥ AC ， FH ⊥ AB，
FH = FG， BAC = 60 ，
FAC = 30 ，
17
1 3
FG = AF ， AG = AF ，
2 2
1 3
同理 FH = AF ， AH = AF ，
2 2
EF 垂直平分DP，
FD = FP ，
在Rt FDH与Rt FPG 中，
FD = FP
，
FH = FG
Rt FDH Rt FPG，
PG = DH ，
AD = 2， AP = x ， AF = y，
3 3
x = y + ( y 2)，
2 2
3 2 3
y = x + ．
3 3
练 2
（★★★★☆）（2015 普陀区期末）如图，在 ABC 中，D是 AB 的中点，E 是边 AC 上一动
点，联结DE ，过点D作DF ⊥ DE 交边 BC 于点 F（点 F 与点 B 、C 不重合），延长 FD到
点G ，使DG = DF ，联结 EF 、 AG，已知 AB =10 ， BC = 6， AC = 8．
（1）求证： AC ⊥ AG ；
（2）设 AE = x，CF = y ，求 y 与 x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当 BDF 是以 BF 为腰的等腰三角形时，求 AE 的长．
18
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定
理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【常规讲解】（1）证明： BC = 6， AC = 8，
BC2 + AC2 = 36 + 64 =100，
AB2 =100，
BC2 + AC2 = AB2 ，
ABC 是直角三角形，且 ACB = 90 ，
D是 AB 的中点，
AD = BD，
在 ADG和 BDF 中，
AD = BD
ADG = BDF
DG = DF
ADG BDF ，
GAB = B，
ACB = 90 ，
CAB + B = 90 ，
CAB + GAB = 90 ，
EAG = 90 ，
即： AC ⊥ AG ；
（2）连接 EG ，
AE = x， AC = 8，
EC = 8 x，
ACB = 90 ，
由勾股定理，得 EF 2 = (8 x)2 + y2，
ADG BDF ，
19
AG = BF ，
CF = y， BC = 6，
AG = BF = 6 y ，
EAG = 90 ，
由勾股定理，得 EG2 = x2 + (6 y)2，
DG = DF ，DF ⊥ DE ，
EF = EG ，
(8 x)2 + y2 = x2 + (6 y)2 ，
4x 7 7 25
y = ，定义域： x ；
3 4 4
（3）①当 BF = DB时， 6 y = 5， y =1，
4x 7
1= ，
3
5
x = ，
2
5
即 AE = ；
2
②当DF = FB时，连接DC，过点D作DH ⊥ FB ，垂足为点H ，
可得DF = FB = 6 y ，
ACB = 90 ，D是 AB 的中点， DC = DB = 5，
DH ⊥ FB， BC = 6， CH = HB = 3，
FH = 3 y，
DH ⊥ FB，
由勾股定理，得DH = 4 ，
在Rt DHF中，可得 (6 y)2 = 42 + (3 y)2 ，
11
解得： y = ，
6
11 4x 7
=
6 3
25 25
解得 x = ，即 AE = ，
8 8
5 25
综上所述， AE 的长度是 ， ．
2 8
20
【B组】
练 1
（★★★★★）在 ABC 中， AB = AC ， A = 60 ，点D是线段 BC 的中点， EDF =120 ，
DE 与线段 AB 相交于点 E ，DF 与线段 AC （或 AC 的延长线）相交于点 F ．
（1）如图 1，若DF ⊥ AC ，垂足为 F ， AB = 8，求 BE 的长；
（2）如图 2，将（1）中的 EDF 绕点D顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于
1
点 F ．求证： BE +CF = AB；
2
（3）如图 3，将（2）中的 EDF 继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段 AC 的
延长线相交于点 F ，作DN ⊥ AC 于点 N ，若DN = FN ， AB = 8，求 BE 的长．
【配题说明】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形
的判定与性质、特殊角的勾股数等知识，通过证明三角形全等得到 BM =CN ，DM = DN ，
EM = FN 是解决本题的关键．
【常规讲解】解：（1）如图 1，
AB = AC ， A = 60 ，
ABC 是等边三角形，
B = C = 60 ， BC = AC = AB = 4．
点D是线段 BC 的中点，
1
BD = DC = BC = 4，
2
21
DF ⊥ AC，即 AFD = 90 ，
AED = 360 60 90 120 = 90 ，
BED = 90 ，
BE = 2；
（2）过点D作DM ⊥ AB 于M ，作DN ⊥ AC 于 N ，如图 2，
则有 AMD = BMD = AND = CND = 90 ．
A = 60 ， MDN = 360 60 90 90 =120 ．
EDF =120 ， MDE = NDF ．
BMD = CND
在 MBD和 NCD中， B = C ，
BD = CD
MBD NCD ，
BM =CN ，DM = DN ．
EMD = FND
在 EMD和 FND中， DM = DN ，
MDE = NDF
EMD FND，
EM = FN ，
BE +CF = BM + EM +CF = BM + FN +CF = BM +CN
1 1
= 2BM = BD = BC = AB；
2 2
（3）过点D作DM ⊥ AB 于M ，如图 3．
同（1）可得： B = ACD = 60 ．
同（2）可得： BM =CN ，DM = DN ， EM = FN ．
DN = FN ，
DM = DN = FN = EM ，
3 3
BE +CF = BM + EM +CF = CN + DM +CF = NF + DM = 2DM = 2BD sin 60 = BC = AB
2 2
（2）中的结论不成立；
AB = 8，
BD = 4，
3 1 3
BE +CF = BE + NF CN = BE + DM BM = BE + BD BD = AB ，
2 2 2
BE = 2 3 + 2．
22
2314 | 函数与特殊三角形存在性问题
学习目标
目标 1 ★★★★★★ 综合 掌握坐标系下等腰三角形存在性问题
目标 2 ★★★★★★ 综合 掌握坐标系下等腰三角形存在性问题
知识清单
三角形 与性
函数与特殊三角形 存 三角形 存在性问题
三角形 存在性问题
在 性问题
角三角形 与性
角三角形 存在性问题
角三角形 存在性问题
【考情分析】
1．函数与特殊三角形是属于图形与几何部分，占期末考试分值约 20%；
2．主要考察函数与等腰三角形、与直角三角形，以解答题为主；
3．对应教材：八年级上册，第十八章：正反比例函数，第十九章：几何证明；
4．函数与特殊三角形的存在性问题通常位于期末考试中的倒数第二题的第三问位置，中考
中也是重要考点之一，分值在 5 分以上，在八年级上册各区期末考试中，考频在 50%左右，
主要对正、反比例函数的性质及特殊三角形的综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性
质与几何知识点的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．
课堂引入
【课堂引入】
老师抛出问题：坐标系中已知 A、B 两点的坐标，动点 P 在直线上（坐标轴、射线、线段等）；
是否存在动点 P ，使 ABP 为特殊三角形.或者若 ABP 为特殊三角形，求动点 P 的坐标.
（一般指等腰三角或直角三角形）；引导学生思考后引入本堂课的内容.
1
知识点 1—— 三角形 存在性问题
知识笔记
1． 三角形 与性
（1）等腰三角形的定义：两条边相等的三角形，相等的两条边为腰，另一边为底；
（2）等腰三角形的性质：①等边对等角；②____________；
（3）等腰三角形的判定：①定义法，直接证边相等；②等角对等边.
2． 三角形 存在性问题
（1）几何法：利用等腰三角形的性质或三线合一性质，求出动点到已知点距离，再转
化坐标；
（2）代数法：利用边相等的原则，求出三边长度，分类讨论，求解动点坐标，以计算
为主.（步骤：设点，求边，等边，求解）
【填空答案】
三线合一
经典例题
例 1
k
（★★★☆☆）（2015 闵行区期末）已知：如图，正比例函数 y = k1x的图象与反比例函数 y =
2
x
的图象相交于点 A、B ，点 A在第一象限，且点 A的横坐标为 1，作 AH 垂直于 x轴，垂足
为点H ， S AOH =1．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）如果 OAC 是以OA为腰的等腰三角形，且点C 在 x轴上，求点C 的坐标．
2
【配题说明】本题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式等腰三角形的性
质，综合性较强，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．
【常规讲解】解：（1） 点 A的横坐标为 1， AH ⊥ x轴，
OH =1，
S AOH =1，
1
OH AH =1，
2
解得： AH = 2．
点 A的坐标为 A(1,2)，
点 A(1,2)在正比例函数 y = k1x的图象上，
2 = k1 1，
解得： k1 = 2．
所求的正比例函数的解析式为 y = 2x，
k
点 A(1,2)在反比例函数 y = 2 的图象上，
x
k
2 = 2 ，
1
解得 k2 = 2．
2
所求的反比例函数的解析式为 y = ．
x
（2）由题意，设点C 的坐标为 (a,0)．
OAC 是以OA为腰的等腰三角形，
OA =OC 或OA = AC ，
①当OA =OC 时， a = 5 ，
即可得：点C 的坐标为 ( 5 ， 0) 或 ( 5 ， 0) ．
②当OA = AC 时， a = 2； a = 0，
点C 与点O不重合，
3
a = 0 不合题意舍去，
点C 的坐标为 (2,0)，
综上所述：点C 的坐标为 ( 5 ， 0) 或 ( 5 ， 0) 或 (2,0)．
例 2
4
（★★★★☆）（2015 浦东新区期末）已知，点 B 、C 是双曲线 y = 在第一象限分支上的两
x
点，点 A在 x轴正半轴上， AOB 为等腰直角三角形， B = 90 ， AC 垂直于 x轴．
（1）求点C 的坐标；
（2）点D为 x轴上一点，当 BCD为等腰三角形时，求点D的坐标．
【配题说明】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、等
腰直角三角形的性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．
【常规讲解】【常规讲解】解：（1）过点 B 作 BH ⊥OA于点H ，
AOB是等腰直角三角形， B = 90 ，
1
BH = OH = OA．
2
点 B 在第一象限，
设 B(a， a)(a 0)．
4
点 B 在双曲线 y = 上，
x
a2 = 4，
a = 2 或 a = 2（不合题意，舍去），
B(2,2) ，
A(4,0) ．
AC ⊥ x轴，
设C(4, y) ，
4
4
点C 在双曲线 y = 上，
x
C(4,1)；
（2） 设D(x,0) ，
BC2 = 5 ， BD2 = x2 4x + 8，CD2 = x2 8x +17，
当 BCD是等腰直角三角形时， BC = BD， BC =CD或 BD =CD ．
当 BC = BD，即 BC2 = BD2时， x2 4x + 8 = 5，解得 x =1或 x = 3，
D(1,0) 或 (3,0)；
当 BC =CD，即 BC2 =CD2时， x2 8x +17 = 5，解得 x = 2或 x = 6，
当D(6,0)时， BC = CD = 5 ， BD = 2 5 ，
BC +CD = BD，不能构成三角形，
x = 6不合题意，
D(2,0) ；
9
当 BD =CD ，即 BD2 =CD2 ， x2 4x + 8 = x2 8x +17，解得 x = ，
4
9
D( ， 0) ．
4
9
综上所述，D(1,0)， (3,0)， (2,0)， ( ， 0) ．
4
例 3
（★★★★☆）（2016 金山区校级期末）如图，正比例函数 y = k1x(k1 0) 的图象与反比例函
k
数 y = 2 (k 0)的图象交于点 A(a,6) ，且点C(9,2)2 在反比例函数的图象上，点 B 的坐标为
x
(4,0)．
（1）求正比例函数 y = k1x的解析式；
（2）若 P 为射线OA上一点，①若点 P 的横坐标为 x， OPB 的面积为 S ，写出 S 关于 x的
函数解析式，并指出自变量 x的取值范围；②当 POB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标．
5
【配题说明】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形面积的计
算方法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
k
【常规讲解】解：（1） 点C(2,9)在反比例函数 y = 2 的图象上，
x
k2 =18，
18
反比例函数的解析式为 y = ，
x
18
点 A(a,6) 在反比例函数 y = 的图象上，
x
a = 3，
A(3,6)，
点 A(3,6) 在正比例函 y = k1x的图象上
k1 = 2，
正比例函数的解析式为 y = 2x；
（2）由（1）知，正比例函数的解析式为 y = 2x，
P(x,2x)，
① B(4,0) ，
OB = 4
1
S = 4 2x = 4x(x 0) ；
2
②由①知， P(x,2x)，OB = 4 ， OP = x2 + (2x)2 = 5x，
BP = (x 4)2 + (2x)2 = 5x2 8x +16 ，
POB是等腰三角形，
Ⅰ、当OP =OB时，
4 = 5x ，
4 5
x = ，
5
6
4 5 8 5
P( ， )，
5 5
Ⅱ、当OP = PB 时，
5x = 5x2 8x +16 ，
x = 2，
P(2,4)
Ⅲ、当 PB =OB 时，
5x2 8x +16 = 4，
8
x = 或 x = 0（舍 )，
5
8 16
P( ， )，
5 5
4 5 8 5 8 16
点 P 坐标为 ( ， )或 (2,4)或 ( ， )．
5 5 5 5
巩固练习
练 1-1
（★★★☆☆）（2018 松江区期末）已知：如图，点 A(1,m) 是正比例函数 y = k1x与反比例函
k
数 y = 2 的图象在第一象限的交点， AB ⊥ x 轴，垂足为点 B ， ABO 的面积是 2．
x
（1）求m 的值以及这两个函数的解析式；
（2）若点 P 在 x轴上，且 AOP 是以OA为腰的等腰三角形，求点 P 的坐标．
【配题说明】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数图象上点的坐标特征、
反比例函数系数 k 的几何意义以及等腰三角形的性质
【常规讲解】解：（1） ABO的面积是 2，
k2 = 2 2 = 4，
7
4
反比例函数的解析式为 y = ．
x
4
当 x =1时，m = = 4，
x
点 A的坐标为 (1,4)．
又 点 A(1,4)在正比例函数 y = k1x的图象上，
k1 = 4，
正比例函数的解析式为 y = 4x．
（2） AOP是以OA为腰的等腰三角形，
OA =OP或OA = AP ．
①当OA =OP 时， 点 A的坐标为 (1,4)，
OA = (1 0)2 + (4 0)2 = 17 ，
OP = 17 ，
点 P 的坐标为 ( 17 ， 0) 或 ( 17 ， 0) ；
②当OA = AP 时，OP = 2OB = 2 ，
点 P 的坐标为 (2,0)．
综上所述：点 P 的坐标为 ( 17 ， 0) ， ( 17 ， 0) ， (2,0)．
练 1-2
k
（★★★★☆）（2018 金山区期末）已知，如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y = (k 0)
x
与直线 y = 2x都经过点 A(2, m)．
（1）求 k 与m 的值；
（2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，点C 是 y 轴的负半轴上的一点，且点C 到 x轴的距离是 2，
联结 AB、AC、BC，
①求 ABC 的面积；
8
②点 E 在 y 轴上， ACE 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标．
【配题说明】本题考查了函数图象上点的坐标特、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、等
腰三角形的性质以及解一元二次方程（或一元一次方程）
【常规讲解】解：（1） 直线 y = 2x经过点 A(2,m) ，
m = 2 2 = 4，
点 A的坐标为 (2,4)．
k
双曲线 y = (k 0)经过点 A(2,4)，
x
k
4 = ，
2
k = 8．
8
（2）①由（1）得：双曲线的表达式为 y = ．
x
8
双曲线 y = 经过点 B(n,2) ，
x
8
2 = ，
n
n = 4 ，
点 B 的坐标为 (4,2)．
点C 是 y 轴的负半轴上的一点，且点C 到 x轴的距离是 2，
点C 的坐标为 (0, 2) ，
AB = (4 2)2 + (2 4)2 = 2 2
BC = (0 4)2 + ( 2 2)2 = 4 2 ， AC = (0 2)2 + ( 2 4)2 = 2 10 ．
(2 2)2 + (4 2)2 = (2 10)2 ，
AB2 + BC2 = AC2 ，
ABC = 90 ，
1 1
S ABC = AB BC = 2 2 4 2 = 8．
2 2
9
②设点 E 的坐标为 (0,a)，
AE2 = (0 2)2 + (a 4)2 = a2 8a + 20，CE2 = [a ( 2)]2 = a2 + 4a + 4 ， AC2 = 40．
分三种情况考虑，如图 2 所示．
(i)当 AE = AC 时， a2 8a + 20 = 40，
解得： a1 = 2（舍去）， a2 =10，
点 E 的坐标为 (0,10)1 ；
(ii)当CE = AC 时， a2 + 4a + 4 = 40，
解得： a3 = 2 + 2 10 ， a4 = 2 2 10 ，
点 E2 的坐标为 (0, 2 + 2 10)，点 E3的坐标为 (0, 2 2 10)；
(iii) 当CE = AE时， a2 + 4a + 4 = a2 8a + 20 ，
4
解得： a = ，
3
4
点 E4 的坐标为 (0, ) ．
3
4
综上所述：点 E 的坐标为 (0,10)， (0, 2 + 2 10)， (0, 2 2 10)或 (0, ) ．
3
知识点 2—— 角三角形存在性问题
知识笔记
1． 角三角形 与性
（1）直角三角形的性质：三边关系：勾股定理；角度关系：___________；
（2）直角三角形的判定：①勾股定理的逆定理；②证明有直角；
10
（3）等腰直角三角形：含 45°的直角三角形，常见辅助线及全等模型：一线三垂直.
2． 角三角形 存在性问题
（1）代数法：设动点坐标，求出三边长度，利用勾股定理构建三边关系，求解方程.
步骤：设点，求边，勾股，求解；
（2）几何法：利用直角挖掘几何信息或构建辅助线求解动点坐标.
常见情境：等腰直角三角形等.
【填空答案】
锐角互余
经典例题
例 1
（★★★★☆）（2018 闵行区期末）如图，已知正比例函数图象经过点 A(2,2)， B(m,3)
（1）求正比例函数的解析式及m 的值；
（2）分别过点 A与点 B 作 y 轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C 、
D（点C、D均在点 A、 B 下方），若 BD = 4AC ，求反比例函数的解析式；
（3）在第（2）小题的前提下，联结 AD ，试判断 ABD 的形状，并说明理由．
【配题说明】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一
次函数的解析式，根据题意求得C 、D的坐标是解题的关键．
【常规讲解】解：（1）设正比例函数的解析式为 y = kx，
正比例函数图象经过点 A(2,2)，
2 = 2k ，
k =1，
11
比例函数的解析式为 y = x ；
把 B(m,3)代入解析式得，m = 3；
（2） AC / /BD / / y轴，
C 点的横坐标为 2，D点的横坐标为 3，
m m m
设反比例函数的解析式为 y = ，分别代入得 yC = ， yD = ，
x 2 3
m m
AC = 2 ， BD = 3 ，
2 3
BD = 4AC ，
m m
3 = 4(2 ) ，
3 2
解得m = 3，
3
反比例函数的解析式为 y = ；
x
（3） ABD 是等腰直角三角形；
理由是：由（2）得：D(3,1)， A(2,2)， B(3,3)，
AB2 = (3 2)2 + (3 2)2 = 2， AD2 = (3 2)2 + (2 1)2 = 2， BD2 = (3 3)2 + (3 1)2 = 4 ，
BD2 = AB2 + AD2 ，且 AB = AD，
ABD是等腰直角三角形．
例 2
（★★★★☆）如图，直线 l 经过原点和点 A(3, 6)，点 B 坐标为 (4, 0)
（1）求直线 l 所对应的函数解析式；
（2）若 P 为射线OA上的一点．
①设 P 点横坐标为 x， OPB 的面积为 S ，写出 S 关于 x的函数解析式，指出自变量 x的取
值范围；
②当 POB 是直角三角形时，求 P 点坐标．
12
【配题说明】本题考查函数综合题、三角形的面积、直角三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【常规讲解】解：（1）设直线 l 的解析式为 y = kx，
把点 A坐标代入得到6 = 3k ，
k = 2 ，
直线 l 的解析式为 y = 2x．
（2）① P(x,2x)， B(4,0)，
1
S = 4 2x = 4x(x 0) ．
2
②如图当 PBO = 90 时， P(4,8) ．
当 OP B = 90 时， OBP ∽ OPB，
OP OB
= ，
OB OP
OP = 42 + 82 = 4 5 ，
4
OP = 5 ，作 P H ⊥OB于H ．
5
OP P H OH
= = ，
OP PB OB
4 8
OH = ， P H = ，
5 5
4 8
P ( ， ) ．
5 5
巩固练习
练 2-1
（★★★★☆）如图，在平面直角坐标系中，点 B(a,b) 是第一象限内一点，且 a、b 满足等式
a2 6a + 9+ | b 1|= 0．
13
（1）求点 B 的坐标；
（2）如图 1，动点C 以每秒 1 个单位长度的速度从O点出发，沿 x轴的正半轴方向运动，
同时动点 A以每秒 2 个单位长度的速度从O点出发，沿 y 轴的正半轴方向运动，设运动的
时间为 t 秒，当 t 为何值时， ABC 是 AB 为斜边的等腰直角三角形.
【配题说明】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的
判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
【常规讲解】解：（1） a2 6a + 9+ | b 1|= 0，
(a 3)2+ | b 1|= 0
且 (a 3)2 0， | b 1| 0
a 3 = 0；b 1= 0
a = 3；b =1
B(3,1)；
（2）过 B 作 BH ⊥ x 轴于H
B(3,1)，
BH =1
由题意得OA = 2t ，OC = t
ACB 是以 AB 斜边的等腰直角三角形
AC = BC ，
ACB = 90
1+ 2 = 90
14
BH ⊥ x轴，
OHB = 90
1+ 3 = 90
2 = 3
AOC = CHB = 90
在 AOC 与 CHB中
2 = 3
AOC = CHB = 90 ，
AC = BC
AOC CHB(AAS)
OC = BH
t =1，
当 t =1时， ABC 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形；
综合练习
【A组】
练 1
k
（★★★☆☆）如图，P1是反比例函数 y = (k 0)在第一象限图象上的一点，点 A1的坐标为
x
(2,0)．若 P1OA1 与 P2 A1 A2 均为等边三角形，则 A2点的坐标为 ．
【配题说明】本题的考点及学生易错点
例：考察物质中共价键的判断已经物质变化过程中的作用力问题，属于学生易错点
【常规讲解】解： △ P1OA1为边长是 2 的等边三角形，
3
OC =1， P1C = 2 = 3 ，
2
P1(1, 3)．
15
k
代入 y = ，得 k = 3，
x
3
所以反比例函数的解析式为 y = ．
x
作 P2D ⊥ A1A2 ，垂足为D．
设 A1D = a，
则OD = 2 + a， P 2D = 3a ，
P2 (2 + a, 3a)．
P2 (2 + a, 3a)在反比例函数的图象上，
3
代入 y = ，得 (2 + a) 3a = 3 ，
x
化简得 a2 + 2a 1= 0
解得： a = 1 2 ．
a 0，
a = 1+ 2 ． A1A = 2 + 2 2 ， 2
OA2 =OA 1 + A1A2 = 2 2 ，
所以点 A2的坐标为 (2 2 ， 0) ．
故答案是： (2 2 ， 0) ．
练 2
k 1
（★★★★☆）已知反比例函数 y = 的图象过点 ( 2, )．
2x 2
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）如图，点 A(m,1)是反比例函数图象上的点，求m 的值；
（3）利用（2）的结果，请问：在 x轴上是否存在点 P ，使以 A、O、P 三点为顶点的三角形
是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
16
【配题说明】本题考查了反比例函数综合题， 难度适中， 关键是掌握用待定系数法求解函
数解析式 ．
k 1
【常规讲解】解：（1） 反比例函数 y = 的图象过点 ( 2, )，
2x 2
1 k
= ，
2 4
k = 2 ，
2 1
y = = ，
2x x
1
反比例函数的解析式为： y = ；
x
（2） 点 A(m,1)是反比例函数图象上的点，
m =1；
（3） 假设存在 P(a, 0) ，使以 A、O、P 三点为顶点的三角形是直角三角形，
则当 PAO为直角时， AP = AO， P点坐标为 (2, 0)；
当 APO为直角时， 则 P 点坐标为 (1, 0)．
故存在 P(2, 0) 或者 P(1, 0) ，使以 A、O、P 三点为顶点的三角形是直角三角形 ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）（2018 浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB ，AB ⊥ x 轴于
k
点C ，点 A( 3 ，1) 在反比例函数 y = 的图象上．
x
k
（1）求反比例函数 y = 的表达式；
x
（2）求 AOB 的面积；
17
（3）在坐标轴上是否存在一点 P ，使得以O、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形若
存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，简述你的理由．
【配题说明】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、解直角三角形、三角形的面积以
及等腰三角形的性质
k k
【常规讲解】解：（1）将 A( 3 ，1) 代入 y = ，得：1= ，
x 3
解得： k = 3，
3
反比例函数的表达式为 y = ．
x
（2） 点 A的坐标为 ( 3 ，1) ， AB ⊥ x 轴于点C ，
OC = 3， AC =1，
OA = AC2 +OC2 = 2 = 2AC ，
AOC = 30 ．
OA⊥OB，
AOB = 90 ，
B = AOC = 30 ，
AB = 2OA = 4，
1 1
S AOB = AB OC = 4 3 = 2 3．
2 2
（3）在Rt AOB中，OA = 2， AOB = 90 ， ABO = 30 ，
OA
OB = = 2 3 ．
tan 30
分三种情况考虑：
①当OP =OB时，如图 2 所示，
OB = 2 3 ，
OP = 2 3 ，
点 P 的坐标为 ( 2 3 ， 0) ， (2 3， 0) ， (0, 2 3)， (0 ， 2 3)；
18
②当 BP = BO时，如图 3，过点 B 做 BD ⊥ y轴于点D，则OD = BC = AB AC = 3，
BP = BO ，
OP = 2OC = 2 3 或OP = 2OD = 6 ，
点 P 的坐标为 (2 3， 0) ， (0, 6) ；
③当 PO = PB时，如图 4 所示．
若点 P 在 x轴上， PO = PB ， BOP = 60 ，
BOP为等边三角形，
OP =OB = 2 3 ，
点 P 的坐标为 (2 3， 0) ；
若点 P 在 y 轴上，设OP = a ，则 PD = 3 a ，
PO = PB ，
PB2
2 2 2
= PD2 + BD2 ，即 a = (3 a) +1 ，
解得： a = 2，
点 P 的坐标为 (0, 2) ．
综上所述：在坐标轴上存在一点 P ，使得以O、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，
点 P 的坐标为 ( 2 3 ， 0) ， (2 3， 0) ， (0, 2 3)， (0 ， 2 3)， (0, 6) ， (0, 2) ．
1901|二次根式初步
学习目标
目标1
大★☆☆☆女理解
理解二次根式的概念
目标2
★★☆☆☆☆理解
掌握二次根式的性质
目标3
大★★☆☆☆操作
掌握最简二次根式与同类二次根式
知识清单
二次根式的概念
二次根式初步
二次根式的性质
最简二次根式与同类二次根式
最简二次根式
同类二次根式
【考情分析】
1.二次根式的概念、性质及最简二次根式、同类二次根式都是一次根式的部分，属于方程
与代数式板块，占中考考分值约28%；
2.主要考察二次根式的概念及性质，
以选择题、填空题为主，同类二次根式、最简二次根
式的知识点考察解答题；
3.对应教材：八年级上册第十六章一次根式第一节；
4.二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是
知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多
样.重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值.
01
【课堂引入】
复习引入：
(1)已知x2=a,
那么a是x的
,x是a的
一，记为
,a一定是
数；
(2)4的算术平方根为2，用式子表示为=
正数a的算术平方根为
0的算术平方根为.
式子√a≥0(a≥0)的意义是
(二)提出问题
式子√a表示什么意义？
什么叫做二次根式？
式子√a≥0(a≥0)的意义是什么？
出
知识点1-
二次根式的概念
知识笔记
二次根式的概念
(1)代数式√a（a≥0)叫做二次根式，读作“根号a”,其中a是
(2)二次根式有意义的条件是被开方数是
【填空答案】
被开方数；非负数
经典例题
例1
(1)
(★★☆☆☆)(2018·金山区期中)下列各式中一定是二次根式的是(
A.√5
B.√x2+1
C.3x
(2)(★★☆☆☆)当×
时，
1
1V1-3x
是二次根式.
·2
(3)(★★☆☆☆)(2017杨浦区校级月考)若，
a是二次根式，则a、b、c应满足的条件
b
是()
A.ab、c均为非负数
B.a、b、c同号
C.a30,bc0
D.
bc
【配题说明】主要考查了一次根式的意义和性质.概念：式子√a(a0)叫二次根式.
性
质：一次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.
【常规讲解】(1)解：A、被开方数-5是负数，
它没有意义，故本选项错误；
B、被开方数x2+1>0,它是二次根式，故本选项正确；
C、当×<0时，被开方数是负数，它没有意义，故本选项错误；
D、当≤0时，它没有意义，故本选项错误；
故选：B.
(2)解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：
1
-1-3x)>0即x>
3,
所以自变量×的取值范围是×>
3
(3)解：若
是二次根式，则a,b,c应满足的条件是：
bc
bc
故选：D
例2
(1)
(★★☆☆☆)如果VX-3
有意义，那么×的取值范围是
(2)
(★★☆☆☆)当×
时，
x+1
|x-2
在实数范围内有意义：
(3)(★★★☆☆)
(2019浦东新区校级月考)若根式√-1+《-2有意义，则×的取值
5-x
范围是
【配题说明】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的
被开方数是非负数是解题的关键，
【常规讲解】
(1)解：由题意得，X-30,X≠0，
解得，X3,
·312 | 直角三角形的判定及其性质
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 理解并掌握直角三角全等判定
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握直角三角形的性质及其推论
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 能够运用性质定理推论解决几何问题
知识清单
直角三角形的判定
直 角三角形的判定及其
性 质 直角三角形的性质
直 角三角形性质的
【考情分析】
1．直角三角形的判定及其推论属于图形与几何板块，占期末考试分值约 20%；
2．主要考察直角三角形的性质及判定定理，以选择题、填空题为主，也可以结合全等三角
形判定定理、线段的垂直平分线与角平分线综合考察解答题；
3．对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明，第三节：直角三角形；
4．直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是
直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件
集中到直角三角形中进行求解．
1
课堂引入
【课堂引入】
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的 13 个结，然后按如图所示的
方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
知识点 1——直角三角形的判定
知识笔记
直角三角形的判定
（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；
（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个
________________全等（简记“H．L”）．
【填空答案】
直角三角形
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
2
（2）（★★☆☆☆）（2019 松江区期末）如图，已知 C = D = 90 ，添加一个条件，可使
用“ HL ”判定 Rt ABC 与 Rt ABD 全等．以下给出的条件适合的是 ( )
A． ABC = ABD B． BAC = BAD
C． AC = AD D． AC = BC
【配题说明】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有 ASA，
SAS ， AAS ， SSS ，两直角三角形全等还有 HL ．
【常规讲解】（1）解：A 、两个锐角对应相等不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B 、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C 、可以利用边角边或 HL 判定两三角形全等，不符合题意；
D 、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
故选： A ．
（2）解： A ． ABC = ABD ， C = D = 90 ， AB = AB ，
Rt ABC Rt ABD(AAS) ，故本选项不符合题意；
B ． BAC = BAD ， C = D = 90 ， AB = AB ，
Rt ABC Rt ABD(AAS) ，故本选项不符合题意；
C ． C = D = 90 ， AB = AB ， AC = AD ，
Rt ABC Rt ABD(HL) ，故本选项符合题意；
D ．根据 C = D = 90 ， AB = AB ， AC = BC 不能推出 Rt ABC Rt ABD ，故本选项不
符合题意；
故选：C ．
例 2
（1）（★★★☆☆）如图，在 ABC 中， AB = AC ， BD ⊥ AC 于 D ，CE ⊥ AB 于 E ，BD 和
CE 交于O ， AO 的延长线交 BC 于 F ，则图中全等的直角三角形有 ( )
3
A．4 对 B．5 对 C．6 对 D．7 对
（2）（★★★☆☆）如图，AD 平分 BAC ，DE ⊥ AB 于 E ，DF ⊥ AC 于 F ，且 DB = DC ，
求证： EB = FC ．
【配题说明】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS 、
SAS 、 HL ．做题时要由易到难，不重不漏．
【常规讲解】（1）解： BD ⊥ AC ，CE ⊥ AB ，
ADB = AEC = 90 ，
AC = AB ，
CAE = BAD ，
AEC ADB(AAS) ；
CE = BD ，
AC = AB ，
CBE = BCD ，
BEC = CDB = 90 ，
BCE CBD(AAS) ；
BE =CD ，
AD = AE ，
AO = AO ，
Rt AOD Rt AOE(HL) ；
DOC = EOB ，
COD BOE(AAS) ；
OB =OC ，
AB = AC ，
4
CF = BF ， AF ⊥ BC ，
ACF ABF(SSS) ， COF BOF(SSS) ，
故选：C ．
（2）证明： AD 平分 BAC ， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，
DE = DF ；
DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ．
在 Rt DBE 和 Rt DCF中
DE = DF
DB = DC
Rt DBE Rt DCF(HL) ；
EB = FC ．
例 3
（★★★★☆）如图，在 ABC 中，AB = AC ，DE 是过点 A 的直线，BD ⊥ DE 于 D ，CE ⊥ DE
于点 E ，
（1）若 B 、 C 在 DE 的同侧（如图所示）且 AD =CE ．求证： AB ⊥ AC ；
（2）若 B 、C 在 DE 的两侧（如图所示），且 AD =CE ，其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直
吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
5
【配题说明】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全
等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．
【常规讲解】（1）证明： BD ⊥ DE ， CE ⊥ DE ，
ADB = AEC = 90 ，
在 Rt ABD 和 Rt ACE 中，
AB = AC
，
AD = CE
Rt ABD Rt CAE ．
DAB = ECA ， DBA = EAC ．
DAB + DBA = 90 ， EAC + ACE = 90 ，
BAD + CAE = 90 ．
BAC =180 ( BAD + CAE) = 90 ．
AB ⊥ AC ．
（2） AB ⊥ AC ．理由如下：
同（1）一样可证得 Rt ABD Rt CAE ．
DAB = ECA ， DBA = EAC ，
CAE + ECA = 90 ，
CAE + BAD = 90 ，即 BAC = 90 ，
AB ⊥ AC ．
6
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列命题中，正确的个数是( )
①两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．
A．3 B．2 C．1 D．0
【配题说明】考查直角三角形全等的判定定理．
【常规讲解】①错误；②、③正确．故选 B
练 1-2
（1）（★★★☆☆）如图， AB = BC ， BAD = BCD = 90 ，点 D 是 EF 上一点， AE ⊥ EF
于 E ，CF ⊥ EF 于 F ， AE =CF ，求证： Rt ADE Rt CDF ；
（2）（★★★☆☆）如图，已知 AD ， AF 分别是 ABC 和 ABE 的高 AD = AF
AC = AE ，求证： BC = BE ．
【配题说明】本题主要考查了直角三角形全等的判定，正确作出辅助线，根据全等三角形的
性质证得 AD =CD 是解决问题的关键．
【常规讲解】（1）解：连接 BD ，
BAD = BCD = 90 ，
在 Rt ABD 和 Rt CBD 中，
7
AB = BC
，
BD = BD
Rt ABD Rt CBD(HL) ，
AD =CD ，
AE ⊥ EF 于 E ，CF ⊥ EF 于 F ，
E = F = 90 ，
在 Rt ADE 和 Rt CDF中，
AE = CF
，
AD = CD
Rt ADE Rt CDF(HL) ．
（2）证明： AD ， AF 分别是两个钝角 ABC 和 ABE 的高，且 AD = AF ， AC = AE ，
Rt ADC Rt AFE(HL) ．
CD = EF ．
AD = AF ， AB = AB ，
Rt ABD Rt ABF(HL) ．
BD = BF ．
BD CD = BF EF ．
即 BC = BE ．
练 1-3
（★★★★☆）如图，在直角三角形 ABC 中， C = 90 ，AC = 20 ，BC =10 ，PQ = AB ，P ，
Q 两点分别在线段 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AM 上运动，且点 P 不与点 A ，C 重
合，那么当点 P 运动到什么位置时，才能使 ABC 与 APQ 全等？
8
【配题说明】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质
【常规讲解】解：根据三角形全等的判定方法 HL 可知：
①当 P 运动到 AP = BC 时，
C = QAP = 90 ，
AP = BC
在 Rt ABC 与 Rt QPA 中， ，
PQ = AB
Rt ABC Rt QPA(HL) ，
即 AP = BC =10 ；
② Rt QAP Rt BCA ，此时 AP = AC ， P 、C 重合，不合题意．
综上所述，当点 P 运动到线段 AC 中点时， ABC 与 QPA全等．
知识点 2——直角三角形性质
知识笔记
直角三角形的性质
（1）直角三角形斜边中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的__________；
（2）含 30 度角的直角三角形：在直角三角形中，________所对的直角边等于斜边的
一半.
【填空答案】
一半；30°角
9
经典例题
例 1
（1）（★★★☆☆）（2019 浦东新区期末）如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ， A =15 ，DE
垂直平分 AB 交 AC 于 E ，若 BC =1，则 AC = ；
（ 2 ） （ ★★★☆☆ ） （ 2019 浦 东 新 区 期 末 ） 已 知 ： 如 下 图 ， ABC 和 BCD 中 ，
BAC = BDC = 90 ，E 为 BC 的中点，连接 DE 、AE ．若 DC / /AE ，在 DC 上取一点 F ，
使得 DF = DE ，连接 EF 交 AD 于 O ，求证： EF ⊥ DA ．
【配题说明】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【常规讲解】（1）解： DE 垂直平分 AB ，
BAE = B =15 ，
BEC = ABE + A =15 +15 = 30 ，
AE = BE = 2BC = 2 ，
CE = 3BC = 3 ，
AC = 2 + 3 ．
故答案为 2 + 3 ．
（2）解：（1） ABC 和 BCD 中， BAC = BDC = 90 ， E 为 BC 的中点，
1
DE = AE = BC ，
2
EDA = EAD ，
DC / / AE ，
ADC = EAD ，
ADC = EDA，
10
DF = DE ，
EF ⊥ DA；
例 2
（★★★★☆）（2020 松江区期末）如图，已知四边形 ABCD 中， ABC = ADC = 90 ，点
E 是 AC 中点，点 F 是 BD 中点．
（1）求证： EF ⊥ BD ；
（2）过点 D 作 DH ⊥ AC 于 H 点，如果 BD 平分 HDE ，求证： BA = BC ．
【配题说明】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确的识别
图形是解题的关键．
【常规讲解】（1）证明： ABC = ADC = 90 ，点 E 是 AC 中点，
1 1
DE = AC ， BE = AC ，
2 2
DE = BE ，
点 F 是 BD 中点，
EF ⊥ BD ；
（2）证明：设 AC ， BD 交于点O ，
DH ⊥ AC ， EF ⊥ BD ，
DHO = EFO = 90 ，
DOH = BOE ，
HDF = OEF ，
DE = BE ，
EDO = EBO ，
BD 平分 HDE ，
11
HDF = BDE ，
OEF = OBE ，
OEF + EOF = 90 ，
EOF + EBO = 90 ，
BEO = 90 ，
BE ⊥ AC ，
BA = BC ．
例 3
（★★★★☆）（2018 闵行区期末）已知，如图，在 Rt ABC 中， C = 90 ，点 E 在 AC 上，
1
AB = DE ， AD / /BC ，求证： CBA = 3 CBE ．
2
【配题说明】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形
的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．
【常规讲解】证明：取 DE 的中点 F ，连接 AF ，
AD / /BC ， ACB = 90 ，
DAE = ACB = 90 ，
1
AF = DF = EF = DE ，
2
1
AB = DE ，
2
DF = AF = AB ，
D = DAF ， AFB = ABF ，
12
AFB = D + DAF = 2 D ，
ABF = 2 D ，
AD / /BC ，
CBE = D ，
CBA = CBE + ABF = 3 CBE ．
巩固练习
练 2-1
（★★★☆☆）（2018 浦东新区期末）如图， ABC 中，AB = AC ， BAC =120 ，AD ⊥ AC
交 BC 于点 D ， AD = 4 ，则 BC = ．
【配题说明】本题主要考查了含30 角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题时
注意：在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半．
【常规讲解】解： ABC 中， AB = AC ， BAC =120 ，
C = B = 30 ，
AD ⊥ AC 交 BC 于点 D ，
CD = 2AD = 8 ， BAD = 30 = B ，
BD = AD = 4 ，
BC = BD +CD = 4 + 8 =12 ．
故答案为：12．
13
练 2-2
（★★★☆☆）（2017 普陀区期末）已知：如图，在 ABC 中，BD 、CE 分别是边 AC 、AB
上的高，点 M 是 BC 的中点，且 MN ⊥ DE ，垂足为点 N .
（1）求证： ME = MD ；
（2）如果 BD 平分 ABC ，求证： AC = 4EN ．
【配题说明】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜
边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【常规讲解】证明：（1） BD 是边 AC 上的高，
BDC = 90 ，
点 M 是 BC 的中点，
1
DM = BC ，
2
1
同理， EM = BC ，
2
ME = MD ；
（2） BD 平分 ABC ，
ABD = CBD ，
BD 是边 AC 上的高，
ADB = CDB = 90 ．
在 ABD 和 CBD 中，
ABD = CBD
BD = BD ，
ADB = CDB
ABD CBD(ASA) ，
AD =CD ，
CE 是边 AB 上的高，
CEA = 90 ，
14
AC = 2ED ，
ME = MD ， MN ⊥ DE ，
DE = 2EN ，
AC = 4EN ．
知识点 3——直角三角形性质的
知识笔记
直角三角形性质的
（1）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的_________，那么这条直角边所对的锐
角等于 30°．
【填空答案】
一半
经典例题
例 1
（★★★☆☆）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2BC ，在CD 上取一点 E ，使 AE = AB ，则 EBC
的度数为 ．
【配题说明】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，
含 30 度角的直角三角形判定定理推论的应用
【常规讲解】解： 四边形 ABCD 是矩形，
D = ABC = 90 ， AD = BC ， DC / /AB ，
AB = AE ， AB = 2CB ，
15
AE = 2AD ，
DEA = 30 ，
DC / / AB ，
DEA = EAB = 30 ，
AE = AB ，
1
ABE = AEB = (180 EAB) = 75 ，
2
ABC = 90 ，
EBC = 90 75 =15 ，
故答案为：15 ．
例 2
（★★★★☆）如图，在 ABC 中， BA = BC ， B =120 ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于
1
D ，求证： AD = DC ．
2
【配题说明】本题考查了30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上
的点到线段两端点的距离相等的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
【常规讲解】解：如图，连接 DB ．
MN 是 AB 的垂直平分线，
AD = DB ，
A = ABD ，
BA = BC ， B =120 ，
1
A = C = (180 120 ) = 30
2 ，
ABD = 30 ，
又 ABC =120 ，
DBC =120 30 = 90 ，
16
1
BD = DC
2 ，
1
AD = DC
2 ．
例 3
（★★★★☆）（2019 崇明县期末）已知 MAN ， AC 平分 MAN ．
（1）在图 1 中，若 MAN =120 ， ABC = ADC = 90 ，求证： AB + AD = AC ；
（2）在图 2 中，若 MAN =120 ， ABC + ADC =180 ，则（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【配题说明】此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含 30 角的直角
三角形的知识；作出辅助线是正确解答本题的关键．
【常规讲解】（1）证明： MAN =120 ， AC 平分 MAN ，
CAD = CAB = 60 ．
又 ABC = ADC = 90 ，
1 1
AD = AC ， AB = AC ，
2 2
AB + AD = AC ．
（2）解：结论仍成立．理由如下：
作 CE ⊥ AM 、CF ⊥ AN 于 E 、 F ．则 CED = CFB = 90 ，
AC 平分 MAN ，
CE =CF ．
ABC + ADC =180 ， ADC + CDE =180
CDE = ABC ，
在 CDE 和 CBF 中，
17
CDE = CBF
CED = CFB ，
CE = CF
CDE CBF(AAS) ，
DE = BF ．
MAN =120 ， AC 平分 MAN ，
MAC = NAC = 60 ， ECA = FCA = 30 ，
1 1
在 Rt ACE 与 Rt ACF 中，则有 AE = AC ， AF = AC ，
2 2
1 1
则 AD + AB = AD + AF + BF = AD + AF + DE = AE + AF = AC + AC = AC ．
2 2
AD + AB = AC ．
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）如图，在 ABC 中， C = 90 ， A = 30 ，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，
交 AC 于点 E ，求证： AE = 2CE ．
【配题说明】此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以
及含30 角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决
问题．
【常规讲解】解：连接 BE ，
在 ABC 中， C = 90 ， A = 30 ，
ABC = 90 A = 60 ，
18
DE 是 AB 的垂直平分线，
AE = BE ，
ABE = A = 30 ，
CBE = ABC ABE = 30 ，
在 Rt BCE 中， CBE = 30
BE = 2CE ，
AE = 2CE ．
练 3-2
（★★★★☆）如图，在等边 ABC 中， D 、 E 分别是 BC、CA 上的点，且 AE =CD ， AD 与
BE 交于点 F .
（1）求 BFD 的度数；
（2）作 BG ⊥ AD ，垂足为G ，求证： BF = 2FG ．
【配题说明】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练
利用全等三角形的判定得出 ABE CAD 是解题关键．
【常规讲解】（1）解： ABC 是等边三角形，
BAE = C = 60 ， AB = AC ，
在 ABE 和 CAD 中
AE = CD
EAB = C ，
CA = AB
19
ABE CAD(SAS) ，
ABE = CAD ，
BFD = ABE + BAD = CAD + BAF = BAC = 60 ；
（2）证明：作 BG ⊥ AD ，垂足为G ，
BFD = 60 ，
FBG = 30 ，
1
FG = BF ，
2
即 BF = 2FG ．
综合练习
【A组】
练 1
（1）（★★☆☆☆）Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高， B = 30 ， AD = 2cm ，则 AB 的长
度是 ( )
A． 2cm B． 4cm C．8cm D．16cm
（2）（★★★☆☆）（2019 青浦区校级月考）若等腰三角形一腰上的高等于这条腰的一半，
则此三角形的顶角的度数为 度．
【配题说明】本题主要利用了30 所对的直角边等于斜边的一半和同角的余角相等解决问题．
【常规讲解】（1）解：在 Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高
B + A = DCA + A = 90
DCA = B = 30
AC = 2AD = 4 ，
AB = 2AC = 8cm ．
20
故选：C ．
（2）解：分两种情况讨论：
（1）当 BD 在三角形内部时，
1
BD = AB ， ADB = 90 ，
2
A = 30 ；
（2）当 BD 在三角形外部时，
1
BD = AB ， ADB = 90 ，
2
DAB = 30 ， ABC =180 DAB = 30 =150 ．
故答案为：30 或 150．
练 2
（★★★☆☆）在 ABC 中， P 、Q 分别是 BC 、 AC 上的点，作 PR ⊥ AB ， PS ⊥ AC ，垂足
分别是 R ， S ， PR = PS ， AQ = PQ ，则下面三个结论：① AS = AR ；② PQ / /AR ；③
BRP CSP ．其中正确的是 ．
【配题说明】此题考查了到角平分线的性质及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确
作出辅助线是解答本题的关键．
【常规讲解】解：连接 AP ，
在 Rt ASP 和 Rt ARP 中，
PR = PS
AP = AP
Rt ASP Rt ARP(HL) ，
21
① AS = AR 正确；
AQ = PQ ，
QAP = QPA，
又 Rt ASP Rt ARP ，
PAR = PAQ ，
于是 RAP = QPA ，
② PQ / /AR 正确；
③ BRP CSP ，根据现有条件无法确定其全等．
故答案为：①②．
练 3
（★★★☆☆）（2016 杨浦区期末）已知：如图，在 ABC 中， A = 30 ， ACB = 90 ，M 、
D 分别为 AB 、 MB 的中点，求证：CD ⊥ AB ．
【配题说明】本题考查了含 30 的直角三角形的性质：30 所对的边等于斜边的一半；也考
查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．
【常规讲解】证明： ACB = 90 ， M 为 AB 中点，
1
CM = AB = BM ，
2
ACB = 90 ， A = 30 ，
1
CB = AB = BM ，
2
CM =CB ，
D 为 MB 的中点，
22
CD ⊥ BM ，即CD ⊥ AB ．
练 4
（★★★☆☆）（2019 浦东新区校级月考）已知：如图，在 ABC 中， AD 是边 BC 上的高，
CE 是边 AB 上的中线，G 是CE 的中点， DG ⊥CE 于点G ．求证： B = 2 BCE ．
【配题说明】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
【常规讲解】证明：如图：连 DE ，
G 是 CE 的中点， DG ⊥CE ，
DG 是 CE 的垂直平分线，
DE = DC ，
AD 是高，CE 是中线，
DE 是 Rt ADB 的斜边 AB 上的中线，
1
DE = BE = AB ，
2
DC = BE ；
DE = DC ，
DEC = BCE ，
EDB = DEC + BCE = 2 BCE ，
DE = BE ，
B = EDB ，
B = 2 BCE ．
23
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，在 ABC 中，BC = AC ， ACB = 90 ，D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD 交
1
BD 的延长线于点 E ，且 AE = BD ，求证： BD 是 ABC 的角平分线．
2
【配题说明】此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰
三角形的性质．
【常规讲解】证明：延长 AE 、 BC 交于点 F ．
AE ⊥ BE ，
BEF = 90 ，又 ACF = ACB = 90 ，
DBC + AFC = FAC + AFC = 90 ，
DBC = FAC ，
在 ACF 和 BCD 中，
ACF = BCD = 90
AC = BC
FAC = DBC
ACF BCD(ASA) ，
AF = BD ．
1
又 AE = BD ，
2
1
AE = AF = EF ，即点 E 是 AF 的中点．
2
24
BE ⊥ AF
DE 是 AF 的垂直平分线
AB = BF ，
根据等腰三角形三线合一的性质可知：
BD 是 ABC 的角平分线．
练 2
（★★★★☆）（2008 上海模拟）如图，在 ABC 中，点 D 在边 AC 上， DB = BC ，点 E 是
CD 的中点，点 F 是 AB 的中点．
1
（1）求证： EF = AB ；
2
（2）过点 A 作 AG / /EF ，交 BE 的延长线于点G ，求证： ABE AGE ．
【配题说明】此题主要考查学生对直角三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．
【常规讲解】证明：（1）连接 BE ，（1 分）
DB = BC ，点 E 是 CD 的中点，
BE ⊥CD ．（2 分）
点 F 是 Rt ABE 中斜边上的中点，
1
EF = AB ；（3 分）
2
（2）[ 方法一 ] 在 ABG 中， AF = BF ， AG / /EF ，
EF 是 ABG 的中位线，
BE = EG ．（3 分）
在 ABE 和 AGE 中， AE = AE ， AEB = AEG = 90 ，
25
ABE AGE ；（3 分）
[ 方法二 ] 由（1）得， EF = AF ，
AEF = FAE ．（1 分）
EF / / AG ，
AEF = EAG ．（1 分）
EAF = EAG ．（1 分）
AE = AE ， AEB = AEG = 90 ，
ABE AGE ．（3 分）
2607 | 反比例函数
学习目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握反比例函数的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握反比例函数的图像与性质
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 运用反比例函数进行几何计算
知识清单
反 比例函数的概念 反 比例函数的概念
反 比例函数 反比例函数的 反比例函数的 与性质
反比例函数的性质
反 比例函数的几何计算 反 比例函数的几何计算
73
知识点 1——反比例函数的概念
知识笔记
反比例函数的概念
（1）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变
k
量成反比例．用数学式子表示两个变量 x 、y 成反比例，就是 xy = k ，或表示为 y = ，
x
其中 k 是______________；
（2）解析式形如______________的函数叫做反比例函数，其中 k 叫做比例系数；
k
（3）反比例函数 y = 的定义域是_______________．
x
经典例题
例 1
（1）（★★☆☆☆）下列函数（其中 x 是自变量）中，哪些是反比例函数 哪些不是，为什么
x 1
① y = ； ② y = 2x 1 ； ③ y = (k 0) ；
3 kx
2
④ xy = 2 ； ⑤ y = +1 ．
x
（2）（★★☆☆☆）已知：y 与 x 成反比例，且 x = 1时，y = 2 ，则它的函数解析式是________；
1 1
（3）（★★☆☆☆）已知 y 与 x2 成反比例，且当 x = 2 时，y = ，则当 x = 时，y = _________.
4 3
74
例 2
2
（1）（★★☆☆☆）如果 y = (k 1)xk k 1 是反比例函数，则 k 的值是_________；
2
（2）（★★☆☆☆）已知函数 y = (m 3)xm 10 是反比例函数，则 m = _________.
例 3
（1）（★★☆☆☆）已知 y + 2 与 x 1 成反比例，且当 x = 1时 y = 3，当 x = 3时，y 的值；
（2）（★★★☆☆）已知 y = 2y1 y2 ，若 y1 与 x 成反比例， y2 与 x + 3 成正比例，且当 x =1
时 y =10 ，当 x = 1时 y = 2 .
①求 y 与 x 间的函数关系式；
1
②求当 y = 时，x 的值．
2
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）下列说法中正确的有（ ）个
1
（1）当 k 0 时，y = 是反比例函数；
kx
1
（2）如果 y = ，那么 y 与 x
2
2 成反比例； 3x
m 1
（3）如果 y = + m
2 1是反比例函数，则 m = 1；
x
（4）如果 x、y 成正比例，y 与 z 成反比例，则 x 与 z 成反比例．
A．1 B．2 C．3 D．4
75
练 1-2
2
（★★☆☆☆）若 y = (4 2a)xa 5 是反比例函数，则 a 的值是 ．
练 1-3
k k
（★★★☆☆）设 y1 =
1 和 y2 =
2 ，当 x = 2 时， y1 + y2 =1，y1 y2 = 3 ，求 k1 、k2 的值．
x x
知识点 2——反比例函数的 与性质
知识笔记
1．反比例函数的
反比例函数的图像叫做双曲线，它有两支．
2．反比例函数的性质
（1）当 k 0 时，函数图像的两支分别在第 _____________象限；在每个象限内，当自
变量 x 的值逐渐增大时， y 的值随着逐渐减小；
（2）当 k 0 时，函数图像的两支分别在第_____________象限；在每个象限内，当自
变量 x 的值逐渐增大时， y 的值随着逐渐增大；
（3）图像的两支都无限接近于 x 轴和 y 轴，但不会与 x 轴和 y 轴相交．
76
经典例题
例 1
1 1
（1）（★★☆☆☆）下列函数 y = 3x，y = 5x，y = ，y = 中，y 的值随 x 的增大而减小的
x x
有（ ）个；
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
a2 1
（2）（★★★☆☆）下列函数 y = (a 是常数) 的图像上有三点 A （-3，y1）、B （-1，y2）、
x
C（2，y3），则 y1 、 y2 、 y3 的大小关系是（ ）.
A． y2 y3 y1 B． y3 y2 y1
C． y1 y2 y3 D． y3 y1 y2
例 2
k
（1）（★★★☆☆）已知 P（1， m2 +1）在双曲线 y = 上，则双曲线的图像在第_______象
x
限内，当 x < 0 时，y 的值随 x 的减小而________；
（2）（★★★☆☆）设反比例函数 y = 5x 1 ，当5 x 10 时，函数的最大值是___________．
例 3
（1）（★★★☆☆）平面直角坐标系中，点 A (7 2m，5 m) 在第二象限，且 m 为整数，求过
点 A 的反比例函数解析式；
k 3
（2）（★★★☆☆）若反比例函数 y = 的图像位于第二、四象限内，正比例函数
x
2
y = ( k 1)x 过一、三象限，求整数 k 的值．
3
77
巩固练习
练 2-1
k
（1）（★★★☆☆）如果点 A(x1 ， y1) 和 B(x2 ， y2 ) 在反比例函数 y = (k 0) 的图像上，且
x
0 x1 x2 ，那么 y1 与 y2 的大小关系为： y1 y2 ．（填“ ”或“= ”或“ ” )
2021
（2）（★★★☆☆）已知三点 (a,m) 、 (b,n) 和 (c,t) 都在反比例函数 y = 的图像上，若
x
a 0 b c ，则 m 、 n 和 t 的大小关系是 ( )
A． t n m B． t m n C． m t n D． m n t
练 2-2
2
（1）（★★★☆☆）反比例函数 y = (m 2)xm 2 的图像在第二、四象限，则 m=________；
2k + 3
（2）（★★★☆☆）若反比例函数 y = ，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值
x
范围是____________．
练 2-3
1
（★★★☆☆）反比例函数 k + 的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.
y = 2 + k 2 1
x
78
知识点 3——反比例函数的几何计算
知识笔记
反比例函数的几何计算
（1）数学方法—“待定系数法”，待定系数法 是数学中常用的方法；
（2）数学思想—“数形结合”的思想，在解函数题时要充分利用函数图形，会正确画图．
经典例题
例 1
1 3
（★★★★☆）如图，点 A 在双曲线 y = 上，点 B 在双曲线 y = 上，且 AB / /x 轴，过点 A 、
x x
B 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为点 D 、 C ，那么四边形 ABCD 的面积是 ．
例 2
k
（★★★★☆）过原点作直线交双曲线 y = (k 0) 于点 A、C，过 A、C 两点分别作两坐标轴
x
的平行线，围成矩形 ABCD，如图所示．
（1）已知矩形 ABCD 的面积等于 8，求双曲线的解析式；
（2）若已知矩形 ABCD 的周长为 8，能否由此确定双曲线的解析式 如果能，请予求出；如
果不能，说明理由．
79
巩固练习
练 3-1
3
（★★★★☆）如图，点 P 的坐标为 (2, ) ，过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A ，交双曲线
2
k k
y = (x 0) 于点 N ；作 PM ⊥ AN 交双曲线 y = (x 0) 于点 M ，连接 AM ．已知 PN = 4 ．
x x
（1）求 k 的值；
（2）求 APM 的面积．
练 3-2
k
（★★★★☆）如图，点 A、B 在 反比例函数 y = (k 0) 的图像上，且 A、B 横坐标分别是
x
a、2a (a 0) ．AC⊥x 轴，垂足为 C，三角形 AOC 的面积为 2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点(-a，y1)、(-2a，y2 ) 也在反比例函数的图像上，试比较 y1 ，y2 的大小．
80
综合练习
【A组】
练 1
2
（★★☆☆☆）当 m = 时，函数 y = (m2 + 2m)xm m 1 是反比例函数．
练 2
2
(1)（★★☆☆☆）已知点 (x1 ，y1) 和 (x2 ，y2 ) 都在反比例函数 y = 的图像上，若 x1 x2 0 ，
x
则 y1 、 y2 的大小关系是 y1 y2 ；
6k 3
（2）（★★☆☆☆）已知函数 y = ，如果在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，那么 k 的
x
取值范围是___________；
m + 2
（3）（★★☆☆☆）如果双曲线 y = 位于第一，三象限，那么 m 的取值范围是____．
x
练 3
k
（★★★☆☆）已知反比例函数 y = 的图像上有一点 A ，过 A 点向 x 轴做垂线，垂足分别为
x
点 B ，且 AOB 的面积为 15，求这个反比例函数解析式．
81
练 4
1 1
（★★★☆☆）如图，已知两个反比例函数 C1 : y = 和C2 : y = 在第一象限内的图像，设点
x 3x
P 在 C1 上， PC ⊥ x 轴于点 C ，交 C2 于点 A ， PD ⊥ y 轴于点 D ，交 C2 于点 B ，则四边形
PAOB 的面积为 ．
【B组】
练 1
（★★★★☆）如图，已知正方形 OABC 的面积是 9，点 O 为坐原点，A 在 x 轴上，C 在 y 轴
k k
上，B 在函数 y = (k 0，x 0) 的图像上，点 P（m，n）在 y = (k 0，x 0) 的图像上异
x x
于 B 的任意一点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是 E、F．设矩形 OEPF 和正
方形 OABC 不重合部分的面积是 S．
（1）求点 B 的坐标；
9
（2）当 S = 时，求点 P 的坐标；
2
（3）写出 S 关于 m 的函数解析式．
82
练 2
（★★★★☆）如图已知在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 顶点 A、B 的坐标分别为（1，
k
0）和（0，2）．双曲线 y = (x 0) 经过点 D．
x
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点 C 正好落在双曲线上．
课堂总结
83
